Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной – Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Содержание

Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Тип урока

: изучение нового материала.

Цели урока

:
  1. Познакомить учащихся с методом решения тригонометрических уравнений методом замены переменной.
  2. Формировать умения анализировать, устанавливать связь между элементами содержания ранее изученного материала, навыки поисковой деятельности, способность к самоанализу, рефлексии.
  3. Содействовать развитию познавательного интереса и личностной активности учащихся; создать условия для творческой самореализации личности.

Оборудование урока:

  • экран,
  • мультимедиа проектор,
  • компьютер,
  • авторская презентация к уроку,
  • набор карточек для конструирования уравнений на магнитной доске,
  • комплекты дидактической игры “Лото”,
  • бланки с заданием теста.

Компьютерное программное обеспечение

: программа Power Point

На уроке сочетаются фронтальный, парный и индивидуальный виды работы учащихся. У каждого ученика на рабочем месте находиться листы индивидуальной работы, на которых он подписывает свою фамилию, строит график самоанализа своей деятельности на занятии. Для самоанализа своей деятельности на занятии ученики строят график. На вертикальной оси отмечают самооценку от 1 до 5, а по горизонтальной отмечают этапы урока

Ход урока

Организационный момент. (1 мин.)

Учитель: Методы решения тригонометрических уравнений разрабатывались математиками уже многие годы. Ими выделены различные классы тригонометрических уравнений, для которых известны алгоритмы решения. Сегодня на уроке мы рассмотрим один из методов решения тригонометрических уравнений – “ Метод замены переменной”. Этот метод решения уравнений вам хорошо известен, вы не раз применяли его при решении алгебраических уравнений. Покажем, как он применяется при решении тригонометрических уравнений

I этап. (6 мин.) Учащиеся отвечают на вопросы учителя: Какие уравнения называются тригонометрическими? Что значить решить тригонометрическое уравнение? Какие тригонометрические уравнения относятся к простейшим? При каком условии уравнения имеют решения? Какие уравнения называются квадратными? Какие виды квадратных уравнений они знают? Какова связь числа корней квадратного уравнения с его дискриминантом? Ответы иллюстрируются слайдами презентации на экране

Ученики в парах выполняют задания теста по теме: “Простейшие тригонометрические уравнения”. По окончании работы над тестом учитель показывает правильные ответы на экране. Пары обмениваются бланками с тестовыми заданиями и проводят взаимопроверку. Во время проверки ученики корректируют свои знания по этой теме. Ученики отмечают свою оценку на графике и сдают бланк учителю. Критерии оценок: “5”-5 верных ответов, “4”-4 верных ответа, “3”-3 верных ответа, “2”-1-2 верных ответа.

Tест. Вариант№1.

Задание. Найдите ошибку.

Правильные ответы отметь кругом.

Ответ: 3,4,5,7,8

Tест. Вариант№2.

Задание. Найдите ошибку.

Правильные ответы отметь кругом

Ответ: 2,4,5, 8,9

II этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель:- Проанализируйте два уравнения и ,где заданные числа и определите какое из этих уравнений сложнее и почему?

Учащиеся: – Второе уравнение сложнее, так как в него входят две тригонометрические функции ,.

Начинаем искать метод решения первого уравнения. Так как в этом уравнении коэффициенты известные числа и у двух элементов один и тот же аргумент обращаемся к аналогичной ситуации в алгебраических уравнениях. Вспоминаем с учащимися, что для решения, уравнения вида , где заданные числа, делаем замену , при этом отвечаем на вопросы подтверждающие возможность замены: Можно ли решить “новое” уравнение? Будет ли работать данный метод при решении тригонометрического уравнения. Отвечая на эти вопросы, приходим к выводу, что уравнение можно решать заменой .

  Шаги алгоритма Возможные ошибки Пути исправления ошибок
1 Замена переменной. Неправильно записано новое уравнение. Проверить запись нового уравнения
2 Решение квадратного уравнения. Ошибки при вычислении корней квадратного уравнения. Проверить правильность решения квадратного уравнения различными способами.
3 Решение простейших тригонометрических уравнений Формальное применение формул для решения простейших уравнений. Неправильно решены уравнения при частных случаях Вспомнить ограниченность синуса и косинуса, выучить формулы для решения простейших уравнений, частных случаев.

Пример 1. Решить уравнение .

В итоге ученики совместно с учителем выделяют шаги реализации рассматриваемого метода и формулируют алгоритм решения данного уравнения, заполняют таблицу. Шаги алгоритма, возможные ошибки и пути их исправления иллюстрируются слайдами презентации на экране.

Учитель: – Какие уравнения могут иметь аналогичный метод решения?

Учащиеся: – Это уравнения вида: , , где заданные числа.

Учитель:- Вернемся ко второму уравнению . Чем оно отличается от уже решенного уравнения? Можно ли свести это уравнение к уравнению с одной функцией?

Учащиеся: – Его можно свести к уравнению с одной функцией, применяя формулу . Уравнение в этом случае примет вид: или .

В итоге ученики совместно с учителем разбирают, как можно решить уравнения вида и гдезаданные числа.

III этап (18 мин). “Конструктор” Задание 1.

Составьте уравнения рассматриваемых видов из предложенных выражений, если корнями это уравнения являются числа:

а) ;

б) ;

в) ,

На магнитной доске трое учеников собирают полученные уравнения, а остальные учащиеся сверяют свои записи с полученными уравнениями, результаты отмечают на графике. Критерии оценок: “5”-3 верных ответа, “4”-2верных ответа, “3”-1 верный ответ , “2”-нет верных ответов

“Крестики- нолики” Задание 2. Предварительное домашнее задание: решите уравнения, для каждого уравнения из таблицы укажите его вид и способы какими его можно решить.

“Крестики- нолики”: вычеркните прямой линией три уравнения, которые не имеют решения Таблица №1

Ответы: линия 1,5,9.

Критерии оценки: ”5” верный и полный ответ , “4”– ответ с одной ошибкой, “3”– ответ с двумя ошибками , “2”– неверный ответ.

Задание 3. Решите задачи с параметром.

Задача 1. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.

Задача 2. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения. Решите уравнение.

Учащийся по желанию выходят к доске для оформления решения задач.

VI этап. (7 мин) Класс приступает к решению задач в группах. Учащиеся выполняют задания в зависимости от восприятия материала

“Лото”. У каждого ученика на рабочем месте находится лото, которое состоит из поля 3 1 и 6 двусторонних карточек. На клетках поля записаны уравнения, на лицевых сторонах карточек – ответы к уравнениям, на обратных сторонах – буквы, которые вместе позволят ответить на вопрос. Какой математик однажды заметил что: “Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному”?

Ответ: Гильберт.

Ответы иллюстрируются слайдами презентации на экране. Необходимо проверить решение задач, поэтому от каждой группы выступает учащийся, демонстрируя решение задач на доске.

Итог урока (2 мин) Подводя итог урока, учитель и учащиеся выясняют на каком этапе учащиеся испытывают наибольшие затруднения, какие задания для них были наиболее интересными, на что они должны обратить внимание при решении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.)

Алгебра и начала анализа. Ч.1.Учебник для 10 класс А. Г. Мордкович, П.В.Семенов (профильный уровень). §34 п.1.стр179-180.

1-й уровень – задания репродуктивного характера – Решить уравнения №23.4(б), №23. 5(г), №23.7(б). Ч.2.Задачник для 10 кл. А.Г.Мордкович и д.р (профильный уровень) Алгебра и начала анализа. Решить задачу. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.

2-й уровень – задания поискового плана: подобрать тригонометрические уравнения аналогичные уравнениям 1,5,9 из таблицы №1; Подобрать и решить задачу по физике при решении которой встречаются уравнения, рассмотренные на уроке.

3-й уровень – творческое; составить задания к дидактической игре “Лото” по теме: “ Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной”.

urok.1sept.ru

Урок 47. методы решения тригонометрических уравнений - Алгебра и начала математического анализа - 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
  • Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
  • Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
  • Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема - основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности

.

Теорема - основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Задание 1.

Представьте в виде произведения:

Решение:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

.

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

.

Ответ: .

Задание 2.

Вычислите:

Решение:

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

Ответ: 0,25

Задание 3.

Проверьте равенство:

Решение:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Теорема

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Пример 1.

Решить уравнение:

Решение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений - это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Пример3.

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

.

.

Вернемся к исходной переменной:

.

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Рассмотрим пример.

Пример 4.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

или .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Пример 5.

Решите уравнение:

Решение:

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

.

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Решите уравнение:

Решение:

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

.

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных - во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Решите уравнение:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Получим, что

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Решите уравнение

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

.

,

.

.

, .

Решая эту систему, получим, что,  .

Ответ: ,  .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Решение:

Домножим обе части уравнения на :

.

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1.

A=1

подсказка

B=2

замена

C=6

Период

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

a=1 ВАРИАНТ

b=7 МНОЖИТЕЛЬ

c=7 СЛАГАЕМОЕ

Ответ:

resh.edu.ru

Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной. 10-й класс

Основные цели:

  1. Закрепить методы решения простейших тригонометрических уравнений.
  2. Сформулировать один из основных методов решения тригонометрических уравнений - метод замены переменной.
  3. Научить решать тригонометрические уравнения методом замены переменной.
  4. Заложить основы для классификации тригонометрических уравнений, что в дальнейшем позволит ученикам по виду тригонометрического уравнения определять наиболее. эффективный способ его решения.
  5. Способствовать развитию математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
  6. Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

    • Лекционно-семинарская система обучения (лекции - объяснение нового материала, семинары - решение задач).
    • Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
    • Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы (в зависимости от конкретного класса: возможно часть задач (более сложных) предложить только наиболее сильным ученикам).
    • Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
    • Печатный материал - индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц, список решаемых задач и домашнее задание).

    План урока

    1. Организационный момент.
    2. Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.

    3. Актуализация знаний учащихся.
    4. Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам (повторяем решение простейших тригонометрических уравнений) и решаем несколько “модифицированных” задач, требующих применения ранее изученного материала и аналитического подхода.

    5. Изучение новой темы.
    6. Цель этапа: cформулировать один из основных методов решения тригонометрических уравнений – метод замены переменной.

    7. Закрепление, решение задач.
    8. Цель этапа: тренировать навыки решения задач по теме “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”.

    9. Подведение итогов.
    10. Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.

    11. Домашнее задание.
    12. Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

    Конспект урока

    1. Организационный момент

    Формулировка темы урока: “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”.

    2. Актуализация знаний учащихся. Приложение

    3. Изучение новой темы

    Существуют различные методы решения тригонометрических уравнений. Сегодня мы будем рассматривать метод замены переменной, т.е. случай, когда уравнение имеет вид , где - некоторая тригонометрическая функция, а – произвольная функция (чаще всего нам будет встречаться степенная функция, в частности - квадратичная). Для решения уравнений такого типа надо произвести замену переменной вида . Решить полученное алгебраическое уравнение относительно . Учесть, какие значения может принимать эта переменная, рассматривая, какая именно тригонометрическая функция фигурирует в замене. Выполнить обратную замену переменной, решив полученное(-ые) в результате уравнение(-я) относительно неизвестной переменной .

    4. Закрепление, решение задач. Приложение

    5. Подведение итогов

    Резюме: Теперь мы овладели одним из основных методов решения тригонометрических уравнений – методом замены переменной. В дальнейшем в зависимости от вида тригонометрического уравнения мы должны научиться понимать, какой способ решения будет в данном случае наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

    6. Домашнее задание. Приложение

    Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

    Выше приведены задания, которые можно использовать в качестве проверочной работы по теме “Тригонометрические уравнения. Методы их решения. Метод замены переменной”. Уравнения в списке подобраны по мере нарастания сложности. Набор заданий для самостоятельной работы подбирается из этого списка для конкретного класса из расчета на 1 учебный час. Можно включить в работу задания №№1-8, а более сложные задания №№9-21 или выдать в качестве домашнего задания, а затем разобрать на другом уроке, или использовать во внеурочной деятельности.

    Проверка работ учащихся показывает, что материал по этой теме усваивается достаточно хорошо. У отдельных учащихся затруднения вызывают задачи, в которых есть необходимость отбора корней с учетом ОДЗ. Главная сложность обычно состоит в том, чтобы привести рассматриваемое тригонометрическое уравнение к такому виду, из которого явно видно, какую замену переменной следует выполнить. После разбора работ учащиеся выполняют работу над ошибками. Тем, кто не справился с частью задач, предлагается решить аналогичные задачи из другого варианта. Результаты повторной проверки обычно показывают, что все учащиеся данную тему осваивают успешно.

    Интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность упрощать задачу за счет перехода от тригонометрического уравнения к уже знакомому им алгебраическому. В итоге задача сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения. Также учащиеся интересуются тем, какие типы замены переменных встречаются наиболее часто. Это позволяет им при решении задач быстро определять, какой метод решения будет наиболее эффективным для данного уравнения.

    Список литературы

    1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. “Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)”. - М., Мнемозина, 2009. – 351 с.
    2. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. “Углубленное изучение алгебры и математического анализа: Методические рекомендации и дидактические материалы: Пособие для учителя”. - М., Просвещение, 1997. – 352 с.
    3. Решетников Н.Н. “Тригонометрия в школе. Лекции 1-4”. - М., Педагогический университет “Первое сентября”, 2010. – 94 с.
    4. Решетников Н.Н. “Тригонометрия в школе. Лекции 5-8”. - М., Педагогический университет “Первое сентября”, 2010. – 84 с.
    5. Мордкович А.Г. Семенов П.В. “Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. Часть 1. Учебник. 10 класс.” - М., Мнемозина, 2007. - 424 с.
    6. Шахмейстер А.Х. “Тригонометрия” - СПб, Петроглиф, 2009 – 752 с.

    urok.1sept.ru

    Тригонометрические уравнения | Сайт учителя математики Желтышевой Валерии Валерьевны

    Ну что, перечисляем обе серии (1) и (2) в ответе через запятую? Нет! Серия (2) является в данном случае частью серии (1). Действительно, если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения серии (2).
    Поэтому ответ: 

    3. Бывает, что перед разложением суммы или разности тригонометрических функций в произведение надо проделать обратную процедуру: превратить произведение в сумму (разность).

    Решим уравнение:

    Домножаем обе части на 2, преобразуем левую часть в разность косинусов, а правую часть — в сумму косинусов:

    Ответ: 

    4. Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:
    Здесь используем формулу понижения степени:
    (которая является ни чем иным, как переписанной в другом виде формулой косинуса двойного
    угла). Получаем:
    и дальше ясно.

    5. Многие оказываются в ступоре при виде следующего уравнения:
    Переносим косинус влево и применяем формулу приведения 
    Дальше — дело техники.

    6. А в этом примере нужны совсем другие манипуляции:
    Раскладываем синус двойного угла, всё собираем в левой части и группируем:
    Цель достигнута.

    Рассмотрим уравнение:
    Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене
    степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
    Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на . Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?

    Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.

    Предположим, что Тогда в силу уравнения и что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию , и мы можем поделить обе его части на .

    В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тангенса:

    и дальнейший ход решения трудностей не представляет

    1. Рассмотрим уравнение
    Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение :
    и дело сделано.

    2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
    Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
    откуда

    (3)

    Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.

    Введение дополнительного угла

    Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи — когда числа a и b являются значениями синуса и косинуса углов в 30°, 45° или 60°.

    1. Рассмотрим уравнение
    Делим обе части на 2:
    Замечаем, что  :

    В левой части получили синус суммы:
    ,
    откуда  и 

    2. Другой пример:
    Делим обе части на 
    Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности:
    3. Рассмотрим теперь общий случай — уравнение
    Делим обе части на :

    (4)

    Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице:

    Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :

    Соотношение (4) тогда приобретает вид:
    ,
    или

    Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .

    4. Снова решим уравнение
    Делим обе части на :
    Существует угол  такой, что . Например, . Получаем:
    ,
    ,
    ,
    ,

    В предыдущем разделе мы решили это уравнение, сведя его к однородному, и получили в качестве ответа выражение (3). Сравните с полученным только что выражением. А ведь это одно и то же множество решений!

    Универсальная подстановка

    Запомним две важные формулы:

    Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

    1. Решим уравнение
    Выражаем , используя универсальную подстановку:
    Делаем замену :
    Получаем кубическое уравнение:
    Оно имеет единственный корень . Стало быть, , откуда .
    Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало .

    2. Рассмотрим уравнение
    А вот здесь использование универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем  в уравнение и убеждаемся, что это — решение.
    Теперь обозначаем  и применяем универсальную подстановку:
    После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:
    Следовательно,  и .
    Ответ: .

    Метод оценок

    В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки .

    3. Рассмотрим уравнение
    Так как оба синуса не превосходят единицы, данное равенство может быть выполнено лишь в
    том случае, когда они равны единице одновременно:
    Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:
    Обратите внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения x удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:
    Умножаем обе части на 90 и сокращаем на π:
    Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число n при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число n может иметь один из следующих пяти видов: 5n, 5m + 1, 5m + 2, 5m + 3 и 5m + 4, где. Для того, чтобы 9n+ 1 делилось на 5, годится лишь n = 5m + 1.

    Искать k, в принципе, уже не нужно. Сразу находим x:

    Ответ: .

    4. Рассмотрим уравнение
    Ясно, что данное равенство может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

    Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем левую часть в разность косинусов:
    Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:
    Имеем:
    Ищем пересечение:
    Умножаем на 21 и сокращаем на π:
    Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит чётное число, а в правой — нечётное.
    Ответ: решений нет.

    5. Страшное с виду уравнение
    также решается методом оценок. В самом деле, из неравенств  следует, что . Следовательно, , причём равенство возможно в том и только в том случае, когда
    Остаётся решить полученную систему. Это не сложно.

    Учёт тригонометрических неравенств

    Рассмотрим уравнение:

    Перепишем его в виде, пригодном для возведения в квадрат:

    Тогда наше уравнение равносильно системе:

    Решаем уравнение системы:

    ,
    ,

    Второе уравнение данной совокупности не имеет решений, а первое даёт две серии:

    Теперь нужно произвести отбор решений в соответствии с неравенством . Серия  не удовлетворяет этому неравенству, а серия  удовлетворяет ему. Следовательно, решением исходного уравнения служит только серия .
    Ответ: .

    Специальные приёмы

    В этом разделе рассматриваются некоторые типы уравнений, приёмы решения которых нужно знать обязательно.

    1. Рассмотрим уравнение

    Это сравнительно редкий случай, когда используется исходная формула косинуса двойного угла:
    ,
    ,
    ,

    Каждое из уравнений полученной совокупности мы решать умеем.

    2. Теперь рассмотрим такое уравнение:


    Метод решения будет совсем другим. Сделаем замену . Как выразить  через t? Имеем:
    ,
    откуда . Получаем:
    ,
    ,
    ,

    Как действовать дальше, мы знаем.

    3. Надо обязательно помнить формулы косинуса и синуса тройного угла (чтобы не изобретать их на экзамене):
    ,

    Вот, например, уравнение:

    Оно сводится к уравнению относительно :
    ,
    ,

    Дальше всё понятно.

    4. Как бороться с суммой четвёртых степеней синуса и косинуса? Рассмотрим уравнение

    Выделяем полный квадрат!
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,

    5. А как быть с суммой шестых степеней? Рассмотрим такое уравнение:

    Раскладываем левую часть на множители как сумму кубов: .
    Получим:
    ,

    С суммой четвёртых степеней вы уже умеете обращаться.

    Мы рассмотрели основные методы решения тригонометрических уравнений. Знать их нужно обязательно, это — необходимая база.

    В более сложных и нестандартных задачах нужно ещё догадаться, как использовать те или иные методы. Это приходит только с опытом.

    confetti-matematika.ru

    Методы решения тригонометрических уравнений. Решение нестандартных уравнений, систем уравнений, неравенств, уравнений с параметрами и двумя переменными

    Тригонометрию можно считать самой сложной частью школьного курса алгебры. Поэтому мне пришлось уделить ей так много времени. Надеюсь, что работа моя заинтересует вас, а может и пригодится кому-нибудь. Если начало покажется вам скучным, загляните в X главу.

    Решение тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного тригонометрического уравнения. Первый этап занимает куда больше времени и усилий, так как не все уравнения можно решить стандартными способами. Хотя и умение группировать ответы и объединять их всегда приветствовалось. Существует девять основных методов решения тригонометрических уравнений. Мы рассмотрим стандартные уравнения и способы их решения, а также оригинальные уравнения, неравенства и системы уравнений с различными способами решений.

    I. Метод замены переменной.

    Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены переменной. Решить уравнения:

    1)

    Решение:

    Обозначим .

    Получаем квадратное уравнение .

    Его корнями являются числа  и .

    Уравнение сводится к простейшим тригонометрическим уравнениям

     

     

    Ответ:

    2)

    Решение:

    Обозначим

    Тогда уравнение примет вид  

     

     не удовлетворяет условию , а .

    Значит ;

     

    Ответ:

    3)

    Решение:

    Преобразуем левую часть уравнения:

    Таким образом, данное исходное уравнение можно записать в виде:

    ;

    .

    Обозначив , получим

     Решив данное квадратное уравнение имеем:

    Но , и решение исходного уравнения:

     

    Ответ:

    4)

    Решение:

    Обозначим .

    Тогда , и  

    Исходное уравнение можно переписать так:

    Вернёмся к переменной х:

    Второе уравнение не имеет решений, т.к. .

    Тогда

     

    Ответ:

    5)

    Решение:

    Разделим на (т.к. не является решением данного уравнения).

    ;

    ;

    .

    Обозначим .

    Уравнение примет вид: .

    Так как сумма коэффициентов уравнения равна нулю, то корнем уравнения является единица.

    Разделим на .

    Получим .

    Следовательно, (второй множитель больше нуля при любых ).

    Тогда ;

     

    Ответ:

    II. Условия равенства тригонометрических функций.

    Решить уравнения:

    6)

    Решение:

    .

    Решая уравнение, находим .

    Имеем две группы решений:  

    Ответ:

    7)

    Решение:

    Используя условия равенства тригонометрических функций .

    Решая эти квадратные уравнения, получаем:

     

    Ответ:

    8)

    Решение:

     

     

     

     

     

     

    Ответ:

    9)

    Решение:

     

    Так как ,то n = k = 0, т.е.

     

     

    Ответ:

    III. Разложение на множители.

    Решить уравнения:

    10)

    Решение:

    I способ

    Преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

    ;

    ;

    ;

     

     

     Ответ:

    II способ

    Преобразуем выражение в левой части уравнения:

     Ответ:

    11)

    Решение:

    ; ;

     ;

    ;

     Ответ:

    12)

    Решение:

    ;

    ;

    ;

    ;

    Так как второй ответ включает третий, то останется только первый и второй.

     Ответ:

    13) .

    Решение:

    ;

    ;

    ;

     ;

    .

    Ответ: .

    Полностью текст статьи приведен в Приложении.

    urok.1sept.ru

    План-конспект занятия по алгебре (10 класс) на тему: методы решения тригонометрических уравнений

    Учитель математики: Жихарева Е. Н.

    Тема: Методы решения тригонометрических уравнений.

    Цели урока:

    Образовательные:

    -углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

    -сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.

    Воспитательные:

    -воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

    -формирование умения анализировать поставленную задачу;

    -способствовать улучшению психологического климата в классе.

    Развивающие:

    -способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;

    -способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

    Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

    I. Актуализация опорных знаний

    Повторение определения тригонометрических уравнений и  формул простейших тригонометрических уравнений.(слайд 2,3)

    II. Изучение нового материала

    – Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим способы их решения. Одни  из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

    -При решении тригонометрических уравнений остаются в силе общие правила решения алгебраических уравнений. Если при этом использованы неравносильные преобразования уравнений, то на конечном этапе решения необходимо проверить: принадлежат ли найденные значения неизвестного к корням данного уравнения или нет.

    Каждое конкретное уравнение может быть решено различными способами, что при безошибочности выполняемых действий приведет к одному и тому же окончательному результату. Однако следует иметь в виду, что из-за различия методов решения результат может быть получен в разных формах (приводимых друг к другу тождественными преобразованиями).

    Тождественные преобразования с помощью тригонометрических формул в процессе решения позволяют, как правило, свести данное уравнение к одному из нескольких основных типов, решаемых стандартными  (наиболее часто встречающимися) методами.

    Объяснение учителя. (Презентация)

    1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры

       ( метод замены переменной и подстановки ).

      

    2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

     

        П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

     

        Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

     

                                                                   sin x + cos x – 1 = 0 ,

     

                                   преобразуем и разложим на множители выражение в

                                   левой части уравнения:

                                 

        П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

     

        Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

     

                                                sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

     

                                                sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

                                  

        П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

         Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

     

                                   2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

     

                                   cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

        

                                   cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

                                  1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

                               

    3.

    Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:

     

       а)  перенести все его члены в левую часть;

       б)  вынести все общие множители за скобки;

       в)  приравнять все множители и скобки нулю;

       г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на 

            cos ( или sin ) в старшей степени; 

       д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . 

     

        П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

     

        Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

     

                                 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

     

                                 tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

     

                                 корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда

                                 1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

                                  

     

    4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

     

        П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

        Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

                                                                             = 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                                 2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                                 tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

    5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

     

                                               a sin x + b cos x = c ,

     

        где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

    Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь - так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

     

     

    6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

        

        П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.

     

        Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

     

                                            cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

     

                                                     cos 8x = 0 ,

     

                                                     8x = / 2 + k ,

     

                                                     x = / 16 + k / 8 .

     

    7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

                                                                                                                                                 

          П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3 .

      

                                  

                                 Таким образом, решение даёт только первый случай.

     Закрепление

    Перед вами тригонометрические уравнения распределите их в таблице указав  их номер определив метод их решения.

    Алгебраический метод ( метод замены переменной и подстановки ).

     Разложение на множители. 

    Приведение к однородному уравнению. 

    Переход к половинному углу.

    Преобразование произведения в сумму.

    Универсальная подстановка.

    Введение вспомогательного угла.

    1)5sin2х- 8 sinх cosх – сos2 х = -2

    2) 2sin2х + cos х – 1= 0

    3) 2sinx – 2cosx = 1 - 

    4) sin2x = сosx

    5) sin5x · cos3x = sin6x · cos2x

    6) 2сos2x – 3cosx + 1= 0

    7) sin x = 1- cos x,

    Итог

    Домашнее задание

    Решить уравнения 1- 7

    Литература:

     

    1. «Практикум по элементарной математике» В.Б. Дыбин, Я.М.  Ерусалимский. М: Вузовская книга 2000г.
    2. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» П. В. Чулков, М: Педагогический университет «Первое сентября» 2006 г.
    3. «Тригонометрия» Л. Н. Самсонова, Бийск 2000г.

    Сайт: www. bymath.net    «Вся элементарная математика»

    nsportal.ru

    Урок математики "Методы решения тригонометрических уравнений"

    Цель: научить решать тригонометрические уравнения.

    Задачи:

    • учить решать тригонометрические уравнения;
    • развивать интеллектуальную культуру учащихся;
    • воспитывать аккуратность, точность, интерес к предмету.

    Тип урока: комбинированный

    Оснащение учебного процесса: мультимедийный проектор, компьютер, карточки – задания.

    Ход занятия

    1. Организационный момент.

    2. Актуализация опорных знаний:

    а) формула корней уравнения sin где

    Ответ: , где

    б) формула корней уравнения cos где

    Ответ: , где

    в) формула корней уравнения tg где – любое число

    Ответ: , где

    Решите уравнения:

    1) sin

    Решение:

    ,

    ,

    , где

    Ответ: , где

    2) cos

    Решение:

    где

    Ответ: где

    3) tg

    Решение:

    , откуда , а , где .

    Ответ: , где .

    3. Изложение нового материала:

    Более сложные тригонометрические уравнения, как, правило, сводятся к простейшим уравнениям.

    1) Метод разложения на множители.

    Пример 1. Решить уравнение .

    Решение: Вынесем общий множитель за скобки и получим .

    Рассмотрим случаи:

    а) cos , тогда , где .

    б) , тогда cos , , где .

    Ответ: , , где .

    2) Метод замены переменных.

    Пример 2. Решить уравнение

    Решение:

    ,

    ,

    ,

    .

    Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно . Обозначим , получим квадратное уравнение

    Получаем два случая:

    1) . В этом случае нет корней, т.к. .

    1) , откуда , где .

    Ответ: , где .

    Методом замены переменных можно решать и однородные тригонометрические уравнения.

    Тригонометрическое уравнение называют однородными, если после некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.

    Пример 3. Решить уравнение .

    Решение. Рассмотрим два случая:

    1) , тогда , откуда , что невозможно, т.к. ; в этом случае корней нет.

    2) , тогда разделим обе части уравнения на :

    Пусть . Получим уравнение

    , откуда , где

    , откуда , где .

    Ответ: , , где .

    При решении тригонометрических уравнений можно использовать и так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:

    Пример 4. Решить уравнение

    Решение:

    Сделаем универсальную подстановку , тогда , отсюда , , тогда или .

    Таким образом:

    а) , откуда , , где .

    б) , откуда , , где .

    Ответ: , , где .

    3) Закрепление изученного материала.

    Пример 1. Решить уравнение

    Решение:

    ,

    Обозначим , получим уравнение

    Таким образом:

    а) . В этом случае нет корней, т.к.

    б), откуда

    , где .

    Ответ: , где .

    Пример 2. Решить уравнение

    Решение:

    Рассмотрим два случая:

    1) , тогда , откуда , что невозможно, т.к. ; в этом случае корней нет.

    2) , тогда разделим обе части уравнения на :

    Пусть . Получим уравнение

    Таким образом:

    а) , откуда , где

    б) , откуда , где .

    Ответ: , , где .

    4. Предлагается самостоятельная работа.

    Самостоятельная работа

    Вариант 1

    Решить уравнения:

    1)

    2)

    3)

    Самостоятельная работа

    Вариант 2

    Решить уравнения:

    1)

    2)

    3)

    Самостоятельная работа

    Вариант 3

    Решить уравнения:

    1)

    2)

    3)

    5. Итог занятия.

    6. Домашнее задание.

    urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск