Зависимость функции от графика производной функции

Основания равнобедренной трапеции равны 23 и 27 косинус острого угла трапеции равен 1/6 найдите боковую сторону. Попроси больше объяснений. АВСД равнобедренная трапеция, значит можно провести высоты из вершин В и С, у нас получаются высоты соответственно ВН и СЕ. НЕ=ВС=23. т.к.

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается.

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции. Возьмем на нем точку с абсциссой. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции. Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке, образует острый угол ; с положительным направлением оси. Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол ; с положительным направлением оси. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и мен

poiskvstavropole.ru

Методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме: Использование графика производной для исследования функции

Тест 7

Исследование функции по графику ее производной

   

 В1. Функции  у=f(x) задана на отрезке  [a;b].                              у

    На рисунке изображен график ее производной

    у=f ´(x). Исследуйте на экстремумы                                             1                          b

   функцию у=f(x). В ответе укажите количество      a                    0   1                       х

   точек  минимума.

   

 В2. Функции  у=f(x) задана на отрезке  [a;b].                             

    На рисунке изображен график ее производной                            у

    у=f ´(x). Исследуйте функцию у=f(x)  на                                                                                                                                 

    монотонность и в ответе укажите длину                                       1             

    промежутка убывания.                                              а                       0    1            b         х     

   

В3. Функции  у=f(x) определена на промежутке                           у

    (-7; 8). На рисунке изображен график ее

    производной у=f ´(x). Найдите промежутки               -7                     1                           8     

    невозрастания функции  у=f(x). В ответе                                       0   1                       х

    укажите наибольшую из длин этих промежутков.                        

 

   

В4. Функции  у=f(x) определена на промежутке                             у

    (а; b). Ее производной является функция у=f ´(x),

    а на рисунке изображен график функции                   a                       1                       b

    у=f ´(x)+2. Укажите число точек максимума                                       0   1                       x         

    функции  у=f(x) на промежутке (а; b).

В5. Функции  у=f(x) определена на промежутке

    (а; b). На рисунке изображен график ее                                           у

    производной. Укажите число точек максимума

    функции   у = f(x) — х    на промежутке (а; b).             a                       1                       b

                                                                                                                      0   1                      х

   

В6. Функции  у=f(x) определена на промежутке

    (а; b). На рисунке изображен график ее                                           у

    производной. Укажите число точек минимума

    функции   у = f(x) — 3х    на промежутке (а; b).                                     1                      

                                                                                            a                        0   1                 b   х

   

В7. Функция  определена

на промежутке (– 3;  7). На рисунке

изображен график ее производной.

Найдите точку      ,  в которой функция  

                 принимает наибольшее значение.

В8. На рисунке изображен график производной  у =f ´(x).                   

      Найдите точку максимума функции  у =f(x).                             

                                                                                                                 

В9. На рисунке изображен график производной  у =f ´(x).                     

      Найдите точку минимума функции  у =f(x).                             

                                                                                                                       

                                                                                                                 

nsportal.ru

Урок по математике «Производная Взаимосвязь функций» (11 класс)

УРОК ОБОБЩЕНИЯ И СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ

Тема урока:

Производная. Взаимосвязь свойств функций и графиков производных

«Ум человеческий только тогда понимает обобщение, когда сам его сделал»

Цель:

Образовательная – обобщение и систематизация знаний по теме «Производная», показать учащимся различные взаимосвязи между графиками функций и свойствами производных, графиками производных функций и свойствами функции; научить ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с этой взаимосвязью.

Развивающая – способствовать развитию познавательного интереса учащихся, умения выделять главное, сравнивать, анализировать.

Воспитательная – содействовать воспитанию чувства ответственности за результат и качество выполняемой работы, умения работать в сотрудничестве в парах и группе, оценивать работу товарища.

Оборудование и материалы для урока:

компьютер, экран (интерактивная доска), презентация для сопровождения урока, листы с заданиями для учащихся, оценочные листы.

Ход урока.

Слайд 1

1. Организационный момент: — 1 мин

Мы изучали тему «Исследование функций с помощью производной»: находили критические точки, производную, определяли свойства и строили график функции. Сегодня мы с вами проведем обобщение темы «Производная»,которая двумя заданиями В8 и В11 представлена в КИМах единого экзамена, вопросы представленные в этих задания очень разнообразны: исследование функции с помощью производной

как через график производной функции определить свойства самой функции.

К сожалению, наш учебник не предлагает нам задания такого типа, как через график производной функции определить свойства самой функции, но они включены в тесты Единого Государственного Экзамена.

Поэтому, нам сегодня необходимо дойти до самой сути взаимосвязи свойств функции и графика её производной. Наша задача — научиться ориентироваться в разнообразии заданий, связанных с графиками функций и их производных.

2. Повторение, актуализация знаний и устный счет. — 10 мин.

Откройте тетради. Запишите число и тему «Производная. Взаимосвязь свойств функций и графиков производных».

Слайд 2

Чтобы ответить на вопрос задачи В11 важно уметь хорошо брать производные

1.Вычислите производные данных функций:

у = х³— 27 х;

у = 2cosx + 4x + 4;

y =17x²-e^7х;

у = 7х³ — 51nх;

у = 2cosx — sin3x + 4,

y = 5tgx-4x + 9. (Примеры записаны на доске)

В этой теме важное место занимает знание тангенса острого угла прямоугольного треугольника

2.Вычислите чему равен :

1.тангенс угла А(Слайд 3);

2.тангенс угла В(Слайд 3);

3.Найдите градусную меру < В(Слайд 3);

4. Найдите градусную меру <А(Слайд 3).

Слайд 4:

А теперь давайте рассмотрим график некоторой функции у = f(х), будем считать, что она определена на всей числовой прямой.

Вспомним, какие свойства функции связаны с её производной?

(возрастание, убывание, экстремумы функции).

Назовите точки экстремума данной функции.

Слайд 4 2 и 5 или х_max=2, x_min=5

Напомните мне необходимое условие существования точек экстремума

если точка х₀ является точкой экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

А как мы определяем характер точек экстремума, точек максимума и минимума

если в точке х₀ функция непрерывна и при переходе через х₀ производная меняет знак с + на – (- на +), то х₀ – точка максимума(минимума) функции.

Определите промежутки:

1.возрастания функции;

на промежутках (-∞;2]; [5;+ ∞) функция возрастает.

2.убывания нашей функции.

на промежутке [2;5] функция убывает.

Слайд 5

А как через производную мы определяем, что функция

1.возрастает на промежутках;

если f ^‘(x)>0 в каждой точке интервала, то функция возрастает на этом интервале.

2.точки экстремума функции;

производная равна нулю или не существует.

3.убывает на промежутках;

если f ^‘(x)<0 в каждой точке интервала, то функция убывает на этом интервале.

(Выводы записать в тетрадь

f ^‘(x)>0, то f (x)

если f ^‘(x)=0, то это точки экстремума

если f ^‘(x)<0 то f (x) )

Итак, давайте ещё раз кратко повторим эти свойства: Быстро и четко отвечаем на вопрос

—если производная больше 0,то…..

функция возрастает

—если производная меньше 0,то…..

функция убывает

—если производная равна нулю или не существует в некоторых точках …

то в этих точках возможны точки экстремума

Слайд 6

—если производная меняет знак при переходе через точку с + на -, то…

то это точка максимума

— если производная меняет знак при переходе через точку с — на +, …

то это точка минимума.

Можно поставить и обратную связь. Закончите мою мысль:

—Если функция возрастает на промежутке, то производная…..

больше 0

—Если функция убывает на промежутке, то производная ……..

меньше 0

—Если функция имеет точку максимума , то ……

в этой точке производная равна нулю или не существует и производная меняет знак с + на -.

—Если функция имеет точку минимума, то.

в этой точке производная равна нулю или не существует и производная меняет знак с – на +.

—А если график функции имеет точку перегиба ,то

в этой точке производная равна нулю или не существует, но производная не поменяла свой знак.

Мы установили цепочку связей:

имея график функции мы можем определить свойства производной функции; имея график производной функции можем определить свойства самой функции.

Начертите схему зависимости функции и производной в тетрадь. (рядом с предыдущим выводом)

F^/(х) + перегиба + мах — мин +

F(х)

III Математический диктант — 15 мин.

Возьмите оценочный лист. Отвечаем на вопросы м/д. Без исправлений. Один вопрос — 1 мин.

Слайды 7-16

1.Функция задана графиком .Укажите область определения этой функции.

2.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.

3.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀.

Найдите значение производной в точке х₀.

4.На рисунке изображен график функции у =f(x).Укажите в какой точке значение производной отрицательно.

5.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-5;5]. Укажите точку, в которой производная равна 0.

6.Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох.

7.На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х₀. Найдите значение производной в точке х₀.

8.Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение.

9.На рисунке изображен график производной функции у =f ^/(x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания.

10.На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-4;5]. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции.

Проверка.- вернуться в начало диктанта и проверить ответами ученика который остался без пары.

А теперь поменяйтесь с соседом по парте листочками.

Слайд 17. Дать критерии оценок.

1 задание -1 бал.

• «5»-9-10б;

• «4»-7-8б;

• «3»-5-6б;

• «2»-4б.

IV..Закрепление. — 17 мин.

Мы с вами еще раз повторили взаимосвязи f(x) f^/(x)

f^/(x) f(x)

График f(x) графикf^/(x)

А теперь подведем итог. Работа идет одновременно – весь класс выполняет работу с тестом, а сильный ребенок у доски строит график функции у = 2+5х³ – 3х⁵;

1.Тест — карточка ( разнообразные задания на все прототипы заданий базы данных). (Приложение 2, вариант №1)

2. Построение графика функции

1. у = 2+5х³ – 3х⁵;

2.На интерактивной доске с помощью программы «Графики» построить график функции и график производной.

3.Показать взаимосвязь графиков функций. Исследовать функции.

VI Итог урока — 1 мин.

Сегодня на уроке мы установили различные взаимосвязи и рассмотрели разнообразные задания, связанные с графиками функций и графиками производных и их свойствами. Эти задания хороши тем, что на их выполнение можно потратить очень мало времени, т.к. они не требуют решений и вычислений: посмотрел на график – оценил – записал ответ. А на Едином Государственном Экзамене это очень важно быстро и правильно отвечать на вопросы.

VI. Домашняя работа- 1 мин..

Дома проверьте, как вы разобрались в взаимосвязях графиков функций и производных. Вам необходимо построить графики производных по графикам функций (задания на карточках) (Приложение 1) и ответить на вопросы теста (Приложение 2, вариант №2).

В качестве дополнительного материала для самостоятельной подготовки к ЕГЭ предлагаю выполнить задания (Приложение 2, варианты № 3-5).

Литература:

1.Колмогоров А.Н. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» — М.: Просвещение, 2009.

2. .Мордкович А.Г. Задачник «Алгебра и начала анализа 10 -11 класс » — М:Мнемозина,2009.

Интернет-ресурсы:

1. www. intergu.ru

Денисов М.И. Программа «ГРАФИКИ-2-2008».

2. www.it-n.ru

Грязева Г.С. Взаимосвязь свойств функции и производной

infourok.ru

Исследование свойств функции по графику функции и по графику производной.

Стр 1 из 5Следующая ⇒

Цель: — научиться исследовать функцию по графику и графику её производной;

— применять полученные знания при решении практических задач.

Теоретический материал

График функции и график производной функции.

На схеме видно как ведет себя график функции и график ее производной. В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает — производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы — красные точки на верхнем графике) — производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика Исследование свойств функции по графику функции и по графику производной.

 

Цель: — научиться исследовать функцию по графику и графику её производной;

— применять полученные знания при решении практических задач.

 

Теоретический материал

 

График функции и график производной функции.

На схеме видно как ведет себя график функции и график ее производной. В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает — производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы — красные точки на верхнем графике) — производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции возрастает, и наоборот точка максимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции убывает.

Примеры решения задач.

Вычисление значения производной. Метод двух точек.

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.

2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x₂ − x₁ и приращение функции Δy = y₂ − y₁.

3. Наконец, находим значение производной Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Задача. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с

абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение: Рассмотрим точки А( -3;2) и В(-1;6) и найдём приращение

Найдём значение

производной . Ответ: 2.

 

 

Вычисление точек максимума и минимума.

Иногда вместо графика функции в задаче дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции.

1. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).

2. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.

2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.

3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций.

Задача. На рисунке изображён график производной функции , определённой на отрезке

[ -5; 5]. Найдите точку минимума функции на этом отрезке.

Решение:

Избавимся от лишней информации – оставим только границы [ -5; 5] и нули производной х = -3 и х = 2,5.

Также отметим знаки. Тогда точка минимума х = -3, так как знак меняется с минуса на плюс.

Ответ: -3.

 

 

Задача. На рисунке изображён график производной функции , определённой на отрезке

[ -6; 4]. Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку

[ -4; 3].

Решение:

 

Отмечаем границы [-4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки х = -3,5 и х = 2. На этом графике лишь одна точка максимума х = 2.

Ответ: 2

 

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции.

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает.

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.

2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.

2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Схема для нахождения интервалов возрастания и убывания:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.

2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.

3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображён график производной функции , определённой на отрезке

[ -3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции на этом отрезке. В ответе

укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Решение:

 

Отметим границы [ -3; 7,5], а также нули производной

х = -1,5 и х = 5,3. Затем отметим знаки производной.

Так как на интервале ( -1; 5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Просуммируем все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:

-1 + 0+1 +2 +3 +4 +5 = 14.

Ответ: 14.

Выполните задания.

1 уровень.

1. На рисунке изображён график функции y = x². 2. На рисунке изображён график функции

Нарисуйте касательную к этому графику в точке y = f(x). Какая из прямых является

. касательной к графику этой функции

в точке А?

 

 

3. Функция определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график производной функции , определите количество касательных к графику функции, которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.

 

2 уровень.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (– 3; 8).

4. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции

параллельна прямой у = 1.

5. Найдите количество точек экстремума на отрезке [– 3; 4].

 

6. Определите количество целых точек, в которых производная

функции положительна.

7. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к

нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции

f(x) в точке .

 

 

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (– 6; 8).

8. Найдите количество точек, в которых касательная к графику

функции у = f(x) параллельна прямой у = х + 7 или совпадает

с ней.

9. Найдите количество точек экстремума функции.

 

10. Найдите промежутки возрастания функции .

В ответе укажите длину наибольшего из них.

11. На рисунке изображен график производной функции ,

определенной на интервале (– 10; 3). В какой точке отрезка

[–5; 1] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Диаграммы

 

 

1. Создайте диаграмму в программе Microsoft Word

Наведите указатель мыши на кнопку «Вставка» строки главного меню и нажмите левую кнопку мыши. В раскрывшемся меню выберите строку «Рисунок» ► «Диаграмма» и нажмите левую кнопку мыши.

В документ будет вставлен шаблон диаграммы.

Введите данные в «Таблицу данных». Для ввода данных выделите нужную ячейку, щёлкнув на ней левой кнопкой мыши, и наберите на клавиатуре нужные значения.

2. Задайте параметры диаграммы

Наведите указатель мыши на кнопку «Диаграмма» строки главного меню и нажмите левую кнопку мыши. В раскрывшемся меню выберите строку «Параметры диаграммы…» и нажмите левую кнопку мыши.

 

В открывшемся окне «Параметры диаграммы» установите необходимые параметры диаграммы.

Для завершения создания диаграммы щёлкните левой кнопкой мыши на свободной области листа.

3. Отформатируйте созданную диаграмму

Выделите диаграмму, нажав на ней левой кнопкой мыши. Наведите указатель мыши на чёрный квадратик в углу рамки диаграммы, нажмите левую кнопку мыши и удерживая её измените размер диаграммы.

Сделайте двойной щёлчок мышью на диаграмме. Наведите указатель на подписи данных и нажмите правую кнопку мыши. В открывшемся меню выберите пункт «Формат подписей денных».

В открывшемся окне «Формат подписей данных» выберите вкладку «Шрифт» и щелкните на ней левой кнопкой мыши.

Установите начертание шрифта – «Обычный», размер шрифта – «10». Нажмите кнпку «ОК».

Для завершения построения диаграммы необходимо нажать левой кнопкой мыши в свободной области листа.

Практическое занятие №2

«Множества и операции над ними. Решение задач с помощью кругов Эйлера».

Современный математический язык более краток и заменяет разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Понятия и обозначения языка теории множеств составляет фундамент современного математического языка. Всякий объект, входящий во множество, называют его элементом. Например, если множество – дни недели, то понедельник элемент этого множества.

Блок 1. Множества и операции над ними.

1. Перечислите элементы множеств:

а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4;…)

в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2;…).

2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).

3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля,

Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).

4.Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).

5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.

6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие,

земноводные, хладнокровные и т.п.).

7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).

8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).

Задайте сами множество описанием.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В,

С, Д, и т. д. Некоторые числовые множества столь часто встречающиеся в различных

разделах математики, что для них ввели специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z– множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I —множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок {,}.

Например, цифры десятичной системы счисления задаются множеством

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Если множество состоит из чисел, то при их перечислении иногда удобнее использовать не запятую, а знак препинания « ; » — точку с запятой. Так как «перечислительную» запятую можно спутать с «десятичной» запятой.

Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке. От изменения порядка перечисления элементов само множество не меняется. Например, множество гласных букв русского алфавита задается {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} или {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Эти множества состоят из одних и тех же элементов, их называют равными, а для записи равенства двух множеств употребляют знак « = ».

{А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы.

Например, запись А = {2; 3; 5; 7; 11; 13} означает, что множество А состоит из первых шести простых чисел.

Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Если число элементов множества достаточно велико или множество бесконечно, то явное перечисление элементов такого множества невозможно.

Способы задания, описания множеств весьма разнообразны. Например, множество всех квадратов натуральных чисел можно записать {1; 4; 9; 16; 25; …}, а множество всех чисел, которые больше 5 и меньше 12 записать {х | 5< х <12} или (5; 12). В примерах использован оборот « … и так далее» и символ « | » внутри фигурных скобок заменяющий комбинацию слов « … таких, что …». (Множество всех х таких, что 5< х <12).

Описав словами некоторое множество, нельзя гарантировать, что найдется хотя бы один объект, отвечающий этому описанию. Предположим, о множестве С сказано, что оно состоит из чисел, делящихся на 6, но не делящихся на 3. Таких чисел просто нет. В подобных случаях множество называют пустым и обозначают символом Ø, в фигурные скобки его не ставят, так как никакого перечисления элементов пустого множества не происходит.

Задание 1.

1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

2) Задайте множество А описанием:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, — 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.

3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7},

S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?

а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.

Словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х – элемент

множества А», достаточно длинны и не всегда удобны в записи решений конкретных задач.

В математике эти выражения кратко записывают так: х А, где – знак принадлежности.

Например, 5 N, лучше читать не буквально, а в «литературном переводе», «5 – число натуральное». Наряду со знаком принадлежит используют и его «отрицание» — знак (знак не принадлежит). Запись 0 N означает, что нуль не натуральное число.

Задание 2.

1. Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное;

б) число – 7 не является натуральным;

в) число – 100 является целым;

г) число 2,5 – не целое.

2. Верно ли, что:

а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q?

3. Верно ли, что:

а) 0,7 {х | х² – 1 < 0}; б) – 7 {х | х² + 16х ≤ — 64}?

Возьмем множество А = {2; 4; 6} и В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что ножество А является подмножеством множества В, и пишут: А В.

Знак « » называют знаком включения.

Соотношения между множествами А и В можно проиллюстрировать на рисунке с помощью так называемых кругов Эйлера (Леонард Эйлер российский ученый — математик, механик, физик и астроном.). Множество изображается в виде некоторого круга, а его элементы изображаются точками этого круга (рис 1).

Пустое множество считают подмножеством любого множества. А В

Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств Рис. 1 взяты из некоторого одного и того же «универсального» множества К. Это множество будем изображать квадратом, а рассматриваемые множества А, В, С, … — подмножества множества К – кругами (или другими полученными из них фигурами, которые выделим штриховкой).

Задание 3.

1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}.

Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное

утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.

2. Даны три множества А = {1, 2, 3,…, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16,…,36}.

Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?

Из данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать

новые множества:

1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В, т. е. из всех элементов, которые принадлежат

и множеству А, и множеству В (рис. 2). Пересечение множеств А и В

обозначают так: А∩В. Это определение можно записать и так:

А∩В = {х | х А и х В}. Иными словами, пересечение двух А∩В К

множеств — это их общая часть. Например, если А = {3; 9; 12} и Рис. 2

В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то А∩В = {3; 9}. Если А = {10; 20; …90; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то

А∩В = {30; 60; 90}. Можно рассматривать пересечение не только двух, но трех, четырех и

т. д. множеств. Пересечение множеств В, С и D обозначают так: В∩С∩D.

Задание 4.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.

2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (А∩В)∩С.

2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов,

которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств – или

множеству А, или множеству В (рис. 3). Объединение множеств

А и В обозначают так: АUВ.

Это определение можно записать и так:

АUВ = {х | х А или х В}. Например, если А = {3; 9; 12} и

В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}. Можно АUВ К

рассматривать объединение не только двух, но трех, четырех и т. д. Рис. 3

множеств. Объединение множеств В, С и D обозначают так: ВUСUD.

Задание 5.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АUВ)UС.

3. Даны три числовых промежутка: А = (7,7; 11), В = [ ; ], С = ( ; 13].

Найдите (АUВ)UС.

3) РазностьА и В это множество элементов А, не принадлежащих В

(рис.4). Разность А и В обозначают так: А\ В. Например,

если А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, то А\ В={2; 4; 6; 8}.

4) Дополнение множества А обозначают так: Ā(рис. 5).

Дополнение множества до множества К: Ā = К\А.

Например, если А = {3; 6; 9; 12} и

К = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, то Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}.

нет; в) да; г) да.

Приложение

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com