Свойства трапеции
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Что такое трапеция?
СОДЕРЖАНИЕ СТАТЬИ
 |
Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. |
Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.
Вот, смотри:
Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.
 |
Если боковые стороны равны, то она называется равнобедренной, или равнобокой. |
И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ??? И ответ: а вот и нет — тогда это получится НЕ трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма…)
Свойства трапеции
Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен знать о них?
 |
Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке и ) |
Почему так? Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая. Вот и получается, что и – внутренние односторонние углы при параллельных и и секущей . Поэтому . И точно так же и – внутренние односторонние углы при тех же параллельных и , но секущая теперь – .
Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.
Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:
 |
 |
Ну вот, а теперь снова порассуждаем об углах.
 |
Опять и – параллельные, а диагональ – секущая. Поэтому . |
А теперь – сразу 2 диагонали и 4 угла:
 |
|
Что из этого может следовать? Очень важный факт: треугольники и – подобны по двум углам.
Их коэффициент подобия равен отношению оснований: .
Средняя линия трапеции
Для начала – что же такое средняя линия трапеции?
 |
Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции. |
Оказывается, длину этой средней линии можно выразить через длины оснований трапеции. А именно, имеет место такая формула:
 |
, то есть |
| Длина средней линии трапеции равна полусумме (то есть половине суммы) длин оснований |
А ещё:
| Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям |
Трапеция, вписанная в окружность.
Даже если ты ещё не изучал темы «Окружность. Вписанный угол» и «Вписанный четырехугольник», тебе будет полезно (и, надеюсь, интересно) узнать следующий удивительный факт:
 |
Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая. |
Доказывать это мы не будем (здесь во всяком случае), а вот запомнить – хорошо бы – пригодится!
Подведём итог – он короткий.
Самое важное, что есть в трапеции – две параллельные стороны и BCE свойства трапеции именно этим и определяются.
Так что, если у тебя в задаче трапеция – используй параллельность – всё получится!
ТРАПЕЦИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Трапеция. Основные понятия и определения
| Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет. |
Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.
 |
Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной или |
Свойства трапеции
Свойства трапеции… Какие они и что же ты должен о них знать? Рассмотрим основные свойства трапеции.
Первое свойство трапеции
 |
Сумма угловпри каждой боковой стороне трапеции равна . |
Почему? и – параллельны, а и – секущие, поэтому:
Второе свойство трапеции
| |
Треугольники и подобны по двум углам. ( и – как накрест лежащие) |
Коэффициент подобия треугольников и равен отношению оснований:
Третье свойство трапеции
Сначала сформулируем основное определение, которое тебе нужно знать для понимания этого свойства трапеции:
 |
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон. |
А теперь формула:
А вот и само третье свойство трапеции:
| Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им. |
А это почему? Ту чуть – чуть сложнее – потребуется провести аж одну лишнюю линию!
Итак, проведём . Тогда четырехугольник – параллелограмм. Возьмём середину стороны и середину стороны . Оба: и – снова параллелограммы ( и ; и ). Ну вот, значит , да ещё .
Поедем дальше.
 |
Проведём — среднюю линию в . Знаем, что и |
Что же из всего этого следует?
 |
|
Вот и доказали!
Четвертое свойство трапеции
 |
Если трапеция вписана в окружность, то она равнобокая. |
Почему? Подробнее смотри в теме «Вписанный четырехугольник», а тут – двумя строчками:
(трапеция же!)
(вписанный четырехугольник)
. Ну, и так же .
Пятое свойство трапеции
 |
В ЛЮБОЙ трапеции следующие четыре точки лежат на одной прямой: 1) – точка пересечения продолжений боковых сторон; 2) и – середины оснований; 3) – точка пересечения диагоналей. |
Эту теорему доказывать не будем – не пугайся.
Заметим только, что ВЕРНО и ОБРАТНОЕ:
| Если в каком – нибудь четырехугольнике какие – нибудь три из перечисленных четырёх точек окажутся на одной прямой – то четырёхугольник этот – ТРАПЕЦИЯ. |
Шестое свойство трапеции
 |
Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции перпендикулярны. |
Седьмое свойство трапеции
Здесь мы ещё раз увидим, как полезно в трапеции бывает провести линию, параллельную или боковой стороне, или диагонали – сразу появляется новый взгляд. Один раз мы уже так делали – в пункте про среднюю линию. А теперь ты узнал новый факт, который относительно часто встречается в задачах.
 |
В трапеции с перпендикулярными диагоналями |
Давай докажем! Это уже целая задача, которая вполне может попасться прямо на экзамене!
Ну вот, и ты теперь старайся с помощью новых знаний и методов решать задачки про трапецию – они обычно не слишком сложные. Главное, твёрдо помнить все свойства трапеции и не забывать о параллельности оснований и иногда (в задачах посложнее) бывает полезно провести что-то параллельное или соединить боковые стороны.
Проведём и .
Обозначим ; .
Тогда:
- – прямоугольный
Значит, (медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине).
То есть .
Но ведь (так как — параллелограмм) .
ТРАПЕЦИЯ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).
|
|
|
|
- Средняя линия параллельна основаниям: .
- Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: .
|
|
- Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
( и ) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: . - Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: .
 |
|
Свойства равнобедренной трапеции:
- диагонали равны: ;
- углы при основании равны: ;
- сумма противолежащих углов равна : .
 |
|
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: .
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: .
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Биссектрисы углов A и D трапеции
Задача
Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Таким образом, чтобы доказать, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD , требуется доказать равенство перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны трапеции AB, AD и CD.
Дано: ABCD — трапеция, AD∥BC, AM — биссектриса ∠BAD, DM — биссектриса ∠DAB, AM∩DM=M, M∈BC,
Доказать:MF=MK=ME
Доказательство:
1) Рассмотрим треугольники AMK и AMF. ∠AKM=90º, ∠AFM=90º (по условию).
∠MAK=∠MAF (так как AM — биссектриса ∠BAD по условию).
Гипотенуза AM — общая.
Следовательно, ∆AMK=∆AMF (по гипотенузе и острому углу).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MK=MF.
2) Аналогично, из равенства треугольников DMK и DME следует MK=ME.
3) Значит, MF=MK=ME.
Что и требовалось доказать.
Вывод:
Если точка пересечения биссектрис углов при основании трапеции принадлежит другому основанию, то эта точка равноудалена от трёх сторон трапеции.
Замечание.
Для доказательства можно непосредственно воспользоваться свойством биссектрисы угла.
Так как любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то для угла BAD MF=MK, для угла ADC MK=ME, откуда следует, что все три отрезка равны: MF=MK=ME.
Категория: ВидеоурокиПланиметрияСправочные материалы
Елена Репина 2013-03-15 2015-11-24Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.
Свойства биссектрисы
1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.
2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()
3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.
4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника
(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.
Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1
Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы
Автор: egeMax | комментария 2 | Метки: биссектрисаВ данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.
Определение биссектрисы угла треугольника
Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.
- BD – биссектриса угла ABC;
- α = β.
Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.
Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.
- СD – внешняя биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
- α = β.
Свойства биссектрисы треугольника
Свойство 1 (теорема о биссектрисе)
Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):
Свойство 2
Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.
Свойство 3
Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).
Свойство 4
Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):
BD2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC
Свойство 5
Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.
- CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
- CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
- ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.
Пример задачи
Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.
Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.
Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.
Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):
Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29
Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.
Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.
Следовательно, AD ≈ 4,85 см.
Свойства трапеции
Определения и формулы для периметра трапеции, площади трапеции, свойств сторон и углов трапеции, свойств сторон и углов равнобедренной трапеции
Просто прокрутите вниз или нажмите на то, что вы хотите, и я буду прокручивать вниз для вас!
| Периметр трапеции: | |
| Чтобы найти периметр трапеции, просто сложите все длины сторон: Периметр = a + b + c + B |
| |
| Площадь трапеции: | |
| Найти площадь трапеции… Чем длиннее основание (внизу), тем больше B, а меньшим основанием (вверху) мало … |
| Да, это формула … Но давайте посмотрим, откуда она взялась! | |
Возьмите две копии трапеции (одну синюю трапецию и одну зеленую трапецию) … Наклоните одну вверх дном и склейте их вместе … Теперь у вас есть параллелограмм. Площадь параллелограмма = основание х высота Но это вдвое больше, чем нам нужно.Итак, умножьте на 1/2! |
Свойства трапеций
Рис. 2 Равнобедренная трапеция с диагоналями.
Напомним, что медиана трапеции — это отрезок, который соединяет средние точки непараллельных сторон.
Теорема 55: Медиана любой трапеции имеет два свойства: (1) Она параллельна обоим основаниям. (2) Его длина равна половине суммы базовых длин.
В трапеции ABCD (рис. 3) с основаниями AB и CD , E — середина AD , а F — середина BC , по Теорема 55:
Рисунок 3 Трапеция с медианой.
Пример 1: На рисунке 4 найдите м 000 ABC и найдите BD.
Рис. 4 Равнобедренная трапеция с указанным углом и указанной диагональю.
м ∠ ABC = 120 °, потому что базовые углы равнобедренной трапеции равны.
BD = 8, потому что диагонали равнобедренной трапеции равны.
Пример 2: На рисунке 5 найдите TU.
Рисунок 5 Трапеция с двумя заданными основаниями и медианой, которую нужно вычислить.
Поскольку медиана трапеции равна половине суммы длин оснований:
Свойства трапеции и равнобедренные Трапеции
- Образование
- Математика
- Геометрия
- Свойства трапеций и равнобедренных Трапеции
Марк Райан
Трапеция представляет собой четырехугольник с ровно одной парой параллельных сторон (параллельные стороны называются основаниями ). На следующем рисунке слева показана трапеция, а справа — равнобедренная трапеция.
Пожалуй, самое сложное свойство на обеих диаграммах — это дополнительные углы. Из-за параллельных сторон последовательные углы являются внутренними углами той же стороны и, таким образом, являются дополнительными. (Кстати, все специальные четырехугольники, кроме кайта, содержат последовательные дополнительные углы.)
Вот вам доказательство равнобедренной трапеции:
Ведомость 1 :
Основание для заявления 1 : Дано.
Ведомость 2 :
Причина утверждения 2 : Ножки равнобедренной трапеции являются конгруэнтными.
Ведомость 3 :
Причина утверждения 3 : Верхние базовые углы равнобедренной трапеции являются конгруэнтными.
Ведомость 4 :
Основание для заявления 4 : Рефлексивная собственность.
Ведомость 5 :
Основание для заявления 5 : SAS или со стороны бокового угла (2, 3, 4)
Ведомость 6 :
Причина утверждения 6 : CPCTC (Соответствующие части конгруэнтных треугольников являются конгруэнтными).
Ведомость 7 :
Причина утверждения 7 : Если углы, то стороны.
,трапеций и их свойства
Овладейте 7 столпами школьного успеха
Улучшите свои оценки и уменьшите стресс
Середина трапеции (также называемая медианой) создается путем рисования линии от середины одного нога до середины другой ноги.
Длина средней части может быть рассчитана путем сложения длины двух оснований и деления на два.
Midsection EF = AB + DC / 2
Трапеция может иметь прямой угол
Базовые углы равнобедренной трапеции являются конгруэнтными, а противоположные углы являются дополнительными.
∠A и ∠B и ∠D и ∠C являются конгруэнтными
∠A и ∠C и ∠B и ∠D являются дополнительными
Углы, образованные ножками на одной стороне трапеции, расположены рядом углы и являются дополнительными. (добавьте к 180 градусам)
∠A и ∠D и ∠B и ∠C являются смежными и дополнительными
- Трапеция представляет собой четырехугольник с ровно одной парой параллельных сторон.
- Параллельные стороны трапеции создают основания.
- Сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусам, и углы на каждой стороне трапеции являются дополнительными.
- Трапеция имеет четыре вершины, также называемые углами.
- Медиана трапеции — это линия, соединяющая среднюю точку двух ног.
- Трапеция имеет одну пару параллельных сторон. Параллелограмм имеет две пары параллельных сторон.
- Кроме того, есть правильные трапеции и равнобедренная трапеция.
- Равнобедренная трапеция представляет собой трапецию с двумя параллельными сторонами, а две другие стороны являются конгруэнтными.
- Кроме того, диагонали равнобедренного треугольника являются конгруэнтными.
- Углы основания равнобедренной трапеции являются конгруэнтными.
- Правая трапеция имеет два прямых угла.
- В Великобритании трапеция называется трапеция
Common Core Standard.7.G.6
Трапеция представляет собой четырехугольник.
| |
Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны.
| |
Внутренние углы трапеции добавляют до 360 градусов, а углы с каждой стороны являются дополнительными.
| |
Площадь формулы трапеция равна Площадь = 1/2 (b1 + b2) ч h = высота б = база | |
Периметр формулы трапеция равна Периметр = b1 + b2 + s1 + s2 | |
Высота Трапеция ч = z * SinB или h = w * SinA | |
Диагонали длина
| |
Вы также можете наслаждаться……
В этом видео вы узнаете ….
Формула для нахождения периметра трапеции
Пошаговые инструкции по нахождению периметра
Видео отрабатывает высоту задача
Какова высота равнобедренной трапеции с основаниями 10 и 18 единиц, длиной стороны 4 единицы и угловым показателем 50 градусов? (см. рисунок)
Внутренние углы трапеции составляют 360 градусов.
Углы трапеции
.