Задача на совместную работу – Методическая разработка по математике (5 класс) на тему: Самостоятельная работа по теме: «Задачи на совместную работу» — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 12.04.202015.01.2020 by alexxlab

Содержание

Задачи на совместную работу | Мел

Историческая справка. Задачи, о которых пойдёт речь, на 50 лет были исключены из обучения математике в школе. Произошло это в ходе реформы математического образования конца 60-х годов прошлого века. В ходе той реформы исчезли задачи типа А, но остались задачи типа B, которые учащиеся решали плохо именно потому, что их не учили решать более простые обратные задачи типа A.

A. Первая бригада может выполнить задание за 15 ч, вторая бригада может выполнить то же задание за 10 ч. За сколько часов две бригады выполнят то же задание при совместной работе.

B. Первой бригаде выполнение задания требуется на 5 ч больше, чем второй бригаде, а при совместной работе бригады выполняют такое задание за 6 ч. За сколько часов каждая бригада, работая отдельно может выполнить это задание?

Но, кажется, «справедливость» восторжествует с принятием нового стандарта, обсуждение которого недавно закончилось. В новой редакции стандарта предлагается не изучать уравнения вида «дробь равна нулю», а значит, не решать и задачи типа B. Не зря же в статье «Полвека реформирования математического образования. От реформы академика А. Н. Колмогорова до ФГОСа» я написал: Суть двух реформ математического образования хорошо описывается двумя меткими фразами В. С. Черномырдина. Если для первой реформы подошёл бы эпиграф:

Хотели как лучше, а получилось как всегда,

то для второй реформы больше подходит другой эпиграф:

Нас никто не может упрекнуть в том, что у нас чистые помыслы.

Теперь от грустных шуток о происходящем с математическим образованием давайте перейдём собственно к задачам на совместную работу. Они известны из глубокой древности. Но начнём мы с задачи, понятной современным школьникам.

Задача 1. Один ученик уберёт класс за 20 минут, а второй за 30 минут. За сколько минут они уберут класс при совместной работе?

II способ. Предположим, что ученики работали совместно 60 минут, но убирали разные классы.

1) 60: 20 = 3 (класса) — убрал первый ученик,

2) 60: 30 = 2 (класса) — убрал второй ученик,

3) 2 + 3 = 5 (классов) — убрали они вместе,

4) 60: 5 = 12 (мин) — потратят два ученика на уборку класса при совместной работе.

Ответ. За 12 мин.

Замечание. При первоначальном обучении учащимся нужно показывать только первый способ решения, чтобы их не запутать, а когда они освоятся с задачами, решаемыми «в дробях», то можно показать и другие способы решения, которые мы здесь обсуждаем.

Задача 2. Валя и Галя пропалывают грядку 8 минут, а одна Галя — за 10 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя? [Сборник заданий для подготовки к ЕГЭ 2018.]

II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут.

1) 40: 8 = 5 (грядок) — пропололи вдвоём Валя и Галя,

2) 40: 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,

3) 5 — 4 = 1 (грядку) — прополола за 40 минут Валя.

Значит, одна Валя пропалывает грядку за 40 минут.

III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя и Галя при совместной работе пропалывали 40: 8 = 5 (м/мин), а одна Галя — 40: 10 = 4 (м/мин). Тогда одна Валя пропалывала 5 — 4 = 1 (м/мин). На всю грядку Вале требуется 40: 1 = 40 (мин).

Ответ. За 40 мин.

Мы рассмотрели задачи двух типов с двумя участниками совместной работы — в первой время совместной работы не известно, а во второй известно. Решение первой приводит к сложению дробей, а второй — к вычитанию дробей. Но с дробями научились решать такие задачи не так давно.

Вот пример задачи из русской математической рукописи и её решение.

Задача 3. Один человек выпьет кадь кваса в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.

Решение. Вынь 10 из 14: останется 4. Молви: 4 даст 10. Что даст 14? Умножь 14 на 10, будет 140; дели 140 на 4, будет 35 дней. За 35 дней одна жена кадь квасу выпьет.

Оставим разбор старинного решения этой задачи для самостоятельного упражнения взрослых, детям такое решение не могло быть понятно. Это и есть один из примеров обучения «по правилу», данному учителем, который я упоминал в заметке О традициях обучения решению задач в России и за рубежом.

Позднее в «Арифметике» Л. Ф. Магницкого приведено более понятное решение этой задачи, которое мы включили в учебник для 5 класса серии «МГУ-школе» (Просвещение, С. М. Никольский и др.).

2-й способ. За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женойза 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет14 — 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140: 4 = 35 дней.

Отметим, что известна задача ещё более раннего периода.

Задача 4. Китай, II в. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение задачи приводит к дробному ответу. Задачу надо упомянуть для того, чтобы спросить адептов веры в то, что учить в школе надо только тому, что пригодится на практике. Вопрос: какое практическое применение искали китайцы в то давнее время, давая детям решать задачу про утку и гуся? Думается, что никакого, кроме применения на практике мышления, развитого с помощью таких задач.

Рассмотрим ещё пару задач. Первая составлена С. Сатиным (я изменил только первую строку для получения круглого ответа).

Задача 5.

За пять недель пират Ерёма

Способен выпить бочку рома.

А у пирата у Емели

Ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром,

Пираты действуя вдвоём?

Мама одной ученицы написала письмо в минобрнауки, обвинив авторов учебника «в пропаганде алкоголя». Пришлось сочинять копию задачи.

Задача 6.

За пять недель маляр Истомин

Покрасит стены в целом доме.

А лучший мастер Глеб Куделин

Покрасит стены в две недели.

За сколько дней, нам интересно,

Они всё сделают совместно?

Мы рассмотрели только простейшие задачи на совместную работу для двух участников. К сожалению, развитие темы здесь на канале затруднительно из-за необходимости писать формулы, поэтому задачи для работы ищите в источниках, упомянутых в предыдущих моих заметках, развитие темы для учащихся постарше смотрите здесь:

Совместная работа. Задачи 11 из ЕГЭ.

Задачи на совместную работу

Дата: 06.03./________.03.2018 г.

Урок № 109, 110

Тема: Задачи на совместную работу»

Цель урока:
• Обучающая
o научить учащихся решать задачи на совместную работу;
• Развивающие
o способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, делать выводы, развитию логического мышления и памяти;
• Воспитательные
o побуждать учащихся к самоконтролю, содействовать в развитии познавательных интересов.
Тип урока: урок изучения

Ход урока

Орг. момент
Актуализация опорных знаний. (проводится фронтально)
1. Как сложить дроби с разными знаменателями?
2. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?
3. Что означает черта дроби.
4. Замени частное дробью: 1 : 20 6 : 30 7 : 15 99 : 100

+2=
Решите задачу

Мастер может выполнить весь заказ за 4 дня, а ученик – за 7 дней. Какую часть работы выполнит мастер за 1 день? ученик за 1 день? ().

Формулирование темы, цели и задач урока

А как найти: какую часть работы они выполнят вместе за 1 день? (сложить результаты предыдущей задачи).

О чем идет речь в данной задаче? (о совместной работе)

Какая тема нашего урока? (Задачи на совместную работу).

Какая цель нашего урока? (1. Научиться решать задачи на совместную работу.

Вывести алгоритм решения задач на совместную работу.)

Открытие новых знаний

5-А класс может помочь убрать дворнику территорию школы за 36 минут.,

а 6-А за 18 минут. За какое количество времени справятся дети работая совместно?

Итак, давайте составим условие задачи

Класс Время Работа

5-А 36 мин. 1

6-А 18 мин. 1

Вместе — ? мин

Оказывается, что при совместной работе складываются не время работы, а часть работы, которую делают ее участники за единицу времени

(год, месяц, день, час и т.д.), а вся выполняемая работа принимается за 1 – «целое». Поэтому для продолжения решения данной задачи целесообразно задать ребятам наводящие вопросы:

Решение:

Какую часть работы сделал 5-А?

1:16= (терр.)- убирает за 1 минуту 5-А класс

2) Какую часть работы сделал 6-А?

1:18= (терр.)- убирает за 1 минуту 6-А класс

3) Какую часть работы сделают оба класса вместе?

(терр.)-уберет 5-А с помощью 6-а за 1 минуту

4) За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

=12 (мин) потребуется школьникам для уборки территории школы.

Ответ:12 минут

Первичная проверка понимания.

№ 955 (в)

а) Для выравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая – 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно?

Решение задачи лучше провести по вопросам предыдущей задачи, чтобы ребята усвоили схему решения и могли пользоваться ею.

1) 1 ׃ 36 = (дороги) – первая машина за 1 день

2) 1 ׃ 45 =

(дороги) – вторая машина за 1 день

3) (дороги) – вместе обе машины за 1 день

4) 1 ׃ (дней) – выполнят работу машины, работая совместно

Ответ: за 20 дней.

Схема решения задач на совместную работу:

Какую часть работы выполнит первый объект за единицу времени?

Какую часть работы выполнит второй объект за единицу времени?

Какую часть работы выполнят оба объекта вместе за единицу времени?

За сколько времени выполнят они всю работу, если будут работать совместно?

б) В городе есть водоем. Одна труба может заполнить его за 4 ч, вторая – за 8 ч, а третья – за 24 ч. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу три трубы?

При решении данной задачи ребятам нужно показать, что выполнять работу могут различное количество объектов, от этого схема решения не меняется. Слайд 10

1) 1 ׃ 4 = (водоема) – первая труба за 1 час

2) 1 ׃ 8 = (водоема) – вторая труба за 1 час

3) 1 ׃ 24 = (водоема) – третья труба за 1 час

4) =(водоема) – три трубы вместе за 1 час

5) 1 ׃

(часа) – наполнится водоем

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за ч.

Первичное закрепление.

Подведение итогов занятия

Что нового узнали на уроке?

Что вызывает трудности?

Домашнее задание:

п. 4.13, № 957, 958,

№ _______________________________________________________________

№_______________________________________________________________

Дополнительно

Два трактора вспахали поле за 6 часов. Первый трактор, работая один, вспахал бы поле за 15 часов. За сколько времени вспахал бы это поле второй трактор, работая один?

Рассматривая обратную задачу, добиться от учащихся составления схемы решения данного типа задач.

