Решение уравнений с модулем в курсе алгебры 7-8 классов
Методические рекомендации по теме: «Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса»
Автор: Давыдова Наталья Александровна,
учитель математики МОУ «Лицей №4»
города Саратова.
Введение.
Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.
Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.
Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем.
§1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.
Напомни
educontest.net
Составте 10 уравнений с модулем и решите их. Для 6-7 классов
Пример 1. Решить уравнение |10х – 5| = 15. Решение. В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений: │10х – 5 = 15 │10х – 5 = –15 Решаем: │10х = 15 + 5 = 20 │10х = –15 + 5 = –10 ↕ │х = 20 : 10 │х = –10 : 10 ↕ │х = 2 │х = –1 Ответ: х1 = 2, х2 = –1. Пример 2. Решить уравнение |2х + 1| = х + 2. Решение. Поскольку модуль – число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно: х ≥ –2. Составляем два уравнения: │2х + 1 = х + 2 │2х + 1 = –(х + 2) Решаем: │2х + 1 = х + 2 │2х + 1 = –х – 2 ↕ │2х – х = 2 – 1 │2х + х = –2 – 1 ↕ │х = 1 │х = –1 Оба числа больше –2. Значит, оба являются корнями уравнения. Ответ: х1 = –1, х2 = 1. Пример 3. Решить уравнение |х + 3| – 1 ————— = 4 х – 1 Решение. Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю – значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое – не просто освобождаемся от дроби, а преобразуем ее так, чтобы получить подмодульное выражение в чистом виде: |х + 3| – 1 = 4 · (х – 1), |х + 3| – 1 = 4х – 4, |х + 3| = 4х – 4 + 1, |х + 3| = 4х – 3. Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше. Модуль числа есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство: 4х – 3 ≥ 0 4х ≥ 3 х ≥ 3/4 Таким образом, у нас появилось второе условие: корень или корни уравнения должны быть не меньше 3/4. В соответствии с правилом модуля составляем совокупность двух уравнений и решаем их: │х + 3 = 4х – 3 │х + 3 = –(4х – 3) ↕ │ х + 3 = 4х – 3 │ х + 3 = –4х + 3 ↕ │х – 4х = –3 – 3 │х + 4х = 3 – 3 ↕ │х = 2 │х = 0 Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения. У нас было два условия: корень уравнения должен быть не меньше 3/4, но не может быть равен 1. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов – число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения. Ответ: х = 2.
План-конспект занятия по алгебре (7 класс) по теме: Решение уравнений, содержащих знак модуля и параметры
МБОУ СОШ №14
с углубленным изучением отдельных предметов г. Иркутска.
Дидактическая разработка
по алгебре для 7 го класса по теме:
«Решение линейных уравнений, с параметрами, содержащими знак модуля».
Подготовила:
М.Н. Полякова
Иркутск, 2011 г.
- Решить уравнение
|х|=а При рассмотрении вариантов для параметра а необходимо помнить, что модуль принимает только неотрицательные значения.
- при а
решений нет
- при а=0
|х|=0
х=0 – одно решение
- при а>0
|х|=а, используем геометрический смысл модуля.
х=а, и х=–а т.е. два решения.
Ответ: при а0, х=а, и х=–а;
- |ах+1|=а Параметр а может быть числом неотрицательным.
- если а
|ах+1|=а нет решений.
- если а=0
|0х+1|=0
|1|=0 нет решений.
- если а>0
|ах+1|=а, используя геометрический смысл модуля, решим два уравнения.
ах+1=а и |ах+1|=–а
ах=а–1 ах=–а–1
х=(а–1)/а х=–(а=1)/а
Ответ: при а0, х=(а–1)/а, х=–(а=1)/а;
- |а–2х|=3 т.к. число 3>0, то используя геометрический смысл, рассмотрим два уравнения.
а–2х=3 и а–2х=–3
а–3=2х а+3=2х
2х=а–3 2х=а+3
х=(а–3)/2 х=(а+3)/2
т.е. при любых значениях параметра а имеется два решения
Ответ: при а – любом, х=(а–3)/2, х=(а+3)/2;
- |ах–а|=а, число а должно быть неотрицательным
- если а
- если а=0, то уравнение принимает вид:
|0х–0|=0
|0|=0, т.е. х – любое число.
- если а>0
|ах–а|=а, то рассмотрим два уравнения
ах–а=а и ах–а=–а
ах=а+а ах=–а+а
ах=2а ах=0
х=2а/а х=0/а
х=2 х=0
Ответ: при а0, х=2, х=0;
- |х–1|=4 преобразуем уравнение
|х–1|=4/а рассмотрим случаи:
- если а
4/а
|х–1|=4/а не имеет решений.
2) если а=0, то 4/0 не имеет смысла.
|х–1|=4/а не имеет решений.
- если а>0, то 4/а>0
|х–1|=4/а, используя геометрический смысл модуля, рассмотрим два уравнения.
х–1=4/а и х–1=–4/а
х=1+4/а х=1–4/а
Ответ: при а>0, решений нет; при а=0, решений нет; при a>0, х=1+4/а, х=1–4/а;
Уравнения для самостоятельного решения:
- |х–4|=а;
- |3–у|=b;
- |х–7|=а;
- |х+9|=а;
- |7–х|=а;
- |ах–2|=3;
- |х–2|=а;
- |х+3|=b:
- 2|х–а|=а–2;
Литература
- Н.П. Кострикина. Задачи повышенной трудности по математике 5-6 класс. – М.: Просвещение. – 1991.
- В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры».: М «Просвещение», 1990.
- А.П. Ершова, В.В. Голобородько «Математика» «Илекса», Москва, 2003
- А.П. Ершова, А.С. Ершова «Математика» «Импекса», Москва–Харьков, 1998.
nsportal.ru