Задачи на прямую и обратную пропорциональность

Задачи на прямую и обратную пропорциональность

255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песка надо взять на:

1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?

258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

1) 10 маляров? 2) 1 маляр?

260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

261.1) 3 петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

2) Трое пошли — 3 гвоздя нашли. Четверо пойдут — много ли найдут?

3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями

наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится пустой сосуд, если в него посадить 2 бактерии?

264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?

265. Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса.

266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

267.1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько

дней выполнит такое же задание бригада из 5 человек?

268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.

2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью 50 км/ч?

269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, делает 50 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик — 4 детали.

1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.

1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?

2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?

272. Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; за сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

273.* а) 6 маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу

за 3 дня?

б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?

274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?

275. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников

и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того

спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней? И плотник, недоумевая, спрашивает

тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

276.* Старинная задача. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели

людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.

277. 1) Старинная задача. Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая — из 30 человек — в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая — из 4 человек — за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

Задачи на прямую и обратную пропорциональность для трех и более величин

278.* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

279.* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

280.* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.

а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

281.* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

б) 10 насосов за 10 мин выкачивают Ют воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?

282.* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 3360 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

283.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто имел 100 р. в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?

284.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

285.* Старинная задача. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

286.* У хозяйки спросили:

— Хорошо ли несутся Ваши куры?

— Считайте сами, — был ответ, — полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.

Сколько яиц несут куры в день?

287.* а) В первой бригаде землекопов 4 человека — они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек — они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?

б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?

288.* Старинные задачи,

а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?

289.* Из «Арифметики» А.П. Киселева, а) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

290.* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины,

20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

3

multiurok.ru

Научно-исследовательская работа «Решение задач из Арифметики Магницкого»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 2 города Кузнецка

__________________________________________________________________

Решение задачи из Арифметики Магницкого

Научно-исследовательская работа

Подготовила ученица 6 класса

Усанова Я.

Руководитель: Морозова О.В.—

учитель математики

Кузнецк, 2015

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….3

1. Биография Л.Ф. Магницкого………………………………………………….4

2. Арифметика Магницкого…………………………………………………….7

3. Решение задачи «Кадь пития» из Арифметики Магницкого. Задачи на «Тройное правило»…………………………………………………………….. 11

Заключение………………………………………………………………………15

Список литературы…………………………………………………………….16

Введение

Актуальность и выбор темы моей исследовательской работы определены следующими факторами:

-до появления книги Л. Ф. Магницкого «Арифметика» в России не было печатного учебника для преподавания математики;

-Л. Ф. Магницкий не только систематизировал имеющиеся знания по математике, но и составил множество таблиц, ввел новые обозначения.

Цель:

—Изучение истории математики и решений задач из книги Л.Ф. Магницкого.

Задачи:

-изучить биографию Л.Ф. Магницкого и его вклад в развитие математического образования в России;

-рассмотреть содержание его учебника;

-решить задачу «Кадь пития» разными способами;

Гипотеза:

-Если я изучу биографию Л.Ф. Магницкого и способы решения задач, я смогу рассказать учащимся нашей школы о роли математики в современном обществе. Это будет увлекательно и повысит интерес к изучению математики.

Методы исследования:

-изучение литературы, информации найденной в Интернете, анализ, установление связей между решениями по Л. Ф. Магницкому и современными способами решения математических задач.

1. Биография Л.Ф. Магницкого

19 июня 1669 года, с тех пор уже минуло 3 века, в городе Осташкове, на земле, где берёт начало великая русская река Волга, родился мальчик. Родился он в небольшом деревянном доме, расположенном у стен Знаменского монастыря, на берегу озера Селигер. Родился он в большой крестьянской семье Теляшиных, славившейся своей религиозностью. Родился он в то время, когда на Селигерской земле расцветал монастырь Нилова пустынь. При крещении ребёнку дали имя Леонтий, что в переводе с греческого означает «львиный».

Время шло. Мальчик рос и креп духом. Он помогал отцу, «работою своих рук кормившего себя» и свою семью, а в свободное время «был страстный охотник читать в церкви мудрёное и трудное». Обычные крестьянские детишки не имели возможности иметь книги, обучаться грамоте. А отрок Леонтий имел такую возможность. Его двоюродный дед, святитель Нектарий, был вторым настоятелем и строителем Нило-Столобенской пустыни, которая возникла на месте подвигов великого русского святого преподобного Нила. За два года до рождения Леонтия были обретены мощи этого святого, и на остров Столбный, где находится пустынь, много людей стало устремляться на богомолье. Семья Теляшиных тоже ходила в это чудодейственное место. И посещая монастырь, Леонтий подолгу задерживался в монастырской библиотеке. Он читал древние рукописные книги, не замечая времени, чтение поглощало его.

Озеро Селигер богато рыбой. Как только устанавливался санный путь, обозы с замороженной рыбой отправлялись в Москву, Тверь и другие города. С этим обозом отправили юношу Леонтия. Ему тогда было около шестнадцати лет.

В монастыре поразились необычными способностями обычного крестьянского сына: он умел читать и писать, чего простые крестьяне в большинстве своём не умели. Монахи решили, что этот юноша станет хорошим чтецом и оставили у себя «для чтения». Затем Теляшина направили в Московский Симонов монастырь. Юноша и там поразил всех своими незаурядными способностями. Настоятель монастыря решил, что такому самородку нужно обучаться дальше и отправил его учиться в Славяно-греко-латинскую академию. Особый интерес у молодого человека вызывали математические задания. А так как математика тогда в академии не преподавалась, и русских математических рукописей было ограниченное количество, он изучил данный предмет, по словам сына Ивана, «дивным и неудобовероятным способом». Для этого он изучил латинский, греческий язык в академии, немецкий, голландский, итальянский самостоятельно. Изучив языки, он перечитал множество иностранных рукописей и овладел математикой настолько, что его стали приглашать в богатые семейства преподавать этот предмет.

