Задачи по стереометрии как решать – Примеры решения задач по стереометрии

Posted on by alexxlab

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Задание 14 Профильного ЕГЭ (Стереометрия) многие старшеклассники считают самой сложной задачей в варианте. И напрасно! Ничего особенного в ней нет. Просто начинать надо вовремя, лучше всего в десятом классе. И конечно, не с самых сложных задач. Действуем по порядку!

1. Подготовительный этап — решение задач по стереометрии из первой части ЕГЭ. Повторите формулы объемов и площадей поверхности многогранников и тел вращения. Посмотрите, как решаются типовые задачи.

2. Повторите необходимую теорию. Вот краткая Программа по стереометрии. Проверьте себя. Все ли вы знаете? В освоении стереометрии вам поможет наш ЕГЭ-Справочник.

3. Посмотрите, как правильно строить чертежи.

4. Выучили теорию? Применяем на практике — строим сечения.

5. Решаем простые задачи по стереометрии. И после этого — переходим к реальным задачам ЕГЭ.

6. Задачи 14 по стереометрии из Профильного ЕГЭ по математике обычно относятся к одному из типов. Смотрите нашу Классификацию задач по стереометрии и методы их решения.

Вот примеры простых подготовительных задач по стереометрии:

1. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов. Найдите расстояние от вершины основания до плоскости противолежащей ей боковой грани.

Посмотреть решение

2. В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра Найдите угол между прямой АG и плоскостью

Посмотреть решение

3. В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости

Посмотреть решение

4. В основании прямой призмы лежит ромб. Найти угол между прямыми и

Посмотреть решение

5. Точка E — середина ребра куба Найдите угол между прямыми и

Посмотреть решение

6. В правильной треугольной призме , все рёбра которой равны , найдите расстояние между прямыми и

Посмотреть решение

7. Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Посмотреть решение

А теперь — реальные задачи по стереометрии, встретившиеся на Профильном ЕГЭ по математике в 2017-2019 годах.

8. Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

Посмотреть решение

9. ЕГЭ-2018 В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка , причём — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что

а) Докажите, что угол между прямыми и равен

б)Найдите объём цилиндра.

Посмотреть решение

10. В основании призмы лежит правильный треугольник, вершина проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны,

б) Найдите угол между прямой и плоскостью если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Посмотреть решение

11. (ЕГЭ-2017)

Сечением прямоугольного параллелепипеда плоскостью , содержащей прямую и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями и , если

Посмотреть решение

12. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

Посмотреть решение

7 лайфхаков для решения задач по стереометрии:

1. Задача по стереометрии не решается без хорошего чертежа! Чертеж строим по линейке, черной ручкой, на клетчатой бумаге, по правилам построения чертежей. На ЕГЭ можно и нужно пользоваться линейкой! А бланк будет в клеточку.

2. Все, что нужно, на чертеже должно быть хорошо видно! Если вам не понравился чертеж — не сидите над ним, бросьте и нарисуйте другой. Одного объемного чертежа будет недостаточно — понадобится один или несколько плоских.

3. Учимся записывать решение кратко. Вспомним основные обозначения

— точка M принадлежит плоскости АВС

— прямые а и b пересекаются в точке О

— прямые а и b параллельны

— прямые а и b перпендикулярны

4. Почти в каждой задаче по стереометрии встречаются «особенные треугольники».

Давайте вспомним:

— В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза в раз больше катета

— В треугольнике с углами 30, 60 и 90 градусов гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а больший катет в раз больше меньшего.

5. Формула для площади прямоугольной проекции фигуры \sqrt{3} помогает найти угол между плоскостями. Здесь — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

6. Метод объемов помогает найти расстояние от точки до плоскости. Надо выбрать треугольную пирамиду, записать ее объем двумя способами и найти из полученного уравнения нужное расстояние.

7. Сначала изучаем «классику». После этого, если время есть, можно браться и за координатный метод

Почему именно в таком порядке?

Конечно, координатный метод удобен. Однако большинство задач по стереометрии из вариантов ЕГЭ «заточены» под классику.

И если в решении задачи координатным методом вы сделаете арифметическую ошибку — можете потерять все баллы. Эксперт не будет разбираться, правильно ли вы посчитали определитель или смешанное произведение векторов. Потому что эти темы не входят в школьную программу, и составители «конструировали» задачи по стереометрии так, чтобы они решались обычными, «классическими» способами.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Метод объемов в задачах по стереометрии

 

Метод объемов применяется, когда мы хотим найти расстояние от точки до плоскости.

Или расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Или расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Метод объемов состоит в том, чтобы, записав двумя разными способами объем какой-либо треугольной пирамиды и приравняв эти выражения, найти нужную нам величину.

Вот как он применяется в задачах ЕГЭ:

9. В правильной треугольной призме сторона AB основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах и AB отмечены точки P и Q соответственно, причём , а AQ=4. Плоскость пересекает ребро BC в точке M.

а) Докажите, что точка M является серединой ребра BC.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости

Построим сечение призмы плоскостью

Проведём в плоскости ABC, точка M лежит на ребре BC.

Мы пользуемся здесь тем, что линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Трапеция — искомое сечение.

QMPA_{1}

а) Покажем, что M — середина BC.

Пусть — проекция точки P на плоскость ABC,Тогда

AP_1 \parallel A_1P

Пусть (по двум углам)

Отсюда x = 6 и M — середина BC.

б) Найдем расстояние от точки B до плоскости пользуясь методом объемов.

Выразим двумя способами объем треугольной пирамиды где — расстояние от точки до плоскости QMB, то есть до плоскости основания призмы.

Оно равно высоте призмы, то есть

— искомое расстояние от точки B до плоскости

Из по теореме косинусов:

Из

Точка M — середина BC,

Из прямоугольного треугольника найдем

Рассмотрим треугольник , в котором мы знаем все стороны.

A_1QM

По теореме косинусов:

Тогда

Объем пирамиды

Отсюда

 

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Стереометрия. Решение задачи 14.

 

В статье представлены задачи, решенные “классическим” способом: поэтапно-расчетным. Многие задачи таким способом решаются проще, чем если бы мы захотели вводить систему координат. Каждый раз нужно выбирать, что применить проще и выгоднее по времени.

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L – середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2\sqrt{\frac{2}{5}}

.

а) Пусть O – центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Задача 14 профиль

Дано

Решение.

а) Прямая LO принадлежит плоскости ASC, перпендикулярной плоскости основания. Проекцией прямой LO на плоскость основания является прямая AC. Так как пирамида правильная и в основании ее лежит квадрат, то его диагонали перпендикулярны, и таким образом проекция LO перпендикулярна BO. По теореме о трех перпендикулярах прямая перпендикулярна прямой плоскости, если ее проекция перпендикулярна прямой плоскости. То есть LO \perp BO

, ч.т.д.

 

Задача 14_ профиль

Пункт а) задачи

 

 

Задача 14 профиль

Треугольник BLO, вид сбоку

б) Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания. Второе найти совсем легко: площадь квадрата равна S_{osn}=a^2=8^2=64, а вот чтобы найти площадь боковой поверхности, понадобится знать апофему пирамиды. Что можно «выловить» из знания тангенса угла между прямыми BL и SA? И кстати, пока мы вообще этот угол не видим, попробуем его визуализировать. Так как точка L – середина SC, а точка O – середина AC, то LO – средняя линия треугольника SCA, и параллельна SA, поэтому угол между BL и SA – это угол между BL и LO, а это уже видимый угол, угол в треугольнике BLO, который, кстати, является прямоугольным (по пункту а). Тогда имеем в этом треугольнике отношение катетов:

    \[\frac{BO}{LO}=\tg \alpha=2\sqrt{\frac{2}{5}}\]

BO – половина диагонали квадрата, диагональ равна \sqrt{2a^2}=8\sqrt{2}, BO=4\sqrt{2}.

Тогда длина LO

    \[LO=\frac{BO}{2\sqrt{\frac{2}{5}}}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{\frac{2}{5}}}=2\sqrt{5}\]

 

Задача 14 профиль

LK – перпендикуляр к основанию

Задача 14 профиль

LK – средняя линия треугольника SCO.

Из точки L проведем перпендикуляр к плоскости основания пирамиды.

Так как LK – средняя линия треугольника SCO, то точка K – середина OC.

Тогда

    \[OK=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}OB=2\sqrt{2}\]

По теореме Пифагора для треугольника OLK

    \[KL=\sqrt{OL^2-OK^2}=\sqrt{20-8}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\]

Но, так как KL – средняя линия треугольника SCO и равна половине основания, а основание SO – ни что иное, как высота пирамиды, то SO=4\sqrt{3}.

Теперь, сделав дополнительные построения – а именно, нам понадобится точка на середине стороны основания P – мы сможем найти апофему пирамиды.

 

Задача 14 профиль

Дополнительные построения и апофема пирамиды

В прямоугольном треугольнике SOP нам известны катеты. Апофема пирамиды – его гипотенуза. Она равна:

    \[SP=\sqrt{OP^2+SO^2}=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{64}=8\]

Боковая поверхность пирамиды равна:

    \[S_{bok}=4S_{DSC}=4\cdot \frac{1}{2} \cdot DC\cdot SP=2\cdot8\cdot8=128\]

Добавим к боковой поверхности площадь основания:

    \[S_{poln}= S_{bok}+ S_{osn}=128+64=192\]

Ответ: 192

 

Задача 2. Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=10, AC=16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P – середина ребра BB_1.

а) Найдите тангенс угла между плоскостями A_1B_1C_1 и ACP.

б) Найдите расстояние от точки B до плоскости PAC.

Задача 14 профиль

Дано

а) Тангенс угла между плоскостями A_1B_1C_1 и ACP будет равен тангенсу угла между плоскостями ABC и ACP, так как плоскости оснований призмы параллельны. Второй найти проще, так и сделаем. Искомый тангенс будет равен (см.рисунок)

Задача 14 профиль

Плоскости и угол между ними

    \[\tg{\alpha}=\frac{PB}{BT}\]

Где T – середина ребра AC. BP=\fracz{1}{2}BB_1=12. Определим BT. Из треугольника TBC

    \[BT=\sqrt{BC^2-TC^2}=\sqrt{ BC^2-\left(\frac{AC}{2}\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6\]

    \[\tg{\alpha}=\frac{PB}{BT}=\frac{12}{6}=2\]

Задача 14 профиль

Искомое расстояние – высота треугольника PBT

б) Расстояние от точки B до плоскости PAC(h) – это длина перпендикуляра, то есть высоты в треугольнике PBT, проведенной к его гипотенузе PT.

Зная катеты этого треугольника, очень легко определить длину гипотенузы. Кроме того, мы можем записать его площадь через произведение катетов, а также и через произведение гипотенузы на высоту к ней – отсюда и найдем высоту треугольника PBT – то есть искомое расстояние  от точки до плоскости.

    \[S_{PBT}=\frac{1}{2}PB\cdotBT=\frac{1}{2}PT\cdot h\]

    \[PB\cdotBT=PT\cdot h\]

    \[h=\frac{PB\cdotBT}{PT}\]

    \[h=\frac{PB\cdotBT}{\sqrt{PB^2+BT^2}}=\frac{12\cdot6}{\sqrt{12^2+6^2}}=\frac{72}{\sqrt{180}}\]

    \[h=\frac{72}{6\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}\]

Ответ: h=\frac{12}{\sqrt{5}}

 

Задача 3. Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1.

а) Докажите, что прямая B_1D перпендикулярна плоскости A_1BC_1.

б) Найдите угол между плоскостями AB_1C_1 и A_1B_1C.

Задача 14 профиль

Дано

а) Проекция прямой BD_1 на плоскость верхнего основания куба – прямая BD – перпендикулярна прямой AC, принадлежащей плоскости A_1BC_1 (так как диагонали квадрата, коим является основание, перпендикулярны). Следовательно, прямая BD_1 перпендикулярна прямой AC. Проекция прямой BD_1 на плоскость BAA_1 – прямая BA_1 – перпендикулярна прямой B_1A, принадлежащей плоскости A_1BC_1 (так как передняя грань – также квадрат). Следовательно, прямая BD_1 перпендикулярна прямой B_1A.Таким образом, прямая BD_1 перпендикулярна двум прямым плоскости A_1BC_1, а следовательно, перпендикулярна и самой плоскости A_1BC_1.

Задача 14 профиль

Пункт а) задачи

б) Угол между плоскостями –  это всегда острый угол. В данном случае, как видно из рисунка, найти его будет очень трудно, поэтому найдем тупой угол между плоскостями AB_1C_1 и A_1B_1C -а потом найдем и смежный с ним острый.

Задача 14 профиль

Вид снизу: пересекающиеся плоскости и треугольник ACZ

Найти угол AZC можно по теореме косинусов.

Определим для этого длины сторон треугольника AZC – это несложно, так как это равнобедренный треугольник, основание которого – диагональ грани куба, а значит, равно a\sqrt{2}, а боковые стороны – это высоты, проведенные к гипотенузе BD_1 в прямоугольных треугольниках ABD_1 и BCD_1. Найти последнюю несложно. Площадь треугольника ABD_1 равна

    \[\frac{1}{2}AB\cdot AD_1=\frac{1}{2}BD_1\cdotAZ\]

    \[AB\cdot AD_1=BD_1\cdotAZ\]

    \[AZ=\frac{ AB\cdot AD_1}{ BD_1}\]

Здесь AB=a – ребро куба, AD_1= a\sqrt{2} – диагональ грани, BD_1=a\sqrt{3} – это диагональ куба.

    \[AZ=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Тогда можем определить косинус угла AZC из теоремы косинусов для этого треугольника:

    \[AC^2=AZ^2+ZC^2-2\cdot AZ \cdotZC\cos{\angle AZC}\]

    \[\cos{\angle AZC}= -\frac{AC^2-AZ^2-ZC^2}{2\cdot AZ \cdotZC }\]

Подставим числа:

    \[\cos{\angle AZC}= -\frac{2a^2-\frac{2}{3}a^2-\frac{2}{3}a^2}{2a^2\frac{2}{3}}\]

    \[\cos{\angle AZC}= -\frac{\frac{2}{3}a^2}{2a^2\frac{2}{3}}=-\frac{1}{2}\]

У тупого угла косинус и должен быть отрицательным. У смежного с ним, острого, искомого, угла косинус положителен и равен \frac{1}{2} – следовательно, угол равен 60^{\circ}. Данная задача решена также координатно-векторным способом и вы можете сравнить, какое из решений проще.

Ответ: 60^{\circ}.

 

Задача 4. В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины ребер AA_1=15, AB=12, AD=8. Точка К – середина ребра C_1D_1, а точка L делит ребро BB_1  в отношении 4:1, считая от вершины B_1.

а) Найдите отношение, в котором плоскость LKA_1 делит ребро CC_1, считая от вершины C_1.

б) Найдите косинус угла между плоскостями LKA_1 и A_1B_1C_1.

Задача 14 профиль

Начинаем строить секущую плоскость

Задача 14 профиль

Построение сечения

а) Построим сначала секущую плоскость. Для этого лучше всего начать построение с точек, лежащих в одной плоскости: их мы можем соединять. Например, точки A_1 и K обе принадлежат сечению, и, кроме того, лежат в плоскости нижнего основания. Проведем через них прямую. Эта прямая  A_1K принадлежит нижнему основанию и обязательно пересечется с другими прямыми, лежащими в нижнем основании призмы, если они ей не параллельны. Такой прямой является, например, прямая B_1C_1. Для чего нам может понадобиться точка пересечения этих прямых T? Очень просто: эта точка принадлежит сечению, но также она принадлежит и плоскости задней грани. А в этой грани у нас имеется точка L, которая также принадлежит сечению! Теперь у нас снова есть две точки в одной плоскости – плоскости задней грани, и мы их соединяем.

Прямая LT пересечет ребро призмы CC_1 в точке Z. Точку Z можно соединить отрезком с точкой K, так как обе они принадлежат одной плоскости – плоскости правой боковой грани. Точку L, принадлежащую левой боковой грани, можем соединять с точкой A_1, которая также ей принадлежит. И готово наше сечение – это трапеция, поскольку боковые грани параллельны, то плоскость сечет их по параллельным прямым: A_1L \parallel AZ.

Задача 14 профиль

Готовое сечение

Теперь можно попробовать ответить на первый вопрос задачи, так как теперь у нас есть точка Z. Для этого найдем отрезки BL и LB_1. Отношение их длин 4:1, то есть можно записать: BL=x, LB_1=4x. Их сумма – длина ребра BB_1: BB_1= BL + LB_1

    \[BB_1= BL + LB_1=x+4x=15\]

    \[5x=15\]

    \[x=3\]

Задача 14 профиль

Подобные треугольники в противоположных гранях

Тогда определяем: BL=3, LB_1=12. Но ребро A_1B_1 тоже равно 12, следовательно, треугольник A_1LB_1 – прямоугольный и равнобедренный. Треугольник C_1ZK подобен треугольнику A_1LB_1 с коэффициентом подобия \frac{1}{2} – так как A_1L \parallel AZ и точка K по условию – середина C_1D_1. Тогда он тоже равнобедренный и ZC_1=C_1K=6. Если ZC_1=6, то ZC=15-6=9 и \frac{C_1Z}{ZC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.

Задача 14 профиль

Поиск косинуса угла между плоскостями

б) Чтобы найти косинус угла между плоскостями, нужно в обеих плоскостях провести перпендикуляры к линии пересечения плоскостей: B_1M \perp A_1K по построению, LM \perp A_1K по теореме о трех перпендикулярах.

Нам необходимо найти косинус угла LMB_1,

    \[\cos (LMB_1)=\frac{MB_1}{LM}\]

Найдем B_1M – это можно сделать из подобия треугольников B_1MT и KC_1T, а можно через площадь треугольника A_1B_1T, так и сделаем. Тогда

    \[A_1B_1\cdotB_1T=MB_1\cdotA_1T\]

    \[MB_1=\frac{ A_1B_1\cdotB_1T}{A_1T}\]

    \[A_1B_1=12\]

    \[B_1T=16\]

Последнее следует из подобия треугольников B_1MT и KC_1T:

    \[\frac{A_1B_1}{KC_1}=\frac{B_1T}{B_1C_1}=2\]

A_1T найдем по теореме Пифагора:

    \[A_1T=\sqrt{A_1B_1^2+B_1T^2}\]

    \[A_1T=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{400}=20\]

Тогда определяем:

    \[MB_1=\frac{ A_1B_1\cdotB_1T}{A_1T}=\frac{ 12\cdot16}{20}=\frac{48}{5}\]

В треугольнике LMB_1 можем теперь определить LM:

    \[LM=\sqrt{LB_1^2+MB_1^2}=\sqrt{12^2+\left(\frac{48}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{144\cdot25+48^2}{25}}\]

    \[LM=\sqrt{\frac{5904}{25}}=\frac{\sqrt{5904}}{5}=\frac{12\sqrt{41}}{5}\]

Наконец, искомый косинус:

    \[\cos (LMB_1)=\frac{MB_1}{LM}=\frac{\frac{48}{5}}{\frac{12\sqrt{41}}{5}}=\frac{48\cdot5}{5\cdot 12\sqrt{41}}=\frac{4}{\sqrt{41}}\]

Ответ: \cos (LMB_1)=\frac{4}{\sqrt{41}}

easy-physic.ru

Стереометрия. Материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

На этой странице – все необходимое для освоения стереометрии и решения задач ЕГЭ.

Для того чтобы справиться с задачей 8 из первой части Профильного ЕГЭ, вам нужно знать формулы объемов и площадей поверхности. Объем конуса, площадь боковой поверхности призмы, длина диагонали куба – все это вы найдете здесь:

Многогранники: формулы объема и площади поверхности

Тела вращения: формулы объема и площади поверхности

Не ждите, когда конус или сферу будут «проходить» в школе. Начинайте решать задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ. Это задание №8 

Вам помогут наши методические материалы:

Задачи по стереометрии часть 1: Просто применяем формулы

Стереометрия на ЕГЭ.  Приемы и секреты

Для решения задачи №14 из второй части Профильного ЕГЭ по математике надо повторить весь курс стереометрии. Нет, не обязательно перечитывать весь учебник. Полный курс стереометрии – здесь:

Задача 14 (часть 2 ЕГЭ по математике). Программа по стереометрии 

Плоскость в пространстве. Взаимное расположение плоскостей

Прямые в пространстве. Пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся прямые

Параллельность прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью. Перпендикулярность прямой и плоскости

Параллельность плоскостей

Угол между плоскостями. Перпендикулярность плоскостей

Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. Расстояние от точки до плоскости   –

Метод объемов

Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о прямой и параллельной ей плоскости

Параллельное проецирование

Как строить чертежи в задачах по стереометрии

Построение сечений в задачах по стереометрии

Можно ли, посмотрев на задачу, сразу понять, что с ней делать и каким методом решать? Да, можно! Для вас — наш новый уникальный материал:

Стереометрия, задача 14 Профильного ЕГЭ по математике. Классификация задач и методы их решения

Обратите внимание на координатный метод. Если вы в 10-м классе – у вас есть время освоить оба способа решения задач по стереометрии, классический и векторно-координатный.

Векторы и метод координат. Задача 14,  часть 2 на ЕГЭ по математике

Для старшеклассников и учителей – дополнительные материалы, автор В.М. Мамаева.

 «Перпендикулярность. Книга для учащихся»

 «Перпендикулярность. Книга для учителя»

 «Тела вращения. Книга для учащихся»

 «Тела вращения. Книга для учителя»

Несколько полезных советов тем, кто решает задачи по стереометрии

1. Учитесь строить чертежи. Изучите правила построения чертежей. Хороший чертеж – это половина решения. И если чертеж вам не нравится, бросайте его и рисуйте другой.

2. Выучите теорему о прямой и параллельной ей плоскости. Ее очень трудно найти в учебнике. Однако множество задач решаются с помощью этой теоремы.

3. Запомните формулу для площади прямоугольной проекции фигуры. И посмотрите, как решаются с ее помощью задачи на нахождение угла между плоскостями.

4. Учитесь правильно оформлять решения. Часто старшеклассники говорят: «Сделаем параллельный перенос и перенесем прямую АВ так, чтобы она проходила через точку М». Однако, если вы решили ввести параллельный перенос, вам надо его описать. В каком направлении, на какое расстояние. И зачем вам лишние сложности? Намного проще сказать: «Проведем через точку М прямую, параллельную АВ.

 

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Задачи по стереометрии №16 базовый уровень ЕГЭ

ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ №16

  1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Пояснение.

Пусть ребро куба равно hello_html_m9ca0d5f.png, тогда площадь поверхности куба hello_html_m3b749d40.png, а диагональ куба hello_html_m611d130f.png. Тогда

 

hello_html_31fade0c.png.Ответ: 3.

  1. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Пояснение.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро hello_html_m9ca0d5f.pngкак hello_html_m3b749d40.png, поэтому при увеличении длины ребра на hello_html_m1c03b0da.pngплощадь увеличится на

 

hello_html_429bc9a6.png

Отсюда находим, что ребро куба равно

hello_html_m78b695d0.png.Ответ: 4.

  1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Пояснение.

Обозначим известные ребра за hello_html_m55e286f8.pngи hello_html_5cf604fe.png, а неизвестное за hello_html_1c247010.png. Площадь поверхности параллелепипеда выражается как hello_html_7bbda2db.png. Выразим hello_html_1c247010.png: hello_html_49751e5b.png, откуда неизвестное ребро

 

hello_html_2385fa86.png.Ответ: 5.

  1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Пояснение.

Пусть длина третьего ребра, исходящего из той же вершины, равна hello_html_m2e1cf45c.png, тогда площадь поверхности параллелепипеда даётся формулой hello_html_4554b3ff.png. По условию площадь поверхности равна 16, тогда hello_html_m662540c3.pngоткуда hello_html_m201c6d89.png

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна квадратному корню из суммы квадратов его измерений, поэтому hello_html_328fbde.png. Ответ: 3.

  1. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

hello_html_16b0c26b.png

Пояснение.

Высота и сторона такого параллелепипеда равны диаметру сферы, то есть это куб со стороной 2. Площадь поверхности куба со стороной hello_html_m17e2d42c.png:

 

hello_html_m56698e13.pngОтвет: 24.

  1. Найдите угол hello_html_26a7f3f1.pngпрямоугольного параллелепипеда, для которого hello_html_1daa89a0.png, hello_html_m9e37f1.png, hello_html_1d99fc74.png. Дайте ответ в градусах.

hello_html_m6f69349.png

Пояснение.

В прямоугольнике hello_html_m768dd7f0.pngотрезок hello_html_m70db7aac.pngявляется диагональю, hello_html_7d20bb90.pngПо теореме Пифагора

 

hello_html_53777f1a.png

Прямоугольный треугольник hello_html_m4b7a5ffa.pngравнобедренный: hello_html_m6971dcde.png, значит, его острые углы равны hello_html_6bcb6c59.png

Ответ: 45.

  1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 8 и 5, а объём параллелепипеда равен 280. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Пояснение.

Найдем третье ребро прямоугольного параллелепипеда: hello_html_594c2c33.png. Найдем площадь поверхности параллелепипеда: hello_html_m571ea2dd.png

Ответ: 262

  1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна hello_html_36e1d0dc.pngНайдите объём призмы, если её высота равна 3.

hello_html_m70f2a219.png

Пояснение.

Пусть второй катет — b с помощью теоремы Пифагора найдём его:

 

hello_html_1234d394.png 

Найдём площадь основания:

hello_html_5d1908a1.png 

Найдём объём призмы:

hello_html_m1c44bd0a.pngОтвет: 21.

  1. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,4 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

hello_html_m42bd46bc.png

Пояснение.

Найдем объём воды в баке после погружения детали (уровень воды прямопропорционален объему): hello_html_1a605ecc.pngл. Таким образом, при погружении детали в бак объём воды увеличился на hello_html_m2ff4bda4.pngл, что и является объёмом детали. В кубических сантиметрах — hello_html_aabf3fa.pnghello_html_m482f3cf0.png Ответ: 2000.

  1. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны hello_html_497eda66.png.

hello_html_m733d824c.png

Пояснение.

Объем прямой призмы равен hello_html_m3ce63334.png, где hello_html_75a9ccb.png— площадь основания, а hello_html_2a093b83.png— боковое ребро. Площадь правильного шестиугольника со стороной hello_html_m9ca0d5f.png, лежащего в основании, задается формулой

 

hello_html_m4275271d.png

Тогда объем призмы равен

 

hello_html_m3075bbe7.png.Ответ: 4,5.

  1. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

hello_html_m4652bcef.png

Пояснение.

Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной. Ответ: 12.

  1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна hello_html_497eda66.png.

hello_html_m195a9b0e.png

Пояснение.

Объем пирамиды равен

hello_html_39ace1ea.png,

где hello_html_75a9ccb.png– площадь основания, а  hello_html_2a093b83.png – высота пирамиды. Площадь равностороннего треугольника в основании

hello_html_17cf5a65.png,

Тогда объем пирамиды равен

hello_html_74f0a01d.png.Ответ: 0,25.

  1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

hello_html_50a1c03.png

Пояснение.

Объем пирамиды с площадью основания hello_html_75a9ccb.pngи высотой hello_html_2a093b83.pngравен hello_html_39ace1ea.png, откуда площадь основания hello_html_m52a58df6.pngСторона основания тогда hello_html_m11694144.png, а диагональ hello_html_mfa7c721.png. Боковое ребро найдем по теореме Пифагора:

 

hello_html_m4baadc39.pngОтвет: 13.

  1. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

hello_html_m7ab454d6.png

Пояснение.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем высоту пирамиды по теореме Пифагора: hello_html_23b63935.png. Площадь основания

 

hello_html_298ed564.png.

Тогда объем пирамиды

hello_html_4b60d299.png.Ответ: 12.

  1. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

hello_html_7515eeea.png

Пояснение.

Площадь лежащего в основании пирамиды многоугольника является разностью площадей квадратов со сторонами 6 и 3 (см. рис.):

 

hello_html_m4dc98ea5.png 

Поскольку высота пирамиды равна 3, имеем:

hello_html_4a633b97.pngОтвет: 27.

  1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны hello_html_4569873e.png. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

hello_html_m74fc64b4.png

Пояснение.

По теореме Пифагора длина гипотенузы треугольника в основании hello_html_m5bc27511.png. Поскольку гипотенуза является диаметром основания описанного цилиндра, его объем

 

hello_html_m1308ccc1.png.Ответ: 125.

  1. Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно 2 и 6, а второго — 6 и 7. Во сколько раз объём второго цилиндра больше объёма первого?

Пояснение.

Объём цилиндра находится по формуле

hello_html_484a157d.png 

Найдём объём первого цилиндра:

hello_html_6b476284.png 

Найдём объём первого цилиндра:

hello_html_m65cd6c65.png 

Найдём отношение объёма второго шара к первому:

 

hello_html_34e186d5.pngОтвет: 10,5.

  1. Радиус основания цилиндра равен 15, а его образующая равна 19. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояния, равное 9. Найдите площадь этого сечения.

hello_html_m6865519c.png

Пояснение.

Запишем выражение для площади сечения

hello_html_m6ebf3ef9.png 

hello_html_2b807b97.png 

AK найдём из треугольника KOA — прямоугольного, KO = 9, AO = 15, AKhello_html_m1c40b1df.pngKO,

hello_html_3364d5c3.png 

Таким образом, hello_html_6f44b44d.png Ответ: 456.

  1. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 80 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у первого? Ответ дайтев сантиметрах.

hello_html_m7b967090.png

Пояснение.

Объём воды по условию не изменен и вычисляется по формуле: hello_html_m1ac06cd5.png. Таким образом, если радиус основания увеличится вдвое, то при неизменном объёме высота уменьшится в hello_html_46f774a1.pngраза (hello_html_f7d75ab.png). Ответ: 20.

  1. Найдите объем hello_html_m33db1115.pngчасти цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите hello_html_7543ee82.png.

hello_html_m527e1565.png

Пояснение.

Объем данной части цилиндра равен

 

hello_html_m2e84b783.png. Ответ: 144.

  1. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника hello_html_m485e0c24.pngвокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на hello_html_ma1a8ab2.png.

hello_html_m713b146.png

Пояснение.

Треугольник hello_html_m485e0c24.png– так же равнобедренный, т.к. углы при основании hello_html_4dcca2e5.png. Тогда радиус основания равен 6, и объем конуса, деленный на hello_html_ma1a8ab2.png:

 

hello_html_15733b2a.png

Ответ: 72.

  1. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на hello_html_ma1a8ab2.png.

hello_html_m68142b46.png

Пояснение.

Радиус основания конуса hello_html_60fa01b5.pngравен половине диагонали квадрата hello_html_m72a930e6.png:  hello_html_7bd10fef.png. Тогда объем конуса, деленный на hello_html_ma1a8ab2.png:

hello_html_5b1f7579.pngОтвет: 16.

  1. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

hello_html_31ff0deb.png

Пояснение.

Площадь основания конуса равна hello_html_44106b49.png, а площадь боковой поверхности hello_html_6154679a.png. Из условия имеем:

hello_html_50550bc7.png 

Значит, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, образующей и радиусом основания конуса, катет, равный радиусу, вдвое меньше гипотенузы. Тогда он лежит напротив угла 30°. Следовательно, угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. Ответ: 60.

  1. Найдите объем hello_html_m33db1115.pngчасти конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите hello_html_7543ee82.png.

hello_html_ee4d51a.png

Пояснение. Объем данной части конуса равен

hello_html_m6574f558.png. Ответ: 87,75.

  1. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.

hello_html_5fa4de0a.png

Пояснение.

Запишем формулу для объёма шара:

hello_html_5b47342f.png 

Объём конуса в 4 раза меньше:

hello_html_m25234952.png. Ответ: 7.

  1. Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей — 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Пояснение.

hello_html_1614a6d2.pngОсевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а высота совпадает с высотой конуса. Образующая конуса hello_html_2a3c476d.png, его высота hello_html_2a093b83.pngи радиус основания hello_html_60fa01b5.pngсвязаны соотношением hello_html_7dd34609.pngоткуда hello_html_m2a8f634f.pngСледовательно, площадь осевого сечения равна 0,5 · 12 · 8 = 48. Ответ: 48.

  1. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на hello_html_ma1a8ab2.png.

hello_html_m803c9ab.png

Пояснение. Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: hello_html_1db640ae.png. Тогда объем шара

hello_html_m3608da90.png. Ответ: 4,5.

  1. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

hello_html_5fa4de0a.png

Пояснение

hello_html_23f63ebc.png. Ответ: 24.

  1. Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз объём большего шара больше объёма другого?

Пояснение.

Найдём объём первого шара:

hello_html_72f55075.png 

Найдём объём второго шара: hello_html_7e2189e.png

 Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего:

 

hello_html_m1950cd31.pngОтвет: 64.

  1. Даны два шара с радиусами 14 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности другого?

Пояснение.

Найдём площадь поверхности первого шара: hello_html_m5b122850.png 

Найдём площадь поверхности второго шара: hello_html_59c6ca18.png 

Найдём отношение площадей большего шара к меньшему

hello_html_m4ff78a7b.pngОтвет: 49.

infourok.ru

Стереометрия на ЕГЭ по математике

Стереометрия ЕГЭ задачи

Стереометрии в экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике посвящены задачи B9 и C2, первые попроще, вторые посложнее. О некоторых методах решения задач C2 можно почитать в статье «Как решать задачи C2 ЕГЭ по математике — советы репетитора». В данной статье мы подробно остановимся на решении задач B9. Причем как репетитор по физике и математике постараюсь построить изложение таким образом, что через решение простых заданий B9 мы будем переходить к решению более сложных задач C2 по стереометрии из ЕГЭ, связанных с теми же пространственными фигурами и величинами. Как всегда материал будем разбирать на конкретных примерах из вариантов ЕГЭ по математике прошлых лет.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с параллелепипедом

Пример 1. Найдите диагональ прямоугольного параллеле-пипеда, если она наклонена к его грани под углом 60^0, а стороны этой грани равны 3 и 4. Стереометрическая задача B9 из ЕГЭ по математике

Чертеж к заданию

Решение. Так как ABCDA_1B_1C_1D_1 — параллелепипед, то DC\perp BCC_1, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и CB_1. То есть треугольник DCB_1 — прямоугольный, гипотенузой в нем будет являться искомая диагональ DB_1.

Из прямоугольного треугольника CBB_1 находим гипотенузуCB_1=\sqrt{BC^2+BB_1^2} = 5. Для прямоугольного треугольника DCB_1 имеем \cos DB_1C = \frac{CB_1}{DB_1}, то есть DB_1 = \frac{5}{\cos 60^0} = 10.

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна \sqrt{8} и наклонена к плоскости его грани под углом 45^0. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное плоскости этой грани.

Показать ответОтвет: 2. Стереометрия на ЕГЭ по математике задача C2 с параллелепипедом

Рисунок к заданию с выноской

Решение. Искомое расстояние есть высота треугольника AC_1D_1, проведенная из вершины A. Ищем стороны данного треугольника. Ребро C_1D_1 = 4\sqrt{3}. Из прямоугольного треугольника ADD_1 находим AD_1 = \sqrt{AD^2+DD_1^2} = 4\sqrt{7}.

Далее \angle ADC = 180^0-60^0 = 120^0. Из теоремы косинусов для треугольника ADC получаем, что AC^2 = AD^2+DC^2--2\cdot AD\cdot DC\cos\angle ADC, откуда AC = 12. Из прямоугольного треугольника ACC_1 находим AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2} = 4\sqrt{13}.

Из теоремы косинусов для треугольника AC_1D_1 получаем, что D_1C_1^2 = AD_1^2+AC_1^2-2\cdot AD_1\cdot AC_1 \cos\angle D_1AC_1, откуда \cos \angle D_1AC_1 = \frac{17}{2\sqrt{13}\sqrt{7}}. Тогда \sin\angle D_1AC_1 = \frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{13}\sqrt{7}}. Площадь треугольника равна S = \frac{1}{2}AD_1\cdot AC_1\sin\angle D_1AC_1 = 20\sqrt{3}. С другой стороны S = \frac{1}{2}AH\cdot C_1D_1 = 2\sqrt{3}\cdot AH. Следовательно, AH = 10.

Здесь мы воспользовались приемом сведения задачи по стереометрии из ЕГЭ к задаче по планиметрии. Как видите, в данном случае такой способ решения нельзя назвать наиболее рациональным. И все же он не лишен права на существование. Подробнее о решении планиметрических задач из ЕГЭ по математике читайте в статье «Решение задач C4».

Ответ: 10.

Задача для самостоятельного решения №2. Основанием прямой призмы ABCA_1B_1C_1 является равнобедренный треугольник ABC, боковая сторона которого равна 6\sqrt{3}, а угол ACB равен 120^0. Найдите расстояние от точки A до прямой B_1C_1, если известно, что боковое ребро данной призмы равно 12.

Показать ответОтвет: 15.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с пирамидой

Пример 3. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 4. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30^0. Найдите боковое ребро пирамиды. Чертеж к задаче B9 по стереометрии из ЕГЭ по математике

Чертеж к заданию

Решение.  Угол наклона бокового ребра к плоскости основания есть угол между этим боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, то есть угол SDO, где SO — перпендикуляр из вершины S на плоскость ABC (высота пирамиды). Для прямоугольного треугольника SOD имеем \sin\angle SDO = \frac{SO}{SD}, откуда SD = \frac{4}{\sin 30^0} = 8.

Задача для самостоятельного решения №3. Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Показать ответОтвет: 4. Задача по стереометрии с правильной пирамидой

Чертеж к задаче

Решение. DC лежит в плоскости PDC,AB в этой плоскости не лежит и параллельна DC, следовательно, AB параллельна PDC. Ищем расстояние из точки K (середины AB), оно будет равно искомому расстоянию из точки A, что следует из доказанного выше.

Точка H находится в центре основания ABCD, поскольку пирамида правильная. То есть KH = \frac{1}{2}KL = 1,5. Из прямоугольного треугольника PLH находим PL = \sqrt{HL^2+PH^2} = 2,5. Площадь треугольника PKL с одной стороны есть S = \frac{1}{2}KL\cdot PH = 3, а с другой стороны S = \frac{1}{2}PL\cdot KO = \frac{5}{4}KO. Сравнивая полученные результаты, получаем, что KO = \frac{12}{5}.

Ответ: \frac{12}{5}.

Задача для самостоятельного решения №4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SB и AC.

Показать ответОтвет: \frac{1}{2}.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные c цилиндром

Пример 5. Радиус основания цилиндра равен 3. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра, если она наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60^0. Цилиндр с осевым сечением задача по стереометрии

Чертеж к задаче

Решение. Искомую диагональ ищем из прямоугольного треугольника ABC. По определению косинуса получаем: \cos 60^0=\frac{BC}{AC}, откуда находим AC = \frac{BC}{\cos 60^0}=\frac{3+3}{0,5}=12.

Ответ: 12.

Задача для самостоятельного решения №5. Образующая цилиндра равна 10. Диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 45^0. Найдите радиус основания цилиндра.

Показать ответОтвет: 5. Пример 6. Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2p. Наибольшая площадь сечения цилиндра задача по стереометрии

На рисунке r — радиус основания, l — образующая цилиндра

Решение. Из рисунка видно, что периметр осевого сечения цилиндра определяется по формуле: 2p = 4r+2l или, что тоже самое, p = 2r+l. Площадь осевого сечения равна S=2rl, с учетом l=p-2r получаем S = 2r(p-2r) = 2pr-4r^2.

Полученное выражение представляет собой квадратичную функцию S от переменной r. Наибольшее значение она принимает в вершине соответствующей параболы, то есть в точке r = \frac{p}{4}. При этом образующая цилиндра равна l=\frac{p}{2}.

Ответ: \frac{p}{2} или \frac{p}{4}.

Задача для самостоятельного решения №6. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Показать ответОтвет: \frac{2\pm\sqrt{3}}{2}.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные с конусом

Пример 7. Диаметр основания конуса равен 6. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 60^0. Найдите образующую конуса. Чертеж к задаче по стереометрии с конусом

Рисунок к задаче

Решение. На рисунке треугольник SAB — равносторонний, поэтому искомая образующая равна 6.

Ответ: 6.

Задача для самостоятельного решения №7. Образующая конуса равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 60^0. Найти радиус основания конуса.

Показать ответОтвет: 5. Пример 8. Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270^0. Конус и развертка его боковой поверхности стереометрия

Конус и развертка его боковой поверхности

Решение. Длина дуги сектора, образованного разверткой боковой поверхности конуса, равна с одной стороны \frac{3}{4}\cdot 2\pi l = \frac{3}{2}\pi, а с другой — 2\pi r — длина окружности основания конуса. Откуда получаем, что \frac{r}{l} = \frac{3}{4}. Но это же отношение есть синус угла между образующей и высотой конуса. Итак, искомый угол есть \operatorname{arcsin}\frac{3}{4}.

Ответ: \operatorname{arcsin}\frac{3}{4}.

Задача для самостоятельного решения №8. Высота конуса равна 4, а радиус основания равен 3. Вычислите площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в этот конус.

Показать ответОтвет: 18+6\sqrt{41}.

Задачи по стереометрии из ЕГЭ, связанные со сферой

Пример 9. Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 3, и образующая равна 8. Цилиндр вписанный в сферу стереометрия на ЕГЭ

Осевое сечение описанной в задаче системы

Решение. OH = 4,BH = 3, тогда из прямоугольного треугольника BHO по теореме Пифагора находим BO=\sqrt{OH^2+HB^2} = 5.

Ответ: 5.

Задача для самостоятельного решения №9. Найдите диаметр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 2,3,6.

Показать ответОтвет: 7. Пример 10. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со стороной 10. Каждое ребро пирамиды составляет с основанием угол \beta. Найдите площадь поверхности и объем шара. Четырехугольная пирамида вписанная в сферу стереометрическая задача

Иллюстрация к задаче

Решение. Из условия, что каждое ребро пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник, составляет с этим основанием один и тот же угол, с необходимостью следует, что этот прямоугольник является квадратом (докажите самостоятельно). Тогда DB = 10\sqrt{2}. Из прямоугольного треугольника SHB находим SB = \frac{HB}{\cos \beta}, то есть SB = \frac{5\sqrt{2}}{\cos \beta}.

Пусть радиус сферы R, тогда треугольник SDB вписан в окружность радиуса R, который находим из теоремы синусов: \frac{SD}{\sin\beta} = 2R, откуда R = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 2\beta}. Тогда площадь поверхности сферы равна \frac{200\pi}{\sin^2 2\beta}, а объем шара \frac{1000\sqrt{2}\pi}{3\sin ^3 2\beta}.

Ответ: \frac{200\pi}{\sin^2 2\beta},\, \frac{1000\sqrt{2}\pi}{3\sin ^3 2\beta}.

Задача для самостоятельного решения №10. В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом \alpha при основании вписан шар объема V. Найдите объем пирамиды.

Показать ответОтвет: \frac{3\sqrt{3}}{4\pi}\operatorname{tg}\alpha\cdot \operatorname{ctg}^3\frac{\alpha}{2}\cdot V.

Итак, подведем итог. Что нужно для успешного решения задач по стереометрии из ЕГЭ?

  • знание основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур;
  • умение проводить дополнительные построение и доказательства верности этих построений;
  • верно выполнять арифметические преобразования численных и буквенных выражений.

До экзамена осталось совсем мало времени и использовать его нужно максимально эффективно. К примеру, тренируйтесь в выполнении заданий, которые вызывают наибольшие затруднения. Помните, от того насколько хорошо вы сдадите выпускные экзамены в какой-то мере зависит ваша дальнейшая жизнь. Успехов вам!

Репетитор по математике на Тёплом Стане
Сергей Валерьевич

Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
© Нильс Г. Абель

yourtutor.info

Обучение решению задач по стереометрии.

Обучение решению задач по стереометрии.

Т.С. Тютюнникова – учитель математики МКОУ СОШ №10 г.Россоши.

А.Г. Климова — учитель математики МКОУ СОШ №10 г.Россоши.

И.Ф. Шарыгин писал: «Задачи по стереометрии – прекрасные упражнения, способствующие развитию пространственных представлений, умения логически мыслить, способствующие более глубокому усвоению всего школьного курса математики».

Обучение решению задач по стереометрии – важная составная часть изучения школьного курса геометрии. При решении задач закрепляются теоретические знания, вырабатываются навыки применения этих знаний в практической деятельности, развивается творческая активность.

В настоящее время к учащимся предъявляются достаточно высокие требования к умению решать такого рода задачи. Однако, имеется два-три урока геометрии в неделю, нет практической возможности добиться хорошего навыка решения стереометрических задач, т.к. они по своей природе объемны, много времени уходит на построение чертежа. Любой учитель, работающий в старшей школе, понимает, что чем больше задач будет рассмотрено и решено на уроке, тем лучше будет навык решения.

Как показывает анализ результатов ЕГЭ, одной из проблем в обучении математике как раз и является неумение решать задачи по стереометрии, особенно задач повышенной сложности (группа С). Процент выполнения таких заданий остается очень низким.

Развитие пространственного воображения и мышления не формируется сразу, для его успешного развития требуется ежедневная кропотливая работа учащихся и учителя. Практическая работа учеников с пространственными фигурами является основой процесса формирования умения решать задачи по стереометрии.

По нашему мнению следует повышать наглядность в преподавании, больше внимания уделять формированию конструкторских умений при решении практических задач.

В своей работе мы применяем элементы деятельностного, развивающего подхода в обучении, используем метод проектов. Считаем также важным сформировать у учащихся внутреннюю мотивацию к решению задач, показывая доступность получения знаний, формируем умение использовать приобретенные теоретические сведения в практической деятельности, предоставляем возможность каждому ученику проявить свои способности, продемонстрировать готовность к самообразованию.

Хотим поделиться своим опытом возможного решения данной проблемы при рассмотрении темы «Пирамида». Предлагаем нашим ученикам выполнить творческую практическую работу: учитывая индивидуальные возможности каждого, даем им решить по одной задаче, изготовить к ней модель из ниток. За данную работу ученик получает две оценки: одну за правильность изготовления модели, другую – за решение. Чтобы создать банк задач по теме и в дальнейшем использовать его в работе даем одинаковый размер для изготовления модели. Она представляет собой двойную «открытку», размером 210х150 мм, на которой с лицевой стороны напечатан текст задачи, внутри – модель из ниток к ней, а с обратной стороны в кармане размещено решение.

Данная работа позволяет выполнить конкретному учащемуся посильную для него задачу, т.к. глубокая степень осмысленности при ее моделировании и решении определяется его способностями, уровнем подготовки. При выполнении данной практической работы ученик может впервые почувствовать себя «конструктором» стереометрических задач, представить ее образ, т.е. работа имеет не только познавательный, но и творческий характер.

Как показывает опыт, учащиеся имеют слабое пространственное воображение, поэтому данная работа поможет рассмотреть отдельные элементы фигуры в пространстве. Кроме того, ученик работает не в усредненном, а в своем индивидуальном темпе, поскольку работу он выполняет дома. При решении задачи повторяются основные понятия и факты из курса планиметрии.

Самый важный итог работы состоит в том, что, используя данные модели для индивидуального опроса учителем, каждый учащийся, экономя время на построение чертежа, практически перерешает все задачи, которые были предложены для выполнения всему классу.

Используя банк имеющихся задач, на уроке организовываем работу так: предлагаем ученику карточку с текстом задачи и моделью к ней. Убираем решение из кармана и кладем на учительский стол. Учителю потребуется минимум времени, чтобы по готовому решению проверить ответ рассматриваемого ученика или же сам отвечающий имеет возможность сверить решение с верным.

Организованная таким образом работа на уроке дает положительный результат: в несколько раз возрастает объем решенных стереометрических задач, которые позволяют учащимся повысить свои практические навыки решения и развить пространственное воображение.

Возрастает внутренняя мотивация, что сказывается на улучшении качества обучения. Результатом такой организации повторения и отработки практических навыков решения задач стало то, что ребята начали активнее работать на уроке, не боятся допустить ошибки.

Такая форма работы побуждает творческую активность, а также помогает им при подготовке к ЕГЭ.

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *