Гомологическая разность — Справочник химика 21
Соединения, сходные по химическим свойствам, состав которых отличается друг от друга иа группу СН , называются гомологами. Гомологи, расположенные в порядке возрастания их относительной молекулярной массы, образуют гомологический ряд. Группа СНг называется гомологической разностью. [c.276]Углеводороды различных классов образуют так называемые гомологические ряды, в которых каждый последующий углеводород отличается от предыдущего члена ряда на гомологическую разность СНа. Состав любого члена гомологического ряда выражается общей для данного ряда эмпирической формулой. На- [c.269]
Изменение физических свойств в пределах данного гомологического ряда находится в соответствии с отношением гомологической разности к значению молекулярной массы гомолога. [c.41]
Следует, конечно, учитывать, что корреляция (5.54) в общем случае носит сугубо приближенный характер, так как численный коэффициент — величина переменная и является константой только в пределах данного конкретного гомологического ряда распределяемых компонентов [23, 241 и данной конкретной пары несмешивающихся растворителей. Ио данным монографии [261, гомологическая разность в системе вода — органический растворитель в зависимости от природы растворителя изменяется в интервале от 0,32 до 0,73. Интересно отметить, что величина гомологической разности тем меньше, чем выше коэффициент распределения, однако в настоящее время отсутствуют даже приближенные корреляции между этими величинами.
Гомологическая разность при распределении органических веществ между водой и сложными эфирами в среднем равна 0,080 [22]. Очевидно, что средние значения величины гомологической разности [c.89]
Сочетание этих трех признаков классификации и дает представление о многообразии классов органических соединений. Отдельные представители каждого из классов органических соединений, отличающиеся числом углеродных атомов в молекуле, называются гомологами по составу гомологи отличаются друг от друга на так называемую гомологическую разность СНо. Совокупность гомологов, относящихся к одному и тому же классу, называется гомологическим рядом. [c.142]
Обычно более строгое постоянство гомологической разности наблюдается, начиная с четвертого или пятого члена данного гомологического ряда для первых членов ряда наблюдаются довольно существенные отклонения. [c.28]
Для многих гомологических рядов органических соединений величины инкремента на группу СНг оказались такими же, какими они были найдены для алканов. Так, гомологическая разность в теплотах сгорания монокарбоновых жирных кислот нормального строения в жидком состоянии равна 156,3 ккал/моль. В работе Грина (12] было показано, что для первичных спиртов нормального [c.28]
Таким образом, прибавляя метиленовую группу, можно получить любую молекулу из класса алканов. СН -группа называется гомологической разностью, а члены ряда, отличающиеся на одну гомологическую разность, называются гомологами.
Органические соединения одного и того же класса, характеризующиеся общей для всех членов формулой и разностью СНг между каждым последующим и предыдущим членами, называются гомологическим рядом, а разность СН, — гомологической разностью. [c.121]
Ацетилен —первый член гомологического ряда. Формулы последующих алкинов получаются прибавлением к формуле ацетилена гомологической разности СНг С3Н4, С4Н6 и т. д. [c.328]
Гомологическая разность, т. е. групла СНа, удлиняет углеродную цепь, но не изменяет характеристическую группу. По- [c.116]
Гомологическая разность 4.35 Горение 358 [c.703]
Соединения, сходные по строению, а значит и по химическим свойствам, и отличающиеся друг от друга на одну или несколько групп СН2, называются гомологами. Группа СНз называется гомологической разностью. Гомологи образуют гомологический ряд, в данном случае гомологический ряд метана. [c.338]
Эти спирты образуют гомологический ряд, так как они по составу молекул отличаются друг от друга на группу СН (гомологическую разность). Общая формула гомологического ряда h3 +iOH или R—ОН, где R — углеводородный радикал. [c.370]
Углеводороды различных классов объединяются в так называемые гомологические ряды. В этих рядах каждый углеводород отличается от следующего за ним на группу СН2, которую называют гомологической разностью. Названия гомологических рядов — чаще всего производные от названий первых членов, например гомологический ряд метана, гомологический ряд этилена и т. д. [c.230]
Так же как и в других рядах гомологов, каждый член ряда спиртов отличается по составу от предыдущего и последующего на гомологическую разность СН .
В случае, когда молекула распределяемого вещества имеет несколько функциональных групп, возникают пространственные затруднения взаимодействия молекулы распределяемого вещества с молекулами растворителя. Эффект экранизации уменьшается но мере увеличения расстояния между функциональными группами, и вследствие этого изменяется гомологическая разность. На рис. 5.8 приведены данные [271 о распределении дикарбоновых кислот и глико-лей между водой и органическими растворителями. Представленные данные свидетельствуют о том, что с ростом длины молекулы гликоля или дикарбоновой кислоты гомологическая разность несколько увеличивается. [c.92]
Гомологический ряд — это ряд соединений, в котором каждый последующий член отд ичается от предыдущего на определенную группу aioMois (—СН. —, —СН = СН— II др.), называемую гомологической разностью. [c.390]
Определение гомологических серий и альтернативных брутто-формул. При групповой идентификации органических соединений по масс-спектрам низкого разрешения следует учитывать, что основу классификации органических веществ образуют гомологические ряды с гомологической разностью СНг, имеющей массовое число 14. По этой причине целесообразно выражение массовых чисел различных частиц (молекул, радикалов, ионов) в четыр-надцатиричной системе счисления. При этом каждое массовое число М может быть представлено в виде пары (десятичных) чисел х у), где у — число единиц младшего разряда четырнад-цатиричного массового числа, х — число единиц старших разрядов. Параметры X тл у определяются как целое частное от деления УИ на 14 (л ) и как остаток (у), например 78 = 5-14-1-8 или в сокращенной записи (5 8) 253 = = 18-14 + 1 — (18 1) и т. д. [c.183]
Алканами, или нециклическими предельными углеводородами, называют соединения угл
Гомологическая разница — Справочник химика 21
Группа СНг называется гомологической разницей. Общая формула предельных углеводородов С Н2п+2, где п — число атомов углерода в молекуле.Любой полимер, как говорилось выше, является смесью макромолекул с различным числом элементарных звеньев в них. Эти макромолекулы образуют так называемый полимергомологический ряд с гомологической разницей между его соседними членами, равной молекулярному весу одного элементарного звена. [c.369]
Из сказанного вытекает, что гомологическим рядом называют ряд однородных соединений, в котором каждый последующий член ряда отличается от предыдущего на группу СНг, именуемую гомологической разницей. [c.19]
Не принимая во внимание различий в энергиях связей С—С и С—Н разных подтипов, нельзя было бы объяснить отличия гомологической разницы для перехода метан —этан и этан — пропан от гомологической разницы для последующих углеводородов. До сих пор эти факты, насколько известно автору, не были объяснены. [c.145]
Л. С. Ружичка сформулировал изопреновое правило, согласно которому изопреновый скелет является гомологической разницей в ряду всех терпенов и многих витаминов и гормонов. [c.689]
Из формулы (46) следует, между прочим, что величина гомологической разницы для двух алканов, входящих в группы с разными значениями Д°, будет равна таковой для соответствующих нормальных алканов (т. е- величине Лаа)- [c.144]
Уравнение (42) не требует обязательно неравенства этих гомологических разниц величине Л,а, но допускает возможность такого неравенства и, следовательно, дает возможность объяснения этого неравенства, если оно действительно существует. Равенство гомологических разностей при переходе от метана к этану и от этана к пропану величине согласно (42). может иметь место, только если [c.144]
Хотя принцип химического строения уже давно лежит в основе мышления химика, тем не менее многие основные понятия органической химии традиционно определяются, исх )дя не из строения, а из состава орга,нических соединений. Это в первую очередь относится к гомологии. Распространено определение, согласно которому два соединения гомологичны, если они сходны по свойствам и отличаются по составу на гомологическую разницу СНа, взятую п раз. Понятие сходства произвольно, в некоторых отношениях гомологи могут обладать разными свойствами (например, физиологическое действие метилоиого и этилового спирта) на группу СНа могут отличаться по составу соединения, которые никак не назовешь гомологами, например, ароматический бензол и непредельный циклогептатриен. Совершенно ясно также, что накоплением групп СНа не исчерпываются способы регулярного усложнения органических соединений, поскольку органическая химия знает и другие закономерно построенные ряды с иной гомологической разни- [c.13]
Основные направления научных исследований связаны с решением проблемы состав — свойства веществ. Исследовал зависимость между удельным и молекулярным весами, между температурами кипения и составом, между удельными теплоемкостями и природой простых тел, между составом и свойствами двойных систем. Установил (1842), что в ряду спиртов, карбоновых кислот и их эфиров при переходе от одного соединения к другому, содержащему на один углеродный атом меньше или больше, их мольные объемы, как и температуры кипения, изменяются на одну и ту же величину, характерную для данного ряда. Таким образом, он подошел к понятию о гомологической разнице в составе и свойствах соединений одного ряда. Ввел (1839—1849) понятие мольного объема как суммы атомных объемов элементарных атомов соединения. Заметил, что мольные объемы кислорода в спиртах и кислотах отличаются от таковых в эфирах и кетонах. Провел (1878) первое систематическое исследование спектров окрашенных соединений, установив их аналогию у сходных по химическому строению соединений. Автор трудов История химии (т 1—4, 1843—1847), Развитие химии в новое время (1871 — 1874), Материалы к истории химии (т. 1—3, 1869—1875).
Но гомологический ряд существует не вне отдельных своих членов, не над ними, по только в них и через них, представляя собой их внутреннюю закономерность. Как общее он охватывает собой лишь неполно каждый свой член в отдельности, так что кроме свойств, обнаруживающих гомологическую разницу, подобно температурам кипения, имеются еще и чисто индивидуальные свойства, которые не охватываются вовсе или охватываются только весьма приблизительно общей закономерностью гомологического ряда (например, физиологические действия спиртов на человеческий организм). [c.255]
Следовательно, налицо связь, преемственность в процессе поступательного развития органического вещества данного гомологического ряда, выражающаяся jb том, что каждый последующий член структурно образуется из предыдущего путем последовательного увеличения молекулы на гомологическую разницу (группа СНг). Это объясняет наличие свойств, общих всем карбоновым кислотам (образование предельных углеводородов при сплавлении солей и кислот со щелочами, получение альдегидов и кетонов посредством перегонки кальциевых солей этих кислот, способность образовывать эфиры и т. д.). [c.216]
Наиболее общая закономерность состоит в том, что разность молярных теплот сгорания для двух ближайших гомологов нормального строения, отвечающая гомологической разнице состава СНг, является величиной постоянной, в среднем равной [c.538]
Гомологический ряд предельных углеводородов хорошо иллюстрирует закон перехода количественных изменений в коренные качественные изменения. Действительно, накопление одинаковых группировок атомов — прибавление гомологической разницы СНа— ведет каждый раз к появлению нового углеводорода. Химию, — говорит Энгельс, — можно назвать наукой о качественных изменениях тел, происходящих под влиянием изменения количественного состава . [c.51]
Следовательно, Копп, изучая количественную сторону свойств аналогичных, как он выражается, веществ, близко подошел к установлению понятия о количественной гомологической разнице в свойствах соединений. Однако при этом он еще не обнаружил закономерности в изменении состава гомологических тел, так как исследовал производные только двух спиртов. [c.12]
В 1898 г., появились работы Чугаева [78], в которых он установил, что на молекулярное вращение [М] заместитель оказывает тем большее действие, чем он ближе к асимметрическому центру. Из этого общего положения вытекало, в частности, как приведенное выше правило Вальдена, так и другая закономерность, открытая Чугаевым. Последняя состоит в том, что молекулярное вращение в гомологических рядах (с увеличением на гомологическую разницу одно
Термин | Определение |
Sp3 — гибридизация | Смешение одного s- и трех р- облаков |
Алканы | Углеводороды у которых в молекулах которых атомы углерода связаны между собой простой связью, а все остальные с водородом |
Асимметрический атом углерода | Атом у которого четыре разных заместителя |
Брутто-формула | Формула показывающая качественный и количественный состав вещества |
Валентный угол | Угол между осями на которых лежат электронные облака |
Вторичный атом углерода | Атом связанный с двумя атомами углерода |
Генетическая связь | Возможность взаимопереходов веществ разных классов и гомологических рядов |
Гидрирование | Присоединение водорода |
Гомологи | Члены гомологического ряда отличающиеся друг от друга на определенное количество гомологических разностей |
Гомологическая разность | Группировка «СН2» на которую отличаются члены одного гомологического ряда |
Гомологический ряд | Условно бесконечный ряд веществ схожих по строению и свойствам и отвечающих одной общей формуле |
Длина связи | Расстояние между двумя центрами атомов соединенных химической связью |
Женевская номенклатура | Свод правил наименований органических веществ принятые в Женеве в 1892 году на съезде химиков |
Жидкофазные процессы | Процессы происходящие в жидкой фазе |
Изомерия | Явление существования веществ с одинаковым составом, но разным строением и свойствами |
Изомеризация | Реакция в результате которой вещество изменяет свое строение, но не изменяет состав |
Изомерия структурная | Изомерия обусловленная различным порядком соединения атомов и атомных групп |
Изомерия углеродного скелета | Изомерия обусловленная различным порядком соединения атомов углерода в органическом веществе |
Изомеры | Вещества с одинаковым составом, но разным строением и свойствами |
Эмпирическая номенклатура | Наименование веществ по случайным признакам |
Эмпирическая формула | Тоже что и брутто-формула |
ИЮПАК | Номенклатура построенная на основе женевской с дополнениями и исправлениями от 1957 и 1965 гг |
Катализатор | Вещество изменяющее скорость химической реакции, но само при этом количественно не изменяющееся |
Каталитический крекинг | Распад веществ на более простые составляющие под действием катализаторов |
Ковалентная связь | Связь образованная при перекрывании электронных облаков |
Коллоидное состояние | Очень мелко раздробленное состояние |
Крекинг | Распад веществ на более простые составляющие |
Межклассовая изомерия | Явление существования веществ с одинаковой общей формулой, но относящиеся к разным гомологическим рядам |
Нитрование | Введение в молекулу вещества нитрогруппы – NO2 |
Номенклатура | Свод правил на основании которых веществам даются названия |
Озокерит | (Горный воск) Смесь образующаяся в природных условиях состоящая из высших алканов |
Оптическая (хиральная) изомерия | Изомерия вызванная присутствием в молекуле вещества оптического (хирального) атома углерода |
Ординарные связи | Простые связи. Порядок = 1 |
Парафазные процессы | Процессы происходящие в газовом состоянии веществ |
Парафины | Тоже что и алканы |
Первичный атом углерода | Атом углерода связанный только с одним соседним атомом углерода |
Пространственная изомерия | Изомерия вызванная различным строением веществ в пространстве |
Радикалы | Частицы имеющие неспаренные электроны |
Сигма-связь | Связь образованная при перекрывании электронных облаков по линии соединяющей центры атомов. |
Синтез | Процесс получения более сложных веществ из более простых (дословно связывание) |
Сульфирование | Введение в молекулу вещества сульфогруппы -SO3H |
Термический крекинг | Распад веществ на более просты составляющие под действием температуры |
Тетраэдр | |
Третичный атом углерода | Атом углерода связанный с тремя атомами углерода |
Тривиальная номенклатура | Тоже самое что эмпирическая |
Фотохимические процессы | Химические процессы происходящие под действием света |
Хиральная (оптическая) изомерия | Тоже самое что и оптическая (хиральная) изомерия |
Хиральный атом углерода | Тоже самое что и асимметрический атом углерода |
Четвертичный атом углерода | Атом углерода связанный с четырьмя атомами углерода |
Электролиз | Окислительно-восстановительный процесс протекающий в растворе или расплаве электролита при пропускании через него электрического тока |
Энергия связи | Энергия требующаяся для разрыва химической связи |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теория гомологий — Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Гомология.Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.
В простейшем случае топологическому пространству X{\displaystyle X} сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий Hk(X){\displaystyle H_{k}(X)}, занумерованных натуральными числами k{\displaystyle k}. Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации[1].
Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию[2], и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.
Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии Hk(X,A){\displaystyle H_{k}(X,A)} с коэффициентами в абелевой группе A{\displaystyle A}, относительные гомологии Hk(X,Y){\displaystyle H_{k}(X,Y)} пары пространств X⊃Y{\displaystyle X\supset Y} и когомологии Hk(X){\displaystyle H^{k}(X)}, определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения Hk(X)⊗Hl(X)→Hk+l(X){\displaystyle H^{k}(X)\otimes H^{l}(X)\to H^{k+l}(X)}, превращающего их в градуированную алгебру.
Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.
Напомним, что k{\displaystyle k}-тая гомотопическая группа πk(X){\displaystyle \pi _{k}(X)} пространства X{\displaystyle X} — это множество отображений из k{\displaystyle k}-мерной сферы в X{\displaystyle X}, рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий Hk(X){\displaystyle H_{k}(X)} отображения сфер заменяют на k{\displaystyle k}-циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности k{\displaystyle k} внутри X{\displaystyle X}, но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.
В стандартных обозначениях группа k{\displaystyle k}-циклов — Zk(X){\displaystyle Z_{k}(X)} (от нем. Zyklus — «цикл»), группа k{\displaystyle k}-границ — Bk(X){\displaystyle B_{k}(X)} (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как
- Hk(X)=Zk(X)/Bk(X){\displaystyle H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)}.
Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности k>2{\displaystyle k>2} приводит к некоторым трудностям[1]. Решением является определение промежуточного понятия группы k{\displaystyle k}-цепей Ck(X){\displaystyle C_{k}(X)}, состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в X{\displaystyle X} неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы ∂k:Ck(X)→Ck−1(X){\displaystyle \partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)}. Тогда k{\displaystyle k}-циклы определяются как k{\displaystyle k}-цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:
- Zk(X)=Ker(∂k:Ck(X)→Ck−1(X)), Bk(X)=Im(∂k+1:Ck+1(X)→Ck(X)){\displaystyle Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X)=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\to C_{k}(X))}.
Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: ∂k+1∘∂k=0{\displaystyle \partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0}, а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.
Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.
Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.
- Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
- Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.
Гомологии с коэффициентами в произвольных группах[править | править код]
Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы G{\displaystyle G}. То есть, вместо групп Ck(X){\displaystyle C_{k}(X)} рассматривать группы Ck(X)⊗G{\displaystyle C_{k}(X)\otimes G}.
Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства X{\displaystyle X} с коэффициентами в группе G{\displaystyle G} обозначаются Hk(X;G).{\displaystyle H_{k}(X;G).} Обычно применяют группу действительных чисел R{\displaystyle \mathbb {R} }, рациональных чисел Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, или циклическую группу вычетов по модулю m{\displaystyle m} — Zm{\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}, причём обычно берётся m=p{\displaystyle m=p} — простое число, тогда Zp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} является полем.
Другое описание. Применяя к комплексу C∗(X){\displaystyle C_{*}(X)}
- …←Cn−1(X)←Cn(X)←Cn+1(X)←…{\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\xleftarrow {}}\ldots }
функтор ⋅⊗G{\displaystyle \cdot \otimes G}, мы получим комплекс
- …←Cn−1(X)⊗G←Cn(X)⊗G←Cn+1(X)⊗G←…{\displaystyle \ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}\ldots },
гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в G{\displaystyle G}.
Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу G{\displaystyle G}. То есть, пространство коцепей Ck(X)=Hom(Ck(X),G){\displaystyle C^{k}(X)=\operatorname {Hom} (C_{k}(X),G)}.
Граничный оператор δk:Ck→Ck+1{\displaystyle \delta ^{k}:C^{k}\to C^{k+1}} определяется по формуле: (δkx)(c)=x(dk+1c){\displaystyle (\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)} (где x∈Ck,c∈Ck+1{\displaystyle x\in C^{k},\;c\in C_{k+1}}). Для такого граничного оператора также выполняется
- δk+1δk=0{\displaystyle \delta ^{k+1}\delta ^{k}=0}, а именно
- (δk+1δk(x))(c)=δkx(dk+2c)=x(dk+1dk+2c)=x(0)=0{\displaystyle (\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0}.
Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов Zk(X,G)=Kerδk{\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operatorname {Ker} \delta ^{k}}, кограниц Bk(X,G)=Imδk−1{\displaystyle B^{k}(X,G)=\operatorname {Im} \delta ^{k-1}} и когомологий Hk(X,G)=Zk(X,G)/Bk(X,G){\displaystyle H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)}.
Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.
Если G{\displaystyle G} — кольцо, то в группе когомологий H∗(X,G){\displaystyle H^{*}(X,G)} определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или ∪{\displaystyle \cup }-npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.
В случае, когда X{\displaystyle X} — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий H∗(X,R){\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {R} )} может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на X{\displaystyle X} (см. Теорема де Рама).
Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.
Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность[править | править код]
Возьмём случай двух топологических пространств Y⊂X{\displaystyle Y\subset X}. Группа цепей Ck(Y)⊂Ck(X){\displaystyle C_{k}(Y)\subset C_{k}(X)} (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе G{\displaystyle G}). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы Ck(X,Y)=Ck(X)/Ck(Y){\displaystyle C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)}. Так как граничный оператор d{\displaystyle d} на группе гомологий подпространства Y{\displaystyle Y} переводит dk:Ck(Y)→Ck−1(Y){\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(Y)\to C_{k-1}(Y)}, то можно определить на факторгруппе Ck(X,Y){\displaystyle C_{k}(X,Y)} граничный оператор (мы его обозначим так же) dk:Ck(X,Y)→Ck−1(X,Y){\displaystyle d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)}.
Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в 0{\displaystyle 0} будут называться относительными циклами Zk(X,Y){\displaystyle Z_{k}(X,Y)}, а цепи, которые являются его значениями — относительными границами Bk(X,Y){\displaystyle B_{k}(X,Y)}. Так как dd=0{\displaystyle dd=0} на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда Bk(X,Y)⊂Zk(X,Y){\displaystyle B_{k}(X,Y)\subset Z_{k}(X,Y)}. Факторгруппа Hk(X,Y)=Zk(X,Y)/Bk(X,Y){\displaystyle H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)} называется группой относительных гомологий.
Так как каждый абсолютный цикл в Hk(X){\displaystyle H_{k}(X)} является также и относительным то имеем гомоморфизм jk:Hk(X)→Hk(X,Y){\displaystyle j_{k}:H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)} По функториальному свойству вложение ik:Y→X{\displaystyle i_{k}:Y\to X} приводит к гомоморфизму i∗:Hk(Y)→Hk(X){\displaystyle i_{*}:H_{k}(Y)\to H_{k}(X)}.
В свою очередь можно построить гомоморфизм d∗k:Hk(X,Y)→Hk−1(Y){\displaystyle d_{*k}:H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)}, который мы определим следующим образом. Пусть ck∈Ck(X,Y){\displaystyle c_{k}\in C_{k}(X,Y)} — относительная цепь, которая определяет цикл из Hk(X,Y){\displaystyle H_{k}(X,Y)}. Рассмотрим её как абсолютную цепь в Ck(X){\displaystyle C_{k}(X)} (с точностью до элементов Ck(Y){\displaystyle C_{k}(Y)}). Так как это относительный цикл, то dkc{\displaystyle d_{k}c} будет равен нулю с точностью до некоторой цепи ck−1∈Ck−1(Y){\displaystyle c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)}. Положим d∗k{\displaystyle d_{*k}} равным классу гомологий цепи ck−1=dkc∈Zk−1(Y){\displaystyle c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)}.
Если мы возьмём другую абсолютную цепь ck′∈Ck(X){\displaystyle c’_{k}\in C_{k}(X)}, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь c=c′+u{\displaystyle c=c’+u}, где u∈Ck(Y){\displaystyle u\in C_{k}(Y)}. Имеем dkc=dkc′+dku{\displaystyle d_{k}c=d_{k}c’+d_{k}u}, но так как dku{\displaystyle d_{k}u} является границей в Zk−1(Y){\displaystyle Z_{k-1}(Y)} то dkc{\displaystyle d_{k}c} и dkc′{\displaystyle d_{k}c’} определяют один и тот же элемент в группе гомологий Hk−1(Y){\displaystyle H_{k-1}(Y)}. Если взять другой относительный цикл c″{\displaystyle c»}, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий c=c″+b{\displaystyle c=c»+b}, где b{\displaystyle b} — относительная граница, то в силу того, что b{\displaystyle b} граница для относительных гомологий b=dk+1x+v{\displaystyle b=d_{k+1}x+v}, где v∈Ck(Y){\displaystyle v\in C_{k}(Y)} , отсюда dkc=dkc″+dkdk+1x+dkv{\displaystyle d_{k}c=d_{k}c»+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v}, но dd=0{\displaystyle dd=0}, а dkv{\displaystyle d_{k}v} — граница в Zk−1(Y){\displaystyle Z_{k-1}(Y)}.
Поэтому класс гомологий d∗kck{\displaystyle d_{*k}c_{k}} определен однозначно. Ясно по линейности оператора d∗k{\displaystyle d_{*k}}, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:
- i∗k:Hk(Y)→Hk(X){\displaystyle i_{*k}\colon H_{k}(Y)\to H_{k}(X)};
- j∗k:Hk(X)→Hk(X,Y){\displaystyle j_{*k}\colon H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)} и
- d∗k:Hk(X,Y)→Hk−1(Y){\displaystyle d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)};
- …→Hk(Y)→Hk(X)→Hk(X,Y)→Hk−1(Y)→…{\displaystyle …\to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to …}
Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.
Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар D{\displaystyle D} топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:
- Если (X,Y)∈D,{\displaystyle (X,Y)\in D,} то
В чем разница между гомологическими и рудиментарными структурами
Основное различие между гомологичными структурами и рудиментарными структурами является то, что гомологичные структуры это подобные анатомическим структурам, унаследованных от общего предка, тогда как рудиментарные структуры являются анатомическими структурами, которые которые утратили свое значение, поскольку они не больше не используются.
Гомологичные структуры и рудиментарные структуры представляют собой два типа анатомических структур, описанных на основе их эволюционной истории. Конечности млекопитающих являются примером гомологичных структур, в то время как две рудиментарные структуры включают копчиковую кость человека, таз кита и т.д.
Содержание
- Что такое гомологичные структуры — определение, особенности, примеры
- Что такое рудиментарные структуры — определение, признаки, примеры
- Каковы сходства между гомологическими структурами и рудиментарными структурами — общие черты
- В чем разница между гомологичными структурами и рудиментарные структуры — сравнение основных различий
Ключевые термины
Апендикс, Общий предок, гомологичные структуры, конечность млекопитающих, рудиментарные структуры
Что такое гомологичные структуры
Гомологичные структуры — это структуры, которые встречаются у родственных животных со сходной анатомией и функцией. Поскольку эти структуры встречаются у родственных животных, они произошли от общего предка. Следовательно, гомологичные структуры — это признаки, общие для родственных животных, которые произошли от общего предка. Например, конечность человека имеет гомологию с ногой кошки, крылом летучей мыши, крылом птицы и плавником кита. Все эти структуры включают большую кость верхней части руки, две кости в нижней части руки; один большой, а другой маленький, в области запястья — набор костей, ведущих к пальцам или фалангам. Тем не менее, основная функция этих структур заключается в оказании помощи в передвижении. Тем не менее, форма передвижения может меняться в зависимости от окружающей среды.
Структуры конечностей родственных животныхВ дополнение к анатомическим структурам генные последовательности и белки также демонстрируют гомологию у родственных животных. Например, аналогичные структуры являются структурами противоположного типа гомологичным структурам, основанным на их происхождении. Это означает, что хотя аналогичные структуры имеют сходную структуру и функцию, они имеют различное происхождение; следовательно, они встречаются у эволюционно не связанных животных. Аналогичные структуры возникают как аналогичные приспособления к окружающей среде.
Что такое рудиментарные структуры
Рудиментарные структуры — это анатомические структуры, которые уменьшили свои размеры в ходе эволюционного пути. Причиной этого является то, что эти структуры больше не используются животным. Однако эти структуры произошли от общего предка и встречаются у родственных животных. Однако из-за бесполезности этой структуры для конкретного животного рудиментарные структуры уменьшились в размерах. Тем не менее, эти анатомические структуры могут хорошо функционировать у других типов животных, произошедших от общего предка.
Апендикс в толстой кишке у людейНекоторыми рудиментарными структурами у человека являются аппендикс, хвостовая кость или копчик и т.д. Например, у травоядных животных аппендикс или слепая кишка играют роль в переваривании целлюлозы. Но люди не переваривают клетчатку; следовательно, это не имеет смысла. Тем не менее, апендикс у людей имеет иммунную функцию.
Сходства между гомологичными структурами и рудиментарными структурами
- Гомологичные структуры и рудиментарные структуры — это два типа анатомических структур, которые свидетельствуют об эволюции у животных.
- Сравнительная анатомия — это область изучения сходств и различий между структурами разных видов.
- Кроме того, оба типа структур показывают эволюцию в результате адаптации к окружающей среде.
- Тем не менее, оба типа структур имеют общую родословную, поскольку они развивались как гомологичные структуры.
Разница между гомологичными и рудиментарными структурами
Определение
Гомологичные структуры относятся к органам или скелетным элементам животных, которые в силу своего сходства предполагают их связь с общим предком, в то время как рудиментарные структуры относятся к структурам у животного, которое потеряло всю или большую часть своей первоначальной функции в ходе эволюции. Таким образом, в этом главное отличие гомологичных структур от рудиментарных структур.
Значимость
Гомологичные структуры представляют собой сходные анатомические структуры, обнаруженные у эволюционно связанных животных, в то время как рудиментарные структуры представляют собой анатомические структуры, которые уменьшили свои размеры, поскольку они больше не используются. Следовательно, это еще одно различие между гомологичными структурами и рудиментарными структурами.
Функция
Кроме того, еще одно различие между гомологичными структурами и рудиментарными структурами состоит в том, что гомологичные структуры выполняют сходную функцию, тогда как рудиментарные структуры не выполняют важной функции.
Примеры
Некоторые гомологичные структуры представляют собой конечности млекопитающих, органы тела, кости и т. Д., В то время как некоторые рудиментарные структуры включают человеческую хвостовую кость и аппендикс кита таза и т. Д.
Заключение
Гомологичные структуры — это похожие анатомические структуры животных, связанных с эволюцией. Чаще всего эти структуры выполняют аналогичную функцию. Примечательно, что гомологичные структуры происходят от общего предка. Для сравнения, рудиментарные структуры — это анатомические структуры, которые уменьшили свои размеры, поскольку они больше не используются животным. Этот тип структур также имеет общее происхождение. Но у них нет важной функции у животного. Следовательно, основное различие между гомологичными структурами и рудиментарными структурами заключается в их функциональных отношениях.