Мастер-класс по теме «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения»
Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.
“Число, положение и комбинация – три
взаимно пересекающиеся, но различные
сферы мысли, к которым можно
отнести все математические идеи”.
Джозеф Сильвестр (1844 г.)
Цели занятия.
Образовательные:
- познакомить студентов с новым разделом математики: «Комбинаторика», с его историей, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;
- способствовать созданию учебного проекта как показатель качественного изучения темы занятия.
Развивающие:
- развивать аналитические способности, логическое мышление,
- индивидуальные способности каждого студента, создавая комфортную психологическую обстановку для каждого студента при обучении и создании проекта.
Воспитывающая:
- формировать активность личности студента, умение работать в группе, отвечать за свои поступки.
Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, электронные и на бумажных носителях тесты, задачи “Судоку”, кубики Рубика, папки для ВСР (внеаудиторная самостоятельная работа), рабочие тетради, чистые ватманы, калькуляторы, цветная бумага, клей, ножницы, фломастеры.
Ход занятия
I. Организационный момент
Перекличка
Сообщение целей и задач занятия: В связи с тем, что по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа, а рассмотреть нужно много материала, решать задачи, создать проект, вам было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу следующее: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”.
Слайды № 1–2. ПрезентацияВ календарно-тематическом плане по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа. Изучить теоретический материал, решить задачи разных видов за такой временной промежуток невозможно. Для достижения глубокого изучения материала было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”.
Вопросов для внеаудиторной самостоятельной работы выделено было три:
- Определения комбинаторики.
- Ученые – математики — первооткрыватели этого раздела.
- Применение комбинаторики в современной жизни.
Запись даты, темы урока.
II. Работа над темой занятия
Вступление:
Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (современная игра – задача “Судоку”). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В частности, наша Мариинская газета “Вперед” довольно часто предлагает читателям такие задачи. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т.д.
Комбинаторика ставится самостоятельным разделом математики, по сути – самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века, — в период, когда возникла теория вероятностей.
Таким образом, — комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных объектов.
Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки. Cлайд № 3
Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять” — слайд № 4.
Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?
Сегодня мы будем рассматривать перестановки, размещения, сочетания, как соединения, как комбинаторные конфигурации.
Разделы комбинаторики: перечислительная, структурная, вероятностная, топологическая – слайд № 5.
Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ,
занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую – слайд № 6.Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.
Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их
Количество всех перестановок из n элементов обозначают
Число n при этом называется порядком перестановки – слайд № 7–10.
Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн - факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:
1! = 1,
2! = 2•1 = 2,
3! = 3 •2 •1 = 6,
4! = 4 •3 •2 •1 = 24,
5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.
Необходимо знать, что 0!=1
Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.
Примеры решения задач:
Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п!, т.е. Рп = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.
Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.
Ответ: 5040 способов.Задача № 2 (о квартете)
В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.
Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?
Решение: на слайде
Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.
Cлайды № 11–13.
В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.
В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).
Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.
Примеры решения задач:
Задача № 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.
Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:
Ответ:151200 способов
Задача № 2. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?
Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А243. По формуле находим
Ответ: 12144 способа
Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Cлайды № 14–16.
В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.
Примеры решения задач:
Задача №1. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?
Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно
Ответ: 120 вариантов.
Задача № 2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?
Решение: По формуле находим:
комиссий
Ответ: 120 комиссий.
Библиографическая справка – слайд № 17.
Общее у всех этих задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. “Особая примета” комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: “Сколькими способами…?”. Cлайд № 18.
3. Решение задач: тексты задач с решениями в приложении 1 – начало на слайде № 19.
4. Исторические сведения о комбинаторике на слайдах № 20–21 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).
5. Связи комбинаторики на слайдах № 22–31 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).
6. Выдвижение гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений, вообще – предположение, требующее подтверждения.
Выдвигается гипотеза: Комбинаторика интересна и имеет широкий спектр практической направленности — слайд № 32.
7. Метод проектов: три группы студентов и группа преподавателей выполняют проект по теме: “Комбинаторика”, используя знания, полученные на занятии, а также материалы, подготовленные по заданию на ВСР: различные определения комбинаторики, ученые – математики - первооткрыватели этого раздела, применение комбинаторики в современной жизни.
8. Защита проектов: при защите проекта сделать вывод: подтверждает ли проект выдвинутую гипотезу или опровергает.
9. Тестирование: Часть студентов тестируется на компьютерах, остальные – на бумажных носителях по теме занятия. По мере выполнения тестов студенты решают задачу “Судока” или собирают кубик Рубика.
10. При выходе из кабинета каждый студент выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.
Информационные ресурсы
1. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский. Элементы высшей математики для школьников. Москва. “Наука”, 1987 год.
2. Грэхем Р., Кнут Д.А., Паташник О. Конкретная математика.. Москва “Мир”, 1998 г.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для техникумов, Москва. “Высшая Школа, 1983.
4. Перельман Я.И. “Занимательная алгебра. Занимательная геометрия, Москва, АСТ “Астрель”, 2002 год.
5. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, Москва “Педагогика”, 1985.
6. Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в вузы”, Москва, “Высшая школа”, 1998 г.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – 4-е изд. - М.: Наука, 1969.
8. Элементы теории вероятностей. Математика. Приложение к газете «Первое сентября», № 41, 42.
9. http//portfolio.1september.ru
10. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей, Москва, “ Просвещение”, 1990.
11. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — 6-е изд. — М.: Наука, 1964.
12. Андреева Е. В. “Комбинаторные задачи”, Москва, “Чистые пруды”, 2005 г.
Приложение 1
комбинаторные задачи и методы их решения
Искомых чисел будет столько же, сколько клеток в таблице, то есть 5·3=15.Ответ:15.
Иногда подсчет вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). Для удобства иллюстрации условия задачи с помощью графа его вершины-точки могут быть заменены кругами или прямоугольниками, а ребра-отрезки – любыми линиями.
Полный граф: При решении задач с помощью полного графа проводят все возможные ребра.
Пример 3. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
Решение. Рассмотрим полный граф с четырьмя вершинами, обозначенными по первым буквам имен каждого из 4 мальчиков. Отрезки-ребра обозначают шахматные партии, сыгранные каждой парой мальчиков. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, следовательно, и партий было сыграно 6.
Ответ: 6.
Граф-дерево
При решении некоторых задач удобно использовать граф, называемый деревом (за внешнее сходство с деревом).
Пример 4. Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими способами они могут занять имеющиеся три места?
Решение. Изобразим перебор способов с помощью графа-дерева, помещая в вершины графа первые буквы имен друзей А, Б и В.
В итоге получаем 6 способов.
Ответ: 6.
2. Правило умножения
Перебрать и подсчитать всевозможные комбинации из данных элементов, используя наглядные средства, несложно, когда их количество невелико. Однако при большом количестве элементов этот перебор затруднителен, и тогда используют правила комбинаторики. Правило умножения (правило «и») — одно из основных правил комбинаторики.
Согласно ему, если элемент множества А может быть выбран m способами, а элемент множества B — n способами, то упорядоченная пара (A, B) может быть составлена m•n способами. Правило обобщается на произвольную длину последовательности.
Пример 5. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если:
а) числа не повторяются;
б) числа могут повторяться.
Решение.
а) Первую цифру выбираем 5 способами, вторую цифру – 4 способами, третью – 3 способами. Всего 5•4•3 =60 трехзначных чисел.
б) Всего 5•5•5 =125 трехзначных чисел.
Ответ: а) 60; б) 125.
3. Правило сложения
Правило сложения (правило «или») – одно из основных правил комбинаторики, утверждающее, что, если элемент множества A можно выбрать m способами, элемент множества B можно выбрать n способами, и множества A и B не имеют общих элементов, то выбор одного из элементов множеств A или B осуществляется m+n способами.
Пример 6. На блюдце лежит 8 яблок и 6 груш. Сколькими способами можно
взять плод с блюдца?
Решение. Всего способов 6 +8 =14 .
Ответ: 14.
4. Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок из n различных элементов Pn= n!, где n!=1•2 •3•…• (n -1) • n ; 1!11; 0!=0.
Например, из трех элементов a, b и c можно образовать 3!=1•2•3 = 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Пример 7. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?
Решение. Число способов обозначить восемь вершин куба данными различными буквами (которых также восемь) равно P8 = 8!= 40320
Ответ: 40320.
5. Размещения
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений
В частности, при m = n получаем = n!=Pn .
Например, из четырех элементов a, b, c и d можно образовать
размещений по два элемента: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
Пример 8. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета,
взятых по 2?
Решение.
Ответ: 30.
1.6. Сочетания
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются только составом элементов. Число всех возможных сочетаний
Например, из пяти элементов a, b, c, d и e можно образовать
сочетаний по три элемента: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством
Пример 9. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из пяти
имеющихся?
Решение.
Ответ: 10.
12. РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ | Решение задач по математике и другим пр
Пусть выбор k элементов из некоторого множества, состоящего из n элементов, производится с возвращением и с упорядочением их в последовательную цепочку. Различными исходами такого выбора будут всевозможные наборы (вообще говоря, с повторениями) отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Получаемые в результате комбинации называются размещениями с повторениями из n элементов по k элементов.
Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить девять размещений с повторениями по два элемента: ab, ac, ba, bc, ca, cb, aa, bb, cc.
Таким образом, размещение с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое размещение с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Число размещений с повторениями можно найти из принципа умножения. Первый элемент размещения можно выбрать n способами. Второй элемент также можно выбрать n способами (ведь элементы могут повторяться) и т. д. По принципу умножения находим
. (10.1)
Пример 10.1. В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 пассажиров. Сколькими способами могут выйти пассажиры на каждом этаже, начиная со второго?
Решение. Задача сводится к распределению 5 пассажиров по 7 этажам (т. е. набор упорядоченный), причем возможны повторения (т. е. несколько пассажиров могут выйти на одном этаже). Таким образом, задача сводится к нахождению числа размещений с повторениями:
Пример 10.2. Сколькими способами можно 5 шариков разбросать по 8 лункам, если каждая лунка может вместить все 5 шариков?
Решение. Данная задача есть задача на отыскание числа размещений с повторениями
.
Пример 10.3. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?
Решение. Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно .
Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно .
Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно .
Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно .
Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно .
Число всех указанных букв будет равно 62.
Упражнения
10.1. Сколькими способами девочка Яна может разложить 12 кукол по трём ящикам, если каждый ящик может вместить все куклы?
Ответ: .
10.2. Сколькими способами Пончик может рассовать 6 конфет по 9 карманам, если каждый карман может вместить все конфеты?
Ответ: .
10.3. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров по трем вагонам?
Ответ: .
10.4. Сколькими различных восьмизначных чисел можно написать, пользуясь только тремя цифрами 3, 5, 7 при условии, что цифра 5 в каждом числе встречается ровно два раза?
Ответ: .
10.5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составлены всевозможные пятизначные числа (повторение цифр разрешается). Сколько среди них чисел, у которых: 1) a=1; 2) a¹2; 3) a=3, b=2; 4) a=3, b=4, c=5?
Ответ: .
10.6. Сколько чисел, меньших миллиона, можно написать с помощью цифр: а) 8 и 9; б) 7, 8, 9; в) 0, 8, 9 (с цифры 0 число начинаться не может)?
Ответ: а) Так как с помощью двух цифр 8 и 9 можно написать 2k k-значных числа, то общее количество искомых чисел равно . б) Для трёх цифр аналогично получаем . в) Учтём, что для первой цифры есть только две возможности выбора. Тогда получим чисел.
10.7. Имеется три курицы, четыре утки и два гуся. Сколькими способами можно выбрать из них несколько птиц так, чтобы среди выбранных оказались и куры, и утки, и гуси?
Ответ: Каждая курица может либо войти, либо не войти в число выбранных. Поэтому имеем 23 способов выбора кур. Так как по условию хотя бы одна курица должна быть выбрана (т. е. не может быть случая, когда ни одной курицы не будет выбрано), то число выбора кур будет на единицу меньше: способов выбора кур. Точно так же есть способов выбора уток и способов выбора гусей. Всего способов.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.
Занятие
Тема: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.
Количество часов: 2 часа
Цель: повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний; научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний; решить простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул.
План:
1. Задача.
2. Выводы из решения задачи.
3. Решение задач с использованием данных формул.
Вопрос 1. Задача.
Задача.
“У вас есть 9 разных книг из серии “Занимательная математика”. Сколькими способами можно:
1) расставить их на полке;
2) подарить три из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три призовых места;
3) выбрать три из них для подарка своему племяннику”
Для ответа на первый вопрос задачи вспомним:
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. Как называются различные комбинации выстраивания нескольких предметов друг за другом?
– Перестановками
2. Что называется перестановками из n элементов?
– Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов
3. Чем отличаются друг от друга две различные перестановки?
– Порядком следования элементов
4. По какой формуле можно вычислить число всевозможных перестановок из n элементов?
– 
5. Рассчитаем число всевозможных перестановок из 9 книг на полке
Для ответа на второй вопрос задачи вспомним:
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. Как можно выбрать три книги из девяти для трех победителей?
– Произвольно, наборы из трех книг могут отличаться либо книгами, либо порядком их дарения
2. Как можно назвать наборы из 9 книг по 3 в каждом?
– Размещениями из 9 книг по 3
3. Что называется размещениями из n элементов по k элементов?
– Размещениями из n элементов по k элементов – называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-размещения?
– Порядком следования элементов
– Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных размещений из n элементов по k элементов?
– 
6. Рассчитаем число всевозможных размещений из 9 книг по 3 для победителей
Для ответа на третий вопрос задачи подумаем:
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. Важно ли для племянника в каком порядке располагаются книги в его подарочном наборе?
– Нет
2. Как можно назвать комбинации из 9 книг по 3 в каждой?
-Сочетаниями из 9 книг по 3
3. Что называется сочетаниями из n элементов по k элементов?
– Сочетаниями из n элементов по k элементов – называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга составом
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-сочетания?
– Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных сочетаний из n элементов по k элементов?
– 
6. Рассчитаем число всевозможных сочетаний из 9 книг на полке 3 для победителей
Вопрос 2. Выводы из решения задачи.
Вопросы преподавателя
Ответы обучающихся
1. В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными. Для нахождения комбинаций – размещений, перестановок и сочетаний и их числа существуют специальные способы. Назовите признаки, по которым можно отличить друг от друга эти комбинации?
– Порядок следования элементов
– Состав элементов
2. Зафиксируем наличие перечисленных признаков в обобщающую таблицу:
Признаки
Порядок следования элементов
+
–
+
Состав элементов
–
+
+
Среди перечисленных ниже задач выделить те, в которых требуется найти
а)размещения;
б)перестановки;
в) сочетания.
Номера выбранных задач и способ нахождения числа комбинаций записать в таблицу:
Вопросы
Формула
№ задач
Задачи:
Сколько разных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, если цифры в записи числа используются только один раз?
Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых участвуют лишь цифры 1, 2, 3, 4, 5, причём цифры в записи числа не повторяются?
Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг из горизонтальных полос одинаковой ширины, имея четыре различных цвета?
Сколькими способами можно выбрать шесть делегатов на конференцию из 150 человек?
В полуфинале по шахматам участвуют 20 шахматистов, а в финал попадут только трое. Сколькими способами может образоваться финальная тройка?
Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?
Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы A, B, C, D, E ?
На тренировке 12 баскетболистов. Сколько разных пятёрок может составить тренер?
Сколько разных шестерок может составить тренер из 10 волейболистов?
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не “били” друг друга?
Сколькими способами можно премировать одинаковыми призами троих человек из семи участников?
Сколькими способами можно составить флаг из четырёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал различных цветов?
В отряде 12 человек. Надо выбрать старосту и двух заместителей. Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами можно разместить шесть человек за столом, на котором поставлено шесть приборов?
Сколько аккордов, содержащих три звука, можно взять на 12 клавишах одной октавы?
Курьер должен разнести пакеты в семь различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8? б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
Вопрос 3. Решить предложенные выше задачи, используя соответствующие формулы.
Вопросы для самопроверки:
1. Назовите формулу для вычисления числа перестановок.
2. Назовите формулу для вычисления числа размещений.
3. Назовите формулу для вычисления числа сочетаний.
Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:
1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 431 с.: ил.
2. Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень – М.: Просвещение, 2014. – 415 с.: ил.
3. Yaklass.ru (Источник).
4. Bymath.net (Источник).