Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтрия – ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ со всСми значСниями, числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синус косинус тангСнс котангСнс, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра 10 Класс

Π’Π΅ΠΌΠ°: ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π£Ρ€ΠΎΠΊ: Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Для  Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ нСзависимый Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ откладываСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° числовой прямой, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° окруТности. ΠžΡ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ становится числовой (ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ) прямой, Ссли ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± (рис. 1).

Числовая прямая устанавливаСт Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ всСми Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ прямой ΠΈ всСми Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.

НапримСр, Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ число  ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ

 Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ число  ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π° оси, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ  (рис. 2).

И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли ΠΌΡ‹ взяли Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ  Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой, Ρ‚ΠΎ найдСтся СдинствСнноС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΅ΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число (рис. 2).

К Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΈΡŽ люди ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΈ Π½Π΅ сразу. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ это, вспомним основныС числовыС мноТСства.

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Π²Π΅Π»ΠΈ мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ мноТСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этих мноТСств Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ достаточно, ΠΈ сущСствуСт Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ всСми Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ прямой. Но оказалось, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° числовой прямой Π΅ΡΡ‚ΡŒ бСсчислСнноС мноТСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ нСльзя ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ числами Π²ΠΈΠ΄Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ – Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ 1 ΠΈ 1. Она Ρ€Π°Π²Π½Π°

 (рис. 3).

НайдСтся Π»ΠΈ срСди мноТСства Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл число, Π² точности Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅  ΠΠ΅Ρ‚, Π½Π΅ найдСтся. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚.

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, равная Ρ‚.Π΅.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°  Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, 

 ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ равСнства дСлится Π½Π° 2, . Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈ  Π’ΠΎΠ³Π΄Π°  ΠΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ  Π Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚,  Π’ΠΎΠ³Π΄Π° получаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ  ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚имая. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚

Число  ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл  Π•ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ‹ возьмСм Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° прямой, Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. И Ссли ΠΌΡ‹ возьмСм любоС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π΅ΠΌΡƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ СдинствСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой.

Π£Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСством Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ окруТности ΠΈ мноТСством Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Начало отсчСта – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° A. НаправлСниС отсчСта – ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки – ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, ΠΏΠΎ часовой стрСлкС – ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.  ΠœΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± – Π΄Π»ΠΈΠ½Π° окруТности

 (рис. 4).

Вводя эти Ρ‚Ρ€ΠΈ полоТСния, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ числу  ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² соотвСтствиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° окруТности ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

Π—Π°Π΄Π°Π² число  ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° окруТности  

 (рис. 4).

ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° окруТности. А Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚?

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°  ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствуСт числу . А Ссли Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ числа  Π’ΡΠ΅ эти числа своим ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π° окруТности ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ

НапримСр,  ΡΠΎΠΎΡ‚вСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

B (рис. 4).

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ всС числа  Π’ΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B. НСт Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ всСми Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ окруТности.

Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ фиксированноС число  Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° окруТности

Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° окруТности, Ρ‚ΠΎ Π΅ΠΉ соотвСтствуСт мноТСство чисСл

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ прямой, координатная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ соотвСтствиСм ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ числами. ΠšΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ числу соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ соотвСтствуСт бСсчислСнноС мноТСство чисСл, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ.

Рассмотрим основныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° окруТности.

Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΎ число  ΠΠ°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° окруТности ΠΎΠ½ΠΎ соотвСтствуСт.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π΄ΡƒΠ³Ρƒ  ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ  (рис. 5).

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° – Π΄Π°Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°  ΡΠ΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ  ΠΠ°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΅ΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° числовой окруТности всС Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅  (рис. 6).

Π’Π°ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅

Π”Π°Π½ΠΎ число  ΠΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° – Π΄Π°Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ числам ΠΎΠ½Π° соотвСтствуСт.

 (рис. 7). 

ΠœΡ‹ рассмотрСли Π΄Π²Π΅ стандартныС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.

a) Найти Π½Π° числовой окруТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ

РСшСниС:

ΠžΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Aэто Π΄Π²Π° Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π°, ΠΈ  ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ M – это сСрСдина Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ (рис. 8).

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° M – сСрСдина Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ.

b) Найти Π½Π° числовой окруТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ

РСшСниС:

ΠžΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅  ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ N (рис. 9).

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° N находится Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ.

ΠœΡ‹ рассмотрСли Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, вспомнили ΠΈΡ… особСнности. ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ числовой прямой являСтся Π²Π·Π°ΠΈ

interneturok.ru

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

 

Если Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, ΠΈ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ лишь ΠΎΡΠ²Π΅ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π² памяти ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты,  ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ совсСм Π½Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΠ΅Π»ΠΈΠ²Ρ‹,  β€“ Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½, Ρ‚ригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³:

87yhjh

ΠœΡ‹ ΠΆΠ΅ здСсь Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ всС ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ шаг Π·Π° шагом.

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ – Π½Π΅ Ρ€ΠΎΡΠΊΠΎΡˆΡŒ, Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ

 

chaschaВригономСтрия Ρƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ассоциируСтся с Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ΠΉ. Π’Π΄Ρ€ΡƒΠ³ наваливаСтся ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ,  ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ формул…  Π ΠΎΠ½ΠΎ вСдь, ΠΊΠ°ΠΊ, – нСзаладилось Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅, и… пошло-поСхало… сплошноС нСпониманиС…

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ…Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ Π½Π° значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, – ΠΌΠΎΠ», всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π² ΡˆΠΏΠΎΡ€Ρƒ с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Если Π²Ρ‹ постоянно смотритС Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ со значСниями тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»,  Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΠ·Π±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ этой ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡ΠΊΠΈ!

Нас Π²Ρ‹Ρ€ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³! Π’Ρ‹ нСсколько Ρ€Π°Π· ΠΏΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ с Π½ΠΈΠΌ, ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΎΠ½ Ρƒ вас сам Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΡΠΏΠ»Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅. Π§Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹? Π”Π° Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ – Π’Π‘Π•!

К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, скаТитС, глядя Π² ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ синус, скаТСм, 300 градусов, ΠΈΠ»ΠΈ -45.

Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° тригономСтричСских Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

Никак?.. ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния…  Π глядя Π½Π° тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ вопросы. И Π²Ρ‹ скоро Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ!

А ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ нСравСнств   Π±Π΅Π· тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°  β€“ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½ΠΈΠΊΡƒΠ΄Π°.

Знакомство с тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ

 

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎ порядку.

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ряд чисСл:

0,\;1,\;2,\;3,\;4

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ:

\sqrt0,\;\sqrt1,\;\sqrt2,\;\sqrt3,\;\sqrt4

И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ:

\frac{\sqrt0}{2},\;\frac{\sqrt1}{2},\;\frac{\sqrt2}{2},\;\frac{\sqrt3}{2},\;\frac{\sqrt4}{2}

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π½Π° самом-Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅, Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ мСстС стоит 0, Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ мСстС стоит \frac{1}{2}, Π° Π½Π° послСднСм – 1. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ нас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° 0,\;\frac{1}{2},\;\frac{\sqrt2}{2},\;\frac{\sqrt3}{2},\;1.

Но ΠΊΠ°ΠΊ красиво ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ! Π’ случаС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ – восстановим эту «лСсСнку-чудСсСнку».

И Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΌ?

Π­Ρ‚Π° Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° – ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ основныС значСния синуса ΠΈ косинуса Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ.

НачСртим Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ радиуса (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ радиус-Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ любой, Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ объявляСм Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ).

ΠžΡ‚ Π»ΡƒΡ‡Π°  Β«0-Π‘Ρ‚Π°Ρ€Ρ‚Β» ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ стрСлки (см. рис.) ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 30^{\circ},\;45^{\circ},\;60^{\circ},\;90^{\circ}.

пСрвая Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅. Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚ Ссли ΡΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· осСй, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· Π½Π° значСния ΠΈΠ· ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΆΠ΅, спроситС Π²Ρ‹?

НС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ всС. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ситуациями.

тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΠžΠ’ – ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π² Π½Π΅ΠΌ  \angle O=30^{\circ}. А ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π° Π² 30^{\circ} Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ мСньший Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ (Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρƒ нас = радиусу ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 1).

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΠ’=\frac{1}{2} (Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ ОМ=\frac{1}{2}). А ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° OB=\frac{\sqrt3}{2}.

чсм

НадСюсь, ΡƒΠΆΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ становится понятно?

НаконСц, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ синус, косинус Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅?

\sin\angle AOB=\frac{AB}{OA}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2},

 \cos\angle AOB=\frac{OB}{OA}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{1}=\frac{\sqrt3}{2}.

Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°  Π’ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ  Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ \cos 30^{\circ}, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° М – Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ \sin 30^{\circ}.

Аналогично с ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ.

Как Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, привычная Π½Π°ΠΌ ось (ox) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ осью косинусов, Π° ось  (oy) – осью синусов.   ΠŸΡ€ΠΎ тангСнс ΠΈ котангСнс ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅.

Π‘Π»Π΅Π²Π° ΠΎΡ‚ нуля ΠΏΠΎ оси косинусов (Π½ΠΈΠΆΠ΅ нуля ΠΏΠΎ оси синусов) Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½, Π’Π‘Π•ΠœΠžΠ“Π£Π©Π˜Π™ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Π±Π΅Π· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΈΠΊΡƒΠ΄Π° Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³, значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

А Π²ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅.

 

egemaximum.ru

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ со всСми значСниями

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ β€” ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· основных элСмСнтов Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с синусом, косинусом, тангСнсом ΠΈ котангСнсом.

Каково ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² построСнном тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ β€” ΠΎΠ± этом ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ расскаТСм Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

ВригономСтричСская ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ВригономСтричСским Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ числовой окруТности Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ являСтся ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ радиус с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости. Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π° пространством ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» синуса с косинусом, тангСнсом ΠΈ котангСнсом Π½Π° систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

НазначСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ сфСры с n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ пространством Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ благодаря Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ описаны тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Выглядит ΠΎΠ½Π° просто: ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ находится систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ мноТСствСнныС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· этой окруТности ΠΏΠΎ тригономСтричСским функциям.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ синус, косинус, тангСнс, котангСнс Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‚, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 90Β°. Он ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ со всСми значСниями Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. ΠšΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ β€” Π΄Π²Π΅ стороны Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ 90Β°, Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°, ΠΎΠ½Π° всСгда Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ².

Бинусом называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅, косинусом β€” ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π½Π΅ΠΉ, Π° тангСнсом β€” ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ². ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ символизируСт Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ тангСнсом являСтся Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ острого ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° синус с косинусом. ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½ΡΠΎΠΌ являСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ тангСнсу ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ послСдних Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ выглядят ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: tg(a) = sin(a) / cos(a) ΠΈ ctg(a) = cos(a) / sin(a).

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности сводится ΠΊ Π΅Π΅ прорисовкС с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ радиусом Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ для построСния Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈ, двигаясь ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, проставляя ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

НачинаСтся построСниС послС чСрчСния ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ установки Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ с размСщСния систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ОΠ₯. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ О свСрху оси ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ являСтся синус, Π° Π₯ β€” косинус. БоотвСтствСнно ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ абсциссой ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ провСсти измСрСния ∠. Они проводятся градусами ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°ΠΌΠΈ.

Π‘Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ этих ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ просто β€” ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΎΡ‚ нуля ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ +, Π° ∠ ΠΎΡ‚ 0 ΠΏΠΎ часовой стрСлкС со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ -. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния синуса с косинусом ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.

Π£Π³Π»Ρ‹ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ тригономСтричСской окруТности, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ∠ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ, ΠΈ Π² Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто.

ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ дСлится систСмой ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ части. КаТдая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ∠ 90Β°. Половина ΠΎΡ‚ этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² равняСтся 45 градусам. БоотвСтствСнно Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΈ окруТности Ρ€Π°Π²Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ 180Β°, Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ β€” 360Β°. Как ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ этой ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ?

Если трСбуСтся Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ∠, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌ ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈ основным ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ, связанных с Π½ΠΈΠΌΠΈ.

Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…:

  • ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 90Β° β€” значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ ∏/2;
  • ΠΎΡ‚ 90 Π΄ΠΎ 180Β° β€” значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ ∏/2 Π΄ΠΎ ∏;
  • ΠΎΡ‚ 180 Π΄ΠΎ 270Β° β€” ΠΎΡ‚ ∏ Π΄ΠΎ 3*∏/2;
  • послСдняя Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ 2700 Π΄ΠΎ 3600 β€” значСния ΠΎΡ‚ 3*∏/2 Π΄ΠΎ 2*∏.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, пСрСвСсти Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π² градусы ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, слСдуСт ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅-ΡˆΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠ΅.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹

Π£Π³Π»Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π² градусах Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. ВрСбуСтся ΠΎΡΠΎΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌΠΈ значСниями. Π­Ρ‚Π° взаимосвязь Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Благодаря пониманию связи, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ градусов ΠΊ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ.

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

1 Ρ€Π°Π΄. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956

Π’ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅, 1 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 57Β°, Π° Π² 1 градусС 0,0175 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½:

1 градус = (∏ /180) Ρ€Π°Π΄. = 3,1416 / 180 Ρ€Π°Π΄. = 0,0175 Ρ€Π°Π΄.

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ, синус, тангСнс, котангСнс Π½Π° тригономСтричСской окруТности

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ с синусом, тангСнсом ΠΈ котангСнсом Π½Π° тригономСтричСской окруТности β€” Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π°Π»ΡŒΡ„Π° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 360 градусов. КаТдая функция ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, какая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π°. Они ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ, тригономСтричСская ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ – Сдиничная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, нСобходимая для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ описания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Она состоит ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…, Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

1001student.ru

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³. ЗначСния тангСнса ΠΈ котангСнса Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅

 

Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ познакомились с тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ значСния синуса ΠΈ косинуса основных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Как ΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ с тангСнсом ΠΈ котангСнсом? Об этом ΠΈ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ сСгодня.

 

Π“Π΄Π΅ ΠΆΠ΅ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ оси тангСнсов ΠΈ котангСнсов?

Ось тангСнсов ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси синусов  (ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ось синусов) ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (1; 0).

Ось котангСнсов ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° оси косинусов (ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ось косинусов) ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (0; 1).

На ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· осСй располагаСтся  Π²ΠΎΡ‚ такая Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° основных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тангСнса ΠΈ котангСнса: -\sqrt3,;\;-1,\;\frac{-\sqrt3}{3},\;0,\;\frac{\sqrt3}{3},\;1,\;\sqrt3. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊ?

Π― Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ, Π²Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ сообразитС ΠΈ сами. πŸ™‚ МоТно ΠΏΠΎ-Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΌΡƒ  Ρ€Π°ΡΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} ΠΈ ctg\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}.

 

Π˜Π·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ:

оси тангСнсов ΠΈ котангСнсов Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅

БобствСнно, ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° Π·Π° сСбя сама Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚.

Если  Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ всС ΠΆΠ΅ понятно, Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ tg \:300^{\circ}

РСшСниС:

Находим Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ 300^{\circ}. Π­Ρ‚Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ соСдиняСм с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (0;0) Π»ΡƒΡ‡ΠΎΠΌ (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (0;0)) ΠΈ смотрим, Π³Π΄Π΅ этот Π»ΡƒΡ‡ пСрСсСкаСт ось тангСнсов. Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ tg \:300^{\circ}=-\sqrt3.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -\sqrt3.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ tg \:90^{\circ}

РСшСниС:

Находим Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ 90^{\circ}. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (0;0) соСдиняСм с ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π»ΡƒΡ‡ΠΎΠΌ. И Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ пСрСсСчСт ось тангСнсов.

tg \:90^{\circ} Π½Π΅ сущСствуСт.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π½Π΅ сущСствуСт

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ tg\:\frac{11\pi}{4}

РСшСниС:

\frac{11\pi}{4}=\frac{12\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=3\pi-\frac{\pi}{4}.

Находим Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ 3\pi (это Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ \pi) ΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎ часовой стрСлкС (Π·Π½Π°ΠΊ минус!) ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ \frac{\pi}{4} (45^{\circ}). ΠšΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ? ΠœΡ‹ окаТСмся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ Ρƒ нас (см. рис.) Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ 135^{\circ}.  Π­Ρ‚Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ соСдиняСм с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (0;0) Π»ΡƒΡ‡ΠΎΠΌ. Π’Ρ‹ΡˆΠ»ΠΈ Π½Π° ось тангСнсов Π² Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ -1.

Π’Π°ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, tg\:\frac{11\pi}{4}=-1.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -1.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ctg\:840^{\circ}

РСшСниС:

840^{\circ}=2\cdot 360^{\circ}+120^{\circ}.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 0^{\circ}  (ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2\cdot 360^{\circ}) ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки 120^{\circ}.

Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° ось котангСнсов, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ctg\:840^{\circ}=-\frac{\sqrt3}{3}.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -\frac{\sqrt3}{3}.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ctg\:270^{\circ}

РСшСниС:

Находим Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ 270^{\circ}. Π­Ρ‚Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ соСдиняСм с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (0; 0). Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° ось котангСнсов. Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ctg\:270^{\circ}=0.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:  0.

Ρ‚Π΅ΡΡ‚Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, умСя Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ тригономСтричСскому ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Π° я надСюсь, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π»ΠΈ знакомство с ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΈ ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ значСния синусов ΠΈ косинусов, Π²Π°ΠΌΠΈ прочитана…), Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ тСст ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «НахоТдСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ косинуса, синуса, тангСнса ΠΈ котангСнса Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Β».

egemaximum.ru

Π’Π΅Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΊΠ° Π² ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ β€” Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Назовём этот ΡƒΡ€ΠΎΠΊ Β«ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ числовой окруТности». Π’ этом случаС ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΅ΠΌΡƒ мнСнию, слово «концСпция» Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ укладываСтся Π² Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ с Π²Π°ΠΌΠΈ прСдстоит Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ. Одно ΠΈΠ· пояснСний слова «концСпция» Π² Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ это Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ замысСл. НС смотря Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΡƒΡ‰ΡƒΡŽΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ концСпция нашСй окруТности проста ΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Π°, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅Ρ€ΠΈ ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠΌΡƒ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ числовой окруТности я Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ я это дСлаю Π½Π° своих ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… занятиях. ΠžΠ΄Π½Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ Π½Π° занятии, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π» эту Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ, моя ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ†Π° воскликнула: Β«Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ просто! ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π½Π°ΠΌ это Π½Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² школС?!Β» НадСюсь Π² Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ случаСв всё Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Π½ΠΎ для Ρ‚Π΅Ρ… ΠΊΡ‚ΠΎ пропустил ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ успСл Π·Π° Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰ΠΈΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹ΠΌ процСссом, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± этом.

Π’Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сайт Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ занимаСмся называСтся Β«Π’Π΅Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΊΠ° Π² ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒΒ»? Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ просто Ρ‚Π°ΠΊ πŸ™‚ ВооруТимся Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ»Π΅Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Ρ†ΠΈΡ€ΠΊΡƒΠ»Π΅ΠΌ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΎΠΉ, ластиком, простым ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ ΠΈ Ρ€ΡƒΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ ΠΈ достаточный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ для участия Π² нашСм мастСр классС. Мозг Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ° Π½Π΅ сохраняСт ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ считаСт Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ памяти Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π½Π΅ΠΌΠΈΠ½ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌ. Надо ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ·Π³Ρƒ сигнал, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта информация Π²Π°ΠΆΠ½Π°. Π‘ этой Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ упраТнСния.

Начнём! Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ это… Как Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это? ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, это ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ πŸ™‚ Но это вСдь Π½Π΅ просто ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΠ½Π° Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΈ числовая πŸ™‚ По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с числовой прямой, ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ отсчёта, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ноль. И Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ отсчёта Π½Π° числовой окруТности принята Π΅Ρ‘ крайняя правая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. На рисункС 1 эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ A0. Но ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с числовой прямой, наша ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. И Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ для числовой окруТности принято, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° ΠΏΠΎ часовой соотвСтствСнно β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΆΠΈΠΌ: Π½Π° числовой окруТности ноль соотвСтствуСт ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ принято Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ β€” ΠΏΠΎ часовой.

Рисунок 1. Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

B ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ траСкториям. Как ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, Ссли Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° Ссли ΠΏΠΎ часовой, Ρ‚ΠΎ β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. КаТдая траСктория прСдставляСт собой Π΄ΡƒΠ³Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ставится Π² соотвСтствиС ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° измСряСтся Π² градусной ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Рисунок 2. Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

НапримСр: 360Β° β€” ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, 180Β° β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π° ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, 90Β° β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, 270Β° β€” Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, ΠΈ Ρ‚.Π΄. На рисункС 3 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ значСния Π² градусах, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B. Различия Π² значСниях ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ 360. Π§Ρ‚ΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, всС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° отсчСта A0 ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ количСство ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ², Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π½Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ количСство ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² 360Β°.

Рисунок 3. Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Если радиус ΠΈΠ·ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ вдоль окруТности, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΄ΡƒΠ³Ρƒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ 1 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 4. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ количСство Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ окруТности являСтся Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ это число нСльзя Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ с ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ количСством Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… разрядов. ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ окруТности ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3,141592653… Π­Ρ‚ΠΎ число, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ догадались, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ Ο€. ΠΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ это число константой ΠΏΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ просто числом Ο€. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΡƒΠ³Π»Π° равная 180Β°, Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½. ВсС значСния Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ числу ΠΏΠΈ.

Как Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π°, градусная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ извСстна? Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΏΠΎΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½ΡΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ с заданиями ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свои знания Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² тСст.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3ЗаданияВСстированиС

Рисунок 4. Π Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π½Π° числовой окруТности

Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° окруТности, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° 2Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ значСния ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° окруТности Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ количСство Π΄Π»ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… 2Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, смотрим рисунок 5.

НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ссылки Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ нахоТдСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° числовой окруТности ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΡƒΠ³Π»Π° Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. ΠŸΠΎΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½ΡΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ протСстируйтС сСбя.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4ЗаданияВСстированиС

Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся числовой окруТности, Ρ‚ΠΎ Π΅Ρ‘ концСпция Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π°, Π½ΠΎ это Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½Π΅ всё. Для Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Π½Π΅ просто числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½Π° Сдиничная числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π°Π³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ «Сдиничная» ΠΌΡ‹ добавляСм ΠΊ нашСй числовой окруТности Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ условиС β€” Π΅Ρ‘ радиус Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π­Ρ‚ΠΎ свойство Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ числовой окруТности пригодится Π² дальнСйшСм.

Рисунок 5. Числовая ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Для прСвращСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ числовой окруТности Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² Π΅Ρ‘ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 6. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ осСй ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ радиусами окруТности, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΅Π΅ радиус Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚: Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ отсчёта числовой окруТности, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ находится А0 ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° пСрСсСчСниС с осью x. Π’ тригономСтричСской окруТности ось y принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ осью синусов, Π° ось x β€” осью косинусов.

Рисунок 6. ВригономСтричСская ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° числовой окруТности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ B ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Π΅Ρ‘ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, построив ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ось косинусов ΠΈ ось синусов. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B соотвСтствуСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Ξ±, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° cosΞ± (косинусу Π°Π»ΡŒΡ„Π°), Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y β€” sinΞ± (синусу Π°Π»ΡŒΡ„Π°). ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π½Π° рисункС 7. Π’ этом случаС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ξ± называСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ BΞ±(x, y), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ соотвСтствуСт ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ±, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса Π°Π»ΡŒΡ„Π° cosΞ± = x , Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Π°Π»ΡŒΡ„Π° sinΞ± = y.

Рисунок 7. НахоТдСниС синуса ΠΈ косинуса Π½Π° тригономСтричСской окруТности

К числовой окруТности Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Ρ‘ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΡŽΡŽ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, Π·Π°Π΄Π°Π² Π΅ΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ оси синусов. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ оси Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ отсчСта Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния с осью косинусов ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ радиус окруТности. Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ ось принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ осью тангСнсов. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ось. Π­Ρ‚Π° ось Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ окруТности ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ со Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° с осью косинусов. Начало Π΅Ρ‘ отсчСта ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния с осью синусов, Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ радиусу окруТности. Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ ось принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ осью котангСнсов. Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ BΞ±, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ соотвСтствуСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Ξ±, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Π°Ρ прямая пСрСсСкаСт ось тангСнсов ΠΈ ось котангСнсов Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ оси тангСнса ΠΈ котангСнса ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ числовыми, Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ пСрСсСчСний ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² соотвСтствиС числовыС значСния. Они ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ значСния тангСнса ΠΈ котангСнса исходного ΡƒΠ³Π»Π° Π°Π»ΡŒΡ„Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ Π½Π° рисункС 8.

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ условно ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ части. ВсС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, находящиСся Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси x ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ оси y Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒΡŽ. Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки: Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси x ΠΈ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ оси y β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒΡŽ, Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x ΠΈ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ оси y β€” Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒΡŽ, Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ оси y β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒΡŽ.

Рисунок 8. НахоТдСниС тангСнса ΠΈ котангСнса Π½Π° тригономСтричСской окруТности

Рассмотрим Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² для Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ окруТности находящихся Π² I Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Из рисунка 9 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ BΞ±, находящСйся Π² I Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ: cosΞ± > 0, sinΞ± > 0, tgΞ± > 0, ctgΞ± > 0. Из Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус, косинус, тангСнс ΠΈ котангСнс Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ I Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Рисунок 9. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² I Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ

Для II Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Из рисунка 10 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ BΞ±, находящСйся Π²ΠΎ II Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ: cosΞ± < 0, sinΞ± > 0, tgΞ± < 0, ctgΞ± < 0. Из Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ II Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½, Π° Π²ΠΎΡ‚ косинус, тангСнс ΠΈ котангСнс β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Рисунок 10. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΎ II Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ

Для III Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Из рисунка 11 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ BΞ±, находящСйся Π² III Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ: cosΞ± < 0, sinΞ± < 0, tgΞ± > 0, ctgΞ± > 0. Из Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синус ΠΈ косинус Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ III Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π° тангСнс ΠΈ котангСнс β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Рисунок 11. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² III Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ

Для IV Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Из рисунка 12 Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ BΞ±, находящСйся Π² IV Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ: cosΞ± > 0, sinΞ± < 0, tgΞ± < 0, ctgΞ± < 0. Из Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ косинус Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ IV Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½, Π° синус, тангСнс ΠΈ котангСнс β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Рисунок 12. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² IV Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ

На рисункС 13 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ синуса Π² чСтвСртях ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости.

Рисунок 13. Π—Π½Π°ΠΊΠΈ синуса Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях тригономСтричСской окруТности

На рисункС 14 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ косинуса Π² чСтвСртях ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости.

Рисунок 14. Π—Π½Π°ΠΊΠΈ косинуса Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях тригономСтричСской окруТности

На рисункС 15 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ тангСнса ΠΈ контангСнса Π² чСтвСртях ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости.

Рисунок 15. Π—Π½Π°ΠΊΠΈ тангСнса ΠΈ контангСнса Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… чСтвСртях тригономСтричСской окруТности

tetradkavkletochku.ru

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ синус ΠΈ косинус

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ прСдставляСт значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синус (sin) ΠΈ косинус (cos) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… значСниях ΡƒΠ³Π»Π° Π°Π»ΡŒΡ„Π° Π² градусах ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ….

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ я сам Π²Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π°ΡŽΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ окруТности Π² синусы ΠΈ косинусы, для простоты всС значСния косинусов (cos) для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 360 градусов (ΠΎΡ‚ 0 ΠΏΠΈ Π΄ΠΎ 2 ΠΏΠΈ) ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ Π·Π΅Π»Π΅Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. Π”Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ распСчаткС этого рисунка тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΠΎ-Π±Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ всС значСния косинуса Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹, Π° значСния синуса Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π±Π΅Π· подчСркивания. Если Π²Π°ΠΌ интСрСсно, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ для синуса ΠΈ косинуса.

Напротив ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π° окруТности располоТСны Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π° Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… скобках ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ записана ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π₯ (косинус)

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΡΠΊΡƒΡ€ΡΠΈΡŽ ΠΏΠΎ этому ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΠΊΡƒ матСматичСского Π·ΠΎΠΎΠΏΠ°Ρ€ΠΊΠ°. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь присутствуСт Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ β€” ΠΎΠ΄Π½Π° чСрная Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия с Π±ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π₯ Π²ΠΎΠ·Π»Π΅ стрСлочки, вторая β€” Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия с Π±ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ Π£. На оси Π₯, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ось абсцисс (это ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠ΅ слово ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π»ΠΎΠ½Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΊ) ΠΆΠΈΠ²ΡƒΡ‚ косинусы β€” cos. На оси Π£, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ось ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠ΅ слово, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π² устах Π±Π»ΠΎΠ½Π΄ΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ убийствСнным ΠΎΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ΅ΠΌ), ΠΆΠΈΠ²ΡƒΡ‚ синусы β€” sin. Если ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Тизнь этих тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ синусы всСгда Π½Π° ΠΊΡƒΡ…Π½Π΅ Ρƒ ΠΏΠ»ΠΈΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ, Π° косинусы β€” Π½Π° Π΄ΠΈΠ²Π°Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ‚Π΅Π»Π΅Π²ΠΈΠ·ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ.

Π’ этой систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ нарисована ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиусом, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅. Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ окруТности находится Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ β€” Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Π΅ рисунка ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ оси абсцисс (ось Π₯) ΠΈ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (ось Π£).

Из Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° окруТности ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ½Π΅Π½ΡŒΠΊΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. Π’ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² это ΠΏΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 6, ΠΏΠΈ Π½Π° 4, ΠΏΠΈ Π½Π° 3, 2 ΠΏΠΈ Π½Π° 3, 3 ΠΏΠΈ Π½Π° 4, 5 ΠΏΠΈ Π½Π° 6, 7 ΠΏΠΈ Π½Π° 6, 5 ΠΏΠΈ Π½Π° 4, 4 ΠΏΠΈ Π½Π° 3, 3 ΠΏΠΈ Π½Π° 2, 5 ΠΏΠΈ Π½Π° 3, 7 ΠΏΠΈ Π½Π° 4, 11 ΠΏΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 6. Π‘ осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²: 0, 90, 180, 270 градусов ΠΈΠ»ΠΈ 0 ΠΏΠΈ, ΠΏΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2, ΠΏΠΈ, 3 ΠΏΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2. ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΎΠΉ, ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈΠ· градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² градусы. ΠžΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… систСмах измСрСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² написаны Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ этот ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π·Π°ΠΊΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. Π’ΠΎΠ·Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… скобках, записаны ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ записана ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π₯, которая соотвСтствуСт косинусу ΡƒΠ³Π»Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎ эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ записана ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π£ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса ΡƒΠ³Π»Π°. По ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ довольно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ синус ΠΈ косинус Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π°. Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ синус с косинусом.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽ особоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса ΠΈΠ»ΠΈ косинуса ΠΈΡ‰ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»Π°. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚Π½ΠΎ относятся ΠΊ этому Π°ΠΏΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΡ†ΠΈΡ‚Ρƒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ отсутствии ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π»Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΡƒ Π·Π°, казалось Π±Ρ‹, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Π­Ρ‚ΠΎ такая ΡˆΡ‚ΡƒΡ‡ΠΊΠ°, которая ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ самим ΠΈ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ…. ОсобСнно Π±Π»ΠΎΠ½Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΊ. Но ΠΎΠ± этом ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·.

Всё, Ρ‡Ρ‚ΠΎ собрано Π² ΠΊΡƒΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° рисункС тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° синуса ΠΈ косинуса, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ°Ρ… с ΠΏΠΎΡ€Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ странички я Π±ΡƒΠ΄Ρƒ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ увСличСния Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Π°Π»Π΅Ρ€Π΅ΠΈ синусов ΠΈ косинусов).

Найти Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

Бинусы ΠΈ косинусы ΠΊΡ€ΡƒΠ³ β€” здСсь ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ° Π²ΠΎ всСй своСй тригономСтричСской красС.

Π£Π³ΠΎΠ» 120 градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… β€” Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2/3 ΠΏΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ 2 ΠΏΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 3, Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ красиво нарисовано.

ЗначСния синусов косинусов ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… β€” Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, надСюсь, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ ΠΈΡ‰Π΅Ρ‚Π΅.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинуса ΡƒΠ³Π»Π° Π² 45 градусов β€” Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° Π΄Π²Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ рисунку.

ВригономСтричСская ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” я Π½Π΅ совсСм ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прСдставлСнная Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся тригономСтричСской, Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π² этой окруТности ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, синусы ΠΈ косинусы Π½Π° окруТности β€” вылитая тригономСтрия.

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ рисунок β€” Π΅ΡΡ‚ΡŒ здСсь Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π°, Π½Π΅ самый красивый рисунок, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ красивСС ΠΈ понятнСС. МнС минус Π² Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ β€” ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ я Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ Π½Π΅ нарисовал Π΅Π³ΠΎ для Π±Π»ΠΎΠ½Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΊ? ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Π² ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ Π³Π°Π»Π΅Ρ€Π΅Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ: экскурсовод ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΠ΅Ρ‚ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ школьников Β«ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²Π°ΠΌΠΈ всСмирно извСстноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎ «ВригономСтричСская ΠΌΠ°Π΄ΠΎΠ½Π½Π° с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠΌ Π½Π° Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ…Β» β€” ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Π° гСниального Ρ…ΡƒΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠ° эпохи Π Π°Π½Π½Π΅Π³ΠΎ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ВозроТдСния …» Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ ΠΎΠ½Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ имя этого самого Ρ…ΡƒΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΠΊΠ° (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ…ΡƒΠ΄ΠΎΠΆΠ½ΠΈΡ†Ρ‹). Π­Ρ‚ΠΎ имя ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вашим!

ΠšΡ€ΡƒΠ³ синусов ΠΈ косинусов β€” ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ случайно оказался здСсь Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅.

Π£Π³ΠΎΠ» 9 градусов сколько это Π² ΠΏΠΈ β€” Π² ΠΏΠΈ это 1/20 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΈ/20.
РСшСниС: для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° градусов Π² ΠΏΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρƒ нас градусы Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 180 градусов (это 1 ΠΏΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½). Π£ нас получаСтся 9/180 = 1/20

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 9 градусов = 1/20 ΠΏΠΈ.

Бинус это Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π² сторону β€” синус β€” это Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Π² сторону β€” это косинус.

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ ΠΊ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π·Π°ΠΏΡ€Π΅Ρ‰Π΅Π½Ρ‹. Из-Π·Π° ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ… количСства ΠΌΠΎΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° ваши вопросы ΠΎ тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΡƒΡŽΡ‚ΡΡ. Вопросы ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² коммСнтариях ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ страницам. ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Ρ€Π°ΡŽΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ Π·Π° счСт удалСния части ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠ΅Π², Ρ‚Π΅ΠΌ самым освобоТу мСсто для Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ….

www.webstaratel.ru

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 2

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ здСсь)

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² градусы ΠΈ градусы Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹

 

На тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅  ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²  Π² градусы ΠΌΡ‹ наблюдаСм Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹.

ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹:+ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

 Π Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ угловая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Ρ‘ радиусу. БоотвСтствСнно, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° окруТности Ρ€Π°Π²Π½Π° 2\pi R, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² окруТности укладываСтся 2\pi Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 360^{\circ}=2\pi Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.

Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½

1 Ρ€Π°Π΄ β‰ˆ 57,295779513Β° β‰ˆ 57Β°17β€²44,806β€³ β‰ˆ 206265β€³.

ВсС Π·Π½Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \pi Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ –  ΡΡ‚ΠΎ 180^{\circ}.

Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, \frac{\pi}{3}=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}, Π° \frac{11\pi}{6}=\frac{11\cdot 180^{\circ}}{6}=330^{\circ}. Π’Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π² ΡƒΠ³Π»Ρ‹.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ градусы Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹.

Допустим, Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ пСрСвСсти 80^{\circ} Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹. Нам ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΡ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, 180^{\circ}=\pi Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½, Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ:

ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ градусов Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹

ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° 80^{\circ}=\frac{80\cdot \pi}{180}=\frac{4\pi}{9}

 

ВрСнируСмся Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ  Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ  ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ° ΠΈ косинуса ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ

 

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅.

Ну Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Ссли нас просят Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, скаТСм, \sin 30^{\circ}, – здСсь ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ – всС Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ 30^{\circ} Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

А Ссли просят Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, \sin0… МногиС, Π²Π΄Ρ€ΡƒΠ³, Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ Π³Π΄Π΅ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ этот Π½ΠΎΠ»ΡŒβ€¦ Π§Π°ΡΡ‚Π΅Π½ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ‰ΡƒΡ‚ Π΅Π³ΠΎ  Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ?

1) Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ договоримся Ρ€Π°Π· ΠΈ навсСгда! Π’ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ стоит послС \sin ΠΈΠ»ΠΈ \cos  β€“ это Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚=ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π°  ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρƒ нас Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅, Π½Π΅ ΠΈΡ‰ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΡ… Π½Π° осяx! (ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΈ Π½Π° ΠΎΡΡŒβ€¦) А сами значСния синусов ΠΈ косинусов – ΠΈΡ‰Π΅ΠΌ Π½Π° осях!

2) Π˜ Π΅Ρ‰Π΅! Π•сли ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ «старт» отправляСмся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки (основноС Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄Π° тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°), Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² растут ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² этом Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Если ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β«ΡΡ‚Π°Ρ€Ρ‚Β» отправляСмся ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². 

 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. 

Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \sin 0^{\circ}.

РСшСниС:

Находим Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ 0^{\circ}. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ось синусов (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 0^{\circ} ΠΊ оси синусов (ΠΎΡƒ)).

ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ знакомство с тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ, ось синусов

ΠŸΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² 0. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, \sin 0^{\circ}=0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. 

Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \sin 270^{\circ}.

РСшСниС:

Находим Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ 270^{\circ} (ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки 180^{\circ}  ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ 90^{\circ} ). ΠŸΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ось синусов (Π° ΠΎΠ½Π° ΡƒΠΆΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° оси синусов).

Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅

ПопадаСм Π² -1 ΠΏΠΎ оси синусов.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, \sin 270^{\circ}=-1.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Π·Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ 270^{\circ} Β«ΡΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΒ» Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ -90^{\circ}  (ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ  270^{\circ},  ΠΏΠΎ часовой стрСлкС, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ появляСтся Π·Π½Π°ΠΊ минус), 270^{\circ}+360^{\circ} ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ….

МоТно привСсти Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ аналогию:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π΅Π³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΡƒ стадиона.

futb-pole

Π’Ρ‹ вСдь ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β«Π€Π»Π°ΠΆΠΎΠΊΒ», ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡΡŒ со старта ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки, ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ°Π², допустим, 300 ΠΌ.   Или ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ°Π², скаТСм, 100ΠΌ  ΠΏΠΎ часовой стрСлкС (считаСм Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠΈ 400 ΠΌ).

А Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β«Π€Π»Π°ΠΆΠΎΠΊΒ» (послС «старт»), ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ°Π², скаТСм, 700 ΠΌ, 1100 ΠΌ, 1500 ΠΌ ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β«Π€Π»Π°ΠΆΠΎΠΊΒ», ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ°Π² 500 ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ 900 ΠΌ ΠΈ Ρ‚. Π΄.  ΠΏΠΎ часовой стрСлкС ΠΎΡ‚ «старт».

Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΠΈΡ‚Π΅ мыслСнно Π±Π΅Π³ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΡƒ стадиона Π² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Π³Π΄Π΅ Π½Π° этой прямой Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,  Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ 300, 700, 1100, 1500 ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠœΡ‹  ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° числовой прямой, равноотстоящиС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. Π‘Π²Π΅Ρ€Π½Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β«cлСпятся» Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ.

Π’Π°ΠΊ ΠΈ с тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Π—Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ скрыто бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ….

Π‘ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ,  ΡƒΠ³Π»Ρ‹ 30^{\circ}390^{\circ}750^{\circ}-330^{\circ} ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. И  Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ синуса, косинуса Π² Π½ΠΈΡ…, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. (Π’Ρ‹ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ прибавляли/Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π»ΠΈ 360^{\circ} ΠΈΠ»ΠΈ 2\pi? Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус ΠΈ косинус.)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. 

Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \sin (-\frac{7\pi}{6}).

РСшСниС:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ для простоты -\frac{7\pi}{6} Π² градусы

ось косинусов(ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ½Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊ тригономСтричСскому ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ, Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ потрСбуСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π² градусы):

-\frac{7\pi}{6}=-210^{\circ}

Π”Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ часовой стрСлки ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 0^{\circ}.  ΠŸΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° (180^{\circ}) ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ 30^{\circ}.

ПонимаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса -210^{\circ} совпадаСт со Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ  ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠ°  30^{\circ}   ΠΈ равняСтся \frac{1}{2}.

\sin (-\frac{7\pi}{6})=\frac{1}{2}.

 

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ссли Π± ΠΌΡ‹ взяли, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 150^{\circ} ΠΈΠ»ΠΈ 510^{\circ} ΠΈ Ρ‚.Π΄., Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹ всС Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. 

Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \cos (\frac{5\pi}{4}).

РСшСниС:

pervoe znakomstvo-s-krugom5ВсС ΠΆΠ΅, Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ Π² градусы, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

\frac{5\pi}{4}=\pi+\frac{\pi}{4}.

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΏΠΎΠ»ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ ΡΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ось косинусов (Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось).

\cos (\frac{5\pi}{4})=-\frac{\sqrt2}{2}.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. 

Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \cos (-\frac{25\pi}{6}).

РСшСниС:

Как ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ -\frac{25\pi}{6}?

-\frac{25\pi}{6}=-(\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6})=-(4\pi+\frac{\pi}{6}).

tr1Если ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅ΠΌ 4\pi ΠΈΠ»ΠΈ -4\pi, Π΄Π° Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ 2014\pi, ΠΌΡ‹ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ окаТСмся   Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ  Β«ΡΡ‚Π°Ρ€Ρ‚Β».   ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сразу ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅ -\frac{\pi}{6}.

\cos (-\frac{25\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. 

Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ \cos (-1500^{\circ}).

РСшСниС:

-1500^{\circ}=-(60^{\circ}+4\cdot 360^{\circ}).

ΠœΡ‹ окаТСмся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ -60^{\circ} (4\cdot 360^{\circ} ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ноль). ΠŸΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ  Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°  -60^{\circ} Π½Π° ось косинусов (смотри тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³), ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ Π² \frac{1}{2}. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \cos (-1500^{\circ})=0,5.

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ – Ρƒ вас Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ…

 

Π’Ρ‹ ΠΆΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ поняли, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ – Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Π’ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чСтвСртях всС Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ лишь ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.  Π Β«Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΡƒ-лСсСнку»  Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹, надСюсь ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π·Π°Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅. Ρ‚ригономСтрия Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ΅

Как Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ тангСнса ΠΈ котангСнса ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ здСсь.

UnknownПослС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ, познакомившись с основными значСниями тангСнса ΠΈ котангСнса, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ   Ρ‚Сст ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ «НахоТдСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ косинусов, синусов, тангСнсов ΠΈ котангСнсов Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Β»

 

Бсылочка Π½Π° пустой шаблон ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°. Π’Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ!

egemaximum.ru

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *