Задачи по комбинаторике: Математическое Бюро. Страница 404

Posted on by alexxlab

Содержание

Math.ru

Наум Яковлевич Виленкин

М.: Наука, 1969. 328 с.
Тираж 100000 экз.

Загрузить (Mb)
djvu (2.58) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой . В данной книге о комбинаторных проблемах рассказывается в занимательной, популярной форме. Тем не менее в ней разбираются и некоторые довольно сложные задачи, дается понятие о методах рекуррентных соотношений и производящих функций. Первая глава книги посвящена общим правилам комбинаторики — правилам суммы и произведения. Во второй главе изучаются размещения, перестановки и сочетания. В главе 3 изучаются задачи, в которых на рассматриваемые комбинации налагаются те или иные ограничения. В главе 4 рассмотрены задачи на разбиения чисел и рассказано о геометрических методах в комбинаторике. Глава 5 посвящена задачам о случайных блужданиях и различным модификациям арифметического треугольника. В главе 6 рассказано о рекуррентных соотношениях, а в главе 7 — о производящих функциях, и в частности о биномиальной формуле.

Содержание

Предисловие

Глава I. Общие правила комбинаторики
    Суеверные велосипедисты
    Размещения с повторениями
    Системы счисления
    Секретный замок
    Код Морзе
    Морской семафор
    Электронная цифровая вычислительная машина
    Генетический код
    Общие правила комбинаторики
    Задача о домино
    Команда космического корабля
    Задача о шашках

    Сколько человек не знают иностранных языков?
    Формула включений и исключений
    В чем ошибка?
    Решето Эратосфена

Глава II. Размещения, перестановки и сочетания
    Футбольное первенство
    Размещения без повторений
    Научное общество
    Перестановки
    Задача о ладьях
    Лингвистические проблемы
    Хоровод
    Перестановки с повторениями
    Анаграммы
    Сочетания
    Генуэзская лотерея
    Покупка пирожных
    Сочетания с повторениями
    Снова футбольное первенство
    Свойства сочетаний
    Частный случай формулы включений и исключений
    Знакопеременные суммы сочетаний

Глава III. Комбинаторные задачи с ограничениями
    Львы и тигры

    Постройка лестницы
    Книжная полка
    Рыцари короля Артура
    Девушка спешит на свидание
    Сеанс телепатии
    Общая задача о смещении
    Субфакториалы
    Караван в пустыне
    Катание на карусели
    Очередь в кассу
    Задача о двух шеренгах
    Новые свойства сочетаний

Глава IV. Комбинаторика разбиений
    Игра в домино
    Раскладка по ящикам
    Букет цветов
    Задача о числе делителей
    Сбор яблок
    Сбор грибов
    Посылка фотографий
    Флаги на мачтах
    Полное число сигналов
    Разные статистики
    Разбиения чисел
    Отправка бандероли
    Общая задача о наклейке марок
    Комбинаторные задачи теории информации

    Проблема абитуриента
    Уплата денег
    Покупка конфет
    Как разменять гривенник?
    Разбиение чисел на слагаемые
    Диаграммная техника
    Двойственные диаграммы
    Формула Эйлера

Глава V. Комбинаторика на шахматной доске
    Человек бродит по городу
    Арифметический квадрат
    Фигурные числа
    Арифметический треугольник
    Расширенный арифметический треугольник
    Шахматный король
    Обобщенный арифметический треугольник
    Обобщенные арифметические треугольники и m-ичная система счисления
    Некоторые свойства чисел Cm(k,n)
    Шашка в углу
    Арифметический пятиугольник
    Геометрический способ доказательства свойств сочетаний

    Случайные блуждания
    Броуновское движение
    У Шемаханской царицы
    Поглощающая стенка
    Блуждания по бесконечной плоскости
    Общая задача о ладьях
    Симметричные расстановки
    Два коня

Глава VI. Рекуррентные соотношения
    Числа Фибоначчи
    Другой метод доказательства
    Процесс последовательных разбиений
    Умножение и деление чисел
    Задачи о многоугольниках
    Затруднение мажордома
    Счастливые троллейбусные билеты
    Рекуррентные таблицы
    Другое решение проблемы мажордома
    Решение рекуррентных соотношений
    Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами
    Случай равных корней характеристического уравнения
    Третье решение задачи мажордома

Глава VII. Комбинаторика и ряды
    Деление многочленов
    Алгебраические дроби и степенные ряды
    Действия над степенными рядами
    Применение степенных рядов для доказательства тождеств
    Производящие функции
    Бином Ньютона
    Полиномиальная формула
    Ряд Ньютона
    Извлечение квадратных корней
    Производящие функции и рекуррентные соотношения
    Разложение на элементарные дроби
    Об едином нелинейном рекуррентном соотношении
    Производящие функции и разбиения чисел
    Сводка результатов по комбинаторике разбиений

Задачи по комбинаторике

Решения и ответы

Загрузить (Mb)
djvu (2.58) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)


Dubna-2013: Kleptsyn

Многие интересные задачи в комбинаторике формулируются в терминах «как выглядит случайный большой объект» или «сколько есть таких объектов данного размера». К примеру, в случайной последовательности нулей и единиц большой длины n нулей и единиц примерно поровну, а в разложении случайной перестановки n элементов в произведение независимых циклов, скорее всего, есть «большой» цикл (имеющий сравнимую с n длину), а всего циклов порядка логарифма n.

Оказывается, что задачи «подсчитать количество» и «найти предельный вид» зачастую связаны друг с другом. Мы разберём такую связь, решив (лишь на физическом уровне строгости!) несколько таких задач:

1) Как выглядит типичное разбиение числа n в сумму невозрастающих слагаемых? Какова асимптотика количества таких разбиений (формула Харди-Рамануджана)?
2) Что такое аффинная длина, и как выглядит типичная ломаная, идущая из вершины (0,1) в вершину (1,0) единичного квадрата, если её вершины принадлежат решётке с шагом 1/n?
3) Как посчитать, сколькими способами на доминошки можно разрезать данную плоскую фигуру? Как выглядит типичное разбиение ацтекского бриллианта на доминошки? Откуда берётся «полярный круг», за которым все доминошки оказываются «замороженными»? И какое к этому отношение имеет угол кристалла и кубики, сложенные в углу комнаты?

Курс предназначен для студентов и школьников, знакомых с началами анализа.

Материалы
Литература
  1. А. М. Вершик, Статистическая механика комбинаторных разбиений и их предельные конфигурации, Функциональный анализ и его приложения, 30:2 (1996), 19—39.
  2. А. М. Вершик, С. В. Керов, Асимптотика максимальной и типичной размерностей неприводимых представлений симметрической группы, Функциональный анализ и его приложения, 19:1 (1985), 25—36.
  3. А. М. Вершик, Предельные формы типичных геометрических конфигураций и их приложения. В сб.: Глобус. Общематематический семинар. Выпуск 2, ред.: М. А. Цфасман, В. В. Прасолов. М.: МЦМНО, 2005, с. 103—125.
  4. Ф. Петров, Два элементарных подхода к предельным формам диаграмм Юнга, Записки научных семинаров ПОМИ, 370, ПОМИ, СПб., 2009, 111—131.
  5. H. Cohn, R. Kenyon, J. Propp, A variational principle for domino tilings, J. Amer. Math. Soc., 14(2001), no. 2, 297-346. (ArXiv:math/0008220)
  6. A. Okounkov, Limit shapes, real and imaginary

Злементы комбинаторики. Комбинаторные задачи. Алгебра, 9 класс: уроки, тесты, задания.

1. Использование свойства факториала

Сложность: лёгкое

2
2. Выбор элемента из двух групп

Сложность: лёгкое

2
3. Выбор элемента из трёх групп

Сложность: лёгкое

1
4. Действия с факториалами

Сложность: среднее

3
5. Число сочетаний, выбор двух элементов из группы

Сложность: среднее

4
6. Составление меню

Сложность: среднее

3
7. Древовидная диаграмма, перестановки

Сложность: среднее

3
8. Древовидная диаграмма, число размещений и сочетаний

Сложность: среднее

2,5
9. Количество сумм цифр на игральных кубиках

Сложность: среднее

2
10. Вычисление числа треугольников

Сложность: сложное

3
11. Геометрическая комбинаторная задача

Сложность: сложное

4
12. Анализ заданной ситуации

Сложность: сложное

3

Дополнительные главы комбинаторики. 7 класс: О курсе

Курс ориентирован на слушателей, владеющих школьной программой по математике 7 класса. Учащиеся познакомятся с яркими комбинаторными сюжетами, систематизируют теоретические знания, научатся решать задачи повышенной сложности.

