Значение выражения в математике: Вычисление значения выражения — урок. Математика, 2 класс.

Содержание

найти значение выражения | интернет проект BeginnerSchool.ru

Продолжаем рубрику  «основные содержательные линии курса математики начальной школы». В предыдущих статьях мы уже рассмотрели такие содержательные линии как нумерация, величины и вычислительные навыки. Сегодня мы рассмотрим тему «найти значение выражения», в которой выясним значения, каких выражений учатся находить ученики начальной школы.

Начнем с первого класса.  Изучая темы «сумма» и «разность», дети впервые сталкиваются с понятием «выражение» и «значение выражения». Здесь осваиваются такие правила, как переместительный закон сложения, сложение и вычитание с числом 0. Все арифметические выражения сейчас осваиваются пока без скобок. В качестве рациональных приемов вычислений, здесь используется группировка слагаемых.

Во втором классе, помимо сложения и вычитания  изучают умножение и деление, а так же названия компонентов арифметических действий. Осваиваются такие правила, как переместительный закон умножения, сочетательные законы сложения и умножения, умножение и деление с числами 0 и 1, порядок действий и нахождение значения выражения со скобками. В качестве рациональных приемов вычислений используется группировка множителей. Дети учатся сами контролировать результаты своих вычислений: вычитание контролируется сложением, а деление – умножением

.

В третьем классе изучается распределительный закон. Здесь используются такие приемы вычислений, как вычитание числа из суммы и суммы из числа, умножение и деление суммы на число, а также признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9. Контролировать себя ученика помогает определение последней цифры результата вычислений и определение числа сотен в ответе.

И наконец, в четвертом классе изучаются числовые выражения, происходит знакомство с буквенными выражениями, но без использования терминов. Дети учатся находить значения выражения с переменной.

Используются такие рациональные приемы, как разложение на удобные слагаемые при сложении и вычитании, а также разложение на удобные множители при умножении и делении. Проверяют себя дети путем оценки результатов вычислений и определения числа цифр в ответе.

Следующую тему – «решение текстовых задач» читайте в следующей статье. Спасибо, что вы с нами.

Понравилась статья — поделитесь с друзьями:

Оставляйте пожалуйста комментарии в форме ниже

Числовые и буквенные выражения. Значение выражения

Числовые выражения

Числовое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа обозначены цифрами (в неё также могут входить знаки арифметических действий и скобки). Числовые выражения так же называются арифметическими выражениями.

7  — числовое выражение,

2 + 2 — 1  — числовое выражение,

7 — 2 · + : 1  — бессмысленный набор символов.

Вычислить значение выражения — это значит выполнить все арифметические действия, указанные в выражении. Действия выполняются в определённом порядке, в зависимости от самих действий и присутствия в выражении скобок. Про порядок выполнения действий можно прочитать в теме Порядок действий.

Значение числового выражения — это число, получившееся после выполнения всех вычислений. Например, в выражении

6 + 2 = 8,

число  8  — это значение числового выражения  6 + 2.

Пример 1. Найдите значение числового выражения  4 + 3.

Решение:

4 + 3 = 7.

Ответ:  7.

Пример 2. Вычислите значение числового выражения  4 · 3.

Решение:

4 · 3 = 12.

Ответ:  12.

Пример 3.

Запишите числовые выражения и найдите их значения.

1) Из числа  60  вычесть сумму чисел  23  и  7.

2) К частному чисел  30  и  6  прибавить  18.

3) Число  93  уменьшить на произведение  5  и  6.

4) Из разности чисел  57  и  7  вычесть число  8.

Решение:

1) 60 — (23 + 7) = 60 — 30 = 30.

2) 30 : 6 + 18 = 5 + 18 = 23.

3) 93 — 5 · 6 = 93 — 30 = 63.

4) (57 — 7) — 8 = 50 — 8 = 42.

С помощью числовых выражений можно записывать решение задач.

Задача. Из куска шёлка длиной  18  метров сшили  4  платья, расходуя на каждое по  3  метра. Сколько метров шёлка осталось в куске?

Решение: Задача решается в два действия: сначала узнаём сколько шёлка было израсходовано на платья, а затем сколько шёлка осталось. Решение по действиям можно записать так:

1)  3 · 4 = 12 (м)  — израсходовали на платья.

2)  18 — 12 = 6 (м)  — осталось в куске.

Объединив эти два действия, получим числовое выражение

18 — 3 · 4 = 6 (м).

Значение этого выражения является ответом на вопрос данной задачи.

Буквенные выражения

Буквенное выражение — это числовое выражение, в котором числа могут быть обозначены и цифрами, и буквами. Буквенные выражения так же называются алгебраическими выражениями.

При обозначении чисел буквами обычно используют строчные (маленькие) буквы латинского алфавита:

7 · a  — буквенное выражение,

a – (b + c)  — буквенное выражение.

Чаще всего в буквенных выражениях разные числа обозначены разными буквами, но, например, в выражении:

a = b

подразумевается, что  и  являются одним и тем же числом.

Значение буквенного выражения — это число, получившееся после выполнения всех вычислений. Действия в буквенных выражениях выполняются после подстановки вместо букв их численных значений.

Пример. Найдите значение буквенного выражения  2 · a + 3  при  a = 7.

Решение:

2 · 7 + 3 = 14 + 3 = 17.

Ответ:  17.

Если в записи выражения одна и та же буква, например a, употребляется несколько раз, то под значением этой буквы во всех случаях мы должны иметь ввиду одно и тоже число.

Пример. Найдите значение буквенного выражения  5x — 2x  при  x = 4.

Решение:

5 · 4 — 2 · 4 = 20 — 8 = 12.

Ответ:  12.

В арифметике буквенные обозначения употребляют, когда необходимо выразить, что свойство (или правило) относится не к каким-нибудь отдельным числам, а является общим для любых чисел. Например:

a + b = b + a.

Данное равенство показывает нам, что, как бы мы не переставляли слагаемые, сумма от этого не изменится. Подставив вместо букв любые числа, мы можем убедиться в этом сами:

1 + 2 = 2 + 1.

Запись буквенных выражений

При записи буквенных выражений, знак умножения пишется только:

  • между буквой и числом:

    a · 3;

  • между закрывающей скобкой и следующей за ней буквой или числом:

    (3 + 5) · 4,

    (3 + 5) · a.

Знак умножения между числом и буквой, между буквами и перед открывающей скобкой не пишут:

7a    вместо    7 · a;

xy    вместо    x · y;

a(b + c)    вместо    

a · (b + c).

В буквенных выражениях числовой множитель записывается перед буквенными множителями:

5x    вместо    x · 5;

3bc    вместо    b · c · 3;

2(x + y)    вместо    (x + y) · 2.

Частное двух чисел, обозначенных буквами, обычно записывается с помощью дробной черты, например:

Числовые выражения — 2 класс, как найти значение выражения, со скобками и с переменными

Дата публикации: .

Составление числовых выражений

1. Составь числовые выражения, используя числа: 5, 9, 12, 17, 34, 58.

2. Составь числовые выражения, используя числа: 6, 12, 16, 18, 24, 32.

3. Представь эти предложения в виде числовых выражений и реши их:

3.1. к числу 7 прибавь сумму чисел 16 и 18.
3.2. к числу 13 прибавь разность чисел 33 и 12.
3.3. из числа 48 отними разность чисел 45 и 38.
3.3. из числа 34 отними сумму чисел 12 и 22.

4. Для этой текстовой задачи составь числовые выражения и реши их.

В первом тайме футбольного матча между командами «Заря» и «Восход» было забито 6 мячей, а во втором тайме – 8 мячей. Сколько мячей было забито в течении всего матча? На сколько больше мячей было забито во втором тайме, по сравнению с первым таймом? На сколько меньше мячей было забито в первом тайме, по сравнению со втором таймом?

5. Для этой текстовой задачи составь числовые выражения и реши их.

За 2 часа Петя решил 12 задач, а Миша за это же время решил на 5 задач больше. Сколько задач решил Миша? Сколько всего задач решили мальчики?

6. Используя рисунок, составь числовые выражения и реши их.

7. Используя рисунок, составь числовые выражения и реши их.

8. Для этих текстовых задач составь числовые выражения и реши их.

8.1. На улице А живёт 56 жителей, а на улице Б – на 12 жителей меньше.
8.2. За смену мастер делает 18 деталей, а его помощник – на 6 деталей меньше.
8.3. Лодка проплывает расстояние от одного берега реки до другого за 18 минут. Катер тоже самое расстояние проплывает на 8 минут быстрее.

Выражения с переменными

1. Заданы выражения: k + 12 и k — 12. Определи значения этих выражений при k = 29; c = 15; k = 70; k = 58.

2. Заданы выражения: p + 6 и p — 6. Определи значения этих выражений при p = 14, p = 28, p = 46.

3. Составь буквенное выражение с числами 4, 12 и переменной r.

4. Составь буквенное выражение с числами 7, 37 и переменной k.

5. Составь буквенное выражение с числами 9, 83 и переменной n.

6. Составь буквенное выражение с числами 0, 45 и переменной a.

7. Составь буквенное выражение с числами 3, 67 и переменной d.

8. Составь буквенное выражение с числами 1, 19 и переменной e.

9. Вместо пропусков вставь числа.

13 + … = 31 56 — … = 23 … + 16 = 42 … — 11 = 39
88 — … = 11 22 — … = 22 … + 36 = 52 … + 53 = 59

Выражения и формулы

Определение. Выражения — это записи, составленные из чисел, букв и соединенных знаками действий.

Числовое значение выражения — это число, которое получается, если вместо букв подставить числа и выполнить указанные действия.

Например:
22 + 13 — 15 = 20 — выделено числовое выражение, его значение — число 20;

75 : 3 + 5 = 30 — выделено числовое выражение, его значение — число 30;
82 + (76 : 2 — 6 * 6) = 84 — выделено числовое выражение со скобками, его значение — число 81.

Если выражение содержит только числа, то такое выражение называется числовым выражением (см. примеры выше). Если выражение содержит хотя бы одну букву, то такое выражение называется буквенным выражением.

Например:
136 : 4 — а = ? — буквенное выражение; его значение можно определить, подставив в выражение числовое значение буквы;

(x + y) — (x — y) + 18 = ? — буквенное выражение; до вычисления его значения необходимо раскрыть скобки и привести подобные, а только затем подставлять значения букв для определения числового результата.

Правило. Для вычисления числового значения выражения его необходимо, по возможности, упростить.

Например:

10а + 80 = ? при а = 4; 6; 10.

Вычислим значение данного выражения, подставив числовое значения буквы:

10 * 4 +80 = 120
10 * 6 + 80 = 140
10 * 10 + 80 = 180

Результатов при вычислении будет столько же, сколько значений имеет в условии примера буква: при а = 4; 6; 10 ответы: 120; 140; 180.

Определение. Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений называется формулой.

Формулы позволяют использовать уже готовый «рецепт» описания какого-то действия или процесса.

S = V * t

Этой Формулой описана зависимость между скоростью, временем и расстоянием при движении — это основная формула движения.

Формула выведена для определения площади прямоугольника:

S = a * b

где S— площадь прямоугольника; a и b — длины двух
его сторон.

Буквенная запись позволяет определить площадь любого прямоугольника, независимо от его параметров (размера сторон).


Урок математики в 1 классе по теме «Выражение. Значение числового выражения». | Методическая разработка по математике (1 класс) по теме:

Урок математики в 1 классе

Тема: «Выражение. Значение числового выражения»

Цель: введение понятия «выражения, значения выражения».

Задачи:

1) образовательные:

 — создать условия для формирования представлений учащихся о выражении, формировать умение составлять выражения и находить значение выражений; для закрепления умения учащихся — устанавливать отношения между компонентами числовых выражений, для развития умения — писать изученные цифры в составе выражений;

2) развивающие:

 — развивать наблюдательность, внимание, математическую речь, мыслительные операции у учащихся;

3) воспитательные:

 — способствовать воспитанию дружеских взаимоотношений, взаимопонимания, умения работать друг с другом; воспитанию интереса к предмету, адекватно оценивать результат своей работы;

здоровьесберегающие:

 — сохранять здоровье детей путём чередования различных видов деятельности и активного отдыха, использования ИКТ, создания комфортной и доверительной атмосферы в классе.

УУД:

 • познавательные УУД: создание и нахождение путей выхода из проблемной ситуации; выполнение действий по заданному алгоритму, выполнение заданий с использованием материального объекта.

 • коммуникативные УУД: сотрудничество учеников в паре, планирование совместной деятельности.

 • регулятивные УУД: контролирование своей деятельности по ходу и через результат выполнения задания, определение последовательности действий.

 • личностные УУД: проявление познавательной инициативы в оказании помощи соученикам. Смыслообразование: положительная учебная мотивация; самоопределение: внутренняя позиция школьника.

Оборудование: мультимедиапроектор, экран, компьютер, презентация Power Point, у учащихся: тетради, учебники Л.Г Петерсон «Математика 1 класс» (часть 2), тетрадь в клетку.

На уроке систематизируется ранее пройденный материал о равенствах, неравенствах, то есть математических выражениях.

В начале урока дети повторяют то, что они знают о числах первого десятка, о порядке их следования. Для этого выполняется упражнение,

в котором нужно расставить числовые карточки по порядку. Задание выполняется интерактивно в режиме редактирования презентации.

На следующем слайде показывается правильное решение задания в виде анимации.

В первом задании для подготовки к усвоению понятия математическое выражение детям предлагается придумать рассказы по картинкам и подобрать к ним числовые карточки. Рассказы детей сопровождаются перемещением соответствующих карточек в режиме редактирования презентации. Затем для каждой картинки демонстрируется анимация, иллюстрирующая один из возможных рассказов. Для каждой анимации выбор подходящей для него карточки проводится с помощью триггеров. Нужно кликнуть на соответствующую карточку. Если выбор правильный, то карточка переместится к рисунку. Если карточка выбрана неправильно, то она укажет на неверность решения покачиванием. Для первой картинки представлено два решения, для второго – одно.

 Затем в виде анимации приводятся названия математических понятий, которым посвящен урок. Это числовые выражения, значения выражений, числовые равенства.

 Второе задание по содержанию очень похоже на предыдущее и в презентации не представлено. Оно может быть пропущено и на уроке.

 В задании 3 продолжается работа с усвоением понятий выражений и равенств. Дети самостоятельно выбирают выражения к представленным в учебнике рисункам. Теперь это более абстрактные изображения – овалы. Для расширения возможностей работы здесь предлагается использовать цифры на магнитиках. Эти цифры дети прикрепляют к соответствующим картинкам. На следующем слайде показывается анимация с правильными ответами.

 В следующем задании дети узнают, что равенства могут быть верными и неверными. Им предлагается заменить знаки равенства в неверных равенствах на знаки «>» или «» или «

 Задание 5 показывает детям, что числовые выражения могут содержать не только одно действие, но и больше их количество. Им предлагается вычислить значения выражений, в каждом из которых присутствуют два действия. Это сложное упражнение, и его целесообразно показать на экране. Весь класс должен следить за ходом решения, высказывать свои соображения о правильности ответов, сверять свои записи с теми, которые показываются на слайдах. Задание выполняется интерактивно в режиме редактирования презентации или в режиме демонстрации с цифрами на магнитиках. На следующем слайде показывается анимация с правильными ответами.

Ход урока:

1. Психологический настрой.

Учитель: Прозвенел звонок на урок, урок начинается.

Давайте  друг другу улыбнёмся. Покажите своё настроение.

Как хорошо, что мы сегодня все вместе. Мы все здоровы.

Я желаю вам хорошего настроения и плодотворной работы на уроке.

2. Мотивация к учебной деятельности.

1 слайд

  1. Какое сегодня число?
  2. Какое было вчера?
  3. Какое будет завтра?
  4. Назовите время года.

Учитель: Скажите, ребята, с какой целью вы пришли сегодня на урок математики?

Дети: Учиться думать, решать, рассуждать.

Учитель:                2 слайд

Сегодня я бы хотела вспомнить слова великого учёного

М. В. Ломоносова, который сказал: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

Объясните, как вы понимаете данное высказывание.

Учитель: Предлагаю вам привести свой ум в порядок с помощью разминки:

3 слайд

1. С каким числом надо сложить число 1, чтобы получилось 5?4

2. Первое слагаемое 2, второе слагаемое 4. Чему равна сумма?6

3. Уменьшаемое 4, вычитаемое 1. Найдите разность. 3

4. На сколько 5 больше 4? 1

5. Я задумала число, вычла из него 6 и получила 1. Какое число я  задумала? 7

6. Предложите своё задание. Расставьте числа в порядке возрастания 4,2,1,5,3  1,2,3,4,5…Что получилось? Вспомните свойство натурального ряда чисел.

7.Вставьте число в «окошко»  X>3

1. Актуализация знаний.

— Назовите, пожалуйста, вашего верного помощника на уроке в получении знаний?

(Учебник.) 4 слайд

Работа с учебником. Работа с наглядным материалом.

Погружение в новую тему.

5 слайд

Работа в парах стр. 8, № 1 Работа в парах.

Вывод.

Выражение – это запись, в которой числа соединены знаками действий. Знаков сравнений в выражениях нет.

Попробуйте придумать вои выражения и назвать их.

Слайд 7

Учитель:

Назовите тему сегодняшнего урока.

Научиться различать записи со знаками сравнения и без знаков сравнения. Правильно называть их.

Учитель:

Правильно, ребята, сегодня познакомились с новым понятием в математике, которое называется «Выражение».

Научились различать выражения, от значения выражения, а так же от  равенств и других математических записях.

7. Работа в тетради. В парах. Задание на слайде.

Предложите задание. Выписать только выражения. Назвать компоненты суммы и разности. А что можно сделать с выражениями? Найти их значения.

8.Физминутка.

9. Первичное закрепление полученных знаний

слайд 9-13

Составление математического рассказа

В тетрадях.

1). Составьте выражение по данному рисунку.

Б). Найдите значение выражения.

Один из учащихся выполняет работу по выбору у доски. Составляет выражения по рисункам и находит их значения.

Чем отличается выражение от значения выражений?

10. Закрепление полученных знаний

«Поучим друг друга». Работа в парах

слайд 14

Учитель: Итак, мы выяснили, Что выражение – это запись чисел без знаков сравнения.

11. Вывод: слайд

11. Рефлексия.

Слайд 20

2. Какая работа на уроке вам доставила радость и вы почувствовали

себя успешными?

3. Что ещё не получилось?

4. С какими трудностями вы встретились?

Как найти значение числового выражения?

Итак, если числовое выражение составлено из чисел и знаков +, −, · и :, то по порядку слева направо нужно сначала выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание, что позволит найти искомое значение выражения.

Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить все указанные в нем действия в соответствии с принятым порядком выполнения этих действий. При этом сначала следует находить значение выражений в скобках, придерживаясь принятого порядка выполнения действий, а затем выполнять остальные действия, что приведет к искомому значению исходного выражения.

Числовые выражения, значения которых требуется найти, могут в своей записи содержать различные знаки, в частности, корни.

В числовых выражениях корни следует воспринимать как некоторые числа, и корни целесообразно сразу заменить их значениями, после чего находить значение полученного выражения без корней, выполняя действия в принятой последовательности.

Достаточно часто, чтобы стало возможно найти значение выражения с корнями, предварительно приходится проводить его преобразование.

Когда в выражении, значение которого мы находим, присутствуют степени, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий.

Числовые выражения в своей записи могут содержать дроби. Когда требуется найти значение подобного выражения, дроби, отличные от обыкновенных дробей, следует заменить их значениями перед выполнением остальных действий.

Если числовое выражение содержит логарифмы, и если есть возможность избавиться от них, вычислив значение логарифмов, то это делается перед выполнением остальных действий.

Когда числовое выражение содержит синус, косинус, тангенс, котангенс или арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и т.п., то их значения вычисляются перед выполнением остальных действий.

В общем случае числовое выражение может содержать и корни, и степени, и дроби, и какие-либо функции, и скобки. Нахождение значений таких выражений состоит в выполнении следующих действий:

• сначала корни, степени, дроби и т.п. заменяются их значениями,
• дальше действия в скобках,
• и по порядку слева направо выполняется оставшиеся действия — умножение и деление, а за ними – сложение и вычитание.

Перечисленные действия выполняются до получения конечного результата.

Презентация к уроку математики «Выражение. Значение выражения»

Эта презентация может быть использована на уроке математики «Выражение. Значение выражения» 1 класс

Она содержит 16 слайдов, ссылки на которые есть в технологической карте урока. Каждый слайд соответствует определённому этапу урока. Слайды содержат и картинки и текст. Есть ссылка на используемые источники.

Просмотр содержимого презентации
«МАТЕМАТИКА моя ВЫРАЖ. — копия»

ЦЕЛЬ УРОКА: узнать, что такое выражение ;

научиться выбирать выражения из других записей;

научиться составлять выражения и находить значение выражений;

Повторить таблицу сложения

Жираф, крокодил и бегемот жили в разных домиках. Жираф жил не в зелёном и не в синем домике. Крокодил жил не в зелёном и не в жёлтом. В каких домиках жили звери?

Жираф, крокодил и бегемот жили в разных домиках. Жираф жил не в зелёном и не в синем домике. Крокодил жил не в зелёном и не в жёлтом. В каких домиках жили звери?

4 9 5 3 7 8 6 9 10

3 3 + 3 = 6 7 – 2 9 – 6 1 + 4 2 4 + 3 = 7 5 + 4″

9 – 4 = 5 8 3 3 + 3 = 6 7 – 2 9 – 6

1 + 4 2

4 + 3 = 7 5 + 4

3 7 — 2″

?

РАВЕНСТВА

НЕРАВЕНСТВА

9 – 4 = 5 4 + 1 9 — 6

3 + 3 = 6 2 5 + 4

4 + 3 = 7 8 3 7 — 2

ВЫРАЖЕНИЕ – это запись, в которой……..

Сейчас Амурские тигры занесены в Красную книгу. Они могут исчезнуть с лица Земли и их никто и никогда не увидит. Бережное отношение к природе должно стать нормой поведения у каждого человека. Люди привыкли покорять природу, а она нуждается в нашей защите.

4 + 1

1 + 4

2 7 + 2 = 9 7 — 2 5 – 2 9 – 2 5 4 + 3″

5 + 2 5 2 7 + 2 = 9

7 — 2 5 – 2

9 – 2 5 4 + 3

Выражение  знать на зубок пошло от обычая проверять на подлинность золотые и всякие другие монеты путем прикусывания зубами. Золото металл мягкий, легко поддается деформации. Самым удобным «режущим» инструментом, который всегда у человека под рукой, являются его зубы. Надавил зубами  золотую монету  – должен остаться след от «укуса», если она золотая. Фальшивые монеты, изготовленные из других металлов заметно тверже, и след на них не оставался. Таким образом «на зубок» проверялась подлинность изделий из золота.  

РЕФЛЕКСИЯ

Мне всё понятно, я хорошо работал, выполнял задания без ошибок

Я хорошо работал, но иногда допускал ошибки.

У меня осталось много вопросов, я часто допускал ошибки в заданиях.

https://www.google.ru

http://esperanto-plus.ru/

http://gllaza.ru/

3.1: Математические выражения — математика LibreTexts

Вспомните определение переменной , представленное в разделе 1.6.

Определение: переменная

Переменная — это символ (обычно буква), обозначающий значение, которое может меняться.

Добавим определение математического выражения .

Определение: математическое выражение

Когда мы комбинируем числа и переменные правильным образом, используя такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и другие операции и функции, которые еще не изучены, полученная комбинация математических символов называется математическим выражением .

Таким образом,

2 a , x + 5 и y 2 ,

, образованный комбинацией чисел, переменных и математических операторов, является допустимым математическим выражением. Математическое выражение должно быть в правильном формате . Например,

2 + ÷ 5 х

— это , недопустимое выражение , потому что за знаком плюс нет члена (недопустимо писать + ÷, если между этими операторами ничего нет).Аналогично

2 + 3 (2

имеет неправильный формат, потому что круглые скобки не сбалансированы.

Перевод слов в математические выражения

В этом разделе мы обратим наше внимание на перевод словосочетаний в математические выражения. Начнем с фраз, которые переводят на суммы . Существует множество словосочетаний, которые переводятся в суммы. Некоторые общие примеры приведены в Таблице \ (\ PageIndex {1a} \), хотя список далеко не полный.Подобным образом ряд фраз, которые переводятся в различия, показаны в Таблице \ (\ PageIndex {1b} \).

Таблица \ (\ PageIndex {1} \): преобразование слов в символы.
Фраза Переводит на: Фраза Переводит на:
сумма x и 12 x + 12 разница x и 12 x — 12
4 больше b б + 4 4 менее b б — 4
6 более л и + 6 7 вычитается из и y — 7
44 плюс r 44 + р 44 минус r 44 — г
3 больше z z + 3 3 меньше z z — 3
а) Фразы, представляющие собой суммы б) Фразы, которые отличаются друг от друга

Давайте рассмотрим несколько примеров, некоторые из которых переводятся в выражения, содержащие суммы, а некоторые — в выражения, содержащие различия.

Пример 1

Переведите следующие фразы в математические выражения:

  1. «12 больше x, »
  2. «11 меньше y » и
  3. « r уменьшено на 9.»

Раствор

Вот переводы.

  1. «12 больше, чем x» становится x + 12.
  2. «11 меньше, чем y» становится y –11.
  3. «r уменьшилось на 9» становится r — 9.

Упражнение

Переведите следующие фразы в математические выражения:

  1. «13 более x » и
  2. «12 меньше, чем y «.
Ответ

(а) x + 13 и

(б) л — 12

Пример 2

Пусть W представляет ширину прямоугольника. Длина прямоугольника на 4 фута больше его ширины.Выразите длину прямоугольника через его ширину W .

Раствор

Мы знаем, что ширина прямоугольника W . Поскольку длина прямоугольника на 4 фута больше ширины, мы должны прибавить 4 к ширине, чтобы найти длину.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Length} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {4} & \ text {more than} & \ colorbox {cyan} {ширина } \\ \ text {Длина} & = & 4 & + & W \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, длина прямоугольника по ширине W составляет 4 + W .

Упражнение

Ширина прямоугольника на 5 дюймов короче его длины L . Выразите ширину прямоугольника через его длину L .

Ответ

л — 5

Пример 3

Струна размером 15 дюймов разрезается на две части. Пусть x представляет длину одной из полученных частей. Выразите длину второй части как длину x первой части.

Раствор

Струна имеет исходную длину 15 дюймов. Он разрезан на две части, и первая часть имеет длину х . Чтобы найти длину второй части, мы должны вычесть длину первой части из общей длины.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Длина второго фрагмента} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {Общая длина} & \ text {minus} & \ colorbox {cyan } {длина первой части} \\ \ text {Длина второй части} & = & 15 & — & x \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, длина второго отрезка относительно длины x первого отрезка. Ответ: 12 + x составляет 15 — x .

Упражнение

Струна разрезается на две части, размер первой из которых составляет 12 дюймов. Выразите общую длину строки как функцию x , где x представляет длину второго отрезка строки.

Ответ

12 + х

Существует также большое количество разнообразных фраз, которые можно перевести в продукты. Некоторые примеры показаны в Таблице 3.2 (а), хотя список опять же далеко не полный.Подобным образом ряд фраз переводится в частные, как показано в Таблице 3.2 (b).

Таблица \ (\ PageIndex {2} \): преобразование слов в символы.
Фраза Переводит на: Фраза Переводит на:
произведение x и 12 12 х частное x и 12 x /12
4 раза б 4 б 4 разделить на b 4/ б
дважды r 2 г соотношение 44 к р 44/ г
a) Фразы, относящиеся к продуктам. б) Фразы, которые отличаются друг от друга.

Давайте рассмотрим несколько примеров, некоторые из которых переводятся в выражения, включающие продукты, а некоторые — в выражения, включающие частные.

Пример 4

Переведите следующие фразы в математические выражения: (a) «11 умножить на x », (b) «частное на и 4» и (c) «удвоить на ».”

Раствор

Вот переводы. а) «11 раз x » становится 11 x . б) «частное y и 4» становится y /4 или, что эквивалентно, \ (\ frac {y} {4} \). c) «дважды a » становится 2 a .

Упражнение

Переведите математическими символами: (a) «произведение 5 и x » и (b) «12, разделенное на y ».

Ответ

(а) 5 x и (б) 12/ y .

Пример 5

У сантехника есть труба неизвестной длины x . Он разрезает его на 4 равные части. Найдите длину каждой части в единицах неизвестной длины x .

Раствор

Общая длина неизвестна и равна x . Сантехник делит его на 4 равные части. Чтобы найти длину каждой части, мы должны разделить общую длину на 4.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Длина каждого фрагмента} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {Общая длина} & \ text {разделено на} & \ colorbox {cyan } {4} \\ \ text {Длина каждой части} & = & x & \ div & 4 \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, длина каждой части, с точки зрения неизвестной длины x , составляет x /4 или, что эквивалентно, \ (\ frac {x} {4} \).

Упражнение

Плотник разрезает доску неизвестной длины L на три равные части. Выразите длину каждого куска как L .

Ответ

л / 3

Пример 6

Мэри вкладывает доллара на сберегательный счет, выплачивая 2% годовых. Она вкладывает в пять раз больше суммы в депозитный сертификат с выплатой 5% годовых. Сколько она вкладывает в депозитный сертификат, исходя из суммы А на сберегательном счете?

Раствор

Сумма на сберегательном счете составляет A долларов.Она вкладывает в депозитный сертификат в пять раз больше этой суммы.

\ [\ begin {array} {ccccc} \ colorbox {cyan} {Количество на CD} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {5} & \ text {times} & \ colorbox {cyan} {Количество в сбережениях} \\ \ text {Сумма на компакт-диске} & = & 5 & \ cdot & A \ end {array} \ nonumber \]

Таким образом, сумма, вложенная в депозитный сертификат, в пересчете на сумму A на сберегательном счете, составляет 5 A .

Упражнение

Дэвид инвестирует тысячи долларов на сберегательный счет, выплачивая 3% годовых.Половину этой суммы он инвестирует в паевой инвестиционный фонд с выплатой 4% в год. Выразите сумму, вложенную в паевой инвестиционный фонд, в единицах K , сумму, вложенную в сберегательный счет.

Ответ

\ (\ frac {1} {2} К \)

Комбинации

Некоторые фразы требуют комбинации математических операций, использованных в предыдущих примерах.

Пример 7

Пусть первое число равно x .Второе число на 3 больше, чем первое число. Выразите второе число через первое число x .

Раствор

Первое число — x . Второе число на 3 больше, чем первое число.

\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {второе число} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {3} & \ text {больше чем} & \ colorbox {cyan} {в два раза больше первого числа } \\ \ text {Второе число} & = & 3 & + & 2x \ end {выровнено} \ nonumber \]

Следовательно, второе число в терминах первого числа x равно 3 + 2 x .

Упражнение

Второе число на 4 меньше, чем первое число в 3 раза. Выразите второе число через первое число y .

Ответ

3 y — 4

Пример 8

Длина прямоугольника L . Ширина на 15 футов меньше, чем в 3 раза больше длины. Какова ширина прямоугольника по отношению к длине L ?

Раствор

Длина прямоугольника L .Ширина на 15 футов меньше, чем в 3 раза больше длины.

\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {Width} & \ text {is} & \ colorbox {cyan} {в 3 раза больше длины} & \ text {less} & \ colorbox {cyan} {15} \ \ \ text {Ширина} & = & 3L & — & 15 \ end {align} \ nonumber \]

Таким образом, ширина по длине L составляет 3 L — 15.

Упражнение

Ширина прямоугольника W . Длина на 7 дюймов больше, чем ширина в два раза.Выразите длину прямоугольника через его длину L .

Ответ

2 Вт + 7

Упражнения

В упражнениях 1-20 переведите фразу в математическое выражение, включающее заданную переменную.

1. «В 8 раз больше ширины n»

2. «Двукратная длина z»

3. «6-кратная сумма числа n и 3»

4. «10-кратная сумма числа n и 8»

5.«Спрос b увеличился в четыре раза»

6. «Предложение увеличилось в 4 раза»

7. «Скорость y уменьшилась на 33»

8. «Скорость u уменьшилась на 30»

9. «В 10 раз больше ширины n»

10. «10-кратная длина z»

11. «9-кратная сумма числа z и 2»

12. «14-кратная сумма числа n и 10»

13. «Предложение увеличилось вдвое»

14. «Спрос вырос в 4 раза»

15. «13 более чем в 15 раз больше числа p»

16.«14 меньше пятикратного числа y»

17. «На 4 меньше, чем в 11 раз больше x»

18. «13 меньше 5-кратного числа p»

19. «Скорость u уменьшилась на 10»

20. «Скорость w увеличилась на 32»


21. Представление чисел. Предположим, что n представляет собой целое число.

i) Что означает n + 1?

ii) Что означает n + 2?

iii) Что означает n — 1?

22. Предположим, 2n представляет собой целое четное число.Как мы можем представить следующее четное число после 2n?

23. Предположим, 2n + 1 представляет собой нечетное целое число. Как мы можем представить следующее нечетное число после 2n + 1?

24. Ежемесячно производится b мешков мульчи. Сколько мешков с мульчей производится каждый год?

25. Стив продает в два раза больше товаров, чем Майк. Выберите переменную и напишите выражение для продаж каждого человека.

26. Найдите математическое выражение для представления значений.

i) Сколько четвертей в d долларах?

ii) Сколько минут в часах?

iii) Сколько часов в d дней?

iv) Сколько дней в y годах?

v) Сколько месяцев в y годах?

vi) Сколько дюймов в футах?

vii) Сколько футов в ярдах?


Ответы

1.8н

3. 6 (п + 3)

5. 4b

7. г — 33

9. 10н

11. 9 (г + 2)

13. 2 года

15. 15p + 13 17.

11x — 4

19. u — 10

21.

i) n + 1 представляет следующее целое число после n.

ii) n + 2 представляет следующее целое число после n + 1 или два целых числа после n.

iii) n — 1 представляет собой целое число перед n.

23. 2н + 3

25.Пусть Майк продаст p продуктов. Затем Стив продает 2p-товары.

Алгебраическое выражение — объяснения и примеры

Алгебра — интересный и увлекательный раздел математики, в котором числа, фигуры и буквы используются для выражения задач. Независимо от того, изучаете ли вы алгебру в школе или сдаете какой-то тест, вы заметите, что почти все математические задачи представлены словами.

Следовательно, необходимость переводить письменные текстовые задачи в алгебраические выражения возникает тогда, когда нам нужно их решить.

Большинство алгебраических задач на слова состоят из рассказов или случаев из реальной жизни. Другие — простые фразы, такие как описание математической задачи. В этой статье вы узнаете, как написать алгебраических выражения из простых задач со словами, а затем перейти к легко сложным задачам со словами.

Что такое алгебраическое выражение?

Многие люди попеременно используют алгебраические выражения и алгебраические уравнения, не подозревая, что это совершенно разные термины.

Алгебраика — это математическая фраза, в которой две стороны фразы соединены знаком равенства (=). Например, 3x + 5 = 20 — это алгебраическое уравнение, где 20 представляет собой правую часть (RHS), а 3x +5 представляет собой левую часть (LHS) уравнения.

С другой стороны, алгебраическое выражение — это математическая фраза, в которой переменные и константы объединяются с помощью операционных символов (+, -, × & ÷). В алгебраическом символе отсутствует знак равенства (=). Например, 10x + 63 и 5x — 3 являются примерами алгебраических выражений.

Давайте рассмотрим терминологию, используемую в алгебраическом выражении:

  • Переменная — это буква, значение которой нам неизвестно. Например, x — это наша переменная в выражении: 10x + 63.
  • Коэффициент — это числовое значение, используемое вместе с переменной. Например, 10 — это переменная в выражении 10x + 63.
  • Константа — это термин, который имеет определенное значение. В этом случае 63 — это константа в алгебраическом выражении 10x + 63.

Существует несколько типов алгебраических выражений, но основной тип включает:

  • Мономиальное алгебраическое выражение

Этот тип выражения имеет только один член, например, 2x, 5x 2 , 3xy и т. Д. .

Алгебраическое выражение, содержащее два, в отличие от термов, например, 5y + 8, y + 5, 6y 3 + 4 и т. Д.

Это алгебраическое выражение с более чем одним членом и с ненулевыми показателями. переменных.Пример полиномиального выражения: ab + bc + ca и т. Д.

Другие типы алгебраических выражений:

Числовое выражение состоит только из чисел и операторов. В числовое выражение переменная не добавляется. Примеры числовых выражений: 2 + 4, 5-1, 400 + 600 и т. Д.

Это выражение содержит переменные вместе с числами, например, 6x + y, 7xy + 6 и т. Д.

Как решить алгебраическое выражение?

Цель решения алгебраического выражения в уравнении — найти неизвестную переменную.Когда два выражения приравниваются, они образуют уравнение, и поэтому становится легче найти неизвестные члены.

Чтобы решить уравнение, поместите переменные с одной стороны, а константы — с другой. Вы можете изолировать переменные, применяя арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение, деление, квадратный корень, кубический корень и т. Д.

Алгебраические выражения всегда взаимозаменяемы. Это означает, что вы можете переписать уравнение, поменяв местами LHS и RHS.

Пример 1

Рассчитайте значение x в следующем уравнении

5x + 10 = 50

Решение

Учитывая уравнение как 5x + 907 10 = 50

Изолируйте переменные и константы;
  • Вы можете сохранить переменную на левой стороне, а константы на правой.
  • 5x = 50-10

    5x = 40

    Разделим обе части на коэффициент переменной;

    x = 40/5 = 8

    Следовательно, значение x равно 8.

    Пример 2

    Найдите значение y, когда 5y + 45 = 100

    Решение

    Изолировать переменные от констант;

    5y = 100 -45

    5y = 55

    Разделим обе части на коэффициент;

    y = 55/5

    y = 11

    Пример 3

    Определите значение переменной в следующем уравнении:

    2x + 40 = 30

    Решение

    Разделите переменные из константы;

    2x = 30-40

    2x = -10

    Разделите обе стороны на 2;

    x = -5

    Пример 4

    Найдите t, когда 6t + 5 = 3

    Решение

    Отделите константы от переменной, 60005 9 — 3

    6t = -2

    Разделим обе части на коэффициент,

    t = -2/6

    Упростим дробь,

    t = -1/3

    Практические вопросы

    1. Если x = 4 и y = 2, найдите следующие выражения:

    a. 2г + 4

    б. 10х + 40л;

    г. 15л — 5х

    д. 5x + 7

    e. 11y + 6

    ф. 6x — 2

    г. 8лет — 5

    ч. 60 — 5x — 2y

    2. Сэм кормит свою рыбу одинаковым количеством корма (пусть равным x ) трижды в день. Сколько еды он накормит рыбу в неделю?

    3. Нина испекла 3 кекса для сестры и по 2 кекса для каждой подруги (пусть равно x ).Сколько всего кексов она испекла?

    4. У Джонса на ферме 12 коров. Большинство коров дают 30 литров молока в день (пусть равно х ). Сколько коров не дают 30 литров молока в день?

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Части выражения

    Алгебраические выражения — это комбинации переменные , числа и хотя бы одну арифметическую операцию.

    Например, 2 Икс + 4 y — 9 является алгебраическим выражением.

    Срок: Каждое выражение состоит из терминов. Термин может быть числом со знаком, переменной или константой, умноженной на переменную или переменные.

    Фактор: То, что умножается на другое. Фактор может быть числом, переменной, термином или более длинным выражением. Например, выражение 7 Икс ( y + 3 ) имеет три фактора: 7 , Икс , а также ( y + 3 ) .

    Коэффициент: Числовой коэффициент выражения умножения, содержащего переменную. Рассмотрим выражение на рисунке выше, 2 Икс + 4 y — 9 . В первом семестре 2 Икс , коэффициент равен 2 : во втором семестре, 4 y , коэффициент равен 4 .

    Постоянный: Число, значение которого не может быть изменено.В выражении 2 Икс + 4 y — 9 , термин 9 является константой.

    Как условия: Термины, содержащие одинаковые переменные, такие как 2 м , 6 м или же 3 Икс y а также 7 Икс y . Если в выражении есть несколько постоянных членов, они также похожи на термины.

    Выражение

    Словесные фразы

    п + 5

    Сумма числа и 5

    м — 7

    Разница количества и 7

    6 Икс

    Продукт 6 и ряд

    y ÷ 9

    Частное числа и 9

    Пример:

    Определите термины, такие как термины, коэффициенты и константы в выражении.

    9 м — 5 п + 2 + м — 7

    Во-первых, мы можем переписать вычитания как добавления.

    9 м — 5 п + 2 + м — 7 знак равно 9 м + ( — 5 п ) + 2 + м + ( — 7 )

    Итак термины находятся 9 м , ( — 5 п ) , м , 2 , а также ( — 7 ) .

    Как условия — это термины, содержащие одинаковые переменные.

    9 м а также 9 м пара как условия . Постоянные условия 2 а также — 7 также похожи на термины.

    Коэффициенты — числовые части термина, содержащего переменную.

    Итак, вот коэффициенты находятся 9 , ( — 5 ) , а также 1 . ( 1 коэффициент при члене м .)

    В постоянный термины — это термины без переменных, в данном случае 2 а также — 7 .

    Алгебраические выражения должны быть написаны и интерпретированы осторожно.Алгебраическое выражение 5 ( Икс + 9 ) является нет эквивалентно алгебраическому выражению, 5 Икс + 9 .

    Посмотрите разницу между двумя выражениями в таблице ниже.

    Словесные фразы Алгебраическое выражение
    В пять раз больше числа и девяти

    5 ( Икс + 9 )

    Девять больше, чем в пять раз больше

    5 Икс + 9

    При написании выражений для неизвестных величин мы часто используем стандартные формулы.Например, алгебраическое выражение «расстояние, если скорость 50 миль в час, а время Т часов «это D знак равно 50 Т (по формуле D знак равно р Т ).

    Выражение вроде Икс п называется властью. Здесь Икс это база, а п — показатель степени. Показатель степени — это количество раз, когда основание используется в качестве фактора.Словосочетание для этого выражения: » Икс к п th мощность.»

    Вот несколько примеров использования экспонент.

    Словесные фразы Алгебраическое выражение
    Семь раз м в четвертой степени

    7 м 4

    Сумма Икс в квадрате и 12 времена y

    Икс 2 + 12 y

    Икс раз в кубе y в шестой степени

    Икс 3 ⋅ y 6

    Язык алгебры — Определения

    Обучение алгебра немного похожа на изучение другого языка.На самом деле алгебра — это простая язык, используемый для создания математических моделей реальных ситуаций и решать проблемы, которые мы не можем решить, используя только арифметику. Вместо того, чтобы использовать слов, алгебра использует символы, чтобы делать утверждения о вещах. В алгебре мы часто используют буквы для обозначения чисел.

    Так как алгебра использует те же символы, что и арифметические, для сложения, вычитания, умножения и деление, вы уже знакомы с основной лексикой.

    В этом уроке вы выучите несколько важных новых словарных слов, и вы увидите, как переводить от простого английского до «языка» алгебры.

    Первый шаг в обучении «говорить на алгебре» изучает определения наиболее часто употребляемые слова.

    Алгебраический Выражения | Переменные | Коэффициенты | Константы | Реальные числа | Рациональный Числа | Иррациональные числа | Идет перевод Слова в выражения

    Алгебраический Выражения
    Алгебраическое выражение — это один или несколько алгебраических терминов во фразе.Он может включать переменные, константы, и рабочие символы, такие как знаки плюс и минус. Это всего лишь фраза, а не все предложение, поэтому оно не включает знак равенства.

    Алгебраический выражение:

    3x 2 + 2y + 7xy + 5

    В алгебраическое выражение, термины — это элементы, разделенные знаком плюс или минус приметы. В этом примере четыре члена: 3x 2 , 2y , 7xy , и 5 .Термины могут состоять из переменных и коэффициентов или констант.

    Переменные
    В алгебраических выражениях буквы обозначают переменные. Эти буквы на самом деле числа замаскированные. В этом выражении переменные x и y. Мы называем эти буквы « var iables», потому что числа, которые они представляют, могут варьироваться — это мы можем заменить буквы в выражении одним или несколькими числами.

    Коэффициенты
    Коэффициенты — это числовая часть термов с переменными. В 3x 2 + 2y + 7xy + 5 , коэффициент при первом члене равен 3. Коэффициент второго члена равен 2, а коэффициент третьего члена равен 7.

    Если термин состоит только переменных, его коэффициент равен 1.

    Константы
    Константы — это члены алгебраического выражения, содержащие только числа.То есть это термины без переменных. Мы называем их константами, потому что их значение никогда не меняется, поскольку в термине нет переменных, которые могут изменить его значение. В выражении 7x 2 + 3xy + 8 постоянный член — «8».

    Реальный Номера
    В алгебре мы работаем с набором действительных чисел, который мы можем смоделировать, используя числовая строка.

    Реальные числа описывают реальные величины, такие как количество, расстояние, возраст, температура и т. д.Действительное число может быть целым числом, дробью или дробью. десятичный. Они также могут быть как рациональными, так и иррациональными. Числа, которые не «настоящие» называются мнимыми. Мнимые числа используют математики для описания чисел, которые не могут быть найдены в числовой строке. Они более сложная тема, с которой мы будем работать здесь.

    Рациональный Номера
    Мы называем множество действительных целых чисел и дробей рациональными числами.» Rational происходит от слова « соотношение » потому что рациональное число всегда можно записать как соотношение , или частное двух целых чисел.

    Примеры рациональных чисел
    Дробь ½ — это отношение 1 к 2.

    С трех может быть выражено как три к одному или как отношение 3 к одному, это также Рациональное число.

    Число «0,57» также является рациональным числом, так как его можно записать в виде дроби.

    Иррациональное Номера
    Некоторые действительные числа нельзя выразить как частное от двух целых чисел. Мы называем эти числа «иррациональные числа». Десятичная форма иррационального число — это неповторяющееся и не завершающееся десятичное число. Например, Вы, вероятно, знакомы с числом под названием «пи».Это иррациональное номер настолько важен, что мы даем ему имя и специальный символ!

    Пи не может быть записывается как частное двух целых чисел, и его десятичная форма продолжается вечно и никогда не повторяется.

    Перевод Слова на язык алгебры
    Здесь несколько утверждений на английском языке. Чуть ниже каждого утверждения находится его перевод по алгебре.

    г. сумма тройного числа и восьмерки
    3x + 8

    Слова «the сумма «скажите нам, что нам нужен знак плюс, потому что мы собираемся добавить три умножить на число до восьми.Слова «трижды» говорят нам о первом термин — это число, умноженное на три.

    В этом выражении нам не нужен знак умножения или круглые скобки. Фразы типа «число» или «число» говорят нам, что в нашем выражении есть неизвестная величина, называется переменной. В алгебре мы используем буквы для обозначения переменных.

    г. произведение числа на такое же число за вычетом 3
    х (х — 3)

    Слова «the произведение «скажите нам, что мы собираемся умножить число, умноженное на меньше 3.В этом случае мы будем использовать круглые скобки для обозначения умножения. Слова «меньше 3» говорят нам вычесть три из неизвестного числа.

    а число, разделенное на такое же число за вычетом пяти

    Слова «разделены» на «скажите нам, что мы собираемся разделить число на разность числа и 5. В этом случае мы будем использовать дробь для обозначения деления. Слова «меньше 5» говорит нам, что нам нужен знак минус, потому что мы собираемся вычесть пять.

    назад наверх

    Определение, типы, формулы, решаемые примеры, практические вопросы

    Алгебраические выражения: Математика становится немного сложной, когда в нее входят буквы и символы. С введением алгебры в классе 6 ученикам становится трудно понимать различные концепции. Мы в Embibe поможем вам сделать процесс обучения легким и плавным. В этой статье мы объясним алгебраические выражения, их определение, различные типы алгебраических выражений, части выражений и т. Д.вместе с решенными примерами.

    Загрузить:

    Ознакомьтесь с полным списком формул алгебры отсюда

    Определение алгебраических выражений: что такое алгебраические выражения?

    Определение алгебраического выражения : Алгебраическое выражение — это математический термин, который состоит из переменных и констант, а также математических операторов (вычитание, сложение, умножение и т. Д.).

    Пример: 8x — 20, 5x — 6y + 30 и т. Д.

    Краткое примечание: Алгебраические выражения не следует путать с алгебраическими уравнениями. Алгебраическое уравнение имеет две стороны (левая сторона или левая сторона и правая сторона или правая сторона), тогда как алгебраическое выражение — нет. Фактически, алгебраическое уравнение состоит из двух или более алгебраических выражений, разделенных знаком равенства (=). Давайте поймем разницу на примере.

    Например: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 — это алгебраическое уравнение, содержащее два члена, тогда как (a + b) 2 и (a 2 + 2ab + b 2 ) являются алгебраическими выражениями.Теперь вы знаете разницу между алгебраическими выражениями и алгебраическими уравнениями.

    Части алгебраического выражения

    Алгебраическое выражение содержит переменную с коэффициентом или без него, математический оператор и иногда константу. Различные части алгебраического выражения:

    1. Переменная : переменная — это буква, значение которой неизвестно. Может принимать любое значение в зависимости от ситуации.
    2. Коэффициент : Коэффициент — это числовое значение, используемое перед переменной для изменения ее значения.Он может присутствовать или не присутствовать в алгебраическом выражении.
    3. Константа : Константа — это любой член, значение которого остается неизменным на протяжении всего алгебраического выражения.
    4. Оператор : Математические операторы используются в алгебраическом выражении для выполнения некоторых математических вычислений для двух или более выражений.

    Разберемся на примере:

    Здесь:

    1. 6 — коэффициент при x.
    2. x — переменная.Его значение неизвестно и может быть любым.
    3. 9 — константа с фиксированным значением.
    4. + — оператор, используемый для сложения.

    Выражение в целом является биномиальным членом, поскольку оно содержит только два члена, то есть 6x и 9.

    Алгебраические выражения и термины

    Здесь мы расскажем вам разницу между переменной, выражением и термином и расскажем, как они связаны. Часто в математике мы встречаем символы или буквы, такие как x, y, z, и т. Д.чье значение неизвестно, и мы должны найти точное или приблизительное значение. Следовательно, переменная определяется как буква или символ, который используется для представления неизвестного числа

    .

    Любое число или переменная, объединенная умножением или делением, называется термином . Пример: 5, 6x, 5/3 и т. Д.

    Выражение представляет собой набор из одного или нескольких членов, разделенных либо вычитанием, либо сложением. Пример: 5x-3, 23x, 2 / 3x + 4.

    Проверьте другие важные статьи по математике:

    Типы алгебраических выражений

    Есть 6 основных типов алгебраических выражений. Это как под:

    1. Мономиальное выражение
    2. Биномиальное выражение
    3. Триномиальное выражение
    4. Линейное многочлен
    5. Квадратичное многочлен
    6. Кубическое многочлен

    Давайте посмотрим на них по очереди:

    1. Мономиальное выражение : Выражение с одним членом называется мономом.
      8x 6 , 10xy, 12xyz и т. Д. Являются примерами мономиальных выражений.
    2. Биномиальное выражение : выражение с двумя членами известно как биномиальное.
      8x 6 + 3, 10xy — x 3 , 12xy + 4 и т. Д. Являются примерами биномиальных выражений.
    3. Трехчленное выражение : Выражение с тремя членами известно как трехчленное.
      x + x 2 + π, y 4 + y + 6, z + z 2 — 5 и т. Д. Являются примерами трехчленных выражений.
    4. Линейный многочлен : многочлен степени 1 называется линейным многочленом. Другими словами, в линейном полиноме старший показатель переменной равен единице.
      Пример: (2x + 1), (8 — 2u) и т. Д.
    5. Квадратичный многочлен : многочлен степени 2 называется квадратичным многочленом. Это означает, что в квадратичном полиноме старший показатель переменной равен двум.
      Пример: x 2 + 25, y 2 — y — 36 и т. Д.
    6. Кубический многочлен : многочлен степени 3 называется линейным многочленом. Здесь старший показатель переменной равен трем.
      Пример: x 3 + x 2 , x 3 + 5 и т. Д.

    Некоторые другие типы алгебраических выражений:

    1. Числовое выражение : числовое выражение состоит только из чисел и математических операторов. В числовом выражении нет переменной.Например, 5 + 14, 9 + 6, 23 и т. Д.
    2. Выражение переменной : Выражение переменной состоит только из переменных и математических операторов. Переменные могут содержать или не содержать коэффициенты. Например, 5x + 3y, 8x + z, a + b и т. Д.

    Теперь, когда вы знакомы со всеми типами алгебраических выражений, давайте посмотрим, как их упростить.

    Упрощение алгебраических выражений

    Для этого мы возьмем многочлен P (x) = 5x 2 — 3x + 7, и мы должны упростить этот многочлен для x = 2.

    Вот, решите это пошагово.

    • 1-й шаг: Положите значение x = 2.
      P (2) = 5 (2) 2 — 3 (2) + 7
    • 2-й шаг: Используйте метод BODMAS
      P (2) = 5 (2 * 2) — 3 * 2 + 7
    • 3-й шаг: Выражение станет
      P (2) = 5 (4) — 6 + 7
      P (2) = 5 * 4 — 6 + 7
      P (2) = 20 — 6 + 7
      P (2) = 27 — 6
      P (2) = 21.

    Это был процесс пошагового упрощения алгебраического выражения.

    Скачать математические формулы для классов с 6 по 12:

    Формулы алгебры для решения алгебраических выражений

    Давайте посмотрим на некоторые важные формулы алгебры, которые помогут вам решить все математические проблемы, связанные с алгебраическими выражениями и тождествами:

    1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
    2. (a — b) 2 = a 2 — 2ab + b 2
    3. (a + b ) (a — b) = a 2 — b 2
    4. (x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab
    5. (x + a) ( x — b) = x 2 + (a — b) x — ab
    6. (x — a) (x + b) = x 2 + (b — a) x — ab
    7. (x — a ) (x — b) = x 2 — (a + b) x + ab
    8. (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b)
    9. ( а — б) 3 = а 3 — б 3 — 3ab (а — б)
    10. (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz
    11. (x + y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy — 2yz — 2xz
    12. (x — y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy — 2yz + 2xz 901 82
    13. (x — y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy + 2yz — 2xz
    14. x 3 + y 3 + z 3 — 3xyz = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 — xy — yz — xz)
    15. x 2 + y 2 = 12 [(x + y) 2 + (x — y) 2 ]
    16. (x + a) (x + b) (x + c) = x 3 + (a + b + c) x 2 + (ab + bc + ca) x + abc
    17. x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 — xy + y 2 )
    18. x 3 — y 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2 )
    19. x 2 + y 2 + z 2 — xy — yz — zx = 1/2 [(x — y) 2 + (y — z) 2 + (z — x) 2 ]

    Пример алгебраического выражения: решенные задачи на алгебраических выражениях

    Теперь давайте посмотрим на несколько решенных примеров алгебраических выражений, чтобы вы были уверены в этой теме:

    Вопрос 1 : Найдите x, когда 6x + 3 = 15

    Решение : Прежде всего мы отделяем константы от переменных.Итак,
    6x = 15-3
    ⇒ 6x = 12

    Разделив обе части на коэффициент при x, получим
    ⇒ x = 12/6
    = 2
    Следовательно, x = 2

    Вопрос 2 : Рассчитайте значение x в следующем уравнении:
    9x + 15 = 87

    Решение : Прежде всего мы отделяем константы от переменных. Итак,
    9x = 87-15
    ⇒ 9x = 72

    Разделив обе части на коэффициент при x, получим
    ⇒ x = 72/9
    = 8
    Следовательно, x = 8

    Вопрос 3 : Рассчитайте значение y по следующему уравнению:
    7y — 31 = -10

    Решение : Прежде всего мы отделяем константы от переменных.Итак,
    7y = -10 + 31
    ⇒ 7y = 21

    Разделив обе части на коэффициент при y, получим:
    ⇒ y = 21/7
    = 3
    Следовательно, y = 3

    Практические вопросы по алгебраическим выражениям

    Здесь мы предоставили вам несколько практических вопросов по теме алгебраических выражений:

    Q1: __________ — математическая фраза, содержащая числа, по крайней мере, одну операцию и без переменных.

    Q2: Упростите следующее:
    (i) 2y + 9 + 8y + 7
    (ii) 6m + 10 — 10m
    (iii) 15y — 5 + 10y

    Q3: Объедините похожие термины:
    (i) 3x — 2y + 4z — x + 5y + z
    (ii) 9a + 5c — 4b — 2a + 3b + 6c

    Q4: Если a = 3 и b = 5, решите следующие алгебраические выражения:
    (i) 5a + 7
    (ii) 9a + 6b
    (iii) 15b — 8a
    (iv) 14a — 12b

    Q5: У Сэма на ферме 15 буйволов.Большинство буйволов дают 35 литров молока в день (пусть равно y). Сколько буйволов не дают 35 литров молока в день?

    Часто задаваемые вопросы об алгебраических выражениях

    Вот несколько часто задаваемых вопросов, которые студенты обычно ищут:

    В: Что такое алгебраические выражения?
    A: Математический термин, состоящий из переменной и константы, называется алгебраическим выражением.

    Q: Как я могу упростить алгебраическое уравнение или выражение?
    A: Решите уравнение для значения коэффициента.Пример 8x 2 — 4x + 12 здесь x — коэффициент. Примените BODMAS, и вы получите решение.

    В: Какие типы алгебраических выражений?
    A: Алгебраические выражения в основном бывают 6 типов:
    (i) Мономиальное выражение
    (ii) Биномиальное выражение
    (iii) Трехчленное выражение
    (iv) Линейное полином
    (v) Квадратичное полином
    (vi) ) Кубический многочлен
    Кроме них, существуют также выражения переменных и числовые выражения.

    Q: Как упростить алгебраические выражения?
    A: Существует множество формул для упрощения и решения алгебраических выражений. В Embibe вы можете получить полный список формул алгебры и других математических формул для всех классов. Ссылайтесь на формулы и решайте вопросы. Чем больше вы решите, тем лучше вы получите.

    Теперь вам предоставлена ​​вся необходимая информация об алгебраических выражениях. Практикуйте больше вопросов и овладейте этой концепцией.Студенты могут использовать NCERT Solutions для математики, предоставленные Embibe для подготовки к экзаменам.

    Кроме того, студенты могут использовать бесплатные практические вопросы и пробные тесты Embibe. Они доступны для каждой главы программы математики для 8, 9, 10, 11 и 12 классов. Практические вопросы содержат подсказки, решения и обратную связь в режиме реального времени, которые помогут вам повысить скорость и точность.

    Не стесняйтесь задавать свои сомнения или вопросы в разделе комментариев ниже.Мы обязательно свяжемся с вами в ближайшее время. Embibe желает вам всего наилучшего в вашей подготовке!

    4259 Просмотры

    Алгебраическое выражение — определение, примеры и формулы

    Алгебраические выражения — это уравнения, которые мы получаем, когда с любой переменной производятся такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д. Например, предположим, что Джеймс и Натали играли спичками и думали о том, чтобы с их помощью сформировать числовые комбинации.Джеймс взял четыре спички и сформировал число 4. Натали добавила еще три спички, чтобы получился узор из двух четверок. Они поняли, что могут добавлять по 3 спички в каждом раунде, чтобы получить одну дополнительную «четверку». Из этого они пришли к выводу, что им нужно 4+ 3 (n-1) палочек, в общем, чтобы сделать узор с n числом 4. Здесь 4+ 3 (n-1) называется алгебраическим выражением.

    Что такое алгебраические выражения?

    Алгебраическое выражение (или) выражение переменной — это комбинация терминов посредством таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д.Например, давайте посмотрим на выражение 5x + 7. Таким образом, мы можем сказать, что 5x + 7 — это пример алгебраического выражения. Есть разные компоненты алгебраического выражения. Давайте посмотрим на изображение, приведенное ниже, чтобы понять концепцию переменных, констант, терминов и коэффициентов любого алгебраического выражения.

    Переменные, константы, члены и коэффициенты

    В математике символ, не имеющий фиксированного значения, называется переменной.Может принимать любое значение. В приведенном выше примере со спичками n — это переменная, и в этом случае она может принимать значения 1,2,3, … Некоторые примеры переменных в Math: a, b, x, y, z, m, и т.д. С другой стороны, символ, имеющий фиксированное числовое значение, называется константой. Все числа постоянные. Некоторые примеры констант: 3, 6, — (1/2), √5 и т. Д. Термин — это одна переменная (или) одна константа (или) это может быть комбинация переменных и констант посредством операции умножения. или деление.Некоторые примеры терминов: 3x 2 , — (2y / 3), √ (5x) и т. Д. Здесь числа, умножающие переменные, — 3, -2/3 и 5. Эти числа называются коэффициентами . .

    Как упростить алгебраические выражения?

    Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы просто объединяем похожие термины. Следовательно, одинаковые переменные будут объединены вместе. Теперь из одинаковых переменных одни и те же полномочия будут объединены.Например, давайте возьмем алгебраическое выражение и попытаемся свести его к низшей форме, чтобы лучше понять концепцию. Пусть наше выражение будет:

    x 3 + 3x 2 — 2x 3 + 2x — x 2 + 3 — x

    = (x 3 — 2x 3 ) + (3x 2 — x 2 ) + (2x — x) + 3

    = −x 3 + 2x 2 + x + 3

    Следовательно, алгебраическое выражение x 3 + 3x 2 — 2x 3 + 2x — x 2 + 3 — x упрощается до −x 3 + 2x 2 + x + 3.

    Формулы алгебраических выражений

    Алгебраические формулы — это производные короткие формулы, которые помогают нам легко решать уравнения. Это просто перестановка данных терминов с целью создания лучшего выражения, которое легко запомнить. Ниже приведен список некоторых основных формул, которые широко используются. Взгляните на эту страницу, чтобы лучше понять алгебраические формулы.

    • (a + b) = a 2 + 2ab + b 2
    • (a — b) = a 2 — 2ab + b 2
    • (а + б) (а — б) = а 2 — б 2
    • (x + a) (x + b) = x 2 + x (a + b) + ab

    Типы алгебраических выражений

    Типы алгебраических выражений основаны на переменных, найденных в этом конкретном выражении, количестве членов этого выражения и значениях показателей степени переменных в каждом выражении.Ниже приведена таблица, в которой алгебраические выражения делятся на пять различных категорий. Посмотрим на таблицу.

    Типы Значение Примеры

    одночлен

    Выражение только с одним членом, в котором показатели всех переменных являются неотрицательными целыми числами

    3xy

    Биномиальное

    Выражение с двумя одночленами

    (3/4) x — 2 года 2

    Трехчлен

    Выражение с тремя одночленами

    3x-2y + z

    Полином

    Выражение с одним или несколькими одночленами

    — (2/3) x 3 + 7x 2 + 3x + 5

    Полиномиальный

    Выражение с одним или несколькими членами (показатели переменных могут быть как положительными, так и отрицательными)

    4x -1 + 2y + 3z


    Часто задаваемые вопросы об алгебраических выражениях

    Как описать алгебраическое выражение?

    Алгебраическое выражение описывается с помощью его терминов и операций с ними.Например, x + 3 можно описать как «на 3 больше, чем x». В то время как a + b — 7 можно описать как «на 7 меньше суммы a и b».

    Сколько терминов в алгебраическом выражении?

    Термин — это одна переменная (или) одна константа (или) он может быть комбинацией переменных и констант посредством операции умножения или деления. Мы применяем это определение, чтобы идентифицировать термины в алгебраическом выражении. После того, как мы определим термины, мы можем просто их сосчитать.

    Почему алгебраические выражения полезны?

    В алгебраических выражениях используются переменные (которые принимают несколько значений) для описания реального сценария.Вместо того, чтобы говорить «Стоимость 3 ручек и 4 карандашей», просто сказать 3x + 4y, где x и y — стоимость каждой ручки и карандаша соответственно. Кроме того, написание реального сценария в виде выражения помогает выполнять математические вычисления.

    Как определить алгебраическое выражение?

    Алгебраическое выражение — это комбинация переменных и констант. Однако в нем не должно быть никаких равенств. В противном случае оно превратится в алгебраическое уравнение.

    Как просто алгебраическое выражение?

    Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы просто объединяем похожие термины и решаем дальше, чтобы получить упрощенную форму выражения..

    Является ли 7 алгебраическим выражением?

    Да, 7 — это алгебраическое выражение, потому что его можно рассматривать как одночлен.

    Что такое алгебраические выражения и уравнения?

    Алгебраическое выражение — это любое число, переменная или различные операции, объединенные вместе, а уравнение — это два разных алгебраических выражения, объединенные вместе со знаком равенства.


    Интерпретация — Математическая энциклопедия

    Придание значения (значения) математическим выражениям (символам, формулам и т. Д.)). В математике такими значениями являются математические объекты (множества, операции, выражения и т. Д.). Само значение называется интерпретацией соответствующего выражения.

    Примеры. Значением (или интерпретацией) символа $ \ cdot $ может быть операция умножения действительных чисел, операция сложения целых чисел и т. Д. Предположим, что первая из этих интерпретаций используется для $ \ cdot $. Если символы $ x $ и $ y $ обозначают действительные числа (т.е. переменные с возможной областью определения всей действительной оси), то значение выражения $ x \ cdot y $ является отображением, преобразующим каждую пару действительных чисел в их продукт; если значения $ x $, $ y $ равны, соответственно, $ 6 $ и $ 2.5 $, то значением выражения $ x \ cdot y $ будет число 15. Значением (интерпретацией) утверждения плоской геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре может служить соответствующее утверждение плоской евклидовой геометрии.

    Наиболее важными интерпретациями являются теоретико-множественные интерпретации выражений логических языков. Если говорить об одновременной интерпретации всех выражений языка, значит, у него есть интерпретация языка. Теоретико-множественная интерпретация логического языка включает в себя спецификацию значений констант — констант объекта, функции и предиката, а также констант более высоких степеней (константы для предикатов предикатов и т. Д.), а также указание области применимости переменных — объекта, функции и т. д., переменных. В многосортных интерпретациях разные объектные переменные могут иметь разные области применения; то же самое относится к функциональным переменным и т. д. Однако наиболее часто используются интерпретации, для которых все переменные объекта, а также функциональные переменные с одинаковым числом аргументов и т. д. имеют одну и ту же область применимости. Если область изменения переменных объекта (иногда называемая областью или опорой интерпретации) представляет собой набор $ D_0 $, то область изменения $ n $ -размещенных функциональных переменных представляет собой набор $ D_n $ из $ n $ -местных операций над $ D_0 $.Часто $ D_n $ принимается за набор всех $ n $ -местных операций над $ D_0 $; в этом случае часто не упоминается область изменения переменных функции. Значения объектных констант являются элементами $ D_0 $, а значения функциональных констант — элементами $ D_1, D_2, \ ldots $.

    В теоретико-множественной интерпретации логического языка интерпретация термина (т. Е. Значение термина в данной интерпретации) — это сопоставление, присваиваемое каждому выбору значений переменных языка (или, в некоторой степени, различное определение, к каждому выбору значений переменных, участвующих в термине) элемент области интерпретации, по определенному правилу.{D_0} $, содержащий интерпретации всех одноместных констант предиката и т. Д. Интерпретация формулы определяется аналогично интерпретации термина как отображение, присваивающее каждому выбору значений переменных объекта, функции и предиката язык элемент $ A $. Важным видом теоретико-множественных интерпретаций являются алгебраические интерпретации, в которых операции над $ A $ принимаются как значения (интерпретации) логических связок, отображения из множества подмножеств $ A $ в $ A $ (обобщенные операции над $ A $) как значения кванторов, и где интерпретация формулы определяется индукцией по структуре.Модели Крипке являются наиболее важными среди других теоретико-множественных интерпретаций.

    Булевозначные алгебраические интерпретации характеризуются тем, что множество $ A $ является полной булевой алгеброй; а значения связок и кванторов: для конъюнкции — пересечение; для квантора существования — взятие наименьшей верхней границы и т. д. Классические интерпретации играют особенно важную роль. Они определяются как булевозначные интерпретации с помощью двухэлементной булевой алгебры $ A $.

    Понятие истинности формул в данной интерпретации определяется путем различения определенных элементов в $ A $. Например, для классических интерпретаций естественно принять единицу булевой алгебры как выделенный элемент (единица также называется «истина»). Формула называется истинной в данной интерпретации, если ее интерпретация принимает только определенные значения. Модель (или регулярная интерпретация, или просто интерпретация, см. Модель (в логике)) системы формул определенного языка — это интерпретация этого языка, в которой все формулы системы истинны.

    Термин «стандартная интерпретация» употребляется, когда среди всех возможных значений (интерпретаций) определенного выражения есть общепринятое. Например, стандартная интерпретация символа $ = $ в классической интерпретации — это совпадение элементов, а стандартная интерпретация $ + $ и $ \ cdot $ в арифметике — это сложение и умножение натуральных чисел. Аналогичным образом вводятся понятия стандартной интерпретации языка и стандартной модели.В частности, классическая интерпретация арифметики первого порядка с предикатной константой $ = $ и функциональными константами $ + $ и $ \ cdot $, интерпретируемая, как указано выше, называется стандартной.

    Помимо теоретико-множественных интерпретаций логических языков, используются и другие. Например, интерпретации, в которых выражения одного логического языка интерпретируются как выражения на другом логическом языке (см. Операция погружения), используются для доказательства разрешимости, неразрешимости и относительной непротиворечивости логических теорий.См. Также «Конструктивная логика».

    Список литературы
    [1] E. Rasiowa, R. Sikorski, «Математика метаматематики», Polska Akad. Nauk (1963)
    [2] A. Чёрч, «Введение в математическую логику», 1 , Princeton Univ. Press (1956)
    [3] Э. ​​Мендельсон, «Введение в математическую логику», v. Nostrand (1964)

    Помимо моделей Крипке, булевозначные модели (см.Булевозначная модель) являются важными интерпретациями. И то, и другое можно рассматривать как частные случаи моделей пучков или интерпретаций в топосах (ср.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *