Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹: ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈ Π΅Π΅ измСрСния

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ расчСта

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° – это многогранная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, Π² основании ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ прСдставлСны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ.

Если Π² основании Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ссли Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ – Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ проводится ΠΈΠ· Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ пСрпСндикулярно основанию. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ для расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° – высота Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ, опущСнная ΠΈΠ· Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ прСдставляСт собой сумму ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой. Однако этот способ расчСта примСняСтся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ. Π’ основном ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ рассчитываСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ:

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° с основаниСм ABCDE ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ F. AB=BC=CD=DE=EA=3 см. АпофСма a = 5 см. Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

НайдСм ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ основания Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½:
Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹:

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹


ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° состоит ΠΈΠ· основания, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ рассчитана Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами. МоТно ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ расчСта Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – это Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Для Π½Π΅Π΅ потрСбуСтся Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹


УсСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ называСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ образовываСтся ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΅ сСчСниСм, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ основанию.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ проста.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ равняСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ суммы ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² оснований Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ:

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Π”Π°Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. Π”Π»ΠΈΠ½Ρ‹ основания Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ b = 5 см, c = 3 см. АпофСма a = 4 см. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.
Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ оснований. Π’ большСм основании ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½:
Π’ мСньшСм основании:
ΠŸΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² нСслоТныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΌΡ‹ нашли ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, Π΅Ρ‘ основаниС, Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π°, высота, боковая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, Π΅Ρ‘ основаниС,
Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π°, высота,
боковая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°,
ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности
ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ°?
Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π² основании ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹?
Π§Ρ‚ΠΎ являСтся Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороной ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹?
ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ n Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. Какой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² Π΅Ρ‘ основании?
Какая ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° называСтся прямой?
ЯвляСтся Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° прямой, Ссли Π΄Π²Π΅ Π΅Ρ‘ смСТныС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ
пСрпСндикулярны ΠΊ плоскости основания?
7. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΅Ρ‘ высотС?
8. Какая ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° называСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ?
9. ЯвляСтся Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ссли всС Π΅Ρ‘ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ?
10.ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ высота ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ
ΠΈ высотой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹?
11.Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° диагональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°?
12.Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹?
13.Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹?
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 1.
ОснованиС прямой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ – Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами 5 см ΠΈ 3
см ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π² 120Β° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Наибольшая ΠΈΠ· ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ
Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 35 см². НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ
ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.
Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°
Рассмотрим ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ А1А2А3…Аn
ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π , Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΡƒΡŽ Π² плоскости
этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π  с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ n Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²:
РА1А2, РА2А3, … , РАnА1.
ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ, составлСнный ΠΈΠ· nΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° А1А2А3…Аn ΠΈ n
Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² РА1А2, РА2А3, … , РАnА1
называСтся ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ.
Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π  – называСтся Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ
ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ РА1, РА2, … , Π Π°n Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ
Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ А1А2А3…Аn называСтся
основаниСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ РА1А2, РА2А3, … , РАnА1
Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями
ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Π’ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄
Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ
Π¨Π΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ
Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ
Высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Высотой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся пСрпСндикуляр,
ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π°
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ основания.
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности
ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся
сумма всСх Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ основания ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.
S полн S осн S бок
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности
ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ называСтся сумма
ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°
ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° называСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ссли Π΅Ρ‘ основаниС –
ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ
ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ основания, являСтся Π΅Ρ‘ высотой.
ВсС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅
Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°
ВсС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅
Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.
Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.
Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ
ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SABCD.
1) Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ SMA, SMC ΠΈ SMB.
АМ=Π’Πœ=БМ (ΠΊΠ°ΠΊ радиусы описанной окруТности),
SМ – общая высота, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ
Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, AS=BS=CS.
2) Рассмотрим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ SCA, SCB ΠΈ SAB.
По Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ AS=BS=CS (Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΎΠ½ΠΈ
ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ), с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны
АБ=Π’Π‘=АВ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² основании ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ
Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ SCA,
SCB ΠΈ SAB Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ сторонам.
Π§Π’Π”.
Аналогично доказываСтся для любой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Высота Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹,
провСдённая ΠΈΠ· Π΅Ρ‘ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, называСтся Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ.
АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности
ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹
Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹
Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° основания Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ.
1
S Росн l Росн – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания, l – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°.
2
Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.
Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹
РА1А2…Аn.
1) Рассмотрим Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ РА1А2. Π­Ρ‚ΠΎ
Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с основаниСм А1А2.
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π°:
S
1
РК А1 А2 , Π³Π΄Π΅ РК – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°,
2
А1А2 – сторона основания.
Аналогично ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚
Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅
S
1
Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° Ат Ап
2
ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности
ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹
Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹
Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° основания Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡƒ.
1
S Росн l Росн – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания, l – Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°.
2
Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ (ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅).
SΠ±ΠΎΠΊ S РА1 А2 S РА2 А3 . .. S РАп 1 Ат
1
1
1
l А1 А2 l А2 А3 … l Ап 1 Ап
2
2
2
1
1
l А1 А2 A2 A3 … An 1 An l P
2
2
Π§Π’Π”
Π—Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°?
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ основаниС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
Из ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ всСгда состоит боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
Какая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° называСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ?
Каким свойством ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Ρ‘Π±Ρ€Π° ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ
ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
9. Как называСтся ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с
сСрСдиной стороны основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
10. Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ
ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?
11. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ β„– 240.
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 240.
ОснованиСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ,
стороны ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 20 см ΠΈ 36 см, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π°
360 см². Высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ
пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ основания ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 12 см.

НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Π”Π°Π½ΠΎ: SABCD – ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°,
АВБD – ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ,
АВ=36 см, АD =20 см, SABCD=360 см²,
SO – высота, SO =12 см.
Найти: SΠ±ΠΎΠΊ.
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 240.
НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» А ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» D.
НайдитС Π’D.
НайдитС SD ΠΈ SB.
НайдитС АБ.
НайдитС SA ΠΈ SC.
ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°
Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ
Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ
(ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…
ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅).
7. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ
повСрхности.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅
1) ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρ‹ 32 – 33, Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС опрСдСлСния ΠΈ
Π΄Π²Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ с Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°ΠΌΠΈ.
2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ β„– 239, 241.

Π’Π΅ΠΌΠ° β„–5123 Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ элСмСнты ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄

Π’Π΅ΠΌΠ° β„–5123

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π² самом Π½ΠΈΠ·Ρƒ встроСнного Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

Β 

4001.Β Β  Β Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
4002.Β Β  Β Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.


4003.Β Β  Β Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
4004Β°. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β° (рис. 165). НайдитС высоту ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Β 

4005Β°. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4006.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС высоту ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4007.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4008.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° сторонС ос 
нования. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.

4009.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. НайдитС высоту ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4010.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. НайдитС объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4011Β°. НайдитС высоту ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π°.
4012.Β Β   НайдитС объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π°.
4013.Β Β   НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π°.
4014Β°. ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС высоту ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4015.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4016.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ.
4017.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4018.Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4019.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4020Β°. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°.
НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4021Β°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4022.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΈ высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4023.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° сторонС основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4024Β°. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4025.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4026.Β Β  Β Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ тСтраэдрС Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ, Π½Π΅ содСрТащСй это Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ.
4027.Β Β   НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра.
4028.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4029.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°
Π› , Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°. НайдитС высоту ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4030.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 8, Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 10. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину высоты ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскости основания.
4031.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (3. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4032.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°
V3 , Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β° (рис. 166). НайдитС объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Β 

4033.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4034.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4035.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (3. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4036.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4037.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (3. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4038.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΈ высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4039.Β Β   НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· высоту ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра, Ссли Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ тСтраэдра Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π°.
4040.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°
J3 , Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4041.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°
J3 , Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ диагональ основания.
4042.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. НайдитС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли Π΅Π΅ диагональноС сСчСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎ основанию.
4043.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΎ. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ стороной основания ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ боксовой Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4044.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС радиус описанной сфСры.
4045.Β Β   ВычислитС объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра, Ссли радиус окруТности, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ R.
4046.Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ высотС основания, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· это Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΈ высоту основания, Ρ€Π°Π²Π½Π° Q. НайдитС объСм ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.
4047.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4048.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4049.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4050.Β Β  Β Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ усСчСнной Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 2, Π° стороны оснований Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3 ΠΈ 5. НайдитС диагональ усСчСнной ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4051.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС: Π°) ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания; Π±) ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4052.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС: Π°) ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания; Π±) ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4053.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ», косинус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½
|. НайдитС: Π°) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с 5
ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания; Π±) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4054.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС: Π°) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания; Π±) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4055.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС: Π°) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания; Π±) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4056.Β Β  Β ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны. НайдитС: Π°) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания; Π±) ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4057.Β Β  Β Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ пСрпСндикулярны.
4058.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4059. Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β° (рис. 167). НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Β 

4060.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4061.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΈ высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС радиус сфСры, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4062.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ.
4063.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4064.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ.Β 

4065.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°
Π£Π· , Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°. НайдитС радиус сфСры, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4066.Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4067.Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4068.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β°. НайдитС радиус описанной сфСры.
4069.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 8, Π° высота Ρ€Π°Π²Π½Π° 3. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· сторон основания ΠΈ сСрСдину ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°.
4070.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния этой ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ основания ΠΈ сСрСдину Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ основания.
4071.Β Β  Β Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ сСрСдины Π΄Π²ΡƒΡ… сосСдних сторон основания ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сСчСния, Ссли сторона основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2Π°.
4072.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4073.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4074.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (3. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4075.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4076.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4077.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4078.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (3. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4079.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4080.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4081.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4082.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ [3. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4083.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4084.Β Β   НайдитС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли сторона основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, Π° боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ диагональ основания.
4085.Β Β   ПлоскиС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π³ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ сс. НайдитС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.Β 
4086.Β Β  Β Π˜ΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ основаниСм (рис. 168). ВсС плоскиС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 60Β°, Π° Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 90Β°. НайдитС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ высот этих ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄.
Β 

4087.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС радиус сфСры, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4088.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ с Π½ΠΈΠΌ диагональю основания.
4089.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС радиус сфСры, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4090.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. НайдитС радиус сфСры, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4091.Β Β   НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π°.
4092.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ABCD ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SABCD Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ BD ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой AS.
4093.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Π°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ.
4094.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Π°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ.
4095.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π° ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ», косинус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ
О
Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β£. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 5
ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ.
4096.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Π°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ.
4097.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Π°. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ.
4098.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ.
4099.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС радиус сфСры, вписанной Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ.
4100.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°. Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС радиус сфСры, вписанной Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ.Β 
4101.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° сторонС основания (рис. 169). НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
Β 

4102.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. НайдитС радиус сфСры, вписанной Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ.
4103.Β Β   НайдитС радиус сфСры, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎ.
4104.Β Β   НайдитС радиус сфСры, вписанной Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ тСтраэдр с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎ.
4105.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4106.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 6*j6 , Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β°. НайдитС расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.
4107.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. НайдитС радиус вписанной сфСры.
4108.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 8, Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 10. НайдитС расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ.
4109.Β Β   ОснованиС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ совпадаСт с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΊΡƒΠ±Π°, Π° Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° β€” с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4110.Β Β  Β Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, пСрпСндикулярная сосСднСму Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сСчСния, Ссли Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ тСтраэдра Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎ.
4111.Β Β  Β Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ D ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра АВБН с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎ, ΠΈ сСрСдины Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ АВ ΠΈ АБ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сСчСния.
4112.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдины Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ основания ΠΈ сСрСдину ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€.
4113.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΎ. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сторону основания ΠΈ сСрСдину ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сСчСния.
4114.Β Β  Β Π§Π΅Ρ€Π΅Π· диагональ BlD1 Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ β– AjBiCjH, ΠΈ сСрСдину Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° DC ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ ABCDA1B1C1D1 ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹ этой ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ссли АВ = ΠΎ, CCj = 2Π°.
4115.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4116.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4117.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ |3. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4118.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΒ 
Π΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.

4119.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4120.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ <Ρ€. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4121.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4122.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4123.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ |3. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4124.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4125.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4126.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4127.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4128.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4129.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ |3. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4130.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4131.Β Β  Β Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρƒ. НайдитС плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4132.Β Β   Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ„. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4133.Β Β  Β Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ SABCD Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдины сторон АВ ΠΈ АО основания ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ SA (рис. 170). НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния, зная сторону основания Π° ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Πͺ.
S
Β 

4134.Β Β  Β Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ SABCD вписан ΠΊΡƒΠ±. ВсС Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΊΡƒΠ±Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° основании ABCD ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ВсС Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ°Ρ… ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ SA β€” АВ = ΠΎ, Ρ‚. Π΅. Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ сторонС Π΅Π΅ основания. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ объСм ΠΊΡƒΠ±Π°?
4135.Β Β   НайдитС объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ со стороной основания, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΎ, ΠΈ плоскими ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания.
4136.Β Β  Β Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ вписана сфСра, которая касаСтся основания ΠΈ всСх Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. Π‘Ρ„Π΅Ρ€Π° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ высоту ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 9 : 7, считая ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. НайдитС объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли сторона основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ.
4137.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4138.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4139.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ», косинус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½
О
. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Π³Ρ€Π°
5Β Β  Β Ρ‹Β Β  Β «
нями.
4140.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4141.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4142.Β Β  Β ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4143.Β Β  Β Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдину Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ сСчСниС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π΅Π΅ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌ. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ этого сСчСния, Ссли сторона основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬.
4144.Β Β  Β ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΡƒΠ±Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ двумя способами.
4145.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬. НайдитС радиус описанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4146.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬. НайдитС радиус описанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4147.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬. НайдитС радиус описанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4148.Β Β   НайдитС объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ со стороной основания, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π°, ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Ρƒ.
4149.Β Β   НайдитС объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с высотой, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π›, ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Ρƒ.
4150.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΈ высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΎ. НайдитС радиус сфСры, вписанной Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ.
4151.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΎ. НайдитС радиус вписанной сфСры.
4152.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π°
7Π· , Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 60Β°. НайдитС радиус сфСры, вписанной Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ.
4153.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β°. НайдитС радиус вписанной сфСры.
4154.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. . НайдитС радиус
О
описанной сфСры.
4156.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π° расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ~ . НайдитС радиус описанной сфСры.
4157.Β Β  Β Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ РАВБ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π  сторона основания Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 (рис. 171). Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сторону основания Π’Π‘ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ сСчСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ пСрСсСкаСт Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ РА Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ PM : МА = 1 : 3, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния Ρ€Π°Π²Π½Π° 3. НайдитС высоту ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Π 
Β 

4158.Β Β   НайдитС объСм ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, всС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ β€” Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Ρ‹ со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ ΠΎ, ΠΈ острым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60Β°.
4159.Β Β  Β Π’ ΡˆΠ°Ρ€ вписана ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. Радиус ΡˆΠ°Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1. Плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 45Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4160.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Π°. НайдитС радиусы описанной ΠΈ вписанной сфСр.
4161.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π° ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎ
ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ», косинус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ
О
Ρ€Π°Π²Π΅Π½ . НайдитС радиусы описанной 5
ΠΈ вписанной сфСр.
4162.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Π°. НайдитС радиусы описанной ΠΈ вписанной сфСр.
4163.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Π°. НайдитС радиусы описанной ΠΈ вписанной сфСр.
4164.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны. НайдитС радиусы описанной ΠΈ вписанной сфСр.
4165.Β Β  Β Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ основании являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.
4166.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬. НайдитС радиус вписанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4167.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус вписанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4168.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус вписанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4169.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ всСх Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4170.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ всСх Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4171.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ всСх Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ‘
4172.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ сторон основания ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4173.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ сторон основания ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4174.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ сторон основания ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4175. Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ плоскости основания ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4176.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π¬. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ плоскости основания ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4177.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ. НайдитС радиус ΡˆΠ°Ρ€Π°, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ плоскости основания ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4178.Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Πͺ, Π° плоский ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π° (рис. 172). НайдитС радиус сфСры, описанной ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
Β 

4179.Β Β   НайдитС объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с радиусом вписанной сфСры, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π³, ΠΈ плоским ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ <Ρ€.
4180.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π° расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ . НайдитС Ρ€Π°Π΄ΠΈ
4
ус вписанной сфСры.
4181.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹
ABCDP (Π  β€” Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°) Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 J2 , Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями Ρ€Π°Π²Π΅Π½Β 

120Β°. НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ сСчСния ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· диагональ BD основания ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ Π‘Π .
4182.Β Β  Β ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ основания пСрпСндикулярно ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ сСчСния Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° мСньшС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. НайдитС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ высоты ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΊ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ.
4183.Β Β  Β ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ SABCD с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ S пСрСсСкаСт ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСрСдины Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ SB ΠΈ SC ΠΈ пСрпСндикулярная Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ SAD. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ восСмь Ρ€Π°Π· большС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ сСчСния. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4184.Β Β   На гранях ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° основаниях построСны ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ тСтраэдры. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ построСнных тСтраэдров ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра. НайдитС Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ.
4185.Β Β  Β ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ /Π³ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° S, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Q. НайдитС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ основании этой ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
4186.Β Β   НайдитС Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΊΡƒΠ±Π°, ΠΎΠ΄Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ β€” Π½Π° Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности, Ссли стороны основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΎ, Π° высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° h.
4187.Β Β  Β Π§Π΅Ρ€Π΅Π· сторону основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΡ‚ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ ΠΎ2. НайдитС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, которая отсСчСна ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ссли боковая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Πͺ2.
4188.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π°. НайдитС радиус описанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4189.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΈ высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΎ. НайдитС радиус вписанного ΡˆΠ°Ρ€Π°.
4190. . НайдитС радиус
О
вписанной сфСры.
4191.Β Β  Β Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ KLMN располоТСны Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… пСрСсСчСния ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ со стороной основания ΠΎ ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ Πͺ. НайдитС ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ KLMN.
4192.Β Β   НайдитС радиус сфСры, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ всСх Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎ.
4193.Β Β   ВсС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° β€” Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€ΠΎΠΌΠ±Ρ‹ со стороной, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π°, ΠΈ острым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 60Β°. НайдитС высоту ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°.
4194.Β Β  Β Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΈ основании ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ nΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ€. НайдитС Π΄Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями.
4195.Β Β   На ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° SK ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SKLMN с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ S взята Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π΄ΠΎ плоскости SMN Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 24. НайдитС
КА, Ссли SL = 2    , a MN = 16.
4196.Β Β   На ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° SD ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ SABCD с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ S взята Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° N Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ DN =11. НайдитС расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ N Π΄ΠΎ плоскости SAB, Ссли АВ = 6, a SB = 5.
4197.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4198.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4199.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ ΡƒΠ³ΠΎΠ», косинус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½
я «    ~
. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ со
5
сСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4200.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4201.Β Β   АпофСма ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ большС стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4202.Β Β  Β ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4203.Β Β   На гранях ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° основаниях построСны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ПлоскиС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² этих ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… граням тСтраэдра, прямыС. РассмотритС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ тСтраэдром ΠΈ построСнными ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°ΠΌΠΈ (рис. 173). Бколько Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρƒ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°? Как ΠΎΠ½ называСтся?
Β 
Рис. 173

4204.Β Β  Β Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ SABCD Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ SA ΠΈ диагональ BD основания ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ SBC. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ SA ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ SBC.
4205.Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ сосСднСй Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.
4206.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ сосСднСй Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.
4207.Β Β   Высота ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° сторонС основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.
4208.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.
4209.Β Β   ВсС Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ.
4210.Β Β  Β Π‘ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ», Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ 45Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4211.Β Β   Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ основания ΡƒΠ³ΠΎΠ» 60Β°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹ с сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4212.Β Β   РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅
О
ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Β£ Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎ
О
Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹ с сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4213.Β Β   РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ диагональю основания ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ с Π½Π΅ΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ стороны основания. НайдитС ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹ с сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ.
4214.Β Β  Β Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° основания ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΡ‹ с сосСднСй Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 45Β°. НайдитС радиусы вписанной ΠΈ описанной сфСр.
4215.Β Β  Β Π”Π°Π½ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ тСтраэдр с Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π°. НайдитС объСм ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² пСрСсСчСнии этого тСтраэдра со своим ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ симмСтрии ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ сСрСдины высоты.
4216.Β Β  Β Π”Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… тСтраэдра ABCD ΠΈ MNPQ располоТСны Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ плоскости BCD ΠΈ NPQ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° М Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° высотС АО ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ MNP ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ АВБ ΠΈ сСрСдину Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° BD. НайдитС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ тСтраэдров.

Β 

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ называСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ — основаниС — ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ — Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π° всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ — Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ — Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ.
ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° S Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ называСтся Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π° пСрпСндикуляр SO, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ основания, — высотой Π΅Π΅ (Ρ„ΠΈΠ³.286,Π°).


ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚: Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ‚. Π΄., смотря ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся основаниСм — Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈ Ρ‚. Π΄.
ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° называСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (Ρ„ΠΈΠ³.286,Π±), Ссли, Π²ΠΎ — ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π΅Π΅ основаниСм являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈ, Π²ΠΎ — Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, высота ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (Ρ„ΠΈΠ³.286,Π²). Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой (ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ с Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ проСкциями). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
Анализ элСмСнтов ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° комплСксном Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ (Ρ„ΠΈΠ³.287).


Π°) ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ОснованиС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ располоТСно Π½Π° плоскости П1; Π΄Π²Π΅ стороны основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ П2.
Π±) ОснованиС ABCDEF — ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, располоТСнный Π² плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ П1.
Π²) Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ASF — Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, располоТСнный Π² плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния.
Π³) Боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ FSE — Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, располоТСнный Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ — ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ плоскости .
Π΄) Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ SE — ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния.
Π΅) Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ SA — Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.
ΠΆ) Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° S ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² пространствС.
На (Ρ„ΠΈΠ³.288 ΠΈ Ρ„ΠΈΠ³.289) ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… графичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ комплСксного Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° ΠΈ наглядных ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (аксономСтрии) ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄.
Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.


Π”Π°Π½ΠΎ:
1. ОснованиС располоТСно Π½Π° плоскости П1.
2. Одна ΠΈΠ· сторон основания ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси Ρ…12.
I. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ.
I, Π°. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ основаниС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π² плоскости П1.
ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² пространствС. Высота Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ S Ρ€Π°Π²Π½Π° высотС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция S1 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ S Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ).
I, Π±. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ; для этого соСдиняСм прямыми ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ основания ABCDE с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ проСкциями Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ S. Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ S2 Π‘2ΠΈ S2 D2 Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ линиями, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅, Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹Π΅ гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (SBА ΠΈ SAE).
I, Π². Π”Π°Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция К1 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ К Π½Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ SBА, трСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. Для этого ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ S1ΠΈ K1 Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ S1F1, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ связи опрСдСляСм мСсто искомой Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ K2 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ К.
II. Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠ° повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — плоская Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, состоящая ΠΈΠ· Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ — ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½Π° сторона ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π° сторонС основания, Π° Π΄Π²Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ — Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌ, ΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° — основания.
ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ сторон основания выявлСны Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ Π½Π° проСкциях Π½Π΅ выявлСны.
Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° S2Β―A2 (Ρ„ΠΈΠ³. 288, 1, Π±) ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° S2O2Β―A2, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ большой ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ высотС S2O2 ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π° ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ — Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° S1A1являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΈ слСдуСт Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ порядкС:
Π°) ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ S (Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹) ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ радиусом R, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹;
Π±) Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€Π΄ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ R1 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ сторонС основания;
Π²) соСдиним прямыми Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D, Π‘, Π’, А, Π•, D ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой ΠΈ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ S, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΡƒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Ρƒ SD;
Π³) пристраиваСм ΠΊ любой Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ основаниС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — ΠΏΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ способом триангуляции, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ DSE.
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ К осущСствляСтся Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π’1F1, взятого Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° А2К2, взятого Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°.
III. НаглядноС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π² ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.
III, Π°. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ основаниС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ согласно (Ρ„ΠΈΠ³.288, 1, Π°).
Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎ (Ρ„ΠΈΠ³.288, 1, Π°).
III, Π±. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, соСдиняя Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ основания. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ S’D’ ΠΈ стороны основания C’D’ ΠΈ D’E’ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ линиями, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅, Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹Π΅ гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ C’S’B’, B’S’A’ ΠΈ A’S’E’.
III, e. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π½Π° повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ К, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΡƒF ΠΈ Ρ…K. Для Π΄ΠΈ-мСтричСского изобраТСния ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.


Π”Π°Π½ΠΎ:
1. ОснованиС располоТСно Π½Π° плоскости П1.
2. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π° Π’Π‘ основания пСрпСндикулярна оси X.
I. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ
I, Π°. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ основаниС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π² плоскости П1, ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ S — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² пространствС, высота ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° высотС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
I, Π±. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ — ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ соСдиняСм прямыми ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ основания с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ проСкциями Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ стороны основания Π’Π‘ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡƒΡŽ, Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡƒΡŽ двумя гранями ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ABS, ACS.
I, Π². На Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ A2Π‘2S2 Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Π΄Π°Π½Π° проСкция D2 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D. ВрСбуСтся Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. Для этого Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ D2 ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси Ρ…12 — Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π΅Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ связи, опрСдСляСм мСсто искомой Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ D1 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D.
II. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ сторон основания выявлСны Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° AS выявлСна Π½Π° Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ BS ΠΈ CS Π² проСкциях Π½Π΅Ρ‚, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ этих Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ выявляСм ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ вращСния ΠΈΡ… Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси i, пСрпСндикулярной ΠΊ плоскости П1 проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ S. Новая Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция Β―C2S2 являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° CS.
ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ построСния Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΈ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹:
Π°) Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ — Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ CSB, основаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ сторонС основания ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π‘Π’, Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ стороны — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° SC;
Π±) ΠΊ сторонам SC ΠΈ SB построСнного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° пристраиваСм Π΄Π²Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° — Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ CSA ΠΈ BSA, Π° ΠΊ основанию Π‘Π’ построСнного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° — основаниС БВА ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΡƒ повСрхности Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.
ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡ Π½Π° Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΡƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D выполняСтся Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ порядкС: сначала Π½Π° Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠ΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ASC ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ линию Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° R1 Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ опрСдСляСм Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° R2.
III. НаглядноС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ димСтричСской ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
III, Π°. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ основаниС А’Π’’Π‘ ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ S’ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ согласно (Ρ„ΠΈΠ³. 289, 1, Π°).

III, Π±. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° S’A, S’C’ ΠΈ S’B’ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, соСдиняя Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ S’ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ основания А’Π’’Π‘’. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ S’B’ ΠΈ стороны основания A’Π’’ ΠΈ Π’’Π‘’ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ линиями, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅, Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΡŒΡŽ A’S’C’. Для опрСдСлСния Π½Π° повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ мСста Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ xD, yD, zD (Ρ„ΠΈΠ³.289, 1, Π²), ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° yD сокращаСтся Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅.

ВращСния ΠΈ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΈ повСрхностСй…..

ο»Ώ


Β 

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Когда ΠΌΡ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°Ρ…, ΠΌΡ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎ Π’Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°Ρ… Π•Π³ΠΈΠΏΡ‚Π° .

На самом Π΄Π΅Π»Π΅ это ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… основаниС — ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

Части ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹


ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ соСдинСния основания с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ

ОснованиС β€” ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ (плоский с прямыми краями), Π° всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ β€” Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.Никаких ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…!

Π’ΠΈΠΏΡ‹ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄

БущСствуСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΈΡ… основания.

Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ здСсь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· нСсколько ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄.

ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ ΠΈ наклонная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

Π­Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° (Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°) ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Когда Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° находится прямо Π½Π°Π΄ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ основания, это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° , Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС это наклонная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° .

ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Наклонная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

Π­Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ основания .Когда основаниС прСдставляСт собой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° , ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ это Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° .

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΠ΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°
ОснованиС стандартноС ОснованиС Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΈ объСм

ОбъСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

  • 1 / 3 Γ— [ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания] Γ— Высота

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Когда всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅:

  • [Π‘Π°Π·Π°] + 1 / 2 Γ— ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Γ— [наклонная Π΄Π»ΠΈΠ½Π°]

Если Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅:

  • [Основная ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ] + [Боковая ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ]

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… частСй: ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ( Базовая Π·ΠΎΠ½Π° ) ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ( Боковая Π·ΠΎΠ½Π° ).

Для Базовая Π·ΠΎΠ½Π° :

Π­Ρ‚ΠΎ зависит ΠΎΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ см. Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Π² нашСм инструмСнтС расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ

Для Боковая ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ :

Когда всС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅:

  • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π½Π° «Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ» ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° 2. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ всСгда ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° «ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° высоту, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2»

Но ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² Β«Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΒ» ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅), ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ.

Β 

Боковая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, покрытая Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° β€” это Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, основаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, Π° всС Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ β€” конгруэнтными Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Одна сторона ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· этих Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² совпадаСт с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороной Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π½Π°Π·Π²Π°Π½Ρ‹ Π² соотвСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ ΠΈΡ… оснований. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° β€” это ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, основаниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.Как ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, квадратная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠ° областСй.

  • ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности (LSA)
  • ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности (TSA)

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ вмСстС с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΈ нСсколькими Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ здСсь. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ нСсколько практичСских вопросов для ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Какова боковая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ «Π»Π°Ρ‚Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ сторонС».Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π΅ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности (LSA) ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ квадратная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚:

  • основаниС, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ собой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.
  • 4 Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… прСдставляСт собой Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

ВсС эти Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ конгруэнтны ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ сторону, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ со стороной основания (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π΅Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Рассмотрим ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания (Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°) Ρ€Π°Π²Π½Π° Β«aΒ», Π° высота ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ (Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°) Ρ€Π°Π²Π½Π° Β«lΒ» (это Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстно ΠΊΠ°ΠΊ наклонная высота). Ρ‚. Π΅. основаниС ΠΈ высота ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Β«aΒ» ΠΈ Β«lΒ» соотвСтствСнно. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1/2 Γ— a Γ— l. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ всСх 4 Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 (Β½ al) = 2 al. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, равная = 2al

Π§Ρ‚ΠΎ, Ссли Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Π° высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π° Π½Π΅ высота Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°? ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ (высота) Ρ€Π°Π²Π½Π° Β«hΒ».Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, примСняя Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° (Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ рисунку Π½ΠΈΠΆΠ΅),

Π»=√[(Π° 2 /4) + Ρ‡ 2 ]

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ² это Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ,

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ = 2al = 2a√[(a 2 /4) + h 2 ]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: √[(a 2 /4) + h 2 ]Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ (1/2)√(a 2Β  + 4h 2 ). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записана ΠΊΠ°ΠΊ 2a[(1/2)√(a 2 + 4h 2 )] = a√(a 2 + 4h 2 ).

Как Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, слСдуя ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ шагам,

  • ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ измСрСния.
  • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для расчСта ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹,
    Боковая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ = 2al = 2a√[(a 2 /4) + h 2 ], Π³Π΄Π΅ Β«aΒ» β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания, Β«hΒ» β€” высота, Π° Β«lΒ» β€” наклонная высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. квадратная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°.
  • Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ….

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ поняли ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° нСсколько Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ.

Часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ вопросы ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Какова боковая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ всСх Π΅Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. Если a, h ΠΈ l β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания, высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ наклонная высота соотвСтствСнно, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ = 2al (ΠΈΠ»ΠΈ) 2a√[(a 2 /4) + h 2 ].

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ (Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°) ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π΅ Π½Π° 4. Если a ΠΈ l β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания ΠΈ наклонная высота ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° = 4 (Β½ Γ— a Γ— l) = 2al. Если hΒ β€” высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ =Β 2a√[(a 2 /4) + h 2 ].

Какова ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Если a ΠΈ l β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания ΠΈ наклонная высота ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· 4 Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ составляСт Β½ Γ— a Γ— l.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности + ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ основания. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ = 2al (ΠΈΠ»ΠΈ) 2a√[(a 2 /4) + h 2 ].

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания (которая Ρ€Π°Π²Π½Π° 2 ) ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ = a 2 Β + 2al (ΠΈΠ»ΠΈ) a 2 Β +Β 2a√[(a 2 /4) + h 2 ].
Π³Π΄Π΅,

  • Π° = Π”Π»ΠΈΠ½Π° основания (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚)
  • Π» = наклонная высота
  • h = высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ высотой?

Боковая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с использованиСм Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ высоты ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ рассчитана ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Боковая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ = 2al, Π³Π΄Π΅ Β«aΒ» β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Π° основания, Π° Β«lΒ» β€” наклонная высота ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° β€” это ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ сходятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ, которая Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ основания.

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² срСднСй школС, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ . Π­Ρ‚ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ характСристики:

  • 1 ) ОснованиС – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.
  • 2 ) ВсС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.
  • 3 ) ВсС Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ — Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
  • 4 ) Высота встрСчаСтся с основаниСм Π² Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅.

Высота Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° наклонная высота. Π’ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ высота Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности

Π’ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π» . Π‘ . А . Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ΠΏ Π» Π³Π΄Π΅ ΠΏ прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания ΠΈ Π» наклонная высота.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1:

НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 8 дюймов, Π° наклонная высота 5 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС сторон.

ΠΏ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 ( 8 ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 24 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹

Π» . Π‘ . А . Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ( 24 ) ( 5 ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 60 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹ 2

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности

Π’ΠΎ общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΈ основания.ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π’ . Π‘ . А . Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ΠΏ Π» + Π‘ Π³Π΄Π΅ ΠΏ прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания, Π» наклонная высота ΠΈ Π‘ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±Π°Π·Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2:

НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 16 дюймов, наклонная высота стороны Ρ€Π°Π²Π½Π° 17 дюймов, Π° высота 15 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 с Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

ΠΏ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4 ( 16 ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 64 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±Π°Π·Ρ‹ составляСт с 2 .

Π‘ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 16 2 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 256 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹ 2

Π’ . Π‘ . А . Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ( 64 ) ( 17 ) + 256 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 544 + 256 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 800 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹ 2

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ наклонная высота Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΈ слоТитС ΠΈΡ….

ОбъСм

Π’ΠΎ объСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈ произвСдСния ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ основания Π½Π° высоту (высоту) ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. ( Π’ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 3 Π‘ час ) .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3:

НайдитС объСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с основаниями 10 см ΠΈ высота 12 см.

Π’ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 3 Π‘ час Π’ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 3 ( 10 ) 2 ( 12 ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 400 см 2

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Π’ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности рСгулярного ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

Π’ΠΎ общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΈ основания.

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π» . Π‘ . А . Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ΠΏ Π» Π³Π΄Π΅ ΠΏ прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания ΠΈ Π» наклонная высота.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1:

НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 8 дюймов, Π° наклонная высота 5 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС сторон.

ΠΏ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 ( 8 ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 24 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹

Π» .Π‘ . А . Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ( 24 ) ( 5 ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 60 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹ 2

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π’ . Π‘ . А . Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ΠΏ Π» + Π‘ Π³Π΄Π΅ ΠΏ прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания, Π» наклонная высота ΠΈ Π‘ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±Π°Π·Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2:

НайдитС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ основания Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 16 дюймов, наклонная высота стороны Ρ€Π°Π²Π½Π° 17 дюймов, Π° высота 15 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 с Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

ΠΏ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 4 ( 16 ) Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 64 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±Π°Π·Ρ‹ составляСт с 2 .

Π‘ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 16 2 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 256 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹ 2

Π’ . Π‘ . А .Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 2 ( 64 ) ( 17 ) + 256 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 544 + 256 Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 800 Π΄ΡŽΠΉΠΌΡ‹ 2

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ Π½Π΅ сущСствуСт, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ наклонная высота Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΈ слоТитС ΠΈΡ….

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ β€” это пространствСнная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, Π² основС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π° всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ β€” Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. ВсС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ основания, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

Π’Π½Π΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Β«ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°Β» часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ СгипСтских ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ слуТили Π³Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ для дрСвнССгипСтских Ρ†Π°Ρ€Π΅ΠΉ.ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² соврСмСнном ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² Π›ΡƒΠ²Ρ€Π΅, извСстном париТском ΠΌΡƒΠ·Π΅Π΅.

Бвойства ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Π“Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π΅Π΅ основаниСм, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Π² ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСству сторон Π² Π΅Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ основании. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ гранями, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°, противополоТная основанию, называСтся Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ часто ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Β«Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉΒ» ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ общая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° всСх Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ. Π£ Π½Π΅Π³ΠΎ 4 Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ β€” Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, Π° основаниС β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 8 Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΈ 5 Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½.

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ сСчСниС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ основанию ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ основанию.

Π’Ρ€ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π·Π°ΡˆΡ‚Ρ€ΠΈΡ…ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π·Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ΠΌ Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сСчСниями, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ основанию Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ (Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°) основанию ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π΅Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ основания. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈ косая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

Если Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ находится прямо Π½Π°Π΄ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ основания, это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС это наклонная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°.

ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Косая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½Π°Ρ линия ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ пСрСсСкаСт основаниС Π² Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½Π°Ρ линия ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π΅ пСрСсСкаСт основаниС Π² Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°

Если Π² основании ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС это Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. Часто ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΠ΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°
ОснованиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ прСдставляСт собой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставляСт собой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ. ОснованиСм Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ являСтся трапСция, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ собой Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

ВСтраэдр

ВСтраэдр β€” это особая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°, всС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ СдинствСнный Ρ‚ΠΈΠΏ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ любая ΠΈΠ· Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ основаниСм, Π° любая ΠΈΠ· Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ.

ОбъСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

ОбъСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹:

B β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания, h β€” высота ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΎΡ‚ Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎ основания.

Бколько Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Бколько Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

Бколько Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

| ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° β€” это ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ с основаниСм, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈ трСмя ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ сходятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚ основания.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, сколько Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 5 сторон.4 Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ΅Π½ΡŒΠΊΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. ОснованиС – ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 5 ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² (Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½) Какая ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 4 Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ?

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. Бколько Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ квадратная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ всС Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹?

ВсС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚: ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ основаниС, Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны, ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², восСмь Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ пятигранником, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π΅ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ: Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° квадратная.

КакиС 2 Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ?

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 5 Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, 4 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ β€” это прямая линия, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π΅ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹Π΅ повСрхности. Π­Ρ‚Π° ΡΠ΅Ρ‚ΡŒ состоит ΠΈΠ· 4 Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°.

Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° боковая Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ сторонами ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ сторону Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ стороны = (Π΄Π»ΠΈΠ½Π° окруТности основания Ρ… высота Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹) Γ· 2.

Какова ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°?

Π Π΅Π±Ρ€ΠΎ β€” это сСгмСнт, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π° ΡƒΠ³Π»Π°. Π›ΠΈΡ†ΠΎ – это ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π£ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° 4 ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ 1 Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это двумСрная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, Π° Ρƒ ΠΊΡƒΠ±Π° 6 Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΈ 12 ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это трСхмСрная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°

Бколько Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

8 Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°?

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° β€” это ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊ с основаниСм, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ любой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈ трСмя ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ сходятся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ гранями, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚ основания.

Какова общая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ – Π’.Π‘.А. = 12pl + B, Π³Π΄Π΅ p β€” ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ основания, l β€” Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½, Π° B β€” основаниС.

Какова Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ?

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ стороны ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ минус ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°: 2Ο€rh, Π³Π΄Π΅ r = радиус, Π° h = высота.

Бколько Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ Ρƒ сфСры?

Π£ ΠΊΡƒΠ±Π° 6 Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, 8 ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ 12 Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€. Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 0 ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², 0 Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΈ 2 Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ. Π‘Ρ„Π΅Ρ€Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Π£ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° 6 Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ, 8 ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ 12 Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€.

ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ — это ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°?

ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм называСтся ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ. Π’ зависимости ΠΎΡ‚ контСкста конус ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎ ΠΊ сфСричСскому конусу ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡƒ конусу. ΠšΠΎΠ½ΡƒΡΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Ρ‹ Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Π§Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Π³Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ?

ВрСхгранная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° называСтся тСтраэдром. Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ повСрхности (трСхгранная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° + основаниС)

Какова Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Π‘ΡƒΠΌΠ°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ вСсы ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ издСлия ΠΈΠ· стСкла, ΠΊΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ пластика. Они часто ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ кладутся Π½Π° стопки Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ листы Π½Π΅ двигались ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Π»Π΅Ρ‚Π°Π»ΠΈ Π² Π²Π΅Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ΄Ρƒ.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ 4 стороны?

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄ΠΎΠΉ являСтся чСтырСхгранная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° (основаниС + 3 стороны). ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ — тСтраэдр. ВСтраэдры ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ интСрСсным свойством: Ρƒ Π½ΠΈΡ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.ЕгипСтская ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ основаниС ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ стороны.

Каков ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹?

Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° β€” это Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° β€” это Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°, Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ β€” это Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ находятся Π² основном Π½Π°Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ. А Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм 5 ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Бколько Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅?

6 сторон

Как ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρƒ?

Π’Ρ‹Ρ€Π΅ΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 20 см ΠΈ высотой 30 см каТдая. Π‘ΠΊΠ»Π΅ΠΉΡ‚Π΅ стороны Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² вмСстС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Π’Ρ‹Ρ€Π΅ΠΆΡŒΡ‚Π΅ 14-Π΄ΡŽΠΉΠΌΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ кусок ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ½Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π΅ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρƒ этого куска ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ½Π°.

Как проявляСт сСбя тСтраэдр?

Если ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π°Π½Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это тСтраэдр?

ΠšΠ²ΠΎΡ€Π°. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Если чСтвСртая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ находится Π½Π° этой ΠΏΠ»Π°Π½Π΅Ρ‚Π΅, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ эти 4 ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, являСтся тСтраэдром.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ настоящая Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°?

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° прСдставляСт собой Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ с ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π² основании, вытянутым Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

Бколько Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρƒ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ состоит ΠΈΠ· Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности, которая прСдставляСт собой ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ мноТСства Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… стороны (ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ) Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ основания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ.

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹. Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ это конгруэнтныС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ основаниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, основания Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈ ΠΈΡ… высоты Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ высотС ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹.

Β 

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°:

  1. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ стороны ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ основания, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ высоты.2}} $$

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ :

ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ основании ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ равносторонних Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π±Ρ€ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ $9$$ см. НайдитС всю ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Β 

РСшСниС :

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ $$OABCD$$ β€” ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π° с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм $$ABCD$$.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *