Закон Ампера — Википедия

Зако́н Ампе́ра  — закон взаимодействия электрических токов. Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 для постоянного тока. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Сила оказывается линейно зависимой как от тока, так и от магнитной индукции B{\displaystyle B}. Выражение для силы dF→{\displaystyle d{\vec {F}}}, с которой магнитное поле действует на элемент объёма dV{\displaystyle dV} проводника с током плотности j→{\displaystyle {\vec {j}}}, находящегося в магнитном поле с индукцией B→{\displaystyle {\vec {B}}}, в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

dF→=j→×B→dV.{\displaystyle d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.}

Если ток течёт по тонкому проводнику, то j→dV=Idl→{\displaystyle {\vec {j}}dV=Id{\vec {l}}}, где dl→{\displaystyle d{\vec {l}}} — «элемент длины» проводника — вектор, по модулю равный dl{\displaystyle dl} и совпадающий по направлению с током. Тогда предыдущее равенство можно переписать следующим образом:

Направление силы dF→{\displaystyle d{\vec {F}}} определяется по правилу вычисления векторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила левой руки.

Модуль силы Ампера можно найти по формуле:

dF=IBdlsin⁡α,{\displaystyle dF=IBdl\sin \alpha ,}

где α{\displaystyle \alpha } — угол между вектором магнитной индукции и направлением, вдоль которого течёт ток.

Сила F{\displaystyle F} максимальна, когда проводник с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции (α=90∘,sin⁡α=1{\displaystyle \alpha =90^{\circ },\sin \alpha =1}):

F=BLI{\displaystyle F=BLI}, где L{\displaystyle L} — длина проводника.

Два бесконечных параллельных проводника в вакууме

Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии r{\displaystyle r} друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I1{\displaystyle I_{1}} и I2{\displaystyle I_{2}}. Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.

В соответствии с законом Био — Савара — Лапласа бесконечный проводник с током I1{\displaystyle I_{1}} в точке на расстоянии r{\displaystyle r} создаёт магнитное поле с индукцией

B1(r)=μ04π2I1r,{\displaystyle B_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}},}

где μ0{\displaystyle \mu _{0}} — магнитная постоянная.

Теперь по закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй:

dF→1−2=I2dl→×B→1(r).{\displaystyle d{\vec {F}}_{1-2}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).}

По правилу буравчика, dF→1−2{\displaystyle d{\vec {F}}_{1-2}} направлена в сторону первого проводника (аналогично и для dF→2−1{\displaystyle d{\vec {F}}_{2-1}}, а значит, проводники притягиваются).

Модуль данной силы (r{\displaystyle r} — расстояние между проводниками):

dF1−2=μ04π2I1I2rdl.{\displaystyle dF_{1-2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.}

Интегрируем по участку проводника длины L{\displaystyle L} (пределы интегрирования по l{\displaystyle l} от 0 до L{\displaystyle L}):

F1−2=μ04π2I1I2r⋅L.{\displaystyle F_{1-2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.}

Если L{\displaystyle L} — единичная длина, то это выражение задаёт искомую силу взаимодействия.

Полученная формула используется в СИ для установления численного значения магнитной постоянной μ0{\displaystyle \mu _{0}}. Действительно, ампер, являющийся одной из основных единиц СИ, определяется в ней как «сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 метр один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 метр силу взаимодействия, равную 2⋅10⁻⁷ньютона»^[1].

Таким образом, из полученной формулы и определения ампера следует, что магнитная постоянная μ0{\displaystyle \mu _{0}} равна 4π×10−7{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}} Н/А² или, что то же самое, 4π×10−7{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}} Гн/ м точно.

• Электродинамическая деформация шин (токопроводов) трёхфазного переменного тока на подстанциях при воздействии токов короткого замыкания.
• Раздвигание токопроводов рельсотронов при выстреле.

Любые узлы в электротехнике, где под действием электромагнитного поля происходит движение каких-либо элементов, используют закон Ампера. Принцип работы электромеханических машин (движение части обмотки ротора относительно части обмотки статора) в основан на использовании закона Ампера, и самый широко распространённый и используемый чуть ли не во всех технических конструкциях агрегат — это электродвигатель, либо, что конструктивно почти то же самое — генератор. Именно под действием силы Ампера происходит вращение ротора, поскольку на его обмотку влияет магнитное поле статора, приводя в движение. Любые транспортные средства на электротяге для приведения во вращение валов, на которых находятся колёса, используют силу Ампера (трамваи, электрокары, электропоезда и др).

Также магнитное поле приводит в движение механизмы электрозапоров (электродвери, раздвигающиеся ворота, двери лифта). Другими словами, любые устройства, которые работают на электричестве и имеют движущиеся узлы, основаны на эксплуатации закона Ампера.

Также, он находит применение во многих других видах электротехники, например, в динамическое головке (динамике): в динамике (громкоговорителе) для возбуждения мембраны, которая формирует звуковые колебания используется постоянный магнит, на него под действием электромагнитного поля, создаваемого расположенным рядом проводником с током, действует сила Ампера, которая изменяется в соответствии с нужной звуковой частотой.

Также:

В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед открыл, что провод, по которому идёт ток, создает магнитное поле и заставляет отклоняться стрелку компаса. Он заметил, что магнитное поле перпендикулярно току, а не параллельно ему, как можно было бы ожидать. Ампер, вдохновлённый демонстрацией опыта Эрстеда, обнаружил, что два параллельных проводника, по которым течёт ток, притягиваются или отталкиваются в зависимости от того, в одну ли или разные стороны по ним идёт ток. Таким образом ток не только производит магнитное поле, но магнитное поле действует на ток. Уже через неделю после объявления Эрстедом о своём опыте, Ампер предложил объяснение: проводник действует на магнит, потому что в магните течёт ток по множеству маленьких замкнутых траекторий^[2][3].

Пусть есть два тонких проводника с токами I1{\displaystyle I_{1}} и I2{\displaystyle I_{2}} , заданные кривыми C1{\displaystyle C_{1}} и C2{\displaystyle C_{2}}. Сами кривые могут быть заданы радиус-векторами r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}} и r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}. Найдем силу, действующую непосредственно на токовый элемент одного провода со стороны токового элемента другого провода. По закону Био — Савара — Лапласа токовый элемент I1dr1{\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, находящийся в точке r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, создает в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}} элементарное магнитное поле dB1(r2)=μ04πI1[dr1,r2−r1]|r2−r1|3{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1}[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}. По закону Ампера сила, действующая со стороны поля dB1(r2){\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})} на токовый элемент I2dr2{\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, находящийся в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, равна

d2F12=I2dr2×dB1(r2)=μ0I1I24π[dr2,[dr1,r2−r1]]|r2−r1|3.{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}

Токовый элемент I2dr2{\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, находящийся в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, создает в точке r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}} элементарное магнитное поле

dB2(r1)=μ04πI2[dr2,r1−r2]|r2−r1|3{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2}[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}.

Сила Ампера, действующая со стороны поля dB2(r1){\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})} на токовый элемент I1dr1{\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, находящийся в точке r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, равна

d2F21=I1dr1×dB2(r1)=μ0I1I24π[dr1,[dr2,r1−r2]]|r2−r1|3.{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}

В общем случае для произвольных r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}} и r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}} силы d2F12{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}} и d2F21{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}} даже не коллинеарны, а значит, не подчиняются третьему закону Ньютона: d2F12+d2F21≠0{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0}. Однако ничего страшного в этом нет. Физиками доказано, что постоянный ток может течь только по замкнутому контуру. Поэтому третий закон Ньютона должен действовать только для сил, с которыми взаимодействуют два замкнутых проводника с током. Убедимся, что для двух таких проводников третий закон Ньютона выполняется.

Пусть кривые C1{\displaystyle C_{1}} и C2{\displaystyle C_{2}} являются замкнутыми. Тогда ток I1{\displaystyle I_{1}} создает в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}} магнитное поле

B1(r2)=μ0I14π∮C1⁡[dr1,r2−r1]|r2−r1|3,{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},}

где интегрирование по C1{\displaystyle C_{1}} производится в направлении течения тока I1{\displaystyle I_{1}}. Сила Ампера, действующая со стороны поля B1(r2){\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})} на контур C2{\displaystyle C_{2}} с током I2{\displaystyle I_{2}}, равна

F12=∮C2⁡(I2dr2×B1(r2))=∮C2⁡(I2dr2×μ0I14π∮C1⁡[dr1,r2−r1]|r2−r1|3)=μ0I1I24π∮C2

Закон Ампера — Максвелла — Википедия

Закон Ампера — Максвелла (синоним: обобщенная теорема Ампера о циркуляции) — закон электромагнетизма, исторически завершивший создание замкнутой и непротиворечивой классической электродинамики.

Открыт Максвеллом, обобщившим теорему Ампера о циркуляции магнитного поля на общий случай, включающий переменные несоленоидальные (незамкнутые) токи и меняющиеся во времени поля.

Формулировка этого закона составляет четвёртое уравнение Максвелла:

∮∂S⁡B⋅dl=∫S(j+∂E∂t)⋅dS{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S}{\Big (}\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}{\Big )}\cdot \mathbf {dS} }

Единицы и обозначения

Здесь уравнение записано в интегральной форме в наиболее простом и фундаментальном виде: для вакуума, в рационализированной системе единиц с кулоновской константой 1/(4π){\displaystyle 1/(4\pi )} и скоростью света равной единице. S — любая поверхность, интеграл в правой части — сумма обычного тока (первый член) и тока смещения (второй член), введенного в уравнение Максвеллом. ∂S{\displaystyle \partial S} — край этой поверхности, представляющий собой замкнутую кривую, по которой взят контурный интеграл в левой части — циркуляция магнитного поля (вектора магнитной индукции) В; j — плотность тока, Е — напряженность электрического поля, ∂/∂t{\displaystyle \partial /\partial t} — производная по времени.

• Запись для вакуума и среды в разных системах единиц — см. ниже.

Это же уравнение в дифференциальной форме:

∇×B=j+∂E∂t{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}

(здесь в левой части ротор магнитного поля, ∇{\displaystyle \nabla } — оператор набла, ×{\displaystyle \times } — векторное произведение).

Запись в системе СГС

В обычной гауссовой системе единиц (с кулоновской константой 1, в отличие от единиц, примененных в статье выше) эти уравнения выглядят так:

Для вакуума:

∮∂S⁡B⋅dl=4πc∫Sj⋅dS+1c∫S∂E∂t⋅dS{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} ={\frac {4\pi }{c}}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS} +{\frac {1}{c}}\int \limits _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {dS} }

или

∇×B=4πcj+1c∂E∂t.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}

Для диэлектрической среды:

∮∂S⁡H⋅dl=4πc∫Sj⋅dS+1c∫S∂D∂t⋅dS{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathbf {dl} ={\frac {4\pi }{c}}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS} +{\frac {1}{c}}\int \limits _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \mathbf {dS} }

или

∇×H=4πcj+1c∂D∂t.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.}

Запись в системе СИ

Для вакуума:

∮∂S⁡B⋅dl=μ0∫Sj⋅dS+1c2∫S∂E∂t⋅dS{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\mu _{0}\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS} +{\frac {1}{c^{2}}}\int \limits _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {dS} }

или

∇×B=μ0j+1c2∂E∂t.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}

Для диэлектрической среды:

∮∂S⁡H⋅dl=∫Sj⋅dS+∫S∂D∂t⋅dS{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot \mathbf {dS} }

или

∇×H=j+∂D∂t.{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.}

Обобщение теоремы Ампера о циркуляции потребовало^[1] ввести в формулу Ампера дополнительный член с током смещения.

Теорема Ампера о циркуляции магнитного поля, сводящаяся к формуле

∮∂S⁡B⋅dl=∫Sj⋅dS{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS} }

Единицы и обозначения

Здесь снова записываем уравнение в том же виде, как в начале статьи, то есть для вакуума, в рационализированной системе единиц с кулоновской константой 1/(4π){\displaystyle 1/(4\pi )} и скоростью света равной единице.

S — любая поверхность, интеграл в правой части — электрический ток через эту поверхность. ∂S{\displaystyle \partial S} — граница этой поверхности — замкнутая кривая, по которой взят контурный интеграл в левой части — циркуляция магнитного поля (вектора магнитной индукции) В; j — плотность тока.

верная в рамках магнитостатики (и никак не меняющаяся при добавлении электростатики) достаточно хорошо обоснована эмпирически для статических (а также и для медленно меняющихся со временем) полей. Теоретически она прямо связана с законом Био-Савара (аналогом закона Кулона в магнитостатике) и может быть доказана как теорема исходя из него (так же как и обратно закон Био — Савара может быть получен из основных уравнений магнитостатики — формулы Ампера и закона Гаусса для магнитного поля).

Поэтому при поиске варианта этой формулы для общего случая меняющихся полей и токов, то есть аналогичного закона в электродинамике, можно исходить из хорошо обоснованного постулата, что теорема Ампера верна для постоянных токов и постоянных во времени полей (из чего исторически и исходил Максвелл).

Однако при переходе к общему случаю переменных токов (и меняющихся во времени полей), обнаруживается, что мы не можем пользоваться этой формулой, по крайней мере, не можем пользоваться ею в неизменном виде (а это означает, что формула должна быть как-то исправлена, хотя, по-видимому, общую её структуру хотелось бы сохранить, раз уж она хорошо работает в магнитостатическом случае).

Возникающую проблему (состоящую в том, что формула Ампера становится внутренне противоречивой при попытке использовать её вне магнитостатики) мы опишем несколько по-разному в двух параграфах ниже, так же как и несколько по-разному обоснуем в каждом из них необходимую поправку.

Элементарное обоснование на частном примере[править | править код]

Рассмотрим конкретно представленную на схеме электрическую цепь, содержащую конденсатор^[2].

Например, это может быть простой колебательный контур, как на рисунке (конденсатор обозначен на нём как C, а L — катушка индуктивности). (Нас на самом деле будет интересовать только часть цепи вблизи конденсатора, а остальная часть схемы не важна, то есть вместо L может быть просто провод^[3], а может содержать и какое угодно устройство, способное (автоматически или вручную) изменять ток, текущий в конденсатор, например, это может быть электрическая батарея с выключателем. Будем считать для простоты, что зазор между пластинами конденсатора не содержит способной поляризоваться среды, то есть это вакуум (или, скажем, воздух, поляризуемостью которого можно с хорошей точностью пренебречь).

Иными словами, мы здесь можем ограничиться рассмотрением только вот этой части цепи:

Теперь можно приступить к анализу работы формулы Ампера в этом нашем конкретном примере.

1. Непротиворечивость исходной теоремы в нашем примере для случая постоянного тока:

В случае наложенного условия постоянности тока в цепи, оказывается, что ток через конденсатор просто не может течь. Действительно, если ток, втекающий на пластины конденсатора не меняется со временем, то заряд на пластинах растет до бесконечности, что, очевидно, физически бессмысленно, и такой вариант можно смело исключить из рассмотрения^[4]. Таким образом, теорема Ампера в этом случае очевидно работает, так как нет никаких токов и магнитных полей, т.е. левая и правая часть уравнения

∮∂S⁡B⋅dl=∫Sj⋅dS{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS} }

просто нулевые^[5].

Однако всё коренным образом меняется, когда мы рассматриваем переменные токи (которые, конечно же, возможны в реальности). Эта формула начинает давать противоречивые результаты, если попытаться её использовать.

2. Противоречие исходной формулы в случае переменного тока:

Действительно, выберем конкретную поверхность интегрирования S=S1{\displaystyle S=S_{1}} такой, чтобы она проходила между пластинами конденсатора (то есть на рисунке — почти горизонтальной, чтобы проходить между горизонтальными пластинами, не касаясь их; будем — просто для определенности и удобства — считать, что она почти горизонтальна и за краями пластин конденсатора; можно выбрать её и строго горизонтальной) и выходящей за его края, то есть большей площади, чем пластины. Тогда край этой поверхности ∂S1{\displaystyle \partial S_{1}}, представляющий собой контур для вычисления интеграла (циркуляции B) в левой части, будет некоторой кривой вокруг конденсатора (а если мы выбрали S1{\displaystyle S_{1}} строго горизонтальной, то этот контур будет также лежать в горизонтальной плоскости).

Поверхность S1{\displaystyle S_{1}} нигде не пересекается проводником, через неё нигде не течет ток (j в зазоре конденсатора везде равно нулю, там нет зарядов, способных переносить ток). Значит, правая часть уравнения равна нулю, и, в предположении что само уравнение верно — нулю равна и левая — то есть циркуляция магнитного поля по краю S1{\displaystyle S_{1}}:

∮∂S1⁡B⋅dl=∫S1j⋅dS1=0.{\displaystyle \oint \limits _{\partial S_{1}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S_{1}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS_{1}} =0.}

Обозначим C этот край поверхности S1{\displaystyle S_{1}} (контур интегрирования в левой части уравнения): C=∂S1{\displaystyle C=\partial S_{1}}.

Однако S1{\displaystyle S_{1}} — не единственная поверхность, имеющая такой край. На контур C можно «натянуть» и другую, не совпадающую с

S, поверхность, и даже бесконечно много различных поверхностей (так что край у всех будет совпадать).

Конкретно выберем («натянем» на C) другую поверхность S2{\displaystyle S_{2}} так, чтобы её край совпадал с C, а сама она проходила не через зазор конденсатора, а чуть выше, пересекая провод, подводящий к конденсатору ток (такую поверхность можно получить из S1{\displaystyle S_{1}} несколько выгнув её вверх).

Очевидно, что интеграл в правой части, представляющий собой электрический ток через поверхность S2{\displaystyle S_{2}} не равен нулю:

∮∂S2⁡B⋅dl=∫S2j⋅dS2≠0.{\displaystyle \oint \limits _{\partial S_{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S_{2}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS_{2}} \neq 0.}

Получилось противоречие, т.к. в левой части, вследствие

∂S1=∂S2=C{\displaystyle \partial S_{1}=\partial S_{2}=C}

стоит один и тот же контурный интеграл по контуру C

, а правые части дают разный результат:

∮C⁡B⋅dl=∫S1j⋅dS1=0,{\displaystyle \oint \limits _{C}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S_{1}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS_{1}} =0,}

∮C⁡B⋅dl=∫S2j⋅dS2≠0.{\displaystyle \oint \limits _{C}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S_{2}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS_{2}} \neq 0.}

Следовательно, формула Ампера в своем первоначальном виде в случае переменных токов^[6].

3. Нахождение поправки, устраняющей противоречие:

Уже чисто качественно довольно очевидно, что в зазоре конденсатора (там, где проходит поверхность S1{\displaystyle S_{1}} и где j = 0), есть, наверное, единственное, что могло бы заменить собой j, чтобы интеграл по S1{\displaystyle S_{1}} дал тот же результат, что по S2{\displaystyle S_{2}}, и этим самым устранилось противоречие. Это меняющееся электрическое поле.

Более того, сразу видно, что быстрота изменения напряженности электрического поля ∂E/∂t{\displaystyle \partial E/\partial t} в конденсаторе пропорциональна току, подходящему к этому конденсатору (а этот ток — и есть интеграл по второй поверхности:

I=∫S2j⋅dS2.{\displaystyle I=\int \limits _{S_{2}}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS_{2}} .}

Значит, есть шанс, что проинтегрировав ∂E/∂t{\displaystyle \partial E/\partial t} по поверхности S1{\displaystyle S_{1}} мы получим результат, совпадающий с I (может быть, домножив на какой-то коэффициент).

Теперь осталось выяснить, каким должен быть этот коэффициент и убедиться, что все детали вычислений совпадают.

Для этого выразим теперь поле в конденсаторе количественно: E=σ{\displaystyle E=\sigma } (в выбранных нами здесь единицах измерения^[7]).

Если законно пренебречь краевыми эффектами (считая площадь пластин конденсатора очень большой, а расстояние между ними маленьким)^[8], можем пользоваться формулой для напряженности поля, выписанной выше, по всей площади конденсатора (за исключением самых краев, областями вблизи которых мы пренебрегаем), а направление вектора

E всюду (за тем же исключением) перпендикулярно пластинам (на рисунке — вертикально). Плотность заряда σ{\displaystyle \sigma } (в том же приближении) не зависит от положения (постоянна на подавляющей части пластины).

Исходя из всего этого поток

ΦS1,∂E/∂t=∫S1∂E∂t⋅dS1=∫S1∂E∂tdS1=∫S1∂σ∂tdS1=∂Q∂t=I,{\displaystyle \Phi _{S_{1},\partial \mathbf {E} /\partial t}=\int \limits _{S_{1}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {dS_{1}} =\int \limits _{S_{1}}{\frac {\partial E}{\partial t}}dS_{1}=\int \limits _{S_{1}}{\frac {\partial \sigma }{\partial t}}dS_{1}={\frac {\partial Q}{\partial t}}=I,}

То есть он точно равен I, а значит коэффициент не нужен (он равен единице)^[9].

Итак, имеем для поправочного члена (который мы обосновали для интегрирования по S1{\displaystyle S_{1}}, но который, видимо, должен оставаться таким и для произвольной поверхности интегрирования)

I+=∫S∂E∂t⋅dS{\displaystyle I_{+}=\int \limits _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {dS} },

а сама формула Ампера после добавки этого поправочного члена приобретает вид:

∮∂S⁡B⋅dl=I+I+{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =I+I_{+}}

или

∮∂S⁡B⋅dl=∫Sj⋅dS+∫S∂E∂t⋅dS.{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot \mathbf {dS} .}

(В нашем примере когда мы интегрируем по S1{\displaystyle S_{1}} — «работает» член I+{\displaystyle I_{+}} — на этой поверхности I=0{\displaystyle I=0}, а когда по S2{\displaystyle S_{2}} — «работает» член I{\displaystyle I} — на этой поверхности I+{\displaystyle I_{+}} превращается в ноль^[10]).

Таким образом, мы нашли поправочный член Максвелла к формуле Ампера и показали, что он устраняет противоречивость формулы в нашем простом примере. На самом деле он устраняет противоречивость формулы не только в этом частном случае, а всегда. Доказательство последнего утверждения содержится в следующем параграфе, оно чуть более формальное.

Стандартное общее обоснование[править | править код]

Здесь мы покажем, что поправка к формуле Ампера необходима и что она может иметь вид, предложенный Максвеллом, а также по возможности проследим, как она может быть точно построена из достаточно естественных и конструктивных соображений.

1. Начнем с утверждения о сохранении заряда.^[11]

Сохранение заряда выражается уравнением непрерывности:

∇⋅j+∂ρ∂t=0,{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,}

где j{\displaystyle \mathbf {j} } — плотность тока, ρ{\displaystyle \rho } — плотность заряда, ∇⋅j{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} } — дивергенция плотности токаj{\displaystyle \mathbf {j} }.

2. Проанализируем непротиворечивость формулы Ампера в магнитостатическом случае вот в каком смысле:

В её левой части стоит циркуляция по некоторому контуру, который является краем поверхности интегрирования в правой части. При этом утверждается, что формула верна всегда, то есть для любых поверхностей. Однако две разные поверхности (и вообще сколь угодно много разных поверхностей) могут иметь совпадающий край; иными словами, мы можем натянуть на один и тот же контур две разные поверхности (а если надо, то и больше).

Очевидно, что для двух разных поверхностей, натянутых на один и тот же контур, левая часть уравнения будет одинаковой. В правой же части будет ток (поток j) через две разные поверхности, и если он не окажется одинаковым, то формула Ампера внутренне противоречива уже в магнитостатике. Покажем, что это не так.

В принципе достаточно было бы заметить, что линии тока замкнуты либо уходят на бесконечность. (Это утверждение представляется интуитивно очевидным, если заметить, что токи в магнитостатике по определению постоянны, а заряд сохраняется — и следовательно источников и стоков у плотности тока нет , а значит у линий тока нет начал или концов, и значит все они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность). Тогда в любую замкнутую поверхность (или в пару разных поверхностей, натянутых на один и тот же контур, которая и образует вместе одну замкнутую поверхность) входит столько же линий тока, сколько из неё выходит.

Таким образом, в магнитостатике поле j соленоидально.

Сейчас полезно показать это и исходя из уравнения непрерывности.

В магнитостатике ∂ρ∂t=0,{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0,} поскольку изменение плотности заряда привело бы к изменению порождаемого ею электрического поля, т.е. нарушило бы условие постоянства полей.

Подставив это в уравнение непрерывности, сразу получаем, что для магнитостатики оно имеет вид:

∇⋅j=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =0}

Это и есть условие соленоидальности поля j (так как проинтегрировав дивергенцию j по любому объёму, получим^[12] поток через его поверхность, и он будет равен нулю, так как дивергенция везде ноль.^[13]

3. Теперь заметим, что в случае перехода к общему (электродинамическому) случаю соленоидальность поля j сразу же теряется.

Действительно, теперь, вообще говоря, ∂ρ∂t≠0,{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}\neq 0,} а следовательно и ∇⋅j≠0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} \neq 0.}

Таким образом мы получаем результат, что первоначальная аналитическое выражение закономерности, выведенной Ампером, содержит в правой части формулы только обозначение силы тока, и может принята, но с условием внутренней противоречивости (по причинам, разобранным выше, а именно, если ∇⋅j≠0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} \neq 0}, то найдётся объём, интеграл по которому от такой дивергенции не равен нулю, и следовательно имеется не нулевой ток из этой поверхности^[14], а значит можно найти две поверхности, натянутые на один и тот же контур, через которые течёт ток разных величин, а значит, если первоначальная формула Ампера верна. В этом случае, мы получим два разных взаимоисключающих значения циркуляции по одному и тому же контуру, то есть противоречие. Достаточно условное.

4. Теперь осталось найти исправление, которое устранило бы это противоречие.

Исходя из того, что мы хотим оставить общую структуру формулы Ампера, наиболее естественным путём её исправления было бы попытаться восстановить представление поля как соленоид (в правой части), но поскольку поле j в общем случае представленное в виде соленоида теряет наглядность модели, то естественно — было бы представить, какой более полной модели оно потребует для восстановления соленоидальности (после чего формула станет внутренне непротиворечивой, вероятно, в общем случае).

Заметим также, что эта поправка должна исчезать в случае постоянных во времени полей и постоянных токов.

Поскольку, при доказательстве гипотезы о «соленоидальности» поля j в магнитостатике, при несоленоидальных моделях, в электростатике приходится принимать уравнение непрерывности. Тогда, путём естественной логики может быть выведена мысль попытаться использовать именно его для введения поправок. Ведь в магнитостатическом случае одновременно приобретают нулевое значение оба выражения — и ∇⋅j{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} }, и ∂ρ/∂t{\displaystyle \partial \rho /\partial t}. А для компенсации ненулевого потока, описываемого первой частью в общем случае, естественно было бы использовать вторую, так как их сумма всегда будет равна нулю.

Поищем, как использовать ρ{\displaystyle \rho }.

Из электростатики известно^[15], что^[16]

∇⋅E=ρ.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho .}

Постулируя, что это уравнение верно и в электродинамике, сопоставим его с уравнением непрерывности

∇⋅j+∂ρ∂t=0.{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}

Очевидно, что продифференцировав первое уравнение по времени, мы сразу получим в его правой части интересующий нас член ∂ρ/∂t{\displaystyle \partial \rho /\partial t}:

∇⋅∂E∂t=∂ρ∂t.{\displaystyle \nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}.}

Подставив его в уравнение непрерывности, сразу имеем:

∇⋅j+∇⋅∂E∂t=0{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +\nabla \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0}

и

∇⋅(j+∂E∂t)=0.{\displaystyle \nabla \cdot {\Big (}\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}{\Big )}=0.}

То есть, поле (j+∂E∂t){\displaystyle {\Big (}\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}{\Big )}} — соленоидально.

И значит, если добавить в формуле Ампера к j следующее дополнение ∂E∂t{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}, то эта формула утрачивает, как нам кажется, внутреннюю противоречивость (по крайней мере, при рассмотрении нами якобы имеющихся противоречий в исходной формуле Ампера) и приобретает свойства и форму, очень близкие к свойствам и форме исходной формулы Ампера, для случая магнитостатических сил. А при переходе к магнитостатике, поправка пропадает, то есть, вып

Обсуждение:Закон Ампера — Википедия

ссылка на англ. вики неправильная. идет на Ampère’s circuital law, а должно на Ampère’s force law 192.84.134.230 12:50, 2 мая 2008 (UTC)

Исправил. —gribozavr 21:08, 27 июня 2008 (UTC)

Сила Лоренца есть сила Ампера.[править код]

Для восстановления исторической справедливости, надо бы упомянуть, что сила Лоренца вышла из силы Ампера.

Сила тока равна заряду, проходящему по проводнику со скоростью V I=q∗V{\displaystyle I=q*V}

Ток электронов при увеличении заряда на обкладке конденсатора I=Qt{\displaystyle I={\frac {Q}{t}}} Этот ток путают с током по проводнику для силы Ампера. Когда силу тока пишут как I=qsek{\displaystyle I={\frac {q}{sek}}}

Формула Ампера F→A=I→×H→{\displaystyle {\vec {F}}_{A}={\vec {I}}\times {\vec {H}}}

I→=qV→{\displaystyle {\vec {I}}=q{\vec {V}}}

Отсюда сила Ампера — Лоренца FL=q[V→×H→]{\displaystyle F_{L}=q[{\vec {V}}\times {\vec {H}}]}—Михаил Певунов 16:18, 20 января 2016 (UTC)

Просьба убрать под кат довольно длинный кусок текста, который я выделил такими скобками {{{текст}}}, а то у меня не получаетсяClothclub 04:39, 6 января 2016 (UTC)

• А зачем вообще нужны эти выкладки? Википедия это не справочник и не учебник. Доказательства там совершено не нужны. Но главное, что википедия пишется по авторитетным источникам. В двух новых разделах нет ни одной ссылки. Нужны ссылки на источники. Пока это похоже на ВП:Оригинальное исследование. Alexei Kopylov 07:23, 6 января 2016 (UTC)
  • Очень рад, что вы спросили. Во-первых, ссылка все-таки есть — на книгу Максвелла «Treatise on Electricity and Magnetism». Но вы правы: почти весь раздел «Закон Грассмана» я переписал из английской Википедии. Правда, та вещь, которую я доказал, там не доказывается, и это доказательство мне не удалось найти ни в одном источнике. Поэтому я его придумал самостоятельно и решил записать. Но я считаю, в случае очевидных вещей ссылки на авторитетные источники не нужны. Вам ведь не нужен авторитет, чтобы понять, что 2×2=4? Это тот же случай, просто немного более сложный и менее очевидный. Я же постарался сделать его более очевидным. Лично мне таких доказательств в Википедии никогда не хватало, и я надеюсь, что не только мне. Да, и я был бы рад, если бы кто-то озадачился и добавил эти ссылки, если он о них знает, исправил бы мои ошибки, если они есть, и т.д., а не просто бы все откатил назад. Потому что русская Википедия по сравнению с английской похожа на счастливое неведение.Clothclub 14:11, 6 января 2016 (UTC)

• Википедия — это не учебник, поэтому не удивительно, что вам не хватает доказательств в Википедии — вы видимо пытаетесь использовать ее как учебник. Доказательства в Википедии могут быть только, если они имеют самостоятельную значимость. То что вы не нашли доказательства, только ставить под сомнения их значимость. С другой стороны, есть Викиучебник в котором такие доказательства вполне уместны. Советую перенести ваши доказательства туда, а тут поставить на них ссылку при помощи Шаблон:Викиучебник. Alexei Kopylov 17:47, 6 января 2016 (UTC)

Во-вторых информация в википедии должна быть проверяемой. Поэтому 2×2=4 можно писать без указание источника, но самостоятельно придумывать доказательства более сложных вещей — это уже типичный ВП:ОРИСС. Ваши доказательства я, например, не в состоянии проверить. Например, мне не ясно зачем интегрировать в док-ве 3-ого закона Ньютона, разве это не следует из выполнения 3-го закона для силы Лоренца? Alexei Kopylov 17:47, 6 января 2016 (UTC)

Ваше добавления про Грассмана и оригинальный закон Ампера — очень полезно. Только всё равно надо добавить источники, иначе это не ВП:ПРОВ. Alexei Kopylov 17:47, 6 января 2016 (UTC)

Alexei Kopylov, а что такое самостоятельная значимость? Я это не очень понимаю. Мне, например, это доказательство было нужно, а найти его я нигде не смог, хотя искал везде. Но я согласен: Википедия — не мой личный сайт, и вы можете поступить по правилам, если считаете, что я их нарушаю. Только перенесите, пожалуйста, доказательства сами, а то я не очень разбираюсь во всем этом.

Ну, например, про разные доказательства теоремы Пифагора есть литература. Так что эти доказательства значимы даже без привязки к самой теореме. Доказательства самого Ампера или Максвела тоже могли быть значимы. Alexei Kopylov 01:44, 9 января 2016 (UTC)

Да, и еще: Википедия, может, не учебник, но какой-то смысл в ней есть, все-таки? Какой именно? Мне кажется, я правильно уловил ее дух. Вот вы говорите, например, «разве это не следует из выполнения 3-го закона для силы Лоренца?» — вообще-то не следует. Потому что 3-й закон не выполняется для силы Лоренца. И об этом здесь не было сказано ни слова. А между тем, как раз на тех вещах, на которых теория трещит по швам, нужно сосредотачивать особое внимание (если вас, конечно, интересует истина, а не теоретические построения). В интернете не утихают споры на эту тему, и я подумал, почему бы не написать об этом здесь, чтобы любой человек с незатуманенным умом мог придти и сам во всем разобраться, провести самостоятельно все доказательства и найти истину прежде всего для самого себя. Третий закон Ньютона нарушается, когда заряды летят так, как показано здесь (http://forum.lebedev.ru/viewtopic.php?f=26&t=3706&sid=72bcdbae6a6d2dbc58203f992572d32b&start=60). Кто-то когда-то давал мне ссылку на страницу в книге Фейнмана, где он вроде бы разбирает этот эксперимент. Я скачал ту книгу, но на той странице не было объяснений. Сейчас у меня нет той книги, так что я не могу, к сожалению, ничего предоставить в подтверждение своих слов, кроме расчетов.Clothclub 20:11, 6 января 2016 (UTC)

А что тут сложного? Кликайте сюда и копируйте свой текст в окошко. Впрочем я не знаю правил этого проекта.

Так вы знаете или не знаете? Может, сначала выясните, прежде чем советы давать?Clothclub 02:24, 9 января 2016 (UTC)

Про то, что 3-й закон Ньютона не выполняется для силы Лоренца, но выполняется для силы Ампера, можно написать, но только по источникам.

Ради бога. Загляните в соседнюю статью «Сила Лоренца», где написано буквально следующее «Для силы Лоренца, так же как и для сил инерции, третий закон Ньютона не выполняется.» Доказательство, что для силы Ампера он выполняется, можно найти здесь: на этот сайт ссылается английская Википедия.Clothclub 02:24, 9 января 2016 (UTC)

А откуда вы взяли, что «Закон взаимодействия двух элементарных электрических токов, известный как закон Ампера, на самом деле был позднее предложен Грассманом» и формулировку оригинального закон Ампера? Если вы укажите источник, то это надо оставить. Всё остальное, к сожалению, прийдется убрать. — Alexei Kopylov 01:44, 9 января 2016 (UTC)

Я вижу, вы не ходили по предложенной ссылке. Учебник Матвеева А.Н. «Электричество и магнетизм.» 2005г., стр.71: «Используемая в настоящее время формула для взаимодействия элементов тока была получена в 1844 г.Грассманом ( 1809-1877) и имеет в современных обозначениях вид dF12= (m0/4*pi)*(1/r12^3)*( [I2*dl2, [I1*dl1,r12]])». Формулировка оригинального закона Ампера находится в английской Википедии. Она же может быть получена из формулы Максвелла, если подставить k=-1, о чем тоже сказано в английской википедии. Формула Максвелла есть в книге Treatise on Electricity and Magnetism.Clothclub 02:24, 9 января 2016 (UTC)

Понятно. А зачем тогда доказывать, что 3-й закон Ньютона выполняется для силы Ампера в формулировке Грассмана, и то, что оригинальный закон Ампера эквивалентен закону Грассмана? Разве первое не следует сразу из второго? —Alexei Kopylov 01:31, 27 января 2016 (UTC)

Вы правы, вроде бы следует. Однако в доказательстве эквивалентности я опирался на выводы, полученные в доказательстве 3-го закона Ньютона. После фразы «В таком случае для силы F12 можно записать:» следует формула, к которой в доказательстве эквивалентности фактически я свел оригинальный закон Ампера в интегральной форме, доказав, что второй интеграл (P) равен нулю. Кроме того, как я уже говорил, доказательство выполнения 3-го закона Ньютона я позаимствовал в одном английском источнике — на мой взгляд, оно может иметь и самостоятельную ценность (если говорить вашим языком). И оно более простое, чем доказательство эквивалентности. Но самое главное даже не в этом. Если вы посмотрите внимательно на формулу Максвелла в дифференциальной форме (в которой присутствует параметр k), вы заметите, что 3-й закон Ньютона для нее выполняется вообще всегда, при любом k. Поэтому непонятно, каким образом Грассман мог получить свою формулу, в которой 3-й закон в дифференциальной форме не выполняется. Точнее, это понятно: он зачем-то выбросил ту часть формулы, которая при интегрировании дает ноль. Но вот правомочность этого действия для меня сомнительна. И я все жду, что придет человек, который обратит на это внимание и допишет, как же там на самом деле все исторически сложилось, почему Грассман так поступил. И кроме того, лично мне было бы интересно, если бы кто-нибудь написал о роли Лапласа в выводе закона Ампера (имеется в виду закон Био-Савара-Лапласа), потому что история каким-то образом обо всём этом умалчивает. Я это к тому веду, что, на мой взгляд, не нужно выкидывать те части, которые вроде бы кажутся лишними. Они не лишние, поскольку позволяют посмотреть на все с разных сторон. Но, конечно, это не мне решать.Clothclub 15:22, 27 января 2016 (UTC)

А разве закон Грассмана не есть закон Максвелла при к=1? Alexei Kopylov 19:06, 27 января 2016 (UTC)

Да, почти. Просто прочтите написанное в статье — уверен, что вы разберетесь. Ко мне претензии маленькие: в данном случае я просто перевел английскую вики. Грассман действительно взял k=1, но еще и потерял часть формулы. Об этом в английской вики не сказано, но это очевидно (после того, как я все расписал).Clothclub 20:16, 27 января 2016 (UTC)

Не помню, я уже просил ссылку на английский источник из которого вы взяли доказательство? Alexei Kopylov 19:10, 27 января 2016 (UTC)

В любом случае, я ее уже приводил. Вот онаClothclub 20:16, 27 января 2016 (UTC)

Диаметр БАКа рассчитывался для протона по этому уравнению.

q[V×H]=mpV2R{\displaystyle q[V\times H]=m_{p}{\frac {V^{2}}{R}}}

Слева центростремительная сила Лоренца, справа центробежная сила инерции.

Говорить о не выполнения третьего закона для сил инерции и Лоренца, мягко говоря, нельзя.—Михаил Певунов 17:31, 21 января 2016 (UTC)

Михаил Певунов, каким образом у вас получилось приравнять вектор к скаляру? Так, как вы пишете, писать нельзя. И потом, почему «говорить о не выполнения третьего закона для сил инерции и Лоренца, мягко говоря, нельзя»? В частном случае он вполне может выполняться, а вот в общем — нет. Чтобы доказать последнее, достаточно единственного примера. Этот пример — заряды движутся перпендикулярно друг другу. Выше я приводил ссылку на схему.Clothclub 02:18, 22 января 2016 (UTC)

1.Если вы ознакомитесь с учебником физики, то узнаете, что работа, это скаляр, равна произведению вектора силы, на вектор перемещения. A=F→×S→{\displaystyle A={\vec {F}}\times {\vec {S}}}

 Вы путаете понятие скалярной величины с модулем векторного произведения.

2. Если заряды движутся перпендикулярно друг другу, то сила Лоренца равна нулю, по определению.

3. Не вижу смысла обсуждать с вами проблемы физики. Ваши тексты сохранены по недосмотру редакции.—Михаил Певунов 14:04, 24 января 2016 (UTC)

Михаил Певунов, вы еще и векторное произведение от скалярного не отличаете. Думаю, с учебником физики в первую очередь не мешало бы ознакомиться именно вам. Лучше пишите поменьше, чтобы не сбивать людей с толку.Clothclub 14:49, 24 января 2016 (UTC)

Статья нуждается в упрощении[править код]

Рисунок нуждается в корректировке. Круги могут ввести в заблуждение. Не понятно почему вектор Н перпендикулярен силовым линиям магнитного поля.

Надо обозначить окружность с радиусом R c центром в точке 1 и показать ее как Н₁ на всей окружности. Тогда в точке 2 ,будет начало вектора Н₁

Показать окружность с центром в точке 2, тогда в точке 1 будет начало вектора Н₂

H→2=moI22piR{\displaystyle {\vec {H}}_{2}=m_{o}{\frac {I_{2}}{2piR}}}

Тогда перемножением векторов получаем

F1−2=I→1×H→2=moI22piR×I1=moI2I12piR{\displaystyle F_{1-2}={\vec {I}}_{1}\times {\vec {H}}_{2}=m_{o}{\frac {I_{2}}{2piR}}\times I_{1}=m_{o}{\frac {I_{2}I_{1}}{2piR}}}

Михаил Певунов, к чему этот пустой трёп? Если вы считаете, что рисунок должен быть улучшен — хотя бы предложите свой вариант. Я не вижу, чтобы вы предложили какой-нибудь рисунок. Более того, хоть рисунок рисовал и не я, но мне он кажется удачным и лично меня вполне устраивает. Я даже думаю, если вы попытаетесь нарисовать то, о чем вы говорите, вы поймете, что ошибаетесь. Потому что вы опять начинаете приравнивать вектор к скаляру. Эта ошибка у вас и во всех нижеследующих формулах.Clothclub 02:18, 22 января 2016 (UTC)

Почему статья начинается с уравнения dF=j→×B→dV{\displaystyle dF={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV}

Диаметр проводника у Ампера не был переменным, переменными были ток и радиус.

Автор хотел образованность свою показать, вот и показал нелепое.

Лучше бы он показал два дифференциальных уравнения.

1.dF=H→2×I→1dI{\displaystyle 1.dF={\vec {H}}_{2}\times {\vec {I}}_{1}dI}

2.dF=I→1×H→2dH{\displaystyle 2.dF={\vec {I}}_{1}\times {\vec {H}}_{2}dH}

Оба уравнения имеют одинаковое решение. Это значит, что для силы Ампера третий закон соблюдается. .—Михаил Певунов 00:29, 20 января 2016 (UTC)

И что тут то делают всякие форумные неучи. V→2=V2{\displaystyle {\vec {V}}^{2}=V^{2}} Произведение векторов может дать вектор, а может и скаляр, тогда определяется только модуль, без направления.

Понял?

Да?

—Михаил Певунов 17:58, 24 января 2016 (UTC)

Прошу редакцию посмотреть правильные рисунки по теме.[править код]

Щелкнуть по ссылке. Нужные кадры два первых. Когда запустится первый, щелкнуть по нему, он остановится.Затем хапустить и щелкнуть по аторому. Остальные кадры на хвост сели. Так работает Ютуб слайдов. https://you.be/71qKy0AV2xk

youtu в черном списке. Вставьте в ссылку после you буковки tu и просмотрите на любом форумном редакторе. —Михаил Певунов 15:32, 24 января 2016 (UTC)

• Он не зря в чёрном списке. По вопросам физики (и по многим другим вопросам) youtube не считается в Википедии авторитетным источником, поэтому приводить ссылки на него не нужно. Лучше всего привести ссылки на публикацию в рецензируемом журнале или учебник. — stannic^{(обс)(вкл)(выкл)} 18:13, 24 января 2016 (UTC)

Отвечать в данной теме должен чел, имеющий физико-математическое образование. Я предлагаю посмотреть, как улучшить рисунок, а вы предлагаете мне сначала опубликовать его в платном журнале.

Я пишу, что решение уравнения вашего АИ dF=i→B→dV{\displaystyle dF={\vec {i}}{\vec {B}}dV} дает размерность I*B*метр, потому как размерность плотности тока метр^-2, а объем метр³, но вы не понимаете абсурдность этой размерности.—Михаил Певунов 10:59, 25 января 2016 (UTC)

Узнали бы Ампер, Био и Савар свои законы в данной статье.[править код]

В их времена никаких векторов не было. Они собирали свои установки, наблюдали, замеряли и обнаружив закономерности, обнародовали свои законы.

Ампер замерял силовое взаимодействие двух двух параллельных прямых проводников при различных параметрах постоянного тока и на различных расстояниях между ними. Вопрос о направлении токов перед ним не стоял.

То, что силы взаимодействия направлены по кратчайшей прямой, перпендикулярно проводникам, для него было очевидным.

Также очевидным для него было, что силовое взаимодействие проводников, как и гравитационное взаимодействие, подчиняется третьему закону Ньютона. Иначе это будет не взаимодействие, что он и показал в своем законе F1.2=kI1I22piR=−F2.1=−kI2I12piR{\displaystyle F_{1.2}=k{\frac {I_{1}I_{2}}{2piR}}=-F_{2.1}=-k{\frac {I_{2}I_{1}}{2piR}}}

Ампер практически замерил силу силу взаимодействия бесконечных проводников на симметричных отрезках длиной Δ=1m{\displaystyle \Delta =1m} на расстоянии R = 1 метр при силе тока 1 ампер. Которая по современным данным равна 2*10^-7 ньютон

Тогда его формула приобретает вид 2*10^-7 = 2∗10−7k1∗12pi{\displaystyle 2*10^{-7}k{\frac {1*1}{2pi}}}

Отсюда магнитная постоянная k=m0=2pi∗2∗10−7=4pi∗10−7{\displaystyle k=m_{0}=2pi*2*10^{-7}=4pi*10^{-7}} Это известное выражение, но не известно откуда оно взялось. Непонятно зачем в статье формула https://upload.wikimedia.org/math/e/c/2/ec267329d3cda88fe6bca032e7b716e2.png Зачем в знаменатель и числитель умножен на 2.

Чуть раньше Био с Саваром установили, сила напряженности магнитного поля Н расстоянии R направлена перпендикулярно радиусу и и пропорциональна moI12piR=h2{\displaystyle m_{o}{\frac {I_{1}}{2piR}}=H_{1}}

А так как, эта сила должна быть пропорциональна току I2=qV→{\displaystyle I_{2}=q{\vec {V}}} то формула силы Ампера записывалась F=q∗V∗H.{\displaystyle F=q*V*H.}

И н потому что так им хотелось, а потому что такое замерялось.

То, что я тут изложил, не моя самодеятельность, а взято из учебников, но в доступном для понимания школьниками. Данная статья доступна для людей уже владеющих физикой и математикой.

А оно им надо.

Непонятно, зачем в силу Ампера вводить плотность тока i→=I→S{\displaystyle {\vec {i}}={\frac {\vec {I}}{S}}} c размерностью ампер/метр², но тогда следует писать

dF→=i→∗S∗H→dL=I→H→dL{\displaystyle d{\vec {F}}={\vec {i}}*S*{\vec {H}}dL={\vec {I}}{\vec {H}}dL}

Уровень изложения во введении совершенно неадекватен. Весьма простое выражение для практического случая перпендикулярных проводника и силовых линий магнитного поля F=BLI, где L — длина, тщательно замаскировано значками векторов, дифференциальных форм, и т.д., и т.п. —Викидим (обс.) 22:02, 24 ноября 2018 (UTC)

Третий закон Ньютона и Грассман[править код]

Формулы-баяны, выписанные с целью доказать очевидное: третий закон Ньютона соблюдается. В этом кто-то из учёных сомневался? Если нет, то откуда формулы? —Викидим (обс.) 22:27, 2 декабря 2018 (UTC)

Например, Сивухин в третьем томе своего курса физики пишет, что «В общем случае силы магнитного взаимодействия [двух движущихся точечных зарядов] не удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия». И добавляет «для взаимодействий, осуществляющихся посредством полей, соблюдение принципа равенства действия и противодействия не обязательно». О том же пишет и Матвеев в своей книге «Механика и теория относительности». —VladVD (обс.) 09:16, 3 декабря 2018 (UTC)

Спасибо! У них разве есть эти многомерные интегралы? —Викидим (обс.) 10:33, 3 декабря 2018 (UTC)

Коли уж здесь появился специалист, как этот Грассман сумел сформулировать закон Ампера и где это описано? —Викидим (обс.) 10:38, 3 декабря 2018 (UTC)

• Доказательство того, что механическое взаимодействие замкнутых токов удовлетворяет принципу равенства действия и противодействия, имеется в книге Тамма «Основы теории электричества». На первый взгляд, это доказательство покороче, чем представленное в статье. Однако и оно содержит двойные интегралы по контурам. К тому же думаю, что после дополнения его необходимыми подробностями оно станет не менее громоздким, чем то, что содержится в статье.
• О законе Грассмана никогда ничего не слышал. Об этом законе нет ничего и в статье о Грассмане в английской ВП. —VladVD (обс.) 13:42, 3 декабря 2018 (UTC)

• Вроде бы решение очевидно тогда: раздел о третьем законе снабдить ссылкой на Тамма и пояснением, почему это вообще интересно, а раздел о Грассмане просто удалить. —Викидим (обс.) 18:17, 3 декабря 2018 (UTC)
• Мне эта статья не нравится тем, что макроскопически простое по сути (и полезное для общего понимания принципов работы многих машин) явление тщательно замаскировано за нехитрой, но объёмной, математикой, при том, что для деталей у нас уже есть Сила Лоренца. Введение хорошо бы переписать так, чтобы было понятно школьнику. —Викидим (обс.) 18:21, 3 декабря 2018 (UTC)
• Прошлое обсуждение вопроса есть, оказывается, выше в разделе с интригующим названием #Под кат. Похоже, что Грассман заимствован из англовики — но упомяну у Матвеева. Из англовики это уже ушло, а вот у нас осталось. —Викидим (обс.) 21:36, 3 декабря 2018 (UTC)

• Ссылаться на Тамма в разделе о третьем законе было бы нехорошо. У Тамма логика рассуждений и набор формул не такие, как здесь в статье.
• Есть ещё одна проблема. Дело в том, что в одних источниках (например, Сивухин) законом Ампера называют соотношение dF=I[dl,B]{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =I[d\mathbf {l} ,B]}, а в других (например, Физическая энциклопедия) — dF21=μ0I1I24π[dr1,[dr2,r1−r2]]|r2−r1|3{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}. —VladVD (обс.) 15:10, 4 декабря 2018 (UTC)

• По-моему, имеет смысл завести раздел о терминологии, выделив его из введения, тем более что надо разойтись и с силой Лоренца. Там можно разместить соображения о связи с единицами измерения (см. [1], по этой логике первая формула ближе к Лоренцу), соображения о производстве/непроизводстве работы. —Викидим (обс.) 00:20, 5 декабря 2018 (UTC)

43. Сила Ампера. Сила Лоренца

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера.

Сила действия однородного магнитного поля на проводник с током прямо пропорциональна силе тока, длине проводника, модулю вектора индукции магнитного поля, синусу угла между вектором индукции магнитного поля и проводником:

F=B^.I^.ℓ^.sin α — закон Ампера.

Сила, действующая на заряженную движущуюся частицу в магнитном поле, называется силой Лоренца:

Если вектор vчастицы перпендикуляренвектору В,то частица описывает траекторию в виде окружности:

Роль центростремительной силы играет сила Лоренца: 

При этом радиус окружности: ,

Если вектор скорости и частицы не перпендикулярен В, то частица описывает траекторию в виде винтовой линии (спирали).

44. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции для расчета поля прямого тока. Циркуляция вектора магнитной индукции через замкнутый контур=произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром.

∫BdL=μ₀I; I=ΣI_i

I2

I1>0 I2<0

Теорема говорит о том, что магнитное поле не является потенциальным, а является вихревым.

Применение в тетради

45. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца

Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции ε_инд, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус:

Эта формула носит название закона Фарадея.

Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение, сформулированное в 1833 г., называется правилом Ленца.

Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что ε_индивсегда имеют противоположные знаки (знак «минус» в формуле Фарадея). Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.

ε_i=-N, гдеN- кол-во витков

Способ возникновения ЭДС:

1.рамка неподвижна, но изменяется магнитный поток за счёт движения ккатушки или за счет изменения силы тока в ней.

2.рамка перемещается в поле непожвижной катушки.

46. Явление самоиндукции.

Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется явлением самоиндукции.

Магнитный поток, обусловленный собственным током контура (сцепленный с контуром), пропорционален магнитной индукции, которая, в свою очередь, по закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональна току.

, где L –коэффициент самоиндукции или индуктивность, «геометрическая» характеристика проводника, так как зависит от его формы и размеров, а также от магнитных свойств среды.

47. Уравнения Максвелла в интегральной форме. Свойства уравнений Максвелла.

Закон Гаусса Поток электрической индукции через замкнутую поверхность s пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме v, который окружает поверхность s.

Закон Гаусса для магнитного поля Поток магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не существуют).

Закон индукции Фарадея Изменение потока магнитной индукции, проходящего через незамкнутую поверхность, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре, который является границей поверхности.

Теорема о циркуляции магнитного поля

Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность , пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре, который является границей поверхности.

Свойства уравнений Максвелла.

            А. Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полейEиBпо времени и пространственным координатам, а так же первые степени плотности электрических зарядов ρ и токов γ. Свойство линейности уравнений непосредственно связано с принципом суперпозиции.

            Б. Уравнения Максвелла содержат уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда:

                                               ∫pdv=const

            В. Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчёта. Они являются релятивистски-инвариантными, что подтверждается опытными данными.

            Г. О симметрииуравнений Максвелла.

            Уравнения не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет магнитных зарядов. Вместе с тем в нейтральной однородной среде, где ρ = 0 и j=0 ,уравнения Максвелла приобретают симметричный вид, т.е.Eтак связано с(dB/dt) , какBсdE/dt.

                                               

Различие только в знаках перед производными(dB/dt)  и(dD/dt)  показывает, что линии вихревого электрического поля, индуцированного уменьшением поляB, образуют с вектором(dB/dt)   левовинтовую систему, в то время как линии магнитного поля, индуцируемого изменениемD, образуют с вектором (dD/dt)   правовинтовую систему.

           

Д. Об электромагнитных волнах.

            Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Всякое изменение во времени магнитного поля возбуждает поле электрическое, изменение электрического поля, в свою очередь, возбуждает магнитное поле. За счёт непрерывного взаимопревращения они и должны сохранятся. Поля такого рода называются электромагнитными волнами. Выяснилось также, что ток смещения(dD/dt)   играет в этом явлении первостепенную роль.

Формула силы Ампера в физике

Определение и формула силы Ампера

Определение

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, называется силой Ампера. Ее обозначения: . Сила Ампера векторная величина. Ее направление определяет правило левой руки: следует расположить ладонь левой руки так, чтобы силовые линии магнитного поля входили в нее. Вытянутые четыре пальца указывали направление силы тока. В таком случае отогнутый на большой палец укажет направление силы Ампера (рис.1).

Закон Ампера

Элементарная сила Ампера определена законом (или формулой) Ампера:

где I – сила тока, – малый элемент длины проводника – это вектор, равный по модулю длине проводника, направленный в таком же направлении как вектор плотности тока, – индукция магнитного поля, в которое помещен проводник с током.

Иначе эту формулу для силы Ампера записывают как:

где – вектор плотности тока, dV – элемент объема проводника.

Модуль силы Ампера находят в соответствии с выражением:

где – угол между векторами магнитной индукции и направление течения тока. Из выражения (3) очевидно, что сила Ампера максимальна в случае перпендикулярности линий магнитной индукции поля по отношению к проводнику с током.

Силы, действующие на проводники с током в магнитном поле

Из закона Ампера следует, что на проводник с током, равным I, действует сила равная:

где магнитная индукция, рассматриваемая в пределах малого кусочка проводника dl. Интегрирование в формуле (4) проводят по всей длине проводника (l). Из выражения (4) следует, что на замкнутый контур с током I, в однородном магнитном поле действует сила Ампера равная

Сила Ампера, которая действует на элемент (dl) прямого проводника с током I₁, помещённый в магнитное поле, которое создает другой прямой проводник, параллельный первому с током I₂, равна по модулю:

где d – расстояние между проводниками, Гн/м(или Н/А² ) – магнитная постоянная. Проводники с токами одного направления притягиваютс

Сила Ампера. Вывод через силу Лоренца. Электрический ток. Магнитная индукция. Формула

Мы уже ввели логику того, что на движущийся в магнитном поле заряд действует сила. И опять нами была введена эта сила — сила Лоренца. Но сила Лоренца — сила, действующая на единичный заряд (т.е. одинокое тело), а если таких тел много? Например, если в магнитное поле помещён проводник с током. Ток — это упорядоченное движение заряженных частиц, тогда, если поместить проводник с током в магнитное поле, на каждый из зарядов будет действовать сила Лоренца (рис. 1).

Рис. 1. Суммарная сила Лоренца

Если просуммировать все эти силы, мы получим общую силу, действующую на проводник с током. Назовём эту силу — силой Ампера. Ток в проводнике организуется электронами (одинаковыми зарядами), и будем считать, что скорость продольного движения у них всех одинакова. Тогда суммарную силу Лоренца запишем как:

(1)

Вспомним определение силы тока:

(2)

• где
  • — время прохождения заряда.

Подставим (2) в (1):

(3)

Пусть длина проводника — 

, считая, что электроны движутся равномерно, то , тогда:

(4)

Сила (4) и является силой Ампера. Для определения направления силы Ампера пользуются правилом левой руки для силы Ампера: ориентируем левую руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре пальца по току, тогда противопоставленный палец показывает направление силы Ампера.

В ряде задач не лишним будет использование соотношение для момента силы Ампера. Такие задачи чаще всего связаны с контуром (замкнутой кривой), помещённой в магнитное поле. Моментом сил называется произведение силы на плечо силы, тогда:

(5)

Вывод: в задачах сила Ампера вводится в очень ограниченной системе. Проводник с током должен быть помещён в магнитное поле. Только тогда и возникает эта сила (4). Ещё использование сопряжено со втором законом Ньютона и дальнейшими кинематическими характеристиками движения.

Поделиться ссылкой:

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

Формула силы Ампера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сила Ампера – сила, действующая на проводник тока, находящийся в магнитном поле и равная произведению силы тока в проводнике, модуля вектора индукции магнитного поля, длины проводника и синуса угла между вектором магнитного поля и направлением тока в проводнике.

   

Здесь – сила Ампера, – сила тока в проводнике, – модуль вектора индукции магнитного поля, – длина участка проводника, на который воздействует магнитное поле, – угол между вектором индукции магнитного поля и направления тока.

Единица измерения силы – Н (ньютон).

Сила Ампера — векторная величина. Сила Ампера принимает своё наибольшее значение когда векторы индукции и направления тока перпендикулярны ().

Направление силы ампера определяют по правилу левой руки:

Если вектор магнитной индукции входит в ладонь левой руки и четыре пальца вытянуты в сторону направления вектора движения тока, тогда отогнутый в сторону большой палец показывает направление силы Ампера.

Исторически электрическим током принято считать движение положительного заряда, то есть направление сила тока – от плюса к минусу.

Примеры решения задач по теме «Сила Ампера»

ПРИМЕР 1

Задание	Найти силу Ампера, действующую на прямой проводник длиной 3 м, по которому проходит ток силой 7 А. Вектор магнитной индукции составляет угол с проводником, его абсолютное значение – 2 Тл.
Решение	Электрический ток течёт по проводнику, значит направлен он также, как расположен проводник. Следовательно, угол между вектором магнитной индукции и проводником равен углу между ним и вектором движения тока. Остаётся только подставить значения в формулу:
Ответ	Сила ампера равна 21 ньютон.

ПРИМЕР 2

Задание	На рисунке изображены два параллельно расположенных проводника, указаны направления сил тока и вектора магнитной индукции. В ответе указать, каким образом будет действовать на них сила Ампера (сближать проводники, отталкивать или действовать как-то иначе). Как изменится ситуация, если направить вектор магнитной индукции параллельно проводникам?
Решение	Определим направление силы Ампера по правилу левой руки. Очевидно, если расположить левую руку так, чтобы вектор входил в ладонь, а пальцы направить по линии движения тока в первом случае (вертикально вверх), то отогнутый большой палец будет направлен от наблюдателя. Также будет направлена и сила Ампера. Во втором проводнике ток направлен вертикально вниз, а сила Ампера – на наблюдателя. Оказалось, что под действием силы Ампера первый проводник отталкивается от наблюдателя, а второй притягивается к нему. Пусть вектор сонаправлен движению тока в первом проводнике, тогда   и   При вычислении силы Ампера нас интересуют не сами углы, а их синусы:   и   Сила Ампера в обоих проводниках равна нулю.
Ответ	Если вектор магнитной индукции направлен так, как показано на рисунке, то сила Ампера в первом проводнике будут направлена на наблюдателя, во втором – от него. Если вектор магнитной индукции направить параллельно проводникам, то сила Ампера возникать не будет.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!