Управление выходными данными инструментов Spatial Analyst в Алгебре карт.—ArcGIS Help

Доступно с лицензией Spatial Analyst.

Главным результатом выполнения выражения Алгебры карт дополнительного модуля Spatial Analyst является объект Raster. Одной из наиболее важных особенностей поведения Растрового объекта является то, что при его создании как первичных выходных данных выражения Алгебры карт он ссылается на временный растр. Временные данные, если только они не сохранены явно, будут удалены по окончании сеанса ArcGIS или выполнения скрипта.

Сохранение временного растра

Временный растр можно сохранить с помощью метода save Растрового объекта. Если временные данные связанны со слоем, данные можно сохранить также с помощью контекстного меню слоя или путем сохранения документа карты. Эти методы сохранения подробно описаны ниже:

1. Временный растр можно сохранить с помощью метода save. В приведенном ниже примере временные выходные данные инструмента Уклон сохраняются в заданной выходной папке.

   outraster = Slope("C:/Data/elevation") 
   outraster.save("C:/output/sloperaster")
   

   • Место, где будут сохранены данные, определяется тем, что вы указали в методе save, и параметрами среды рабочей области, которые вы задали.

     1. Когда задан полный путь с именем набора данных, данные будут сохранены в этом месте.
     2. Если указано только имя набора данных, то местоположение сохраняемых данных определяется параметрами среды рабочей области геообработки.
        • Если задана временная или текущая рабочая область, сохраняемые данные будут сохранены в заданной рабочей области.
        • Если заданы и текущая, и временная рабочие области, данные будут сохранены в текущей рабочей области.
        • Если рабочая область не задана, будет возвращена ошибка.
   • Если вы просто хотите сохранить данные там, где они есть, с именем по умолчанию, вызовите метод save, не указывая имя, как показано в примере ниже:
   • Метод save применим ко всем растровым форматам, поддерживаемым Spatial Analyst. В приведенном ниже примере метод save растра используется, чтобы сохранить данные в растр файловой базы геоданных и в формат IMAGINE.

     outraster.save("C:/output/file_gdb.gdb/sloperaster")
     outraster.save("C:/output/sloperaster.img")
     

2. Чтобы сохранить временный набор растровых данных, связанный со слоем карты, сохраните документ карты. При сохранении документа карты набор растровых данных записывается на диск в текущем местоположении с автоматически созданным именем.
3. Чтобы сохранить временный набор данных, связанный со слоем карты, щелкните правой кнопкой мыши слой и выберите Данные > Сделать постоянными и укажите местоположение и имя для сохранения данных.

Взаимодействие Растрового объекта, слоя и набора данных

Растровый объект ссылается на набор растровых данных и, при использовании в отображении карты, может быть связан с растровым слоем в таблице содержания. Отношения между набором растровых данных, объектом Растр и растровым слоем поддерживаются в большинстве случаев, но важно понимать эти отношения для продуктивной работы с Алгеброй карт дополнительного модуля Spatial Analyst.

Более подробно о взаимодействии Растровыхобъектов см. Взаимодействие растрового объекта в ArcGIS.

Связанные разделы

Ученые назвали правильный ответ в спорном примере из школьного курса математики — Общество

МОСКВА, 1 августа. /Корр. ТАСС Олеся Кулинчик, Александра Рыжкова/. Правильный ответ в примере из школьной математики с делением и умножением, породившем споры в социальных сетях, — «16». Об этом ТАСС заявили известные российские математики.

28 июля один из пользователей опубликовал в Twitter пример из школьной программы по математике: «8:2(2+2)=?». Обсуждение примера вызвало широкий резонанс, и перешло на международный уровень, пользователи разных стран получали ответ «16» или «1».

Российский математик, доктор физико-математических наук, первый декан факультета математики Высшей школы экономики Сергей Ландо рассказал ТАСС, что правильный ответ в России будет 16. «На территории Российской Федерации деление и умножение имеют равные приоритеты. В США или Англии может быть другой порядок. В России сначала выполняется операция в скобках, потом деление на эту сумму, а потом результат умножается на следующий множитель. Правильный ответ — 16″, — сказал он. Ландо добавил, что в подобных спорных случаях специалисты стараются обозначить порядок операций скобками.

Заведующий кафедры высшей математики Национального исследовательского университета «Московский институт электронной техники» (НИУ МИЭТ) Александр Прокофьев подтвердил ТАСС, что правильный ответ — 16, и объяснил, почему пример вызвал столько споров.

«Ошибаются, как я полагаю, преимущественно взрослые. У школьников вопросов быть не должно. Первой выполняется операция в скобках, затем, согласно приоритету арифметических действий, деление и умножение — они являются равноправными и выполняются слева направо. Студенты привыкают отделять косой чертой числитель от знаменателя, поэтому путаются в данном примере, полагая, что умножение двойки на скобку расположено в знаменателе», — сказал Прокофьев.

С ними согласилась и заведующая кафедры «Математика» Российского университета транспорта Людмила Кочнева. «Если бы стояла скобка после знака деление, то правильным ответом была бы единица. Если бы после восьмерки была горизонтальная черта — знак дробного деления — а внизу 2(2+2), это была бы единица. А раз все это в строчку, вы должны делать операции в том порядке, в котором они написаны. Восемь делим на два, четыре умножаем на 2+2, получается 16. Это просто манера записи, ничего интересного — чисто арифметическая задача, но все-таки более опрятно надо писать сам пример», — пояснила она. 

Занятие по математике — World in touch

Помогаю в достижении следующих целей.

1.«Подтянуть знания, улучшить оценку». Помогаю найти пробелы в изучении математики и устранить их.

За дело берёмся основательно. Если ученик уже в 8-9 классе, а пробелы в математике начинаются на дробях или сложении отрицательных и положительных чисел, то сначала прорабатываем старые темы, и только потом постепенно переходим к новым.

Ведь было бы странно изучать алгебраические дроби, если ещё не до конца усвоены обыкновенные. Но не огорчайтесь тому, что приходится копаться в старых темах — очень часто уже через несколько занятий усвоение «старых» тем помогает лучше понимать текущие темы школьной программы. Ученики, их родители и учителя замечают этот результат!

Многим на школьных уроках алгебры и геометрии не хватает повторения простых действий с целыми и дробными числами. Я помогаю это исправить. На каждом уроке я уделяю несколько минут счёту. Кроме того, для разминки я часто использую задачи на логическое мышление. Это помогает включить голову и настоиться на математическое мышление, а не просто решать примеры по образцу.

Если ученик неплохо знает старые темы, и хочет просто получше разбираться в текущей программе, то возможно и это. Многим моим ученикам после занятий удалось улучшить свою школьную оценку и произвести положительное впечатление на школьного учителя.

2. Подготовиться к ОГЭ 2022.

Перед первым занятием я прошу прорешать один вариант ОГЭ, чтобы определить текущий уровень. На занятии мы разбираем ошибки, а дальше уже начинаем работать по отдельным темам. Каждой теме посвящается как минимум 1-2 отдельных занятия, в зависимости от изначального уровня владения учеником данной темой. Периодически устраиваем обобщение знаний по пройденным темам, проводим срезы знаний по вариантам ОГЭ.

3. Расширить и углубить школьные знания.

Я знаю, среди вас есть те, кто с нетерпением ждёт каждого урока математики, и кому материала, данного на уроках, просто недостаточно.

Я с огромным удовольствием занимаюсь с ребятами по темам кружков и олимпиад, показываю темы, которые интересно поисследовать, делюсь материалом.

4. Обучение детей, которые находятся на семейном обучении.

У меня есть опыт работы в неформальной школе с подростками, которые находятся на семейном обучении. В индивидуальной форме некоторые дети могут пройти программу гораздо быстрее, чем сидя за школьной партой. К тому же на СО всегда есть возможность больше внимания уделить тем темам, которые интересны ребёнку или больше нужны для жизни, а остальные темы пройти в минимальном варианте для аттестации. Всё это, конечно, заранее обговаривается и согласовывается с родителями.

—————————————————————————————

Также стоит отдельно упомянуть, какими вещами я НЕ занимаюсь. Это решение с учениками домашнего задания, которое задали в школе. Я считаю, что если решать со школьником его домашнее задание, то он так и не научится решать его самостоятельно и не продвинется в изучении математики. Каждый должен хотя бы попробовать решить то, что ему по силам. Конечно, если ученик уже попробовал решить сам, исписал массу черновиков, то я обязательно отвечу на его вопрос и помогу разобраться.

кот в канаве,здоровье маме, Чугун хорни — фанфик по фэндому «Genshin Impact»

Набросок из нескольких строк, еще не ставший полноценным произведением
Например, «тут будет первая часть» или «я пока не написала, я с телефона».

Мнения о событиях или описания своей жизни, похожие на записи в личном дневнике

Не путать с «Мэри Сью» — они мало кому нравятся, но не нарушают правил.

Конкурс, мероприятие, флешмоб, объявление, обращение к читателям
Все это автору следовало бы оставить для других мест.

Подборка цитат, изречений, анекдотов, постов, логов, переводы песен
Текст состоит из скопированных кусков и не является фанфиком или статьей.

Если текст содержит исследование, основанное на цитатах, то он не нарушает правил.

Текст не на русском языке
Вставки на иностранном языке допустимы.

Список признаков или причин, плюсы и минусы, анкета персонажей
Перечисление чего-либо не является полноценным фанфиком, ориджиналом или статьей.

Часть работы со ссылкой на продолжение на другом сайте
Пример: Вот первая глава, остальное читайте по ссылке. ..

Нарушение в сносках работы

Если в работе задействованы персонажи, не достигшие возраста согласия, или она написана по мотивам недавних мировых трагедий, обратитесь в службу поддержки со ссылкой на текст и цитатой проблемного фрагмента.

Зачем нужен функциональный анализ будущим специалистам по прикладной математике и информатике

Программист факультета информационных технологий и программирования Денис Антипов рассказал, зачем нужен функциональный анализ будущим специалистам по прикладной математике и информатике.

Если Вам учиться легко, то Вы либо очень способны, либо Вас ничему не учат.

Татьяна Толстая

Меня недавно попросили написать текст о том, зачем на факультете информационных технологий и программирования Университета ИТМО нужен такой предмет, как функциональный анализ (как говорят студенты, функан), так как этот вопрос возникает не только среди студентов, но даже преподавателей. Существует и противоположная точка зрения: один наш выдающийся выпускник сказал, что никогда не стеснялся того, что окончил наш вуз, так как в программу, когда он учился, входили такие предметы, как функан и теория функций комплексной переменной. Другой незаурядный выпускник сказал, что после изучения функана, он лучше понял матан (математический анализ).

Меня в первую очередь удивил сам факт того, что у студентов и преподавателей возникает вопрос необходимости этого предмета в учебной программе. Во-первых, для меня вопрос «зачем нужен функан на КТ» стоит в одном ряду с вопросом «зачем нужна математика в школе». Он кажется нелепым по той причине, что функциональный анализ является одним из базовых математических предметов, что пояснено ниже.

Вопрос студентов удивил меня также и тем, что он задается, несмотря на то, что в наше время у всех есть доступ в Интернет. Если погуглить, то легко найти обсуждение этой темы. Например, по запросу «Why learn functional analysis» сразу можно выйти на [1], где приведены примеры применения и причины необходимости функционального анализа в учебной программе по прикладной математике. Указанное обсуждение является далеко не единственным в сети на эту тему. Если же вопрос ставить не только про функциональный анализ, а более общий: зачем вообще нужна чистая математика в учебных программах для обучающихся прикладной математике, то опять по запросу «Why we learn pure math» можно найти обсуждение и этого вопроса, например, в [2].

Правда, для всего этого надо знать английский язык. А тот, кто его не знает или не хочет знать, может затеять дискуссию, зачем в институте учить иностранный язык, и такое можно устроить с любым предметом, который дается весьма непросто, например, с физвоспитанием.

Далее меня удивило то, что студенты в течение многих лет не задавали этот вопрос (у них, по крайней мере, «не поворачивался язык» говорить об этом), и только в последние годы они не стесняются его задавать, причем в такой, например, форме: «Если я собираюсь делать сайты, то зачем мне нужны функан и диффуры?» Возникает вопрос, а туда ли они поступили, и мне кажется, что с такой мотивацией они скоро из вуза исчезнут.

Меня удивило также и то, что люди не задали этот вопрос много лет преподающему функан Николаю Юрьевичу Додонову, который преподает его не только у нас, но и на матмехе СПбГУ, или хотя бы мне, так как многие знают, что я имею отношение к преподаванию математики на кафедре. Мы могли бы объяснить или хотя бы посоветовать посмотреть, например, книгу [3], которая хотя и была издана давно, но приведенные в ней примеры актуальны до сих пор.

Несмотря на это, я все-таки понимаю необходимость написания этого текста. При этом своей задачей ставлю именно сбор разобщенной информации в одном месте. Хорошо, что у меня под рукой есть много источников информации, и я могу просто цитировать людей, которые умнее меня, вместо того, чтобы формулировать какие-то мысли самому. Хотя ближе к концу я добавлю и некоторые свои рассуждения.

На самом деле вопрос необходимости функана куда более глубокий, чем кажется, и уходит корнями в философские вопросы о методах познания. Для начала вспомним, что в Новое время (в XVII веке) появились два основных направления в философии науки — эмпиризм и рационализм, которые во многом противопоставляли себя друг другу [4]. В основе классического рационализма, главные принципы которого были сформулированы Декартом [5], лежит идея возможности логического познания мира. Она берет свое начало еще из «Аналитик» Аристотеля [6]. Эмпиризм, основателем которого принято считать Бэкона [7], напротив, считает возможным только чувственное восприятие мира и ставит единственным критерием истинности эксперимент.

В наше время большинство ученых сходится в том, что ни экспериментальная, ни теоретическая наука не самодостаточны, а дополняют друг друга, и потому они обе необходимы для расширения человеческих знаний. Более подробное рассуждение на эту тему в области эволюционных вычислений можно найти в первой части [8].

Разумеется, стоит признать, что до сих пор даже среди ученых встречаются люди, не признающие чисто теоретические или чисто практические работы (первые встречаются чаще). В этом я убедился на недавней International Conference on Parallel Problem Solving from Nature (PPSN 2018), где потратил минут десять своего доклада на то, чтобы объяснить одному китайцу необходимость теории в области эволюционных вычислений. Однако десяти минут было недостаточно, чтобы изменить мнение убежденного эмпирика, так как, повторюсь, данные вопросы являются философскими.

Функциональный анализ, как это следует из его названия, является теоретической наукой, как и многие другие ветви математики, такие как топология, теория чисел, теория игр и другие. Однако, несмотря на то, что они все являются неприкладными по своей сути, каждая из них нашла применение при решении практических задач. Топология используется в анализе данных (TDA — Topological Data Analysis) [9], теория чисел — в криптографии [10], теория игр — в экономике [11]. Функциональному анализу также было найдено практическое применение. Самым ярким примером является его применение в квантовой механике [12]. Однако сегодня многие студенты нашей кафедры не считают нужным изучать квантовую механику (и, как ни грустно, физику в целом), поэтому более близкий пример для КТ-шников — применение функана для оценки погрешности вычислений численных методов при решении различных задач, в том числе нелинейных, что описано в [3]. Отмечу, что в этой книге содержится много ссылок на другие работы, посвященные практическому применению функционального анализа.

В случае если читателю недостаточно примеров применения функана, отмечу, что он широко используется в теории вероятностей для анализа стохастических процессов [13]. В своей работе я пользуюсь функаном именно в этом контексте. Например, в моей последней публикации с Бенжамином Доерром [14] знания функционального анализа очень помогли осознавать особенности анализируемого стохастического процесса и получить новые научные результаты, например, разработать оригинальный метод анализа эволюционных алгоритмов.

Приведу еще одну причину, почему стоит изучать функан. Известно, что большинство известных математических результатов было получено просто потому, что математикам это было интересно, а не потому, что они знали про какое-либо их практическое применение заранее, которое, тем не менее, было найдено позже (иногда сразу же, а иногда и через много десятилетий): «ищите и обрящете».

Здесь можно вновь привести примеры топологии, теории чисел и теории игр, так как сначала появились эти ветви математики, а только потом люди нашли им практическое применение. Однако наиболее интересным мне кажется пример Джорджа Буля.

Он одним из первых пришел к идее, что математик должен оперировать символами, представляющими некоторые объекты, а не самими объектами. Буль утверждал, что математика не должна привязываться к чему-то реальному и должна быть абстрактной. Это привело его к разработке матлогики и булевой алгебры в 1847 году [15]. И хотя Буль очень хотел, чтобы его алгебра была примером чистой, неприкладной математики, все мы знаем, что после развития вычислительной техники работы Буля стали настолько прикладными, что современный мир просто не мог бы без них обойтись.

Продолжатель дела Буля — Клод Элвуд Шеннон окончил MIT по специальности «электротехника и математика». Это позволило ему приложить теорию Буля к релейно-контактным схемам. Однако мне рассказывали о выдающемся математике, который долго расспрашивал, существенно ли, что диод проводит только в одну сторону.

Таким образом, одной математики тоже может быть недостаточно, и именно поэтому в направлении подготовки или специальности нашей «кафедры» и есть слово «прикладная». Но прикладная математика, а еще и информатика. Последнее слово еще больше усугубляет необходимость изучения математики, так как оно является переводом c английского термина Computer Science — компьютерная наука. Тот, кто этого не понимает или не хочет понимать и учить, как говорится, свободен … от обучения у нас.

Кстати, если это так, то для познания компьютерной науки очень неплохо начать ей заниматься уже в студенческие годы, так, во-первых, выдающийся российский хирург Н. И. Пирогов говорил: «Отделить учебное от научного нельзя. Но научное без учебного все-таки светит и греет, а учебное без научного — только блестит», а, во-вторых, без получения хотя бы каких-то научных результатов магистерскую выпускную работу у нас не защитить. И еще. Не путайте национальный исследовательский университет, куда вы поступили, с профессионально-техническим училищем, курсами или даже институтом повышения квалификации, а также богодельней…

Возвращаясь к функциональному анализу, заметим, что он так же, как и булева алгебра, развивался не столько с целью практического применения, сколько ради расширения математических знаний. Хоть он и берет свое начало примерно в одно время, что квантовая механика, после получения основных результатов функана в квантовой механике произошел значительный прорыв [12]. Оказалось, что самосопряженные операторы как нельзя лучше подходят для описания изменений в квантовой системе. Более того, понятие «спектр оператора» оказалось тесно связанным с физическим спектром. Применение функционального анализа для оценки погрешностей было предложено только после того, как вычислительная техника достаточно развилась — с конца 40-х годов XX века. Если же говорить про применение функана к стохастическим процессам, то оно началось с квантовой механики. Кроме того, с развитием вычислителей появилось множество вероятностных алгоритмов, для анализа которых также были необходимы средства из функционального анализа.

Таким образом, математику и, в частности, функциональный анализ стоит изучать не только ради собственного интереса, но и для практической пользы, которая может быть получена позже, а, может быть, и не получена…

Три выдающихся математика имели результаты и в области функционального анализа. Это им не помешало, а, возможно, помогло, получить выдающиеся практические результаты. Первый из них — Джон фон Нейман (он считается основоположником современного функционального анализа), создавший структуру ЭВМ, которая повсеместно применялась до последнего времени. Второй — Норберт Винер (в функане известна теорема Пэли-Винера-Шварца) — создатель кибернетики, а еще известны фильтры Винера, которые совершенствовались сначала Хопфом, а потом — почетным доктором Университета ИТМО Рудольфом Калманом. Третий — Андрей Колмогоров (известна книга Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. МГУ, 2006). Полученные им результаты в разных областях математики нашли многообразные применения в теории информации, теории вероятностей и теории алгоритмов.
И, наконец, даже если вы не хотите иметь ничего общего с квантовой физикой, численными методами и вероятностями, вам все равно целесообразно изучать функциональный анализ. Доктор физ-мат. наук, профессор Юрий Шполянский, выпускник Университета ИТМО 2000 года, сказал, что функциональный анализ был самым сложным предметом из всей учебной программы на кафедре, и что, хотя он сам не применяет его на практике, этот предмет, по мнению Юрия, является очень полезным для мозга.

Я полностью согласен с этими словами: в IT-индустрии, безусловно, много направлений, не требующих от программистов знаний в области функционального анализа, однако как можно добиться существенных успехов в этой области без хорошо развитого математического мышления? Павел Дуров наверняка не знает функана, но зато его брат Николай изучал функан точно, так как учился и защитил в свое время PhD по чистой математике [16]. Именно такая комбинация предпринимательского и математического талантов помогла братьям подняться до нынешних высот.

Если у Вас есть таланты Гейтса или Джобса, то вы, как и они, можете не учить математику, но в их компании на работу вас без знания математики вряд ли возьмут. Кстати, одно из часовых (!) собеседований Ивана Белоногова, когда он поступал на работу в компанию OpenAI [17], было посвящено теории вероятностей и линейной алгебре, и он нормально прошел это испытание, как, впрочем, и все остальные.

Для развития математического мышления мало одного математического предмета в семестр (как это у нас происходит в гуманитарной области). Для этого учебная программа должна содержать целый комплекс различных фундаментальных дисциплин, включающий в себя не только анализ (математический и функциональный), но и теорию вероятностей, матстатистику, дифференциальные уравнения, теорию функций комплексной переменной, теорию чисел и ряд других. Только тогда выпускник факультета сможет считать себя человеком с высшим образованием, а не стоять в одном ряду с программистами-самоучками, которые выучили несколько языков программирования с помощью Google для того, чтобы «кодить», что многим нравится делать вне зависимости от того, как результаты их «творчества» будут использоваться компаниями, в которых они работают.

Надо признать, что в последнее время в связи с развитием технологий, растет объем и число предметов, которые следует преподавать студентам нашего направления (в том числе факультативно). Однако это не значит, что нужно уменьшать объем математических дисциплин в учебной программе, а надо повышать требования к студентам. К нам идут одни из самых талантливых школьников России в надежде получить лучшее образование, и вуз должен отвечать ожиданиям не только самих студентов, но и их родителей. Не все поступающие могут справиться с нагрузкой, которую предполагает трудное обучение, однако это не является поводом подстраивать программу под них. В стране существует множество других программ, на которых обучают программированию, но с более простыми учебными планами. Я говорю не только об Университете ИТМО: в стране 450 вузов, в которых готовят IT-специалистов, которые могут составить народное IT-ополчение, в то время как мы готовим спецназ.

Подведем итоги:

1. У функана есть множество практических применений [3, 12, 13].

2. Функан является сложным предметом, но это не причина не изучать его, хотя бы как предмет по выбору.

3. Функан, как и любая другая математическая дисциплина, может оказаться полезным в самых неожиданных областях.

4. Функан вносит неоценимый вклад в развитие математического мышления.

Я очень надеюсь, что данный текст поможет тем, кто учится на нашей кафедре, лучше понять, почему им нужен функан.
Текст написан мною при участии Анатолия Абрамовича Шалыто, который был также инициатором его написания. Мы благодарны коллегам за рецензирование текста.

P. S. Прочтя этот текст, Федор Царев спросил: «Есть краткий ответ на этот вопрос?». Шалыто ответил: «Специальность, по которой обучаются наши студенты называется „Прикладная, но математика“, а еще и „информатика“ (по-английски — Computer Science), а науки без математики не бывает. В Японии в настоящее время гуманитарные предметы не считают наукой, если там нет математики, программирования, моделирования и т. д. А математики, в свою очередь, не бывает без функана. Как сказал наш молодой fellowship Никита Алексеев: „Если человек не учил функан, то о чем с ним разговаривать?“ Пока вы молоды, надо глубоко учить математику, а параллельно с этим и после — все то, что предлагается здесь». Федя продолжил: «Вот это хороший ответ! Не ясно только, зачем весь остальной текст нужен)))».

Список литературы

[1] What is the main purpose of learning about different spaces, like Hilbert, Banach, etc?

[2] What is the «purpose» of pure mathematics?

[3] Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Мир, М. 1969.

[4] Львов А.А. Курс лекций по дисциплине «История и философия науки». Лекция 5. Эксперимент и классическая наука Нового времени.

[5] Декарт Р. Рассуждение о методе, с приложениями: Диоптрика, Метеоры, Геометрия. Классики науки. Изд-во Академии наук СССР, 1953.

[6] Аристотель. Аналитики. Госполитиздат, Ленинград, 1952.

[7] Klein J., Bacon F. In The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2016.

[8] Doerr B., Doerr C. Theory for non-theoreticians / Proceedings of the 2016 on Genetic and Evolutionary Computation Conference Companion (GECCO ’16 Companion), p. 463−482, NY, USA, 2016.

[9] Appliedtopology — source material for topological data analysis.

[10] Goodrich M., Tamassia R. Algorithm design: Foundations, analysis, and Internet examples. 2002.

[11] Neumann J. Theory of games and economic behavior. Princeton University Press, Princeton, 2007.

[12] Neumann J., Beyer R. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics. Investigations in physics. Princeton University Press, 1996.

[13] Bobrowski A. Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press, 2005.

[14] Antipov D. , Doerr B. Precise runtime analysis for plateaus. CoRR, abs/1806.1 331, 2018.

[15] Boole G. The Mathematical Analysis of Logic: Being an Essay Towards a Calculus of Deductive Reasoning. Cambridge Library Collection — Mathematics. Cambridge University Press, 2009.

[16] Nikolay Durov in nLab.

[17] OpenAI.

Пересмотрят ли баллы на ЕГЭ по математике — Российская газета

Выпускникам школ, которые сдавали в этом году ЕГЭ по профильной математике, экзамен показался слишком трудным. Часть ребят считают, что реальные задания не соответствовали демоверсии, и собирают подписи для обращения к президенту с просьбой пересмотреть механизм подсчета баллов.

Самые большие сложности вызвали задания второй части ЕГЭ. Ученики сказали, что в школах их не учили решать такие задачи и их содержание выходит за рамки программы. А ЕГЭ все же должен проверять знания, которые дала школа. Для того чтобы обращение школьников было рассмотрено, надо набрать не менее 100 тысяч подписей. 60 тысяч уже есть.

«Я учился на 4 и 5, ни разу за год не было 3. Но задания на экзамене решить не смог. Некоторые задачи действительно не соответствовали заявленным в демоверсии. И что же, мне теперь поступать в техникум? — возмущается Николай из Самарской области.

«Первые 6 заданий примерно совпадали с ожиданиями, но дальше пошло что-то с чем-то. Интересно, когда такие задания входили в школьную программу?!» — интересуется Полина из Иваново. «Говорят, что ЕГЭ сдать под силу каждому, кто учился в школе, но даже те, кто обучался в классах с математическим уклоном, были шокированы заданиями, входящими в контрольные измерительные материалы», — говорит Фируз из Мытищ.

Напомним, профильный ЕГЭ по математике нужен не только для поступления в технические вузы, но и на экономические факультеты, на которые по-прежнему нацелена большая часть выпускников школ. Для того чтобы поступать в вузы, необходимо набрать не менее 27 баллов на профильной математике. Но вузы каждый год повышают планку. Например, чтобы поступать в ВШЭ, надо набрать для большинства специальностей не менее 55-60 баллов, но есть направления подготовки, где надо принести не менее 75 баллов. Во всех престижных университетах примерно такой порог. И если ты сдал профильную математику на 40- 45 баллов — в хороший вуз не поступишь. Скорее всего, недовольны оценками именно эти ребята.

Компетентно

Иван Ященко, разработчик контрольно-измерительных заданий ЕГЭ по математике:

— Если посмотреть на отзывы региональных комиссий, то проверка работ идет нормально, ничего необычного в этом году нет. Первая часть заданий — до 12 — берется из открытых баз данных. Она может дать ученику до 60 баллов. Вторая часть — задачки посложнее. Профильную математику писали почти 500 тысяч человек. Обычно не могут справиться с ней около 10 процентов. Это ребята, которые неверно оценили свои силы. Не думаю, что будет пересмотрен подсчет баллов. Наоборот, есть поручение президента повышать проходные баллы в вузах, так как в инженерные вузы должны прийти сильные абитуриенты.

Кирилл Семенов, директор Специализированного учебно-научного центра при МГУ :

— Все задания полностью соответствуют школьной программе. Более того, технология подсчета баллов такова, что самую высокую оценку можно получить, даже если ты не решил до конца задачу. Задача 19 выглядит нестандартно, но школьных знаний должно быть достаточно для ее решения. Другое дело, насколько школа готовит учеников к тому, чтобы простыми способами справиться с ней. Я считаю, что профильная математика — такая, какая она должна быть в школе. А вот базовый уровень — вынужденная уступка.

Примерно такие задания были на профильном ЕГЭ по математике

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достается один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.

Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут (время московское) и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток . Сколько часов поезд находился в пути?

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в см.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8.

а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

13-летний помощник депутата Госдумы рассказал, как попасть в большую политику — Daily Storm

На вопрос, как успевать все и сразу, Сааб отвечает, что главное — это планирование. И вздыхает: его об этом много раз спрашивали товарищи и журналисты:

«Знаете, если распланировать свой день так, все по полочкам разложить — все успеваю. Можно и ходить учиться, и снимать сюжеты, и все одновременно делать просто. Главное — планировать», — рассуждает Сааб, добавляя, что уроки он не пропускает. Ну если только иногда — когда повод очень важный. Например, пресс-конференция главы Дагестана Сергея Меликова.

Свою деятельность мальчик начал с печатной журналистики. Он был юнкором газеты «Орленок — Дагестан». Но эта сфера ему быстро наскучила, и Сааб принял решение уйти на телевидение: 

«Я уже полтора года работаю. Изначально я работал в газете. Но мне это совсем не понравилось, к сожалению. Больше мне нравится телевизионная журналистика: ты встречаешься, разговариваешь в прямом эфире, ведешь передачи. А в печатной журналистике у тебя кроме того, как написать текст или просто взять интервью, нет никаких возможностей».

В своей работе Сааб встречался со многими политиками. С Хамзаевым мальчик пообщался в онлайн-формате, после того как задал главе Дагестана вопрос об общественном контроле за детскими и спортивными площадками. Сергей Меликов направил его к Хамзаеву, а тот в свою очередь после встречи с представителем молодежи решил сделать его своим помощником.

Мальчик был искренне счастлив, в чем сам признается: «Я хотел бегать по всему историческому парку на три этажа и кричать «ура». Огромная радость? А как же!»

Однако о своих планах Сааб говорит очень серьезно: они с Хамзаевым уже решили, чем новый помощник будет заниматься, — курировать федеральный проект «Трезвая Россия». Он будет проводить так называемые уроки трезвости — заниматься пропагандой здорового образа жизни среди молодежи. Кроме того, мальчик рассказывает о том, что его хотят видеть на приеме граждан:

«Но, вообще, какие могут быть обязанности? Видеть народ. Меня приглашают сейчас на прием граждан, не помню, в какой-то район меня приглашают. И я как бы помощник депутата. И важно, чтобы районные власти меня не загружали и не отправляли обратно. А чтобы вообще вопросы решались. И мы стараемся, чтобы все вопросы решались до конца. Ни один вопрос мы не оставим без своего контроля», — резюмирует юный помощник депутата.

Базовая алгебра — объяснения и примеры

Алгебра? Простое упоминание этого термина вызывает у большинства студентов холодный пот. Существует мнение, что алгебра — это самый сложный курс математики.

Это просто заблуждение, и на самом деле алгебра — одна из самых простых тем в математике. Эта статья призвана развеять этот страх и заблуждение студентов и сделать урок алгебры приятным для начинающих.

Что такое алгебра?

Вы когда-нибудь задавались вопросом или спрашивали себя, , что такое алгебра ? Откуда это взялось? Как алгебра применяется в реальных жизненных ситуациях? Не волнуйся.В этой статье вы шаг за шагом научитесь понимать алгебру и решите несколько алгебраических задач.

В основном студенты начинают свое математическое путешествие с обучения выполнению основных операций, таких как сложение и вычитание. Оттуда ученик перейдет к умножению, а затем к делению. Рано или поздно ученик достигнет точки, в которой он сможет решать сложные задачи. О чем мы говорим? Конечно же, алгебра!

Некоторые люди ошибочно называют алгебру операцией с буквами и цифрами.Фактически, алгебра существовала до изобретения печатного станка более 2500 лет назад. Введение печати положило начало использованию символов в алгебре. Следовательно, алгебра хорошо определяется как использование математических уравнений для моделирования идей. Мы моделируем идеи в форме математических уравнений для решения проблем, которые нас окружают.

История алгебры

Слово «алгебра» происходит от арабского слова al-Jabr, , что означает соединение сломанных частей.Этот термин используется в книге персидского математика и астронома Аль-Хорезми «Сводная книга по расчетам путем завершения и уравновешивания». В пятнадцатом веке алгебра первоначально использовалась для описания хирургической процедуры, при которой вывихнутые сломанные кости воссоединяются. Из этого обсуждения мы можем сказать, что алгебра помогает нам воссоединять кусочки информации.

Зачем нужно изучать алгебру?

Понимание алгебры фундаментально важно для ученика как в классе, так и вне его.Алгебра обостряет мыслительные способности ученика. Студенты могут кратко и систематично решать математические задачи.

Давайте посмотрим на важность алгебры в реальной жизни.

• Малыш или младенец может применять алгебру, отслеживая траекторию движущихся объектов с помощью глаз. Точно так же младенцы могут оценить расстояние между ними и игрушкой и, таким образом, могут схватить ее. Поэтому маленькие дети применяют алгебру, несмотря на то, что ей не хватает знаний.
• Алгебра применяется в информатике для написания алгоритмов программ. Алгебра также используется в инженерии для расчета правильных пропорций для воплощения шедевра. Возможно, вы увидите это позже, когда продвинетесь по карьерной лестнице.
• Алгебра нужна вам, чтобы знать, когда вам следует просыпаться, делать утренние дела или готовиться к урокам.
• Вы когда-нибудь бросали грязь в мусорное ведро? Вы промахнулись или сделали отличный выстрел? Вам понадобится алгебра, чтобы оценить расстояние между вами и мусорным ведром и оценить сопротивление воздуха.
• Использование алгебры вычисляет прибыли и убытки в бизнесе. По этой причине хорошее знание алгебры необходимо для управления своими финансами.
• Алгебра широко применяется в спорте. Например, вратарь может атаковать мяч, оценивая его скорость. Спортсмен также может увеличить свой темп, оценив расстояние между собой и финишной чертой.
• Алгебра находит себя на кухне, например, готовка, смешивание ингредиентов и определение продолжительности приготовления.
• Применения алгебры просто безграничны. Телефон, которым вы пользуетесь, компьютерные игры, в которые вы играете, — всего лишь плоды алгебры. Компьютерная графика разрабатывается по алгебре.

Как заниматься алгеброй?

Обычно в алгебраическом выражении отображаются как известные, так и неизвестные значения, и вы решаете уравнение для неизвестного значения. Чтобы решить это уравнение, вам нужно заняться алгеброй, в которой вам нужно выполнить тот же порядок операций, что и для целых чисел.

Например, , вы сначала решите то, что находится внутри скобок, а затем последовательно выполните следующие операции: показатели степени, умножение, деление, сложение и вычитание.

Ниже приводится термин, который вы встретите в алгебраическом выражении.

• Уравнение — это утверждение или предложение, определяющее две идентичности, разделенные знаком равенства (=).
• Выражение — это список или группа различных терминов, обычно разделенных знаком «+» или «-»

Если a и b — два целых числа, следующие основные алгебраические выражения:

• Уравнение сложения: a + b
• Уравнение вычитания: b — a
• Уравнение умножения: ab
• Уравнение деления: a / b или a ÷ b

Основные задачи алгебры

Основные алгебраические формулы:

• a ² — b ² = (a — b) (a + b)
• (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²
• a ² + b ² = (a — б) ² + 2ab
• (a — b) ² = a ² — 2ab + b ²
• (a + b + c) ² = a ² + b ² + c ² + 2ab + 2ac + 2bc
• (a — b — c) ² = a ² + b ² + c ² — 2ab — 2ac + 2bc 900 35
• (a + b) ³ = a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³
• (a — b) ³ = a ³ — 3a ² b + 3ab ² — b ³

Пример 1

Найдите значение t, если t + 15 = 30

Решение

t = 30-15

t = 15

Пример 2

Найдите значение y, когда, 9y = 63

Решение

Разделите обе части на 9;

y = 63/9

y = 7

Пример 3

Если 21 = b / 7, найти b:

Решение

Перекрестное умножение:

b = 21 x 7

b = 147

Пример 4

Рассмотрим случай расчета расходов на продукты:

Вы хотите пойти по магазинам, чтобы купить 2 дюжины яиц по 10 долларов, 3 буханки хлеба каждое 5 долларов и 5 бутылок напитков по 8 долларов каждая. Сколько денег тебе надо?

Решение

Вы можете начать решение этой проблемы, присвоив товару букву, например:

Пусть дюжины яиц = a;

Хлебов = б;

Напитки = d

Цена дюжины = a = 10

Цена одного хлеба = b = 5 долларов

Цена одной бутылки напитка = d = 8 долларов

=> Общие расходы = d + 3b + 5d

Подставьте значения:

= 10 долларов + 3 (5 долларов) + 5 (8 долларов) = 10 долларов + 15 долларов + 40 долларов = 65 долларов

Таким образом, общие расходы составляют 65 долларов.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Что такое алгебра? — Определение, факты и примеры

Что такое алгебра?

Арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления помогают нам решать математические задачи. Алгебра имеет дело с этими понятиями и может рассматриваться как обобщенная арифметика.

Переменная — важное понятие алгебры. Это может быть предмет или буква, обозначающая несколько вещей.Мы используем переменные для представления неизвестных, для представления изменяющихся величин и для обобщения свойств.

Для переменных обычно используются буквы английского алфавита, а также латинские символы.

Уравнение — это математическое предложение со знаком равенства.

Пример : 3 + 5 = 8

Неравенство — это математическое предложение, содержащее символы <,>, ≤, ≥ или ≠.

Пример : 4x + 7y ≥ 15

Уравнения и неравенства возникают из повседневных жизненных ситуаций.

Пример: Тина хочет купить карандаши и ручки за 15 долларов. Каждый карандаш стоит 1 доллар, а ручка — 2 доллара. Если x обозначает количество карандашей, а y обозначает ручки, то

х + 2у ≤ 15

Алгебраическое мышление, связанное с корреляцией и преобразованием ситуаций в уравнения, а затем их решение для поиска решения повседневных проблем, развивает у детей математическое мышление.

Шаблоны — это еще один инструмент, который стимулирует математическое мышление детей.Узор — это регулярное расположение чисел, предметов или фигур. В основном есть два типа паттернов:

Схема увеличения или уменьшения:

12, 24, 36, 48, …

108, 102, 96, 90, …

Повторяющийся узор:

Пример 1: Мэтью платят 2 доллара в час за его работу неполный рабочий день на ферме. Если он будет работать по 10 часов в неделю, сколько денег он будет зарабатывать?

За час он получает 2 доллара, за два часа — 4 доллара, за 3 часа — 6 долларов и так далее.

Сведем эту последовательность в таблицу и найдем заработок за неделю.

Кол-во часов	Плата ($)
1	2
2	4
3	6
4	8
5	10
6	12

Анализ шаблона помогает нам определить сумму, которую Мэтью получает за любое количество часов работы. Схема в последовательности такова, что заработная плата в два раза превышает количество часов, которые он отработал. Следовательно, за 10 часов работы он заработает 20 долларов.

Пример 2: библиотека имеет два плана,

Plan 1 : Вы можете зарегистрироваться за 5 долларов и взять напрокат любую книгу за 2 доллара

Plan 2 : Без регистрации вы можете арендовать любую книгу за 3 доллара.

Если Мишель арендует 7 книг, какой план будет выгодным?

Стоимость 1 книги в плане 1 — 7 долларов.Представим это как упорядоченную пару (1, 7 долларов США), где первое число представляет количество книг, а второе число представляет стоимость. Тогда стоимость первых 7 книг может быть записана как (1, 7 долларов), (2, 9 долларов), (3, 11 долларов), (4, 13 долларов), (5, 15 долларов), (6, 17 долларов) и ( 7, $ 19). Аналогичным образом, для плана 2 стоимость может быть рассчитана как (1, 3 доллара США), (2, 6 долларов США), (3, 9 долларов США), (4, 12 долларов США), (5, 15 долларов США), (6, 18 долларов США) и ( 7, 21 доллар). Сравнивая затраты, план 1 выгоден.

Задач со словами — Полный курс алгебры

10

Примеры

Проблемы

ЗАДАЧ СО СЛОВАМИ требуют практики в переводе словесного языка на алгебраический язык.См. Урок 1, Задача 8. Тем не менее, проблемы со словами делятся на разные типы. Ниже приведены некоторые примеры.

Пример 1. ax ± b = c . Все проблемы, подобные следующей, в конечном итоге приводят к уравнению в такой простой форме.

Джейн потратила 42 доллара на обувь. Это было на 14 долларов меньше, чем вдвое, чем она потратила на блузку. Сколько была кофточка?

Решение. У каждой проблемы со словом неизвестный номер.В этой проблеме цена кофточки. Всегда позволяйте x представлять неизвестное число. То есть пусть на вопрос ответит x .

Пусть тогда x будет тем, сколько она потратила на блузку. В задаче говорится, что «Это», то есть 42 доллара, было на 14 долларов меньше, чем два раза x .

Вот уравнение:

2 x -14	=	42.
2 x	=	42 + 14 (Урок 9)
	=	56.
x	=	56 2
	=	28.

Блузка стоила 28 долларов.

Пример 2. Всего в классе b мальчиков. Это в три раза больше, чем в четыре раза девушек. Сколько девочек в классе?

Решение. Опять же, пусть x представляет неизвестное число, которое вас просят найти: Пусть x будет количеством девушек.

(Хотя b неизвестно — это произвольная константа — это не то, что вас просят найти. )

В задаче указано, что «Это» — b — на три больше, чем в четыре раза x :

	4 x + 3	=	б .
	Следовательно,
	4 x	=	б -3
x		=	б -3 4	.

Решение здесь не число, потому что оно будет зависеть от значения b . Это тип «буквального» уравнения, очень распространенного в алгебре.

Пример 3. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 84, и одно из них на 12 больше, чем другое. Какие два числа?

Решение. В этой задаче нам предлагается найти два числа.Следовательно, мы должны позволить x быть одним из них. Пусть тогда x будет первым числом.

Нам говорят, что другое число на 12 больше, x + 12.

В задаче указано, что их сумма равна 84:

= 84

Линия над x + 12 — это символ группировки, который называется vinculum . Это избавляет нас от написания скобок.

У нас:

2 x	=	84–12
	=	72.
x	=	72 2
	=	36.

Это первое число. Следовательно, другой номер —

.

x + 12 = 36 + 12 = 48.

Сумма 36 + 48 равна 84.

Пример 4.Сумма двух последовательных чисел составляет 37. Какие они?

Решение . Два последовательных числа равны 8 и 9 или 51 и 52.

Пусть тогда x будет первым числом. Тогда число после него будет x + 1.

В задаче указано, что их сумма равна 37:

= 37

2 x	=	37 — 1
	=	36.
x	=	36 2
	=	18.

Два числа — 18 и 19.

Пример 5. Одно число на 10 больше другого. Сумма, состоящая из удвоенного меньшего и трехкратного большего, равна 55.Какие два числа?

Решение. Пусть x будет меньшим числом.

Тогда большее число на 10 больше: x + 10.

Состояние проблемы:

.

2 x + 3 ( x + 10)	=	55.
Это подразумевает
2 x + 3 x + 30	=	55.Урок 14.
5 x	=	55 — 30 = 25.
x	=	5.

Это меньшее число. Чем больше число, тем больше на 10: 15.

Пример 6. Разделите 80 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было вдвое больше, чем у первого, а у третьего было на 5 долларов меньше, чем у второго.

Решение . И снова нас просят найти более одного числа. Мы должны начать с того, что допустим, что x будет тем, сколько получает первый человек.

Затем второй получает вдвое больше, 2 x .

А третий получает на 5 долларов меньше, 2 x — 5.

Их сумма 80 $:

5 x	=	80 + 5
x	=	85 5
	=	17.

Вот сколько получает первый человек. Следовательно, второй получает

2 x	=	34.
А третий получает
2 x -5	=	29.

Сумма 17, 34 и 29 фактически равна 80.

Пример 7.Нечетные числа. Сумма двух подряд идущих нечетных чисел равна 52. Какие два нечетных числа?

Решение . Во-первых, четное число кратно 2: 2, 4, 6, 8 и так далее. В алгебре принято представлять четное число как 2 n , где при вызове переменной ‘ n ‘ понимается, что n будет принимать целочисленные значения: n = 0, 1, 2 , 3, 4 и т. Д.

Нечетное число на 1 больше (или на 1 меньше) четного.Итак, представим нечетное число как 2 n + 1.

Пусть тогда 2 n + 1 будет первым нечетным числом. Далее будет еще 2 — это будет 2 n + 3. Задача утверждает, что их сумма 52:

2 n + 1 + 2 n + 3

=

52.

Теперь мы решим это уравнение для n , а затем заменим решение в 2 n + 1, чтобы найти первое нечетное число.Нас:

4 n + 4	=	52
4 n	=	48
n	=	12.

Следовательно, первое нечетное число 2 · 12 + 1 = 25.Итак, следующее 27. Их сумма 52.

Проблемы

Задача 1. У Джули есть 50 долларов, что на восемь долларов больше, чем у Джона. Сколько у Джона? (Сравните Пример 1.)

Во-первых, что вы позволите изображать x ?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Неизвестный номер — сколько у Джона.

Что такое уравнение?

2 x + 8 = 50.

Вот решение:

x = 21

долларов США

Проблема 2. Карлотта потратила на рынке 35 долларов. Это было на семь долларов меньше, чем в три раза больше, чем она потратила в книжном магазине; сколько она там потратила?

Вот уравнение.

3 x — 7 = 35

Вот решение:

x = 14

долларов США

Проблема 3.Есть b черных мраморов. Это на четыре больше, чем в два раза больше красных шариков. Сколько там красных шариков? (Сравните Пример 2.)

Вот уравнение.

2 x + 4 = b

Вот решение:

Проблема 4. Джанет потратила 100 долларов на книги. Это было на тыс. долларов меньше, чем в пять раз больше, чем она потратила на обед.Сколько она потратила на обед?

Вот уравнение.

5 x — к = 100

Вот решение:

Задача 5. Целое равно сумме частей.

Сумма двух чисел равна 99, и одно из них на 17 больше, чем другое. Какие два числа? (Сравните Пример 3.)

Вот уравнение.

Вот решение:

Задача 6. Класс из 50 учеников делится на две группы; в одной группе на восемь меньше, чем в другой; сколько в каждой группе?

Вот уравнение.

Вот решение:

Проблема 7.Сумма двух чисел равна 72, и одно из них в пять раз больше другого; какие два числа?

Вот уравнение.

x + 5 x = 72.

Вот решение:

x = 12. 5 x = 60.

Задача 8. Сумма трех последовательных чисел равна 87; кто они такие? (Сравните Пример 4.)

Вот уравнение.

Вот решение:

28, 29, 30.

Задача 9. Группа из 266 человек состоит из мужчин, женщин и детей. Мужчин в четыре раза больше, чем детей, а женщин в два раза больше, чем детей. Сколько их там?

(Чему вы положите равным x — количеству мужчин, женщин или детей?)

Пусть x	=	Количество детей.Тогда
4 x	=	Количество мужчин. И
2 x	=	Количество женщин.
Вот уравнение:

x + 4 x + 2 x = 266

Вот решение:

х = 38. 4 x = 152. 2 x = 76.

Задача 10. Разделите 79 долларов между тремя людьми так, чтобы у второго было в три раза больше, чем у первого, а у третьего было на два доллара больше, чем у второго. (Сравните Пример 6.)

Вот уравнение.

Вот решение:

11, 33, 35 долларов.

Задача 11. Разделите 15,20 доллара между тремя людьми так, чтобы у второго было на доллар больше, чем у первого, а у третьего было на 2,70 доллара больше, чем у второго.

Вот уравнение.

Вот решение:

3,50 доллара, 4,50 доллара, 7,20 доллара.

Задача 12. Два последовательных нечетных числа таковы, что три раза первое будет на 5 больше, чем в два раза больше второго.Что это за два нечетных числа?

(см. Пример 7, где мы представляем нечетное число как 2 n + 1.)

Решение . Пусть первое нечетное число будет 2 n + 1.

Тогда следующий 2 n + 3 — потому что будет еще 2.

Задача состоит в следующем:

	3 (2 n + 1)	=	2 (2 n + 3) + 5.
Отсюда следует:
	6 n + 3	=	4 n + 6 + 5.
	2 n	=	8.
	n	=	4.

Следовательно, первое нечетное число 2 · 4 + 1 = 9. Следующее — 11.

И это верное решение, потому что в соответствии с проблемой:

3 · 9 = 2 · 11 + 5.

Следующий урок: Неравенство

Содержание | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

---

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Решение вопросов Word

МНОГО примеров!

В алгебре мы часто задаем вопросы, например:

Пример: Сэм и Алекс играют в теннис.

В выходные Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, а вместе они сыграли 12 игр.

Сколько игр сыграл Алекс?

Как мы их решаем?

Уловка состоит в том, чтобы разбить решение на две части:

Превратите английский в алгебру.

Затем используйте алгебру для решения.

Превращение английского в алгебру

Превратить английский в алгебру помогает:

• Прочтите сначала все
• Сделайте эскиз , если возможно
• Назначьте буквы для значений
• Найдите или обработайте формулы

Вам также следует записать , что на самом деле требуется для , чтобы вы знали, куда вы собираетесь и когда вы прибыли!

Также ищите ключевые слова:

Когда вы видите		Думай
сложить, итого, сумма, увеличить, больше, вместе, вместе, плюс, более		+
минус, меньше, разница, меньше, уменьшено, уменьшено		–
умноженное на умножение на произведение, множитель		×
разделенное, частное, на, из, соотношение, соотношение, процент, ставка		÷
увеличить или уменьшить		геометрия формул
Скорость, скорость		расстояние формулы
Сколько дней, часов, минут, секунд		раз

Ясное мышление

Некоторые формулировки могут быть хитрыми, из-за чего трудно думать «правильно», например:

$

Пример: У Сэма на 2 доллара меньше, чем у Алекса.

Как это записать в виде уравнения?

• Пусть S = долларов, у Сэма
• Пусть A = долларов У Алекса

Теперь … это что: S — 2 = A

или должно быть: S = A — 2

или должно быть: S = 2 — A

Правильный ответ: S = A — 2

( S — 2 = A — распространенная ошибка, так как в вопросе написано «Сэм … на 2 меньше … Алекс»)

Пример: на нашей улице собак вдвое больше, чем кошек.Как это записать в виде уравнения?

• Пусть D = количество собак
• Пусть C = количество кошек

Теперь … это что: 2D = C

или должно быть: D = 2C

Подумайте внимательно!

Правильный ответ: D = 2C

( 2D = C — распространенная ошибка, так как в вопросе написано «дважды … собаки … кошки»)

Примеры

Давайте начнем с очень простого примера , чтобы увидеть, как это делается:

Пример: прямоугольный сад размером 12 на 5 м, какова его площадь?

Превратите английский в алгебру:

Эскиз:

.

Письма:

• Используйте w для ширины прямоугольника: w = 12 м
• Используйте h для высоты прямоугольника: h = 5m

Формула для площади прямоугольника: A = w × h

Нас спрашивают о Районе.

Решить:

A = ш × в = 12 × 5 = 60 м ²

Площадь кв. М 60 .

Теперь попробуем пример сверху страницы:

Пример: Сэм и Алекс играют в теннис. В выходные Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, а вместе они сыграли 12 игр. Сколько игр сыграл Алекс?

Превратите английский в алгебру:

Письма:

• Используйте S , чтобы узнать, сколько игр Сэм сыграл
• Используйте A , чтобы узнать, сколько игр сыграл Алекс

Мы знаем, что Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, поэтому: S = A + 4

И мы знаем, что вместе они сыграли 12 игр: S + A = 12

Нас спрашивают, сколько игр сыграл Алекс: A

Решить:

Начать с: S + A = 12

S = A + 4 , поэтому мы можем
заменить S на «A + 4»: (A + 4) + A = 12

Упростить: 2A + 4 = 12

Вычтем 4 с обеих сторон: 2A = 12-4

Упростить: 2A = 8

Разделите обе части на 2: A = 4

Это означает, что Алекс сыграл 4 игры в теннис.

Проверка: Сэм сыграл на 4 игры больше, чем Алекс, поэтому Сэм сыграл 8 игр. Вместе они сыграли 8 + 4 = 12 игр. Да!

Пример посложнее:

Пример: Алекс и Сэм также создают таблицы.

Вместе они делают 10 столов за 12 дней.

Алекс, работая в одиночку, может заработать 10 штук за 30 дней.

Сколько времени потребуется Сэму, работая в одиночку, чтобы сделать 10 столов?

Превратите английский в алгебру:

Письма:

• Используйте a для скорости работы Алекса
• Используйте с для скорости работы Сэма

12 дней Алекса и Сэма — это 10 столов, поэтому: 12a + 12s = 10

30 дней одного Алекса — это тоже 10 столов: 30a = 10

Нас спрашивают, сколько времени потребуется Сэму, чтобы сделать 10 столов.

Решить:

30a = 10 , поэтому ставка Алекса (столов в день) составляет: a = 10/30 = 1/3

Начать с: 12a + 12s = 10

Положите «1/3» для a: 12 (1/3) + 12s = 10

Упростить: 4 + 12 = 10

Вычтем 4 с обеих сторон: 12s = 6

Разделите обе стороны на 12: s = 6/12

Упростить: с = 1/2

Это означает, что ставка Сэма составляет половину стола в день (быстрее, чем у Алекса!).

Итак, 10 столов займет у Сэма всего 20 дней.

Интересно, стоит ли Сэму платить больше?

И еще пример «подстановки»:

Пример: Дженна усиленно тренируется, чтобы пройти квалификацию к Национальным играм.

У нее регулярный еженедельный распорядок, в некоторые дни она тренируется по пять часов в день, а в другие — по 3 часа в день.

В общей сложности она тренируется 27 часов в семидневную неделю. Сколько дней она тренируется по пять часов?

Письма:

• Количество «5 часовых» дней: d
• Количество «3-х часовых» дней: e

Мы знаем, что в неделе семь дней, поэтому: d + e = 7

И она тренируется 27 часов в неделю, из которых d 5 часов в день и e 3 часа в день: 5d + 3e = 27

Нас спрашивают, сколько дней она тренируется по 5 часов: d

Решить:

d + e = 7

Итак: e = 7 — d

Положим, что в 5d + 3e = 27 5d + 3 (7 − d) = 27

Упростить: 5d + 21 — 3d = 27

Вычтем 21 с обеих сторон: 5d — 3d = 6

Упростить: 2d = 6

Разделим обе части на 2: d = 3

Количество «5 часовых» дней — 3

Проверка : Она тренируется по 5 часов 3 дня в неделю, поэтому она должна тренироваться по 3 часа в день в остальные 4 дня недели.

3 × 5 часов = 15 часов, плюс 4 × 3 часа = 12 часов дает в сумме 27 часов

Некоторые примеры из Geometry:

Пример: круг имеет площадь 12 мм.

² , каков его радиус?

Письма:

• Используйте A для Area: A = 12 мм ²
• Используйте r для радиуса

И формула для площади: A = π r ²

У нас спрашивают радиус.

Решить:

Нам нужно переставить формулу, чтобы найти площадь

Начать с: A = π r ²

Поменять местами стороны: π r ² = A

Разделим обе части на π : r ² = A / π

Извлечь квадратный корень из обеих частей: r = √ (A / π)

Теперь мы можем использовать формулу: r = √ (12/ π)

И получаем: r = 1.954 (до 3-х мест)

Пример: куб имеет объем 125 мм.

³ , какова его площадь поверхности?

Сделайте быстрый набросок:

Письма:

• Используйте V для объема
• Используйте A для Area
• Используйте s для длины стороны куба

Формулы:

• Объем куба: В = с ³
• Площадь поверхности куба: A = 6s ²

У нас спрашивают площадь.

Решить:

Первая отработка s по формуле объема:

Начать с: В = с ³

Поменять местами стороны: с ³ = V

Извлечь кубический корень с обеих сторон: s = ∛ (V )

И получаем: s = ∛ (125 ) = 5

Теперь мы можем посчитать площадь поверхности:

Начать с: A = 6s ²

И получаем: A = 6 (5) ²

A = 6 × 25 = 150 мм ²

Пример о деньгах:

Пример: Джоэл работает в местной пиццерии.

Когда он работает сверхурочно, он зарабатывает в 1¼ раза больше обычного.

Одна неделя Джоэл отработал 40 часов по обычной ставке, а также 12 часов сверхурочно. Если за эту неделю Джоэл заработал в общей сложности 660 долларов, какова его нормальная ставка заработной платы?

Письма:

• Обычная ставка оплаты труда Джоэла: N $ в час

Формулы:

• Джоэл работает 40 часов по цене N $ в час = 40N
• Когда Джоэл работает сверхурочно, он зарабатывает в 1¼ раза больше обычной ставки = 1 доллар.25N в час
• Джоэл работает 12 часов по цене 1,25 доллара США в час = (12 × 1 доллар США) = 15 долларов США
долларов США
• А вместе он заработал 660 долларов, итак:

$ 40N + $ (12 × 1¼N) = 660 $

У нас спрашивают нормальную ставку заработной платы Джоэла в $ N.

Решить:

Начните с $ 40N + $ (12 × 1¼N) = 660 $

Упростить: 40N + 15N = 660 USD

Еще более упростите: 55 долларов США = 660 долларов США

Разделите обе стороны на 55: $ N = 12 $

Итак, обычная ставка оплаты труда Джоэла составляет 12 долларов в час.

Чек

Обычная ставка оплаты труда Джоэла составляет 12 долларов в час, поэтому его сверхурочная работа составляет 1¼ × 12 долларов в час = 15 долларов в час.Таким образом, его обычная зарплата 40 × 12 = 480 долларов плюс его сверхурочная работа в размере 12 × 15 долларов = 180 долларов дает нам в сумме 660

долларов.

Подробнее о деньгах на этих двух примерах, связанных со сложным процентом

Пример: Алекс кладет 2000 долларов в банк под 11% годовых. Сколько это будет стоить через 3 года?

Это формула сложных процентов:

Итак, мы будем использовать эти буквы:

• Текущая стоимость PV = 2000 долларов США
• Процентная ставка (в десятичном формате): r = 0.11
• Количество периодов: n = 3
• Будущая стоимость (значение, которое мы хотим): FV

Нас спрашивают о будущей стоимости: FV

Решить:

Начать с: FV = PV × (1 + r) ⁿ

Добавьте то, что мы знаем: FV = $ 2000 × (1 + 0,11) ³

Вычислить: FV = $ 2000 × 1,367631

Вычислим: FV = 2735 долларов. 26 (с точностью до цента)

Пример: Роджер положил 1000 долларов на сберегательный счет. На заработанные деньги ежегодно начислялись проценты по той же ставке. Через девять лет депозит Роджера вырос до 1 551,33 доллара США

Какова была годовая процентная ставка по сберегательному счету?

Формула сложных процентов:

с:

• Текущая стоимость PV = 1000 долларов США
• Процентная ставка (желаемое значение):
р.
• Количество периодов: n = 9
• Будущая стоимость: FV = 1551 доллар.33

Нас спрашивают о процентной ставке:

р.

Решить:

Начать с: FV = PV × (1 + r) ⁿ

Добавьте то, что мы знаем: 1551,33 доллара = 1000 долларов × (1 + r) ⁹

Стороны обмена: 1000 $ × (1 + r) ⁹ = 1551,33 $

Разделите обе стороны на 1000: (1 + r) ⁹ = 1551,33 доллара США / 1000 долларов США

Упростить: (1 + r) ⁹ = 1. 55133

корень 9-й степени: 1 + r = 1,55133 ^(1/9)

Вычислить: 1 + r = 1.05

Вычислить: r = 0,05 = 5%

Таким образом, годовая процентная ставка составляет 5%

Чек : 1000 долларов × (1,05) ⁹ = 1000 долларов × 1,55133 = 1551,33 доллара

И пример вопроса о соотношении:

Пример: В начале года соотношение мальчиков и девочек в классе составляет 2: 1

Но теперь, полгода спустя, четыре мальчика покинули класс и появились две новые девочки.Соотношение мальчиков и девочек сейчас составляет 4: 3

Сколько всего студентов сейчас?

Письма:

• Кол-во мальчиков сейчас: б
• Количество девочек сейчас: г

Коэффициент текущей ликвидности 4: 3

b г = 4 3

Что можно переставить на 3b = 4g

На начало года было (b + 4) мальчиков и (g — 2) девочек, и соотношение было 2: 1

б + 4 г — 2 = 2 1

, который можно переставить в b + 4 = 2 (g — 2)

Нас спрашивают, сколько всего сейчас студентов: b + g

Решить:

Начать с: b + 4 = 2 (г — 2)

Упростить: b + 4 = 2g — 4

Вычтем 4 с обеих сторон: b = 2g — 8

Умножаем обе стороны на 3 (получаем 3b): 3b = 6g — 24

Помните 3b = 4g : 4g = 6g — 24

Вычтем 6g с обеих сторон : −2g = -24

Разделим обе части на −2: г = 12

Есть 12 девушек !

И 3b = 4g , поэтому b = 4g / 3 = 4 × 12/3 = 16 , так что есть 16 мальчиков

Таким образом, сейчас в классе 12 девочек и 16 мальчиков, всего 90 444 человека из 28 человек человек.

Чек

Сейчас 16 мальчиков и 12 девочек, поэтому соотношение мальчиков и девочек составляет 16: 12 = 4: 3.
В начале года было 20 мальчиков и 10 девочек, поэтому соотношение было 20: 10 = 2: 1

А теперь несколько квадратных уравнений:

Пример: Произведение двух последовательных четных целых чисел равно 168. Что такое целые числа?

Последовательные означают один за другим. И их , даже , так что они могут быть 2 и 4, или 4 и 6 и т. Д.

Мы назовем меньшее целое число n , поэтому большее целое число должно быть n + 2

И нам говорят, что произведение (то, что мы получаем после умножения) равно 168, поэтому мы знаем:

п (п + 2) = 168

Нас спрашивают целые числа

Решить:

Начать с: n (n + 2) = 168

Развернуть: n ² + 2n = 168

Вычтем 168 с обеих сторон: n ² + 2n — 168 = 0

Это квадратное уравнение, и есть много способов его решить. Используя метод решения квадратного уравнения, мы получаем −14 и 12.

Проверка −14: −14 (−14 + 2) = (−14) × (−12) = 168 ДА

Проверка 12: 12 (12 + 2) = 12 × 14 = 168 ДА

Итак, есть два решения: -14 и -12 — одно, 12 и 14 — другое.

Примечание: мы также могли попробовать «угадать и проверить»:

• Мы могли бы попробовать, скажем, n = 10: 10 (12) = 120 NO (слишком мало)
• Затем мы могли бы попробовать n = 12: 12 (14) = 168 ДА

Но если мы не вспомним, что умножение двух отрицаний дает положительный результат, мы можем пропустить другое решение (−14) × (−12).

А:

Пример: вы архитектор. Вашему клиенту нужна комната вдвое больше ширины. Им также нужна веранда шириной 3 метра по длинной стороне.

У вашего клиента 56 квадратных метров красивой мраморной плитки для покрытия всей площади.

Какой должна быть длина комнаты?

Давайте сначала сделаем набросок, чтобы все было правильно !:

Письма:

• Длина помещения: L
• Ширина помещения: Вт
• Общая площадь с верандой: А,

Мы знаем:

• ширина комнаты составляет половину ее длины: W = ½L
• общая площадь равна (ширина комнаты + 3), умноженная на длину: A = (W + 3) × L = 56

Нас спрашивают о длине помещения: L

Решить:

Начать с: (Ш + 3) × Д = 56

Заменитель W = ½L : (½L + 3) × L = 56

Упростить: ½L ² + 3L = 56

Умножьте все члены на 2: L ² + 6L = 112

Вычесть 112 с обеих сторон : L ² + 6L — 112 = 0

Это квадратное уравнение , есть много способов его решить, на этот раз воспользуемся факторингом:

Начать с: L ² + 6L — 112 = 0

Два числа, которые умножаются, чтобы получить ac = −112,
и сложить, чтобы получить b = 6, 14 и −8: L ² + 14L — 8L — 112 = 0

Группа: L (L +14) — 8 (L + 14) = 0

Группа: (L — 8) (L + 14) = 0

Итак, L = 8 или -14

Есть два решения квадратного уравнения, но только одно из них возможно, так как длина комнаты не может быть отрицательной!

Так длина помещения 8 м

Чек

L = 8, поэтому W = ½L = 4

Итак, площадь прямоугольника = (W + 3) × L = 7 × 8 = 56

Вот и мы. ..

… Я надеюсь, что эти примеры помогут вам понять, как отвечать на словесные вопросы. А как насчет практики?

Что тестировалось в разделе SAT Math? Темы и практика

Вашим первым шагом в подготовке к математической части SAT должно быть знакомство с тем, что на нем написано. Какой бы уроки математики вы ни посещали в школе, вы сможете успешно сдать экзамены по математике при правильном подходе к подготовке к экзаменам. Давайте начнем это руководство с обзора общего формата математической части SAT.

Формат SAT Math

Математика будет вашим третьим и четвертым разделами на SAT, сразу после чтения, письма и языка. Сначала вы получите 25-минутный раздел , в течение которого вы не можете использовать калькулятор. После небольшого перерыва вы перейдете на 55-минутный участок . В этом более длинном разделе вам разрешено пользоваться калькулятором.

Оба раздела начинаются с вопросов с несколькими вариантами ответов, каждый из которых содержит четырех вариантов ответа. Затем вас попросят дать несколько ответов учащихся, более известных как «сетки». В разделе калькулятора некоторые из этих таблиц будут связаны друг с другом как часть вопроса Extended Thinking.

Вот разбивка времени, количества вопросов и типов вопросов по двум разделам SAT по математике.

Раздел	Количество вопросов	Время
Нет калькулятора	15 вариантов выбора, 5 точек сетки	25 минут
Калькулятор	30 вариантов выбора, 8 таблиц (включая один вопрос на расширенное мышление)	55 минут
Итого	58 вопросов	80 минут

Хотя вы можете использовать калькулятор только в более длинном разделе «Математика», у вас будет доступа к следующей справочной информации для геометрии в обоих разделах:

Конечно, вам лучше запомнить эту информацию, чем тратить время на перелистывание тестового буклета к этим формулам. На самом деле этот материал не так уж и важен для математической секции, поскольку геометрические задачи составляют менее 10% вопросов. При этом, какие навыков и концепций наиболее распространены в математической секции?

Контент — король! Или, по крайней мере, очень важно освоить, прежде чем сдавать SAT.

Темы SAT по математике

Хотя математический раздел не уделяет большого внимания задачам геометрии, он фокусируется на алгебре, решении уравнений и интерпретации данных из таблиц и графиков.College Board разделяет типы вопросов на три основные категории: Сердце алгебры, Паспорт для продвинутой математики и Решение проблем и анализ данных (они, по-видимому, отказались от творческого наименования, когда достигли третьей категории).

Эти три области описывают около 90% математических вопросов SAT. Остальные 10% называются просто Дополнительные темы , и они в основном включают геометрию, базовую тригонометрию и комплексные числа.

Давайте подробнее рассмотрим каждую из этих категорий, пройдя по темам SAT по математике и навыкам, которые они проверяют.После описания каждого из них вы увидите три официальных типовых практических вопроса от College Board.

Сердце алгебры

вопросов SAT по математике в категории «Сердце алгебры» относятся к линейным уравнениям, неравенствам, функциям и графикам.

Ниже приведены официальные темы, определенные College Board, а также краткое изложение задач, к которым вы должны быть готовы, чтобы ответить на эти вопросы и некоторые примеры проблем.

Официальные темы

• Решение линейных уравнений и линейных неравенств (в этих выражениях x — константа или произведение константы)
• Интерпретация линейных функций
• Задачи о линейных неравенствах и уравнениях
• Построение графиков линейных уравнений
• Задачи о линейных функциональных словах
• Системы словесных задач линейных неравенств
• Решение систем линейных уравнений

Сводка задач

• Используйте несколько шагов, чтобы упростить выражение или уравнение или решить для переменной.
• Найдите переменную в функциях или системах неравенств с двумя переменными (обычно x и y).
• Определите, входит ли данная точка в набор решений или при каком значении выражение не имеет решения.
• Выберите график, отображающий алгебраическое уравнение, или, с другой стороны, выберите уравнение, описывающее график.
• Укажите, как на график повлияет данное изменение уравнения.

Примеры вопросов

Решение систем линейных уравнений:

Решение систем линейных неравенств:

Построение линейного уравнения:

Возьмите свой паспорт — мы переходим границу в страну продвинутой математики.

Паспорт для углубленного изучения математики

В то время как вопросы Heart of Algebra сосредоточены на линейных уравнениях, вопросы Passport to Advanced Math имеют отношение к нелинейным выражениям или выражениям, в которых переменная возведена в степень, отличную от нуля или единицы. Эти вопросы предложат вам работать с квадратными уравнениями, экспоненциальными выражениями и задачами со словами.

Прочтите полный список тем, относящихся к разделу «Паспорт для углубленного изучения математики», за которым следует краткое изложение задач и три примера вопросов SAT.

Официальные темы

• Решение квадратных уравнений
• Интерпретация нелинейных выражений
• Квадратичные и экспоненциальные задачи со словами
• Радикалы и рациональные экспоненты
• Операции с рациональными выражениями и многочленами
• Полиномиальные множители и графики
• Графики нелинейных уравнений
• Линейные и квадратичные системы
• Структура в выражениях
• Изолирующие количества
• Функции

Сводка задач

• Решите уравнения, разложив на множители или используя другие методы, чтобы переписать их в другой форме.
• Сложите, вычтите, умножьте или разделите два рациональных выражения или разделите два полиномиальных выражения и упростите свои результаты.
• Выберите график, соответствующий нелинейному уравнению, или уравнение, которое соответствует графику.
• Определите уравнение кривой из описания графика.
• Выясните, как изменится график, если его уравнение изменится.

Примеры вопросов

Функции:

Нелинейных выражений:

Графики нелинейных уравнений:

Решение проблем и анализ данных

Эта третья и последняя основная категория включает вопросы, которые просят вас работать с коэффициентами, отношениями, процентами и данными из графиков и таблиц. Прочтите официальные темы, краткое изложение задач и три типовых вопроса.

Официальные темы

• Соотношения, пропорции и пропорции
• процентов
• Единицы
• Табличные данные
• Диаграммы рассеяния
• Основные характеристики графиков
• Линейный и экспоненциальный рост
• Вывод данных
• Центр, распространение и форма распределений
• Сбор данных и выводы

Сводка задач

• Решайте многоэтапные задачи для расчета соотношения, нормы, процента, единицы нормы или плотности.
• Используйте заданное соотношение, норму, процент, удельную норму или плотность для решения многоступенчатой ​​задачи.
• Выберите уравнение, которое лучше всего соответствует диаграмме рассеяния.
• Используйте таблицы для обобщения данных, например вероятностей.
• Оценить совокупность на основе выборочных данных.
• Используйте статистику для определения среднего значения, медианы, режима, диапазона и / или стандартного отклонения.
• Оцените таблицы, графики или текстовые сводки.
• Определите точность метода сбора данных.

Примеры вопросов

Расчет данных по ставке:

Диаграмма рассеяния и коэффициент расчета:

Расчет процента на основе данных таблицы:

Следующие несколько категорий не подходят ни для чего другого.

Дополнительные разделы математики

Хотя 90% ваших вопросов попадут в категории «Алгебра», «Паспорт для продвинутой математики» или «Решение проблем и анализ данных», оставшиеся 10% будут просто классифицированы как «Дополнительные темы». Эти темы включают в себя геометрию, тригонометрию и задачи с комплексными числами.

Официальные темы

• Проблемы с объёмными словами
• Задачи со словами в правом треугольнике
• Соответствие и сходство
• Геометрия прямоугольного треугольника
• Углы, длина дуги и триггерные функции
• Круговые теоремы
• Уравнения окружности
• Комплексные числа

Сводка задач

• Определите объем формы.
• Примените свойства треугольников, чтобы определить длину стороны или угол.
• Примените свойства окружностей для измерения длины и площади дуги.
• Решает проблемы с синусом, косинусом и тангенсом.

Примеры вопросов

Задача прямоугольного треугольника с тригонометрическими функциями:

Сравнение и сходство:

Углы и параллельные прямые:

Чтобы по-настоящему подготовиться к математическому разделу SAT, вы должны обязательно изучить все вышеупомянутые темы. Некоторые проблемы, кроме того, будут объединять темы и потребуют от вас применения нескольких навыков и концепций в процессе работы над решением. Многоступенчатые задачи широко распространены в математическом разделе. Давайте подробнее рассмотрим многоступенчатые задачи, а также другие основные особенности , о которых вам нужно знать, когда вы готовитесь к SAT Math.

Возьмите закуски и выключите мобильный телефон — пора перейти к основным функциям!

Каковы основные особенности SAT Math?

Помимо понимания содержания и формата раздела SAT Math, вам следует знать о некоторых ключевых функциях . Во время изучения следите за этими функциями. Ознакомившись с ними, вы даже сможете эффективно использовать практические материалы для старого SAT, чтобы подготовиться к текущему SAT.

Многоступенчатые задачи

Вы можете заметить, что некоторые из перечисленных выше типов проблем заявляют, что для их решения требуется несколько шагов. Хотя формулировки математических вопросов должны быть простыми, требуемые размышления и вычисления будут относительно сложными. Чтобы подготовиться, вам особенно нужно сосредоточиться на управлении временем и работе быстро и эффективно.

Чтобы решить проблему со словами, вам, возможно, придется объединить навыки из более чем одной области содержания или использовать несколько шагов, чтобы найти ответ. Проблемы Word могут представлять собой длинный сценарий, и вам нужно будет выяснить, какие данные использовать и какие концепции применить, чтобы получить свой ответ. Кстати о проблемах со словами …

Акцент на приложениях «реального мира»

Согласно College Board, основная цель редизайна SAT заключалась в том, чтобы сделать тест более тесно связанным с обучением в классе и навыками реального мира. В результате в математическом разделе не будет слишком много абстрактных вопросов для рассуждений.

Вместо этого, проблемы со словом будут основаны на реальных ситуациях. Кто-то может попросить вас подсчитать количество бензина, оставшегося в бензобаке автомобиля, или пересчет денег из валюты одной страны в валюту другой. Большинство словесных задач представляют собой сценарии, с которыми вы можете столкнуться в своей жизни.

Будет несколько вопросов, которые проверят ваше понимание синусов.А также косинусы и касательные.

Несколько вопросов по геометрии и тригонометрии

Около 10% вопросов будут касаться геометрии и / или тригонометрии. Поскольку не все изучали тригонометрию в школе к моменту сдачи SAT, для этих вопросов может потребоваться отдельная подготовка к SAT.

Вам следует познакомиться с соответствующими концепциями и формулами, но сосредоточить большую часть своей энергии на подготовке к алгебре, функциям, неравенствам, графикам и задачам со словами.

Секция без калькулятора и секция калькулятора

В течение 25 минут вы не сможете достать калькулятор, чтобы ответить ни на один из математических вопросов. Не о чем беспокоиться! Для задач в 25-минутном разделе калькулятор не потребуется; на самом деле, использование одного из этих , вероятно, просто замедлит вас.

Свободное владение калькулятором , то есть знание того, как и когда эффективно использовать калькулятор, является важным навыком при сдаче экзамена SAT по математике.Совет колледжа говорит: «Калькуляторы — важные инструменты, и … вам нужно знать, как — и когда — использовать их … Калькулятор, как и любой другой инструмент, настолько умен, насколько умен человек, использующий его. Математический тест включает в себя несколько вопросов, по которым лучше не использовать калькулятор, даже если вам разрешено набрать «.

Таким образом, вам определенно не понадобится один в более коротком разделе «без калькулятора», а вам может даже не понадобиться для решения многих задач в более длинном разделе «калькулятор». Ответы на множество практических вопросов помогут вам лучше понять, когда калькулятор будет полезен, а когда он просто замедлит вас.

Проблема расширенного мышления

Некоторые из ваших вопросов будут частью задачи «Расширенное мышление». Как правило, эта проблема расширенного мышления будет составлять вопросов в сетке ближе к концу вашего 55-минутного раздела.

По сути, вы получите сценарий проблемы с графиком, таблицей или текстом, а затем вам придется ответить на несколько вопросов по этому поводу. Ниже приводится один из примеров вопроса о расширенном мышлении, основанного на проблеме.Обратите внимание на склонность к применению «реального мира»!

Таблица вопросов по математике

Говоря о сетках, у вас будет тринадцать таких ответов учеников, на которые вы ответите в специальной части пузырькового листа внизу. Хотя вы можете написать свой ответ в отведенных для этого полях, вам придется заполнить соответствующие кружки для получения кредита. Есть пузыри для цифр от 0 до 9, а также для десятичной точки (точка) и дробной черты (косая черта).Чтобы попрактиковаться в построении координатной сетки в своих ответах, вы можете попрактиковаться на листе ответов на практический тест SAT College Board.

Если вы знакомы с ключевыми функциями и направлениями SAT Math, вы можете сразу приступить к работе с и не тратить время на выяснение логистики. Итак, готовитесь ли вы с помощью PrepScholar, вопросов онлайн-практики, официальных тестов College Board или комбинации всего этого, как вам следует подойти к подготовке к SAT Math?

Раскройте потенциал подготовки.

Как следует изучать SAT Math

Многие концепции SAT Math вы изучите на уроках математики в школе. Однако это не означает, что работа в классе подготовит вас достаточно для успешной сдачи SAT. Вопросы SAT Math проверяют вышеупомянутые концепции уникальным способом , специфичным для SAT . Чтобы подготовиться и научиться быстро управлять своим временем, вам нужно попрактиковаться и познакомиться с формулировками с помощью высококачественных практических вопросов.

Официальные практические тесты также помогут вам выявить и диагностировать ваши сильные и слабые стороны . Например, если вас постоянно ставят в тупик функциональные вопросы, вы будете знать, что нужно сосредоточить на них свою энергию и учебу. Даже если вы еще не прошли углубленный курс алгебры или тригонометрии в школе, вы все равно можете подготовиться к этим вопросам, изучая концепции и вопросы SAT.

Если вы сильны в математике и хотите набрать больше очков, вам нужно подойти к математическому разделу со стратегической точки зрения.Соучредитель PrepScholar и лучший бомбардир SAT Аллен Ченг делится методами, которые он использовал, и о том, как они могут помочь вам набрать 800 или около того на вашем SAT математике.

Что дальше?

У вас низкие оценки по математике и вы надеетесь побить 600? Вот шаги, которые необходимо предпринять, чтобы набрать 600 или более баллов по математике SAT.

Ищете рекомендации по книгам по математическому разделу? Вот наши предложения по лучшим учебникам для подготовки к SAT Math, а также несколько советов о том, как их использовать наиболее эффективно.

Хотите убедиться, что вы хорошо разбираетесь в математике, прежде чем углубляться в SAT Math? Ознакомьтесь с нашими дополнительными статьями о решении неравенств, сложении и вычитании дробей, умножении, точных квадратах и ​​свойстве распределения.

Хотите улучшить свой SAT результат на 160 баллов?

Посетите наши лучшие в своем классе онлайн-классы подготовки к SAT. Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой SAT на 160 баллов или более.

Наши классы полностью онлайн, и их ведут эксперты SAT. Если вам понравилась эта статья, вам понравятся наши классы. Наряду с занятиями под руководством экспертов вы получите индивидуальное домашнее задание с тысячами практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы учились наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую индивидуальную программу, которой вы будете следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.

Попробуйте без риска сегодня:

Как изучать математику: алгебра

Урок алгебры — одно из немногих мест, где люди могут купить 64 арбуза, и никто не задается вопросом, почему.

Это также предмет, с которым сталкиваются многие студенты.

Одна из главных причин этой борьбы — они пытаются запомнить. Но когда проблема меняется, меняются и шаги, и ученики остаются в замешательстве. Ключ к успеху в алгебре — понимать, зачем вы делаете каждый шаг. Другими словами, речь идет не только о x , но и о , почему именно .

Мы знаем, о чем вы думаете: если бы только было легко понять алгебру. Что ж, с правильным объяснением, несколькими полезными советами и небольшой работой вы сможете!

Ниже приведены 14 советов по изучению и распространенных ошибок, которых следует избегать, чтобы преуспеть в алгебре.

1. Знайте свою арифметику

Чтобы выучить алгебру, вы должны, ДОЛЖНЫ, ДОЛЖНЫ знать основы своей арифметики. Да, это включает в себя сложение, вычитание, умножение и деление. Мы знаем, что это математика в начальной школе. Но очень важно усвоить эти концепции.

Мы не имеем в виду, что вам нужно запоминать таблицу умножения. Что важно для , так это то, что вы понимаете основную концепцию каждой операции. Например, умножение 3 и 4 на самом деле добавляет 3 вместе 4 раза:

Или что сложение 2 и 5 похоже на то, как если взять стопку из 2 яблок и положить туда еще 5, чтобы получить в сумме 7.

Это может показаться простым, но знание смысла базовой арифметики будет чрезвычайно полезным при изучении алгебры.

Так что не забудьте продумать эти четыре операции, даже если вам придется думать в терминах яблок!

2. Помните PEMDAS

Ой, порядок операций. Вы узнаете это. Пройди тест. Затем удалите его из памяти, думая, что он больше не появится.

Вы и не подозревали, что будете сидеть в классе алгебры и смотреть на сложное уравнение, думая: «Как, черт возьми, я собираюсь решить для x ?»

Вот где PEMDAS пригодится.Некоторые запоминают это с помощью мнемоники «Пожалуйста, извините, дорогая тетя Салли», или, другими словами:

P arentheses, E xponents, M ultiplication, D ivision, A ddition, S ubtraction

Это ваш план решения более простой проблемы. Не знаете с чего начать? Начнем со скобок. Опять заблудиться? Попробуйте разобраться с экспонентами! Далее займитесь умножением и делением. И, наконец, вы складываете и вычитаете.Вуаля, проблема, похожая на ту, которую вы уже знаете!

Вот одна вещь, на которую следует обратить внимание при использовании PEMDAS, которую многие люди упускают:

После того, как вы позаботитесь о скобках и показателях, вы выполните умножение и деление в порядке слева направо. Затем, когда вы переходите к сложению и вычитанию, вы также делаете это в порядке слева направо.

Вот пример проблемы, которая сначала может показаться сложной, но становится полностью решаемой с помощью PEMDAS:

5 + (6 ÷ 2 x 5) ² -2 + 3

Используя PEMDAS, мы начинаем с выражения в круглых скобках.Внутри скобок нет показателей, поэтому мы переходим к умножению и делению, работая слева направо. Это означает, что вы сделаете деление первым:

5 + (3 x 5) ² -2 + 3

Теперь умножаем в скобках:

5 + (15) ² -2 + 3

После того, как вы закончите со скобками, следующим шагом будет обработка экспоненты в (15) ² :

5 + 225 — 2 +3

На данный момент нет никакого умножения или деления слева, поэтому мы можем пропустить справа шаги сложения и вычитания слева направо:

230 — 2 + 3

228 + 3 = 231

Теперь рассуждая в терминах алгебры, вот пример с использованием переменных:

3. Позитивно комфортно с отрицательными числами

Отрицательные числа похожи на числа, которые вы знаете и любите, но, в общем, отрицательные. Не позволяйте этому крошечному знаку минус перед вами сбить с толку.

Обязательно освоите основные операции с отрицательными числами. То есть сложение, вычитание, умножение и деление двух отрицательных чисел И положительного и отрицательного числа. Это будет очень полезно в будущем! (Ха… ха… понял… числовая строка…? Да, плохой каламбур. Знай свои негативы.)

Вот несколько примеров и правил, которые следует запомнить:

а. Если числа имеют одинаковый знак, сложите их и сохраните исходный знак.

-3-5 = -3 + (-5) = -8

г. Если числа имеют разные знаки, сложите их и сохраните знак «большего» числа или числа с наибольшим расстоянием от нуля.

-10 + 7 = -3

г. Отрицательный разделенный на отрицательный — положительный.

-4 ÷ -2 = 2

г. Отрицательный, умноженный на положительный, является отрицательным.

-15 x 3 = -45

4. Покажите свою работу

Многие студенты пытаются быстро решить задачи по алгебре. Но если вы потратите время на то, чтобы показать все свои шаги, это не только поможет вам оставаться организованным и избежать мелких ошибок, но вы даже можете получить частичную оценку за неправильный ответ, если ваш инструктор увидит, что вы были на правильном пути.

Мы знаем: чтобы записать все свои шаги, потребуется немного больше времени. Но одна маленькая ошибка в задаче по алгебре может в итоге привести к большой головной боли.

Вот пример того, что мы подразумеваем, показывая все ваши шаги:

5. Не позволяйте буквам пугать вас

На протяжении большей части своей ранней математической карьеры вы узнали, что математика — это все, что связано с числами. Но затем алгебра бросила вам x , y , а иногда даже z . Будьте уверены, они не так плохи, как выглядят! Эти буквы называются переменными , и они на самом деле тоже числа.

Да, сначала это может сбивать с толку, но становится лучше! Математики используют буквы в качестве переменных, обозначающих то, что они хотят найти.

Подумайте о простой задаче: «Сколько будет дважды три?» Часть «что» — это переменная. В этом нет необходимости, но мы могли бы написать такую ​​же задачу, как:

х = 2 х 3

где то «что» мы хотим решить.

Если проблема имеет более одной переменной, это означает, что есть еще кое-что, что нужно найти! В таких случаях не спешите. Найдите по одной переменной за раз.

6. Формулы — твои друзья

Думайте о формулах как о команде полезных помощников, особенно когда дело касается текстовых задач.В зависимости от вашего класса вам нужно будет запомнить и уметь использовать ряд формул.

Важно знать, что простое запоминание формулы не обязательно означает, что вы будете знать, что с ней делать! Обязательно знайте, что означает каждая переменная в формуле, чтобы вы могли расшифровать, какой номер какой переменной присвоен.

Вот некоторые из распространенных формул, которые вы увидите:

7. Обязательно ответьте на правильный вопрос

Не обводите свой ответ и не называйте его днем, пока вы дважды не проверите, что у вас есть то, о чем проблема.Вам может быть интересно, почему это вообще подсказка. Но это же обычная ошибка в алгебре!

Например, при выполнении некоторых задач может потребоваться определить размеры коробки, а вы нашли только длину. Тот факт, что у вас есть нижняя часть листа, не означает, что у вас есть ответ.

Перечитайте формулировку проблемы, просмотрите, что означают ваши переменные, и убедитесь, что вы получили то, о чем просили!

8. Проблемы производственной практики

Последний совет для учебы: решайте столько задач, что у вас устает рука.Это касается всех математических предметов, но особенно касается алгебры. Способ усовершенствовать свою способность решать проблемы — это практиковаться, практиковаться, практиковаться!

Вы слышали это раньше миллион раз, но мы повторим еще раз: практика ведет к совершенству! Так что внимательно выполняйте домашнюю работу и переделывайте примеры из своих заметок. Запишите все свои шаги, и если вы допустите небольшую ошибку, поймите, что пошло не так, чтобы вы могли знать об этом в следующий раз!

9. Учитесь на своих ошибках

Не бойтесь ошибаться! Они являются частью учебного процесса.Их делают даже опытные математики. Когда вы совершаете ошибку, ключ к успеху — научиться распознавать проблему, определять свою ошибку и затем исправлять ее. Вот где происходит настоящее обучение.

И, говоря об ошибках, в следующих нескольких советах мы рассмотрим некоторые понятия алгебры, которые обычно сбивают с толку студентов, чтобы вы сами смогли избежать этих ошибок.

10. Не делить на ноль

Вы не можете этого сделать. Вы никогда не сможете этого сделать.Так что не делай этого. Это одно из первых правил Священной книги математики: «Не дели тебя на ноль».

Когда вы действительно думаете о том, что значит делить, это правило имеет смысл.

Совершите короткую поездку с нами в начальную школу, где мы узнали, что деление — это вычисление того, сколько раз одно число содержится в другом. То есть, допустим, у нас есть 4 блока. Затем «4 разделить на 2» задается вопрос: «На сколько групп по 2 вы можете разделить 4 блока?» Таким же образом, «4 разделить на 0» спрашивает: «На сколько групп по 0 вы могли бы разделить 4 блока?»

Но 0 — это ничего.Группа 0 означает, что в группе нет блоков. Так как же разделить 4 блока на группы, в которые не может быть блоков? Мы этого не делаем. Мораль истории: не делить на 0.

11. Не забывайте скобки

Скобки важны, хотя могут показаться, что это не так. Очень важно .

Они много говорят вам о проблеме, например, что делать в первую очередь или что объединить.

Например, рассмотрим (-3) ² и -3 ²

(-3) ² говорит: возьмите все число в круглых скобках, -3, и умножьте его само на себя:

(-3) ² = -3x — 3 = 9

Но -3 ² без круглых скобок говорит, что возьмите число 3, умножьте его на само себя и поставьте перед ним отрицательный знак:

-3 ² = — (3 x 3) = -9

Как видите, мы получаем два разных ответа. Так что не забывайте следить за скобками! Не воспринимайте их важность как должное.

12. Следите за своим распределением

Вот одна из самых распространенных ошибок в алгебре:

Задача:

Развернуть (x + y) ²

Общее студенческое решение:

x ² + y ² => НЕПРАВИЛЬНО!

Если за пределами круглых скобок стоит показатель степени, а внутри скобок — вычитание или , ВЫ НЕ МОЖЕТЕ РАСПРЕДЕЛИТЬ ЭКСПОНЕНТ.

Действительно. Не делай этого.

Попробуйте подставить несколько чисел, чтобы убедиться в этом. Например:

(3 + 2) ²

Используя PEMDAS сверху, мы бы сначала добавили в скобках, чтобы получить:

5 ²

Затем обработайте экспоненту, чтобы получить 5 × 5 = 25.

Но использование ошибочного метода даст нам 3 ² + 2 ² = 9 + 4 = 13, неправильный ответ.

Математически (x + y) ² говорит: возьмите выражение (x + y) и умножьте его на себя, что требует использования метода FOIL. Когда вы это сделаете, вы получите x ² + 2xy + y ² , что не соответствует приведенному выше ответу.

13. Только коэффициенты отмены

Отмена может быть трудной для понимания концепцией, но запомнить это поможет:

Можно только отменить множитель числителя множителем знаменателя, если они точно такие же.

Очень важной частью этого предложения является слово , множитель . Чтобы отменить условия, они должны быть коэффициентами .Член является множителем , если умножается на все в выражении.

Вот небольшой пример.

В этом примере множители числителя, которые также являются множителями знаменателя, равны 3x и (x — 1). Отмена их оставляет нам все, что осталось:

Прежде чем двигаться дальше, обратите внимание еще на одну вещь. В приведенном выше рациональном выражении мы видим, что и в числителе, и в знаменателе стоит x. Однако перед тем, как отменить их, запомните правило: отменить можно только факторы!

Здесь, в числителе, прибавляется к 3 (, а не умножается), а в знаменателе — до 2 (, а не умножается). Таким образом, x не является фактором и поэтому не может быть отменен.

14. Не забывайте раздавать

Еще одна скорая вещь перед отъездом! Если перед круглыми скобками стоит x, внутри которых есть сложение или вычитание, то x необходимо умножить на КАЖДЫЙ член в круглых скобках. Если впереди стоит отрицательный знак, его нужно распределить таким же образом!

Например:

Обладая всей этой информацией, вы готовы заняться алгеброй! Мы считаем, что если вы будете придерживаться этих советов, вы добьетесь больших успехов в этом классе.Прежде всего, запомните: понимайте, а не запоминайте! А если вам нужна дополнительная помощь, наши репетиторы по алгебре Chegg всегда доступны 24/7!

Часто задаваемые вопросы

Принимаете ли вы заказы на покупку?

Да. С помощью заказа на поставку.

Как сохранить задание в виде файла PDF?

В Windows обновите программное обеспечение до последней версии, и вы увидите команду «Печать в PDF». в меню «Файл».

На Mac просто нажмите «Файл»> «Печать», затем нажмите кнопку «PDF» в левом нижнем углу на окончательной распечатке. окно.

Ваше программное обеспечение работает на Mac?

Да. В настоящее время мы поддерживаем macOS Sierra (10.12) и выше.

Согласовано ли ваше программное обеспечение с учебной программой Common Core?

Да, наши продукты охватывают большинство тем в Общих государственных стандартах.Для получения подробной информации вы можете посмотрите, какие стандарты поддерживаются каждым продуктом: бесконечная предалгебра, бесконечная алгебра 1, бесконечная геометрия и бесконечная алгебра 2.

Где информация о продлении лицензии на сайт?

Информацию о продлении можно найти, нажав на вкладку «Купить» выше, затем о продлениях.

Какие системные требования?

Полный список системных требований можно найти здесь.

Сколько стоит районная лицензия?

Округа могут приобрести лицензионную копию каждого продукта, который они хотят купить, для каждой школы, которую они хочу оборудовать. Таким образом, каждая школа получит только то программное обеспечение, которое они будут использовать. Например:

Приказ

для Центрального школьного округа

Северная средняя школа

Бесконечная предалгебра и алгебра 1

$ 620

Южная средняя школа

Бесконечная предалгебра и алгебра 1

$ 620

Восточная средняя школа

Бесконечная предалгебра, алгебра 1, геометрия

$ 880

Западная средняя школа

Бесконечная предалгебра, алгебра 1, геометрия, алгебра 2

$ 1,140

Что вы имеете в виду, что однопользовательская лицензия подходит для одного человека на двух компьютерах?

Однопользовательская лицензия позволяет одному человеку использовать программное обеспечение. Один человек может установить и активировать программное обеспечение на двух компьютерах одновременно. Чтобы активировать его на третьем компьютере, сначала отключите его от компьютер, на котором он активирован в данный момент (щелкните «Справка»> «Деактивировать»).

Можно ли установить программу на флешку?

Мы этого не рекомендуем.

Что значит он может создавать неограниченное количество вопросов?

Наше программное обеспечение генерирует вопросы на основе выбранных вами вариантов.Он не выбирает из список заранее написанных вопросов — это, вероятно, будет медленнее, займет намного больше памяти и не приведет к почти в максимально возможном количестве вопросов. Наше программное обеспечение случайным образом выбирает переменные и числа в вопрос, чтобы вопрос соответствовал выбранным вами вариантам.

Вот простой пример: вы выбрали одношаговые уравнения с номерами до 10. Для первого проблема, программа должна начать с выбора ответа (21 вариант: от -10 до +10), операции (4 возможности: +, -, ×, ÷) и другое число в операции (21 вариант: от -10 до +10).В программа затем вычислит значение по другую сторону от знака равенства и запишет задачу, красиво отформатировать:

Для этой установки существует 1764 теоретически возможных вопроса. Это не бесконечно, но много. В на самом деле количество вопросов, которые он мог бы задать, было бы немного меньше, потому что программа отсеивала бы плохие вопросы, такие как «0 x = 10» или « x ÷ 1 = 4».»Кроме того, для этого типа вопросов есть другие варианты, например, один для исключения проблем, например « x — (–4) = 10», поэтому он также может исключать эти.

Как видите, наша программа не может создать бесконечное число вопросов в строгом смысле слова.