1 ׃ 6 = (поля) – оба трактора вместе за 1 час
1 ׃ 15 = (поля) – первый трактор за 1 час
(поля) – второй трактор за 1 час
1 ׃ (часов) – вспахал поле второй трактор, работая один

Ответ: за 10 часов вспахал поле второй трактор, работая один.

Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый:

— Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил за 3 года.

А другой молвил:

— Я бы поставил его в шесть лет.

Оба решили сообща ставить двор. Сколько долго они ставили двор?»

Решение

Какую часть работы сделает первый плотник за год?

1 ׃ 3 = (двора)

Какую часть работы сделает второй плотник за год?

1 ׃ 6 = (двора)

Какую часть работы сделают оба плотника вместе за год?

(двора)

За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

1 ׃ = 2 (года)

Ответ: Два плотника поставят двор, работая вместе за 2 года.

Кот Матроскин и Шарик решили заготовить дрова на зиму. Если Матроскин будет колоть дрова один, то ему потребуется 11 дней, а Шарику на эту же работу требуется 9 дней. Какова производительность каждого и общая производительность?

Мама 15 пар носков вяжет за 5 дней, а бабушка – за 3 дня. Сколько пар носков они вместе свяжут за 7 дней?

Итак, чем же эта задача отличается от предыдущих? (задан объём работы – 15 пар). Однако, все наши формулы по-прежнему работают, и мы смело можем решать задачу по известной схеме.

Решение:

(пары) – производительность мамы
(пар) – производительность бабушки
(пар) – совместная производительность
(пар)

Ответ: 56 пар носков

Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Решение:

Примем объём бассейна за 1.

1) (часть) – производительность первой трубы

2) (часть) – производительность второй трубы

Обратите внимание на поиск совместной производительности!

3) часть) – совместная производительность труб

4) =56 (часов) – время наполнения бассейна

Ответ: за 56 часов

Коля может вскопать грядку за 45 минут, а папа – за 36 минут. Известно, что если они работают вместе, то производительность их труда повышается на . За сколько минут совместной работы они вскопают грядку?

Решение

Примем всю работу за 1 .

Тогда Коля за 1 мин. выполнит часть,

и папа за 1 мин. выполнит часть работы.

За 1 мин., работая вместе, они выполнят часть работы.

Вычисляем

— на столько повысилась производительность труда, и составила

(минут) .

Значит, папа и Коля вскопают грядку за 18 минут.

Ответ 18 минут

7.Две бригады штукатуров отделывали дом. Первая бригада, работая одна, может выполнить всю работу за 6 дней, а вторая за 12 дней. Первая бригада работала 3 дня, а затем вторая закончила работу. За сколько дней бригады закончили отделку дома?
Пригласить ученика к доске и записать решение задачи.
1) 1:6 = 1/6(ч) — такую часть работы выполняет первая бригада за 1 день.
2) 1:12 = 1/12(ч) — такую часть работы выполняет вторая бригада за 1 день.
3) 1/6*3 = 3/6 = 1/2(ч) — такую часть работы выполняет первая бригада за 3 дня.
4) 1 – 1/2 =1/2 (ч) — такую часть работы осталось выполнить второй бригаде.
5) 1/2 : 1/12 = 6( дней) — столько будет работать вторая бригада.
6) 3 + 6 = 9 ( дней)
Ответ: 9 дней.

Задачи на совместную работу

Школа: КГУ СОШ №83 им. Г. Мустафина

Дата: «18»январь 2018г.

ФИО учителя: Дю Р. Е.

Класс: 5 «А» класс.

Количество присутствующих: 22

отсутствующих:2

Тема урока:

Задачи на совместную работу

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу):

5.5.1.3

решать текстовые задачи (например, задачи на совместную работу, и так далее) с помощью арифметических действий над обыкновенными дробями

Цели урока:

совершенствовать умения и навыки решения задач на совместную работу методом арифметического действия;

Критерии успеха

умение устанавливать различия между задачей и математическим рассказом;

составлять числовые выражения на увеличение/уменьшение чисел.

Привитие

ценностей

Ценности, основанные на национальной идее «Мәңгілік ел»: казахстанский патриотизм и гражданская ответственность; уважение; сотрудничество; труд и творчество; открытость; образование в течение всей жизни.

Межпредметные

связи

Взаимосвязь с предметами: обучение грамоте на родном языке, самопознание, познание мира, естествознание, музыка.

Навыки

использования

ИКТ

Раздаточный материал.

Предварительные

знания

Учащиеся могут: умножении и деление, сложение и вычитание дробей.

Ход урока

Этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

Как складывают дроби? Приведите пример.
Как вычитают дроби? Приведите пример.
Как умножить две дроби? Приведите пример.
Как умножить дробь на натуральное число? Приведите пример.
Как разделить одну дробь на другую? Приведите пример.
Как разделить дробь на натуральное число? Приведите пример.

Устная работа

Карточка

Критерии успеха

вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок; высказывать своё предположение..

Середина урока

. Задача 1. “Решил барин двор ставить, и пригласил к себе двух плотников. И говорит первый:

— Только бы мне одному двор ставить, то я бы управился в 6 лет.

А другой молвил:

— А я бы поставил его в 3 года.

Спорили, кому двор ставить, и решили, чтоб не обидно было ставить двор сообща.

Сколь долго они ставили двор?”

Решение: примем всю работу за 1. Тогда

– производительность первого плотника
– производительность второго плотника
– совместная производительность
– время совместной работы

Ответ: 2 года

Задачи по готовым рисункам (устная работа)

1. Отец с сыном красят забор. Если бы забор красил только отец, то ему потребовалось бы 7 часов. А сыну на эту работу требуется 10 часов. Какова производительность каждого и общая производительность?

Мы с вами уже решили старинную задачу и этим немного прикоснулись к истории. Давайте вспомним, какая важнейшая историческая дата ждёт нас в мае? (день Победы). И в память о тех, кто подарил нам мирное небо над головой, решим с вами еще одну задачу.

2. Снайпер Алексей может вырыть окоп за 25 минут, а Анатолий – за 20 минут. Найти их производительность труда и совместную производительность.

3. Кот Матроскин и Шарик решили заготовить дрова на зиму. Если Матроскин будет колоть дрова один, то ему потребуется 11 дней, а Шарику на эту же работу требуется 9 дней. Какова производительность каждого и общая производительность?

4.Теперь давайте попробуем, глядя на чертеж, самостоятельно составить условие задачи и решить её.

(Ученик выполняет работу за 7 дней, а мастер за 4 дня. Найти производительность ученика, мастера и совместную производительность).

https://cloud.mail.ru/public/JmDC/cJxREq2JK

Карточка

Критерии успеха

выработка на личностно-значимом уровне внутренней готовности выполнения нормативных требований учебной деятельности

Конец урока

Устно ответим на вопросы.
1.Маляр покрасит комнату за 3 часа. Какая часть комнаты будет окрашена за 1час?
2.Тракторист вспашет всё поле за 5 часов. Какая часть поля будет вспахана за 1 час?
3.Бассейн наполняется за 7 часов. Какая часть бассейна будет заполнена за 1 час?
4.В каждый час бассейн наполняется на одну шестую часть. За сколько часов наполнится весь бассейн?
5.За каждый час экскаватор выкапывает одну седьмую часть туннеля. За сколько часов экскаватор выкопает весь туннель?
6.За каждый день ремонтируют две пятых части дороги. За сколько дней отремонтируют всю дорогу?
Письменно решим задачи по карточке
1.Первый мастер изготавливает юрту за 20 дней, второй – за 12 дней, а третий – за 15 дней. За сколько дней три мастера изготовят юрту при совместной работе?(Ответ: 5 дней)
2.Бассейн заполняется через две трубы за 6 часов. Если вода поступает в бассейн только из первой трубы, то он наполнится за 10 часов. За какое время наполнится бассейн, если вода поступает только из второй трубы?(Ответ: 15 часов)

Решение задач

Задача 2. Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Решение:

Примем объём бассейна за 1.

1) (часть) – производительность первой трубы

2) (часть) – производительность второй трубы

Обратите внимание на поиск совместной производительности!

3) часть) – совместная производительность труб

4) =56 (часов) – время наполнения бассейна

Ответ: за 56 часов

Домашняя работа по карточкам – приложения 1

Карточка

Критерии успеха

Дифференциация

Каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание

Как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Используйте данный раздел для записи методов, которые Вы будете использовать для оценивания того, чему учащиеся научились во время урока.

Здоровье и соблюдение техники безопасности

Здоровьесберегающиетехнологии.

Используемые физминутки и активные виды деятельности.

Дополнительные задания

К концу урока учащиеся научатся:

Проведите работу по самооцениванию учащихся спомощью Лестницы успеха в рабочей тетради.

№1

Пять домовых

Пять веселых домовых праздничною ночью

(вытянув руку с раскрытыми пальцами вперед, поворачивают кисть вправо и влево)

Разгулялись чересчур, расшалились очень.

(Энергичные движения руками в стороны – вверх,в стороны – вниз.)

Встав на цыпочки, один закружился в вальсе

(кружатся на месте),

А второй споткнулся и – нос себе расквасил.

Методическая разработка по математике (5 класс) на тему: Самостоятельная работа по теме: «Задачи на совместную работу»

М – 5 В – 1 Задачи на совместную работу	М – 5 В – 2 Задачи на совместную работу
Первая бригада может выполнить задание за 21 ч, а вторая – за 28 ч. Какую часть задания выполнят бригады за 1 час совместной работы? Через первую трубу бак наполняется за 45 мин, а через вторую – за 36 мин. За сколько минут наполнится бак через обе эти трубы? Первая бригада может выполнить задание за 14 ч. За сколько часов вторая бригада может выполнить то же задание, если две бригады при совместной работе выполняют его за 10 часов?	Через первую трубу бассейн наполняется за 60 мин., а через вторую – за 40 мин. Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 минуту? Первая бригада может выполнить задание за 16 часов, а вторая – за 48 часов. За сколько часов выполнят задание обе бригады при совместной работе? Через первую трубу бак наполняется за 15 мин. За сколько минут наполнится бак через вторую трубу, если две трубы вместе наполняют его за 10 мин?
М – 5 В – 4 Задачи на совместную работу	М – 5 В – 3 Задачи на совместную работу
Первая бригада может выполнить задание за 20 дней, а вторая – за 25 дней. Какую часть задания выполнят бригады за 1 день совместной работы ? Через первую трубу бассейн наполняется за 27 мин., а через вторую – за 54 мин. За сколько минут наполнится бассейн через обе трубы? Через первую трубу бак наполняется за 25 мин., а через вторую – за 40 мин. Наполнится ли бак за 15 минут, если открыть обе эти трубы?	Через первую трубу бак наполняется за 30 мин., а через вторую – за 40 мин. Какую часть бака наполнят обе трубы за 1 минуту? Первая бригада может выполнить задание за 30 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней выполнят задание обе бригады при совместной работе? Первая бригада может выполнить задание за 30 дней, вторая – за 50 дней. Успеют ли они при совместной работе выполнить задание за 19 дней?
М – 5 В – 1 Задачи на совместную работу	М – 5 В – 2 Задачи на совместную работу
Первая бригада может выполнить задание за 21 ч, а вторая – за 28 ч. Какую часть задания выполнят бригады за 1 час совместной работы? Через первую трубу бак наполняется за 45 мин, а через вторую – за 36 мин. За сколько минут наполнится бак через обе эти трубы? Первая бригада может выполнить задание за 14 ч. За сколько часов вторая бригада может выполнить то же задание, если две бригады при совместной работе выполняют его за 10 часов?	Через первую трубу бассейн наполняется за 60 мин., а через вторую – за 40 мин. Какую часть бассейна наполнят обе трубы за 1 минуту? Первая бригада может выполнить задание за 16 часов, а вторая – за 48 часов. За сколько часов выполнят задание обе бригады при совместной работе? Через первую трубу бак наполняется за 15 мин. За сколько минут наполнится бак через вторую трубу, если две трубы вместе наполняют его за 10 мин?
М – 5 В – 4 Задачи на совместную работу	М – 5 В – 3 Задачи на совместную работу
Первая бригада может выполнить задание за 20 дней, а вторая – за 25 дней. Какую часть задания выполнят бригады за 1 день совместной работы ? Через первую трубу бассейн наполняется за 27 мин., а через вторую – за 54 мин. За сколько минут наполнится бассейн через обе трубы? Через первую трубу бак наполняется за 25 мин., а через вторую – за 40 мин. Наполнится ли бак за 15 минут, если открыть обе эти трубы?	Через первую трубу бак наполняется за 30 мин., а через вторую – за 40 мин. Какую часть бака наполнят обе трубы за 1 минуту? Первая бригада может выполнить задание за 30 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней выполнят задание обе бригады при совместной работе? Первая бригада может выполнить задание за 30 дней, вторая – за 50 дней. Успеют ли они при совместной работе выполнить задание за 19 дней?

Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (10 класс) на тему: Текстовые задачи на совместную работу.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ.

1.На изготовление 540 деталей первый рабочий затрачивает на 12 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Решение:

Пусть х деталей в час изготавливает первый рабочий;

(Х-12) деталей – изготавливает в час второй рабочий;

540/х час – время, затраченное первым рабочим;

600/(х-10) час – время, затраченное вторым рабочим;

Т.к. первым рабочим затрачено на 12 часов меньше, то

600/(х-10) – 540/х = 12.

Ответ: 30 деталей.

2. Два каменщика, работая вместе, могут выполнить задание за 12 часов. Производительности труда первого и второго каменщиков относятся как 1:3. Каменщики договорились работать поочередно. Сколько времени должен проработать первый каменщик, чтобы это задание было выполнено за 20 часов ?

Решение:

Примем всю работу за 1.

Пусть х — производительность первого каменщика;

3х – производительность второго каменщика;

Х + 3х = 4х – общая производительность;

12(х + 3х)= 1

48х = 1

Х = 1/48

1/48 — производительность первого каменщика;

3/48 – производительность второго каменщика;

у час – время работы первого каменщика;

(20 – у) час – время работы второго каменщика;

Т.к. вся работа 1, то

1/48 у + 1/16(20 – у) = 1

у = 6.

Ответ: 6.

3.Бак заполняется керосином за 3 часа 20 минут с помощью трех насосов работающих вместе.

Производительности насосов относятся как 2 : 5 : 8. Сколько процентов объема бака будет заполнено за 2 часа 24 минуты совместной работы второго и третьего насосов?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х – одна часть.

2х – производительность первого насоса;

5х – производительность второго насоса;

8х – производительность третьего насоса;

15х – общая производительность.

15х 10/3 = 50 х – вся работа

х =0, 02

0,02 – одна часть;

0,04 — производительность первого насоса;

0,1 – производительность второго насоса;

0,16 – производительность третьего насоса;

0,04 + 0,1 + 0,16 =0,3 – общая производительность;

0,1 + 0,16 = 0,26 – совместная производительность второго и третьего насосов за 2,4 часа;

0,26 . 2,4 = 62,4

62,4 процентов объема бака будет заполнено.

Ответ: 62,4.

4.Заказ на изготовление партии стульев распределили между тремя бригадами. Первая бригада выполнила 50 процентов полученного ею задания. Вторая бригада выполнила 2/3 своего задания. Третья бригада, которой поручили выполнить ¼ всего заказа, выполнила свою работу полностью. Сколько процентов заказа выполнено, если осталось выполнить 2/3 задания, полученного второй бригадой?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х – часть задания, которое получила первая бригада;

у – часть задания, которое получила вторая бригада;

0,25 – часть задания, которое получила третья бригада;

х + у + 0,25 = 1.

Выполнено:

0,5 х – выполнила первая бригада;

2/3у – выполнила вторая бригада;

0,25 – выполнила третья бригада;

0,5 х + 2/3 у + 0,25 — выполнили три бригады вместе;

0,5 х + 2/3 у + 0,25 + 2/3 у = 1,

Х + у + 0,25 = 1,

0,5 х + 4/3 у = ¾,

Х = ¾ — у.

Решая систему уравнений, получим

х = 0,3; у = 0,45,

подставим в уравнение эти значения, имеем:

осталось выполнить 30 процентов.

Выполнили 70 процентов.

Ответ: 70 .

5. Три машинистки распределили между собой срочную работу. Первая выполнила 2/3 порученного ей задания. Вторая, которой поручили 1/6 часть задания, выполнила его полностью. Третья выполнила 75 процентов порученного ей задания. Сколько процентов осталось выполнить, если было сделано 1,5 задания, полученного первой машинисткой?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х – часть работы, полученная первой машинисткой,

1/6 – часть работы, полученная второй машинисткой;

у – часть работы, полученная третьей машинисткой;

2/3 х – часть работы, выполненная первой машинисткой;

1/6 – работа, выполненная второй машинисткой;

0,75 у – часть работы, выполненная третьей машинисткой.

Т.к. было сделано 1,5 задания, полученного первой машинисткой, то

2/3 х + 1/6 + 0,75 у = 1,5 х,

х + у + 1/6 = 1.

Решив систему полученных уравнений, получим 25 процентов.

Ответ: 25.

6. Два слесаря выполняли работу по замене труб в доме, работая вместе три дня, а затем первый из них заболел, и второму пришлось отработать еще 17 дней для завершения работы. За сколько дней первый слесарь смог бы заменить трубы в доме, работая один, если для выполнения этой работы второму слесарю потребовалось бы на шесть дней больше, чем первому?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х – количество дней, за которые первый слесарь сможет заменить трубы, работая один.

(х + 6) дней – потребуется второму слесарю для выполнения этой работы.

1/х – производительность первого слесаря;

1/(х + 6) – производительность второго слесаря;

т.к. по условию задачи время работы первого слесаря 3 дня, а второго — 20 дней, то

3/х + 20/(х + 6) = 1.

Ответ: 18.

7.Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 20 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за три дня выполняет такую же работу, какую второй рабочий выполняет за четыре дня?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х – время выполнения всей работы первым рабочим;

у – время выполнения всей работы вторым рабочим;

1/х – производительность первого рабочего;

1/у – производительность второго рабочего;

Т.к. при совместной работе выполнена вся работа за 20 дней, то

20/х + 20/у = 1.

По второму условию задачи:

3/х — объем работы, выполненный первым рабочим за 3 дня;

4/у – объем работы, выполненный вторым рабочим за 4 дня;

3/х = 4/у.

Решая систему уравнений, получим, что х = 35.

Ответ: 35.

8. Мастер и ученик, работая вместе, могут закончить работу за 14 часов. Если сначала будет работать один мастер, а потом его сменит ученик, то вся работа будет выполнена за 28 часов, причем мастер выполнит на 250 процентов больше, чем ученик. За сколько часов сможет выполнить всю работу один мастер?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х час – время, за которое

Сможет выполнить всю работу один мастер;

у час – время, за которое сможет выполнить всю работу ученик;

1/х – производительность мастера;

1/у – производительность ученика;

Т.к. по условию задачи , работая вместе они выполнили всю работу за 14 часов, то

14/х + 14/у = 1.

Второе условие в задаче: ученик выполнил 100 процентов задания, мастер выполнил 350 процентов задания. Вместе они выполнили 450 процентов задания, что составляет весь объем работы.

Составим пропорцию для ученика:

1 – 450

? — 100

Т.е. ученик выполнил 2/9 части всей работы, мастер – 7/9 всей работы,

Время, за которое ученик выполнит свою часть работы ученик, составляет 2у/9 , а мастер выполнит 7/9 части работы за 7х/9.

Второе уравнение задачи :

7х/9 + 2у/9 = 28.

Решая систему уравнений, получим х = 18.

Ответ: 18.

9. После того, как из котлована выкачали 3/8 находившейся в нем воды, насос заменили на более мощный, и вся работа двух насосов по осушению котлована заняла 15 часов. Если бы оба насоса работали одновременно, котлован осушили бы за 5 часов. За какое время можно выкачать воду из котлована одним, более мощным насосом?

Решение:

Примем всю работу за единицу.

Пусть х час – время, за которое можно выкачать из котлована всю воду одним более мощным насосом,

у час – время, за которое выкачает воду другой насос.

1/х – производительность более мощного насоса,

1/у – производительность второго насоса,

5х/8 + 3у/8 = 15.

Исходя из второго условия задачи, получим:

5/х + 5/у = 1.

Решая систему уравнений, получим х = 6.

Ответ: 6.

10. Два каменщика работали вместе 12 дней на кладке стен дома, а затем один первый каменщик заканчивал работу еще 9 дней. За сколько дней сможет выполнить эту работу первый каменщик, работая один, если второму потребуется для этого на 13 дней меньше?

Решение:

Пусть х час – потребуется первому каменщику для выполнения всей работы,

у час – потребуется второму каменщику для выполнения всей работы,

1/х — производительность первого каменщика,

1/у – производительность второго каменщика,

12(1/х + 1/у) + 9/х = 1.

х – у = 13.

Решая систему уравнений, получим, что х = 13.

Ответ: 13.

11. Двое рабочих строили дом 8 дней, а затем один первый рабочий заканчивал строительство еще 4 дня. За сколько дней смог бы выполнить эту работу первый рабочий, работая один, если известно, что второму рабочему пришлось бы работать на шесть дней больше?

Решение:

8 ( 1/х + 1/у) + 4/х = 1,

х – у = 6.

Ответ: 14.

12. За шестичасовую смену рабочий сделал на 64 детали больше, чем его ученик, так как тратил на изготовление одной детали на 2 минуты меньше. Сколько деталей сделал ученик за смену?

Решение:

Пусть х минут — потребуется рабочему для изготовления одной детали,

(х + 2) минут – потребуется ученику для изготовления одной детали,

6 час = 360 минут – время работы рабочего и ученика,

360/х – количество деталей, изготовленных рабочим за шестичасовую смену,

360/ (х + 2) – количество деталей, изготовленных учеником за шестичасовую смену,

360/х – 360/(х + 2) = 64,

Ответ: 2,5.

Задачи на совместную работу

Задача А

Работу по ремонту кабинета школы выполняли две бригады. Первая бригада отремонтирует кабинет за 15 дней, а вместе со второй бригадой за 12 дней, за какое время с этой задачей справится вторая бригада?

Задача B

Аня забыла в школе сменную обувь и решила вернуться из дома и забрать её, а Таня соседка и одноклассница Ани осталась на кружок «Логики» заметила обувь подруги и решила забрать её. Аня проходит дорогу от школы до дома за 15 минут, а Таня за 10 минут. Через сколько минут девочки встретятся, если выйдут одновременно?

Задача С

Первая труба наполняет бак за 2 часа, а вторая за 4 часа. Какую часть бака наполнят обе трубы за час при совместной работе

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Задача А

Задача B

Задача С

Текстовые задачи на совместную работу

5 класс 23.04.2010

ТЕМА: Текстовые задачи на совместную работу

ЦЕЛЬ: продолжить формирование навыков решения задач на совместную работу; закрепить понятия продуктивность, работа, время выполнения работы ; организовать деятельность, направленную на нахождение продуктивности, работы, времени по заданному условию; создать условия для развития навыков решения текстовых задач; содействовать развитию внимания, памяти, логического мышления и творческих способностей учащихся; содействовать воспитанию трудолюбия, ответственности, аккуратности при оформлении решений.

ТИП УРОКА: изучение нового материала с первичным закреплением.

ФОРМА УРОКА: практикум.

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП: записать на доске тему урока, ключевые слова продуктивность, работа, время выполнения работы, номера заданий для работы в классе и домашнего задания, подготовить раздаточный материал, подготовить презентацию.

ХОД УРОКА

Оргмомент
Проверка домашнего задания: сверка решения

№ 9.100

Решение: 1) 2)

3) 4)

№ 9.108

Решение: 1) — масса всего набора

2) – масса набора без шоколадных конфет

3) — масса орехов в наборе

Ответ: кг орехов

№ 9.111

Решение: — время подготовки домашнего задания

Ответ:

Актуализация опорных знаний

– среди всяких задач, которые приходиться решать, нередко бывают задачи на совместную работу. В них выпускается продукция, совместно выполняется работа, наполняется водой бассейн и т.д. Неважно, что в данной задаче производится, какая работа выполняется и за какое время, ведь план решения задачи от этого не зависит.

Определение совместной цели деятельности. Сообщение цели урока

— сегодня мы с вами решаем задачи на совместную работу и будем использовать для этого таблицы. Так мы сможем видеть все условие задачи. Давайте вспомним, какие понятия используются в таких задачах?

5. Поиск недостающего способа действий.

Учащимся предлагается рассмотреть и записать решение предложенных задач (в начале урока раздаются карточки с таблицами)

Задача 1. Маша и Даша закрашивали прямоугольник. Маша закрашивала 1/3 прямоугольника в течение одной секунды, Даша – 1/6 часть прямоугольника за одну секунду. Какую часть прямоугольника девочки вместе закрасят за 1с, за какое время Маша закрасит прямоугольник, Даша закрасит прямоугольник, девочки вместе закрасят прямоугольник?

Решение: МАША: 1/3 +1/3 +1/3 =3/3=1 ДАША: 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=6/6=1-закрашен

– закрашен весь прямоугольник или весь прямоугольник или выполнена вся работа.

выполнена вся работа. 1с+1с+1с+1с+1с+1с=6с — время

1с+1с+1с=3с – время

ВМЕСТЕ: 1/3+1/6=1/2- закрасят девочки вместе за 1с.

1/3+1/6+1/3+1/6=1 – выполнена вся работа.1с+1с=2с-

время.

Как только добились понимания связи между величинами, учимся оформлять решение таких задач с помощью таблицы, которую будем использовать и в старших классах как вспомогательную.

Таблица – условие:

1:1/3=3 (С)-время выполнения работы Машей;
1:1/6=6 (с) – время выполнения работы Дашей;
1/3+1/6=1/2 – совместная скорость закрашивания или продуктивность;
1:1/2=2 (с) –время выполнения работы девочками.

ОТВЕТ:3с,6с,2с

Задача 2.Мама может прополоть огород за 6 дней, папа за 7, а их дочь –за 14 дней. После того, как мама с папой вместе работали 2 дня, к ним присоединилась дочь. За какое время будет окончена работа?

Таблица – условие:

Таблица – условие – решение (решение сводиться к заполнению пустых клеток в таблице).

1:6=1/6 – продуктивность мамы;
1:7=1/7 — продуктивность папы;
1:14=1/14 – продуктивность дочери;
1/6+1/7=13/42 –продуктивность мамы и папы вместе;
2∙13/42=13/21 – часть работы, которую сделали родители за 2 дня;
1-13/21=8/21 –часть работы, которую осталось сделать всем вместе;
1/6+1/7+1/14=8/21 – совместная продуктивность семьи;
8/21:8/21=1 – за такое время будет окончена работа.

Ответ: 1день.

Задача 3.Одна труба заполняет бассейн за 5/2 часа, а вторая – за 15/4 часа. За какое время обе трубы заполнят бассейн?

Решение: составим вспомогательную таблицу.

1:5/2=2/5 –продуктивность первой трубы;
1:15/4=4/15 – продуктивность второй трубы;
2/5+4/15 = 10/15=2/3 – совместная продуктивность;
1:2/3=3/2часа=1час 30 минут – время.

Ответ: 1 час 30 минут.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

Задача 4.Продуктивность экскаватора 120 м³/ч. Он может выкопать нужный котлован за 25 часов. Если бы вместе с ним работал второй экскаватор , то они выполнили бы работу за 8 часов. Найдите продуктивность второго экскаватора.

Таблица-условие:

³) – работа;

3000:8=375 (м³/ч)- совместная продуктивность;

375-120=225 (м³/ч)-продуктивность второго экскаватора.

Ответ: 225 м³/ч

6. Практическое применение знаний

Решение задач № 9.112, № 9.115(самостоятельно, самопроверка)

№9.112 таблица – условие:

Решение:

1. 1:3=1/3 – часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 час ( продуктивность)

2. 1: 15/4=4/15 — часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 час ( продуктивность)

3. 1/3+4/15=3/5 – совместная продуктивность

4. 1∙3/5=3/5 – часть работы, выполненная вместе за 1 час

5. 1:3/5=5/3 часа затратят рабочие на выполнение работы вместе

Ответ: 1)1/3;4/15; 2) 3/5; 3)5/3 ч.

№9.115 таблица – условие:

Решение:

1) 1:16=1/16 – продуктивность первого насоса

2) 1:15=1/15 – продуктивность второго насоса

3) 1:18=1/18 – продуктивность третьего насоса

4) 1/16+1/15+1/18=133/720- совместная продуктивность

5) 1∙133 /720= 133/720 –работа за 1 минуту

Ответ: 133/720 выполнена работа

7. Подведение итогов. Рефлексия

8. Домашнее задание

П.9.7, № 9.113, № 9.114, №9.126,

№ 9.130 (необязательное домашнее задание)

Задача 1. Маша и Даша закрашивали прямоугольник. Маша закрашивала 1/3 прямоугольника в течение одной секунды, Даша – 1/6 часть прямоугольника за одну секунду. Какую часть прямоугольника девочки вместе закрасят за 1с, за какое время Маша закрасит прямоугольник, Даша закрасит прямоугольник, девочки вместе закрасят прямоугольник?

Задача 2.Мама может прополоть огород за 6 дней, папа за 7, а их дочь –за 14 дней. После того, как мама с папой вместе работали 2 дня, к ним присоединилась дочь. За какое время будет окончена работа?

Задача 3.Одна труба заполняет бассейн за 5/2 часа, а вторая – за 15/4 часа. За какое время обе трубы заполнят бассейн?

Задача 4.Продуктивность экскаватора 120 м³/ч. Он может выкопать нужный котлован за 25 часов. Если бы вместе с ним работал второй экскаватор , то они выполнили бы работу за 8 часов. Найдите продуктивность второго экскаватора.

Задача 2. Мама может прополоть огород за 6 дней, папа за 7, а их дочь –за 14 дней. После того, как мама с папой вместе работали 2 дня, к ним присоединилась дочь. За какое время будет окончена работа?

Задача 3. Одна труба заполняет бассейн за 5/2 часа, а вторая – за 15/4 часа. За какое время обе трубы заполнят бассейн?