Посещая своих учеников, Леонтий Филиппович столкнулся с проблемой. По математике, или как тогда говорили арифметике, не было для детей и юношей ни одного пособия и ни одного учебника. Молодой человек начал сам составлять примеры и интересные задачки. Объяснял он свой предмет с таким жаром, что мог заинтересовать даже самого ленивого и не желающего учиться ученика, каких немало было в богатых семьях.

Слухи о талантливом учителе донеслись до Петра I. Российскому самодержцу нужны были русские образованные люди, потому что почти все грамотные люди были выходцами из других стран. Прибыльщик Петра I, Курбатов А.А., представил царю Теляшина. Императору очень понравился молодой человек. Он был поражён его познаниями в области математики. Пётр I дал же Леонтию Филипповичу новую фамилию. Помня выражение своего духовного наставника Симеона Полоцкого «Христос, как магнит, притягивает к себе души людей», царь Пётр назвал Теляшина Магницким – человеком, который как магнит притягивает к себе знания. Царь Пётр назначил Леонтия Филипповича «российскому благородному юношеству учителем математики» в только что открывшейся Московской Навигацкой школе.

Математико – навигацкую школу Пётр открыл, а учебников не было. Тогда царь, хорошо подумав, поручил Леонтию Филипповичу написать учебник по арифметике.

Магницкий, опираясь на свои задумки для детей, на придуманные для них примеры и задачи, за два года создал самый главный труд в своей жизни – учебник по арифметике. Он его назвал «Арифметика – сиречь наука числительная». Книгу эту выпустили огромным для того времени тиражом – 2400 экземпляров.

В Навигацкой школе Леонтий Филиппович отработал учителем 38 лет – больше чем полжизни. Был он скромным человеком, радел о науке, заботился о своих учениках.

Магницкий заботился о судьбе своих учеников, ценил их талант. Зимой 1830 года к Магницкому обратился с просьбой о принятии его в Навигацкую школу молодой человек. Поразило Леонтия Филипповича то, что этот молодой человек сам выучился читать по церковным книгам и сам одолел математику по учебнику «Арифметика – сиречь наука числительная». Поразило Магницкого и то, что этот молодой человек так же, как и он сам, пришёл с рыбным обозом в Москву. Звали этого юношу Михайло Ломоносов. Оценив, какой талант перед ним, Леонтий Филиппович не оставил молодого человека в Навигацкой школе, а направил Ломоносова учиться в Славяно-греко-латинскую академию.

Магницкий был поразительно талантливым: выдающийся математик, первый русский учитель, богослов, политик, государственный деятель, сподвижник Петра, поэт, автор поэмы «Страшный суд». Скончался Магницкий в 70 лет. Его похоронили в церкви Гребневской иконы Божией Матери у Никольских ворот. Прах Магницкого обрёл покой почти на два века рядом с останками князей и графов (из родов Щербатовых, Урусовых, Толстых, Волынских).

2. Арифметика Магницкого

В рассказах об инженерах Петровской эпохи часто повторяется один сюжет: получив задание от государя-императора Петра Алексеевича, они первым делом брали в руки «Арифметику» Л. Ф. Магницкого, а затем приступали к расчетам. Чтобы определить, что же находили в книге Магницкого выдающиеся русские изобретатели, заглянем в его труд. Более полувека этот фундаментальный труд Л. Ф. Магницкого не имел равных в России. Его изучали в школах, к нему обращались самые широкие круги людей, стремившихся к образованию или, как уже было отмечено, работавших над какой-либо технической проблемой. Известно, что М. В. Ломоносов называл «Арифметику» Магницкого наряду с «Грамматикой» Смотрицкого «вратами своей учености».

В самом начале, в предисловии, Магницкий разъяснил значение математики для практической деятельности. Он указал на ее важность для навигации, строительства, военного дела, т. е. подчеркнул ценность этой науки для государства. Кроме того, он отметил пользу математики для купцов, ремесленников, людей всех званий, т. е. общегражданское значение данной науки. Особенность «Арифметики» Магницкого заключалась в том, что автор был уверен, что русские люди имеют большую жажду знания, что многие из них самостоятельно изучают математику. Вот для них, занятых самообразованием, Магницкий каждое правило, каждый тип задач снабдил огромным числом решенных примеров. Более того, учитывая значение математики для практической деятельности, Магницкий включил в свой труд материал по естествознанию и технике. Тем самым значение «Арифметики» вышло за границы собственно математической литературы и приобрело общекультурное влияние, вырабатывая научное мировоззрение широкого круга читателей.

«Арифметика» состоит из двух книг. Первая включает в себя пять частей и посвящена непосредственно арифметике. В этой части излагаются правила нумерации, действия над целыми числами, способы проверки. Затем идут именованные числа, которым предпослан обширный раздел о древних еврейских, греческих, римских деньгах, содержатся сведения о мерах и весах в Голландии, Пруссии, о мерах, весах и деньгах Московского государства. Даны сравнительные таблицы мер, весов, денег. Этот раздел отличается большой точность, ясностью изложения, что свидетельствует о глубокой эрудиции Магницкого.

Вторая часть посвящена дробям, третья и четвертая — «задачам на правило», пятая — основным правилам алгебраических действий, прогрессии и корням. Здесь много примеров приложения алгебры к военному и морскому делу. Заканчивается пятая часть рассмотрением действий с десятичными дробями, что было новостью в математической литературе того времени.

Стоит сказать, что в первой книге «Арифметики» немало материала из старых русских рукописных книг математического характера, что свидетельствует о культурной преемственности и имеет воспитательное значение. Широко использована автором и иностранная математическая литература. В то же время труд Магницкого характеризуется большой оригинальностью. Во-первых, весь материал расположен с систематичностью, не имевшей места в других учебных книгах. Во-вторых, существенно обновлены задачи, многие из них не встречаются в иных математических пособиях. В «Арифметике» современная нумерация окончательно вытеснила алфавитную, а старый счет (на тьмы, легионы и др.) был заменен счетом на миллионы, биллионы и т. д. Здесь же впервые в русской научной литературе утверждается идея бесконечности натурального ряда чисел, причем сделано это в стихотворной форме. Вообще в первой части «Арифметики» силлабические стихи следуют за каждым правилом. Стихи сочинены самим Магницким, что подтверждает мысль о том, что талантливый человек всегда многогранен.

Вторую книгу «Арифметики» Л. Магницкий назвал «Арифметикой астрономской». В предисловии он указал на ее необходимость для России. Без нее, утверждал он, невозможно быть хорошим инженером, геодезистом или воином и мореплавателем. Данная книга «Арифметики» состоит из трех частей. В первой части дается дальнейшее изложение алгебры, включая решение квадратных уравнений. Автор подробно разобрал несколько задач, в которых встречались линейные, квадратные и биквадратные уравнения. Во второй части приводятся решения геометрических задач на измерение площадей. Среди них — вычисление площади параллелограмма, правильных многоугольников, сегмента круга. Кроме того, показан способ вычисления объемов круглых тел. Здесь же указаны диаметр, площадь поверхности и объем Земли. В данном разделе приведены некоторые геометрические теоремы. Далее рассмотрены математические формулы, которые дают возможность вычислять тригонометрические функции различных углов. В третьей части содержатся сведения, необходимые для навигаторов: таблицы магнитных склонений, таблицы широты точек восхода и захода Солнца и Луны, координаты важнейших портов, часы приливов и отливов в них и т. д. В этой части впервые встречается русская морская терминология, не потерявшая значение до настоящего времени. Надо отметить, что в своей «Арифметике» Магницкий проделал огромную работу по совершенствованию русской научной терминологии. Именно благодаря этому выдающемуся ученому в наш математический словарь вошли такие термины, как «множитель», «произведение», «делимое и частное», «квадратное число», «среднее пропорциональное число», «пропорция», «прогрессия» и т. д.

Таким образом, понятно, почему «Арифметика» Л. Магницкого изучалась много и прилежно более полувека, почему она стала основой для ряда курсов, которые создавались и издавались позже. Выдающиеся русские изобретатели обращались к произведению Магницкого не просто как к энциклопедии, справочнику, они среди решений сотен практических задач, данных в книге, находили те, что могли дать аналогию, натолкнуть на новую плодотворную мысль, ведь эти задачи имели практическое значение, демонстрировали возможности математики в поиске хорошего технического решения.

3. Решение задачи «Кадь пития» из Арифметики Магницкого. Задачи на «Тройное правило»

«Кадь пития»

Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь.

Данную задачу я нашла в электронном виде учебника «Арифметика» вместе с решением. Л.Ф. Магницкий решает ее арифметическим способом. Я же решила эту задачу 4-мя способами: два из них арифметическим, два алгебраическим.

Решение:

1-й способ.

1) 14∙5=70 (дн.)- уравняла время, за которое человек выпьет кадь пития с временем, за которое человек со женою выпьет туже кадь пития

2) 10∙7=70 (дн.)- уравняла время, за которое человек со женою выпьет кадь пития с временем, за которое человек выпьет туже кадь

3) 70:14=5 (к.)-выпьет человек за 70 дней

4) 70:10=7 (к.)-выпьет человек со женою за 70 дней

5) 7−5=2 (к.)-выпьет жена за 70 дней

6) 70:2=35 (дн.)-выпьет жена кадь пития

2-й способ

Основывается на том, что 1 кадь=839,71л ≈840л

1) 840:10=84 (л)-человек и жена выпьют за 1 день

2) 840:14=60 (л)-человек выпьет за 1день

3) 84−60=24 (л)-жена выпьет за 1 день

4) 840:24=35 (дн.)-жена выпивает за 1 день

3-й способ

1) 840:14=60 (л)-человек выпьет за 1д.

2) Пусть жена выпивает за 1 день х л., т. к. человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, составим уравнение:

(60+X)∙10=840

60+X=840:10

60+X=84

X=84−60

X=24 (л)-жена выпивает за 1день

3) 840:24=35 (дн.)-жена выпьет кадь пития

4-й способ

Пусть жена выпивает за 1 день x кади пития, т. к. за 1 день человек выпьет 1/14 кади пития, а со женою 1/10 кади пития, составим уравнение:

1) Х + 1/14 = 1/10

Х = 1/10 — 1/14

Х = (14 — 10) / 140 = 4/140 = 1/35 (кади пития)-жена выпивает за 1 день

2) 1/35∙35=35/35=1 (кадь пития)-выпивает 1 кадь пития за 35 дней

В 3-й четверти на уроках математики мы начали изучение темы прямой и обратной пропорциональной зависимостей. Эта задача непосредственно связана с данной темой. И анализируя, решение данной задачи и схожих с этой, представленных в книге Магницкого, я выяснила, что решал задачи такого типа он, с помощью очень интересного правила – « Тройное правило».

Это правило он называл строкой потому, что для механизации вычислений данные писались в строку.

Правильность решения зависит целиком от правильности записи данных задачи.

ПРАВИЛО: перемножить второе и третье число и произведение разделить на первое.

И на уроках математики мы решили проверить, а работает ли это правило на современных задачах, представленных в учебнике Н.Я. Виленкина. Сначала мы решали задачи, составляя пропорции, а затем проверяли работает ли «тройное правило». Моих одноклассников очень заинтересовало это правило, всем было удивительно, как спустя более 300 лет оно работает для современных задач. Некоторым ребятам, решение по тройному правилу казалось легче и интереснее.

Вот примеры этих задач.

№ 783. Стальной шарик объемом 6 кубических сантиметров имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 кубических сантиметров? (прямая пропорциональность)

Решение.

По Магницкому В наше время

6 – 46,8 – 2,5 (строка)

46,8 × 2,5 : 6 = 19,5 (г) х = = 19,5 (г)

Ответ: 19,5 грамм.

№ 784. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени? (прямая пропорциональность)

Решение.

По Магницкому В наше время

21 – 5,1 – 7 (строка)

5,1 × 7 : 21 = 1,7 (кг) х = = 1,7 (кг)

Ответ: 1,7 кг.

За 2 рубля можно купить 6 предметов. Сколько их можно купить на 4 рубля? (прямая пропорциональность)

Решение.

По Магницкому В наше время

2 – 6 – 4 (строка)

6 × 4 : 2 =12 (предметов) х = 12 (предметов)

Ответ: 12 предметов

№ 785. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку? (обратная пропорциональность)

Решение.

По Магницкому В наше время

7 – 5 – 210 (строка)

210 × 5 : 7 = 150 (мин) х = = 150 (мин)

Ответ: 150 мин.

№ 786. Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз? (обратная пропорциональность).

Решение.

По Магницкому В наше время

4,5 – 24 – 7,5 (строка)

24 × 7,5 : 4,5 = 40 (машин) х = = 40 (машин)

Ответ: 40 машин.

В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса? (обратная пропорциональность).

Решение.

По Магницкому В наше время

3 – 6 –8 (строка)

6 × 8 : 3 = 16 (косцов) х = = 16 (косцов)

Ответ: 16 косцов.

Заключение.

В процессе исследования я выяснила, что в учебнике Магницкого использованы традиции русских математических рукописей, но в нем значительно улучшена система изложения материала: вводятся определения, осуществляется плавный переход к новому, появляются новые разделы, задачи, приводятся дополнительные сведения.

Убедилась, что «Арифметика» Магницкого сыграла большую роль в распространении математических знаний в России. Недаром Ломоносов называл её «вратами учёности»;

Решила задачу из «Арифметики» Магницкого арифметическим и алгебраическим способами. Познакомилась с тройным правилом решения задач на прямую и обратную пропорциональность.

Поделилась своим опытом решения задачи со своими одноклассниками. Рассказала им о жизни и деятельности Л.Ф. Магницкого. И его великом труде учебнике «Арифметика». Смогла повысить интерес к математике.

Список литературы

1. Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: «Просвещение», 1981. .

2. Гнеденко Б.В. и др. Энциклопедический словарь юного математика.

-М.: «Педагогика», 1985

3. Магницкий Л.Ф. Арифметика – электронная версия.

3. Олехник С. Н. и др. Старинные занимательные задачи – 3-е изд. – М.: «Дрофа», 2006.

4. http://www.etudes.ru/ru/mov/magn/index.php

infourok.ru

Задачи на прямую и обратную пропорциональность | Шевкин.Ru

25.04.2017

Задачи 246–250 предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, они нацелены на подготовку к введению понятий прямой и обратной пропорциональности.

При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле

стоимость = цена · количество

и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз изменяется вторая величина при неизменной третьей. Аналогичная работа с задачами 249–250 проводится по формуле

путь = скорость · время.

246.^о За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше?                       б) в 2 раза меньше?

247.^о За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:

а) в 2 раза дороже?                        б) в 2 раза дешевле?

248.^о Имеются деньги на покупку 30 карандашей.

а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

249. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км.

а) Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) Какое расстояние проедет за то же время мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

250. Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 ч.

а) За сколько часов это расстояние пройдет пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

б) За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Наблюдения, полученные учащимися при решении задач 246–250, нужно использовать при формировании понятий прямой и обратной пропорциональностей.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая увеличивается во столько же раз.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз вторая уменьшается во столько же раз.

Далее, опираясь на опыт решения задач 246–250 и определения, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 251–254. Здесь следует постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а какие – нет. В случае затруднений нужно обращаться к конкретным числовым данным.

251.^о Какова зависимость между:

1) ценой одного карандаша и стоимостью нескольких карандашей при постоянном их количестве?

2) количеством карандашей и их стоимостью при постоянной их цене?

3) количеством карандашей и их ценой при постоянной их стоимости?

252.^о Какова зависимость между:

1) скоростью и расстоянием при постоянном времени движения?

2) временем и расстоянием при постоянной скорости?

3) временем движения и скоростью при постоянном пути?

253.^о Какова зависимость между:

1) Количеством тракторов и площадью, которую они вспашут за 1 день?

2) Числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет?

3) Количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

254.^о 1) Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью покупки?

2) Расстояние между городами можно проехать на велосипеде или на мотоцикле. Какова зависимость между временем и скоростью движения?

Работу над заданиями 251–254 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны равенством а = b · с, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны. Этот факт нужно рассмотреть применительно к формулам:

стоимость = цена · количество,

путь = скорость · время,

работа = производительность · время.

Перейдем к решению задач с помощью пропорций. Первая из них содержит целые значения первой величины, отношение которых тоже целое число.

255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

Разумеется, эту и многие следующие задачи учащиеся могут решить «по-старому» – подавлять такие решения не следует, но перед учащимися нужно ставить цель решить задачу новым способом, а предлагаемые решения по действиям использовать для сравнения способов решения. При этом нужно обязательно
отметить, что еще встретятся задачи, в которых «старый» способ не сработает.

Для нового способа решения потребуется краткая запись условия задачи:

В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянно скорости эти величины прямо пропорциональны. Здесь и далее уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение стрелкой вверх.

256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песку надо взять на:

1) 12 кг ягод?                     2) 3 кг ягод?

257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?

258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч? 

В краткой записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз. Разумеется, стрелки можно ставить в обратном направлении — от меньшего значения к большему. Однако удобнее направление стрелок связать с увеличением (вверх) и уменьшением (вниз) величины. Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина? Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее — дробным.

Цель задаваемого вопроса двоякая: помочь учащимся определить вид зависимости и подготовить их к усвоению нового приема решения тех же задач — без пропорций, необходимого для решения задач на сложное тройное правило.

259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

1) 10 маляров?                               2) 1 маляр?

Заметим, что эту задачу можно решить без пропорции, но для этого придется ввести не очень удобные «человеко-дни»:

1) 5·8 = 40 (человеко-дней) потребуется на всю работу;

2) 40:10 = 4 (дня).

Пропорции позволяют обойтись без человеко-дней.

В задаче 259, как и во многих других задачах, предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу. Это желательно каждый раз оговаривать, чтобы учащиеся внимательнее относились к такого рода условиям.

Чтобы у них не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой или обратной пропорциональностью, полезно рассмотреть провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер. Так если в задаче 260 пропорциональность числа пойманных карасей и времени рыбной ловли весьма проблематична, то в задаче 261 уж точно такой зависимости нет – это нужно подробно разобрать с учащимися.

260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

261. 1) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?

2) Трое пошли – три гвоздя нашли. Четверо пойдут – много ли найдут?

3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность, так как чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание детей на то, что увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть данный пример. В книге 10 + 90 = 100 страниц.

Если прочитано 10 стр., то осталось прочитать 90 стр.

    »           »         30     »                 »                  »         70    »

Рассмотрим еще две задачи, в которых зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорциональность. К первой из них в разделе «Ответы и советы» приведено решение, которое желательно разобрать с учащимися.

262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится сосуд, если в него сначала посадить 2 бактерии?

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых отношение двух известных значений одной величины было целым числом. В следующих задачах оно часто выражается дробью. Как и раньше, здесь следует постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) величина?» В случае затруднения нужно просить учащихся округлить данные и дать ответ сначала приближенно, а потом точно. Так для задачи 264 учащиеся могут сказать: «Количество сукна увеличилось примерно в ¹⁶/₈ = 2 раза, а точнее в ¹⁴/₈ раза». Такая примерная оценка изменения величины полезна не только для лучшего определения вида зависимости и получения верного ответа, но и для подготовки к решению задач на сложное тройное правило.

264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?

265. Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса?

266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?

2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

267. 1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько дней выполнит то же задание бригада из 5 человек?

Задачи 276 (1, 2) можно решить, вычислив расстояние между городами, и объем всей работы в «человеко-днях».

268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.

2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель на скорости 50 км/ч?

269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

Рассмотренных выше задач вполне достаточно, чтобы учащиеся научились различать прямую и обратную пропорциональность, составлять пропорции и решать их. Если эта цель будет достигнута раньше, то нет нужды решать все задачи полностью — решения части из них можно доводить до составления пропорций или отложить для повторения.

Если до пропорций десятичные дроби уже изучены, как это происходит в учебнике Н.Я. Виленкина и др., то самое время использовать задачи из учебника. Если же учащиеся хорошо освоили применение пропорций, то им можно показать способ решения тех же задач без пропорций, показанный выше. Применим его к задаче 264.

Количество сукна увеличилось в ¹²/₈ раза, значит, денег во второй раз было в ¹²/₈ раза больше, на них можно купить ситца в ¹²/₈ раза больше:

x = 63·¹²/₈ = 94,5.

270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали.

1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.

1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?

2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?

272. Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; во сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

273.* а) Шесть маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 3 дня?

б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?

274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?

275. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

276.* Старинная задача. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.

277. 1) Старинная задача. Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая – из 30 человек — в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая — из 4 человек — за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

www.shevkin.ru

Задачи на прямую и обратную пропорциональность

Задачи на прямую и обратную пропорциональность

255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песка надо взять на:

1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?

258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

1) 10 маляров? 2) 1 маляр?

260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

261.1) 3 петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

2) Трое пошли — 3 гвоздя нашли. Четверо пойдут — много ли найдут?

3) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

262.* Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями

наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

263.* Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту бактерии раздваиваются). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится пустой сосуд, если в него посадить 2 бактерии?

264. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?

265. Старинная задача. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса.

266. 1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

2) Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

267.1) Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

2) Бригада из 4 человек выполнила задание за 10 дней. За сколько

дней выполнит такое же задание бригада из 5 человек?

268. 1) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.

2) Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал тоннель за 1 мин. За сколько минут он проехал бы этот тоннель со скоростью 50 км/ч?

269. Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, делает 50 оборотов в минуту. Сколько оборотов в минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

270. За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик — 4 детали.

1) Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2) Сколько времени потратит ученик на задание, которое токарь выполняет за 1 ч?

271. За одно и то же время пешеход прошел 6 км, а велосипедист проехал 18 км.

1) Сколько километров проедет велосипедист за то же время, за которое пешеход пройдет 10 км?

2) Сколько времени потратит велосипедист на тот путь, который пешеход пройдет за 2 ч?

272. Из «Арифметики» А.П. Киселева. 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; за сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

273.* а) 6 маляров выполнят работу за 5 дней. Сколько еще маляров надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу

за 3 дня?

б) Двое рабочих могут выполнить задание за 10 дней. Сколько еще рабочих надо пригласить, чтобы все вместе они выполнили ту же работу за 4 дня?

274.* Старинная задача. Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?

275. Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников

и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того

спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней? И плотник, недоумевая, спрашивает

тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

276.* Старинная задача. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели

людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.

277. 1) Старинная задача. Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая — из 30 человек — в 45 дней. Какая артель работает лучше?

2) Одна бригада, состоящая из 3 человек, может вырыть колодец за 12 дней, а другая — из 4 человек — за 10 дней. Какая бригада работает лучше?

Задачи на прямую и обратную пропорциональность для трех и более величин

278.* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

279.* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

280.* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.

а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

281.* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

б) 10 насосов за 10 мин выкачивают Ют воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?

282.* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 3360 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

283.* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некто имел 100 р. в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?

284.* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

285.* Старинная задача. Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

286.* У хозяйки спросили:

— Хорошо ли несутся Ваши куры?

— Считайте сами, — был ответ, — полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.

Сколько яиц несут куры в день?

287.* а) В первой бригаде землекопов 4 человека — они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек — они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?

б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?

288.* Старинные задачи, а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?

289.* Из «Арифметики» А.П. Киселева, а) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

290.* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины,

20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

3

multiurok.ru

Презентация к исследовательской работе: «Арифметика Л.Ф. Магницкого»

Слайд 1

Научно — исследовательская работа «Арифметика Магницкого» Подготовила ученица 8 класса МБОУ « Берновская СОШ» Ключникова В. Руководитель: Земцова М.В.— учитель математики

Слайд 2

Актуальность : Л.Ф.Магницкий первый учитель математики в России, создатель и автор первого печатного учебника « Арифметика» Цель Изучение истории математики и решений задач из книги Л.Ф. Магницкого. Задачи Изучить биографию Л.Ф. Магницкого и его вклад в развитие математического образования в России; Рассмотреть содержание его учебника; Решить некоторые задачи; Сравнить старинные и современные способы решения задач.

Слайд 3

Гипотеза Если я изучу биографию Л.Ф. Магницкого и способы решения задач, я смогу рассказать учащимся нашей школы о роли математики в современном обществе . Это будет увлекательно и повысит интерес к изучению математики. Методы исследования Изучение литературы, информации найденной в Интернете, анализ, установление связей между решениями по Л. Ф. Магницкому и современными способами решения математических задач

Слайд 4

Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) Русский математик, педагог . В 1669 году родился в Осташковской патриаршей слободе (г. Осташков) Тверской губернии (Тверская область) . Сын крестьянина Филиппа Теляшина . С 1701 г. и до конца жизни преподавал математику в школе математических и навигационных наук .

Слайд 5

Арифметика Магницкого В 1703 году вышло первое русское печатное руководство под длинным заглавием «Арифметика, сиречь наук числительная, с разных диалектов на словенский язык переведённая и во едино собрана и на две книги разделена…Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого». В книге были сведения из механики, физики, гидравлики, метеорологии, навигации, корабельного дела и пр., то есть научный материал, который имел исключительное значение для всего русского народа, в том числе для поморов и М.В. Ломоносова.

Слайд 6

Задачи на тройное правило По этому правилу Л.Ф. Магницкий решал задачи на нахождение величин, находящихся в прямой или обратной пропорциональной зависимости друг от друга. Это правило он называл строкой потому, что для механизации вычислений данные писались в строку Правильность механического решения зависит целиком от правильности записи данных задачи ПРАВИЛО: перемножить второе и третье число и произведение разделить на первое

Слайд 7

Задача: за 2 рубля можно купить 6 предметов. Сколько их можно купить на 4 рубля? (прямая пропорциональность) По Магницкому Решение: 2 – 6 – 4 (СТРОКА) 6 × 4 : 2 =12 (предметов) Ответ: 12 предметов

Слайд 8

Задача: 20 рабочих могут выполнить работу в 30 дней. Сколько рабочих могут сделать ту же работу в 5 дней? ( обратная пропорциональность) По Магницкому В наше время Решение: 5 – 20 – 30 (строка) 30 × 20 = 600 600 : 5 = 120 (рабочих) Ответ: 120 рабочих Решение: (по действиям) 30 : 5 = 6 (раз) 20 × 6 =120 (рабочих) Второй способ (пропорцией) = 5х =600 Х =120 Ответ: 120 рабочих.

Слайд 9

Решение задач методом двух ложных положений (Фальшивое правило) В задачах возможны три варианта решения в соответствии с правилом двух ложных положений: результат двух вычислений оказывается больше данного числа, результат одного из вычислений больше, а другого – меньше данного, результат двух вычислений оказывается меньше данного числа. Если оба результата вычислений больше или меньше данного числа, нужно делить разность произведений на разность ошибок. Если же один из результатов окажется меньше данного числа, а другой больше , то искомое число можно найти, разделив сумму произведений на сумму разностей .

Слайд 10

Задача Магницкого Задача: спросил некто учителя: сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына. Учитель ответил: если придет еще столько же, сколько имею, и пол столько и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100. Алгебраический способ Пусть х учеников в классе. Составим уравнение: х + х + 0,5х +0,25х + 1 =100 Решим уравнение: 2,75х = 99 Х = 99 : 2,75 = 36 Ответ: 36 учеников

Слайд 11

По Магницкому Первое положение 24 + 24 +12 + 6 + 1 =67 100 – 67 = 33 ошибка Второе положение 32 + 32 + 16 + 8 + 1 = 89 100 – 89 = 11 ошибка 24 —————-33 вычти 33-11=22 32 —————11 32×33 =1056 24×11 =264 1056 – 264 =792 792 : 22 =36 (учеников) Ответ: 36 учеников

Слайд 12

Математические забавы Один из находящихся в компании восьми человек берет кольцо и надевает на один из пальцев на определенный сустав. Требуется угадать, у кого, на каком пальце, и на каком суставе находится кольцо. Пусть кольцо находится у четвертого человека на втором суставе пятого пальца (надо условиться, что суставы и пальцы нумеруются всеми одинаково). номер лица, имеющего кольцо, умножить на 2; спрашиваемый в уме или на бумаге выполняет: 4 ∙ 2 = 8; 2) к полученному произведению прибавить 5: 8 + 5 = 13; 3) полученную сумму умножить на 5: 13 ∙ 5 = 65; 4) к произведению прибавить номер пальца, на котором находится кольцо: 65 + 5 = 70; 5) сумму умножить на 10: 70 ∙ 10 = 700; 6) к произведению прибавить номер сустава, на котором находится кольцо: 700 + 2 = 702. Результат объявляется угадывающему. От полученного числа последний отнимает 250 и получает:702–250=452. Первая цифра (идя слева направо) дает номер человека, вторая цифра — номер пальца, третья цифра — номер сустава. Кольцо находится у четвертого человека на пятом пальце на втором суставе.

Слайд 13

В процессе исследования: я выяснила, что в учебнике Магницкого использованы традиции русских математических рукописей, но в нем значительно улучшена система изложения материала: вводятся определения, осуществляется плавный переход к новому, появляются новые разделы, задачи, приводятся дополнительные сведения; убедилась, что «Арифметика» Магницкого сыграла большую роль в распространении математических знаний в России. Недаром Ломоносов называл её «вратами учёности»; Решила задачи на тройное и «фальшивое» правило из «Арифметики» Магницкого и провела сравнительный анализ старинного и современного способов решения. Могу сделать вывод, что некоторые из рассмотренных в работе методов решения задач положили основу современным методам или наоборот с течением времени перестали использоваться из-за нерациональности. рассмотрела и решила различные занимательные задачи; научилась составлять презентацию получила навыки проведения исследовательской работы Посетила монастырь Нилово — С толбенскую пустынь

Слайд 14

Наследие Селигера

Слайд 15

Литература Список литературы. 1. Андронов И.К. Первый учитель математики российского юношества Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в школе. 1969. № 6. 3. Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: «Просвещение», 1981. – 239 с. 4. Гнеденко Б.В. и др. Энциклопедический словарь юного математика. -М.: «Педагогика», 1985 – 349 с. 6. Олехник С. Н. и др. Старинные занимательные задачи – 3-е изд. – М.: «Дрофа», 2006. – 173 с. 7. http://www.etudes.ru/ru/mov/magn/index.php

nsportal.ru

Презентация научно-исследовательской работы «Решение задач из Арифметики Магницкого»

Слайд 1

Научно — исследовательская работа «Решение задачи из Арифметики Магницкого» Подготовила ученица 6б класса МБОУ СОШ №2- Усанова Яна Руководитель: Морозова О.В.- учитель математики

Слайд 2

Актуальность и выбор темы исследовательской работы определены следующими факторами: до появления книги Л. Ф. Магницкого «Арифметика» в России не было печатного учебника для преподавания математики; Л. Ф. Магницкий не только систематизировал имеющиеся знания по математике, но и составил множество таблиц, ввел новые обозначения .

Слайд 3

Цель Изучение истории математики и решений задач из книги Л.Ф. Магницкого. Задачи Изучить биографию Л.Ф. Магницкого и его вклад в развитие математического образования в России; Рассмотреть содержание его учебника; Решить задачу «Кадь пития» разными способами.

Слайд 4

Гипотеза Изучение способа «Тройное правило» для решения задач способствует повышению уровня решаемости задач в моем классе . Методы исследования Изучение литературы, информации найденной в Интернете, анализ, установление связей между решениями по Л . Ф. Магницкому и современными способами решения математических задач.

Слайд 5

Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) В 1669 году родился в Осташковской патриаршей слободе (г. Осташков) Тверской губернии (Тверская область ). Сын крестьянина Филиппа Теляшина, которого назвали Леонтием.

Слайд 6

Арифметика Магницкого В 1703 году вышло первое русское печатное руководство под длинным заглавием «Арифметика, сиречь наук числительная, с разных диалектов на словенский язык переведённая и во едино собрана и на две книги разделена…Сочинися сия книга чрез труды Леонтия Магницкого».

Слайд 7

Форма и зложения. В к ниге с трого и п оследовательно п роводилась одна ф орма и зложения: к аждое н овое прав ило н ачиналось с п ростого примера, з атем д авалась е го о бщая ф ормулировка и , н аконец, о но закреплялось больш им к оличеством з адач, п о п р е имуществу практического содержания. К каждому д ействи ю п рисоединялось прав ило п роверки — « поведение».

Слайд 9

Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь . Решение. 1-й способ 1) 14∙5=70 ( дн .)- уравняла время, за которое человек выпьет кадь пития с временем, за которое человек со женою выпьет туже кадь пития 2) 10∙7=70 ( дн .)- уравняла время, за которое человек со женою выпьет кадь пития с временем, за которое человек выпьет туже кадь 3) 70:14=5 (к.)-выпьет человек за 70 дней 4) 70:10=7 (к.)-выпьет человек со женою за 70 дней 5) 7−5=2 (к.)-выпьет жена за 70 дней 6) 70:2=35 ( дн .)-выпьет жена кадь пития Задача «Кадь пития»

Слайд 10

2 -й способ 1 кадь = 839,71л ≈ 840л 1 ) 840 : 10 = 84 (л)-человек и жена выпьют за 1 день 2) 840 : 14 = 60 (л)-человек выпьет за 1день 3) 84 − 60 = 24 (л)-жена выпьет за 1 день 4) 840 : 24 = 35 ( дн .)-жена выпивает 1 кадь

Слайд 11

3-й способ 1 кадь = 839,71л ≈ 840л 1) 840 : 14 = 60 (л)-человек выпьет за 1 день. 2) Пусть жена выпивает за 1 день х л., т. к. человек выпьет кадь пития в 14 дней, а со женою выпьет ту же кадь в 10 дней, составим уравнение: ( 60+X) ∙ 10 = 840 60+X = 840:10 60+X = 84 X = 84 −60 X = 24 (л)-жена выпивает за 1день 3) 840:24 = 35 ( дн ей )- жена выпьет кадь пития

Слайд 12

4 -й способ Пусть жена выпивает за 1 день x кади пития, т. к. за 1 день человек выпьет 1/14 кади пития, а со женою 1/10 кади пития, составим уравнение: 1) Х + 1/14 = 1/10 Х = 1/10 — 1/14 Х = (14 — 10) / 140 = 4/140 = 1/35 (кади пития)-жена выпивает за 1 день 2) 1/35∙35=35/35=1 (кадь пития)-выпивает 1 кадь пития за 35 дней

Слайд 13

Задачи на тройное правило По этому правилу Л.Ф. Магницкий решал задачи на нахождение величин, находящихся в прямой или обратной пропорциональной зависимости друг от друга. Это правило он называл строкой потому, что для механизации вычислений данные писались в строку Правильность механического решения зависит целиком от правильности записи данных задачи ПРАВИЛО: перемножить второе и третье число и произведение разделить на первое

Слайд 14

№783. Стальной шарик объемом 6 кубических сантиметров имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 кубических сантиметра? (прямая пропорциональность) По Магницкому В наше время 6 – 46,8 – 2,5 (строка) 46,8 × 2,5 : 6 = 19,5 (г) х = = 19,5 (г) Ответ: 19,5 грамм.

Слайд 15

№ 784. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени? (прямая пропорциональность) Решение. По Магницкому В наше время 21 – 5,1 – 7 (строка) 5,1 × 7 : 21 = 1,7 (кг) х = = 1,7 (кг) Ответ: 1,7 кг.

Слайд 16

№ 785 Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистили бы эту площадку? (обратная пропорциональность) Решение По М агницкому В наше время 7 – 5 – 210 (строка) 210 × 5 : 7 = 150 (мин) х = = 150 (мин) Ответ: 150 мин.

Слайд 17

№ 786 Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз? (обратная пропорциональность ). Решение. По Магницкому В наше время 4,5 – 24 – 7,5 (строка) 24 × 7,5 : 4,5 = 40 (машин) х = = 40 (машин) Ответ: 40 машин.

Слайд 19

В процессе исследования : я выяснила, что в учебнике Магницкого использованы традиции русских математических рукописей, но в нем значительно улучшена система изложения материала: вводятся определения, осуществляется плавный переход к новому, появляются новые разделы, задачи, приводятся дополнительные сведения ; убедилась, что «Арифметика» Магницкого сыграла большую роль в распространении математических знаний в России. Недаром Ломоносов называл её «вратами учёности »; Решила задачу из «Арифметики» Магницкого арифметическим и алгебраическим способами. Познакомилась с «Тройным правилом» решения задач на прямую и обратную пропорциональность. Поделилась своим опытом решения задачи со своими одноклассниками. Рассказала им о жизни и деятельности Л.Ф. Магницкого. И о его великом труде — учебнике «Арифметика».

nsportal.ru

Задачи по математике на тему» Прямая и обратная пропорциональная зависимость»

Задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость

255. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна?

256. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песка надо взять 1) 12 кг ягод? 2) 3 кг ягод?

257. 1) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

2) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько граммов соли содержится в 200 г раствора?

258. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч?

259. 5 маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 1) 10 маляров? 2) 1 маляр?

260. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 ч?

265.Диктор телевидения сообщил, что сахарная свекла убрана с 2,8 млн га, что составляет 82% всей площади, занятой под сахарную свеклу. Какую площадь занимала сахарная свекла? Ответ округлите до десятых.

323.60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек — на выставку.

Сколько учащихся в классе?

324. а) Цена товара повысилась на 30% и составляет теперь

91р. Сколько стоил товар до повышения цены?

б) После снижения цены на 20% прибор стал стоить 160 р. Какова была его первоначальная цена?

в) Мальчик израсходовал 70% имевшихся у него денег, у него осталось 4 р. 20 к. Сколько денег было у мальчика первоначально?

325. Завод запланировал выпустить 10 000 машин. План перевыполнили на 2%. Сколько машин завод выпустил сверх плана? Сколько всего машин выпустил завод?

326. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?

327. Масса муки составляет 80% массы перемолотого зерна. При выпечке хлеба припек составляет 40% массы взятой муки. Сколько тонн хлеба получится из 1 т зерна? Сколько зерна пошло на выпечку 3360 кг хлеба?

328. В магазин привезли овощи. В первый день продали 35% и еще 240 кг привезенных овощей, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин?

329. Цена альбома была снижена сначала на 15%, потом еще на 15 р. Новая цена альбома после двух снижений 19 р. Определите его первоначальную цену.

infourok.ru