Практика. Линейные уравнения и их системы. Часть 4. Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Задача 4

Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км (Рис. 5). Найти скорость лодки по течению и ее скорость против течения, если за 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Введем обозначения:

1. Скорость лодки по течению: .
2. Скорость лодки против течения: .

Воспользуется формулой:

.

Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км, тогда .

За 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как и за 5 ч по течению: .

Запишем полученную систему линейных уравнений: .

Воспользуется методом подстановки. Во втором уравнении выразим  через

 – разделим обе части уравнения на : .

Подставим полученное значение  в первое уравнение: .

Выполним действие: .

Найдем :

.

Найдем : .

Ответ:  км/ч;  км/ч.

 

Задача 5

В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну (Рис. 6). Если же из второго ящика переложить в первый 20 яблок, то в первом станет в 3 раза больше яблок, чем во втором (Рис. 7). Сколько яблок лежит в каждом ящике?

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 5

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 5

Решение

Пусть изначально в первом ящике было  яблок, а во втором –  яблок. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну:

Если же из второго ящика переложить в первый  яблок, то в первом станет в  раза больше яблок, чем во втором: . Запишем полученную систему линейных уравнений: .

Раскроем скобки во втором уравнении: .

В обоих уравнениях выразим

 через : .

Воспользуемся методом подстановки – подставим выражение во второе уравнение: .

Во втором уравнении перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую: .

Найдем  – количество яблок во втором ящике:

. Подставим найденное значение в первое уравнение и найдем  – количество яблок в первом ящике:

Ответ: .

 

Задача 6

Один металлический сплав содержит  меди, другой –  меди (Рис. 8). Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего

 меди (Рис. 9)?

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 6

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 6

Решение
Пусть необходимо взять  кг первого сплава и  кг второго сплава. Тогда

.

Теперь посчитаем массу меди, она составляет: .

Мы знаем, что  – это  от чего-то (Рис. 10), значит,  — это , т.е.

 от  – это .Аналогично  от  – это , а  от  – это .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 6

Запишем уравнение: . Запишем полученную систему линейных уравнений: .

В первом уравнении выразим  через : .

Воспользуемся методом подстановки – подставим первое уравнение во второе: .

Раскроем скобки во втором уравнении: .

Во втором уравнении оставим слагаемые с переменной в левой части уравнения, а без переменной перенесем в правую: .

Выполним действия: . Найдем  – количество кг второго сплава, которое необходимо взять: .

Найдем  – количество кг первого сплава: .

Ответ:  кг;  кг.

 

Задача 7

Сумма цифр двузначного числа равна . Если поменять местами его цифры, то получим число, которое больше данного на . Найти данное число.

Решение

Обозначим двузначное число так: . Сумма цифр двузначного числа  равна : .

Если поменять местами его цифры, то получим следующее число: . Так как в числе   десятков и  единиц, то , а в числе   десятков и  единиц, значит, .

Число  на  больше, чем , поэтому .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую:

Запишем полученную систему линейных уравнений: .

В первом уравнении выразим  через : .

Воспользуемся методом подстановки – подставим это выражение во второе уравнение: .

Во втором уравнении раскроем скобки: .

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а без переменной – в правую и выполним действия: .

Найдем  – число единиц в числе :

Найдем  – число десятков в числе :

Таким образом, исходным числом является .

Ответ: .

 

Заключение

На этом уроке мы потренировались решать различные уравнения и системы линейных уравнений, а также задачи, которые к ним сводятся.

 

Список рекомендованной литературы

1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 7 класс. Учебник. ФГОС, изд-во «Просвещение», 2017.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2014.
3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 7 класс. Учебник, изд-во «Просвещение», 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Решите уравнение: .
2. Решите графически систему уравнений: .
3. Три утенка и четыре гусенка весят  г, а четыре утенка и три гусенка весят  г. Сколько весит один гусенок?

interneturok.ru

Тест: Решение задач с помощью уравнений

Выбери верный ответ

Математика 7 класс | ID: 243 | Дата: 24.10.2013

«;} else {document.getElementById(«torf1″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(1)==»1″) {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf2″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(2)==»1″) {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf3″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(3)==»1″) {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf4″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(4)==»1″) {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf5″).innerHTML=»»;}; if (answ.charAt(5)==»1″) {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;} else {document.getElementById(«torf6″).innerHTML=»»;}; } }

Получение сертификата
о прохождении теста

testedu.ru

Урок алгебры «Решение задач на составление уравнений» для 7 класса

План-конспект урока

1. Ф.И.О. Чуприна Ольга Николаевна

2. Место работы МБОУ СОШ № 18 посёлка Паркового Тихорецкого района

3. Должность учитель математики

4. Предмет алгебра

5. Класс 7

6.Тема урока Решение задач на составление уравнений

7. Базовый учебник Алгебра. 7 класс: Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др. – М.: Просвещение, 2017

8. Цель урока: Развить умения решать текстовые задачи алгебраическим способом: составлять уравнение по условию задачи, решать составленное уравнение.. проводить рассуждения, основанные на интерпретации условия поставленной задачи, для поиска целых корней некоторых несложных нелинейных уравнений

9. Планируемые результаты

личностные: вoспитание трудолюбия, коммуникабельности, интереса к умственной деятельности;

предметные: владеть базовым понятийным аппаратом по теме «Решение уравнений»

уметь применять свойства уравнений;  

уметь решать уравнения;

уметь решать текстовые задачи способом составления уравнений.

