Арифметическая прогрессия

Вопросы занятия:

·  повторить определение арифметической прогрессии;

·  вспомнить свойство арифметической прогрессии;

·  вывести формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Материал урока

Давайте вспомним определение арифметической прогрессии.

Определение.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Давайте попробуем среди предложенных последовательностей определить, какие являются арифметической прогрессией, а какие нет.

Пример.

Как и числовые последовательности, арифметические прогрессии бывают возрастающие и убывающие.

Определение.

Возрастающие – это прогрессии, в которых каждый последующий член больше предыдущего.

Например, примерами возрастающих прогрессий будут прогрессии

Определить возрастающую арифметическую прогрессию нетрудно, достаточно определить разность прогрессии. Если разность арифметической прогрессии больше нуля, то, значит, арифметическая прогрессия возрастающая.

Определение.

Убывающие арифметические прогрессии – это прогрессии, в которых каждое последующий член меньше предыдущего.

Примерами убывающих прогрессий будут прогрессии

У убывающих арифметических прогрессий – разность арифметической прогрессии меньше нуля.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим задачу.

А давайте теперь найдём х, если арифметическая прогрессия такая: 4024; х; 6072?

Вроде тоже ничего сложного, но здесь при вычислении есть шанс сделать вычислительную ошибку.

Давайте решим это задание в общем виде.

Мы с вами сформулировали основное свойство арифметической прогрессии.

Найдём теперь х из предыдущей задачи с помощью только что доказанной формулы.

Теперь давайте выполним задание.

Пример.

Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, состоящей из чётных чисел, записанных в порядке возрастания.

Решение.

Восстановить девять членов этой последовательности нетрудно.

Это будут числа: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18.

Их сумма равна: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90.

Ответ: 90.

А если нам надо найти, например, сумму тысячи первых членов? Как быть? Выписывать тысячу членов прогрессии и все их складывать? Это долго и большая вероятность того, что при нахождении всех чисел, мы допустим ошибку, которая повлечёт за собой ошибку при нахождении суммы.

Давайте выведем формулу, которая поможет нам быстро подсчитать сумму сколько угодно членов арифметической прогрессии.

Эта формула, позволяет находить сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии, не вычисляя отдельно их значения.

Теперь давайте вернёмся к нашему примеру и посчитаем сумму девяти членов прогрессии по формуле, которую вывели.

Мы получили такой же результат, только нам не пришлось находить все девять членов прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Есть второй способ решения такой задачи.

В этом случае, нам не пришлось отдельно вычислять значение тридцать четвёртого члена.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке, мы вспомнили определение арифметической прогрессии, повторили свойство арифметической прогрессии, вывели сумму эн первых членов арифметической прогрессии.

videouroki.net

Арифметическая прогрессия | Формулы с примерами

Определение
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (a_n), в которой для любого натурального n

d — разность арифметической прогрессии (заданное число).

Пример

	Дано	Арифметическая прогрессия
1.	a1 = 2; d = 3	2; 5; 8; 11; 14; 17; …
2.	a1 = 11; d = -4,8	11; 6,2; 1,4; -3,4; -8,2; …

Если d > 0, то прогрессия возрастающая.
Если d , то прогрессия убывающая.

Формула
Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии:

Формулы
Формулы суммы S_n n первых членов арифметической прогрессии.

Где: S₁ = a₁;   S_n = a₁ + a₂ + … + a_n.

Пример решения
a₁ = 3,9;   d = -1,1.   Найти a₈₀ и сумму S₁₀₀.

a₈₀ = a₁ + 79d = — 83.

S₁₀₀ = 2a₁ + 99d2 • 100 = -5055.

Свойство
Характеристическое свойство.

formula-xyz.ru

Арифметическая прогрессия — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия (алгебраическая) — числовая последовательность вида

a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n−1)d, …{\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots },

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d{\displaystyle d} (

шага, или разности прогрессии):

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0{\displaystyle d>0} она является возрастающей, а при d<0{\displaystyle d<0} — убывающей. Если d=0{\displaystyle d=0}, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения an+1−an=d{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d} для членов арифметической прогрессии.

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером n{\displaystyle n} может быть найден по формуле

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — её разность.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } есть арифметическая прогрессия ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow } для любого её элемента выполняется условие an=an−1+an+12,n⩾2{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2}.

Доказательство

Необходимость: Поскольку a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия, то для n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2} выполняются соотношения: an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d} an=an+1−d{\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}. Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}. Достаточность: Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется an=an−1+an+12{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду an+1−an=an−an−1{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}. Поскольку соотношения верны при всех n⩾2{\displaystyle n\geqslant 2}, с помощью математической индукции покажем, что a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}. База индукции (n=2){\displaystyle (n=2)} : a2−a1=a3−a2{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}} — утверждение истинно. Переход индукции: Пусть наше утверждение верно при n=k{\displaystyle n=k}, то есть a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Докажем истинность утверждения при n=k+1{\displaystyle n=k+1}: ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}} Но по предположению индукции следует, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}. Получаем, что a2−a1=a3−a2=…=ak−ak−1=ak+1−ak=ak+2−ak+1{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}} Итак, утверждение верно и при n=k+1{\displaystyle n=k+1}. Это значит, что an=an−1+an+12,n⩾2⇒a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an{\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}. Обозначим эти разности через d{\displaystyle d}. Итак, a2−a1=a3−a2=…=an−an−1=an+1−an=d{\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}, а отсюда имеем an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d} для n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Поскольку для членов последовательности a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } выполняется соотношение an+1=an+d{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}, то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии

Сумма первых n{\displaystyle n} членов арифметической прогрессии Sn=∑i=1nai=a1+a2+…+an{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}} может быть найдена по формулам

Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, an{\displaystyle a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.

Sn=a1+an2⋅(an−a1a2−a1+1){\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot ({\frac {a_{n}-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+1)} — где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, a2{\displaystyle a_{2}} — второй член прогрессии ,an{\displaystyle ,a_{n}} — член с номером n{\displaystyle n}.

Sn=2a1+d(n−1)2⋅n{\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+d(n-1)}{2}}\cdot n} , где a1{\displaystyle a_{1}} — первый член прогрессии, d{\displaystyle d} — разность прогрессии, n{\displaystyle n} — количество суммируемых членов.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами: Sn=a1+a2+a3+…+an−2+an−1+an{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}} Sn=an+an−1+an−2+…+a3+a2+a1{\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}} — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке. Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали: 2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+(a3+an−2)+…+(an−2+a3)+(an−1+a2)+(an+a1){\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})} Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ai+an−i+1,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии: ai+an−i+1=a1+(i−1)d+a1+(n−i+1−1)d=2a1+(n−1)d,i=1,2,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n} Получили, что каждое слагаемое не зависит от i{\displaystyle i} и равно 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}. В частности, a1+an=2a1+(n−1)d{\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}. Поскольку таких слагаемых n{\displaystyle n}, то 2Sn=(a1+an)⋅n⇒Sn=a1+an2⋅n{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n} Третья формула для суммы получается подстановкой 2a1+(n−1)d{\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d} вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}}. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена. Замечание: Вместо a1+an{\displaystyle a_{1}+a_{n}} в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ai+an−i+1,i=2,3,…,n{\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n}, так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } расходится при d≠0{\displaystyle d\neq 0} и сходится при d=0{\displaystyle d=0}. Причём

limn→∞an={+∞, d>0−∞, d<0a1, d=0{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\left\{{\begin{matrix}+\infty ,\ d>0\\-\infty ,\ d<0\\a_{1},\ d=0\end{matrix}}\right.}

Доказательство
Записав выражение для общего члена и исследуя предел limn→∞(a1+(n−1)d){\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{1}+(n-1)d)}, получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть a1,a2,a3,…{\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots } — арифметическая прогрессия с разностью d{\displaystyle d} и число a>0{\displaystyle a>0}. Тогда последовательность вида aa1,aa2,aa3,…{\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots } есть геометрическая прогрессия со знаменателем ad{\displaystyle a^{d}}.

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии: aan−1⋅aan+1=aan,n⩾2{\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2} Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии: aan−1⋅aan+1=aa1+(n−2)d⋅aa1+nd=a2a1+2(n−1)d=(aa1+(n−1)d)2=aa1+(n−1)d=aan,n⩾2{\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2} Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то aa1,aa2,aa3,…{\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots } — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения q=aa2aa1=aa1+daa1=ad{\displaystyle q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}}.

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность n-ных степеней образует арифметическую прогрессию n-го порядка.

Если [ai]1n{\displaystyle \left[a_{i}\right]_{1}^{n}} — арифметическая прогрессия порядка m{\displaystyle m}, то существует многочлен Pm(i)=cmim+…+c1i+c0{\displaystyle P_{m}(i)=c_{m}i^{m}+…+c_{1}i+c_{0}}, такой, что для всех i∈{1,….n}{\displaystyle i\in \left\{1,….n\right\}} выполняется равенство ai=Pm(i){\displaystyle a_{i}=P_{m}(i)}^[1]

Примеры

• Натуральный ряд 1,2,3,4,5,…{\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots } — это арифметическая прогрессия, в которой первый член a1=1{\displaystyle a_{1}=1}, а разность d=1{\displaystyle d=1}.
• 1,−1,−3,−5,−7{\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7} — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой a1=1{\displaystyle a_{1}=1} и d=−2{\displaystyle d=-2}.
• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу a{\displaystyle a}, то это есть арифметическая прогрессия, в которой a1=a{\displaystyle a_{1}=a} и d=0{\displaystyle d=0}. В частности, π,π,π,…{\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\ldots } есть арифметическая прогрессия с разностью d=0{\displaystyle d=0}.
• Сумма первых n{\displaystyle n} натуральных чисел выражается формулой

∑i=1ni=1+2+3+…+n=n(n+1)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}

Занимательная история

Согласно легенде, школьный учитель математики юного Гаусса, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 5050. Действительно, легко видеть, что решение сводится к формуле

n(n+1)2{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

то есть к формуле суммы первых n{\displaystyle n} чисел натурального ряда.

См. также

Ссылки

Примечания

Литература

wikipedia.green

Арифметическая прогрессия Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n−1)d, …{\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots },

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d{\displaystyle d} (шага, или разности прогрессии):

an=an−1+d{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\quad }

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

an=a1+(n−1)d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0{\displaystyle d>0} она является возрастающей, а при d<0{\displaystyle d<0} — убывающей. Если d=0{\displaystyle d=0}, то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения an+1−an=d{\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=d} для членов арифметической прогрессии.

ru-wiki.ru

Арифметическая прогрессия, формулы и примеры

Основные формулы арифметической прогрессии

Число называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле:

   

Сумму первых членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

   

или

   

Количество членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Арифметическая прогрессия

Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.

Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, – папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) – содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».

И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век до нашей эры), составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на число, кратное квадрату 1/2 числа членов».

Возьмем произвольный ряд натуральных чисел (больше нуля): 1, 4, 7, … n-1,n, …, который называют числовой последовательностью.

Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают последовательность чисел, получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.

Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.

Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.

Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:

an =kn+b, при этом b и k – некоторые числа.

Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:

1. Каждый член прогрессии — среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
2. Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член — среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность – арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
   Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность — арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.

Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k – числа прогрессии).

В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:

an = a1+d(n–1).

К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177

Формула an = ak + d(n — k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.

Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:

Sn = (a1+an) n/2.

Если известны разность арифметической прогрессии и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:

Sn = ((2a1+d(n–1))/2)*n.

Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:

Sn=(a1+an)*n/2.

Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.

Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,…,n,…- простейший пример арифметической прогрессии.

Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.

fb.ru

Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Смешанная прогрессия для учащихся 9-х и 11-х классов

Занятие № 1

Арифметическая прогрессия

Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.

Содержание урока

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13… — арифметическая прогрессия.

а₁, а₂, а₃, а₄, а₅, а₆, а_7…,

, d – разность арифметической прогреccии.

,

, ,

,

, .

1. Найти первый член а₁ и разность d арифметической прогрессии в котором

d=-1.

---

Ответ: а₁=13, d=-1.

2. Известно, что при любом n сумма S_n членов некоторой арифметической прогрессий выражается формулой . Найти первые три члена этой прогрессий.

Ответ: 1; 9; 17.

3. Если третий и седьмой члены арифметической прогрессии соответственно равны 1, 1 и 2, 3, то шестнадцатый её член равен 1) 6, 2) 8, 3) 10,6, 4) 4,4, 5) 5.

а₁₆=?

---

1,2=4·d d=1,2/4 d=0,3

1,1-0,6=а1 a1=0,5

а₁₆=а₁+15·0,3=0,5+4,5=5.

Ответ: №5

4. Если в арифметической прогрессии сумма третьего и седьмого членов равна 10, первый член равен -3, то разность прогрессии равна 1)3, 2) 1, 3) 2, 4) -2, 5) .

d=?

а₁+4·d=5,

-3+4·d=5,

4·d=8,

d=2.

Ответ: №3

5. Если в арифметической прогрессии второй и шестой члены соответственно равны 0,8 и 2,4, то десятый член равен 1) 4, 2) 8,6, 3) 4,2, 4) 10,4, 5) 6.

а₁₀=?

---

1,6=4·d, d=0,4,

0,8=0,4+a₁, a₁=0,4,

a₁₀=a₁+9·d=0,4+9·0,4=4.

Ответ: №1

6. Сколько членов арифметической прогрессий нужно взять, чтобы их сумма равнялось 91. если её третий член равен 9, а разность седьмого и второго членов равна 20?

а₁+6·d- а₁-d=20,

5·d=20, d=4.

а₁+2·d =9,

а₁=9- 8=1,

D=b²-4·a·c=1+4·2·91=729,

Ответ: n=7.

Занятие №2

Геометрическая прогрессия

Цели: Уметь решать задачи, знать формулы геометрической прогрессии.

Содержание урока

Числовая последовательность, каждый член которой, начинается со второго, равен предыдущему, умноженное на некоторое отличное от нуля постоянное число, называется геометрической прогрессий.

для бесконечно убывающей прогрессии

1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 40, а сумма второго и пятого равна 10. Найти знаменатель прогрессии.

Ответ: 0,25.

2. Сумма второго и четвёртого членов возрастающей геометрической прогрессии равна 30, а их произведение 144. Найти сумму девяти членов этой прогрессий.

5·q=2+2·q² , 2·q²-5·q+2=0,

Д=25-16=9,

так как возрастающая, q=2,

Ответ: S₉=1533.

3. Четвертый член возрастающей геометрической прогрессии больше второго члена на 24, а сумма второго и третьего членов равна 6. Найти произведение первых четырех членов этой прогрессии.

если q=5, то

Ответ:.

4. Сколько членов геометрической прогрессии нужно сложить, чтобы получить сумму 3069, если

q=2,

1024=2ⁿ , 2¹⁰=2ⁿ .

Ответ: n=10.

5. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, если второй член равен (-0,5).

16·q²-16·q-5=0

;

Ответ:

6. Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6. Сумма их квадратов 7,2. Найти знаменатель прогрессии.

36-36·q=7,2-7,2·q,

288=432·q.

Ответ:

7. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.

Д=25-16=3²,

прогрессия убывающая, q=-0,5,

.

Ответ: ,

8. Найти второй член геометрической прогрессии, состоящей из 9 членов, которой произведение двух крайних членов равна 2304, а сумма четвертого и шестого членов равно 120.

b₅=48,

2+2·q²=5·q,

2·q²-5·q+2=0,

,

,

b₁=48·16=768,

,

Ответ: 384; 6.

Занятие №3

Смешанная прогрессия

Цель: Знать формулы и уметь их применять при решений задач.

Содержание занятия

Характеристические свойства прогрессий:

, где

1. Три числа a, b, 12 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа a, b, 9 – арифметическую прогрессию. Найти a+b.

a, b, 12- возрастающая геометрическая прогрессия,

a, b, 9 – арифметическая прогрессия.

,

а²+18·а+81=48·а,

а²-30·а+81=0,

а₁=3, а₂=27, а <=12,

а=3, ,

a+b=9.

Ответ: 9.

2. Три числа x, y, 20 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа x, y, 15 – арифметическую прогрессию. Найти y-x.

3. Три числа дают в сумме 18 образуют арифметическую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 1, 3 и 17, то они составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Найти исходное третье число.

2·b=18-b, 3·b=18, b=6,

a+c=12, a=12-c,

81=(12-c+1)·(c+17),

81=-c²-4·c+130+91

-c²-4·c+140=0,

,

c=-2+12=10.

Ответ: с=10.

4. Пусть x₁, x₂ корни уравнения 12·x-x²=A, а x₃, x₄ корни уравнения 108·x-x²=В. Найти А, если известно, что последовательность x₁, x₂, x₃, x₄ – геометрическая прогрессия, все члены которой положительны.

x₁, x₂, x₃, x₄ – геометрическая прогрессия.

x₁, x₁·q, x₁·q², x₁·q³;

Ответ: .

5. Числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+ z, x+ z образуют арифметическую прогрессию.

Найти z, если x+y+z=15 и .

15=3·x, x=5, y+z=15-x,

,

, .

Ответ: .

urok.1sept.ru