Ромб. Определение, свойства и признаки

Свойства ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны.

AB \parallel CD,\;BC \parallel AD

AB = CD,\;BC = AD

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

AC\perp BD

Доказательство

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, \triangle BOC = \triangle DOC по трем сторонам (BO = OD, OC — совместная, BC = CD). Получаем, что \angle BOC = \angle COD, и они смежны.

\Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} и \angle COD = 90^{\circ}.

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;

\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.

Доказательство

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD.

Это значит, что BD, AC — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника.

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом.

\begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} — параллелограмм, \Rightarrow ABCD — ромб.

Доказательство

ABCD является параллелограммом \Rightarrow AO = CO; BO = OD. Также указано, что AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD — по 2-м катетам.

Получается, что AB = BC = CD = AD.

Доказано!

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб.

Доказательство

\angle A = \angle C, поскольку ABCD — параллелограмм. AC — биссектриса \angle A и \angle C.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что AB = BC = CD = DA, и ABCD — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2

academyege.ru

Ромб — это… Что такое Ромб?

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus «бубен») — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Ромб является параллелограммом. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Этимология

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства

1. Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).

Признаки

Параллелограмм является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

1. Все его стороны равны ().
2. Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC⊥BD).
3. Его диагонали делят его углы пополам.

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

• Кроме того площадь ромба может быть вычислена по формуле:

,

где  — угол между двумя смежными сторонами ромба.

В геральдике

Ромб является простой геральдической фигурой.

• Червлёный ромб в серебряном поле

• 

  В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1

• Просверленный червлёный ромб в серебряном поле

• В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

См. также

dic.academic.ru

Ромб. Свойства и признаки ромба

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-07-26 2015-04-11

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма  верны для ромба.

Помимо этого:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Признаки ромба

 

Чтобы параллелограмм   оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().

2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.

 

Площадь ромба

 

 

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Автор: egeMax | комментария 3

egemaximum.ru

Ромб

Определение

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

 

Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма:

 

\(\sim\) противоположные углы ромба попарно равны;

\(\sim\) соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\);

\(\sim\) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 

Теорема: свойство ромба

Диагонали ромба перпендикулярны и делят его углы пополам.

 

Доказательство

Рассмотрим ромб \(ABCD\).

 

По определению ромба \(AB = AD\), поэтому треугольник \(BAD\) равнобедренный. Так как ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой \(O\) пересечения делятся пополам. Следовательно, \(AO\) – медиана равнобедренного треугольника \(BAD\), а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому \(AC\perp BD\) и \(\angle BAC = \angle DAC\).

 

Теорема: признаки ромба

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это – ромб.

 

2. Если в параллелограмме диагонали делят его углы пополам, то это – ромб.

 

3. Если в выпуклом четырехугольнике все стороны равны, то он – ромб.

 

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\). Пусть \(AC\perp BD\).

 

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике \(ABD\) отрезок \(AO\) – медиана. Т.к. к тому же \(AO\) – высота (следует из условия), то \(\triangle ABD\) – равнобедренный, т.е. \(AB=AD\). Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

 

2) Пусть \(AC\) – биссектриса угла \(\angle A\).

 

Т.к. в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то в треугольнике \(ABD\) отрезок \(AO\) – медиана. Т.к. к тому же \(AO\) – биссектриса (следует из условия), то \(\triangle ABD\) – равнобедренный, т.е. \(AB=AD\). Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то отсюда следует, что все его стороны будут равны.

 

3) Пусть \(ABCD\) – произвольный четырехугольник и \(AB=BC=CD=AD\).

 

Т.к. противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он – параллелограмм. Т.к. у него все стороны равны, то по определению это ромб.

shkolkovo.net

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Квадрат есть частный вид ромба.

Ромб — это четырехугольник, имеющий равные длины сторон.

Ромб является частным случаем параллелограмма.

Ромб имеющий прямые углы является квадратом.

Свойства ромба

1. Противолежащие стороны ромба параллельны и равны

\( AB \parallel CD,\;BC \parallel AD \)

\( AB = CD,\;BC = AD \)

2. Диагонали ромба перпендикулярны

\( AC\perp BD \)

Так как ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам.

Значит, \( \triangle BOC = \triangle DOC \) по трем сторонам (\( BO = OD \), \( BC = CD \)). Получаем, что \( \angle BOC = \angle COD \), и они смежны.

\( \Rightarrow \angle BOC = 90^{\circ} \) и \( \angle COD = 90^{\circ} \).

3. Точка пересечения диагоналей делит их пополам

\( AC=2\cdot AO=2\cdot CO \)

\( BD=2\cdot BO=2\cdot DO \)

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов

\( \angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6 \);

\( \angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8 \).

По причине того, что диагонали разделены точкой пересечения пополам, и все стороны ромба равны друг другу, то вся фигура делится диагоналями на 4 равных треугольника:

\( \triangle BOC, \; \triangle BOA, \; \triangle AOD, \; \triangle COD \).

Это значит, что \( BD \), \( AC \) — биссектрисы.

5. Диагонали образуют из ромба 4 прямоугольных треугольника

6. Любой ромб может содержать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей

7. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату одной из сторон ромба умноженному на четыре

\( AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2 \)

Признаки ромба

1. Параллелограмм с перпендикулярными диагоналями является ромбом

\( \begin{cases} AC \perp BD \\ ABCD \end{cases} \) — параллелограмм, \( \Rightarrow ABCD \) — ромб.

\( \Rightarrow AO = CO \); \( BO = OD \). Также указано, что \( AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD \) — по 2-м катетам.

Получается, что \( AB = BC = CD = AD \).

2. Когда в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей разделяет оба угла (через которые она проходит) пополам, то этой фигурой будет ромб

\( \angle A = \angle C \), поскольку \( \angle A \) и \( \angle C \).

Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) и оби фигуры — равнобедренные треугольники.

Это означает, что \( AB = BC = CD = DA \), и \( ABCD \) — ромб.

На заметку: не каждая фигура (четырехугольник) с перпендикулярными диагоналями будет ромбом.

К примеру:

Это уже не ромб, не смотря на перпендикулярность диагоналей.

Для отличия стоит запомнить, что сначала четырехугольник должен быть параллелограммом и иметь признаки параллелограмма 1 и 2

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часамин. срок

Узнать стоимость

calcsbox.com

Ромб как геометрическая фигура

Ромб – одна из простейших геометрических фигур. Мы настолько часто встречаемся с ромбом в геометрических задачках, что слова «фантастика» и «ромб» кажутся для нас несовместимыми понятиями. А между тем, удивительное, как говорится, рядом… в Британии. Но для начала, давайте вспомним, что же такое «ромб», его признаки и свойства.

Термин «ромб» в переводе с древнегреческого означает «бубен». И это не случайно. А дело вот в чем. Бубен хоть раз в жизни, но видели все. И все знают, что он круглый. Но давным-давно бубны делали как раз в форме квадрата или ромба. Более того, название масти бубны также связанно именно с этим фактом.

Из геометрии мы представляем, как выглядит ромб. Это четырехугольник, который изображается в виде как бы наклоненного квадрата. Но путать ромб и квадрат ни в коем случае нельзя. Правильнее сказать, что ромб – это частный случай параллелограмма. Отличие лишь в том, что все стороны ромба равны. Чтобы быстро и верно решать задачи по геометрии, необходимо помнить о свойствах ромба. К слову, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. Итак:

Свойства ромба:

1. противолежащие стороны равны;
2. противоположные углы равны;
3. диагонали ромба пересекаются под прямым и в точке пересечения делятся пополам;
4. сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
5. сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
6. диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба:

1. если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб;
2. если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.

И еще один важный момент, без знания которого не возможно успешно решить задачку, – формулы. Ниже представлены формулы для нахождения площади любого ромба, которые употребляются в зависимости от известных данных: высота, диагональ, сторона, радиус вписанной окружности. В следующих формулах приняты условные обозначения: a – сторона ромба, h_a – высота, проведенная к стороне а, а – угол между сторонами, d₁d₂ – диагонали ромба.

Основные формулы:                                                                                                                 

S = ah_a

S = a²sin а

S = 1/2 (d₁d₂)

S = 2ar

S = 4r² / sin a

Есть еще одна формула, которая употребляется не так часто, но полезна:

d₁² + d₂²

= 4a² или сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

А теперь самое время вернуться к самому началу. Что же такого удивительного может быть в этой фигурке? Оказывается, в XIX веке при археологических раскопках был найден ромб. Да не простой, а золотой, при чем, в самом прямом смысле этого слова! Эта находка из великобританского кургана Баш была найдена в районе Уилсфорда, неподалёку от знаменитого Стоунхенджа. Загадочный ромб представляет собой отполированную пластинку, на которой выгравированы необычные узоры. Размер его 15,2 х 17,8 см (ромб лишь с небольшой оговоркой). У пластины кроме окантовки есть еще три меньших ромбовидных узора, которые якобы вложены друг в друга. При этом, в центре последнего выгравирована ромбическая сетка. По краям ромба изображен шевронный рисунок – по девять символов на каждой стороне ромба. Всего таких треугольников тридцать шесть.

Безусловно, данное изделие очень дорого стоит, но также очевидно, что создание такого ромба преследовало какую-то определенную цель. Вот только какую, ученые долго не могли разгадать.

Одна из более правдоподобных и принятых версий касается непосредственно Стоунхенджа. Известно, что сооружения Стоунхенджа возводились постепенно, в течение нескольких столетий. Считается, что строительство началось около 3000 года до н.э. Следует учесть, что золото в Британии стало известно уже где-то с 2800 года до н.э. Отсюда можно сделать предположение, что золотой ромб вполне мог быть инструментом жреца. В частности, визира. Такую гипотезу предложил вниманию современных ученых профессор А. Том, известный исследователь Стоунхенджа, в последней четверти ХХ века.

Не все могут себе представить, что древние строители могли с точностью определить углы на местности. Тем не менее, английский исследователь Д. Фарлонг предложил метод, которым, по его мнению, могли пользоваться древние египтяне. Фарлонг считал, что наши предки использовали заранее подобранные соотношения сторон в прямоугольных треугольниках. Ведь давно известно, что египтяне широко применяли треугольник со сторонами в три, четыре и пять мерных единиц. Видимо, множество подобных приёмов знали и древние жители Британских островов.

Что ж, даже если представить, что люди, которые строили Стоунхендж, были отличнейшими геодезистами, как в этом мог помочь им золотой ромб? Едва ли какой-нибудь современный геодезист сможет ответить на этот вопрос. Вероятнее всего, тот факт, что Фарлонг был геодезистом по профессии, дал возможность ему разгадать эту загадку. После внимательного изучения исследователь пришел к выводу, что отполированный золотой ромб с разметкой отлично подходит для применения его в качестве отражателя солнечных лучей, иначе говоря, особого мерного зеркала.

Было доказано, что для быстрого определения азимута на местности с достаточно небольшими погрешностями необходимо было использовать два подобные зеркала. Схема же была такова: один жрец, например, становился на вершине одного холма, а другой в прилегающей долине. Нужно было также предварительно установить расстояние между жрецами. Это можно сделать просто шагами. Хотя обычно пользовались мерной тростью, так как результаты были более достоверны. Два ромбовидных металлических зеркалаобеспечиваютпрямой угол. А потом уже легко отмерить практически любые требуемые углы. Д. Фарлонг привел даже таблицу таких пар целых чисел, которая позволяет задать любой угол с погрешностью в один градус. Вероятнее всего, что именно таким способом  пользовались жрецы эпохи Стоунхенджа. Конечно, для подтверждения этой гипотезы нужно было бы найти второй, парный золотой ромб, но, по всей видимости, это того не стоит. Ведь доказательства и так вполне очевидны. Кроме вычисления азимутов на местности была обнаружена и еще одна способность удивительного золотого ромба. Эта удивительная вещица позволяется вычислять моменты зимнего и летнего солнцестояния, весеннего и осеннего равноденствия. Это являлось незаменимым качеством для жизни древних египтян, которые поклонялись тогда в первую очередь Солнцу.

Вполне вероятно, что внушительный вид ромба являлся не только незаменимым инструментом для жрецов, но был также и эффектным украшением для его владельца. Вообще говоря, абсолютное большинство найденных на первый вид дорогостоящий на сегодняшний день украшений, являются, как узнается позже, измерительными инструментами.

Итак, людей всегда притягивала неизвестность. И, судя по тому, что так много остается загадочного и не доказанного в нашем мире, человек еще долго будет пытаться отыскать разгадки древности. И это очень здорово! Ведь у наших предков можно многому научиться. Для этого нужно много знать, уметь и учиться. А ведь невозможно стать таким высококвалифицированным специалистом без базовых знаний. В конце концов, ведь каждый великий археолог, открыватель когда-то ходил в школу!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Ромб — Википедия. Что такое Ромб

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны^[1].

Этимология

Термин «ромб» происходит от др.-греч. ῥόμβος — «бубен». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Свойства

1. Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
5. Середины четырех сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
6. Диагонали ромба являются перпендикулярными осями его симметрии.
7. В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Признаки

Параллелограмм ABCD{\displaystyle ABCD} является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий^[2]:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны, AB=BC=CD=AD{\displaystyle AB=BC=CD=AD}).
2. Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD).
3. Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам.

Предположим, что заранее не известно, что четырёхугольник является параллелограммом, но дано, что все его стороны равны. Тогда этот четырёхугольник есть ромб^[1].

Квадрат, как частный случай ромба

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов^[3][4][5].

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S=AC⋅BD2{\displaystyle S={\frac {AC\cdot BD}{2}}}

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

S=AB⋅HAB{\displaystyle S=AB\cdot H_{AB}}

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

S=AB2⋅sin⁡α{\displaystyle S=AB^{2}\cdot \sin \alpha },

где α{\displaystyle \alpha } — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол α{\displaystyle \alpha }:

S=4r2sin⁡α{\displaystyle S={\frac {4r^{2}}{\sin \alpha }}}

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде:^[6]

r=p⋅q2p2+q2.{\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}

В геральдике

Ромб является простой геральдической фигурой.

• 

  Червлёный ромб в серебряном поле

• 

  В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1

• 

  Просверленный червлёный ромб в серебряном поле

• В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Симметрия

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

• 

  Ромбический орнамент

• 

  Ромбические звёзды

• 

  Более сложный орнамент

• 

  Орнамент из ромбов и квадратов

См. также

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Элементарная математика, 1976, с. 435..
2. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 435—436..
3. ↑ Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.
4. ↑ Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910
5. ↑ Ромб // Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней. Михельсон А.Д., 1865
6. ↑ Weisstein, Eric W. Rhombus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

wiki.sc