Метапредметные: формировать умение создавать обобщение, развивать речь, внимание, мышление, память; решать задачи на составление линейного уравнения, по условию задачи

умение логически рассуждать; умение работать умение распознавать верные и неверные утверждения и решения; умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом; применение приёмов самоконтроля при решении учебных задач; умение видеть математическую задачу в несложных практических ситуациях.

Тип урока: изучение новой темы

1. Организационный момент

Постановка цели и задач урока.

Тема урока определяется учащимися при помощи  диалога с учителем:

Подписать число, тему

Регулятивные— постанoвка учебной цели

2. Устная работа

Повторение изученного ранее материала: алгоритм решения линейных уравнений

Карточка 1 на каждой парте. Дети работают в парах. Первые справившиеся с заданием пары показывают свое решение с помощью документ-камеры, отвечают на вопросы одноклассников и учителя

Регулятивные — определяют цель учебной деятельности, осуществляют поиск средств её достижения.

Познавательные -подведение под понятие, анализ объектов.

Коммуникативные-взаимоконтроль,

3. Объяснение нового материала.

Алгоритм решения задач с помощью уравнений:

I – х (ед.изм.) – это обычно то, что требуется узнать в задаче

II – через х выражается все остальное

III – составляется уравнение с помощью предложений в которых есть фразы «больше, меньше, во…, на…» Например: если х больше у на 10, то уравнение будет таким

х= у + 10

Цель учащихся научиться применять алгоритм решения задач с помощью уравнений для составления уравнения к любой задачи.

Познавательные-

выбор эффективных

способов решения задач, анализ

объектов для выделения свойств и признаков объектов, построение логической цепи рассуждения.

Регулятивные –

выявление объективной учебной информации

Коммуникативные— 

использовать речевые средства для дискуссии и аргументации.

4. Разбор решения задачи 1 п.7.6 из учебника.

Решить задачи № №758(а), 759(а), 760(а), 762(а), 763(а).

Задачи №760 и 763 решают в парах

Карточка № 2 для каждой пары своя задача

Дети проводят работу по составлению и решению уравнений по условию задач на движение.

Карточку 2 решают дети в группах по 4 ученика. Затем защищают свое решение. Чтобы затратить меньше времени, дети свое решение показывают через документ- камеру

Познавательные-

выбор эффективных способов решения задачи,

рефлексия способов и условий действий.

Регулятивные-

контроль усвоения учебной информации

 Коммуникативные-взаимоконтроль, работа в парах

5. Заключительный этап

Решаем старинную задачу: В 1881г. была найдена зарытой в земле близ Бахшали (северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая, как полагают, относится к VI-VIII вв. В этом памятнике, написанном на березовой коре и известным под названием ”Бахшалийской рукописи”, содержится такая задача:

“Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?”

Решение:

Пусть первый дал х то следующие дали 2х, 6х, 24х, все же вместе дали 132.

х+2х+6х+24х=132

33х=132

х=4

Следовательно, первый дал 4, второй 8, третий 24, четвертый 96.

Познавательные-

выбор эффективных способов решения задачи,

рефлексия способов и условий действий.

Регулятивные-

самодиагностика и коррекция собственных учебных действий. 

Коммуникативные-взаимоконтроль,

6. Подведение итогов урока. рефлексия

Ответы учащихся. В соответствии с целью урока

Познавательные—

рефлексия способов и условий действия.

Регулятивные-

оценивание результатов выполненной деятельности.

Коммуникативные-

использовать речевые средства для дискуссии и аргументации своей позиции.

7. Домашнее задание. №№№ №758(б), 759(б), 760(б), 762(б), 763(б).

Карточка 1. Решить уравнения:

1) 3х + 2 =11.

2) 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

3) 2 (х + 3) = 5 – 6х.

4) – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

5) 5(x — 2) = 45

Карточка 2. Решить задачу:

I. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

II. На солнышке грелось несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

III. (Старинная задача.) Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

IV. От турбазы до привала туристы шли со скоростью 4,5км/ч, а возвращались на турбазу со скоростью 4км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от турбазы был сделан привал?

V. (Задача С.А. Рачинского.) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5 . Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

Решения:

№758(а)

х – (км/ч) – скорость туриста

(х + 10) –(км/ч) – скорость велосипедиста

0,5х(км) – прошел турист до встречи

0,5(х + 10)(км) – проехал велосипедист до встречи

0,5х + 0,5(х + 10) = 9

х = 4

4 км/ч – скорость туриста

Ответ: 4 км/ч

№759(а)

х – (км/ч) скорость пассажирского поезда

(х – 30) –(км/ч) – скорость электропоезда

2х –(км) — проехал до разъезда п.п.

2(х – 30) –(км) — проехал до разъезда эл.п.

2х + 2(х – 30) = 300

х = 90

2х = 180(км) – расстояние от А до разъезда

2(х – 30) = 120(км) — расстояние от В до разъезда

Ответ: 180 км от А, 120км от В

№ 760(а)

х – (км/ч) скорость 1 поезда

(х + 20) –(км/ч) – скорость 2 поезда

3х –(км) — проехал 1 поезд.

3(х + 20) –(км) — проехал до разъезда эл.п.

Всего проехали 480 км

3х + 3(х + 20) = 480

х = 70(км/ч) скорость 1 поезда

70 + 20 = 90(км/ч) – скорость 2 поезда

Ответ: 70 км/ч, 90км/ч.

№ 762(а)

х км/ч – скорость течения реки

(30 + х) (км/ч) – скорость катера по течению реки

(30 — х) (км/ч) – скорость катера против течения реки

3,5(30 + х) (км) – прошел катер по течению реки

4(30 — х) (км) – прошел катер против течения реки

3,5(30 + х) = 4(30 — х)

х = 2(км/ч) – скорость течения реки

3,5 * (30 + 2) = 112 (км) прошел катер по течению реки

Ответ: 2км/ч, 112км

№763(а)

х(ч) – плыла лодка по течению реки

(8 – х) (ч) – плыла лодка против течения реки

8 + 2 = 10(км/ч) –скорость лодки по течению реки

8 – 2 = 6(км/ч) – скорость лодки против течения реки

10х(км) – проплыла лодка по течению реки

6(8 – х) (км) — проплыла лодка против течения реки

10х = 6(8 – х)

х = 3(ч) – плыла лодка по течению реки

10 * 3 * 2 = 60(км) – проплыла лодка всего

Ответ: 3 часа, 60км.

Решение задач карточки 2

I.

х(км/ч) – собственная ск. теплохода

(х + 2)(км/ч) – скорость тепл-да по течению реки

(х – 2)(км/ч) – скорость тепл-да против течения реки

9(х + 2)(км) – прошел тепл-д по течению реки

11(х – 2)(км) – прошел тепл-д против течения реки

9(х + 2) = 11(х – 2)

х = 20(км/ч) – собственная скорость теплохода

Ответ: 20 км/ч.

II.

х(кошек) – грелось на солнышке

2х-было ушей

4х – было лап

4х = 2х + 10

х = 5(кошек) грелось на солнышке

Ответ: 5 кошек

III.

х (дней) – первый шел до встречи

(х -1) (дней) – второй шел до встречи

40х (верст) – прошел первый

45(х – 1) (верст) – прошел второй

40х = 45(х -1)

х = 9

через 9 дней после выхода первого второй его догонит

Ответ: через 9 дней

IV.

х(ч) – туристы шли до привала

(х + 15/60)(ч) = (х + 0,25) (ч) – туристы шли обратно

4,5х(км – туристы прошли до привала

4(х + 0,25)(км) – туристы прошли до турбазы

4,5х = 4(х + 0,25)

х = 2(км) от турбазы был сделан привал

Ответ: 2 км.

V.

х (учеников) всего

(х – 1) учеников получили по 5 орехов

3 + 5(х – 1)(орехов) – было всего

4х(орехов) — получили бы все ученики

3 + 5(х – 1) = 4х + 15

х = 17

4 * 17 + 15 = 83(ореха)

Ответ: 83 ореха.

infourok.ru

Решение задач с помощью уравнений. 7-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

• закрепление умения решать текстовые задачи с помощью уравнений;
• проверить уровень усвоения;
• развитие правильной математической речи;
• воспитание критичного отношения к себе.

Планируемые результаты:

• предметные: уметь применять алгоритм решения задач с помощью составления уравнений; уметь решать текстовые задачи с помощью уравнений; уметь работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи;
• личностные: уметь слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения, дополнять и исправлять ответы других учащихся; способность сопереживать радость, удовольствие от верно решенной задачи; понимать смысл поставленной задачи;
• метапредметные: способность самостоятельно ставить цели учебной деятельности, планировать, осуществлять, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения, владение основами самоконтроля, самооценки.

Познавательные УУД: анализировать и осмысливать текст задачи, применять алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений.

Регулятивные УУД: работать по алгоритму, сверять свои ответы с ответами одноклассников.

Коммуникативные УУД: аргументировать свою точку зрения, участвовать в диалоге, работать в группах.

В результате у учащихся формируются такие качества личности, необходимые в современном обществе, как интуиция, логическое мышление, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов.

Задачи:

• образовательные:  продолжить формировать умение решать текстовые задачи;
• воспитательные: умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; прививать учащимся умение аргументировать свое мнение, повышая самооценку, самоконтроль, взаимоконтроль; требовательное отношение к себе и своей работе;
• развивающие: развитие навыков и способностей критического мышления; развитие у детей способности рассуждать.

Тип урока:  урок закрепления знаний и умений.

Формы работы учащихся:  фронтальная, индивидуальная, работа в группах.

Необходимое оборудование: доска, интерактивная доска, компьютер, карточки для коммуникации.

Ход урока

1. Организационный этап

Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку, предлагает обучающимся поделиться своим настроением с помощью карточек для коммуникации.

Доброе утро, садитесь. С каким настроением вы пришли ко мне на урок? Надеюсь, что с урока вы уйдёте с хорошим настроением и новыми знаниями.

Учащиеся слушают учителя, поднимают карточки.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся

Кто может сказать, чем мы с вами занимались на прошлом уроке?

Правильно. Мы начали с вами применять уравнения для решения задач.

• Как вы считаете, достаточно ли вами решено задач? (Нет).
• Какая цель может быть у нас сегодня? (Закрепить умение решать текстовые задачи с помощью уравнений).
• Что для этого необходимо? (Продолжить решать текстовые задачи на эту тему).

Сегодня на уроке мы продолжим решать задачи с помощью уравнений. Работать вы будете в группах, а это значит, что нужно активно участвовать в совместной работе, внимательно выслушивать каждого члена группы, не перебивать собеседника, не смеяться над ошибками других, а помочь им в работе. В конце урока каждый получит оценку за свою работу.

Учащиеся отвечают на вопросы  учителя и формулируют цель и задачи урока.

3. Устная работа

Проверим сначала, как вы научились решать линейные уравнения и составлять их по условию задачи? (Да).

Задания проецируются на экран. Презентация, слайд № 2.

№ 1. Составьте уравнение по условию задачи:

1. В первой бригаде на 5 рабочих больше, чем во второй. Сколько рабочих в каждой бригаде, если всего в двух бригадах 77 человек?
2. Длина прямоугольника в 2 раза больше ширины, а его периметр равен 138 см. Найдите размеры прямоугольника.

№ 2. Решите уравнение:

1. 5 – 2х = 0;
2. х – 8 = -4х – 9.

Учащиеся работают фронтально, выполняют предложенные задания.

4. Работа в группах

Повторение алгоритма решения задач с помощью уравнений. Перед вами на интерактивной доске алгоритм решения задач с помощью уравнения. Вам нужно найти ошибки и исправить их:

1. Обозначают все неизвестные числа буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение.

2. Решают это уравнение.

3. Записывают полученный результат в ответ задачи.

Каждая из групп находит ошибки и подзывает учителя, даёт правильный ответ, потом ответ проверяется с помощью слайдов презентации.

5. Физкультминутка

Перед тем, как продолжить нашу работу, давайте немного передохнём.

— Встали. Потянулись. Поиграем в «Карлики – великаны».

6. Работа в группах

Решение задач

Каждая из групп решает задачу, показывает своё решение учителю, потом решение проверяется с помощью слайда презентации.

Задача 1: Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья – на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?

Задача 2 (на движение): За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

7. Информация о домашнем задании

Решить задачи из учебника:

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причём на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором – на 4 банки меньше, чем в третьем?

Тем, кому интересно, предлагаю решить старинную задачу:

Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 верст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

8. Рефлексия

С каким настроением вы заканчиваете урок? Покажите карточкой.

Предлагаю каждой группе написать на листочках ответы на следующие вопросы:

• Что понравилось на уроке?
• Что не понравилось на уроке?

9. Подведение итогов

Оценивается работа каждого обучающегося, выставляются оценки.

Список литературы и источников Интернета.

1. Учебник для общеобразовательных организаций. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – М. : Просвещение, 2014.
2. https://xn--80aa2aegbj2f.xn--p1ai/publications/igry-na-trave/%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BC.%D1%80%D1%84/publications/igry-na-trave/

urok.1sept.ru

Конспект урока алгебры в 7 классе «Уравнения. Решение задач на составление уравнений»

Тема: Уравнения. Решение задач на составление уравнений

1) Организационный этап.

Приветствие, проверка присутствующих.

Давайте улыбнёмся  друг другу и с хорошим настроением начнём наш урок.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Математику не зря называют «царицей наук», ей больше, чем какой-либо другой науке, свойственны красота, изящность и точность. Одно из замечательных качеств математики — любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Скажите, какую тему мы изучали на прошлом уроке? (Уравнения. Решения задач с помощью уравнений). Посмотрите на экран, решали ли мы такие уравнения? (Ответы учащихся: да, решали). А такие? А хотели бы проявить любознательность и решить похожее уравнение? Как вы думаете, какая цель нашего урока? (Предполагаемые цели ученика: научиться решать уравнения более сложные, чем те, способы решения которых ему известны.)

Мы изучили очень важную главу в курсе алгебры «УРАВНЕНИЯ». Вы знаете и умеете решать уравнения, приводимые к линейным, составлять различные уравнения по условию задачи. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать, что вы и сделаете на сегодняшнем уроке, а я вам в этом помогу.

Итак, цель нашего урока: Повторение и закрепление полученных знаний по теме «Уравнения. Решение задач на составление уравнений», применение полученных знаний к решению уравнений и задач различного уровня сложности.

Откройте тетради, запишите число, тему. Сегодня на уроке мы продолжим работу по теме «Уравнения. Решение задач на составление уравнений».

3) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний.

Начнём урок с проверки домашнего задания, потому что, чтобы узнать что-то новое, необходимо повторить уже изученный материал. У кого возникли трудности при решении домашнего задания? Все справились? Нет таких. А мне интересно, как вы справились с №157.

№157. Старинная задача. Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходит по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

Решение. Пусть второй человек догонит первого через х дней, тогда за эти дни он пройдет 45х верст. Первый человек, так как он шел на день дольше, пройдет 40(х + 1) верст. Зная, что они пройдут одинаковое расстояние, составим и решим уравнение:

х = 8.

Значит, второй человек догонит первого через 8 дней.

+ если ваши решения совпадают с решениями на доске

— если есть ошибки и вы не понимаете, почему не так

№150, №151, №153, №163.

4) Первичное закрепление в знакомой ситуации (типовые) в изменённой ситуации (конструктивные)

1. Корнем уравнения называется…

2. Решить уравнение — …

3. Равносильные уравнения — …

4. Линейное уравнение с одной переменной — …

Задание 1. Запишите в виде выражения:

г) произведение суммы чисел a и b и числа с.

Задание 2. Установить соответствие между уравнением и его решением.

Ребята, у нас началась творческая работа. Был объявлен конкурс на составление уравнения. По итогам конкурса я предоставлю слово Мелешко Дарье, так как, на мой взгляд, её уравнение более сложное из всех представленных. Все остальные уравнения я также оценила, и мы будем рассматривать их на следующих уроках в качестве повторения темы.

(На слайде представлено уравнение, которое я составила самостоятельно. Так как в 5 классе мы решали уравнения с натуральными числами, дробями, в 6м – с использованием свойств сложения и вычитания, а также уравнения с пропорцией, у меня возникла идея, что получится, если соединить все те уравнения, которые мы решали в прошлых классах. И вот что у меня получилось:

Я предлагаю приступить к решению, в качестве подсказки на слайде выделено место для фиксирования промежуточного результата.)

Задание 3. Решить уравнение:

Ответ:

(57х — 6)/3 = 39 (х + 2)

Уравнение для Даши:

Ответ: 733/2000

Прежде чем приступить к решению задачи, давайте повторим этапы решения.

Задание 4. Расставить этапы решения задачи с помощью уравнения по порядку.

Задание 5. Задача. Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, выехали одновременно навстречу друг другу автомобиль и автобус. Через 2 ч после начала движения расстояние между ними составляло 30 км. Найдите скорость автомобиля и автобуса, если скорость автомобиля на 10 км/ч больше скорости автобуса.

Решение с помощью презентации, уравнение решают самостоятельно.

(2х + 10) · 2 = 270 – 30,

(2х + 10) · 2 = 240,

2х + 10 = 120,

2х = 110,

х = 55.

Значит, скорость автобуса 55 км/ч, а скорость автомобиля – 65 км/ч.

Ответ: 55 км/ч, 65 км/ч.

Физкультминутка

Цель: снять утомление, обеспечить активный отдых и повысить умственную работоспособность учащихся.

Упражнения:

1) «Черепаха»: наклоны головы вперед -назад.

2) «Маятник»: наклоны головы вправо-влево.

3) «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой оси, проходящей через нос и затылок.

4) «Сова»: поворот головы вправо-влево.

5) «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять положение рук.

6) «Тянемся — потянемся»: руки вверх, вытягиваем позвоночник.

А теперь займемся решением задач

5) Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)

Задача, составленная Соловьевой Юлией.

(Изучив все предложенные задачи в учебнике, я составила следующую задачу:

В магазин фруктов привезли ящики с бананами, апельсинами, грушами и персиками. Ящиков с грушами было на 20 штук меньше, чем ящиков с апельсинами и в 4 раза меньше, чем ящиков с персиками. Ящиков с бананами привезли в 3 раза больше, чем ящиков с апельсинами и грушами вместе. Найти, сколько всего ящиков привезли, если ящиков с бананами и грушами было на 50 штук больше, чем ящиков с персиками и апельсинами.

В качестве подсказки, я представляю схему условия, которую необходимо дополнить.)

Задача 6. В магазин фруктов привезли ящики с бананами, апельсинами, грушами и персиками. Ящиков с грушами было на 20 штук меньше, чем ящиков с апельсинами и в 4 раза меньше, чем ящиков с персиками. Ящиков с бананами привезли в 3 раза больше, чем ящиков с апельсинами и грушами вместе. Найти, сколько всего ящиков привезли, если ящиков с бананами и грушами было на 50 штук больше, чем ящиков с персиками и апельсинами.

Ответ: 140 ящиков

Уравнение (3(2х + 20) + х) – 50 = 4х + х + 20

Х = 5.

Груши – 5 шт., апельсины – 25 шт., персики – 20 шт., бананы – 90 шт.

Задача для Юли: Петя, Саша и Маша решали задачу. Петя решил её быстрее всех. Саша решил задачу только через 10 минут после того, как её решил Петя, а Маша решила задачу через 20 минут после того, как её решил Саша. Сколько минут решала задачу Маша, если эту задачу ребята решили ща 49 минут?

Уравнение: х + х + 10 + х + 10 + 20 = 49.

Ответ: Петя за 3 минуты, Саша за 13 минут, Маша за 33 минуты.

Самостоятельная работа

Ответы зафиксировать с помощью системы Mimio Vote.

1. Укажите уравнение, корнем которого является число 3.

А) (х — 3)(х + 3) = 2

Б) (х + 3)² = 0

В) (х + 2)(х — 1) = 10

Г) |х| = -3

2. Какое из следующих уравнений имеет корни?

А) х + 2 = х + 3

Б) |x + 2| = -2

В) х² = 0

Г) х² = -4

3. Составьте по условию задачи уравнение, обозначив буквой х количество конфет, которые съела Алена.

Три подружки съели 23 конфеты. При этом Тамара съела в 3 раза больше конфет, чем Алена, но на 2 конфеты меньше, чем Наташа. Сколько конфет съела Алена?

А) 3х + 2 =23

Б) 7х + 2 = 23

В) 3х – 2 = 23

Г) 7х – 2 = 23

4. Укажите уравнение, которое не является линейным уравнением с одной переменной.

А) х(х — 5) = 0

Б) 2х + 3 (х — 4) = 5

В) 0,3 (х — 4) = 0,5 (х + 1)

В) x – 1 = 2 (x — 4)

5. Решите уравнение 0,3х – 0,45 = 0.

А) -15

Б) 15

В) 1,5

Г) -1,5

6. Укажите, при каком значении а уравнение ax – 5 = 0 имеет один корень.

А) а ≠ 0

Б) а = 0

В) а = 5

Г) нет таких значений а

7. Укажите, при каком условии уравнение a·x = 0 имеет бесконечно много корней.

А) а ≠ 0

Б) а = 0

В) а = 5

Г) нет условий

8. Выясните, какие из следующих уравнений равносильны:

1) х² = 25; 2) х – 5 = 0; 3) (х — 5)(х + 5) = 0.

А) 2 и 3

Б) 1 и 2

В) 1, 2 и 3

Г) 1 и 3

9. Решите уравнение Укажите два целых числа, между которыми находится его корень.

А) 0; 1

Б) 3; 4

В) -4; -3

Г) -1; 0

10. Составьте уравнение к задаче, обозначив буквой х собственную скорость теплохода.

Расстояние от одной пристани на реке до другой теплоход проходит за 6 часов, а обратно за 5 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

А) 6х = 5(х + 2)

Б) 6(х + 2) = 5(х — 2)

В) 6(х — 2) = 5х

Г) 6(х — 2) = 5(х + 2)

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

I уровень — №246, №248, №252.

II уровень — №1188, №1189.

7) Рефлексия (подведение итогов занятия)

Наше занятие подходит к концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

1. Было интересно …

2. Было трудно …

3. Я выполнял задания …

4. Я понял, что …

5. Теперь я могу …

6. Я научился …

7. У меня получилось …

9. Я смог …

10. Меня удивило …

11. Мне захотелось …

12. Я попробую…

Резервные задания:

1. Верно ли решено уравнение

2. Правильно или неправильно составлено уравнение по условию задачи?

Обозначение неизвестного

Уравнение

Верно/

неверно

1.

Расстояние от А до В автомобиль проехал за 2 часа, а грузовик за 2,5 часа. Чему равно расстояние от А до В, если известно, что скорость автомобиля была на 20 км/ч больше скорости грузовика?

х (км/ч) – скорость грузовика

2,5х = 2(х + 20)

+

2.

Сумма трёх чисел равна 92. Второе число меньше первого в 2 раза, больше третьего на 12. Найдите эти числа.

х – второе число

2х + х + (х + 12) = 92

—

3. Старинная задача

Уже около 4000 лет назад вавилоняне и египтяне решали разные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Уравнение первой и второй степеней умели решать в древности также китайские и индийские ученые.

Задача Бхаскара (крупнейший индийский математик и астроном XII века).

Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого?

Решение:

170; 40. Вводя вспомогательное неизвестное, Бхаскара принимает, что первый имеет 2х – 100, тогда по условию задачи второй имеет х+100. Второе условие приводит к уравнению.

6(2х-100-10)=х+100+10, откуда х=70.

infourok.ru

Учебно-методический материал по алгебре (7 класс): Решение задач с помощью уравнений

 ФИО: ЖиленкоЛилия Евгеньевна

Должность: учитель математики

Место работы: ГБОУ школа №480 г.Санкт-Петербург

Предмет: алгебра

Тема урока: «Решение задач с помощью уравнений»
 Цель урока: создание условий для осознанного и уверенного владения навыком составления уравнений при решении текстовых задач.
Техническое обеспечение:

Алгебра 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – М.:Вентана-Граф, 2018 г.

Задачи:
— образовательные (формирование познавательных УУД):
создать условия для формирования умений решать задачи с помощью уравнений, выполнять действия по нахождению неизвестных компонентов уравнений, составлять план решения задач по заданным условиям и в жизненных ситуациях составлять собственные задачи по заданным условиям; закрепить навыки и умения применять алгоритмы при решении уравнений и задач.
— развивающие (формирование регулятивных УУД)
определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя, проговаривать последовательность действий на уроке; фиксировать собственные затруднения на уроке; проводить рефлексию собственной деятельности и деятельности группы; находить информацию; осуществлять контроль правильности действий; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными

— воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):
научить слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие;

уметь договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности, оценивать работу участников группы в тактичной форме, отражать результаты в устной и письменной речи, соблюдая правила речевого этикета, уметь использовать знаково-символические средства, воспитывать ответственность и аккуратность.
Тип урока – урок изучения нового материала.
Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, групповая.

Ход урока

1. Организационный момент.

Мы урок начнем сейчас,

Интересен он для вас.

Слушайте внимательно,

Пойметё обязательно.

Давайте улыбнёмся друг другу и с хорошим настроением начнём наш урок.
2. Мотивация урока.

Начать урок я хочу с вопроса к вам. Как вы думаете, что самое ценное на Земле?

Выслушиваются варианты ответов учеников.

Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный  писатель М. Горький: «Знание — это абсолютная ценность нашего времени. Нет силы более могучей, чем знание, человек, вооруженный знанием, — непобедим». Пусть эти слова станут девизом нашего урока.
3. Постановка целей урока.

Ребята. Сегодня мы с вами будем решать задачи. Это уже не ново для вас, мы решали задачи на вычисление периметра и площади прямоугольника, на нахождение части от числа и числа по его части, на движение и многие другие. А вот каким способом решения мы займемся сегодня – нам поможет узнать следующее задание.

Разгадайте ребус.

Итак, сегодня мы займемся решением задач с помощью уравнений. Как вы думаете, что нужно сделать, чтобы научиться правильно составлять уравнения? Такой приём мы уже применяли при решении задач «по действиям».

Ученики в процессе обсуждения приходят к мнению, что нужно попробовать самим составлять задачи.

Значит, сегодня на уроке перед нами стоят следующие задачи.

С помощью учеников учитель формулирует задачи урока. Вот возможные варианты.

• Учиться составлять уравнения к задачам.
• Учиться составлять задачи.
• Учиться определять тип задач.

Запишите в тетради тему урока: «Решение задач с помощью уравнений».
4. Устная работа.

Задание 1. Какое слово лишнее?

А) Километр, метр, сантиметр, длина, миллиметр, дециметр.

Б) Тонна, центнер, масса, грамм, пуд.

В каком отношении находится лишнее слово в каждом из списков?
Задание 2. Решить уравнения, повторяя правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя.

а) х + 23=48; в) 10 – х = 2; д) х : 10 = 4;

б) у – 10 = 28; г) 72 : у =9; е) 25х = 75. 
5. Изучение нового материала.

Задание 1.

В одном бидоне х л, а в другом – у л молока.

1. Расшифруйте выражения:

а) х + у

б) x + 4

в) y – 1

г) x – y

2. Расшифруйте равенства:

а) х + у = 70

б) x + 9 = y

в) 3x = y

г) x – 15 = y + 25

Задание 2. Решите задачу.

Поле площадью 28 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков на 4 га больше другого.

Разбор задачи.

О чем говориться в задаче? (Предполагаемый ответ: в задаче говорится о поле)

На какие части можно условно разделить поле в задаче? (I участок, II участок)

Какая величина характеризует поле? (Площадь поля)

В чем она измеряется? (Гектарах)

Какова площадь поля? (28 га)

Какова площадь первого участка? (Неизвестна)

Какова площадь второго участка? (Неизвестна)

Какова зависимость между неизвестными величинами? (Площадь первого поля на 4 га больше площади второго участка)

Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо ввести переменную и составить уравнение.

Решение.

Пусть х га площадь второго участка, тогда х + 4 площадь второго участка. Зная что, площадь всего поля 28 га, составим уравнение.

х + х + 4 = 28

х + х = 28 – 4

2х = 24

х = 24 : 2

х = 12
Значит 12 га площадь второго участка.

12+4 = 16 (га) площадь первого участка.

Ответ. 12 га и 16 га.
Ребята, каким образом поступают при решении задач с помощью уравнений?

• Обозначают некоторое неизвестное число буквой, и, используя условие задачи, составляют уравнение.
• Решают уравнение.
• Истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

6. Физкультминутка.

Быстро встали, улыбнулись.

Выше-выше потянулись.

Ну-ка, плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали. Сели, встали.

И на месте побежали.
7. Закрепление изученного материала.

Задание 1. Составьте несколькими способами уравнение для решения задачи.

Мотоциклист движется навстречу автобусу. Сейчас между ними расстояние 90 км. Они встретились через 1 час. Найдите скорость автобуса, если она больше скорости мотоциклиста в 2 раза.

Проверим решение задачи.

Пусть х км/ч- скорость мотоциклиста, тогда 2х км/ч – скорость автобуса.

Путь, который прошёл автобус: х∙1= х (км).

Путь, который проделал мотоциклист 2х∙1= 2х (км).

По условию задачи весь путь равен 90 км.

Возможные уравнения:

2х + х = 90

90 – х = 2х

90 – 2х = х
Какое из уравнений является самым простым для решения?
Решить № 34(чет),№37(чет)                                                          

8. Рефлексия.
Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:
Я узнал…
Я почувствовал…
Я увидел…
Я сначала испугался, а потом…
Я заметил, что …
Я сейчас слушаю и думаю…
Мне интересно следить за…

9. Домашнее задание.

Для обязательного выполнения № 113,115

 

nsportal.ru

Решение задач с помощью уравнений (7 класс)

Решение задач с помощью уравнений-

7 кл.

Учитель Хренкова Г.Г.

Устный счет

Найди ошибку!

8х+40=8(х+2)+24;

8х+40=8х+16+24;

8х-8х=16+2 4 — 40;

0х=0;

х — любое число.

8х+40=8(х+2)+24;

8х+40=8х+16+24;

8х-8х=16+24 + 40;

0х=80.

уравнение корней не имеет.

Задача №1

Пусть Х- вес пустой коробки,

Пустая коробка в 4 раза легче коробки с сахаром

Тогда вес коробки с сахаром 4Х

Решение:

4х+4х+0,1=х+1+0,5;

С

С

А

А

Х

Х

А

А

р

р

4х+4х-х=1,5-0,1;

С

А

Х

А

р

1кг

7х=1,4;

500г

100г

х=1,4:7;

х=0,2;

0,2(кг) — пустая коробка,

Сколько весит сахар ?

0,2∙4=0,8(кг) -коробка с сахаром,

0,8-0,2=0,6(кг) — сахар.

Ответ: 0,6кг

Задача №2

Дано: АВСD – прямоугольник,

Р(АВСD)=64см,

АВ ‹ ВС на 8см.

1. 2х+2(х+8)=64;

Х+8

В

С

2. (х+х+8) 2=64 .

Х

D

А

Х = 12,

Значит одна сторона 12 см,

а вторая 12 + 8 = 20 (см)

Найти стороны ABCD

Составьте уравнение к задаче двумя способами.

Задача №3

Составить условие задачи по уравнению:

а) х+2х=15;

б) х +(х-2)=18.

По шоссе идут две автомашины с одной и той же скоростью.

Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит на 20 км/ч,

то первая за 2 ч пройдёт столько же, сколько вторая за 3 ч.

С какой скоростью идут автомашины?

Пусть х км/ч- скорость каждой машины.

1.

v,км/ч

t,ч

(х+20)

2.

(х-20)

S,км

2

3

(х+20)2

(х-20)2

По условию задачи, автомашины проехали одинаковое расстояние.

(х+20)2=(х-20)3;

2х+40=3х-60;

2х-3х=-60-40;

-х = -100;

Х=100;

100 км/ч-скорость каждой автомашины.

Ответ: 100 км/ч

Проверь себя!

В двух сараях сложено сено, причём, в первом сарае в 3 раза больше, чем во втором. После того, как из первого сарая увезли 20 т сена, а во второй привезли 10 т, в обоих сараях сена стало поровну. Сколько всего тонн сена было в сараях первоначально?

Пусть х т сена было во II сарае,

тогда (3х) т сена было в I сарае, а (3х-20) т стало в Iсарае,

(х+10)т стало во II сарае.

Известно, что в сараях сена стало поровну.

3х-20=х+10;

3х-х=10+20;

2х=30;

х=15; 15(т) было во II сарае;

15 ∙3=45(т) было в I сарае.

Ответ: 45 т

Дополнительные задания

Решите уравнения:

-2х=14;

3х=0;

0х=0;

0х=12;

(х-6)(х+11)=0;

Х(х+3)(х-1)=0.

kopilkaurokov.ru