Аксиомы ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: Π’Π°ΠΊ Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ каТСтся? / Habr – аксиомы Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: falcao β€” LiveJournal

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π°ΠΊ Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ каТСтся? / Habr

НавСрноС, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ вопрос Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π» сСбС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ, Ρ‡ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ. ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ 2 Ρ… 2 = 4, Π±Ρ‹Π»ΠΎ сдСлано Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта Ρ‚Π΅ΠΌΠ° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ…Π°Π±Ρ€Π°Π»ΡŽΠ΄ΡΠΌ. Π Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ± аксиомах Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, противорСчиях ΠΈ парадоксах. ΠšΠΎΠΌΡƒ интСрСсно β€” Π΄ΠΎΠ±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°Ρ‚.
ВмСсто прСдисловия

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· нас Π² школС Π½Π΅ сомнСвался Π² справСдливости Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… матСматичСских ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. Ну ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ сказал, Ρ‚ΠΎ ΠΈ истина. Но, познакомившись со строгой ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ (Π½Π΅ люблю слово Β«Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉΒ»), ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ большС ΠΌΡ‹ стараСмся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚, Ρ‚Π΅ΠΌ слоТнСС это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° совсСм Π½Π΅ получаСтся.

Π’Π°ΠΊ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, для Π›Π΅ΠΎΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ΄Π° ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π° Π½Π΅ являлись Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΠ½ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»: Β«Π‘ΠΎΠ³ создал Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° всё ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅Π΅ β€” Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ€ΡƒΠΊ чСловСчСских» (Β«Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist MenschenwerkΒ»)

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π“Π΅ΠΎΡ€Π³ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠΎΡ‰Π΅Π½ (А ΠΈ B Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹, Ссли сущСствуСт биСкция ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ) n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌΡƒ пространству, ΠΎΠ½ провозгласил: Β«Π― Π²ΠΈΠΆΡƒ это, Π½ΠΎ я Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡŽ Π² это!Β» (Β«Je le vois, mais je ne le crois pas!Β»)

НСмного философии

Π Π΅Ρ‡ΡŒ Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ± аксиоматикС Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… матСматичСских мноТСств, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚.Π΄., Π½ΠΎ всС ΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ вопросом Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚, Π° Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΌ аксиомы Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹? ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρƒ простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ русский язык ΠΈ слово, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, «дСТавю». ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Β«Π”Π΅ΠΆΠ°Π²ΡŽΜ β€” психичСскоС состояниС, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΎΡ‰ΡƒΡ‰Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π» Π² ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ситуации». Но ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Π΅, посСму Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ вмСсто ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ слова ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½Π΅Ρ‚ ΠΊΡƒΠ΄Π° большС. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ «психичСский», «состояниС», Β«Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΒ», Β«ΠΎΡ‰ΡƒΡ‰Π°Ρ‚ΡŒΒ», Β«ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉΒ», «ситуация». Как Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρƒ нас получаСтся Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ слов, Π° Π² силу Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слов, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² русском языкС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ мноТСство, Ρƒ нас получится ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ встрСчаСтся Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ слово, Ρ‚.Π΅. ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· самого сСбя.

Π’ΠΎΡ‚ для этого ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ аксиомы. Нам всСгда Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡ‚Π°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ всСм ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ понятно. ΠΠ΅Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ часто Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ утвСрТдСния, ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ понятныС, Π½ΠΎ приводящиС ΠΊ парадоксам. НапримСр аксиома Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π°(Axiom of Choice), Π½ΠΎ ΠΎΠ± этом ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅.

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Аксиомы ПСано Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π―, ΠΊΠ°ΠΊ программист, люблю ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0 ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам, это ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ. Π§Ρ‚ΠΎ-ΠΆ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ знамСнитая аксиоматика ПСано.

1. 0 являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.
2. Число, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.
3. 0 Π½Π΅ слСдуСт Π½ΠΈ Π·Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.
4. Если Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число a нСпосрСдствСнно слСдуСт ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π° числом b, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π·Π° числом c, Ρ‚ΠΎ b ΠΈ c ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.
5. (Аксиома ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ) Если ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ для 0 (Π±Π°Π·Π° ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ) ΠΈ Ссли ΠΈΠ· допущСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа n, Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π° n Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа (ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅), Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для всСх Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

РазбСрСмся ΠΏΠΎ-порядочку.
1-я аксиома Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ пустоС мноТСство ΠΈ всС аксиомы Π±Ρ‹ для Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π±Ρ‹.
2 ΠΈ 3 Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Π±Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ясны.

4. Π­Ρ‚Π° аксиома Π½ΡƒΠΆΠ½Π° для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ появились «отвСтвлСния». Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3 слСдуСт Π·Π° 2 ΠΈ 2′, Π° дальшС 2 ΠΈ 2′ Π·Π° 1 ΠΈ 1′ соотвСтствСнно, ΠΈ Ρ‚.Π΄. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅, такая модСль ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° сущСствованиС, Π½ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ слоТно ввСсти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ порядка.
5. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π² ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π°. Π—Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π°. Π’ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вся ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ состоит ΠΈΠ· ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½. А Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ всС ΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ аксиому ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ½Π° Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ слСдуСт.

Удобная модСль, всС ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, всС счастливы. Вопрос, Π² Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΡ…? ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число с ΠΊ нашим ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам ΠΈ скаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ большС всСх Π½Π°ΡˆΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ Π½ΠΈ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π’.Π΅. Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ наша модСль N, Π½ΠΎ ΠΈ, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, N + Z. Π“Π΄Π΅ Π² N ΠΈ Z (Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа) ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ сравнСниС чисСл, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ любоС число ΠΈΠ· N мСньшС любого числа ΠΈΠ· Z.

Вопрос, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ввСсти аксиомы Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΡ‹ описали наши ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ… (Ρ‚.Π΅. сущСствуСт Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, подставив Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ СстСствСнноС Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΎΠ½Π° выдаст True, Π° любоС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ число False)? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ β€” Π½Π΅Ρ‚. ИдСя Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. А Π΄Π°Π»Π΅Π΅, написав Ρ…ΠΈΡ‚Ρ€ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΈ подставив Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ΄ Π² Π€ (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, которая ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΡƒΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Π΅ΡΡ‚Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅.

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Аксиоматика мноТСств Π¦Π΅Ρ€ΠΌΠ΅Π»ΠΎ-ЀрСнкСля (ZF)

На Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… аксиомах ΠΈ строится соврСмСнная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ-ΠΆ, Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΈΠΉ вдох… приступим. Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡŽΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всСвозмоТныС мноТСства. НапримСр, мноТСство всСх Π΄ΠΎΠΌΠΎΠ² Π² России, Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Π΄ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ мноТСства, Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ оказались Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ количСство Ρ€ΠΎΡƒΡ‚Π΅Ρ€ΠΎΠ² Π² Π΄ΠΎΠΌΠ΅ (Π΅Π΄. измСрСния β€” число) ΠΈ люди (Π΅Π΄. измСрСния β€” Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ), ΠΏΡ€ΠΎΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² этом Π΄ΠΎΠΌΠ΅. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ СстСствСнный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ для программистов β€” Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ списки [ [1, 2, [3, -19] ], [0, 1], [5, [26, 1] ], 27]. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство, состоящСС ΠΈΠ· 4-Ρ… элСмСнтов [1, 2, [3, -19] ], [0, 1], [5, [26, 1] ], 27. Для ясного осознания Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0 Π½Π΅ являСтся элСмСнтом этого мноТСства, хотя, Ссли ΠΊΠΎΠΏΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π² Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Ρƒ, Ρ‚ΠΎ окаТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0 Ρ‚Π°ΠΌ Π΅ΡΡ‚ΡŒ! Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ аксиомам. Π― позволю сСбС Π½Π΅ Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, Π° ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡ‚ΡŒ своими словами.

1. Аксиома ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Если Π΄Π²Π° мноТСства состоят ΠΈΠ· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… элСмСнтов, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
2. Аксиома подмноТСств. Если Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСкоторая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· любого мноТСства ΠΎΠ½Π° Β«Π²Ρ‹Ρ€Π΅Π·Π°Π΅Ρ‚Β» Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мноТСство.
3. Аксиома Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹. Если для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½-Π²Π° Ρ…, F(x) = {y | Π€(Ρ…, Ρƒ)} Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся мноТСством, Ρ‚ΠΎ для любого Π°, {y | x ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π°, Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ F(x)} β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мноТСство.
4. Аксиома стСпСни. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ подмноТСств Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся мноТСством.
5. Аксиома бСсконСчности.
БущСствуСт мноТСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ содСрТит пустоС мноТСство, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ вмСстС с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ элСмСнтом x содСрТит мноТСство {{x}, x} β€” Ρ‚.Π΅. всС элСмСнты x ΠΈ сам x ΠΊΠ°ΠΊ элСмСнт.
6. Аксиома рСгулярности. НС сущСствуСт бСсконСчных ΠΏΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΊ мноТСств, Ρ‚.Π΅. нСльзя, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ мноТСство a1 соТСрТало a2, Ρ‚ΠΎ Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ a3, ΠΈ Ρ‚.Π΄.

ПояснСния.
1. ВсС ясно.
2. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ рассматриваСм мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. А Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° такая: Ρ… != 0. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΉ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ всС Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля. Аксиома Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π±Π΅Π· нуля β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мноТСство. Если ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΡ‰ΠΈΡ‚ΡŒ эту Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, Ρ‚ΠΎ получится парадокс РассСла.
3. НС Π·Π½Π°Π» ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ эту аксиому, Π² Π΄Π²ΡƒΡ… словах, Ссли ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ мноТСства, Ρ‚ΠΎ получится мноТСство.
4. [1, 2, 3], мноТСство подмноТСств Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства (ΠΏΡ€ΠΎΡˆΡƒ прощСния Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡƒΠ΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слова «мноТСство») β€” 1, 2, 3, [1, 2], [1, 3], [2, 3], [1, 2, 3]. Вопрос, Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ сдСлаСм ΠΈ Ρƒ нас окаТСтся Π½Π΅ мноТСство? Ну Π²ΠΎΡ‚ хотя Π±Ρ‹ рассмотрим мноТСство всСх мноТСств! По аксиомС 4 сущСствуСт мноТСство Π΅Π³ΠΎ подмноТСств, Π° Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ мощности большС нашСго ΠΌΠ½-Π²Π°.

5. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ аксиома, Π³Π΄Π΅ просится сущСствованиС Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ мноТСства. Какого ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ β€” описано Π² аксиомС.
6. ВоТС всС ясно.

Π§Ρ‚ΠΎ-ΠΆ, ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ с нудятиной. Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих аксиом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ. Они Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ (e β€” пустоС мноТСство). 0 = Π΅, 1 = {e}, 2 = {e, {e}}, 3 = {e, {e}, {e, {e}} }, ΠΈ Ρ‚.Π΄. БобствСнно говоря, Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈ построСна соврСмСнная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡ ΠΈ парадоксы

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ аксиомы ZF Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹, Ссли ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти любоС ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 0 = 1, ΠΈ Π³Ρ€ΠΎΡˆ Ρ†Π΅Π½Π° нашСй Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅. Π”Π°ΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСльзя Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ZF. Забавная ΡˆΡ‚ΡƒΠΊΠ° получаСтся, Π½ΠΎ Π² этом Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‚Ρ€Π°ΡˆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. Если ΠΌΡ‹ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этого Π½Π΅Ρ‚, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС нСпротиворСчивости. ДвиТСмся дальшС.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° получаСтся достаточно скупой Π½Π°ΡƒΠΊΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΠΎ всСго ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ аксиому Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π°. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π° аксиома такая? Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… словах β€” ΠΈΠ· любого нСпустого мноТСства ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ элСмСнт. Казалось Π±Ρ‹, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ СстСствСнная аксиома, Π½ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ парадоксу Π‘Π°Π½Π°Ρ…Π°-Варского, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡˆΠ°Ρ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 5 кусков ΠΈ ΡΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… 2 Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΆΠ΅ ΡˆΠ°Ρ€Π°. Π’.Π΅. яблоко ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° 5 частСй ΠΈ ΡΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° яблока?! ΠŸΠΎΡΠ΅ΠΌΡƒ ΠΈ парадокс. Π§Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ интСрСснСС, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли тСория ZF Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² ΠΊ Π½Π΅ΠΉ аксиому Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° (ZF + Axiom of Choice = ZFC) ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΡƒΡŽ аксиоматику!

Π˜ΡΠΊΠΎΡ€ΠΊΠ° Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ΄Ρ‹

Π’ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ парадоксы. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° β€” полная Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ? ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ слСдуСт Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: никакая Π½Π΅ Ρ‡ΡƒΡˆΡŒ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ слСдуСт. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΆΠ΅, спросит Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ. Π― ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρƒ достаточно физичСскоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ. «Ого, Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ 100 Π»Π΅Ρ‚ ΠΌΡ‹ наблюдали Π·Π° ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΡƒΡ‚Π΅Ρ€Π±Ρ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ оказалось, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ маслом Π²Π½ΠΈΠ·, Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ это Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΒ». Π”ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΡˆΡƒΡ‡Ρƒ? А ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° состоят ΠΈΠ· ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡƒΠ». НичСго Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ строгого, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2000 Π»Π΅Ρ‚ эта тСория Π½Π΅ Π΄Π°Π²Π°Π»Π° сбой, Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅. Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚ с ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ ситуация. ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π΅Π΅, Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Π±Ρ‹ ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π΅Π΄ΡƒΡ‚, самолСты лСтят, здания стоят ΠΈ всС Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ. Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π±Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Π΅ΠΌ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ копались Π² дСбрях этой Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΌ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Π±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ происходит.

И всС ΠΆΠ΅, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° парадокс Π‘Π°Π½Π°Ρ…Π°-Варского Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚, всС ΠΆΠ΅ достаточно Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ! На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Ссли Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎ ВсСлСнной Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ бСсконСчного. НСт Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с бСсконСчными мноТСствами. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ.

ВсСм ΡƒΠ΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°! =)

Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ «ΠΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°»

Аксиома

Аксиома (Π΄Ρ€. — Π³Ρ€Π΅Ρ‡. ἀξίωμα — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅), постулат — исходноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ истинным Π±Π΅Π· трСбования Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ.

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² принятии аксиом Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² слСдуСт ΠΈΠ· ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ сообраТСния: любоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ утвСрТдСния, ΠΈ Ссли для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ своих Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° получится бСсконСчной. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ эту Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ€Π°Π·ΠΎΡ€Π²Π°Ρ‚ΡŒΒ β€” Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ утвСрТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², ΠΊΠ°ΠΊ исходныС. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, принятыС Π² качСствС исходных, утвСрТдСния ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ аксиомами.

Π’ соврСмСнной Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ вопрос ΠΎΠ± ΠΈΡ… истинности аксиом, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² основС ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ посрСдством ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ.

Аксиоматизация Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” явноС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ счётного, рСкурсивно пСрСчислимого (ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² аксиоматикС ПСано) Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π½Ρ‹ названия ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌ ΠΈ ΠΈΡ… основным ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ аксиомы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, всё дальнСйшСС ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° этих аксиомах, ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ аксиом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ основу ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½Π΅ являСтся СдинствСнным. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² аксиом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Набор аксиом называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли исходя ΠΈΠ· аксиом Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅.

Австрийский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠšΡƒΡ€Ρ‚ Π“Ρ‘Π΄Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Β«Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅Β», согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ всякая систСма матСматичСских аксиом (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма) начиная с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уровня слоТности Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π° (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² достаточно слоТных систСмах найдётся хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ высказываниС, Π½ΠΈ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° срСдствами самой этой систСмы).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ аксиом:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ систСм аксиом:

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «аксиома» встрСчаСтся Ρƒ АристотСля (384β€”322 Π΄ΠΎΒ Π½. э.) ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡˆΡ‘Π» Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΎΡ‚ философов Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ понятия «постулат» ΠΈ «аксиома», Π½Π΅ объясняя ΠΈΡ… различия. Π‘ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΡ‘Π½ Боэция постулаты пСрСводят ΠΊΠ°ΠΊ трСбования (petitio), аксиомы — ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ понятия. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ слово «аксиома» ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ «истина, очСвидная сама ΠΏΠΎ сСбС». Π’ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… манускриптах Начал Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° аксиомы ΠΈ постулаты Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ совпадаСт ΠΈΡ… порядок. ВСроятно пСрСписчики ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ·Π·Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ этих понятий.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ аксиомам ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ самоочСвидным истинам ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя. НапримСр, Π² словарС Даля аксиома — это Β«ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ясная ΠΏΠΎ сСбС ΠΈ бСсспорная истина, Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Β».

БСйчас аксиомы ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ сами ΠΏΠΎ сСбС, Π° Π² качСствС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ формирования Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ часто ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ прагматичСскими: ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий ΠΈΒ Ρ‚.Β ΠΏ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ Π½Π΅ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ принятых аксиом. Π›ΠΈΡˆΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Π΅Ρ‘ аксиом.

Аксиома β€” ВикипСдия

Аксио́ма (Π΄Ρ€.-Π³Ρ€Π΅Ρ‡. ἀξίωμα Β«ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β») ΠΈΠ»ΠΈ постула́т — исходноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ истинным Π±Π΅Π· трСбования Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ[1].

НазначСниС

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² принятии аксиом Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² слСдуСт ΠΈΠ· ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ сообраТСния: любоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ утвСрТдСния, ΠΈ Ссли для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ своих Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° получится бСсконСчной. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ эту Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ€Π°Π·ΠΎΡ€Π²Π°Ρ‚ΡŒΒ β€” Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ утвСрТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², ΠΊΠ°ΠΊ исходныС. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, принятыС Π² качСствС исходных, утвСрТдСния ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ аксиомами[2].

Π’ соврСмСнной Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ вопрос ΠΎΠ± истинности аксиом, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² основС ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ посрСдством ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ[3].

Аксиоматиза́ция Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” явноС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ счётного, рСкурсивно пСрСчислимого (ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² аксиоматикС ПСано) Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π½Ρ‹ названия ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌ ΠΈ ΠΈΡ… основным ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ аксиомы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, всё дальнСйшСС ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° этих аксиомах ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ аксиом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ основу ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½Π΅ являСтся СдинствСнным. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² аксиом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Набор аксиом называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли исходя ΠΈΠ· аксиом Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅.

Австрийский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠšΡƒΡ€Ρ‚ Π“Ρ‘Π΄Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Β«Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅Β», согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ всякая систСма матСматичСских аксиом (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, слоТСниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ найдётся бСсконСчноС количСство матСматичСских ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ), Π½ΠΈ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ смоТСт Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° основании Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы аксиом. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅, срСди этих Π½Π΅Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ нСпротиворСчивости этой систСмы.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «аксиома» встрСчаСтся Ρƒ АристотСля (384β€”322 Π΄ΠΎΒ Π½. э.) ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΎΡ‚ философов Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ понятия «постулат» ΠΈ «аксиома», Π½Π΅ объясняя ΠΈΡ… различия. Π‘ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΡ‘Π½ Боэция постулаты пСрСводят ΠΊΠ°ΠΊ трСбования (petitio), аксиомы — ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ понятия. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ слово «аксиома» ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ «истина, очСвидная сама ΠΏΠΎ сСбС». Π’ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… манускриптах «Начал» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° аксиомы ΠΈ постулаты Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ совпадаСт ΠΈΡ… порядок. ВСроятно, пСрСписчики ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ·Π·Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ этих понятий.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ аксиомам ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ самоочСвидным истинам ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя. НапримСр, Π² словарС Даля аксиома — это Β«ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ясная ΠΏΠΎ сСбС ΠΈ бСсспорная истина, Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Β».

Π’ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ измСнСнию восприятия аксиом послуТили Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ российского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Николая ЛобачСвского ΠΎ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ, Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ 1820-Ρ… Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ². Π•Ρ‰Ρ‘ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ студСнтом, ΠΎΠ½ пытался Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ пятый постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ отказался ΠΎΡ‚ этого. ЛобачСвский сдСлал Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пятый постулат являСтся лишь ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Если Π±Ρ‹ пятый постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π±Ρ‹Π» Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ЛобачСвский столкнулся Π±Ρ‹ с противорСчиями. Однако, хотя новая вСрсия пятого постулата ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° наглядно-ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ выполняла Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ аксиомы, позволяя ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΡƒΡŽ систСму Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π‘ΠΏΠ΅Ρ€Π²Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ЛобачСвского Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½Ρ‹ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎ Π½ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ отзывался Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΊ ΠžΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ³Ρ€Π°Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ). ПозднСС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ЛобачСвский ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… языках, ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ Гауссом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π» Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ Π² области Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Он косвСнно высказал восхищСниС этой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ. НастоящСС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ гСомСтрия ЛобачСвского ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π° лишь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 10-12 Π»Π΅Ρ‚ послС смСрти Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π΅Ρ‘ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² случаС нСпротиворСчивости Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΠΈ Π² матСматичСском ΠΌΠΈΡ€Π΅. Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ» ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΏΠΎ аксиоматизации всСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π΅Ρ‘ нСпротиворСчивости. Π•Π³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ суТдСно Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡΠ±Ρ‹Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ГёдСля ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅. Однако это послуТило Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. НапримСр, появились аксиомы Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ ΠΈΡ… Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ созданию Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ строго истинныС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° для Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ.

БСйчас аксиомы ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ сами ΠΏΠΎ сСбС, Π° Π² качСствС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” аксиомы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достаточно ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ обязаны Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ЕдинствСнным Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ аксиоматичСским систСмам являСтся ΠΈΡ… внутрСнняя Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ формирования Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ часто ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ прагматичСскими: ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий ΠΈΒ Ρ‚.Β ΠΏ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ Π½Π΅ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ принятых аксиом[1]. Π’ соотвСтствии с ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠŸΠΎΠΏΠΏΠ΅Ρ€Π°, СдинствСнный ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π³Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ систСмы аксиом, ΠΏΡ€ΠΈ этом мноТСство ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² лишь ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ истинности систСмы аксиом.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ аксиом

  1. Аксиома Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π°
  2. Аксиома ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°
  3. Аксиома АрхимСда
  4. Аксиома ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
  5. Аксиома рСгулярности
  6. Аксиома ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  7. Аксиома ΠšΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π°
  8. Аксиома Π±ΡƒΠ»Π΅Π°Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ систСм аксиом

  1. Аксиоматика Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств
  2. Аксиоматика вСщСствСнных чисСл
  3. Аксиоматика Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°
  4. Аксиоматика Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π°.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

  • Начала Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. Книги Iβ€”VI. М.-Π›., 1950
  • Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Π”. Основания Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. М.-Π›., 1948

Бсылки

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ

Аксиомы ВикипСдия

Аксио́ма (Π΄Ρ€.-Π³Ρ€Π΅Ρ‡. ἀξίωμα Β«ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β») ΠΈΠ»ΠΈ постула́т — исходноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ истинным Π±Π΅Π· трСбования Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ[1].

НазначСниС[ | ]

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² принятии аксиом Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² слСдуСт ΠΈΠ· ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ сообраТСния: любоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ утвСрТдСния, ΠΈ Ссли для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ своих Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° получится бСсконСчной. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ эту Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ€Π°Π·ΠΎΡ€Π²Π°Ρ‚ΡŒΒ β€” Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ утвСрТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², ΠΊΠ°ΠΊ исходныС. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, принятыС Π² качСствС исходных, утвСрТдСния ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ аксиомами[2].

Π’ соврСмСнной Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ вопрос ΠΎΠ± истинности аксиом, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² основС ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ посрСдством ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ[3].

Аксиоматиза́ция Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” явноС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ счётного, рСкурсивно пСрСчислимого (ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² аксиоматикС ПСано) Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π½Ρ‹ названия ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌ ΠΈ ΠΈΡ… основным ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ аксиомы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, всё дальнСйшСС ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° этих аксиомах ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ аксиом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ основу ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½Π΅ являСтся СдинствСнным. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² аксиом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Набор аксиом называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли исходя ΠΈΠ· аксиом Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅.

Австрийский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠšΡƒΡ€Ρ‚ Π“Ρ‘Π΄Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Β«Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅Β», согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ всякая систСма матСматичСских аксиом (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, слоТСниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ найдётся бСсконСчноС количСство матСматичСских ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ), Π½ΠΈ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ смоТСт Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° основании Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы аксиом. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅, срСди этих Π½Π΅Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ нСпротиворСчивости этой систСмы.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ[ | ]

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «аксиома» встрСчаСтся Ρƒ АристотСля (384β€”322 Π΄ΠΎΒ Π½. э.) ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΎΡ‚ философов Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ понятия «постулат» ΠΈ «аксиома», Π½Π΅ объясняя ΠΈΡ… различия. Π‘ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΡ‘Π½ Боэция постулаты пСрСводят ΠΊΠ°ΠΊ трСбования (petitio), аксиомы — ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ понятия. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ слово «аксиома» ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ «истина, очСвидная сама ΠΏΠΎ сСбС». Π’ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… манускриптах «Начал» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° аксиомы ΠΈ постулаты Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ совпадаСт ΠΈΡ… порядок. ВСроятно, пСрСписчики ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ·Π·Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ этих понятий.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ аксиомам ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ самоочСвидным истинам ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя. НапримСр, Π² словарС Даля аксиома — это Β«ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ясная ΠΏΠΎ сСбС ΠΈ бСсспорная истина, Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Β».

Π’ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ измСнСнию восприятия аксиом послуТили Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ российского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Николая ЛобачСвского ΠΎ

Аксиома β€” ВикипСдия

Аксио́ма (Π΄Ρ€.-Π³Ρ€Π΅Ρ‡. ἀξίωμα «утвСрТдСниС, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β») ΠΈΠ»ΠΈ постула́т — исходноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ истинным Π±Π΅Π· трСбования Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ[1].

НазначСниС

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² принятии аксиом Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² слСдуСт ΠΈΠ· ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ сообраТСния: любоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ утвСрТдСния, ΠΈ Ссли для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ своих Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° получится бСсконСчной. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ эту Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ€Π°Π·ΠΎΡ€Π²Π°Ρ‚ΡŒΒ β€” Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ утвСрТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², ΠΊΠ°ΠΊ исходныС. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, принятыС Π² качСствС исходных, утвСрТдСния ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ аксиомами[2].

Π’ соврСмСнной Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ вопрос ΠΎΠ± истинности аксиом, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² основС ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ посрСдством ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ[3].

Аксиоматиза́ция Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” явноС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ счётного, рСкурсивно пСрСчислимого (ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² аксиоматикС ПСано) Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π½Ρ‹ названия ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌ ΠΈ ΠΈΡ… основным ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ аксиомы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, всё дальнСйшСС ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° этих аксиомах ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ аксиом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ основу ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½Π΅ являСтся СдинствСнным. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² аксиом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Набор аксиом называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли исходя ΠΈΠ· аксиом Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅.

Австрийский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠšΡƒΡ€Ρ‚ Π“Ρ‘Π΄Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Β«Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅Β», согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ всякая систСма матСматичСских аксиом (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, слоТСниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ найдётся бСсконСчноС количСство матСматичСских ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ), Π½ΠΈ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ смоТСт Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° основании Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы аксиом. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅, срСди этих Π½Π΅Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ нСпротиворСчивости этой систСмы.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «аксиома» встрСчаСтся Ρƒ АристотСля (384β€”322 Π΄ΠΎΒ Π½. э.) ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΎΡ‚ философов Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ понятия «постулат» ΠΈ «аксиома», Π½Π΅ объясняя ΠΈΡ… различия. Π‘ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΡ‘Π½ Боэция постулаты пСрСводят ΠΊΠ°ΠΊ трСбования (petitio), аксиомы — ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ понятия. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ слово «аксиома» ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ «истина, очСвидная сама ΠΏΠΎ сСбС». Π’ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… манускриптах «Начал» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° аксиомы ΠΈ постулаты Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ совпадаСт ΠΈΡ… порядок. ВСроятно, пСрСписчики ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ·Π·Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ этих понятий.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ аксиомам ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ самоочСвидным истинам ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя. НапримСр, Π² словарС Даля аксиома — это Β«ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ясная ΠΏΠΎ сСбС ΠΈ бСсспорная истина, Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Β».

Π’ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ измСнСнию восприятия аксиом послуТили Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ российского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Николая ЛобачСвского ΠΎ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ, Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ 1820-Ρ… Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ². Π•Ρ‰Ρ‘ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ студСнтом, ΠΎΠ½ пытался Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ пятый постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ отказался ΠΎΡ‚ этого. ЛобачСвский сдСлал Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пятый постулат являСтся лишь ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Если Π±Ρ‹ пятый постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π±Ρ‹Π» Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ЛобачСвский столкнулся Π±Ρ‹ с противорСчиями. Однако, хотя новая вСрсия пятого постулата ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° наглядно-ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ выполняла Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ аксиомы, позволяя ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΡƒΡŽ систСму Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π‘ΠΏΠ΅Ρ€Π²Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ЛобачСвского Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½Ρ‹ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎ Π½ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ отзывался Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΊ ΠžΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ³Ρ€Π°Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ). ПозднСС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ЛобачСвский ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… языках, ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ Гауссом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π» Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ Π² области Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Он косвСнно высказал восхищСниС этой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ. НастоящСС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ гСомСтрия ЛобачСвского ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π° лишь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 10-12 Π»Π΅Ρ‚ послС смСрти Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π΅Ρ‘ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² случаС нСпротиворСчивости Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΠΈ Π² матСматичСском ΠΌΠΈΡ€Π΅. Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ» ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΏΠΎ аксиоматизации всСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π΅Ρ‘ нСпротиворСчивости. Π•Π³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ суТдСно Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡΠ±Ρ‹Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ГёдСля ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅. Однако это послуТило Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. НапримСр, появились аксиомы Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ ΠΈΡ… Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ созданию Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ строго истинныС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° для Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ.

БСйчас аксиомы ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ сами ΠΏΠΎ сСбС, Π° Π² качСствС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” аксиомы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достаточно ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ обязаны Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ЕдинствСнным Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ аксиоматичСским систСмам являСтся ΠΈΡ… внутрСнняя Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ формирования Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ часто ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ прагматичСскими: ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий ΠΈΒ Ρ‚.Β ΠΏ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ Π½Π΅ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ принятых аксиом[1]. Π’ соотвСтствии с ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠŸΠΎΠΏΠΏΠ΅Ρ€Π°, СдинствСнный ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π³Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ систСмы аксиом, ΠΏΡ€ΠΈ этом мноТСство ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² лишь ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ истинности систСмы аксиом.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ аксиом:

  1. Аксиома Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π°
  2. Аксиома ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°
  3. Аксиома АрхимСда
  4. Аксиома ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
  5. Аксиома рСгулярности
  6. Аксиома ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  7. Аксиома ΠšΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π°
  8. Аксиома Π±ΡƒΠ»Π΅Π°Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ систСм аксиом:

  1. Аксиоматика Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств
  2. Аксиоматика вСщСствСнных чисСл
  3. Аксиоматика Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°
  4. Аксиоматика Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π°.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

  • Начала Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. Книги Iβ€”VI. М.-Π›., 1950
  • Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Π”. Основания Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. М.-Π›., 1948

Бсылки

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ

Аксиома β€” ВикипСдия

Аксио́ма (Π΄Ρ€.-Π³Ρ€Π΅Ρ‡. ἀξίωμα «утвСрТдСниС, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β») ΠΈΠ»ΠΈ постула́т — исходноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ истинным Π±Π΅Π· трСбования Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ[1].

НазначСниС

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² принятии аксиом Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² слСдуСт ΠΈΠ· ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ сообраТСния: любоС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ утвСрТдСния, ΠΈ Ссли для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ своих Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° получится бСсконСчной. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ эту Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ€Π°Π·ΠΎΡ€Π²Π°Ρ‚ΡŒΒ β€” Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ утвСрТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², ΠΊΠ°ΠΊ исходныС. ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, принятыС Π² качСствС исходных, утвСрТдСния ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ аксиомами[2].

Π’ соврСмСнной Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅ вопрос ΠΎΠ± истинности аксиом, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² основС ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ посрСдством ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ[3].

Аксиоматиза́ция Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” явноС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ счётного, рСкурсивно пСрСчислимого (ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² аксиоматикС ПСано) Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π°. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π½Ρ‹ названия ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌ ΠΈ ΠΈΡ… основным ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ аксиомы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, всё дальнСйшСС ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° этих аксиомах ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ этих ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ аксиом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ основу ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π½Π΅ являСтся СдинствСнным. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² аксиом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Набор аксиом называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, Ссли исходя ΠΈΠ· аксиом Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅.

Австрийский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠšΡƒΡ€Ρ‚ Π“Ρ‘Π΄Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Β«Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅Β», согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ всякая систСма матСматичСских аксиом (Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, слоТСниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π°. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ найдётся бСсконСчноС количСство матСматичСских ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ), Π½ΠΈ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ смоТСт Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π½Π° основании Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы аксиом. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅, срСди этих Π½Π΅Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ нСпротиворСчивости этой систСмы.

Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «аксиома» встрСчаСтся Ρƒ АристотСля (384β€”322 Π΄ΠΎΒ Π½. э.) ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΎΡ‚ философов Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉ Π“Ρ€Π΅Ρ†ΠΈΠΈ. Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ понятия «постулат» ΠΈ «аксиома», Π½Π΅ объясняя ΠΈΡ… различия. Π‘ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΡ‘Π½ Боэция постулаты пСрСводят ΠΊΠ°ΠΊ трСбования (petitio), аксиомы — ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ понятия. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ слово «аксиома» ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ «истина, очСвидная сама ΠΏΠΎ сСбС». Π’ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… манускриптах «Начал» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° аксиомы ΠΈ постулаты Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ совпадаСт ΠΈΡ… порядок. ВСроятно, пСрСписчики ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΎΠ·Π·Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ этих понятий.

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ аксиомам ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ самоочСвидным истинам ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя. НапримСр, Π² словарС Даля аксиома — это Β«ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ясная ΠΏΠΎ сСбС ΠΈ бСсспорная истина, Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Β».

Π’ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ измСнСнию восприятия аксиом послуТили Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ российского ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Николая ЛобачСвского ΠΎ Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΅ΠΉ, Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ 1820-Ρ… Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ². Π•Ρ‰Ρ‘ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ студСнтом, ΠΎΠ½ пытался Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ пятый постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ отказался ΠΎΡ‚ этого. ЛобачСвский сдСлал Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пятый постулат являСтся лишь ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Если Π±Ρ‹ пятый постулат Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Π±Ρ‹Π» Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ЛобачСвский столкнулся Π±Ρ‹ с противорСчиями. Однако, хотя новая вСрсия пятого постулата ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° наглядно-ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ выполняла Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ аксиомы, позволяя ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΡƒΡŽ систСму Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π‘ΠΏΠ΅Ρ€Π²Π° ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ЛобачСвского Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½Ρ‹ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎ Π½ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ отзывался Π°ΠΊΠ°Π΄Π΅ΠΌΠΈΠΊ ΠžΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ³Ρ€Π°Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ). ПозднСС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ЛобачСвский ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… языках, ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ Гауссом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π» Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ Π² области Π½Π΅Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. Он косвСнно высказал восхищСниС этой Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ. НастоящСС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ гСомСтрия ЛобачСвского ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π° лишь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 10-12 Π»Π΅Ρ‚ послС смСрти Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π΅Ρ‘ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² случаС нСпротиворСчивости Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΠΈ Π² матСматичСском ΠΌΠΈΡ€Π΅. Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ» ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΏΠΎ аксиоматизации всСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π΅Ρ‘ нСпротиворСчивости. Π•Π³ΠΎ ΠΏΠ»Π°Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ суТдСно Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡΠ±Ρ‹Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ГёдСля ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅. Однако это послуТило Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. НапримСр, появились аксиомы Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ ΠΈΡ… Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ созданию Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ строго истинныС Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° для Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ.

БСйчас аксиомы ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ сами ΠΏΠΎ сСбС, Π° Π² качСствС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈΒ β€” аксиомы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ достаточно ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ обязаны Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ЕдинствСнным Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ аксиоматичСским систСмам являСтся ΠΈΡ… внутрСнняя Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ формирования Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° аксиом Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ часто ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ прагматичСскими: ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий ΠΈΒ Ρ‚.Β ΠΏ. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ Π½Π΅ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ принятых аксиом[1]. Π’ соотвСтствии с ΠΊΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ΅ΠΌ ΠŸΠΎΠΏΠΏΠ΅Ρ€Π°, СдинствСнный ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π³Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ систСмы аксиом, ΠΏΡ€ΠΈ этом мноТСство ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² лишь ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ истинности систСмы аксиом.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ аксиом:

  1. Аксиома Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π°
  2. Аксиома ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°
  3. Аксиома АрхимСда
  4. Аксиома ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ
  5. Аксиома рСгулярности
  6. Аксиома ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ
  7. Аксиома ΠšΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π°
  8. Аксиома Π±ΡƒΠ»Π΅Π°Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ систСм аксиом:

  1. Аксиоматика Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств
  2. Аксиоматика вСщСствСнных чисСл
  3. Аксиоматика Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°
  4. Аксиоматика Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π°.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

  • Начала Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π°. Книги Iβ€”VI. М.-Π›., 1950
  • Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Π”. Основания Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. М.-Π›., 1948

Бсылки

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ

Аксиомы ПСано β€” ВикипСдия

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ· Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ β€” свободной энциклопСдии

Аксио́мы ΠŸΠ΅Π°ΜΠ½ΠΎΒ β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· систСм аксиом для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ввСдённая Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅ ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π”ΠΆΡƒΠ·Π΅ΠΏΠΏΠ΅ ПСано.

Аксиомы ПСано ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ свойства Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа для построСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ вСщСствСнных чисСл. Π’ сокращённом Π²ΠΈΠ΄Π΅ аксиомы ПСано использовались Π² рядС мСтаматСматичСских Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΊ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… вопросов ΠΎ нСпротиворСчивости ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ чисСл.

Π˜Π·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ПСано постулировал Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ аксиом. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ сущСствованиС ΠΏΠΎ мСньшСй ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта мноТСства чисСл. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Β β€” ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ утвСрТдСния ΠΎ равСнствС, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΡŽΡŽ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΡƒ аксиоматики ΠΈ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· соврСмСнного состава аксиом, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹Π΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΒ β€” аксиомы Π½Π° языкС Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слСдования. ДСвятая ΠΈ послСдняя аксиома Π½Π° языкС Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка — ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ рядом Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. АрифмСтика ΠŸΠ΅Π°Π½ΠΎΒ β€” систСма, получаСмая Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ аксиомы ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ систСмой аксиом Π½Π° языкС Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ символов ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ слоТСния ΠΈ умноТСния.

Как слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ГёдСля ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ утвСрТдСния ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числах, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ нСльзя Π½ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΈ ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ, исходя ΠΈΠ· аксиом ПСано. НСкоторыС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ утвСрТдСния ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ достаточно ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ГудстСйна ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠ°Ρ€ΠΈΡΠ°β€“Π₯Π°Ρ€Ρ€ΠΈΠ½Π³Ρ‚ΠΎΠ½Π°.

БловСсная[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

  1. 1 являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом;
  2. Число, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ;
  3. 1 Π½Π΅ слСдуСт Π½ΠΈ Π·Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом;
  4. Если Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число a{\displaystyle a} нСпосрСдствСнно слСдуСт ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π° числом b{\displaystyle b}, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π·Π° числом c{\displaystyle c}, Ρ‚ΠΎ b{\displaystyle b} ΠΈ c{\displaystyle c} тоТдСствСнны;
  5. (Аксиома ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.) Если ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ для 1 (Π±Π°Π·Π° ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ) ΠΈ Ссли ΠΈΠ· допущСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа n{\displaystyle n}, Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π° n{\displaystyle n} Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа (ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅), Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для всСх Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ слСдования[en] S(x){\displaystyle S(x)}, которая сопоставляСт числу x{\displaystyle x} ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π° Π½ΠΈΠΌ число.

  1. 1∈N{\displaystyle 1\in \mathbb {N} };
  2. x∈Nβ‡’S(x)∈N{\displaystyle x\in \mathbb {N} \Rightarrow S(x)\in \mathbb {N} };
  3. βˆ„x∈N:(S(x)=1){\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )}};
  4. (S(b)=a∧S(c)=a)β‡’b=c{\displaystyle {\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c};
  5. P(1)βˆ§βˆ€n(P(n)β‡’P(S(n)))β‡’βˆ€n∈N(P(n)){\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )}}.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΈ иная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи:

  1. 1∈N{\displaystyle 1\in \mathbb {N} };
  2. S:Nβ†’Nβˆ–{1}{\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \setminus \{1\}};
  3. βˆƒSβˆ’1{\displaystyle \exists S^{-1}};
  4. 1∈Mβˆ§βˆ€n∈N(n∈Mβ‡’S(n)∈M)β‡’NβŠ‚M{\displaystyle 1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \subset M}.

ПослСднСС ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сформулировано Ρ‚Π°ΠΊ: Ссли Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ высказываниС P{\displaystyle P} Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для n=1{\displaystyle n=1} (Π±Π°Π·Π° ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ) ΠΈ для любого n{\displaystyle n} ΠΈΠ· вСрности P(n){\displaystyle P(n)} слСдуСт Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ P(S(n)){\displaystyle P(S(n))} (ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅), Ρ‚ΠΎ P(n){\displaystyle P(n)} Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… n{\displaystyle n}.

Ѐормализация Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя аксиомы ПСано, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΠΈ умноТСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… аксиом:

  1. x+1=S(x){\displaystyle x+1=S(x)};
  2. x1+S(x2)=S(x1+x2){\displaystyle x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})};
  3. xβ‹…1=x{\displaystyle x\cdot 1=x};
  4. x1β‹…S(x2)=x1β‹…x2+x1{\displaystyle x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}}.

ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»Π°ΡΡŒ Π²ΡΠ΅Ρ€ΡŒΡ‘Π· Π΄ΠΎ появлСния Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π“Π΅Ρ€ΠΌΠ°Π½Π° Грассмана, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π² 1860-Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ Π² Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ установлСны ΠΈΠ· Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ элСмСнтарных Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ² ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слСдования ΠΈ матСматичСской ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ 1881 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π§Π°Ρ€Π»ΡŒΠ· БандСрс ΠŸΠΈΡ€Ρ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» свою Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π² 1889 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ сформулировал ΠΈΡ‚Π°Π»ΡŒΡΠ½ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ПСано, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΡ… построСниях Грассмана, Π² своСй ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ «Основания Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ способом» (Π»Π°Ρ‚.Β Arithmetices principia, nova methodo exposita). Π’ 1888 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ (Π·Π° Π³ΠΎΠ΄ Π΄ΠΎ ПСано) практичСски Π² точности ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ систСму ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄[1]. ΠΠ΅ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ПСано Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° (Π°Π½Π³Π».) Π² 1936 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π“Π΅Π½Ρ†Π΅Π½ΠΎΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ трансфинитной ΠΈΠ½Π΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΎ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Π»Π° Ο΅0.{\displaystyle \epsilon _{0}.} Как слСдуСт ΠΈΠ· Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ГёдСля ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Π΅, это Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ срСдствами самой Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ПСано.

  1. ↑ Н. Π‘ΡƒΡ€Π±Π°ΠΊΠΈ. Основания ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°. ВСория мноТСств // ΠžΡ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ / И. Π“. Π‘Π°ΡˆΠΌΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° (ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ с французского).Β β€” М: Π˜Π·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ иностранной Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹, 1963.Β β€” Π‘.Β 37.Β β€” 292 с.Β β€” (Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ).

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *