Как решать с модулем – Как решать уравнения с модулем

Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).


Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение


Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

 

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

 

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем

|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

 

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом

модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.

yukhym.com

19. Уравнения с модулем | Решение задач по математике и другим предмета

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3.10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способМетод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3.12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной

Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3.14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т. е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Занятие элективного курса «Методы решения уравнений. содержащих модуль»

Цели и задачи:

  • познакомить с методами решения уравнений, содержащих под знаком модуля выражение с переменной;
  • формирование умения решать данные уравнения, научить выбирать наиболее рациональный метод решения уравнений;
  • развитие логического мышления, речи;
  • создание условий, способствующих воспитанию у учащихся внимательности и аккуратности в решении уравнения.

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: самопроверка самостоятельно решенных задач.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, папка с файлами (практикум), презентация урока (слайды).

Ход занятия

Фронтальный опрос.

Сформулируйте определение модуля числа.

Сформулируйте геометрическое истолкование модуля.

Может ли быть отрицательным значение суммы 2+?

Может ли равняться нулю значение разности 2-?

Как сравниваются два отрицательных числа?

Устная работа. Раскрыть модуль:

Проверка домашнего задания (класс разбит на 6 групп, каждая группа готовила презентацию по заранее выбранному методу, которая и будет представлять, и защищать ее).

Изучение нового материала.

1. Метод интервалов

Для того, чтобы решить уравнение, содержащее неизвестную под знаком модуля, необходимо освободиться от знака модуля, используя его определение. Для этого следует:

1) Найти критические точки, т.е. значение неизвестной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль;

2) Разбить область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых, выражения, стоящие под знаком модуля сохраняют знак;

3) На каждом из этих промежутков уравнение записать без знака модуля, а затем решить его.

Объединение решений, найденных на всех промежутках, и составляет решение исходного уравнения.

Пример 1. Решите уравнение: |x+4|=2x -10.

Ответ: 14.

Пример 2. Решите уравнение: х 2-5|x|+6=0

Ответ: 2; 3.

Пример 3. Решите уравнение: |5-2x|+|x+3|=2-3x

5-2x=0 x+3=0

х=2,5 х=-3

  (- ;-3) [-3;+2,5) [-2,5;+ )
5-2х + +
х+3 + +
(- ;-3) [-3;+2,5) [-2,5;+ )
5-2х-х-3-2+3х=0

0х=0

х-любое число

(- ;-3)

5-2x+x+3-2+3x=0

2х=-6

х=-3 [-3;2,5)

2х-5+х+3-2+3х=0

6х=4

x=2/3 [2,5;+ )

(- ;-3) {-3}=(- ;-3]

Ответ: (- ;-3].

2. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Для того, чтобы решить уравнение содержащее модуль, необходимо освободиться от знака модуля. Для этого следует: возвести в квадрат обе части уравнения, решить его. Но не забывать, что при возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию.

Пример 4. Решите уравнение: |x+4|=2x-10.

Возведем в квадрат обе части уравнения

X2 +8x+16=4x2 -40x+100

3x2 -48x+84=0 /3

X2 -16x+28=0

X1=14, X2=2

Найдём ОДЗ:

2x-100;

2×10 ;

x5.

x1=14 [5;+ ), х2=2 [5;+ )

Ответ:14

Пример 5. Решите уравнение: |x+3|=2x-3

Возведем в квадрат обе части уравнения

х2 +6x+9=4x2 -12x+9; 3x2 -18x=0 /:3

х2 -6x=0; x(x-6)=0

x=0, x=6.

Найдём ОДЗ: 2х-30, 2×3, x1,5

x=0 [1,5;+)

x=6 [1,5;+ )

Ответ: 6.

3. Метод введения новой переменной

Иногда уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, можно решить довольно просто, используя метод введения новой переменной.

Продемонстрируем данный метод на конкретных примерах:

Пример 6. Решите уравнение: х2 -5|x|+6=0.

Пусть |x |=t,тогда

|x|2 =x2 =t2 ,тогда уравнение примет вид:

t2 -5t+6=0

t1=2, |x |=2, x1,2= 2,

t2=3, |x |=3, x3,4= 3.

Ответ: 2, 3.

Пример 7. Решите уравнение: (x-2)2 — 8|x-2|+15=0.

Пусть |x-2|=t ,|x-2|2 =(x-2)2 =t2 ,

тогда уравнение примет вид: t2 -8t+15=0, D=16-15=1.

t1=3, t2=5.

t1=3, |x-2|=3, x1=5, x2=-1.

t2=5, |x-2|=5, x3=7, x4=3.

Ответ: -1; 3; 5; 7.

4. Метод замены уравнения совокупностью систем.

Рассмотрим ещё один метод решения подобных уравнений — метод замены уравнения совокупностью систем. Методом замены уравнения совокупностью систем можно решать уравнения вида

(2)

Причём данное уравнение можно заменять совокупностью систем двумя способами.

I способ:

II способ:

Если в уравнении функция имеет более простой вид, нежели функция , то имеет смысл исходное уравнение заменять первой совокупностью систем, а если более простой вид имеет функция , тогда исходное уравнение следует заменять второй совокупностью систем.

В частности, используя определение модуля, уравнение: ,

при С 0 равносильно совокупности уравнений и , т.е.

при С=0

при С0 уравнение решений не имеет.

Воспользуемся данным методом при решении следующих уравнений.

Пример 8. Решите уравнение: 2|х2+2х-5|=х-1.

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

Ответ: .

Пример 9. Решите уравнение: |2|x-1|-3|=5.

Используя определение модуля уравнение <=> совокупности двух уравнений:

Первое уравнение совокупности равносильно совокупности двух уравнений:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, т.к.

Ответ: -3; 5.

5. Графический метод

Существует ещё один метод решения уравнений с модулем. Он основан на геометрической интерпретации понятия абсолютной величины числа, а именно модуль х равен расстоянию от точки с координатой х до точки с координатой 0 на числовой прямой Ох. Используя геометрическую интерпретацию, легко решаются уравнения вида:

(4)

(5)

(6) где а,в,с — числа.

Решить уравнение (4) — это значит найти все точки на числовой оси Ох, которые отстоят от точки с координатой а на расстояние с.

При уравнение решений не имеет;

при уравнение имеет один корень;

при уравнение имеет два корня

Решить уравнение (5) — это значит найти все точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точки с координатами а и в равна с.

Аналогично интерпретируется решение уравнения вида (6).

Пример 12. Решите уравнение: |x-1|-|x-3|=2

Для того, чтобы решить данное уравнение, нужно на числовой оси Ох найти все такие точки, для каждой из которых разность расстояния от нее до точки с координатой 1 и расстояния от неё до точки с координатой 3 равна 2. Так как длина отрезка [1;3] равна 2,то ясно, что любая точка с координатой х3 удовлетворяет данному уравнению, а любая точка с координатой х<3 не удовлетворяет ему. Таким образом, решением исходного уравнения является множество чисел промежутка [3;+ ).

Ответ: [3;+ ).

Рассмотренный метод можно отнести к графическим методам решения уравнения. Все необходимые построения здесь производились на числовой оси. Рассмотрим теперь метод решения уравнения, в котором будем использовать построения на координатной плоскости. Этим методом, теоретически, можно решать уравнения с модулем любого вида, однако практическая реализация метода иногда бывает довольно сложной.

Суть метода состоит в следующем. Решить уравнение f(х)=q(x) это значит найти все значения х, для которых значение функций y=f(x) и y=q(x) равны, т.е. найти абсциссы всех точек пересечения графиков этих функций. Если же графики не имеют общих точек, то уравнение не имеет корней. Следует, однако, иметь в виду, что точное построение графиков функций практически невозможно, поэтому решение, найденное графическим способом требует проверки подстановкой.

Воспользуемся этим методом для решения уравнения вида (3).

Пример 13. Решите уравнение: |- 1| = 3.

Решение. Построим графики двух функций y=|-1| и y=3

Из чертежа видно, что графики имеют 2 общие точки. Координаты одной точки: (8; 3) , другой: (-4; 3).

Следовательно, исходное уравнение имеет два решения: х1=8, x2= -4. Как уже говорилось, при каждом методе значения корней уравнения определяются приблизительно, и только проверка позволит доказать, что найденные значения действительно являются корнями исходного уравнения. При подстановке х1=8, x2= -4 в уравнение получаем, соответственно два верных числовых равенства: |-3|=3 и |3|=3.

Ответ: -4; 8.

Так как при графическом методе решения зачастую не удается найти точное значение корня, но применение данного метода бывает обосновано, если требуется найти не сами корни, а всего лишь определить их количество.

6. Решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля.

При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, можно сначала освобождаться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрывать оставшиеся модули.

Пример 10. Решите уравнение: |x-|4-х||- 2x = 4

Уравнение |x-|4-х||-2x=4 совокупности двух систем:

urok.1sept.ru

Методическое пособие по теме «Уравнения с модулем» (10 класс)

Комсомольская ОШ №5 І – ІІІ ступеней

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

2017 год

АННОТАЦИЯ

Решение уравнений с модулем вызывает у учащихся затруднения.

Анализируя задания вступительных экзаменов, необходимо отметить, что очень часто предлагаются задания с модулями. Чтобы помочь учащимся научиться решать уравнения с модулями предлагается данный материал.

Уравнения с модулем разделены на группы по способу их решения. К каждой группе дается теоретический материал, необходимый для решения уравнений данной группы.

Даны решения уравнений каждой группы, а к отдельным уравнениям алгоритм их решения, что позволяет учащимся самообучаться.

Этот материал можно применять на уроках при работе по группам и индивидуально как в классе, так и для домашней работы.

Предназначается учащимся стерших классов.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Определение модуля

hello_html_m3d08880e.gif

  1. Простейшими уравнениями с модулем являются уравнения вида hello_html_2e4d779f.gif, (1)

где hello_html_m49353353.gif и hello_html_m3f9d458b.gif — некоторые функции.

Для того чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения hello_html_m49353353.gif=hello_html_m3f9d458b.gif, принадлежащие множеству hello_html_m58b57e25.gif, затем решить уравнение hello_html_m49353353.gif=hello_html_m3f9d458b.gif на множестве hello_html_m1df70c52.gif; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем

hello_html_3ad372e9.gifили hello_html_m1736d398.gif

Пример 1.

Решите уравнение hello_html_4065597c.gif.

Решение.

Исходное уравнение равносильно совокупности систем:

hello_html_7a021e3b.gifили hello_html_e1d7ef5.gif

hello_html_m7d874fe6.gifили hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m63ac1c1b.gif

Ответ: hello_html_m53d4ecad.gif— 3; — 2; 2; 3.

  1. Уравнение вида hello_html_m4e9496e3.gif равносильно совокупности систем (можно решить двумя способами)

hello_html_1b3da8d3.gifили hello_html_m750d679c.gif

Пример 2.

Решите уравнение hello_html_6529acd9.gif

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

1) hello_html_m2194ba67.gifhello_html_2d31a29a.gifhello_html_m26771f6.gif

hello_html_m73ae6f0d.gifне удовлетворяет условию hello_html_bddea43.gif, следовательно, система имеет решение hello_html_3d0660db.gif.

2)

hello_html_m28318515.gifhello_html_m3862659b.gifhello_html_480ac696.gif

hello_html_2ce24084.gifне удовлетворяет условию hello_html_bddea43.gif, следовательно, вторая система имеет решение hello_html_30a0cf80.gif.

Ответ: hello_html_409d611a.gif hello_html_m79a1a7d.gif.

  1. Уравнение вида hello_html_m42a4ed50.gif, где hello_html_m1443623f.gif — некоторые функции, равносильно совокупности систем

hello_html_5e6c6cc8.gif

Пример 3.

Решите уравнение hello_html_m2eea4eb.gif

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) hello_html_m3ef40c83.gifhello_html_m3d4f6b32.gif , система не имеет решений.

2) hello_html_243a50ec.gifhello_html_m67b9470d.gif, hello_html_m191a29e7.gif .

Ответ: hello_html_m4c8b6202.gif

  1. При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 4.

Решите уравнение hello_html_m77c76a4d.gif.

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем

hello_html_m5c07135.gifили hello_html_71ec574f.gif

то есть совокупности систем

hello_html_f436ec6.gifили hello_html_m635467aa.gif

Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна двум следующим системам:

hello_html_7715d87c.gifили hello_html_2e9ee06d.gif

hello_html_16b2ef5c.gifили hello_html_4d895c79.gifhello_html_m7d1ea80a.gif

Ответ: 0.

5.Метод разбиения на промежутки. Уравнение вида hello_html_1f4009c6.gif (2)

Решается методом интервалов (или методом разбиения на промежутки). Для этого находят сначала все точки, в которых

hello_html_4fc7331a.gif

Эти точки делят область допустимых значений уравнения (2) на промежутки, на каждом из которых все функции hello_html_m16ac0c6e.gif сохраняют знак (считаем знак каждого модуля на указанном промежутке). Затем переходят от уравнения (2) и совокупности систем, не содержащих знаков модуля.

Пример 5.

Решите уравнение hello_html_m3a15904a.gif.

Решение.

hello_html_m15d34894.gifhello_html_m7e67de8f.gif

hello_html_14680d88.gifhello_html_m285babd2.gif

hello_html_m31c5c922.gifhello_html_m141bc570.gif

1) hello_html_m5ebe5154.gifhello_html_m6bc336d0.gifhello_html_76e0f487.gif

2) hello_html_273ba636.gifhello_html_6836f31f.gifhello_html_628b45cd.gif

3) hello_html_mb182643.gifhello_html_234319f2.gif

Ответ: hello_html_625d6407.gif

Пример 6.

Решите уравнение hello_html_977d946.gif.

Решение.

hello_html_m3eea9159.gifhello_html_4497030f.gifhello_html_m486888d7.gif

hello_html_663b67f8.gif

0 2 7

1) hello_html_m1229fa4e.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_m48306e3f.gif нет решений.

2) hello_html_3c3b61d0.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_35de8ab4.gif нет решений.

3) hello_html_m7760441b.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_m5d2e25e5.gif нет решений.

4) hello_html_m5da2822b.gifhello_html_m739d14ab.gifhello_html_m5e6669a2.gif нет решений.

Ответ: корней нет.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ hello_html_m4e9496e3.gif

І способ

Раскрыть модуль по определению

hello_html_144a6869.gif

hello_html_3176ef5c.gif

ІІ способ

Возведение обеих частей в квадрат

hello_html_56280ebc.gif

ІІІ способ

Метод разбиения на промежутки

ПРИМЕРЫ

Пример №1

hello_html_d665cf5.gif

Решение

І способ (по определению)

hello_html_52d096c4.gifhello_html_m87391a9.gif

Ответ: -1; 7.

ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)

hello_html_750d218e.gif

Ответ: -1; 7.

Пример №2

hello_html_18ac1c74.gif

Решение

І способ (по определению)

hello_html_36dc519d.gifhello_html_6bc2f211.gifhello_html_m361aaac1.gifhello_html_7cde3a89.gif

Ответ: нет решения

ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)

Так как правая часть функция, то

hello_html_3c73c435.gifhello_html_4fb21ad1.gif

hello_html_392c05c.gif

hello_html_e16a00a.gifОтвет: нет решения.

Пример №3

hello_html_m3e7d3cc2.gif

Решение

Воспользуемся методом возведения в квадрат обеих частей.


hello_html_4411f849.gif

hello_html_761f6160.gif

Ответ: hello_html_61bbfc01.gif

Пример №4

hello_html_m525fa99.gif

Решение

Используем метод разбиения на промежутки.

hello_html_66892754.gifhello_html_c578317.gif

hello_html_m4ceae934.gifhello_html_m285babd2.gifhello_html_m285babd2.gif

-2 -1

hello_html_5507f1b2.gifhello_html_fdaa115.gif

hello_html_21943f23.gifhello_html_1f74b5c3.gifhello_html_59f8c6b3.gif

Ответ: -2,5; -0,5.

Пример №5

hello_html_m37adda1e.gif

Решение.

Разложим hello_html_12ca310c.gif на линейные множители.

hello_html_3b29cdeb.gif

По теореме Виета hello_html_55c0046f.gif

hello_html_m66bbc8f6.gif

Получили hello_html_m78d23c00.gif

Решим методом разбиения на интервалы

hello_html_m4ceae934.gifhello_html_m285babd2.gifhello_html_1ce71337.gifhello_html_m285babd2.gif

0 1 2

Если hello_html_m3a2966e3.gif, тогда

hello_html_2dab6271.gif

hello_html_4bcba2c2.gif

Так как hello_html_1b85d440.gif, то на данном промежутке решением является hello_html_22feea00.gif.

Если hello_html_m7fe08f11.gif, тогда

hello_html_1497b844.gif

hello_html_1b270779.gif

Так как hello_html_m7fe08f11.gif, то на данном промежутке нет решения.

Если hello_html_m2d33516b.gif, тогда

hello_html_m58f045e3.gif

hello_html_m6862fc08.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3ee33186.gif

Так как hello_html_m2d33516b.gif, то на данном промежутке нет решения.

Если hello_html_m4b06fd1f.gif, тогда

hello_html_m5650d9a5.gif

hello_html_m6ce4665b.gif

Так как hello_html_m4b06fd1f.gif, то на данном промежутке решением является hello_html_46d2521a.gif.

Ответ: hello_html_22feea00.gif; hello_html_46d2521a.gif.

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1. hello_html_m5865b51b.gif

2. hello_html_2858d038.gif

3. hello_html_mb763b42.gif

4. hello_html_m656b83e3.gif

5. hello_html_f52b6c7.gif

6. hello_html_4a0896f2.gif

7. hello_html_380890e9.gif

8. hello_html_2da2608c.gif

9. hello_html_m3436ecf.gif

10. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_b644e61.gif

11. hello_html_m46bf3431.gif

12. hello_html_m7ce1f385.gif

13. hello_html_46bc8466.gif

14. hello_html_m724bba1d.gif

15. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_53607d01.gif

16. hello_html_m20a8caec.gif

17. Найдите наименьшее целое значение hello_html_16776160.gif, удовлетворяющее уравнению hello_html_m7be5dd03.gif.

18. Найдите все корни уравнения hello_html_76fa697b.gif, удовлетворяющие неравенству hello_html_m470fd5fc.gif.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

1. hello_html_704752ca.gif

2. Воспользуйтесь методом разбиения на промежутки.

16. hello_html_704752ca.gif. 17. hello_html_1dd873fd.gif. 18. hello_html_m4f20eea3.gif

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

С МОДУЛЕМ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР.

1. Для каждого значения параметра hello_html_m1e1f273e.gif найдите число корней уравнения hello_html_m214b5fc0.gif.

Решение. Запишем уравнение в виде hello_html_m1caf5764.gif, так как hello_html_m7d1ea80a.gifне является корнем уравнения. Количество корней данного уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графика функции hello_html_4cd35106.gif с прямой hello_html_5bd2ae00.gif. Построим график функции hello_html_4cd35106.gif, который состоит из двух частей:

при hello_html_bddea43.gifhello_html_663dc3c8.gif;

при hello_html_2fdef357.gifhello_html_m1196910b.gif.

hello_html_m53eefab2.png

Из рисун

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск