Решение задач на совместную работу. 7-й класс

Этап урока	Деятельность учителя.	Деятельность учащихся.
Организационный	Проверка домашнего задания.. к/з №1, 2,5. Стр.31	Сравнивают свои ответы с решениями, показанными через документ – камеру.
Актуализация знаний	Текстовые задачи приходится решать в ходе изучения всего школьного курса математики. Одну и ту же задачу можно решать разными способами. Какими? Назовите их. В ходе изучения темы мы уже встречались с такими задачами. А сегодня на уроке мы обобщим изученный материал	Дети называют (арифметический, т.е. по действиям и алгебраический, т.е. с помощью уравнения или системы уравнений.)
Целеполагание.	Цель нашего урока – закрепить способы и приёмы решения задач «на совместную работу» . В конце урока вам будет предложена самостоятельная работа, выполнив которую вы покажете степень усвоения темы. Работа будет оценена, отметка пойдёт в журнал.
Первичная проверка понимания темы.	Предлагается записать формулу, связывающую работу, производительность труда (норму) и время. Выразить из формулы Решить задачи: а) машинистка должна напечатать рукопись в объёме 56 страниц. Она напечатала задания. Сколько страниц ей осталось напечатать? б) ученик решил 4 задачи, что составило от намеченного плана. Сколько задач он должен решить?	Дети решают задачи устно и дают готовые ответы. а) 32 страницы. б) 14 задач.
Закрепление.	Решение задач из учебника № 4.21, №14.15 и из Открытого банка данных для подготовки к ЕГЭ (математика). Задача. Через первую трубу бассейн можно заполнить за 3 часа, через вторую – за 6 часов. За какое время будет заполнен бассейн, если открыть обе трубы? Читаем условие задачи (проецируется на экран) из Открытого банка данных для подготовки к ЕГЭ (математика), анализируем условие, отвечая на поставленные вопросы, и одновременно заполняем таблицу.
	– Что в задаче известно? – Ч известно про работу? – Что принимаем за работу А в таких задачах? – Как найти производительность каждой трубы?	– t время – Одинакова, т.к. заполняется один и тот же бассейн, объём которого неизвестен. А = 1
	– Для наиболее полного понимания условия задачи составим таблицу.	Дети составляют таблицу 1.   А N t 1 труба 1 ? 3 часа 2 труба 1 ? 6 часов вместе 1 ? ?
	Решим задачу арифметически.	Один из учеников (по желанию) приводит решение на доске. производительность первой трубы. производительность второй трубы. совместная производительность. 1 : = 2 (ч) Ответ: за 2 часа.
	№ 4.21 Читаем, анализируем условие задачи. – Что в задаче известно? – Что сказано о производительности труда? – Что нужно узнать? – Как вы считаете: каким способом можно решить эту задачу?	– Время работы каждой бригады. – Первая убирала за 1 час на 16 ц больше, чем вторая. – Сколько центнеров картофеля собрала первая бригада. Мнения ребят разделились.
	Приглашаются к доске два ученика.	Один из них решает задачу с помощью уравнения, а другой – по действиям. 1 способ. Пусть х ц в час убирала вторая бригада, Тогда х + 16 центнеров за 1 час убирала 1 бригада. 7 х центнеров убрала 2 бригада за 7 часов. 5(х + 16) центнеров убрала 1 бригада. Т. к. выполненная работа одинакова (бригады собрали одинаковое количество картофеля), то составим уравнение: 5(х + 16) = 7 х 5 х + 80 = 7 х – 2 х = – 80 х = 40 5( 40 + 16 ) = 280 ( ц ) Ответ: 280 центнеров. 2 способ. Если бы производительность труда(норма) была бы одинакова ( как у второй бригады, например), то (ц) – меньше собрала бы первая бригада. 7 – 5 =2 (ч) – меньше работала первая бригада. 80 : 2 = 40 ( ц ) за 1 час собирала бы первая бригада. 40 + 16 = 56 ( ц ) за 1 час собирала фактически первая бригада. ( ц ) Ответ: 280 центнеров
	– Каким способом было проще решить задачу?	Выслушали и обсудили оба варианта ответов ребят.
	№14.15 Читаем задачу. Вопрос к классу: – Что в задаче известно – Что сказано о производительности труда рабочих? В отличие от предыдущей задачи, здесь прямо не сказано о связи производительности труда между 1 и 2 рабочими. Поэтому такие задачи проще решать вводом двух переменных (с помощью системы уравнений.) Решим задачу алгебраически, составив таблицу. Составим систему уравнений, используя таблицу. Если попробовать решить эту задачу арифметически, то вы увидите, что будет гораздо сложнее, поэтому лучше выбирать наиболее рациональный способ для решения конкретной задачи.	– Объём совместно выполненной работы, А = 162 д., время работы каждого рабочего. – Первый за 5 дней изготовил на 3 детали больше, чем второй за 7 дней. Под руководством учителя дети составляют таблицу 2   N t A I x 8 8 x II y 15 15 y I x 5 5 x II y 7 7 y На доске один из учеников (по желанию) записывает и решает систему уравнений. Уравняем коэффициенты при переменной х.   решаем эту систему, получаем y = 6, x = 9. (дет.) изготовил 2 рабочий.  (дет.) изготовил 1 рабочий. Ответ: 90 деталей и 72 детали.
Проверка усвоения темы	Самостоятельная работа № 599, №600, № 602 на три варианта (по возможности решить разными способами). I вариант № 599 Для распечатки 340 страниц были использованы две копировальные машины. Первая машина работала 10 минут, а вторая – 15 минут. Сколько страниц в минуту печатает каждая машина, если первая печатает в минуту на 4 страницы больше, чем вторая? II вариант. № 600 Один автомат упаковывает в минуту на 2 пачки печенья больше, чем второй. Первый автомат работал 10 минут, а второй – 20 минут. Всего за это время было упаковано 320 пачек печенья. Сколько пачек в минуту упаковывает каждый автомат? III вариант № 602 Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей. Первый выполнил эту работу за 5 часов, а второй – за 4 часа, т.к. изготовлял в час на 12 деталей больше первого. По сколько деталей изготовили рабочие?	Дети открывают сборники задач, находят свой вариант и приступают к решению.                     Сдают тетради.
Задание на дом.	№ 70 с.194, № 87 ( а ) с.196	Дети записывают задание в дневник.
Итог урока.	На уроке мы обобщили наши умения и знания при решении задач «на совместную работу». Рассмотрели два способа их решения: алгебраический и арифметический. Каждый может выбрать для себя тот способ, который ему понятнее и ближе, и наиболее рациональный (по его мнению).

Решение задач на совместную работу 7 класс

Решение задач на совместную работу, математика

Сфера и шар.6. Задачи на дроби 173.4. Поскольку одна труба бассейн наполняет, а другая опустошает, производительность совместной работы равна разности производительности первой и второй труб: Теперь найдем время, за которое бассейн будет наполнен при открытии обеих труб одновременно. Распределительный закон 201.11. Наибольший общий делитель 147.6 Наименьшее общее кратное 149 Дополнения к главе 3 152. Натуральные числуль.1. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000.д 193.

Выберите номер задания или страницу (при отсутствии номера задания):

Please enable JavaScript to view the comments powered by Disqus.

Методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему: Как решать задачи на совместную работу

Как решать задачи на совместную работу

При решении текстовых задач на совместную работу основными компонентами являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени). Обычно при решении задач этого типа всю работу, которую необходимо выполнить, принимают за 1. Далее находят производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. 1/t, где t — время, за которое указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.

При таком подходе к решению задач на совместную работу у учеников начинаются сложности, связанные с непониманием смысла обозначения всей работы единицей, так как в реальной жизненной ситуации любая работа имеет некоторый объем, выраженный конкретным числом, обычно отличным от единицы. Условное принятие всей работы за 1 не способствует глубокому пониманию практического смысла задачи. Сомнение у детей вызывает и тот факт, что при этом производительность труда оказывается в их представлении дробным числом, меньшим единицы, потому что, как правило, время больше 1.

Чтобы избежать таких проблем при решении задач такого рода, можно предложить обозначить всю работу какой-либо постоянной А, отличной от 1. Тогда производительность будет равна А/t. Этот путь немного длиннее, но ребятам он более понятен, потому что выражает реальный смысл задачи. А в конце задачи введенная вспомогательная величина для работы уничтожится.

Покажем это на примере одной задачи, приведенной в книге В.С.Крамора «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа».

Задача 1. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна бригада, а заканчивала ремонт участка дороги вторая, производительность которой более высокая, чем у первой бригады. В результате ремонт заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила 2/3 всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован участок дороги каждой бригадой отдельно?

Решение. 1. Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а второй — за y дней.

2. Принимая работу за 1, ученики столкнутся со смысловой некорректностью, которая заключается в следующем: производительность труда первой бригады будет равна 1/х, а второй — 1/y. Возникает вопрос: в каких единицах измерить производительность? В дорогах на день? Очевидно нарушение физического смысла задачи.

3. Поэтому целесообразно обозначить всю работу (длину участка дороги) некоторой величиной А, измеряемой в километрах. Тогда производительность труда первой бригады равна А/х км/день, второй бригады — A/y км/день.

4. Составляем уравнение А/х. 18 + А/y. 18 = А. В дальнейшем введенная величина А, как видно, сокращается, но она несет при решении задачи важную смысловую нагрузку.

Окончательное решение задачи достаточно несложное, и приводить его нет необходимости.

Иногда такой же подход, то есть принятие чего-либо за единицу, используется для обозначения производительности труда.

Рассмотрим более подробно решение задачи, предложенной в учебном пособии для 10-го класса И.Ф.Шарыгина «Факультативный курс по математике: Решение задач».

Задача 2. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех одинакова.

В указанном пособии предложено следующее решение задачи: неизвестные: х — количество землекопов первой бригады, y — второй бригады, t — время работы первой бригады. В этой задаче за 1 принимается производительность труда каждого землекопа.

Из условия задачи следует:

xt = y(t + 1/2),

xt = (x + 5)(t — 2).

Выражая t через x и y из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений:

4×2 — 4xy + 20x — 25y = 0.

При этом x и y — натуральные числа. Выразим y через x:

y = 4×2 + 20x/4x + 25 = x — 5/4 + 125/4(4x+25). Умножив последнее равенство на 4, получим: 4y = 4x — 5+ 125/(4x+25). Из того, что x и y — натуральные числа, следует, что 4x + 25 является делителем 125. Значит, 4x+25=125. Отсюда следует, что x=25, y=24.

Нужно заметить, что данная задача является нестандартной, и поэтому предложенный способ решения достаточно сложный для понимания всех школьников. Составленные уравнения, в которых количество землекопов умножается с временем, вызывают некоторое недоумение у детей, и учителю необходимо приложить большое усилие, чтобы объяснить им целесообразность таких действий.

Предложим другой способ решения этой задачи.

1. Пусть объем всей работы (объем котлована) равен А куб.м.

2. Количество землекопов в первой бригаде — x человек, во второй бригаде — y человек.

3. Производительность труда одного землекопа равна B.

4. Первая бригада за час выполнит Bx часть всей работы, а вторая бригада — By.

5. Первая бригада потратит на всю работу A/Bx часов, вторая бригада — A/By часов.

По условию A/By — A/Bx = 1/2. (1)

6. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она на всю работу потратила бы A/B(x+5) часов. Получаем еще одно уравнение A/Bx — A/B(x+5) = 2. (2) Умножив обе части уравнения (1) на 4, приравняем левые части уравнений (1) и (2). Получим равенство 4A/By — 4A/Bx = A/Bx — A/B(x+5). Вспомогательные переменные A и B в этом уравнении сокращаются, и получим уравнение 4/y = 5/x — 1/x + 5, которое решим способом выделения целой части дроби и учитывая, что x и y натуральные числа.

4/y = 5x + 25 — x/x(x + 5), 4/y = 4x + 25/x2 + 5x, y/4=x2 + 5x/4x + 25, y = 4(x2 + 5x)/4x + 25, y=4×2 + 25x-5x/4x + 25, y=x — 5x/4x + 25. Отсюда следует, что x=25, y=24.

При таком способе решения ученикам легко следить за ходом рассуждений, за составлением уравнений. Понятен им и физический смысл задачи, а это является важным моментом обучения детей решению задач, потому что если учащийся не поймет реальный смысл задачи, связь ее с практикой, то ему будет трудно понять и решение.

Задачи на совместную работу

Дата: 06.03./________.03.2018 г.

Урок № 109, 110

Тема: Задачи на совместную работу»

Цель урока: 
• Обучающая 
o научить учащихся решать задачи на совместную работу; 
• Развивающие 
o способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, делать выводы, развитию логического мышления и памяти; 
• Воспитательные 
o побуждать учащихся к самоконтролю, содействовать в развитии познавательных интересов. 
Тип урока: урок изучения

Ход урока

1. Орг. момент

2. Актуализация опорных знаний. (проводится фронтально)

   1. Как сложить дроби с разными знаменателями?

   2. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?

   3. Что означает черта дроби.

   4. Замени частное дробью: 1 : 20 6 : 30 7 : 15 99 : 100

1. 

2. 

3. 

4. 

5. +2=

6. Решите задачу

Мастер может выполнить весь заказ за 4 дня, а ученик – за 7 дней. Какую часть работы выполнит мастер за 1 день? ученик за 1 день? ().

1. Формулирование темы, цели и задач урока

А как найти: какую часть работы они выполнят вместе за 1 день? (сложить результаты предыдущей задачи).

О чем идет речь в данной задаче? (о совместной работе)

Какая тема нашего урока? (Задачи на совместную работу).

Какая цель нашего урока? (1. Научиться решать задачи на совместную работу.

Вывести алгоритм решения задач на совместную работу.)

1. Открытие новых знаний

5-А класс может помочь убрать дворнику территорию школы за 36 минут.,

а 6-А за 18 минут. За какое количество времени справятся дети работая совместно?

Итак, давайте составим условие задачи

Класс Время Работа

5-А 36 мин. 1

6-А 18 мин. 1

Вместе — ? мин

Оказывается, что при совместной работе складываются не время работы, а часть работы, которую делают ее участники за единицу времени (год, месяц, день, час и т.д.), а вся выполняемая работа принимается за 1 – «целое». Поэтому для продолжения решения данной задачи целесообразно задать ребятам наводящие вопросы:

Решение:

1. Какую часть работы сделал 5-А?

1:16= (терр.)- убирает за 1 минуту 5-А класс

2) Какую часть работы сделал 6-А?

1:18= (терр.)- убирает за 1 минуту 6-А класс

3) Какую часть работы сделают оба класса вместе?

(терр.)-уберет 5-А с помощью 6-а за 1 минуту

4) За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

1: =12 (мин) потребуется школьникам для уборки территории школы.

Ответ:12 минут

1. Первичная проверка понимания.

№ 955 (в)

а) Для выравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая – 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно?

Решение задачи лучше провести по вопросам предыдущей задачи, чтобы ребята усвоили схему решения и могли пользоваться ею.

1) 1 ׃ 36 = (дороги) – первая машина за 1 день

2) 1 ׃ 45 = (дороги) – вторая машина за 1 день

3) (дороги) – вместе обе машины за 1 день

4) 1 ׃ (дней) – выполнят работу машины, работая совместно

Ответ: за 20 дней.

Схема решения задач на совместную работу:

Какую часть работы выполнит первый объект за единицу времени?

Какую часть работы выполнит второй объект за единицу времени?

Какую часть работы выполнят оба объекта вместе за единицу времени?

За сколько времени выполнят они всю работу, если будут работать совместно?

б) В городе есть водоем. Одна труба может заполнить его за 4 ч, вторая – за 8 ч, а третья – за 24 ч. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу три трубы?

При решении данной задачи ребятам нужно показать, что выполнять работу могут различное количество объектов, от этого схема решения не меняется. Слайд 10

1) 1 ׃ 4 = (водоема) – первая труба за 1 час

2) 1 ׃ 8 = (водоема) – вторая труба за 1 час

3) 1 ׃ 24 = (водоема) – третья труба за 1 час

4) =(водоема) – три трубы вместе за 1 час

5) 1 ׃ (часа) – наполнится водоем

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за ч.

1. Первичное закрепление.

1. Подведение итогов занятия

Что нового узнали на уроке?

Что вызывает трудности?

1. Домашнее задание:

п. 4.13, № 957, 958,

№ _______________________________________________________________

№_______________________________________________________________

Дополнительно

1. Два трактора вспахали поле за 6 часов. Первый трактор, работая один, вспахал бы поле за 15 часов. За сколько времени вспахал бы это поле второй трактор, работая один?

Рассматривая обратную задачу, добиться от учащихся составления схемы решения данного типа задач.

1. 1 ׃ 6 = (поля) – оба трактора вместе за 1 час

2. 1 ׃ 15 = (поля) – первый трактор за 1 час

3. (поля) – второй трактор за 1 час

4. 1 ׃ (часов) – вспахал поле второй трактор, работая один

Ответ: за 10 часов вспахал поле второй трактор, работая один.

1. Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый:

— Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил за 3 года.

А другой молвил:

— Я бы поставил его в шесть лет.

Оба решили сообща ставить двор. Сколько долго они ставили двор?»

Решение

1. Какую часть работы сделает первый плотник за год?

1 ׃ 3 = (двора)

1. Какую часть работы сделает второй плотник за год?

1 ׃ 6 = (двора)

1. Какую часть работы сделают оба плотника вместе за год?

(двора)

1. За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

1 ׃ = 2 (года)

Ответ: Два плотника поставят двор, работая вместе за 2 года.

1. Кот Матроскин и Шарик решили заготовить дрова на зиму. Если Матроскин будет колоть дрова один, то ему потребуется 11 дней, а Шарику на эту же работу требуется 9 дней. Какова производительность каждого и общая производительность?

1. Мама 15 пар носков вяжет за 5 дней, а бабушка – за 3 дня. Сколько пар носков они вместе свяжут за 7 дней?

Итак, чем же эта задача отличается от предыдущих? (задан объём работы – 15 пар). Однако, все наши формулы по-прежнему работают, и мы смело можем решать задачу по известной схеме.

Решение:

1. (пары) – производительность мамы

2. (пар) – производительность бабушки

3. (пар) – совместная производительность

4. (пар)

Ответ: 56 пар носков

1. Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Решение:

Примем объём бассейна за 1.

1) (часть) – производительность первой трубы

2) (часть) – производительность второй трубы

Обратите внимание на поиск совместной производительности!

3) часть) – совместная производительность труб

4) =56 (часов) – время наполнения бассейна

Ответ: за 56 часов

1. Коля может вскопать грядку за 45 минут, а папа – за 36 минут. Известно, что если они работают вместе, то производительность их труда повышается на . За сколько минут совместной работы они вскопают грядку?

Решение

Примем всю работу за 1 .

Тогда Коля за 1 мин. выполнит часть,

и папа за 1 мин. выполнит часть работы.

За 1 мин., работая вместе, они выполнят часть работы.

Вычисляем

— на столько повысилась производительность труда, и составила

(минут) .

Значит, папа и Коля вскопают грядку за 18 минут.

Ответ 18 минут

7.Две бригады штукатуров отделывали дом. Первая бригада, работая одна, может выполнить всю работу за 6 дней, а вторая за 12 дней. Первая бригада работала 3 дня, а затем вторая закончила работу. За сколько дней бригады закончили отделку дома? 
Пригласить ученика к доске и записать решение задачи. 
1) 1:6 = 1/6(ч) — такую часть работы выполняет первая бригада за 1 день. 
2) 1:12 = 1/12(ч) — такую часть работы выполняет вторая бригада за 1 день. 
3) 1/6*3 = 3/6 = 1/2(ч) — такую часть работы выполняет первая бригада за 3 дня. 
4) 1 – 1/2 =1/2 (ч) — такую часть работы осталось выполнить второй бригаде. 
5) 1/2 : 1/12 = 6( дней) — столько будет работать вторая бригада. 
6) 3 + 6 = 9 ( дней) 
Ответ: 9 дней. 

4

Самостоятельная «Задачи на совместную работу»

1. Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

  

2. Библиотеке надо переплести некоторое количество книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

3. Задача: Один велосипедист проезжает расстояние между двумя населенными пунктами за 2 часа, а другой велосипедист проезжает это же расстояние за 3 часа. Однажды оба велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из этих населенных пунктов. Через сколько часов они встретятся?

1. Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

  

2. Библиотеке надо переплести некоторое количество книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

3. Задача: Один велосипедист проезжает расстояние между двумя населенными пунктами за 2 часа, а другой велосипедист проезжает это же расстояние за 3 часа. Однажды оба велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из этих населенных пунктов. Через сколько часов они встретятся?

1. Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

  

2. Библиотеке надо переплести некоторое количество книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая — за 15 дней. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

3. Задача: Один велосипедист проезжает расстояние между двумя населенными пунктами за 2 часа, а другой велосипедист проезжает это же расстояние за 3 часа. Однажды оба велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из этих населенных пунктов. Через сколько часов они встретятся?

Урок по математике на тему «Задачи на совместную работу»

Методическая разработка урока математики

в 5 классе по теме

«Задачи на совместную работу»

Урок 3

УМК «Математика 5»

Работу подготовила:

Францева Елена Гордеевна,

учитель математики

Цели урока:

Предметные:

• развивать логическое мышление;

• развивать умение контролировать свои действия;

• обучать действию по аналогии;

• развивать культуру речи;

• вырабатывать умение общения.

Метапредметные:

• проверить с помощью теста навыки нахождения производительности;

• познакомить с решением задач на совместную работу в случае работы, не равной 1;

• расширить кругозор учащихся.

Воспитательные:

• вырабатывать умение преодолевать трудности.

Тип урока: закрепление ранее изученного материала с элементами открытия новых знаний.

Оборудование: компьютер, видеопроектор, раздаточные материалы

Ход урока:

Слайд 1

Учитель:

В течение урока мы продолжим решать задачи на совместную работу. При выполнении некоторых работ ответы вы должны записать в маршрутный лист. Для проверки правильности мы будем использовать самопроверку и взаимопроверку. Итак,

1. Какие величины используются при решении задач на совместную работу? (Работа, производительность, время)

Слайд 2

2. Как связаны между собой эти величины? (На слайде «кубики» с частями формул. Работа с маршрутным листом.)

3. Что такое производительность работы? (Производительность – это часть работы, выполненная за единицу измерения времени)

4. Можно ли сравнивать производительности и что это сравнение показывает? (Чем больше производительность, тем быстрее будет выполнена работа)

Слайд 3-4

Учитель: Почему эту задачу можно отнести к задачам на работу? (Набор текста – это работа. Только она выражается натуральным числом)

Задача 1. Сравнение производительности

Вера и Оля узнали, что у Саши — день рождения. И сразу же стали набирать SMS-ки! Вообще-то, Вера умеет набирать 24 слова за 4 минуты, а Оля — 35 слов за 7 минут. Вера набрала поздравление из 30 тёплых слов, а Оля — из 20. Чьё поздравление Саша получит первым?

Решение:

Вычислим, с какими скоростями набирают Вера и Оля. Т.е. определим их производительности.

1. 24 : 4 = 6 (слов/мин.) – производительность Веры

2. 35 : 7 = 5 (слов/мин.) – производительность Оли

Да, медленнее печатает Оля… Но ведь у неё и сообщение короче! Придётся считать, сколько времени затратила каждая на своё сообщение.

3. 30 : 6 = 5 (мин.) – время, за которое Вера наберет SMS

4. 20 : 5 = 4 (мин.) – время, за которое Оля наберет SMS

Вот так. Оля опередила Веру. На одну минуту.

Ответ: поздравление Оли.

Учитель:

В чём особенность этой задачи на работу? В том, что все исходные данные — разные. А также для расчетов мы брали разные работы, выполняемые девочками.

Слайд 5

Учитель:

5. Как можно найти время общей работы, если известны время работы каждого его участника? (На слайде вопрос теста на упорядочивание. Работа с маршрутным листом.)

Слайд 6

Проведение тест. Работа с маршрутным листом.

Слайд 7

Учитель:

6. Всегда ли при нахождении совместной производительности производительности участников складываются? (учащиеся предлагают свои предположения) Проблемная ситуация.

Слайд 8

Задача 2. Бассейн

Через одну трубу бассейн наполняется за 7 часов, а через другую опустошается за 8 часов. За какое время бассейн будет наполнен, если открыть обе трубы?

Примем весь бассейн за 1.

Сначала найдем производительность труда совместной работы обеих труб за один час. Поскольку одна труба бассейн наполняет, а другая — опустошает, производительность совместной работы равна разности производительности первой и второй труб:

(часть бассейна)

Теперь найдем время, за которое бассейн будет наполнен при открытии обеих труб одновременно. Чтобы найти время работы, надо объем работы разделить на производительность труда:

(час.)

Таким образом, за 56 часов совместной работы обеих труб бассейн будет наполнен.

Ответ: за 56 часов.

Учитель:

7. Можно ли решить эту задачу, если данные поменяются местами? (Нет. Бассейн заполниться не сможет)

Учитель:

8. Как можно найти время общей работы при выполнении части задания?

Слайд 9.

Задача 3

плавательного бассейна наполняется двумя трубами при их совместной работе за 54 минуты. Через первую трубу бассейн может заполниться за 2 часа. За сколько времени наполнится бассейн, если будет работать только вторая труба?

Решение:

Уравняем единицы измерения:

1. 54 мин. = ч. = ч.

Примем за работу плавательного бассейна. И найдем общую производительность труб и производительность первой трубы (при условии, что работа теперь принимается за 1).

2. : = (часть бассейна)

3. (часть бассейна)

Теперь находим производительность второй трубы и время ее работы.

4. (часть бассейна)

5. (часа)

Ответ: вторая труба заполнит бассейн за 3 часа.

Слайд 10

Учитель:

Вернемся к нашим формулам. При решении задач мы убедились, что работа не всегда рассматривается как 1. То есть правильнее сказать, что речь идет об объеме работы.

Обозначим через A – объем работы. Тогда формулы примут вид:

А = р · t p = t =

Слайд 11-12

Домашнее задание: № 616(2), задача

Учитель: В более сложных задачах добавляются какие-то дополнительные условия, задача намеренно запутывается, но суть остаётся неизменной. В качестве примера — эпическая задача из реальной жизни. Дома разберите алгоритм решения этой задачи.

Это случилось жарким летом …

На побережье реки Оки, в экстремальных условиях, отдыхали друзья Коля, Володя и Серёжа. Это было круто.

Чтобы выжить на отдыхе, друзья решили поймать пару рыбин и сделать отличную уху. Закинули удочки и стали ждать клёва. Поймав первую рыбину, друзья как-то сразу поняли, что двух рыбин не хватит. Да и десяти тоже. Порода, видимо, была такая — мелкая, да… Решили, что надо поймать штук 30, или больше.

За полтора часа Сережа поймал 10 рыб, Вова — 8, а Коля — 7. На уху почти хватало, но нужны были ещё дрова для костра. Вова предложил, чтобы в лес за дровами шёл тот, у кого меньше ловится, а остальные будут рыбачить ещё 40 минут. Так рыбы больше получится. Сережа (чемпион!) радостно согласился. Но тут Коля некстати вспомнил, что он 34 минуты готовил чай с бутербродами, а Вова 26 минут искал дополнительную наживку для всех…. И этот факт надо учитывать. Это было честно и все согласились.

Уха получилась отличная!

Вопросы:

1. Кто ходил за дровами в лес?

2. Сколько всего было поймано рыб на уху?

Рефлексия урока.

Слайд 13.

1. Найдите сумму баллов в маршрутном листе.

Оценка «5» — 5-6 баллов

Оценка «4» — 4 балла

Оценка «3» — 3 балла

2. Сделайте вывод о своей работе на уроке

2 – согласен/согласна

1 – частично согласен/согласна

0 – не согласен/не согласна

• Мне было интересно 0 1 2

• Я узнал(а) что-то новое 0 1 2

• Мне было сложно 0 1 2

• Я все решил(а) правильно 0 1 2

• У меня еще остались вопросы 0 1 2

Конспект урока по математике на тему «Задачи на совместную работу»

Провёл:

Пухта А.В. – учитель математики,

первая квалификационная категория.

.

г.о. Электрогорск. 2015 год.

Цель урока:

• Сформировать способность к решению задач на совместную работу;

• повторить и закрепить действия с натуральными числами.

Задачи урока:

Обучающие:

1. Актуализировать знание смысла действия умножения, переместительного свойства умножения

2. Закрепить навыки устных и письменных вычислений, умения анализировать и решать задачи.

Развивающие:

3. Формировать познавательную мотивацию на основе эмоциональной и социальной мотивации посредством содержания и вариативности заданий.

4. Развивать логическое мышление: мыслительные операции (анализ, синтез, классификацию, сравнение, аналогию, обобщение).

5. Развивать адекватную самооценку и самоконтроль.

6. Развивать речь учащихся на основе математических терминов и понятий.

7. Развивать умения учебного сотрудничества со взрослым, со сверстниками, с самим собой; желание общаться; доброжелательное отношение друг к другу; умение принимать единое решение во время групповой формы работы (коммуникативные навыки).

Воспитывающие:

8. Воспитывать добросовестное отношение к труду, к учению.

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Устный счет.

Запишите ряд, составленный из ответов примеров, и два следующих числа в этом ряду:

210 ׃ 7

34 · 5

56 – 8

39 + 42

250 – 90

4500 ׃ 50

· 20

+ 190

׃ 16

׃ 9

׃ 40

· 6

— 240

׃ 60

· 80

· 40

· 7

׃ 27

׃ 18

· 15

׃ 2

— 40

+ 19

— 14

· 5

— 58

— 23

׃ 5

· 2

· 16

?

?

?

?

?

?

Ответ: 100, 32, 97, 64, 94, 96, 91, 128, …

3. Восприятие и первичное осознание материала.

Рассмотреть с учениками старинную задачу из математической рукописи XVII века: « Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый:

— Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил за 3 года.

А другой молвил:

— Я бы поставил его в шесть лет.

Оба решили сообща ставить двор. Сколько долго они ставили двор?»

При решении данной задачи мнения в классе разделилось. Одни ребята утверждали, что оба плотника вместе будут строить двор 3 + 6 = 9 лет. Другие возражали – так быть не может: вместе плотники должны построить двор быстрее, а не дольше, чем каждый из них в отдельности. Вскоре все ребята поняли, что время совместной работы не может быть больше трех лет. Но как найти его?

Тогда ребятам нужно объяснить, что затруднение, возникшее у них, связано с тем, что при совместной работе складываются не время работы, а часть работы, которую делают ее участники за единицу времени (год, месяц, день, час и т.д.), а вся выполняемая работа принимается за 1 – «целое». Поэтому для продолжения решения данной задачи целесообразно задать ребятам наводящие вопросы:

1. Какую часть работы сделает первый плотник за год?

1 ׃ 3 = (двора)

2. Какую часть работы сделает второй плотник за год?

1 ׃ 6 = (двора)

3. Какую часть работы сделают оба плотника вместе за год?

(двора)

4. За сколько времени сделают они всю работу, если будут работать совместно?

1 ׃ = 2 (года)

Ответ: Два плотника поставят двор, работая вместе за 2 года.

4. Тренировочные упражнения.

а) Для выравнивания дороги поставлены две грейдерные машины различной мощности. Первая машина может выполнить всю работу за 36 дней, а вторая – 45 дней. За сколько дней выполнят всю работу обе машины, работая совместно?

Решение задачи лучше провести по вопросам предыдущей задачи, чтобы ребята усвоили схему решения и могли пользоваться ею.

1) 1 ׃ 36 = (дороги) – первая машина за 1 день

2) 1 ׃ 45 = (дороги) – вторая машина за 1 день

3) (дороги) – вместе обе машины за 1 день

4) 1 ׃ (дней) – выполнят работу машины, работая совместно

Ответ: за 20 дней.

Схема решения задач на совместную работу:

• Какую часть работы выполнит первый объект за единицу времени?

• Какую часть работы выполнит второй объект за единицу времени?

• Какую часть работы выполнят оба объекта вместе за единицу времени?

• За сколько времени выполнят они всю работу, если будут работать совместно?

б) В городе есть водоем. Одна труба может заполнить его за 4 ч, вторая – за 8 ч, а третья – за 24 ч. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу три трубы?

При решении данной задачи ребятам нужно показать, что выполнять работу могут различное количество объектов, от этого схема решения не меняется.

1) 1 ׃ 4 = (водоема) – первая труба за 1 час

2) 1 ׃ 8 = (водоема) – вторая труба за 1 час

3) 1 ׃ 24 = (водоема) – третья труба за 1 час

4) =(водоема) – три трубы вместе за 1 час

5) 1 ׃ (часа) – наполнится водоем

Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за ч.

в) Школа заказала в швейной мастерской спортивную форму для участников соревнований. Одна швея может выполнить весь заказ за 20 дней, второй для выполнения заказа требуется этого времени, а третьей – в раза больше времени, чем второй. За сколько времени выполнят весь заказ три швеи, работая совместно?

В данной задаче важно, чтобы ребята поняли, что сначала нужно найти, за сколько дней выполнят заказ каждая мастерская, а далее по предложенной ранее схеме.

1. 20 · (дней) – вторая мастерская делает заказ

2. 12 · (дней) – третья мастерская делает заказ

3. 1 ׃ 20 = (заказа) – первая мастерская за 1 день

4. 1 ׃ 12 = (заказа) – вторая мастерская за 1 день

5. 1 ׃ 30 = (заказа) – третья мастерская за 1 день

6. (заказа) – три мастерские вместе за 1 день

7. 1 ׃ (дней) – выполнят заказ три мастерские, работая совместно

Ответ: за 6 дней выполнят заказ три мастерские, работая совместно.

г) Два трактора вспахали поле за 6 часов. Первый трактор, работая один, вспахал бы поле за 15 часов. За сколько времени вспахал бы это поле второй трактор, работая один?

Рассматривая обратную задачу, добиться от учащихся составления схемы решения данного типа задач.

1. 1 ׃ 6 = (поля) – оба трактора вместе за 1 час

2. 1 ׃ 15 = (поля) – первый трактор за 1 час

3. (поля) – второй трактор за 1 час

4. 1 ׃ (часов) – вспахал поле второй трактор, работая один

Ответ: за 10 часов вспахал поле второй трактор, работая один.

5. Домашнее задание:

1. Отгадай, кто был первым чемпионом мира по шахматам?

99 — 9· [( 8 · 9 – 40 ׃ 5 ) ׃ 16 + ( 9 · 4 ) ׃ 6 ] + 70 · 8 ׃ ( 4 · 7 + 12 )

914 – Х.Р.Капабланка

23 – В.Стейниц

149 – Эм.Ласкер

2) Малыш может съесть банку варенья за 30 мин, а Карлсон – в 5 раз быстрее. За сколько времени они съедят такую банку варенья, если начнут со своей обычной скоростью есть ее вместе?