Комбинаторика прекрасно систематизирует понимание того, что такое математика в целом. Курс поможет школьникам не только на уроках математики в школе, но и позволит успешнее выступать на олимпиадах, а учителям математики — лучше понять аспекты теории и задачные акценты, примыкающие к школьной программе и характерные для математических олимпиад, использовать задачную базу курса на занятиях в школе.

Курс состоит из учебных модулей, каждый из которых посвящен отдельной теме. 

Внутри каждого модуля есть:

— видео с кратким конспектом, где обсуждается теория и разбираются примеры решения задач,
— упражнения с автоматической проверкой, позволяющие понять, как усвоена теория,
— задачи для самостоятельного решения, которые не учитываются в прогрессе и не идут в зачет по модулю, но позволяют качественно повысить свой уровень. 

В каждом разделе есть ответы на популярные вопросы, где можно уточнить свое понимание теории или условия задачи, но нельзя получить подсказки по решению.

По итогам обучения выдается электронный сертификат. Для его получения необходим зачет по всем учебным модулям, кроме лекционных. Условие получения зачета по модулю — успешное выполнение не менее 70% упражнений. Сертификаты могут учитываться при отборе на очные программы по направлению «Наука». По окончанию курса также можно принять участие в итоговом тестировании и по его результатам получить дополнительный сертификат с указанием количества набранных баллов.

Если ученик не успеет получить зачет по отдельным модулям, то он не сможет получить сертификат, но сможет возобновить обучение, когда курс стартует в следующий раз. При этом выполнять пройденные модули заново не потребуется (но может быть предложено, если соответствующие учебные материалы обновятся).

В следующий раз курс будет открыт осенью 2020 года.

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КОМБИНАТОРИКЕ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ В ШКОЛЬНОЙ ЖИЗНИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КОМБИНАТОРИКЕ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ В ШКОЛЬНОЙ ЖИЗНИ

Курбангулов Е.М. 1

1МБОУ Курайская СШ

Зейб Н.В. 1

1МБОУ Курайская СШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Высшее назначение математики…состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н.Винер

Комбинаторика и теория вероятности возникла только в XVI веке в связи с запросами привилегированных слоев населения, так как в их жизни большое место занимали азартные игры (карты, кости). Поэтому долгие годы не имела широкого распространения из-за своей узкой направленности. Ситуация кардинально стала менять в конце XX века.

И только лишь в 2011 году раздел теория вероятности прочно основался в курсе обучения математики и был включен в контрольно-измерительные материалы итоговой аттестации. Проанализировав отчеты о результатах выполнения данного задания на итоговой аттестации учащихся, пришли к выводу, что с каждым годом процент учащихся выполняемых правильно данное задание колеблется, и в большей части увеличивается, но по сравнению с другими текстовыми задачами остается намного ниже.

По наблюдению педагогов, чаще всего данная ситуация связана с тем, что задачи представленные в учебно-методических комплексах, основаны на сюжетах, связанными с азартными играми, что не вызывает интереса у обучающихся, так как далека от их реальной жизни,.

Гипотеза. Качество усвоения учащимися комбинаторики и теории вероятности улучшится, если задачи данного раздела приблизить к их реальной жизни.

Для подтверждения данной гипотезы нами была выдвинута идея создать собственный сборник задач по комбинаторике и теории вероятности, применяя школьные ситуации, и использовать данный сборник на уроках математики в 5-6 классах Курайской школы.

Цель. Создать «Сборник задач по комбинаторики и теории вероятности в школьной жизни», способствующий улучшению успеваемости учащихся по данной теме.

Задачи :

  1. Выделить проблему. Выдвинуть гипотезу и поставить цели.

  2. Изучить различные виды источников, включая Интернет — ресурс по комбинаторике и теории вероятности.

  3. Определить сферы школьной деятельности и составить задачи. Классифицировать полученные задачи.

  4. Оформить задачи в сборник с иллюстрациями.

  5. Провести занятие в 5-6 классах по заданной теме.

  6. Провести исследование, подтвердив или опровергнув гипотезу.

Объект исследования – комбинаторика и теория вероятности.

Предмет исследования: применение комбинаторики и теории вероятности в реальной жизни.

Методы исследования:1) анализ,2) синтез, 3) сбор информации, 4) работа с печатными материалами, 5) анкетирование, 6) эксперимент.

§1. Развитие комбинаторики и теории вероятности

1.1. Происхождение задач по комбинаторики и теории вероятности

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья в XVI веке. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.

Дальнейшее развитие комбинаторики и теории вероятности связаны с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.

На сегодняшний день вероятностные методы глубоко проникли в современную науку, широко используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. В современном мире автоматизированного производства теория вероятности специалистам необходима для решения задач, связанных с выявлением возможного хода процессов, на которые влияют случайные факторы (например: сколько бракованных изделий будет изготовлено). Для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты, определяют риски в производстве.

1. 2. Задачи по комбинаторике и способы их решения

Комбинаторика – раздел математики, изучающая задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некотором порядке.

Исходное множество чаще считается конечным, извлеченные элементы из множества составляют выборку.

Если изначальное множество состоит из mэлементов, то при следующем выборе извлекая из него новый элемент, отличный от других – это выбор без повторений.

Если изначальное множество состоит из элементов m типов, при этом в каждом новом типе элементы можно различить, то при следующем выборе извлекаем из него, либо новый элемент, либо который уже встречался в предыдущих типах – это выбор с повторениями.

В данном пособии приведем решение задач тремя основными способами школьного курса средней школы.

Схема 1. Способы решения задач по комбинаторике

Каждая задача, по комбинаторики может решаться любым из данных способов. Приведем несколько задач из сборника, решаемые различными способами.

  • Задача, решаемая перебором вариантов.

Пример 1. В магазине «Теремок» осталось только три разные тетради в клетку. Дима и Рома покупают себе по одной тетради. Сколько существуют способов покупок для этих парней? Перечислите.

Решение. Пронумеруем для удобства данные тетради 1,2,3.

И переберем все варианты 1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 1-3, 3-1.

Ответ 6.

  • Задача, решенная деревом вариантов.

Пример 2. У Насти в гардеробе имеется водолазка, пуловер и рубашка. Сколько возможных вариантов можно составить школьной формы с юбкой и брюками?

  1. Решение. Представим результаты деревом вариантов

Схема 2. Дерево вариантов

Ответ. 6 способов.

В тоже время способ «дерево вариантов» может иметь различные виды, для сравнения представим другой пример.

Пример 3. В столовой Курайской школы на обед готовят три вида первого блюда: щи, рассольник и солянка, а также четыре вида второго блюда: печень тушеная, котлета, сарделька отварная, рыба запеченная. Какое количество обедов из первого и второго может составить повар для меню?

Решение.Представим результаты в виде таблицы.

 

Печень тушеная

Котлета

Сарделька отварная

Рыба запеченная

Щи

Щи +Печень

Щи +Котлета

Щи +Сарделька

Щи +Рыба

Рассольник

Рассольник +Печень

Рассольник +Котлета

Рассольник +Сарделька

Рассольник +Рыба

Солянка

Солянка +Печень

Солянка +Котлета

Солянка +Сарделька

Солянка +Рыба

Ответ. 12 способов.

  • Задача, решаемая по правилу произведения.

Пример 4. В 5 классе по плану 3 урока английского языка в неделю, сколькими способами их можно расставить в расписании на неделю?

Решение. Так как порядок уроков не имеет значение, воспользуемся правилом произведения. Первый урок можно выбрать из пяти дней недели, второй урок из четырех, а третий из оставшихся трех. 5*4*3=60 способов.

Ответ. 60.

Другие задачи с решениям представлены в сборнике (приложение).

1.3. Задачи по теории вероятности, их классификация

Существует множество различных определений понятия вероятности, предлагаем определение создателя аксиоматической теории вероятности А.Н. Колмагорова [5] «вероятность – это числовая характеристика степени возможности появления, какого – либо определенного события в тех или иных условиях»

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Приведем некоторый теоретический материал, необходимый для решения задач.

Случайное событие — это событие, которое при осуществлении условий S может либо произойти, либо не произойти.

Достоверное событие — это событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможное событие — это событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.

Противоположное событие к событию А – это событие, которое не происходит, если А происходит, или наоборот.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Вероятностью случайного события А называется отношение числа благоприятных случаев к общему числу всевозможных, равновозможных и единственно-возможных случаев (обозначается Р(А)).

Свойство 1: Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2: Вероятность невозможного события равна 0.

Свойство 3: Вероятность случайного события есть положительно число, заключенное между 0 и 1.

Суммой случайных событий А и В называется событие А+В, состоящее как из исходов, благоприятствующих событию А, так и из исходов, благоприятствующих событию В. (Исходы, благоприятствующие событиям А и В одновременно, считаются только один раз.)

Свойство 4. Если случайные события А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Случайное событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Свойство 5. Вероятность произведения двух независимых случайных событий равна произведению вероятностей этих событий. P(AB)=P(A) P(B)

Нами было выделено три типа задач по теории вероятности, решаемых в курсе 5-6 классов.

I тип задач. Виды событий.

Пример 1.Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. Учащиеся 6 класса 2016 — 2017 учебного года родились: 1) 2004 году; 2) 2016; 3) до 2016 года.

Решение.

  1.  

    1. Событие, что учащиеся 6 класса родились в 2004 году — случайное, оно может быть, а может и не быть, все завит от месяца рождения в течение года.

    2. Событие невозможное, так как с рождения не берут в школу.

    3. Событие достоверное, так как если учащиеся учатся в 6 классе в 2016-2017, значит, родились до 2016.

Пример 2. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

1) на контрольной работе по русскому языку меньше половины класса получили пятерки,

2) в 5 классе все умные и усидчивые,

3) учитель биологии вызвал к доске девочку,

4) во время каникул все учащиеся покатались на коньках.

Решение.

  1. на контрольной работе по русскому языку не меньше половины класса получили пятерки,

  2. в 5 классе есть хотя бы один не умный и не усидчивый,

  3. учитель биологии вызвал к доске мальчика,

  4. во время каникул хотя бы один человек покатался на коньках.

II тип задач. Классическое определение вероятности.

Пример 3. Для зачета по биологии Ольга Викторовна под­го­то­ви­ли 5 классу вопросы на отдельных листах с но­ме­ра­ми от 1 до 20. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый Никитой вопрос имеет од­но­знач­ный номер?

Ре­ше­ние. Всего подготовлено 20 вопросов. Однозначными будут вопросы от 1 до 9. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый вопрос имеет одно­знач­ный номер равна 9:20=0,45.

Ответ: 0,45.

III тип задач. Задачи повышенного уровня.

Пример 4. Во время проведения дня здоровья «Зимние забавы» на станции «Дартс» каждый участник команды имеет три попытки. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что участник пер­вые два раза попал в ми­ше­нь, а по­след­ний — про­мах­нул­ся.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку участник команды по­па­да­ет в ми­ше­ни с ве­ро­ят­но­стью 0,8, он про­ма­хи­ва­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 − 0,8 = 0,2. Cобы­тие по­пасть или про­мах­нуть­ся не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей. Тем самым, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «попал, попал, про­мах­нул­ся» равна 0,80,80,2=0,128.

Ответ:0.128.

§ 2. Применение сборника задач по комбинаторики и теории вероятности на уроках в 5-6 классах

2.1. Анкетирование

Анкетирование проводилось среди учащихся 5-6 классов Курайской школы (25 человек) до проведения занятий по задачам из сборника, чтобы определить нуждаются ли учащиеся в дополнительной работе по данной теме.

Учащимся необходимо было ответить на вопросы однозначно: Да – Нет.

1. Возникали ли у тебя трудности во время решения задач по теме комбинаторика (теория вероятности)?

2. Считает ли вы данный темы интересными?

3. Пригодится тебе в твоей жизни комбинаторика (теория вероятности)?

Из всей выборки учащихся получили следующие результаты:

Таблица 1. Результаты анкетирования учащихся

 

Да

Нет

Вопрос 1

15 (60%)

10 (40%)

Вопрос 2

7 (28%)

18 (72%)

Вопрос 3

13 (52%)

12 (48%)

Опрос показал, что учащиеся не полностью разобрались в данной теме и не увидели ее применение их повседневной жизни.

2.2. Эксперимент

Эксперимент проводился на выборке тех же учащихся.

За входной контроль были взяты результаты проверочной работы, проводимые учителем в рамках учебной программы по математике.

Результат входного контроля 5 класса по решению задач комбинаторики имеет вид:

Диаграмма 1. Результаты входного контроля учащихся 5 класса.

Средний балл – 3,54.

Результаты входного контроля 6 класса по теории вероятности представлен на диаграмме

Диаграмма 2. Результаты входного контроля учащихся 6 класса.

Средний балл – 3,58.

В дальнейшем нами были приведены занятия во внеурочное время по решению задач из составленного нами сборника.

К итоговому контролю были представлены задачи.

Пример карточки.

  1. Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. При измерении роста учащихся 5 класса получили результаты: 1) 156 см, 2) 11 см, 3) меньше 200 см, 4) 254 см, 5) 161 см.

  2. В 6 классе Курайской школы 14 учеников, среди них 2 друга – Егор и Максим. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 2 равные команды для игры в «Снайпер». Найдите вероятность того, что Максим и Егор попали в одну команду.

  3. У Даши было пять одинаковых карточек на которых была напечатана одна из следующих букв «а», «м», «р», «т», «ю». Ариша тщательно перемешала все эти карточки. Какова вероятность, что из этих карточек Даша вытянет те карты, из которых будет составлено слово ЮРТА.

  4. Ве­ро­ят­ность того, что в тесте по истории Иван верно решит боль­ше 11 заданий, равна 0,6. Ве­ро­ят­ность того, что Иван верно решит боль­ше 10 заданий, равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Иван верно решит ровно 11 заданий.

На данных диаграммах приведена сравнительная динамика изменений.

Диаграмма 3. Результаты 5 класс.

Средний балл повысился до 4,15

Диаграмма 4. Результаты 6 класса

Средний балл повысился до 4,25

Данный эксперимент показывает, что применение в задачах жизненных ситуаций более интересны учащимся и мотивирует их к плодотворной работе.

Заключение

В результате проделанной нами работы, добились реализации поставленных перед собой задач:

1) создан сборник задач по комбинаторики и теории вероятности из ситуаций реальной жизни школьников 5-6 классов

2) проведены занятия в 5 и 6 классах Курайской школы по применению данного сборника на практике.

3) проведен эксперимент, в результате которого была подтверждена наша гипотеза, о том, что реальные жизненные ситуации в задачах вызывают интерес у учащихся.

После получения результатов, пришли к выводу, что цель работы достигнута в полном объеме.

В дальнейшем планируется расширение области задач с их усложнением.

Список использованных источников и литературы

  1. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. — М.: ЛКИ, 2013. — 296 c.

  2. История математики с дрвнейших времён до начала XIX столетия / Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М: Наука, 1970-1972. T.1-3.

  3. Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс. Учебник. ФГОСАвтор: , Год: 2016 издатель: «Просвещение»,

  4. Ожегов С.И. Словарь русского языка:.М.:Рус.яз.,1989.

  5. Студенецкая В.Н. Решение задч по статистике, комбинаторике и теории вероятности – Волгоград: Учитль, 2009. – 428 с.

  6. Холл. М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

  7. Фарков А.В. Математические кружки в школе. 5-8 классы– М. Айрис-пресс, 2006

  8. http://www.studfiles.ru/preview/6014092/

  9. https://sites.google.com/site/teoriaveroyatnosti/teoria/elementy-kombinatoriki

  10. http://mognovse.ru/scl-kombinatorika-i-teoriya-veroyatnosti-1-kombinatorika.html

Приложение 1. «Сборник задач по комбинаторике и теории вероятности в школьной жизни»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Курайская средняя школа

Сборник задач по комбинаторике

и теории вероятности в школьной жизни

Составитель: Курбангулов Егор

С. Курай 2017

Содержание

1. Комбинаторные задачи

2. Задачи по теории вероятности

2.1. Виды событий

2.2. Классическое определение

2.3. Задачи повышенного уровня

3. Решение задач по комбинаторики

4. Решение задач по теории вероятности

1. Комбинаторные задачи

  1. В магазине «Теремок» осталось только три разные тетради в клетку. Дима и Рома покупают себе по одной тетради. Сколько существуют способов покупок для этих парней? Перечислите.

  2. Во время товарищеского матча по мини — футболу между командами Курай и Н-Танай участники соревнования обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий? (в команде 6 человек)

  3. В Курайская школа имеет 5 входов, из них три запасных. Запишите все возможные случаи, какими ученик школы может войти в центральный вход, а выйти через любой. Сколько таких способов?

  4. В январе 2017 года в Дзержинском районе в соревнованиях по волейболу среди девушек 2003- 2005 участвовала 5 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре. Сколько всего игр было сыграно?

  5. В магазине «Водолей» продается 7 видов мороженного (не в одном количестве). Егор и Дима покупают по одному. Сколько существует вариантов такой покупки?

  6. Во время школы «Лидер» Даша участвовала в группе из 4 человек. В конце встречи они добавились друг другу в друзья в VK. Сколько всего было добавлено друзей?

  7. Учащиеся 6 класса Курайской школы решили обменяться фотографиями. Сколько фотографий для этого потребуется, если в классе 14 человек?

  8. В столовой Курайской школы на обед готовят три вида первого блюда: щи, рассольник и солянка, а также четыре вида второго блюда: печень тушеная, котлета, сарделька отварная, рыба запеченная. Какое количество обедов из первого и второго может составить повар для меню?

  9. У Насти в гардеробе имеется водолазка, пуловер и рубашка. Сколько возможных вариантов можно составить школьной формы с юбкой и брюками?

  10. В 5 классе по плану 3 урока английского языка в неделю, сколькими способами их можно расставить в расписании на неделю?

  11. У Даши из 5 класса 4 подруги: Катя, Вика, Алина, Полина. Она решила двух из них пригласить на каток. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

  12. В 6 классе Курайской школы при участии в «Математической лиге» выделились 5 лидеров. Сколькими способами учитель может выбрать 2 учащихся для участия в финале?

  13. В Курайскую школу каждый учебный день приходит два школьных автобуса, в автотранспортном предприятии всего 15 школьных автобусов. Сколько существует вариантов отправки в Курайскую школу каждый раз разный состав автобусов?

  14. В кабинете информатики работают 7 стационарных компьютеров. Сколькими способами, возможно, рассадить 7 учащихся 9 класса при практической работе?

2. Задачи по теории вероятности

2.1. Виды событий

  1. Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. Учащиеся 6 класса 2016 — 2017 учебного года родились: 1) 2004 году; 2) 2016; 3) до 2016 года.

  2. Для каждого из событий определите его вид: невозможное, достоверное или случайное. При измерении роста учащихся 5 класса получили результаты: 1) 156 см, 2) 11 см, 3) меньше 200 см, 4) 254 см, 5) 161 см.

  3. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его понятиями «вероятность 100%», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно».

1) на уроке музыки учащиеся делали физические упражнения;

2) на уроке математики учащиеся решали задачи;

3) на уроке физической культуры учащиеся решали задачи;

4) учащиеся вышли с летних каникул – 1 сентября;

5) день рождение ученика Курайской школы – 29 февраля;

  1. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

1) на контрольной работе по русскому языку меньше половины класса получили пятерки,

2) в 5 классе все умные и усидчивые,

3) учитель биологии вызвал к доске девочку,

4) во время каникул все учащиеся покатались на коньках.

  1. Из событий:

1) «сегодня 11 классе отучился 7 уроков»

2) «сегодня 1 января»

3) «сегодня температура воздуха -40 градусов»

4) «сегодня все учащиеся не учатся»

5) «сегодня наступило утро»

Составить всевозможные пары совместных и несовместных событий.

2.2. Классическое определение вероятности

  1. В 6 классе 8 девочек, среди них две подруги – Яна и Арина. Учитель физкультуры наугад разбивает девчонок в две команды для участия в играх «А ну-ка, девушки». Найдите вероятность того, что Яна и Арина окажутся в одной команде.

  2. В 6 классе Курайской школы 14 учеников, среди них 2 друга – Егор и Максим. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 2 равные команды для игры в «Снайпер». Найдите вероятность того, что Максим и Егор попали в одну команду.

  3. Иван забыл последние 2 цифры пароля от социальной сети VK, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

  4. Для зачета по биологии Ольга Викторовна под­го­то­ви­ли 5 классу вопросы на отдельных листах с но­ме­ра­ми от 1 до 20. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый Никитой вопрос имеет од­но­знач­ный номер?

  5. Нина имеет в социальной сети «Одноклассники» пароль из 5 букв: Ш, О, К, А, Л. Какова вероятность того, что Нина наберет в пароль слово «школа»?

  6. Ангелина на урок географии выучила только 10 вопросов из 15 необходимых в домашнем задании. Какова вероятность, что Александр Викторович спросит Ангелину невыученный вопрос?

  7. При дежурстве по школе учащиеся распределяются на семь постов, так как в 6 классе 14 человек, значит на каждом посту по два человека. Какова вероятность, что Настя и Даша окажутся дежурными на одном посту.

2.3. Задачи повышенного уровня

  1. Вероятность того, что на контрольной работе по математике Рома верно решит больше 4 задач, равна 0,75. Вероятность того, что Рома верно решит больше 3 задач, равна 0,87. Найдите вероятность того, что Рома верно решит ровно 4 задачу.

  2. Ве­ро­ят­ность того, что в тесте по истории Алина верно решит боль­ше 11 заданий, равна 0,6. Ве­ро­ят­ность того, Алина верно решит боль­ше 10 заданий, равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Алина верно решит ровно 11 заданий.

  3. Во время проведения дня здоровья «Зимние забавы» на станции «Дартс» каждый участник команды имеет три попытки. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что участник пер­вые два раза попал в ми­ше­нь, а по­след­ний — про­мах­нул­ся.

  4. В трех ма­га­зи­нах с. Курай независимо друг от друга продаются карты для пополнения денежных средств на телефон. Вероятность, что их нет в наличии 0,2. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы в одном магазине можно купить карту.

3. Решение задач по комбинаторике

  1. Решение. Пронумеруем для удобства данные тетради 1,2,3. И переберем все варианты1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 1-3, 3-1.

Ответ 6.

  1. Решение. В данной ситуации порядок не имеет значения: если первый участник команды Курай пожимает руку первому участнику Н-Танай, то одновременно и первый участник Н-Танай жмет руку первому участнику Курай, поэтому всего будет рукопожатий.

Ответ. 36

  1. Решение. В данной ситуации порядок входа имеет значение. Если запасных 3 выхода, то центральных — 2, то дерево вариантов будет выглядеть

Ответ 10.

  1. Решение. В данном случае порядок не имеет значение. 45/2=10 игр.

Ответ 10.

  1. Решение. Для решения данной задачи порядок не имеет значение, поэтому Егор может выбрать любое из семи и Дима любое из семи. По правилу произведения 77=49.

Ответ 49.

  1. Решение. Порядок выбора не имеет значения: если всего 4 человек, то каждому необходимо добавить по 3 друга. 34=12.

Ответ. 12.

  1. Решение. Порядок выбора не имеет значения: если всего 14 человек, то каждому необходимо отдать по 13 фотографий. 1314=182.

Ответ. 182.

  1. Решение.Представим результаты ввиде таблицы.

 

Печень тушеная

Котлета

Сарделька отварная

Рыба запеченная

Щи

Щи +Печень

Щи +Котлета

Щи +Сарделька

Щи +Рыба

Рассольник

Рассольник +Печень

Рассольник +Котлета

Рассольник +Сарделька

Рассольник +Рыба

Солянка

Солянка +Печень

Солянка +Котлета

Солянка +Сарделька

Солянка +Рыба

Ответ. 12 способов.

  1. Решение. Представим результаты деревом вариантов

Ответ. 6 способов.

  1. Решение. Так как порядок уроков не имеет значение, воспользуемся правилом произведения. Первый урок можно выбрать из пяти дней недели, второй урок из четырех, а третий из оставшихся трех. 543=60 способов.

Ответ. 60.

  1. Решение. Представим решение в виде таблицы

 

Катя

Вика

Алина

Полина

Катя

 

К-В

К-А

К-П

Вика

В-К

 

В-А

В-П

Алина

А-К

А-В

 

А-П

Полина

П-К

П-В

П-А

 

Так как порядок выбора подруг не имеет значение, значит, считаем только варианты над закрашенными ячейками.

Ответ. 6.

  1. Решение. В данной задаче порядок имеет значение, если первый участник выбирается из 5, то второй из четырех. 4*5=20 случаев.

Ответ. 20.

  1. Решение. В данной ситуации порядок автобусов имеет значение, так как набор должен быть разным. Получаем по правилу произведения если певый автобус можно выбрать 15 – ю вариантами, то второго 14 – ю вариантами. Всего способов

Ответ. 6.

  1. Решение. Воспользуемся правилом произведения. Если на первом компьютере можно посадить любого ученика из семи, то на второй любого из оставшихся 6 и т. д. 7654321=5040 способов.

Ответ. 5040.

4. Решение задач по теории вероятности


    1. Событие, что учащиеся 6 класса родились в 2004 году — случайное, оно может быть, а может и не быть, все завит от месяца рождения в течение года.

    2. Событие невозможное, так как с рождения не берут в школу.

    3. Событие достоверное, так как если учащиеся учатся в 6 классе в 2016-2017, значит, родились до 2016.

    2. Решение.


    1. случайное;

    2. невозможное;

    3. достоверное;

    4. невозможное;

    5. случайное.

    3. Ответ.


    1. случайное событие, но при этом маловероятно.

    2. достоверное событие, вероятность 100%.

    3. невозможное событие, нулевая вероятность.

    4. случайное событие, достаточно вероятно

    5. случайное событие, маловероятно.

    4. Решение.


    1. на контрольной работе по русскому языку не меньше половины класса получили пятерки,

    2. в 5 классе есть хотя бы один не умный и не усидчивый,

    3. учитель биологии вызвал к доске мальчика,

    4. во время каникул хотя бы один человек покатался на коньках.

    5. Решение.

  5. Решение.

Совместные события.

  1.  

    1. «сегодня 11 классе отучился 7 уроков» и «сегодня наступило утро»

    2. «сегодня 1 января» и «сегодня все учащиеся не учатся»

    3. «сегодня наступило утро» и «сегодня 1 января»

    4. «сегодня все учащиеся не учатся» и «сегодня температура воздуха -40 градусов»

    5. «сегодня наступило утро» и «сегодня 11 классе отучился 7 уроков»

    6. «сегодня наступило утро» и «сегодня все учащиеся не учатся»

    7. «сегодня наступило утро» и «сегодня температура воздуха -40 градусов»

Несовместные события

  1.  

    1. «сегодня 11 классе отучился 7 уроков» и «сегодня 1 января»

    2. «сегодня температура воздуха -40 градусов» и «сегодня 11 классе отучился 7 уроков»

  2. Решение. Если Яне первой досталось некоторое место, то Арине остаётся 7 мест. Из них 3 — в той же команде, где и Яна. Искомая вероятность равна 3/7.

Ответ:3/7.

  1. Ответ 6 : 13.

  2. Решение. Используем определение вероятности, рассчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент:

10

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

23

24

25

26

27

28

29

Таких чисел 18 штук. Тогда искомая вероятность P=1/18. Ответ: 1/18.

  1. Ре­ше­ние. Всего подготовлено 20 вопросов. Однозначными будут вопросы от 1 до 9. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад взя­тый вопрос имеет одно­знач­ный номер равна 9:20=0,45.

Ответ: 0,45.

  1. Решение: Число различных перестановок из букв равно

54321=120, из них только одна соответствует слову «школа», поэтому по вероятность того, что Нина наберет пароль слово «школа» равна P=1/120.

Ответ. 1/120.

  1. Решение. Всего 15 вопросов. Невыученных 15-10=5. Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад заданный вопрос – невыученный 5:15=1/3.

Ответ: 1/3.

  1. Решение. Если Насте первой досталось некоторый пост, то Даше остаётся 13 мест. Из них 1 — на том же посту, где и Настя. Искомая вероятность равна 1/13.

Ответ. 1/13

  1. Решение. Вероятность решить несколько задач складывается из суммы вероятностей решить каждую из этих задач. Больше 4: решить 5-ю

Больше 3: решить 4-ю, 5-ю. Вероятность решить 4-ю = 0,87-0,75=0,12.

Ответ:0.12

  1. Ре­ше­ние. Вероятность решить несколько заданий складывается из суммы вероятностей решить каждое из этих заданий. Больше 11: решить 12-е. Больше 10: решить 11-е, 12-е. Вероятность решить 11-е = 0,7-0,6=0,1.Ответ:0.1

  2. Ре­ше­ние. По­сколь­ку участник команды по­па­да­ет в ми­ше­ни с ве­ро­ят­но­стью 0,8, он про­ма­хи­ва­ет­ся с ве­ро­ят­но­стью 1 − 0,8 = 0,2. Cобы­тие по­пасть или про­мах­нуть­ся не­за­ви­си­мы, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей. Тем самым, ве­ро­ят­ность со­бы­тия «попал, попал, про­мах­нул­ся» равна 0,80,80,2=0,128.

Ответ:0.128.

  1. Ре­ше­ние. Най­дем ве­ро­ят­ность того, что во всех магазинах нет карт. Эти со­бы­тия не­за­ви­си­мые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: 0,2 · 0,2 0,2= 0,008. Со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что хотя в одном магазине есть карты, про­ти­во­по­лож­ное. Сле­до­ва­тель­но, его ве­ро­ят­ность равна 1 − 0,008 = 0,992.

Ответ: 0,992.Ответ: 0,997

Просмотров работы: 4768

Комбинаторные задачи в ЕГЭ

Комбинаторные методы в ЕГЭ по информатике применяются для решения задачи №10 (бывшая В4). Рассмотрим решение типичных задач, с использованием комбинаторных приемов.

Решим задачу под номером В4 из демонстрационной версии ЕГЭ по информатике 2014 года.

Задача. Для передачи аварийных сигналов договорились использовать специальные цветные сигнальные ракеты, запускаемые последовательно. Одна последовательность ракет – один сигнал; в каком порядке идут цвета – существенно. Какое количество различных сигналов можно передать при помощи запуска ровно пяти таких сигнальных ракет, если в запасе имеются ракеты трёх различных цветов (ракет каждого вида неограниченное количество, цвет ракет в последовательности может повторяться)?

Решение.

Ракеты могут быть трех различных цветов, при этом в одной последовательности пять ракет. Значит, рассматривается выборка объема пять из трех элементов (n = 3, k = 5).

Определим комбинаторную схему. Два положения в условие задачи:

  • «в каком порядке идут цвета – существенно»;
  • «цвет ракет в последовательности может повторяться»;

указывают на то, что – это размещения с повторениями.

Ответ. 243

Решим задачу №10 из демоверсии ЕГЭ по информатике 2016 года.

Игорь составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Игорь использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы П, И, Р, причём буква П появляется ровно 1 раз. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Игорь?

Решение.

1) буква «П» появляется ровно 1 раз, значит она может находиться на одной из 5 позиций в слове.

2) буквы «И» и «Р» заполнят остальные 4 позиции. Рассмотрим выборки объема 4 из 2 элементов (k = 4, n = 2). Кодовые слова могут отличаться как порядком следования букв, так и составом, значит, комбинаторная схема – размещения с повторениями. Найдем число таких размещений:

3) применим правило произведения: 5 * 16 = 80

Ответ. 80

Типичная тренировочная задача №10 для подготовки к ЕГЭ по информатике.

Задача. Вася составляет 5-буквенные слова из четырехбуквенного алфавита {A, C, R, T}, причём буква А используется в каждом слове ровно 2 раза. Каждая из других допустимых букв может встречаться в слове любое количество раз или не встречаться совсем. Словом, считается любая допустимая последовательность букв, не обязательно осмысленная. Сколько существует таких слов, которые может написать Вася?

Решение.

1) пронумеруем позиции в слове, тогда варианты расположений букв «А» можно представить в качестве неупорядоченного выбора двух цифр из пяти. Значит, комбинаторная схема — сочетания без повторений

2) остальные допустимые символы будут занимать 3 позиции. Эти выборки объемом 3 из 3 элементов будут отличаться как порядком следования, так и набором символов. Очевидно, комбинаторная схема – размещения с повторениями.

3) применим правило произведения: 27 * 10 = 270

Ответ. 270

Замечательная комбинаторика | Университетские субботы-2020 НИТУ «МИСиС»

Университетские субботы-2020

ru

онлайн

Лекция посвящена одной из наиболее сложных и увлекательных тем школьной математики — «Комбинаторика». Эта тема в школьной программе изучается кратко или даже факультативно. В то же время задачи, использующие термины и формулы этой темы, присутствуют в заданиях высокого уровня сложности как олимпиад, так и профильного ЕГЭ по математике.

Впервые основные понятия темы «Комбинаторика» излагаются уже учащимся основной школы. Однако для решения задач по этой теме недостаточно формальных математических знаний, т.е. знания формул и стандартных алгоритмов. Решение таких задач требует наличия высокого уровня математической культуры, самостоятельного творческого мышления в нестандартной математической ситуации. Здесь необходима изобретательность, умение логично рассуждать и перевести нестандартное, как правило сюжетное условие на математический язык, т.е. формализовать задачу, а затем исследовать полученную вероятностную модель.

Систематизированы методы и приемы решения различных типов комбинаторных задач, возникающих как в теории чисел, так и в теории вероятностей. Дан обширный массив детально разобранных примеров с заданиями для самостоятельной работы.

Цикл лекций предназначен для старшеклассников, а также будет полезен преподавателям математики.

Ведущий:

  • Ушаков Владимир Кимович, профессор Кафедры математики НИТУ «МИСиС», доктор технических наук, старший эксперт ЕГЭ.

Вход на мероприятие по предварительной регистрации на сайте в соответствии с правилами регистрации и обозначенной для данного мероприятия целевой аудиторией. Мероприятие пройдет в дистанционном формате, ссылка на трансляцию будет направлена всем зарегистрированным участникам на почту, указанную при регистрации и размещена в личном кабинете зарегистрированного участника.

Для просмотра рекомендуем использовать браузер Google Chrome.

112 Комбинаторные задачи — из летней программы AwesomeMath

Как человек, который хотел улучшить свои навыки комбинаторики от предолимпиадного до олимпиадного уровня, я подумал, что эта книга очень подходит для этой цели. В частности, мне очень понравился раздел о более чем одном способе счета. Хотя представленная идея была довольно простой по своей природе, я любил читать примеры, поскольку они были очень нестандартными и помогали увидеть технику в более общем свете. Например, пример доказательства идентичности с использованием функции пола был очень поучительным, поскольку я никогда не сталкивался с комбинаторной идеей подсчета точек решетки, что сделало чтение решения очень информативным; Мне он показался чрезвычайно элегантным, и он добавил еще одну идею в мой набор инструментов комбинаторики.Мне также понравился раздел об инвариантах, поскольку в нем подробно объяснялась мотивация этой техники и ее применение в задачах комбинаторики, связанных с играми и алгоритмами. Часто я читал решения этих типов проблем в других ресурсах и понятия не имел, как я сам смогу их найти. Однако я считаю, что эта глава определенно предоставила достаточно объяснений того, как можно найти такие элегантные решения самостоятельно, что я оценил. Наконец, мне очень понравился раздел комбинаторной геометрии.Готовясь к соревнованиям, я часто зацикливался на задачах, сочетающих идеи геометрии и комбинаторики, но я никогда не находил подходящих ресурсов, которые освещали бы идеи, лежащие в основе комбинаторной геометрии, информативным и интуитивно понятным способом. Этот раздел был тем, что я искал, так как в нем были изложены основные идеи и методы вначале, а затем сразу же перешли к рабочим примерам с подробными и мотивированными решениями, которые я нашел очень полезными и эффективными. Я подумал, что обсуждение выпуклости было очень полезным для целей этой главы, так как я никогда не имел представления о том, что такое выпуклость, пока не прочитал эту часть.Было предоставлено достаточно теории, лежащей в основе выпуклости, и это помогло мне понять, что происходит в решениях предоставленных примеров. Кроме того, я подумал, что примеры, представленные в этом разделе, были достаточно сложными, а также интересными и нестандартными. Было действительно приятно читать решения этих примеров, поскольку они методично анализировали проблему и демонстрировали силу обсуждаемой математики, применяя идеи очень красивыми способами. В целом, я думаю, что эта книга была очень приятным чтением, и опыт работы над проблемами в конце был чрезвычайно полезным, а их решения были написаны с учетом правильной аудитории.Задачи в конце включали правильный баланс между вычислительными задачами и доказательствами, и я обнаружил, что работа над ними в моем собственном темпе помогла мне преодолеть разрыв между предолимпиадной комбинаторикой и олимпиадной комбинаторикой.

Комбинаторные инкрементальные задачи

Аннотация

Мы изучаем класс задач инкрементной комбинаторной оптимизации, в которых решения оцениваются по мере их построения, а не только измеряются характеристики окончательного решения.Несмотря на то, что многие из этих проблем были изучены, обычно они «изолированы», поэтому первая цель этого документа — представить их в рамках одной и той же структуры. Мы представляем инкрементный аналог нескольких классических комбинаторных задач и представляем эффективные алгоритмы для поиска приближенных решений некоторых из этих проблем, улучшающих или дающих гарантии первого известного приближения. Мы представляем объединяющие методы, которые работают для общих классов дополнительных задач оптимизации, используя фундаментальные свойства основной проблемы, такие как монотонность или выпуклость, и полагаясь на алгоритмы для неинкрементной версии проблемы в качестве подпрограмм.В главе 2 мы даем алгоритм е-приближения для общих задач инкрементной минимизации, улучшая гарантию наилучшего приближения для инкрементной версии задачи кратчайшего пути. В главе 3 мы показываем алгоритмы постоянной аппроксимации для нескольких подклассов задач возрастающей максимизации, включая приближение e / 2e-1 для задачи согласования максимального веса и приближение e / e + 1 для субмодульных оценок. В главе 4 мы вводим свойство дискретной вогнутости, которое позволяет нам давать постоянные гарантии приближения для нескольких задач, включая асимптотический 0.85-приближение для инкрементного максимального потока с единичными мощностями и 0,9-приближение для инкрементального сопоставления максимальной мощности, инкрементный максимальный стабильный набор в графах без когтей и инкрементный общий независимый набор максимального размера из двух матроидов.

Описание
Диссертация: Ph. D., Массачусетский технологический институт, факультет математики, 2018

Каталогизируется из версии диссертации в формате PDF.

Включает библиографические ссылки (страницы 95-98).

Отдел
Массачусетский Институт Технологий.Кафедра математики

Издатель

Массачусетский технологический институт

Двухуровневое программирование, равновесие и комбинаторные задачи с приложениями к машиностроению 2016

Несмотря на то, что многие приложения соответствуют структурам двухуровневого программирования (BLP) и двухуровневого оптимального управления (BOC), в литературе встречается не так много реальных реализаций. Последнее можно объяснить явным отсутствием эффективных алгоритмов, решающих средне- и крупномасштабные задачи BLP и BOC.В самом деле, лечение программы BLP (или BOC), даже в ее простейших настройках, — далеко не простая задача. Можно использовать множество альтернативных методов, но не существует общего рецепта, который мог бы обеспечить сходимость или оптимальность для всех проблем требуемого типа.

Смешанные целочисленные BLP (MIBLP) с частично целочисленными переменными часто создают реальную проблему для традиционных методов оптимизации. Например, замена задачи оптимизации нижнего уровня (LL) условиями Каруша-Куна-Таккера (KKT) может потерпеть неудачу, если некоторые переменные LL не являются непрерывными.Следовательно, необходима прочная теоретическая база, включающая элементы комбинаторных методов, чтобы предлагать эффективные алгоритмы, направленные на поиск локальных или глобальных решений таких проблем.

С этой целью многие выдающиеся исследователи в области двухуровневого программирования предложили множество новых идей и превратили их в новые алгоритмы. Среди них мы бы назвали Демпе, Мордуховича и Датту [1, 2], Лаббе, Маркотта и Савара [3, 4], ДеНегре и Ральфса [5], а также Либерти и Пантелидеса [6], усилия которых развивают различные способы сокращение исходных задач двухуровневого программирования до эквивалентных одноуровневых, а также новые типы алгоритмов, делающие решение смешанно-целочисленного BLP поддающейся лечению задачей для обычного программного обеспечения математического программирования.

Инженерные приложения двухуровневой оптимизации и комбинаторных задач также включают расположение объектов, экологическое регулирование, энергетическую и сельскохозяйственную политику, управление опасными материалами и оптимальные конструкции для химических и биотехнологических процессов.

Например, в последнее время возникло много новых прикладных задач в различных областях человеческого знания, которые могут быть эффективно решены только как MIBLP. Очень короткий список таких включает размещение виртуальных рабочих столов в распределенных облачных вычислениях; задача интервального двухэтапного программирования на основе рисков для управления сельскохозяйственной системой в условиях неопределенности; дополнительные циклы в нерегулярных многосторонних турнирах; проблема оптимального дизайна семейства продуктов; проблема корпоративных международных инвестиций; и так далее.Двухуровневые модели для описания процессов миграции также стали очень популярными в области BLP и BOC.

Основная цель этого ежегодного специального выпуска — обсудить эти проблемы с исследователями, работающими в соответствующих областях. Статьи, отобранные для этого специального тома, посвящены трем основным темам: смешанное целочисленное двухуровневое программирование, двухуровневые стохастические модели управления и комбинаторные задачи (целочисленное программирование), а также их приложения к проектированию / планированию.

Одним из таких приложений является хорошо известная задача двухуровневого программирования размещения виртуальных рабочих столов в распределенных облачных вычислениях. Хорошо известно, что распределенное облако широко применяется для поддержки запросов на обслуживание из разрозненных регионов, особенно для крупных предприятий, которые запрашивают виртуальные рабочие столы для нескольких географически распределенных дочерних компаний. Поставщик облачных услуг (CSP) обычно стремится предоставлять удовлетворительные услуги с наименьшими затратами. CSP выбирает подходящие центры обработки данных (ЦОД) ближе к дочерним компаниям, чтобы сократить время ответа на запрос пользователя.В то же время он также стремится сократить расходы, учитывая как уровень DC, так и уровень сервера. На уровне постоянного тока необходимо снизить дорогостоящее потребление полосы пропускания между центрами постоянного тока на большие расстояния и добиться более низкой цены на электроэнергию за счет использования геораспределения постоянного тока. Внутри каждого древовидного ЦОД серверы стараются использовать как можно реже, чтобы снизить стоимость оборудования и снизить энергопотребление. По своей природе существует несовместимая связь между уровнем DC и уровнем сервера при выборе DC и серверов.Чтобы достичь этих целей и зафиксировать отношения отказа от сотрудничества, J. ​​Zhang et al. в «Унифицированном алгоритме размещения виртуальных рабочих столов в распределенных облачных вычислениях» используется многоцелевой двухуровневый каркас программирования. Затем предлагается единый генетический алгоритм для поиска наилучшего решения для размещения виртуальных рабочих столов, который реализует одновременный выбор DC и сервера. Обширное моделирование показывает, что предложенный алгоритм превосходит базовый алгоритм как по гарантированному качеству обслуживания, так и по общей стоимости.

Одна из основных проблем управления связана с проектированием семейства продуктов, в рамках которого существует множество отношений лидер-последователь. C. Miao et al. в «Генетическом алгоритме для смешанного целочисленного нелинейного двухуровневого программирования и приложений в дизайне семейств продуктов» исследуют рассматриваемую проблему, применяя методы двухуровневого программирования (BLP). Проблемы проектирования семейства продуктов обладают важными особенностями. Например, смешанная целочисленная нелинейная двухуровневая программа (MINLBLP), управляющая как непрерывными, так и дискретными переменными и решающая несколько независимых задач нижнего уровня, широко используется при оптимизации семейства продуктов.Авторы предлагают двухуровневый генетический алгоритм (BLGA) для решения этих конкретных проблем MINLBLP. Они предоставляют результаты численных экспериментов с несколькими примерами, демонстрирующими эффективность и надежность разработанного алгоритма. Кроме того, рассматривается пример сокращенного семейства, чтобы продемонстрировать практическое применение предлагаемого BLGA.

Равновесная временная стратегия для корпоративной международной инвестиционной проблемы с критерием средней дисперсии предложена и обоснована в «Равновесной временной согласованной стратегии для корпоративной международной инвестиционной проблемы с критерием средней дисперсии» Дж.Лонг и С. Цзэн. В данной статье авторы анализируют модель непрерывного времени (оптимального управления) для корпоративной международной инвестиционной проблемы (CIIP) с критерием средней дисперсии. Основываясь на теории совершенного равновесия подигры Нэша, они определяют бесконечно малый оператор и напрямую выводят расширенное уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Кроме того, выводится равновесная временная стратегия для CIIP. Кроме того, в статье также обсуждаются два возможных случая коэффициента неприятия риска. А именно, в случае 1 она постоянна, а в случае 2 — зависит от состояния.Наконец, приведены результаты моделирования, чтобы проиллюстрировать выводы, а также влияние некоторых параметров на оптимальное решение.

Похожая задача двухуровневого программирования, связанная со стохастической структурой, изучается в статье Ю. Сюй и Г. Хуанга «Модель интервального двухэтапного программирования на основе рисков для управления сельскохозяйственной системой в условиях неопределенности». Загрязнение из неточечных источников (НПВ), вызванное сельскохозяйственной деятельностью, является основной причиной ухудшения, вплоть до ухудшения, качества воды в водосборе.Кроме того, борьба с загрязнением обходится довольно дорого и обычно сопровождается падением доходов сельскохозяйственной системы. Следовательно, разработка и создание экономически эффективной, экологически чистой и не допускающей рисков модели сельскохозяйственного производства становится критически важной проблемой для местных менеджеров. Для решения вышеупомянутой проблемы авторами разработана модель интервального двухэтапного программирования на основе рисков (RBITSP). По сравнению с общей моделью ITSP, значительный вклад модели RBITSP состоит в том, что она подчеркивает важность финансового риска на различных вероятностных уровнях, а не только концентрируется на ожидаемой экономической выгоде (где риск рассматривается как вероятность невыполнения требований). целевая прибыль при реализации каждого отдельного сценария).Таким образом эффективно предотвращается отклонение решений, вызванное традиционной ожидаемой целевой функцией. Кроме того, в этом режиме генерируется множество решений путем корректировки весовых коэффициентов, включенных в целевую функцию, что отражает своего рода компромисс между экономичностью и надежностью системы. Пример управления сельскохозяйственной системой, относящейся к бассейну озера Тай, используется для демонстрации превосходства результатов и может служить основой для разработки и определения схем развития сельского хозяйства, обеспечивающих баланс между выгодой системы, риском сбоя системы и защитой водоемов. .

Другой работой, представляющей новую модель планирования совокупного производства (APP) для управления операциями, является «Улучшенный имитационный отжиг для решения планирования совокупного производства» М. Р. Абу Бакара и др. Поскольку совокупное планирование производства (APP) является одним из ключевых моментов во всем управлении производством, авторы статьи ставят задачу в виде модели многоцелевого линейного программирования и пытаются оптимизировать ее с помощью имитационного отжига (SA). Занимаясь оптимизацией проблемы APP, авторы обнаружили, что возможности SA были недостаточными, а ее производительность была некачественной, особенно для крупной управляемой проблемы APP со многими переменными решения и множеством ограничений.Поскольку этот алгоритм работает последовательно, текущая итерация будет генерировать только одну следующую итерацию, что замедляет поиск. Другой недостаток состоит в том, что поиск может остановиться на локальном минимуме, представляющем лучшее решение только на части допустимого набора. Для повышения производительности метода и устранения недостатков в решении проблем предлагается модифицированный метод моделирования отжига (MSA). Авторы пытаются расширить область поиска, начав с приближенных решений вместо одной итерации.Чтобы проанализировать и сравнить шаги MSA со стандартным SA и поиском гармонии (HS), учитывается реальная производительность промышленной компании и выполняется моделирование для оценки характеристик различных алгоритмов. Полученные численные результаты показывают, что, по сравнению с SA и HS, MSA предлагает более качественные процедуры в отношении их скорости сходимости и точности.

Наконец, проблема дополнительных циклов в нерегулярных мультидиграфах исследуется в работе Z. «Дополнительные циклы в нерегулярных многочастных турнирах».He et al. Здесь турнир — это ориентированный граф (орграф), полученный путем задания направления для каждого ребра в неориентированном полном графе. Орграф D является циклически дополнительным, если существуют два вершинно-непересекающихся цикла C и C ‘, вершины которых образуют разбиение множества вершин орграфа D . Существование такого разбиения с двумя циклами — важный вопрос теории графов. В качестве основных результатов авторы статьи устанавливают достаточные условия существования такого разбиения в любом локально почти регулярном многостороннем турнире.

Мы надеемся, что читатель этого ежегодного специального выпуска найдет не только новые идеи и алгоритмы, касающиеся таких сложных проблем, как смешанное целочисленное двухуровневое программирование, двухуровневые стохастические модели управления и комбинаторные задачи (целочисленное программирование), а также их Приложения к проектированию / планированию, а также некоторые интересные результаты, касающиеся современных методов моделирования и продвинутой теории графов.

Благодарности

Эта работа финансировалась грантом SEP-CONACYT No.CB-2013-01-221676, Мексика. Особая благодарность также заслуживает длинный список рецензентов, чьи ценные комментарии и предложения помогли авторам улучшить свои результаты и / или стиль изложения.

Вячеслав В. Калашников
Стефан Демпе
Тимоти И. Матис
Хосе-Фернандо Камачо-Вальехо
Сергей В. Кавун

Комбинаторные задачи в интернет-рекламе

Аннотация

Электронная коммерция или электронная коммерция относится к процессу покупки и продажи товаров и услуг через Интернет.Фактически, Интернет полностью изменил традиционную рекламу, основанную на средствах массовой информации, настолько, что миллиарды долларов дохода от рекламы теперь поступают в такие поисковые компании, как Microsoft, Yahoo! и Google. Кроме того, новый рекламный ландшафт открыл рекламную индустрию для всех игроков, больших и малых. Однако это преобразование привело к множеству новых проблем, с которыми сталкиваются поисковые компании, когда они принимают решения о том, сколько платить за рекламу, чью рекламу показывать пользователям и как максимизировать свой доход.В этой диссертации мы сосредотачиваемся на целом ряде проблем, мотивированных центральным вопросом «Какую рекламу показывать какому пользователю?». Целевая реклама происходит, когда пользователь вводит релевантный поисковый запрос. Объявления обычно отображаются по бокам страницы результатов поиска. Интернет-реклама также осуществляется путем показа рекламы на страницах с релевантным содержанием. В то время как крупные рекламодатели (например, Coca Cola) добиваются узнаваемости бренда с помощью рекламы, мелкие рекламодатели довольны мгновенным доходом в результате того, что пользователь следит за их рекламой и выполняет желаемое действие (например,грамм. совершая покупку). Поэтому мелкие рекламодатели часто рады получить любое рекламное место, связанное с их рекламой, в то время как крупные рекламодатели предпочитают контракты, которые гарантируют, что их объявления будут доставлены достаточному количеству желаемых пользователей. Сначала мы сосредоточимся на двух проблемах, возникающих в контексте мелких рекламодателей. Первая проблема, которую мы рассматриваем, связана с распределением рекламы по местам с учетом того факта, что пользователи вводят поисковые запросы в течение определенного периода времени, и в результате рекламные места становятся доступными постепенно.Мы используем жадный метод распределения и показываем, что проблема размещения онлайн-рекламы с фиксированным распределением запросов во времени может быть смоделирована как максимизация непрерывной неубывающей субмодульной функции последовательности, для которой мы можем гарантировать решение с коэффициентом не менее ( 1-1 / д) оптимального. Вторая проблема, которую мы рассматриваем, — это проблема переписывания запросов в контексте рекламы по ключевым словам. Эту проблему можно представить как семейство графов, покрывающих задачи для максимизации прибыли. Мы получаем алгоритмы аппроксимации с постоянным коэффициентом для этих покрывающих задач при двух наборах ограничений и реалистичном представлении о преимуществах рекламы.Мы проводим эксперименты с реальными данными и показываем, что наши алгоритмы способны превзойти конкурентные базовые алгоритмы с точки зрения выгоды от перезаписи. Далее мы рассмотрим две проблемы, связанные с премиальными клиентами, которым требуется гарантированная доставка большого количества рекламы с целью узнаваемости бренда и которые требуют подписания контракта. В этом контексте мы рассматриваем проблему распределения с целью максимизации дохода или справедливости. Проблемы, рассмотренные в этой диссертации, касаются лишь некоторых из текущих проблем электронной коммерции и интернет-рекламы.В этой области возникает много интересных новых проблем по мере развития технологий и повсеместного распространения интерактивных средств связи и Интернета. Мы полагаем, что это одна из областей, к которой исследователи будут продолжать уделять больше внимания в ближайшем будущем.

Решение комбинаторных задач с помощью методов машинного обучения

Автор

Включено в список:
  • Тианде Го

    (Университет Китайской академии наук)

  • Congying Han

    () (Университет Китайской академии наук)

  • Siqi Tang

    (Университет Китайской академии наук)

  • Ман Дин

    (Университет Китайской академии наук)

Abstract

С развитием машинного обучения в различных областях его можно также применять к задачам комбинаторной оптимизации, автоматически обнаруживая общие и быстрые эвристические алгоритмы на основе данных обучения и требуя меньше теоретических и эмпирических знаний.Сеть указателей улучшает механизм внимания, вместо того, чтобы выделять различное внимание скрытым состояниям кодировщика для генерации векторов контекста, используя внимание в качестве указателя для выбора элемента входной последовательности на каждом этапе декодирования, что решает проблему переменного размера словаря выходная последовательность. Сеть указателей (Ptr-Net), примененная к трем задачам комбинаторной оптимизации, выпуклой оболочке, триангуляции Делоне и задаче коммивояжера (TSP), дает хорошие приближенные решения.Сопоставление точек — это также особый вид задач комбинаторной оптимизации, заключающийся в получении оптимальных соответствующих ссылок, которые можно смоделировать с помощью Ptr-Net. Однако Ptr-Net не может использоваться для решения проблемы сопоставления точек, поскольку он не в полной мере использует соответствие между двумя наборами точек. Мы предлагаем сеть с несколькими указателями, идея которой основана на классификации с несколькими метками, чтобы устранить это ограничение, указав набор входных элементов. Все эти приложения основаны на обучении с учителем для приближения ожидаемых известных решений.Однако высококачественные помеченные данные часто бывают дорогими, ненадежными или просто недоступными и могут быть недопустимыми для новых постановок задач, что делает контролируемое обучение непрактичным. Обучение с подкреплением, как еще одна горячая точка исследований в области машинного обучения, не требует размеченных выборочных данных. Он взаимодействует с окружающей средой с помощью механизма проб и ошибок и больше фокусируется на изучении стратегий решения проблем. Мы представляем структуру для решения задач комбинаторной оптимизации с использованием нейронных сетей и обучения с подкреплением, уделяя особое внимание задаче коммивояжера.Мы также представляем структуру, уникальную комбинацию обучения с подкреплением и сети встраивания графов, для решения задач оптимизации графов, уделяя особое внимание задачам максимального сокращения (MAXCUT) и минимального покрытия вершин (MVC).

Рекомендуемое цитирование

  • Tiande Guo & Congying Han & Siqi Tang & Man Ding, 2019 г. « Решение комбинаторных задач с помощью методов машинного обучения ,» Оптимизация Springer и ее приложения, в: Ding-Zhu Du & Panos M. Pardalos & Zhao Zhang (под ред.), Нелинейная комбинаторная оптимизация, страницы 207-229, Springer.
    • Рукоятка: RePEc: spr: spochp: 978-3-030-16194-1_9
    DOI: 10.1007 / 978-3-030-16194-1_9

    Загрузить полный текст от издателя

    Насколько нам известно, этот элемент недоступен для скачать . Чтобы узнать, доступен ли он, есть три варианты:
    1. Проверьте ниже, доступна ли в Интернете другая версия этого элемента.
    2. Зайдите на страницу провайдера . действительно ли он доступен.
    3. Выполните поиск элемента с таким же названием, который был бы имеется в наличии.

    Исправления

    Все материалы на этом сайте предоставлены соответствующими издателями и авторами. Вы можете помочь исправить ошибки и упущения. При запросе исправления, пожалуйста, укажите идентификатор этого элемента: RePEc: spr: spochp: 978-3-030-16194-1_9 . См. Общую информацию о том, как исправить материал в RePEc.

    По техническим вопросам, касающимся этого элемента, или для исправления его авторов, названия, аннотации, библиографии или информации для загрузки, обращайтесь: (Sonal Shukla) или (Springer Nature Abstracting and Indexing).Общие контактные данные провайдера: http://www.springer.com .

    Если вы создали этот элемент и еще не зарегистрированы в RePEc, мы рекомендуем вам сделать это здесь. Это позволяет связать ваш профиль с этим элементом. Это также позволяет вам принимать потенциальные ссылки на этот элемент, в отношении которых мы не уверены.

    У нас нет ссылок на этот товар. Вы можете помочь добавить их, используя эту форму .

    Если вам известно об отсутствующих элементах, цитирующих этот элемент, вы можете помочь нам создать эти ссылки, добавив соответствующие ссылки таким же образом, как указано выше, для каждого ссылочного элемента.Если вы являетесь зарегистрированным автором этого элемента, вы также можете проверить вкладку «Цитаты» в своем профиле службы авторов RePEc, поскольку там могут быть некоторые цитаты, ожидающие подтверждения.

    Обратите внимание, что исправления могут занять пару недель, чтобы отфильтровать различные сервисы RePEc.

    Что такое комбинаторная оптимизация?

    Что такое комбинаторная оптимизация? Комбинаторная оптимизация — это процесс поиска максимумов (или минимумов) целевой функции F, область определения которой представляет собой дискретную, но большую конфигурацию пространство (в отличие от N-мерного непрерывного пространства).Несколько простых примеров К типичным задачам комбинаторной оптимизации относятся:
    • Задача коммивояжера: учитывая позиции (x, y) числа N разных городов, найдите кратчайший путь, который посещает каждый город ровно один раз.
    • Bin-Packing: дан набор из N объектов, каждый с заданным размером s i , поместите их в как можно меньше ящиков (каждая размером B).
    • Целочисленное линейное программирование: максимизация указанной линейной комбинации набора целых чисел X 1 … X N в комплекте линейных ограничений, каждое из которых имеет вид
        a 1 X 1 + … + a N X N
      • Job-shop Планирование: задан набор заданий, которые должны быть выполняются, а также ограниченный набор инструментов, с помощью которых эти работы могут быть выполненных, найдите график того, какие работы должны быть выполнены, когда и с помощью каких инструментов можно свести к минимуму общее количество времени до все работы выполнены.
      • Логическая удовлетворенность: присвоить значения набор логических переменных для удовлетворения заданного логического выражения.(Подходящей целевой функцией может быть количество удовлетворенных предложений если выражение является формулой CNF.)
      Пространство возможных решений обычно слишком велико для поиска исчерпывающе используя чистую грубую силу. В некоторых случаях проблемы могут быть решены точно с использованием методов Branch и Bound. Однако в других случаях точные алгоритмы невозможны, и Должны использоваться алгоритмы рандомизированного поиска, такие как: Большая часть области исследования операций включает алгоритмы решения задач комбинаторной оптимизации.

      Дополнительная информация

      Вот несколько отличных обзоров методов глобальной оптимизации. доступны в сети; большинство из этих техник полезны для решение задач комбинаторной оптимизации. Вернуться к указателю глоссария

    Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

    Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

    Настройка вашего браузера на прием файлов cookie

    Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

    • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
    • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
    • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
    • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
    • Вы ​​установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

    Почему этому сайту требуются файлы cookie?

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

    Что сохраняется в файле cookie?

    Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

    Как правило, в файлах cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *