Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

• Главная
• Справочник
• Тригонометрия
• Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Действительные числа, аргументы функций: \( x \)
Обратные тригонометрические функции: \( \arcsin x \), \( \arccos x \), \( \arctan x \), \( \text {arccot }x \)

Арксинус отрицательного числа  

\( \arcsin \left( { — x} \right) = — \arcsin x \)

Выражение арксинуса через арккосинус  

\( \arcsin x = -\pi/2 — \arccos x \)

---

\( \arcsin x = \arccos \sqrt {1 — {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1 \)  

---

\( \arcsin x = -\arccos \sqrt {1 — {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0 \)  

---

\( \arcsin x = \arctan \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 — {x^2}} }}\normalsize,\;\;{x^2} \le 1 \)  

---

\(\arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{{\sqrt {1 — {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0

---

\( \arcsin x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\dfrac{{\sqrt {1 — {x^2}} }}{x}\normalsize — \pi,\;\;-1 \le x \lt 0 \)  

Арккосинус отрицательного числа  

\( \arccos \left( { — x} \right) = \pi — \arccos x \)

Выражение арккосинуса через арксинус  

\( \arccos x = \pi/2 — \arcsin x \)

---

\( \arccos x = \arcsin \sqrt {1 — {x^2}} ,\;\;0 \le x \le 1 \)  

---

\( \arccos x = \pi — \arcsin \sqrt {1 — {x^2}} ,\;\;-1 \le x \le 0 \)  

---

\(\arccos x = \arctan \large\frac{{\sqrt {1 — {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;0

---

\(\arccos x = \pi + \arctan \large\frac{{\sqrt {1 — {x^2}} }}{x}\normalsize,\;\;-1 \le x

---

\(\arccos x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{x}{{\sqrt {1 — {x^2}} }}\normalsize,\;\; — 1

Арктангенс отрицательного числа  

\( \arctan \left( { — x} \right) = — \arctan x \)

Выражение арктангенса через арккотангенс  

\( \arctan x = \pi/2 — \text {arccot }x \)

---

\( \arctan x = \arcsin \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize \)

---

  \( \arctan x = \arccos \large\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \ge 0 \)  

---

\( \arctan x = -\arccos \large\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x \le 0 \)  

---

\(\arctan x = \large\frac{\pi }{2}\normalsize — \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)  

---

\(\arctan x = -\large\frac{\pi }{2}\normalsize — \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x

---

\(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)  

---

\(\arctan x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,\large\frac{1}{x}\normalsize — \pi,\;\;x

Арккотангенс отрицательного числа

\( {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { — x} \right) = \pi — {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x \)  

Выражение арккотангенса через арктангенс  

\( {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi/2 — \arctan x \)

---

\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x > 0\)  

---

\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi — \arcsin \large\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize,\;\;x

---

\( {\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arccos \large\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\normalsize \)  

---

\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x > 0\)  

---

\({\mathop{\rm arccot}\nolimits}\,x = \pi + \arctan \large\frac{1}{x}\normalsize,\;\;x

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

arccos отрицательного числа

Вы искали arccos отрицательного числа? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и арккосинусы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «arccos отрицательного числа».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как arccos отрицательного числа,арккосинусы. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и arccos отрицательного числа. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, arccos отрицательного числа).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же arccos отрицательного числа Онлайн?

Решить задачу arccos отрицательного числа вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Арксинус и арккосинус числа

Просмотр содержимого документа
«Арксинус и арккосинус числа»

Урок алгебры в 10 классе

Работам устно

• Определите знак произведения

Sin157 °·sin275°·cos157°

Cos73°·cos140°·cos(-384°)

• Существует ли угол, для которого

• Упростите выражение:

Sin² α +cos² α =

1-cos² α =

Sin ² α – 1=

Вычислите

Определение арксинуса, арккосинуса числа а

Цель урока: ввести понятие арксинуса и арккосинуса числа; рассмотреть их свойства и научиться применять при упрощении выражений

Арксинус числа а , |а | ≤ 1 есть такое число α из промежутка [– π / 2; π / 2 ], синус которого равен числу а

Sin

π /2

arc sin ( – a ) = – arc sin a

1

arc sin a

а

α

– α

x

– a

-1

arc sin ( – a )

— π /2

Sin

π /2

Вычислите :

— π /2

Ищу число из отрезка

[ — π /2; π /2] , синус которого равен …

Арккосинус числа а , |а | ≤ 1 есть такое число α из промежутка [ 0; π ], косинус которого равен

а

Sin

arc cos a

arc со s ( – a )

α

0

π

Cos

-1

1

– a

а

arc cos ( – a ) = π – arc cos a

Вычислите :

Cos

π

0

Ищу число из отрезка [0; π ] , косинус которого равен…..

Имеет ли смысл выражение?

а rcsin (-1/2) arccos arcsin

да нет нет

а rcsin 1,5 arccos arccos

нет да да

Историческая справка.

• Современные обозначения arcsin и arccos появляются в 1772 в работах великого математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа, хотя несколько ранее их уже рассматривал Д. Бернули, который употреблял иную символику. Но общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка « arc » происходит от латинского « arcus » (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x , например, — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x .

π

1

=

arcsin

6

2

3

π

3

arcsin

=

2

π

1

—

)

(

arcsin

—

6

=

2

π

arcsin

1 =

2

π

2

arcsin

—

=

(

)

4

2

10

π

1

3

arccos

=

2

π

3

arccos

=

2

6

2 π

1

1

arccos

)

arccos

π ̶

=

−

=

(

2

2

3

2

3 π

)

(

arccos

=

2

4

π

0

=

arccos

2

Работаем вместе

• № 7.78
• № 7.86
• № 7.100(а,б,в)
• № 101 ( а,б,в)
• № 102
• № 103

Домашнее задание

№ 7.79

№ 7.87

№ 7.100(г,д,е)

№ 101 ( г,д,е)

Арктангенс числа а есть число (угол) α из интервала

(- π /2; π /2), тангенс которого равен а

у

π /2

○

а

1

arctg a

α

– α

х

0

arctg (- a )

— а

○

— π /2

arctg ( – a ) = – arctg a

-1

Арккотангенс числа а есть число (угол)

α из интервала (0; π ),

котангенс которого равен а

а

— а

1

у

arcctg (- a)

arcctg a

α

π

х

○

○

0

0

-1

arcctg ( – a ) = π – arcctg a

1

П

ar с tg

=

6

3

П

ar с ctg

1

=

4

П

3

ar с tg

=

3

3

3

П

П

П

+

arccos

arcsin

=

+

=

6

3

2

2

2

1

П

1

П

arccos

П

+

=

+

=

arcsin

2

2

6

2

3

16

Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях

9 июля 2013

Думаю, всем известно общее решение уравнения вида sin x = a:

x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ Z

Именно так нас учат записывать ответы в школе. Главное преимущество этой формулы — краткость. Однако у нее есть множество недостатков. Например:

1. Многие ученики не понимают эту формулу. Как с ней работать? И откуда берется множитель (−1)ⁿ? В результате начинается зубрежка, а зубрежка — это зло;
2. Числа, записанные в таком виде, совершенно не приспособлены для использования в неравенствах. Их сложно отмечать на координатной прямой (хотя все-таки можно — после упорной тренировки).

И это еще не все! Например, что будет, если синус равен отрицательному числу? Почему степень увеличивается на единицу? Далеко не все ученики это понимают. Поэтому, чтобы избежать проблем, предлагаю разбивать ответ два простых подмножества. Взгляните:

Было:

x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ Z

Стало:

x = arcsin a + 2πn, n ∈ Zm
x = π − arcsin a + 2πk, k ∈ Z

Обратите внимание: в новой записи изменился период. Отныне к арксинусу добавляется 2πn — так же, как у арккосинуса. Давайте посмотрим, как это правило работает на практике.

Смотрите также:

1. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
2. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
3. Решение задач B12: №440—447
4. Схема Бернулли. Примеры решения задач
5. Тригонометрические функции
6. Задача B2: Сложный процент и стандартная формула