План-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему: Решение задач с помощью систем уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Слободищенская средняя общеобразовательная школа

Дятьковского района Брянской области

Тема урока:

«Решение задач с помощью систем уравнений»

9 класс.

Учитель математики:

Копычева Галина Анатольевна

Учебник: А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс.

Тип урока: практикум по решению задач.

Оборудование: тетради, учебники, компьютеры, карточки для выполнения групповой и индивидуальной работы.

Цель: научить решать задачи с помощью систем уравнений

Задачи:

• образовательная: продолжить формирование навыков сознательного выбора способа решения системы;
• развивающая: развивать потребность в нахождении рациональных способов решения; 
• воспитательная: способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся

Планируемый результат:

Знать:

• способы решения систем линейных уравнений;
• алгоритм решения задач.

Уметь:

• применять удобный способ решения систем линейных уравнений;
• применять алгоритм решения задач на практике;
• использовать различные источники знаний;
• работать с карточками различного содержания;
• работать в группах, индивидуально.

Используемые технологии: уровневой дифференциации, индивидуального обучения, проблемно поисковой, групповые, ИКТ.

Методы работы:

а) методы организации учебно-познавательной деятельности: словесный, наглядный, практический, самостоятельная работа, работа под куроводством.

б) методы контроля и самоконтроля: устный опрос, фронтальный опрос, письменный контроль.

Ход урока

Девиз: «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит».

1. этап. Постановка целей и задач урока

-Здравствуйте.  Я рада видеть вас на уроке. Посмотрите  друг на друга, улыбнитесь, и с хорошим настроением начнем урок. Всем желаю хорошей работы и успеха.

На протяжении нескольких уроков мы с вами  рассматривали понятие, которое необходимо для нас.

  Ответьте на вопрос, что объединяет данные высказывания? (слайд №1).

Ответьте на вопросы:

-Что  называется решением системы уравнений?

-Что значит решить систему уравнений?

-Перечислите методы решения систем уравнений?

Чтобы узнать тему нашего урока я предлагаю решить следующие ребусы и соединить полученные слова в единое целое и назвать тему нашего урока.

 Слайд №2. 

Слайд №3.

Тема урока. «Решение задач с помощью систем уравнений»

• продолжить формирование навыков сознательного выбора способа решения системы;
• развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;
• способствовать развитию любознательности и творческой активности обучающихся.

Эпиграфом к уроку я взяла слова среднеазиатского ученого-энциклопедиста Абу-р-Райхан  ал-Бируни  «Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». (слайд №4).

2 этап. Актуализация знаний. Слайд №5-8.

1.Является ли пара чисел  (0;1) решением системы уравнений

2.Сколько решений имеет система уравнений?

3.Определить для каждой системы уравнений рациональный метод решения:

                

Зачем знать о системах уравнений? (Слайд №9)

Эту находку называют «Арифметика из Бахшали».  Её нашли при раскопках в Индии в местечке Бахшали и относится она к VII   и  VIII веку нашей эры.

«Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат».

Составьте систему уравнений по данной задаче.

1.Решение задачи о месте и времени встречи промыслового рыболовецкого судна с перегрузчиком сводится по сути к решению систем линейных уравнений, использующих данные о координатах судов, их скоростях и метеоусловиях.

2.В настоящее время в компьютерной технологии широко используются электронные таблицы  для решения задач управления в промышленности, бизнесе, финансовой деятельности.

   Электронная таблица  легко позволяет реализовать один из методов вычислительной математики — метод итераций.

   Наибольшее применение итерационный метод нашел при решении систем линейных уравнений. К таким системам сводятся задачи анализа электрических цепей, расчета энергий колебательных уровней двухатомных молекул и др. Метод используется и для решения систем нелинейных уравнений: система «хищник-жертва» и др.

3.этап. Практикум (решение задач)

1) №144, №146

№147, №148 (самостоятельно). Работа в парах.

№155.

 2) Устные задачи

 Решение задач с помощью систем уравнений. Использование текстов из заданий ГИА.

Слайд №10 и 11(работа в парах)

Слайд №12. Высказывание.

3) Использование учебных модулей (работа в парах). (A07_072_k02.oms, A09_0114_p02.oms)

4 этап. Контроль усвоения учебного  материала.

Самостоятельная работа с дифференцированными заданиями. Составить систему уравнений.

1 вариант.

1.Сумма двух чисел равна 28, а их разность – 16. Найдите эти числа (оценка «3»).

2.Сумма двух чисел равна 28, а их произведение 63. Найдите эти числа (оценка «4»).

3.Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм., а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр прямоугольного треугольника (оценка «5»). 

2 вариант

1.Разность двух чисел равна 34, а сумма – 50. Найдите эти числа (оценка «3»).

2.Разность двух натуральных  чисел равна 25, а их произведение равно 396. Найдите эти числа (оценка «4»).

3.Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 см, а его гипотенуза равна 41 см. Найдите площадь прямоугольного треугольника ( оценка «5»).

Взаимопроверка (слайд №13)

 5 этап. Рефлексия.

Слайд №14.

5 этап. Домашнее задание. Найдите задачи — стихи, которые решались бы с помощью  систем уравнений (слайд №15).

Разработка урока по алгебре 9 класс по теме «Решение текстовых задач при помощи систем уравнений»

Тема: Решение задач при помощи систем уравнений.(9 класс)

Цели и задачи: Обобщить, систематизировать и закрепить знания по теме «системы уравнений с двумя переменными». Рассмотреть различные способы решения текстовых задач практического содержания.

План урока:

1. Организационный момент (беседа о применении алгебраических навыков при решении геометрических, физических, химических, экономических и бытовых задач)

2.Устная работа (фронтальная)

3.Решение задач геометрического содержания при помощи системы ур-й двумя способами.(графический и подстановка)

4.Решение задач на движение (способ сложения)

5. Решение задач на смеси и сплавы.

6.Обобщение материала урока.

7. тест со взаимопроверкой.

8.Дом. задание.

Оборудование: интерактивная доска (или мультимедийная установка)

Материалы к уроку: Презентация, карточки с тестами в 2 вариантах по количеству учащихся. Учащимся необходимы циркули, линейка, карандаш.

I Устная работа.

1.Выразите одну переменную через другую (слайд3)

у-2х=2

х-3у+1=0

ху=6

3х+2у=5

2.Какую фигуру задаёт уравнение ?

у=0,5х²+1

х²+у²=4

ху+1=0

ху+1=0

2х+3у=4

(х-2)²+(у+3)²=49

3.Перечислите способы решения систем уравнений

4.Каким из способов лучше решить систему?

II Применение систем уравнений при решении геометрических задач

Диагональ прямоугольника 10 см., а одна из сторон на 2 см.больше другой. Найдите стороны прямоугольника.

Применение систем уравнений при решении задач на «движение»

Из двух посёлков, расстояние между которыми 40 км одновременно,

навстречу друг другу вышли два пешехода. Через 4 часа им оставалось пройти до встречи 4 километра. Если бы первый пешеход вышел на 1 час раньше, то встреча произошла бы на середине пути.

С какой скоростью шёл каждый пешеход?

Применение систем уравнений при решении задач на « смеси и сплавы»

Имеется два сплава . I сплав содержит 10% никеля, а II – 30% никеля. Из этих сплавов получили третий сплав массой 20 кг., содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса I сплава меньше массы II сплава?

III Тест в двух вариантах на 5-7 минут. Затем взаимопроверка по слайду на доске.

Вариант I_______________________________________________________

1.Выразите переменную у через х:

а) 2х+у=7 у=_______________

б) 2у-6х²=4 у=_______________

2.Схематически изобразите графики и укажите количество решений.

У=х²+1

х²+у²=4

Ответ:________________

3.Составьте систему уравнений по условию задачи:

Площадь прямоугольника 28 см², а его периметр 22 см.

Найдите стороны прямоугольника.

Вариант II_______________________________________________________

1.Выразите переменную у через х:

а) -3х+у=8 у=_______________

б) 2у+6х²=10 у=_______________

2.Схематически изобразите графики и укажите количество решений.

У=х³

ху=8

Ответ:________________

3.Составьте систему уравнений по условию задачи:

Площадь прямоугольника 36 см², а его периметр 26 см.

Найдите стороны прямоугольника.

Ключи к тесту

I вариант II вариант

1.а) у=-2х+7 1. а) у=3х+8

б) у=3х²+2 б) у=-3х²+5

2. 2.

Два решения

Два решения

Подводятся итоги урока: Что повторили, способы решения систем, достоинства и недостатки каждого способа. Итоги теста.

Домашнее задание:

№474, №448(б) №452

Конспект 9 класс «Решение задач на движение с помощью систем уравнений»

Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

Цели урока:

Закрепить умение обучающихся решать задачи с помощью систем уравнений второй степени.

Тип урока: Комбинированный

Задачи урока:

Образовательная: Продолжить формирование у обучающихся умения решать задачи с помощью систем уравнений второй степени.

Воспитательная: Воспитать у обучающихся самостоятельность через проведение самостоятельной работы.

Развивающая: Развить у обучающихся логическое мышление через решение задач.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

2. Актуализация опорных знаний.

Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь равна 24 см². Пусть х и у – стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а)

б) в)

3. Самостоятельная работа.

В а р и а н т 1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м² обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т 2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м² обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

4. Формирование умений и навыков.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив следующие этапы:

1 этап. Анализ условия задачи:

– Какие объекты рассматриваются в задаче?

– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

Значения каких величин известны?

Заполнение таблицы.

2 этап. Составление математической модели.

— Какие процессы, описаны в задаче?

— Какие величины неизвестны?

Составление системы уравнений.

3 этап. Работа с составленной моделью.

Решение системы уравнений.

4 этап. Анализ полученных результатов.

Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.

Решение

1этап. Анализ условия задачи.

В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

Выделяем два процесса:

– реальное движение пешеходов;

– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы:

Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода. По условию задачи известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение:

= 1.

Составим и решим систему уравнений:

3 этап. Работа с составленной моделью.

Решаем способом подстановки:

20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0;

20у – 180 + 20у – 9у + у² = 0;

у² + 31у – 180 = 0;

у

1 = 5 х₁ = 9 – 5 = 4;

у₂ = – 36 .

4 этап. Анализ полученных результатов.

Мы получили две скорости

у₁ = 5 х₁ = 9 – 5 = 4;

у₂ = – 36 (не подходит по смыслу задачи).

Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч.

О т в е т: 4 км/ч и 5 км/ч.

Упражнения:

1. № 473,

Анализ условия задачи.

№ 547.

Пусть х км/ч скорость одного поезда, у км/ч скорость второго поезда, тогда из условия, что они встретятся через 3 часа, расстояние между ними 270 км, получим 3х+3у=270, и из условия, что весь путь один (пусть первый) проходит на 1час 21 минуту дольше получим: 270/х-270/у = 27/20.

Решив систему способом подстановки, получим 40 км/ч и 50 км/ч.

2. № 461.

Р е ш е н и е

Заполним таблицу:

Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда. Из условия задачи известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Составим уравнение: 4

х – 4у = 4,8.

На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:

(4х)² + (4у)² = 24².

Составим систему уравнений:

Решаем систему способом подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным, что не удовлетворяет условию).

О т в е т: 4,8 км/ч и 3,6 км/ч.

V. Итоги урока.

–Какие способы решения систем уравнений второй степени вы знаете?

– Перечислите этапы решения задач на движение.

– В чем заключается интерпретация полученного решения?

Домашнее задание: п. 20 с. 117, № 462, № 474.

«Решение задач с помощью систем уравнений». 9 класс.

Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

План урока.

1. Обобщение теоретического материала по теме «Способы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными». Проверка домашнего задания.

2. Изучение нового материала по теме «Применение систем уравнений второй степени при решении задач».

3. Исследовательская работа в группах.

4. Представление аналитического решения поставленных задач.

5. Анализ результатов и выводы.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Ещё Платон говорил: «Человек, способный к математике, изощрён во всех науках». (Слайд 2)

Как вы понимаете это высказывание?

Таким образом, мы сегодня будем размышлять, искать простые и красивые решения, развивать логическое мышление, правильно и последовательно рассуждать, тренировать память, внимание.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

На предыдущих уроках Вы изучали «Решение систем уравнений второй степени»

Эти способы решения систем уравнений Вы должны были применить при выполнении домашнего задания.

Давайте откроем рабочие тетради и начнём проверку домашнего задания с №440(а).

Я его тоже решал, и вот что у меня получилось. Всё ли у меня получилось верно? (Слайд 3)

Ошибочное решение:

Данная ошибка привела к неверному решению

Ответ:(0;4), (-4;0)

Верное решение: (Слайд 4)

Ответ: (0;-4), (4;0)

Данную систему необходимо было решить и графическим способом(Слайд 5)

А, что Вы скажете о решении №448 (а)? Прав я или нет? (Слайд 6)

Сложим первое и второе уравнение почленно:

Ответ: (-4;-1), (-4;1), (4;-1), (4;1)

Спасибо!

Запишите в тетради сегодняшнее число 12.12.2013.

Сегодня на уроке мы начнем рассматривать решение задачи, с помощью систем уравнений второй степени с двумя переменными. (Слайд 7)

Запишите, пожалуйста, её в тетрадях.

При решении задач используются формулы, с которыми Вы уже знакомы. Некоторые из них давайте повторим.

Вам необходимо в кабинете найти формулу, относящуюся к тому или иному утверждению, прикрепить на магниты её к доске и сформулировать данное утверждение.

Замечательно! Часть этих формул Вы будете использовать при выполнении самостоятельной работы в группах

4. Изучение нового материала.

Дорогие ребята! Область применения математике очень широка. Без неё не обойтись и в естественных науках. Рассмотрим одну из таких задач.

Задача.

От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Итак, что спрашивается в данной задачи? (Читают)

Сколько в этом вопросе неизвестных величин?

Что нам неизвестно в задаче? (Скорости двух тел)

Как обозначим эти неизвестные величины? (Обозначим за х м/с скорость первого тела, а у м/с скорость второго тела)

Выделите 1 ситуацию в задаче

Давайте поработаем с 1 части задачи и оформим анализ условия в виде таблицы

Ситуация 1

Т.к. тела двигались по катетам прямоугольного треугольника, то расстояние между ними равное 3 м можно выразить через теорему Пифагора

Первое уравнение_________________________

Выделите 2 ситуацию в задаче. И проведем аналогичные рассуждения, оформив их в таблицу 2

Ситуация 2

Т.к. во втором случае они прошли одинаковый путь, то получим

Второе уравнение_________6х=8у________________

Составим пояснительный текст задачи.

Пусть х м/с скорость первого тела, у м/с скорость второго тела. Известно, что за 6 с первое тело проходит такое же расстояние, что второе за 8 с. Составим первое уравнение системы 6х=8у. Двигаясь, по сторонам прямого угла, расстояние между ними через 15 с стало равно 3 м. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, получим второе уравнение системы: Составим и решим систему уравнений:

не удовлетворяет

условию задачи

Ответ: 0,16 м/с, 0,12 м/с

Итак, какие этапы мы можем с Вами выделить при решении задачи на составление системы уравнений?

Схема решения задач (Слайд 8)

1. Анализ условия

2. Введение неизвестных

3. Выделения двух ситуаций

4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестными

5. Составление уравнений

6. Решение системы уравнений

7. Запись ответа

7. Самостоятельная работа.

А теперь поработаем в группах. На столах у каждой группы в конвертах лежит задание. Каждое задание состоит из двух частей. Вам предстоит решить задачу и в бланк ответа вписать составленную систему, которая позволит решить задачу, а далее необходимо решить данную систему и выбрать правильный вариант ответа предложенный ниже. После чего один представитель от каждой группы должен внести эти результаты в компьютер, тем самым проверить правильность выполнения задания. Каждый учащийся в группе получит отметку, зависящую от того, насколько удачно сработает его группа.

Первая группа:

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y стороны прямоугольника.

2. Выберите правильный вариант ответ из ниже приведённых.

6 см. и 8 см. 7 см. и 7 см. 5 см. и 9 см. 4 см. и 10 см.

Вторая группа:

Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y искомые числа..

2. Выберите правильный вариант ответ из ниже приведённых.

12 и 7 19 и 12 7 и 2 21 и 4

Третья группа:

Периметр прямоугольника 26 см, а его площадь . Найдите стороны прямоугольника.

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y стороны прямоугольника.

2. Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

14 см и 3 см 7 см и 6 см 11 см и 2 см 21 см и 2 см

Чётвёртая группа:

Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y стороны прямоугольников.

2. Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

13 см и 9 см 15 см и 3 см 22,5 см и 2 см 9 см и 5 см

7 Результаты самостоятельной работы

8. Домашнее задание. Подведение итогов урока. (Слайд 9)

Выучить п.20. Решить № 458, 461, 466.

Рефлексия:

Рефлексия.

1. Комфортно ли Вам было сегодня на уроке?

Мне тоже, потому что я старался лететь вместе с Вами!

Давайте вместе с Вами подведём итоги нашего урока.

а) Сегодня на уроке мы повторили…

б) Сегодня на уроке мы изучили…

И в качественного беспристрастного помощника у нас сегодня выступал компьютер.

Дорогие друзья, это был первый урок по теме «Решение задач на составление систем квадратных уравнений». На следующих уроках Вы продолжите работу по этой теме.

(Слайд 10)

Я надеюсь, что мы с Вами ощутили радость! Спасибо за урок!

Решения текстовых задач уравнением и системой уравнений в 9 классе

И до и после обеда в одно и тоже число раз отец косил быстрее сына, и скошенный им участок во столько же раз больше, поэтому можно составить уравнение:

(7 n-6)/ n: 2 = nу: у и его решить

(7 n-6) :2 n = nу: у

(7 n-6) : 2 n = n/1

2 n — 7 n + 6 = 0

D = 49

n = 2. n = 1,5

Учитывая, что до обеда сын скосил больше половины меньшего поля, т.е. больше 3,5

Отберем корень уравнения:

При n = 2, имеем 6/ n=6:2 =3, что меньше половины площади меньшего участка.

При n = 1,5, имеем 6/ n=6:1,5 =4, что больше площади меньшего участка.

Ответ: в 1,5 раза отец косил быстрее сына

Задача № 4. Из раздела «Применение линейного уравнения».

Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих металлов относятся как 3:5, в другом в отношении 1:3.Сколько килограммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 7 килограммов нового сплава, в котором отношение массы золота к массе серебра равно 2:5

Пусть золота из первого сплава нужно взять х кг, из второго (7-х) кг.

Выразим через х массу золота в новом сплаве: 3х:8 + (7-х):4=3х:8 + 7:4- х:4 = х:8+14:8 (кг).

Выразим через х массу серебра в новом сплаве: 5х: 8 + 3(7-х):4=5х:8 + 21:4- 3х:4 = 42:х – х:8 (кг).

Так как масса золота и серебра в новом сплаве относятся как 2:5, составляем уравнение:

(х:8+14:8)/2 = (42:х – х:8)/5

(х+14)/16 = (42 — х)/40

40(х+14) = 16(42 — х)

40х+560 = 672- 16х

56х = 112

х = 2(кг) –надо взять из первого сплава

7-2 =5(кг) — надо взять из второго сплава

Ответ: 2кг надо взять из первого сплава и 5кг — из второго сплава.

IY. Проверка самостоятельной работы (представлена через графопроектор каждой группой)

Y.Решение задачи №5. Более сложные задачи, решаемые системой уравнений. (Решается под руководством учителя на основной доске)

Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Через 45 минут из А в Выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось пройти 3/8всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что велосипедист догнал пешехода на середине пути из пункта А в пункт В, а скорости пешехода и велосипедиста постоянны

1/2 3/8

А! ___________________ !____________!_______ ! В

1/2

Х км /ч А!____________________!____________! Путь пешехода

Укм/ч А!_______________!_________________________!В Путь велосипедиста

Возьмем весь путь от А до В. за 1.

Пусть скорость пешехода х км/ч, а скорость велосипедиста у км/ч, причем х и у больше нуля.

По условию задачи велосипедист, после своего выезда, догоняет пешехода на середине пути АВ, значит каждый прошел 1/2 часть пути, но велосипедист проехал этот путь быстрее, затратив на путь на 3/4 часа меньше. Составляем первое уравнение: 1/2 : х — 1/2 :у = 3/4

По условию задачи пешеход вышел раньше на 45 минут, то есть на 3/4 часа, но прошел путь не весь. Найдем путь, пройденный пешеходом: 1 – 3/8 = 5/8, в то время как путь велосипедиста равен1.Составляем второе уравнение: 5/8 :х – 1/У = 3/4.

Для решения задачи решаем систему уравнений

5/8 :х – 1/у = 3/4. 5у – 8х = 6ху 5у – 8х = 6ху 5у – 8х = 6ху

1/2 : х — 1/2 :у = 3/4 2у – 2х = 3ху(*-4) -8у + 8х = -12ху -3у = -6ху

Решаем уравнение и находим х:

-3у + 6ху = 0

-3у(1 – 2х) = 0

у=0- отпадает по смыслу задачи, х =0,5.

Подставляя значение х в первое уравнение системы, найдем у:

5у – 8*0,5 = 6*0,5у.

5у – 4 = 3у.

2у = 4.

у = 2.

Проверка:

При скорости 0,5 км/ч пешеход затратит на пройденный им путь 5/8 : 0,5 = 5/4 (часа)

При скорости 2км/ч велосипедист затратит на пройденный им путь 1: 2 =1/2( часа) , что действительно удовлетворяет условию задачи: 5/4 -1/2 = = 3/4 (часа) = 45 минут.

Ответ: пешеход на весь путь потратил 5/4 часа или 75 минут.

YI. Рефлексия. Оценка урока (ЗУХ – Знаю, умею, хочу узнать)

YII. Самооценка деятельности (листы самооценки)

YIII. Итог урока(реализация поставленных целей)

IХ. Домашнее задание (дифференцированное)

Тем, кто по листу самоконтроля получил оценки «4» и «5»п. №1063,1001(г)

кто по листу самоконтроля получил оценки «2» и «3»п. №878, 1001(г)

Приложение №1

Лист самоконтроля___9б Иванова Павла___

№2

№3

№4

№5

Итог

Справился самостоятельно

5

5

10+

Справился с подсказкой

4

4

8+

Справился при совместном с кем –либо решении или помощи

3

3+

Не справился

2

2=23/5=23:4=4,6

При получении хотя бы одной «2» итоговая оценкаставится»3»

Решение задач с помощью систем уравнений 2 степени

9 класс Урок №_______________________________________________________________
Решение систем уравнений второй степени
Цели урока:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по теме урока ; подготовить учащихся к написанию самостоятельной работы.

• Развитие монологической речи учащихся, логического мышления;

• Воспитание интереса к математике.

Задачи урока.

• обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени. ;создать условия для самооценки своих возможностей, атмосферу заинтересованности каждого ученика в результатах деятельности;

• развивать познавательную активность, навыки индивидуальной и самостоятельной работы

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа. (Подготовка к ОГЭ)Решите систему уравнений способом сложения:

а) б)

III. Формирование умений и навыков. Все задания разбиты на две группы

1-я г р у п п а.

1. № 443 (а, в).

2. № 444.

3. № 447 (а).

Р е ш е н и е

Из второго уравнения выразим переменную х и подставим в первое уравнение системы:

Пусть у² = а, тогда получим уравнение:

+ а – 12 = 0;

а² – 12а + 36 = 0;

(а – 6)² = 0;

а = 6, то есть у² = 6;

у = ±.

Тогда соответствующие значения х будут равны .

О т в е т: (; –), (–; ).

После решения этой системы предложить учащимся найти другой способ. Если они не догадаются, то помочь им.

Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

х² + 2ху + у² = 0;

(х + у)² = 0;х + у = 0;х = –у.

Подставим найденное значение х во второе уравнение:

–у² = –6;у² = 6;у₁ = х₁ = –;у₂ = – х₂ = .

Заметим, что этот способ является более рациональным и интересным.

2-я г р у п п а. 1. № 451.

Р е ш е н и е

Известно, что прямая у = kx проходит через точку М (1; 2). Найдем значение k:

2 = k · 1 k = 2.

Таким образом, нужно найти точки пересечения графиков уравнений (х – 4)² + (у – 6)² = 25 и у = 2х. Для этого нужно решить систему:

(х – 4)² + (2х – 6)² = 25;

х² – 8х + 16 + 4х² – 24х + 36 – 25 = 0;

5х² – 32х + 27 = 0;

х₁ = 1 у₁ = 2 · 1 = 2;

х₂ = 5,4 у₂ = 2 · 5,4 = 10,8.

Ответ: (1; 2), (5,4; 10,8).

2. № 450. Р е ш е н и е

Парабола у = х² + 1 и прямая у = kx имеют только одну общую точку, если система имеет единственное решение.

Подставим значение у = kx в первое уравнение:

kx = х² + 1;

х² – kx + 1 = 0.

Составленная система будет иметь единственное решение, если это квадратное уравнение имеет один корень, то есть его дискриминант равен нулю.

D = k² – 4;

k² – 4 = 0;

k² = 4;

k = ±2.

О т в е т: k = 2 и k = –2.

3. Решите систему уравнений:

Р е ш е н и е

Сложим почленно правые и левые части уравнений системы. Получим:х² + у² + 2ху + х + у = 12;(х + у)² + х + у = 12.

С д е л а е м з а м е н у: х + у = а – и решим полученное уравнение:а² + а – 12 = 0;а₁ = –4, а₂ = 3.

В е р н е м с я к з а м е н е:х + у = –4 х = –у – 4;

х + у = 3 х = 3 – у.Подставляя поочередно данные выражения во второе уравнение исходной системы, получим:

у – 4 + у – у (у + 4) = 5;

– 4 – у² – 4у = 5;

у² + 4у + 9 = 0;

D₁ = 4 – 9 = –5.

Нет решений.

3 – у + у + у (3 – у) = 5;

3 + 3у – у² = 5;

у² – 3у + 2 = 0;

у₁ = 1, у₂ = 2.

Тогда х₁ = 3 – 1 = 2,

х₂ = 3 – 2 = 1.

О т в е т: (2; 1), (1; 2).

IV. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Что называется решением системы уравнений?

– Опишите способ подстановки решения систем уравнений второй степени.

– Опишите алгоритм решения систем уравнений второй степени способом сложения.

– Любое ли уравнение второй степени можно решить способом подстановки? способом сложения?

Домашнее задание_____________________________________________Д о п о л н и т е л ь н о: № 438.

9 класс Урок №_______________________________________________________________________
Тема урока: решения задач с помощью систем уравнений

Цели урока

• рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи:

• Развитие монологической речи учащихся, логического мышления;

• Воспитание интереса к математике.

Задачи урока.

• рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи:

• обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени. ;создать условия для самооценки своих возможностей, атмосферу заинтересованности каждого ученика в результатах деятельности;

• развивать познавательную активность, навыки индивидуальной и самостоятельной работы

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашней работы .СР по текстам . аналогичным ДР

3. Устная работа.

Решите систему уравнений:

а) б)

4. Актуализация опорных знаний

5. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже умеют применять системы линейных уравнений для решения текстовых задач. Поэтому главным при изучении данного материала будет обобщение и систематизация их знаний о решении таких задач, а также закрепление методов решения систем уравнений второй степени.

Для демонстрации принципа решения задач с помощью систем уравнений второй степени достаточно привести пример из учебника.

V1. Формирование умений и навыков. Цель: На этом уроке главное, чтобы учащиеся усвоили схему решения задач с помощью систем уравнений второй степени. Необходимо дать им под запись примерный план, согласно которому можно осуществлять решение таких задач. На первых порах необходимо, чтобы учащиеся вслух комментировали решение задач согласно записанному плану

1. Прочитать условие задачи и понять его.

2. Указать объекты, о которых идет речь в задаче.

3. Одну из величин обозначить за х, а другую – за у.

4. Составить систему уравнений по условию задачи.

5. Решить эту систему уравнений.

6. Интерпретировать полученные результаты.

.

Упражнения:1. № 455, № 457.2. № 460.

Р е ш е н и е

1) В условии речь идет о прямоугольном треугольнике. Требуется найти его площадь.

2) Известна гипотенуза треугольника и его периметр. Для нахождения площади нужно знать его катеты.

3) Обозначим один катет треугольника через х см, а другой – через у см.

4) Зная периметр треугольника, составим уравнение:х + у +37 = 84.

По теореме Пифагора составим второе уравнение:х² + у² = 37².

Получим систему уравнений:

5) Решим эту систему уравнений способом подстановки:

47² – 94у + у² + у² – 37² = 0;2у² – 94у + (47 – 37) (47 + 37) = 0;2у² – 94у + 10 · 84 = 0;у² – 47у + 420 = 0;

у₁ = 35 х₁ = 12;у₂ = 12 х₂ = 35.6) Получаем, что катеты треугольника равны 12 см и 35 см. Найдем его площадь:S = · 12 · 35 = 210 (см²). О т в е т: 210 см².

3. № 463. При решении этой задачи учащимся поможет рисунок, сделанный согласно ее условию.

S = 30 см²

2S₁ + 2S₂ = 122 см²

Пусть стороны прямоугольника равны х см и у см. Учитывая, что его площадь равна 30 см², получим уравнение: ху = 30.S₁ = х² см², S₂ = у² см².Получим уравнение 2х² + 2у² = 122 или х² + у² = 61.

Составим систему уравнений:

Находим ее решения: (–6; –5), (6; 5), (–5; –6), (5; 6).

Первое и третье решения не подходят по условию задачи. Значит, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см. О т в е т: 5 и 6 см.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие существуют способы решения систем уравнений второй степени?

– В чем заключается каждый из этих способов?

– Опишите план решения текстовой задачи с помощью системы уравнений.

Домашнее задание: № 456, № 458, № 459.

9 класс Урок №___________________________________________________Решение задач с помощью
систем уравнений второй степени

Цели урока формировать умение решать задачи на движение с помощью систем уравнений второй степени рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи: Развитие монологической речи учащихся, логического мышления;Воспитание интереса к математике.

Задачи урока. рассмотреть, как могут решаться текстовые задачи с помощью систем уравнений второй степени; формировать умение решать такие задачи:обобщить и систематизировать знания учащихся о способах решения систем уравнений второй степени. ;создать условия для самооценки своих возможностей, атмосферу заинтересованности каждого ученика в результатах деятельности;развивать познавательную активность, навыки индивидуальной и самостоятельной работы

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Ход урока

6. Организационный момент.

7. Проверка домашней работы

Устная работа. Периметр прямоугольника равен 20 см, а его площадь равна 21 см². Пусть х и у – стороны этого прямоугольника. Какая из систем соответствует условию задачи?

а) б) в)

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

1. Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 2080 м² обнесен изгородью, длина которой равна 184 м. Найдите длину и ширину участка.

В а р и а н т 2

1. Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа.

2. Прямоугольный участок земли площадью 3250 м² обнесен изгородью, длина которой равна 230 м. Найдите длину и ширину участка.

IV. Формирование умений и навыков. Сначала необходимо актуализировать знания учащихся о решении задач на движение, выделив р я д э т а п о в.

1) Анализ условия:

– Какие объекты рассматриваются в задаче?

– Какое движение описано в задаче (однонаправленное, движение навстречу, по кругу и т. д.)?

– Значения каких величин известны?

2) Выделение процессов, которые описаны в задаче.

3) Выбор неизвестных величин и заполнение таблицы.

4) Составление системы уравнений.

5) Решение системы уравнений.

6) Интерпретация и проверка полученного решения.

Как реализуются описанные этапы, можно разобрать на примере задачи № 472.

Р е ш е н и е

1) В задаче описано движение двух пешеходов навстречу друг другу. Известно расстояние между пунктами и расстояние, которое прошли пешеходы за 4 часа.

2) Выделим два процесса:

– реальное движение пешеходов;

– движение при условии выхода одного из пешеходов на 1 ч раньше.

3) Пусть х км/ч – скорость первого пешехода и у км/ч – скорость второго пешехода.

Заполним две таблицы:

4) Известно, что расстояние от А до В равно 40 км, поэтому получим уравнение: 4х + 4у = 36. Известно, что при движении с заданным условием первый пешеход был в пути на 1 ч дольше, то есть получим уравнение: = 1. Составим систему уравнений:

5) Решим ее способом подстановки:

20у – 20 (9 – у) – у (9 – у) = 0; 20у – 180 + 20у – 9у + у² = 0; у² + 31у – 180 = 0; у₁ = 5 х₁ = 9 – 5 = 4;

у₂ = – 36 (не подходит по смыслу задачи).

6) Получаем скорости пешеходов: 4 км/ч и 5 км/ч. О т в е т: 4 и 5 км/ч.

Упражнения: 1. № 473, № 547.(индивидуальные задания)

2. № 461. (коллективное решение)

Р е ш е н и е

Пусть х км/ч – скорость первого отряда и у км/ч – скорость второго отряда.

Заполним таблицу:

Известно, что первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. Получим уравнение:

4х – 4у = 4,8. На рисунке ОА = 4х и ОВ = 4у. По теореме Пифагора, получим уравнение:

(4х)² + (4у)² = 24². Составим систему уравнений:

Решая систему способом подстановки, находим, что х = 4,8 и у = 3,6 (другое решение является отрицательным). О т в е т: 4,8 и 3,6 км/ч.

Сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать выполнить № 548.

Р е ш е н и е

Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, а у км/ч – скорость второго.

В первую таблицу занесем данные о прохождении каждым автомобилем всего пути, а во вторую – об их движении после встречи.

Поскольку после встречи первый автомобиль приходит в N через 1,25 ч, а второй в М через 0,8 ч, то первый на весь путь тратит на 1,25 – 0,8 = 0,45 ч больше. Получим уравнение:

= 0,45. После встречи первый автомобиль проходит 1,25х км, а второй – 0,8у км. Получим уравнение: 1,25х + 0,8у = 90.

Составим систему:

Решая эту систему, находим, что х = 40 и у = 50.

О т в е т: 40 км/ч и 50 км/ч.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Опишите различные способы решения систем уравнений второй степени.

– Перечислите этапы решения задач на движение.

– Какие виды движения могут описываться в задаче?

– В чем заключается интерпретация полученного решения?

Домашнее задание: № 462, № 474. Д о п о л н и т е л ь н о: № 549.

План-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Тема: Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.

План урока.

1. Обобщение теоретического материала по теме «Способы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными». Проверка домашнего задания.

2. Изучение нового материала по теме «Применение систем уравнений второй степени при решении задач».

3. Исследовательская работа в группах.

4. Представление аналитического  решения поставленных задач.

5. Анализ результатов и выводы.

Цели урока:

•  познакомить учащихся с применением систем уравнений второй степени  при решении задач; обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения систем уравнений при решении задач; формирование умения переносить знания  в новую ситуацию;
• развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;
• формирование умения  работать в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, друзья! Этот урок алгебры у Вас проведу я. Меня зовут Владимир Владимирович Тюпин. Я учитель математики гимназии №19. (Слайд 1)

Не летите передо мной – я могу и не последовать,

Не летите позади меня – я могу Вас не повести,

А летите рядом со мной, ощутите радость полёта.

И будьте моими друзьями.

2. Мотивация урока.

Ещё Платон говорил: «Человек, способный к математике, изощрён во всех науках». (Слайд 2)

Как вы понимаете это высказывание?

Таким образом, мы сегодня будем размышлять,  искать простые и красивые решения,  развивать логическое мышление,  правильно и последовательно рассуждать, тренировать память, внимание.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

На предыдущих уроках Вы изучали «Решение систем уравнений второй степени»

Давайте вспомним, что называется решением системы уравнений?	Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство, называется решением системы
Какие способы решения систем уравнений вы знаете?	Графический, подстановки, Сложения

Эти способы решения систем уравнений Вы должны были применить при выполнении домашнего задания.

Давайте откроем рабочие тетради и начнём проверку домашнего задания с №440(а).

Я его тоже решал, и вот что у меня получилось. Всё ли у меня получилось верно? (Слайд 3)

Ошибочное решение:

                                                     

Данная ошибка привела к неверному решению

                                  Ответ:(0;4), (-4;0)                              

Верное решение: (Слайд 4)

                                             

                     

Ответ: (0;-4), (4;0)

Данную систему необходимо было решить и графическим способом(Слайд 5)

А, что Вы скажете о решении №448 (а)? Прав я или нет? (Слайд 6)

Сложим первое и второе уравнение почленно:

                                                                   

 

                                             

                      

Ответ: (-4;-1), (-4;1), (4;-1), (4;1)

Спасибо!

Запишите в тетради сегодняшнее число 12.12.2013.

Сегодня на уроке мы начнем рассматривать  решение задачи, с помощью систем уравнений второй  степени с двумя переменными. (Слайд 7)

Запишите, пожалуйста, её в тетрадях.

При решении задач используются формулы, с которыми Вы уже знакомы. Некоторые из них давайте повторим.

Вам необходимо в кабинете найти  формулу, относящуюся к тому или иному утверждению, прикрепить на магниты её к доске и сформулировать данное утверждение.

Давайте начнём с теоремы Пифагора
Назовите формулы площади и периметра прямоугольника со сторонам a и b.
Путь при равномерном движении со скоростью  за время t
Как найти n% от числа а	Необходимо число а разделить на 100 и умножить на n
Масса вещества через его плотность и объём

Замечательно! Часть этих формул Вы будете использовать при выполнении самостоятельной работы в группах

4. Изучение нового материала.

Дорогие ребята! Область применения математике очень широка. Без неё не обойтись и в естественных науках. Рассмотрим одну из таких задач.

     Задача.

От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

Итак, что спрашивается в данной задачи?    (Читают)

Сколько в этом вопросе неизвестных величин?

Что нам неизвестно в задаче?   (Скорости двух тел)

Как обозначим эти неизвестные величины? (Обозначим за х м/с скорость первого тела, а у м/с скорость второго тела)

Выделите 1 ситуацию в задаче

Давайте поработаем с 1 части задачи и оформим анализ условия в виде таблицы

Ситуация 1

	Первое тело	Второе тело
Скорость	х м/с	у м/с
Время	15 с	15 с
Путь	15х м	15у м

Т.к. тела двигались по катетам прямоугольного треугольника, то расстояние между ними равное 3 м можно выразить через теорему Пифагора

Первое уравнение_________________________

Выделите 2 ситуацию в задаче. И проведем аналогичные рассуждения, оформив их в таблицу 2

Ситуация 2

	Первое тело	Второе тело
Скорость	х м/с	у м/с
Время	6 с	8 с
Путь	6х м	8х м

Т.к. во втором случае они прошли одинаковый путь, то получим

Второе уравнение_________6х=8у________________

Составим пояснительный текст задачи.

Пусть х м/с скорость первого тела, у м/с скорость второго тела. Известно, что за 6 с первое тело проходит такое же расстояние, что второе за 8 с. Составим первое уравнение системы 6х=8у. Двигаясь, по сторонам прямого угла, расстояние между ними через 15 с  стало равно 3 м. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, получим второе уравнение системы:  Составим и решим систему уравнений:

                         

                                                                                   

                                                                        не удовлетворяет

                                                                                     условию задачи

Ответ: 0,16 м/с, 0,12 м/с

 Итак, какие этапы мы можем с Вами выделить при решении задачи на составление системы уравнений?

         

Схема решения задач (Слайд 8)

1. Анализ условия
2. Введение неизвестных
3. Выделения двух ситуаций
4. Установление зависимости между данными задачи и неизвестными
5. Составление уравнений
6. Решение системы уравнений
7. Запись ответа

7. Самостоятельная работа.

А теперь поработаем в группах. На столах у каждой группы в конвертах лежит задание. Каждое задание состоит из двух частей. Вам предстоит решить задачу и в бланк ответа вписать составленную систему, которая позволит решить задачу, а далее необходимо решить данную систему и выбрать правильный вариант ответа предложенный ниже. После чего один представитель от каждой группы должен внести эти результаты в компьютер, тем самым проверить правильность выполнения задания. Каждый учащийся в группе получит отметку, зависящую от того, насколько удачно сработает его группа.

Первая группа:

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y стороны прямоугольника.
2. Выберите правильный вариант ответ  из ниже приведённых.

6 см. и 8 см.            7 см. и 7 см.                  5 см. и 9 см.            4 см. и 10 см.

Вторая группа:

Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа.

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y искомые числа..
2. Выберите правильный вариант ответ  из ниже приведённых.

12 и 7                19 и 12              7 и 2                    21 и 4

Третья группа:

Периметр прямоугольника 26 см, а его площадь . Найдите стороны прямоугольника.

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y стороны прямоугольника.
2. Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

14 см и 3 см        7 см и 6 см               11 см и 2 см               21 см и 2 см

Чётвёртая группа:

Одна из сторон прямоугольника на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 45

1. Составьте систему уравнений для решения задачи, обозначив переменными x и y стороны прямоугольников.
2. Выберите правильный вариант ответа из ниже приведённых.

13 см и 9 см        15 см и 3 см      22,5 см и 2 см        9 см и 5 см

7 Результаты самостоятельной работы

8. Домашнее задание. Подведение итогов урока. (Слайд 9)

 Выучить п.20.      Решить № 458, 461, 466.

 Рефлексия:

Рефлексия.

1. Комфортно ли Вам было сегодня на уроке?

Мне тоже, потому что я старался лететь вместе с Вами!

Давайте вместе с Вами подведём итоги нашего урока.

а) Сегодня на уроке мы повторили…

б) Сегодня на уроке мы изучили…

И в качественного беспристрастного помощника у нас сегодня выступал компьютер.

 

Дорогие друзья, это был первый урок по теме «Решение задач на составление систем квадратных уравнений». На следующих уроках Вы продолжите работу по этой теме.

(Слайд 10)

Я надеюсь, что мы с Вами ощутили радость! Спасибо за урок!