Иррациональные выражения. Преобразование иррациональных выражений

Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

Примеры:

– иррациональные выражения

Сложение и вычитание

При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

Примеры:

В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

Примеры:

Умножение и деление

При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Примеры:

Возведение в степень

Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

Примеры:

При возведении в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени – это взаимно сокращающиеся действия:

Извлечение корня

Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

, так как

Пример:

С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.

Примеры:

Сокращение корней

Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

так как извлечение корня и возведение в степень – это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к одному показателю.

Сокращение корней – это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

Примеры:

Приведение корней к одному показателю

Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:

1. Показатели корней не имеют общих множителей. В этом случае показатель каждого корня и его подкоренное число (или выражение) умножают на произведение остальных корней.

   Рассмотрим три выражения:

   ,

   Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

   

2. Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.

   Рассмотрим два выражения:

   ,

   НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

   

При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

Примеры:

Действия с иррациональными выражениями примеры. Преобразование рациональных и иррациональных выражений

Тождественные преобразования выражений – это одна из содержательных линий школьного курса математики. Тождественные преобразования широко используются при решении уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств. Кроме того тождественные преобразования выражений способствуют развитию сообразительности, гибкости и рациональности мышления.

Предлагаемые материалы предназначены для учащихся 8 класса и включают в себя теоретические основы тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений, типы задач на преобразование таких выражений и текст контрольной работы .

1. Теоретические основы тождественных преобразований

Выражениями в алгебре называют записи, состоящие из чисел и букв, соединенных знаками действий.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif">.gif"> – алгебраические выражения.

В зависимости от операций различают рациональные и иррациональные выражения.

Алгебраические выражения называют рациональными, если относительно входящих в него букв а , b , с

, … не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вычитания, деления и возведения в целую степень.

Алгебраические выражения, содержащие операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называются иррациональными относительно этой переменной.

Тождественным преобразованием данного выражения называется замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве.

В основе тождественных преобразований рациональных и иррациональных выражений лежат следующие теоретические факты.

1. Свойства степеней с целым показателем:

, n ÎN; а 1=а ;

, n ÎN, а ¹0; а 0=1, а ¹0;

, а ¹0;

, а ¹0;

, а ¹0;

, а ¹0, b ¹0;

, а ¹0, b ¹0.

2. Формулы сокращенного умножения:

где а , b , с – любые действительные числа;

Где а ¹0, х 1 и х 2 – корни уравнения .

3. Основное свойство дроби и действия над дробями:

, где b ¹0, с ¹0;

; ;

4. Определение арифметического корня и его свойства:

; , b ¹0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif">; ; ,

где а , b – неотрицательные числа, n ÎN, n ³2, m ÎN, m ³2.

1. Типы упражнений на преобразование выражений

Существуют различные типы упражнений на тождественные преобразования выражений. Первый тип : явно указано то преобразование, которое необходимо выполнить.

Например.

1. Представьте в виде многочлена .

При выполнении указанного преобразования использовали правила умножения и вычитания многочленов, формулу сокращенного умножения и приведение подобных слагаемых.

2. Разложите на множители: .

При выполнении преобразования использовали правило вынесения общего множителя за ско

"Преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений"

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

Тема: « Преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений».

Цель работы: научиться выполнять преобразование алгебраических, рациональных, иррациональных, степенных выражений с использованием формул сокращенного умножения, основных свойств корней и степеней.

Теоретические сведения.

КОРНИ НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА, ИХ СВОЙСТВА.

Корень n – степени:

, n - показатель корня, а – подкоренное выражение

Если n – нечетное число, то выражение имеет смысл при а

Если n – четное число, то выражение имеет смысл при

Арифметический корень:

Корень нечетной степени из отрицательного числа:

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОРНЕЙ

1. Правило извлечения корня из произведения:

2. Правило извлечения корня из дроби:
   

3. Правило извлечения корня из корня:

4. Правило вынесения множителя из под знака корня:

5. Внесение множителя под знак корня:

,

6. Показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и тоже число.

7. Правило возведения корня в степень.

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

=,a – основание степени, n – показатель степени

Свойства:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остается неизменным. 

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается неизменным. 

3. При возведении степени в степень показатели перемножаются. 

4. При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают.

5. Если в степень возводят частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результат делят друг на друга.

6. Если

СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

1. 

2. 

3. 

4. По определению:

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Пусть r рациональное число , тогда

при r>0 > при r<0

7 .Для любого рациональных чисел r и s из неравенства > следует

> при a>1 при

Формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Упростите выражение .

Решение

Применим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .

Ответ: 9m⁷ .

Пример 2.Сократить дробь: 

Решение.Так область определения дроби  все числа, кроме х ≠ 1 и х ≠ -2.Вместе с тем .Сократив дробь, получим .Область определения полученной дроби: х ≠ -2, т.е. шире, чем область определения первоначальной дроби. Поэтому дроби  и  равны при х ≠ 1 и х ≠ -2.

Пример 3.Сократить дробь: 

Пример 4.Упростить: 

Пример 5.Упростить: 

Пример 6. Упростить: 

Пример 7. Упростить: 

Пример 8.Упростить: 

Пример 9. Вычислить: .

Решение.

Пример 10.Упростить выражение: 

Решение.

Пример 11.Сократить дробь , если 

Решение..

Пример 12.Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 

Решение. В знаменателе имеем иррациональность 2-й степени, поэтому помножим и числитель, и знаменатель дроби на сопряженное выражение, то есть сумму чисел  и , тогда в знаменателе будем иметь разность квадратов, которая и ликвидирует иррациональность.

ВАРИАНТ - I

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

4. Привести указанное выражение к виду , где а -рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - II

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - III

1. Выполните действие:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

4. Привести указанное выражение к виду , где а -рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - IV

1. Выполните действие:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

,

4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - V

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

,

4. Привести указанное выражение к виду , где а- рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие:

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

ВАРИАНТ - VI

1. Упростите выражение:

2. Найдите значение выражения:

3. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

,

4. Привести указанное выражение к виду , где -а рациональное число, b – натуральное число

,

5. Упростить:

;

6. Замените арифметические корни степенями с дробным показателем

, ,

7. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня

10. Выполните действие

8. Сократите дробь

9. Выполните действие

Иррациональные числа и действия над ними.

Иррациональным числом называется число, которое нельзя представить в виде дроби m/n, где m – целое, n – натуральное . Примерами иррациональных чисел могут служить числа ㄫ, e, а так же числа, со знаками радикала n-ой степени, не являющиеся точными n-ми степенями. Рассмотрим более подробно иррациональные числа, содержащие знак радикала (корня) второй степени, не являющиеся точными квадратами. Например, число √2 – иррациональное, так как никакое рациональное число в квадрате не равно 2.  Отсюда вытекают два основных свойства квадратного корня:

 Если вы чувствуете, что число под корнем достаточно большое, однако целиком корень извлечь нельзя, попробуйте вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложите подкоренное число на простые множители и если в этом разложении существуют парные множители, из каждой пары вынесите по одному из-под знака корня. Например,

 Oднако при внесении и вынесении из-под знака корня множителей, содержащих переменные, будьте особенно внимательны! Почитайте Здесь

Действия над иррациональными числами.

Это означает, что для умножения и деления можно записать все под одним корнем, например:

√2・√3=√(2・3)=√6

Так же помним, что если перед корнем стоит множитель, а от перестановки множителей произведение не меняется, то

 5

√2・4√3=

5

・√2・4・√3=

5

・4・√2・√3=20√6

Однако запомните раз и навсегда, что нет такого правила для сложения корней! Складывать (и вычитать) можно только числа с одинаковыми корнями, для этого складываем их рациональную часть, а корень оставляем тот же.

            Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Если видите знак корня в знаменателе дроби – избавляйтесь от нее! Для начала напомню вам два правила:  Иррациональность бывает двух типов:
11. В знаменателе стоит иррациональное число, над которым выполняют действие умножения (или вообще не выполняют никакого действия). 22. В знаменателе стоит число, участвующее в сложении или вычитании. Для избавления от иррациональности в знаменателе в первом случае вам необходимо умножить и числитель и знаменатель дроби (основное свойство дроби) на точно такой же корень:

 Во втором случае вам необходимо и числитель и знаменатель дроби умножить на сопряженное выражение (точно такое же выражение, но с другим действием, производимым с числами):

Советую так же изучить статью, которая подскажет вам, как быть, если под знаком корня вы увидите сумму или разность, содержащую иррациональное число.
Задания, предложенные в тестах:
В5, РТ-19 (2 этап)

Иррациональные числа — урок. Алгебра, 8 класс.

Термины рациональное число, иррациональное число происходят от латинского слова ratio — разум
(буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; впрочем, так говорят и в реальной жизни: «он поступил рационально» — это значит, что он поступил разумно; «так действовать нерационально» — это значит, что так действовать неразумно).

Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Если натуральное число \(n\) не является точным квадратом, т. е. n≠k2, где k∈&Qopf;, то  n — иррациональное число.

Пример:

5=2,23606798...11=3,31662479...

Иррациональные числа встречаются не только при извлечении квадратного корня, но и во многих других случаях, в чём вы не раз убедитесь в старших классах.

Если длину любой окружности разделить на её диаметр, то в частном получится иррациональное число \(3,141592...\) Для этого числа в математике введено специальное обозначение π (буква греческого алфавита «пи»; версия происхождения этого понятия такова: с буквы π начинается греческое слово периферия — окружность). Иррациональность числа π была доказана в \(1766\) г. немецким математиком И. Ламбертом.

Итак,

1. любая арифметическая операция над рациональными числами (кроме деления на \(0\)) приводит в результате к рациональному числу.

2. Арифметическая операция над иррациональными числами может привести в результате как к рациональному, так и к иррациональному числу.

3. Если в арифметической операции участвуют рациональное и иррациональное числа, то в результате получится иррациональное число (кроме умножения и деления на \(0\)).

4. Поскольку операция извлечения квадратного и кубического корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения квадратного и кубического корня из переменной, называть иррациональным выражением.

Преобразование алгебраических выражений, рациональных и иррациональных выражений

Преобразование алгебраических выражений, рациональных и иррациональных выражений

Основные арифметические действия

• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• деление

Определение:

Алгебраические выражения, составленные из чисел и букв с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления, называют рациональными .

Примеры рациональных выражений

Алгебраические выражения

Иррациональные выражения

Рациональные выражения

(выражения, в котором хотя бы одна переменная содержится под знаком корня)

Целые выражения (не содержат деления на выражение с переменной)

Дробные выражения (содержат деление на выражение с переменной)

Упростите выражение:

Ответ:

Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения выражения

Чтобы найти область определения дробного выражения, надо из множества всех действительных чисел исключить те значения, которые обращают в нуль, содержащиеся в выражении делители.

Пример №1

Найти область определения выражения:

Ответ:

и

Пример №2

Найти область определения выражения:

Ответ:

множество пар значений переменных x и y , таких, что x≠y.

Алгебра – это наука и искусство преобразования буквенных выражений. Преобразования выполняются по определенным правилам – алгебраическим законам , которые вводятся на основе свойств арифметических действий.

Если одно рациональное выражение может быть получено из другого с помощью алгебраических преобразований, то такие два рациональных выражения называют тождественно равными (или просто равными).

Математика. Иррациональные выражения. Примеры + решения.

Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

Примеры:

 – иррациональные выражения

Сложение и вычитание

При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

Примеры:

В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

Примеры:

Умножение и деление

При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Примеры:

Возведение в степень

Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

Примеры:

При возведении  в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени – это взаимно сокращающиеся действия:

Извлечение корня

Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

, так как 

Пример:

С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.

Примеры:

Сокращение корней

Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

так как извлечение корня и возведение в степень – это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к одному показателю.

Сокращение корней – это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

Примеры:

Приведение корней к одному показателю

Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему показателю. Рассмотрим два способа:

1. Показатели корней не имеют общих множителей. В этом случае показатель каждого корня и его подкоренное число (или выражение) умножают на произведение остальных корней.

   Рассмотрим три выражения:

   ,

   так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой, полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

   

2. Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.

   Рассмотрим два выражения:

   ,

   НОК (4, 6) = 12, значит для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

   

При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями, их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

Примеры: