Что значит разложить число на простые множители: 1. Что значит разложить число на простые множители? 2. существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые

Содержание

Разложение на простые множители

Простые и составные числа

Базовое понятие, с которым необходимо познакомиться, — это что такое простые и что такое составные числа. Простое число — это число, которое без остатка делится только на себя и на единицу. Составное число — это число, у которого есть делитель отличный от себя и единицы. Например, число — простое, а — составное, так как .

Запомните, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам! Понятие простое/составное применимо только для натуральных чисел, .

Теперь мы ввести понятие «разложить на простые множители». Это значит, представить число как произведение простых чисел. Делается это очень просто: мы представляем число как произведение хоть каких-нибудь множителей, а дальше каждый множитель «дробим» до тех пор, пока не получится произведение только из простых чисел. Кстати, для подбора хоть какого-нибудь делителя нам помогут признаки делимости.

К слову, существует теорема, которая называется основная теорема арифметики: У любого натурального числа большего , существует единственное разложение на простые множители. Это знание позволяет раскладывать нам число так, как нам удобно, не боясь получить разные разложения.

Запомните, у каждого числа всего одно разложение на простые множители!

Например:
Или:

Разложение на простые множители. Повышенный уровень

Немного сложнее дело обстоит с разложением на простые множители чисел типа или . Дело в том, что ни один признак делимости на небольшие числа не «выдаст» Вам, на что делится каждое из этих число, потому что они оба — произведение сравнительно крупных простых чисел: , а . Пытаясь найти, на что делится любое из этих чисел, нам ничего не остаётся, кроме как пробовать делить его на всё большие и большие простые множители. Однако, данный перебор может быть довольно долгим и утомительным. А если это число на самом деле

простое, и мы не найдём его делителя? Неужели перебирать необходимо до самого исследуемого числа?

Ответ — нет! Есть теорема, которая ограничивает данный перебор, правда она для тех, кто знает, что такое «квадратный корень»:
У любого составного числа есть делитель не превосходящий квадратного корня их этого числа.

Пользоваться ей очень просто:

  1. Определяем корень из исследуемого числа (желательно взять с небольшим перебором)
  2. Перебираем все простые числа до этого корня в качестве делителя исходного числа
  3. Если оно поделилось на кого-то, то вот оно — искомое разложение на множители (не обязательно простые)
  4. Если ни на кого не поделилось, то делаем вывод, что исходное число является простым.

Например, для числа корень можно оценить числом , то есть пробовать делить его необходимо только на простые числа до , среди которых мы наткнёмся на , на которое оно поделится.

В олимпиаде для поступающих в 5 класс физико-математического лицея само разложение на простые множители как задание не встречается (на год, во всяком случае). Однако знать, что это такое необходимо, так как это облегчит решение уравнений, которые обязательно встретятся.

Разложение натуральных чисел на простые множители

Тема урока

Разложение натуральных чисел на простые множители

Цели обучения, достигаемые на этом уроке (Ссылка на учебный план)

5. 1.2.7
раскладывать составные числа на простые множители;

Цель урока

  1. Умеют выполнять разложение составных чисел на простые множители.
  2. Знают способы разложения составных чисел.
  3. Умеют высказывать свое мнение.
  4. Умеют применять способы разложения составных чисел при решении задач

Критерии оценивания

Все учащиеся могут:

  • Определить простое число,
  • Определить составное число,
  • Определить четное и нечетное число,

Большинство учащихся могут:

  • Применять признаки делимости при разложении числа на простые множители

Некоторые учащиеся смогут:

  • Объяснять алгоритм разложения числа на простые множители

Языковые задачи

Учащиеся могут:
  • Объяснять смысл понятий: делимое, делитель, простое число, разложение, кратное, составное число, множитель, признак делимости.

Воспитание ценностей 

 

  1. Воспитание культуры поведения учащихся на уроке: умение внимательно слушать и выполнять задания.
  2. Воспитание аккуратности, трудолюбия, ответственности, самостоятельности, доброжелательности.
  3. Способствовать самореализации учащихся.
  4. Развитие математической грамотности.

Межпредметная связь

Информатика, биология

Предыдущие знания

Что знают ученики и что огни должны знать перед этим уроком?

  1. Делители и кратные натуральных чисел.
  2. Простые и составные числа.
  3. Признаки делимости на 2; 3; 5; 9; 10.
  4. Четные и нечетные числа.
  5. Степень. Основание степени. Показатель степени.

Ход урока

Запланированные этапы урока

Виды упражнений, запланированных на урок:

Ресурсы

Начало урока

1-й этап. » Нет «_»

Верите ли вы, что….

  1. простое число имеет только два делителя
  2. простых чисел бесконечно много
  3. число 1 является простым
  4. составное число имеет более двух делителей
  5. все нечетные числа являются простыми
  6. все четные числа являются составными
  7. существуют простые числа, произведение которых является простым числом
  8. число, следующее за простым числом, составное

Дескриптор: Обучающийся

  • указывает верные высказывания, связанные с определением простых
    чисел;
  • указывает верные высказывания, связанные с определением составных
    чисел.

После выполнения работы выполнить самопроверку

— Молодцы! Какое настроение? (Мордашки)

Слайд 2
с вопросами. Все они начинаются со слов «Верите ли вы, что…»
Слайд 3
Ответы на вопросы . Графический

3-ий этап.

Определение темы и цели урока через создание проблемной ситуации

5 минут

Ребята, я решила вас удивить, посмотрите на экран (ролик о клетках растений).
Что вы увидели на экране?
На уроках, по какому предмету вы встречались с клетками растений?

Мне хотелось бы, чтобы вы сегодня проверили, что числа, как и клетки растений с помощью некоторого действия превращаются во множество простых чисел.

Значит, тема нашего урока: «Разложение натурального числа на простые множители.» (учитель записывает на доске тему)

Что в формулировке темы вам знакомо? (натуральное число, простые множители).
А что осталось для вас загадкой? (разложение на простые множители).

Значит, как вы думаете какова цель нашего сегодняшнего урока? (научиться раскладывать натуральные числа на простые множители) (учитель записывает на доске цель)

 

Середина урока

а). Подготовительная работа.

3 мин

Класс делю на группы по жребию. В корзине могут находиться:
листочки разного цвета — команды красных, желтых, синих;
и каждой группе дается одно задание, но разные способы представления числа.

1.Число 90 разложите на множители всеми возможными способами:

  • На 2 множителя (для 1 группы)
  • На 3 множителя (для 2 группы)
  • На 4 множителя (для 3 группы)

 

б). Работа над новой темой

10 мин

2. Разложите число 210 на 2 множителя, отличных от единицы (ответы детей:

10=21*10=14*15=7*30=70*3=6*35=42*5=105*2;

учитель выбирает только один, на его примере дает объяснение нового материала)

210=21*10(на доске)

— На какие два множителя можно разложить числа 21 и 10?

210=3*7*2*5(на доске)

— Что можно сказать об этих множителях?

— Таким образом, число 210 разложено на простые множители.

— Вот вы и сами определили условие разложения на множители.

Слайд 4 (на слайде демонстрируется вывод).

— Сейчас разложите самостоятельно число 110 на простые множители любым способом.

— Проверим (дети рассказывают варианты разложения).

— Молодцы! Вы все раскладывали число 110 разными способами, но получили один и тот же результат.

— Какую закономерность вы заметили?

— Правильно! Записывают множители в порядке их возрастания, и произведение одинаковых множителей представляют в виде степени.

— Какое настроение у вас?

Слайд 5 (на слайде демонстрируется варианты разложения)

 

2 мин

Физкультминутка

1. Групповая работа:

Разложение чисел на простые множители. Класс разбивается на группы. Группа получает задание и выполняет его на отдельном листе. По окончании работы учитель выдает карточку с правильным решением, делают проверку и коррекцию решения, а затем прикрепляют свою работу магнитами к доске.

Разложите число на простые множители:

  1. 210;
  2. 425;
  3. 586.

Дескриптор: Обучающийся

— раскладывает число на простые множители.

Критерии формативного оценивания:

  • 3 правильных ответов – «Вы отлично поработали и усвоили тему»
  • 2 правильных ответов – «Вы хорошо усвоили тему»
  • 1 правильный ответ – «Вы не до конца разобрались с пройденной темой, еще раз вам обратиться к источнику и прочитать данную тему, снова прочитать, для того, чтобы лучше ее запомнить и применить на практике»

2. Индивидуальная работа с учащимися, не усвоившими тему.

Затем на слайде обобщается результат групповой работы

в). Организация деятельности учащихся по применению знаний в разнообразных ситуациях

15 мин.

3. Коллективная работа для уащихся

Задача

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа – простые делители числа 1950.

Попробуйте составить алгоритм такого разложения чисел.

Предлагается в группах выполнить следующую работу.

Каждая группа получает набор шагов алгоритма и лист бумаги.

Надо наклеить шаги в нужном порядке и расставить направляющие стрелки.

После групповой работы, вывешиваются алгоритмы на доске, обсуждаются и исправляются все недочёты и ошибки.

 

Конец урока

3 мин

Метод «ресторан» (Выяснить получить обратную связь от учеников от прошедшего урока.)
Учитель предлагает ученикам представить, что сегодняшний день они провели в ресторане и теперь директор ресторана просит их ответить на несколько вопросов:

  • Больше всего мне понравилось…
  • Я почти переварил…
  • Пожалуйста, добавьте…

Участники пишут свои ответы на карточки и приклеивают на лист флип-чарта, комментируя.
Для учителя этот этап очень важен, поскольку позволяет выяснить, что ребята усвоили хорошо, а на что необходимо обратить внимание на следующем уроке. Кроме того, обратная связь от учеников позволяет учителю скорректировать урок на будущее.
В завершении учитель резюмирует итоги урока, при необходимости дает задание на дом и напоследок говорит хорошие слова ребятам.

лист большого формата, фломастеры, скотч, цветные карточки

Дифференциация – каким способом вы хотите больше оказывать поддержку? Какие задания вы даете ученикам более способным по сравнению с другими?

Оценивание – как Вы планируете проверять уровень усвоения материала учащимися?

Охрана здоровья и соблюдение техники безопасности

Дифференциация может включать в себя разработку учебных материалов и ресурсов, принимая во внимание индивидуальные способности учащихся, отбор заданий, ожидаемые результаты, личную поддержку учеников, (по теории множественного интеллекта Гарднера).
Используя время эффективно, можно использовать дифференциацию на любой стадии урока.
Каждый ученик вовлечен в работу по мере свох способностей, что задания выполняются устно для учащихся воспринимающих материал на слух, показываются на доске для визуалов,в составлении постеров для учащихся работающих с рисунками, в групповой работе, в оказании индивидуальной поддержки учащемуся, в подборе учебного материала и ресурсов с учетом индивидуальных способностей учащихся и в дальнейшем, более способным ученикам давать задания в большем объеме или более сложные задания

формативное оценивание, дескрипторы, рефлексия после каждого этапа урока, обратная связь – опорная схема, рефлексия в конце урока.

Психологический настрой: настроить учащихся на дружескую, комфортную обстановкуво время урока.
Физминутка после умственной и письменной работы детям нужно движение, умственный отдых, поэтому необходимо отвлечь детей физминуткой.

Рефлексия по уроку
Была ли реальной и доступной цель урока или учебные цели?

Все ли учащиесы достигли цели обучения? Если ученики еще не достигли цели, как вы думаете, почему? Правильно проводилась дифференциация на уроке?

Эффективно ли использовали вы время во время этапов урока? Были ли отклонения от плана урока, и почему?

Цели урока были реалистичными, думаю,что все ученики достигнут целей урока и к концу урока смогут раскладывать натуральные чисела на простые множители;

Дифференциация на данном уроке была проведена верно.

По уровням знаний учащихся думаю провести на 2-м уроке, так как на нем будем решать более сложные примеры на разложение натуральных чисел на простые множители; поэтому на данном уроке проведенная дифференцация думаю достаточна.
Временные рамки в основном были выдержаны.

Итоговая оценка

Какие две вещи прошли действительно хорошо (принимайте в расчет, как преподавание, так и учение)?

1. На начало урока психолог. настрой, повторение пройденного материала по методу «Стадия вызова».
2.

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте, как о преподавании, так и об обучении)?

  • возможно самостоятельное прочтение учебного материала, так как многие ученики могли забыть пройденный материал
  • выявить проблемы или учеников, испытывающих трудности, и на ранних этапах оказать им помощь.

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учащихся, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

Есть ученики, которые медленно пишут и не успевают записать весь материал в тетрадях, необходимо обратить на это внимание, строго придерживаться временных рамок

Разложение чисел на простые множители

1. Разложение чисел ан простые множители

5 класс
МКОУ СОШ с. Н.Батако
Ученик 5 класса:
Хумаров Тамерлан

2. Цели урока

Рассмотреть алгоритм разложения на простые
множители числа;
повторить признаки делимости чисел
уметь применять их при разложении чисел на
простые множители.

3. Устно:

• Какие числа называют простыми?
• Какие числа называют составными?
• Назовите наименьшее простое число.
• Назовите несколько четных простых чисел
• Назовите число которое является общим
делителем всех чисел.
• Какое это число – простое или составное?

4. Вычислить устно:

14+56
:2
— 17
: 3
12: 4
+5
*7
+34
:5
40- 34
14
+6
:15
*3
*10
?
?
?

5. Мотивация :

Задача:
Нужно выделить участок земли прямоугольной формы
площадью 24 квадратных метров. Какими могут быть
размеры этого участка , если они должны выражаться
натуральными числами ?

6. Решение задачи:

1) 24 = 1 *24
2)24= 2 * 12
3) 24 = 3 * 8
4)24=4*6
Ответ :размеры участка могут
быть :
1 м и 24 м;
2 м и12м ;
3 м и 8 м;
4м и 6м
Решая задачу , мы число 24 представили в виде
произведения натуральных чисел
Говорят : 24 разложили на множители . Если в
разложении , например , числа 24= 2*12
составной множитель 12 представить в виде
произведения простых множителей 2 и 3 , то
тогда число 24 будет разложено на простые
множители : 24 = 2 * 12 = 2* 2 * 2*3.

8. Правило:

Разложить ( натуральное) число на простые
множители — значит , представить это число в
виде произведения
3276 = 2 * 2 * 3*3 * 7* 13
3276 2
1638 2
819 3
273 3
91
7
13
13
1
При разложении числа на простые множители произведение
одинаковых множителей представляют в виде степени :
3276 2
2
3
2
7 13

9. Разложение на простые множители

Всякое составное число может быть единственным образом
представлено в виде произведения простых множителей. Например,
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,
225 = 3 · 3 · 5 · 5, 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .
Для небольших чисел это разложение легко делается на основе
таблицы умножения. Для больших чисел рекомендуем пользоваться
следующим способом, который рассмотрим на конкретном примере.
Разложим на простые множители число 1463. Для этого
воспользуемся таблицей простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

10. Разложение на простые множители

Перебираем числа по этой таблице и останавливаемся на
том числе, которое является делителем данного числа. В
нашем примере это 7. Делим 1463 на 7 и получаем 209.
Теперь повторяем процесс перебора простых чисел для 209
и останавливаемся на числе 11, которое является его
делителем (см. параграф “Признаки делимости”). Делим
209 на 11 и получаем 19, которое в соответствии с этой же
таблицей является простым числом. Таким образом, имеем:
1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19, т.е. простыми делителями числа 1463
являются 7, 11 и 19.

11. Закрепление изученного

Устно:разложить
простые на множители:
16, 15, 20; 72 ;150; 25; 36

12.

Самостоятельная работа Разложить на простые множители
Вариант 1
Вариант 2.
1) 42
2) 220
3) 400
1) 54
2) 80
3)
250

13. Решение :

42=2 * 3 * 7
54 = 2*3*3*3
42 2
54 2
21 3
27 3
7
9 3
7
2 ) 220 = 2* 2*5*11
3 3
2) 80 = 2*2*2*2*5
3)400= 2*2*2*2*5*5
3)250 =2*5*5*5

14. Итог урока :

Вопросы :
а) существуют ли составные числа, которые нельзя разложить
на
простые множители ?
б) чем могут отличаться два разложения одного и
того же числа на простые множители?
в)Что значит разложить число на простые множители?
Домашнее задание : Дневник .ру

Простые и составные числа. Разложение на простейшие множители.

Давайте вспомним, как разложить число на простые множители, для этого нам надо разбить число на простые множители:

                                                                                         

Натуральное число, которое включает в себя более двух делителей, называется составным числом. Другими словами, составное число имеет более двух делителей. Все четные числа являются составными числами, кроме \(2\). Все числа, которые заканчиваются на пять, делятся на пять. Поэтому все числа, кратные 5 и больше пяти, являются составными числами. Натуральное число, которое имеет только два делителя, единицу и само себя, называется простым. Числа \(0\) и \(1\) не являются ни простыми, ни составными. Если любое целое число больше \(1\) не является простым числом, то это составное число. Ниже приведена таблица простых чисел.

 

Задача 1. Найдите наименьшие два простых числа, разность которых равна 40.

  1. возьмем число \(2:40+2=42-\) составное число;
  2. число \(3:40+3=43 -\)– простое число, нам подходит;
  3.  число \(5:40+5=45-\)составное число;
  4.  число \(7:40+7=47-\) простое число, нам подходит;
  5. \(43<47\)  поэтому какие числа мы бы не подбирали \(43\) будет наименьшим.

Ответ:  \(43\) и \(3\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

БГПУ им. М.Танка

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по химии для 7-10 классов. Тестируем уровень знаний и выявляем пробелы, для дальнейшего повышения уровня знаний. Решаем домашнее задание. Готовимся к урокам вместе. Химия — это интересно не только для меня, но и для вас.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Брянский государственный технический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по английскому языку 5-9 классов. Научу Вашего ребенка ПОНИМАТЬ английский язык. Благодаря моему обучению на Мальте, разработал свою методику преподавания. Со мной английский — это просто!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Удмуртский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по английскому языку 1-9 классов. Моя основная задача помочь Вам улучшить свои языковые навыки, приобрести уверенность в себе и избавиться от языкового барьера. В своей практике активно использую TPR (Total Physical Response – метод полного физического реагирования нацелен на восприятие языка через органы чувств),Lead-in, Eliciting(требует от учеников самим предоставлять нужные слова, конструкции и информацию, вместо того, чтобы получать ее от преподавателя).

Курсы ЕГЭ

  • — Индивидуальные занятия
  • — В любое удобное для вас время
  • — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Разложение на простые множители

Вы уже знаете, что в зависимости от того, сколько делителей имеет число, натуральные числа делятся на простые и составные. Не забудем про единицу, которая не является ни простым, ни составным числом.

Кроме того, любое составное число можно разложить на 2 множителя, каждый из которых больше одного.

Например

Таким образом, исходное число 60 представлено в виде произведения чисел 2, 3, 2 и 5.

Обратите внимание, что все эти числа простые. Говорят, число 60 разложили на простые множители.

При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей иногда представляют в виде степени.

Обратите внимание, получилось то же разложение, содержащие те же самые простые множители, просто в другом порядке.

Таким образом, любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Это утверждение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.

Другими словами, при любом способе разложения натурального числа на простые множители получается одно и то же произведение, если не учитывать порядка записи множителей.

Например

Разложим на простые множители число 390.

Таким образом, для разложения натурального числа на простые множители можно сначала разложить число в виде произведения множителей, а затем каждый составной множитель из них разложить на простые множители.

Существует и другой способ разложения натурального числа на простые множители.

Нужно записать число, которое необходимо представить в виде произведения простых чисел.

Например,

Разложение на множители закончено.

В этой теме есть ещё несколько важных правил.

Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения на простые множители.

Число делится лишь на те составные числа, разложения которых на простые множители полностью в нем содержится.

Например,

Задача

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа – простые делители числа 1950.

Кроме того, можно удобным способом находить произведение чисел с помощью разложения их на простые множители.

Задание

Найти произведение чисел 28 и 75.

Итоги

Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.

Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел, если не учитывать порядка записи множителей.

Простые непростые числа

А вот для чего. Ещё в древние времена при передаче важного сообщения приходилось считаться с тем, что пос­лание может быть перехвачено противником. Судьба государства часто зависела от умения зашифровывать информацию и расшифровывать «тайнописи» противника.

В современном мире стало ещё сложнее. На каждом шагу люди сталкиваются с проблемой защиты информации, будь то банковские операции, данные персональных компьютеров и т.д. Тут тоже применяется шифрование, в котором и играют главную роль наши простые числа.

Созданием и анализом методов шифрования занимается наука криптография. Существует огромное количество таких методов. Например, в 1976 году американские математики Уитфилд Диффи и Мартин Хеллман выдвинули концепцию асимметричной криптосистемы, при которой шифрование и дешифрование осуществляются с помощью двух различных ключей — открытого и закрытого (секретного). Буквально через год американцы Рональд Ривест, Ади Шамир и Леонард Адлеман разрабатывают асимметричную криптосистему RSA, названную по первым буквам фамилий её авторов (Rivest, Shamir, Adleman).

Слева направо: Ади Шамир, Рональд Линн Ривест, Леонард Макс Адлеман

В чём «хитрость» этой криптосистемы? Мы не будем углубляться в детали. Скажем лишь, что в основе ключа расшифровки лежит необходимость разложить очень большое число на два простых множителя.

Чтобы успешно вскрыть шифр, нужно уметь разложить числа на простые множители? Всего-то! Это может любой школьник!

Но хватит ли у вас терпения и времени разложить, например, число 1,409,305,684,859 на два простых множителя? Ответом будут простые числа 705,967 и 1,996,277. Чтобы их найти, придётся перебирать простые числа между числами 1 и 2,000,000, а их в этом списке немало — 148,933. Именно сложность обнаружения простых чисел стала причиной их широкого использования в криптографии.

Пример. Когда авторами криптосистемы RSA был объявлен конкурс на нахождение простых множителей числа, состоящего из 129 цифр, над проблемой работали около 600 математиков и 1600 добровольцев. В конце концов им удалось разложить это число на множители. Однако, чтобы взломать код из 1024 цифр, потребуется время, равное возрасту вселенной — 13,7 миллиарда лет, даже если над этим будут работать одновременно все компьютеры в мире.

Получается, что даже самые мощные компьютеры не в состоянии разложить очень большие числа на два простых множителя за разумное время, в то время как зашифрованная информация устаревает относительно быстро. И то, что сегодня было секретом, через год, а порой и через день, секретом уже не является. Благодаря этому, асимметричная криптосистема RSA получила повсеместное распространение, а потребность в новых простых числах для создания секретных кодов существует постоянно. А теперь давайте разбираться с простыми числами.

Простые и составные числа. Разложение числа на множители Методы разложения на множители

Каждое натуральное число, кроме единицы, имеет два или более делителей. Например, число 7, делится без остатка только на 1 и на 7, то есть имеет два делителя. А у числа 8, делители 1, 2, 4, 8, то есть аж 4 делителя сразу.

Чем отличаются простые и составные числа

Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Числа, которые имеют только два делителя: единица и само это число, называются простыми числами.

Число 1 имеет только один делить, а именно само это число. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

  • Например, число 7 простое, а число 8 составное.

Первые 10 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Число 2 единственное четное простое число, все остальные простые числа нечетные.

Число 78 составное, так как помимо 1 и самого себя, оно делится еще и на 2. При делении на 2 получим 39. То есть 78= 2*39. В таких случаях говорят, что число разложили на множители 2 и 39.

Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из которых больше 1. С простым числом такой фокус не прокатит. Такие дела.

Разложение числа на простые множители

Как уже отмечалось выше, любое составное число, можно разложить на два множителя. Возьмем, к примеру, число 210. Это число можно разложить на два множителя 21 и 10. Но числа 21 и 10 тоже составные, разложим и их на два множителя. Получим 10 = 2*5, 21=3*7. И в итоге число 210 разложилось уже на 4 множителя: 2,3,5,7. Эти числа уже простые и их разложить нельзя. То есть мы разложили число 210 на простые множители.

При разложении составных чисел на простые множители, их обычно, записывают в порядке возрастания.

Следует запомнить, что любое составное число можно разложить на простые множители и причем единственным образом, с точностью до перестановки.

  • Обычно, при разложении числа на простые множители пользуются признаками делимости.

Разложим число 378 на простые множители

Будем записывать числа, разделяя их вертикальной чертой. Число 378 делится на 2, так как оканчивается на 8. При делении получим число 189. Сумма цифр числа 189 делится на 3, значит и само число 189 делится на 3. В результате получим 63.

Число 63 тоже делится на 3, по признаку делимости. 3+x) . Чтобы посмотреть ход решения, нажимаем Show steps . Если необходимо получить результат в формате Word используйте этот сервис .

Примечание : число «пи» (π) записывается как pi ; корень квадратный как sqrt , например, sqrt(3) , тангенс tg записывается как tan . Для просмотра ответа см. раздел Alternative .

  1. Если задано простое выражение, например, 8*d+12*c*d , то выражение разложить на множители означает представить выражение в виде сомножителей. Для этого необходимо найти общие множители. Данное выражение запишем как: 4*d*(2+3*c) .
  2. Представить произведение в виде двух двучленов: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Здесь уже надо найти несколько общих сомножителей: x(x+7z) + 3y(x + 7z). Выносим (x+7z) и получаем: (x+7z)(x + 3y) .

см. также Деление многочленов уголком (показаны все шаги деления столбиком)

Полезным при изучении правил разложения на множители будут формулы сокращенного умножения , с помощью которых будет ясно, как раскрывать скобки с квадратом:

  1. (a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 +2ab+b 2
  2. (a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 -2ab+b 2
  3. (a+b)(a-b) = a 2 — b 2
  4. a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)
  5. a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)
  6. (a+b) 3 = (a+b)(a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
  7. (a-b) 3 = (a-b)(a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Методы разложения на множители

Изучив несколько приемов разложение на множители можно составить следующую классификацию решений:
  1. Использование формул сокращенного умножения.
  2. Поиск общего множителя.

Всё начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции по рядам (см. раздел 18.1. Основные определения ) мы доказали, что эта функция является суммой ряда , и ряд сходится к функции при
. Итак,


.

Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на —х , получим

при замене х на
получаем

и т.д.; область сходимости всех этих рядов одна и та же:
.

2.
.

Все производные этой функции в точке х =0 равны
, поэтому ряд имеет вид

.

Область сходимости этого ряда — вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда ), поэтому
при
. Как следствие, остаточный член формулы Тейлора
. Поэтому ряд сходится к
в любой точке х .

3.
.

Этот ряд абсолютно сходится при

, и его сумма действительно равна
. Остаточный член формулы Тейлора имеетвид
, где
или
— ограниченная функция, а
(это общий член предыдущего разложения).

4.
.

Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:

Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

5. Самостоятельно доказать, что на всей числовой оси , .

6.
.

Ряд для этой функции называется биномиальным рядом . Здесь мы будем вычислять производные.

…Ряд Маклорена имеет вид

Ищем интервал сходимости: , следовательно, интервал сходимости есть
. Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при
ряд абсолютно сходится в обеих точках
, при
ряд условно сходится в точке
и расходится в точке
, при
расходится в обеих точках.

7.
.

Здесь мы воспользуемся тем, что
. Так как , то, после почленного интегрирования,

Область сходимости этого ряда — полуинтервал
, сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х =1 — из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х =1 слева. Отметим, что взяв х =1, мы найдём сумму ряда .

8. Почленно интегрируя ряд , получим разложение для функции
. Выполнить все выкладки самостоятельно, выписать область сходимости.

9. Выпишем разложение функции
по формуле биномиального ряда с
: . Знаменатель
представлен как , двойной факториал
означает произведение всех натуральных чисел той же чётности, что и , не превосходящих . Разложение сходится к функции при
. Почленно интегрируя его от 0 до х , получим . Оказывается, что этот ряд сходится к функции на всём отрезке
; при х =1 получаем ещё одно красивое представление числа :
.

18.2.6.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням
, решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать. Рассмотрим ряд примеров.

1. Разложить функцию
по степеням
.

Решение. . Ряд сходится при
.

2. Разложить функцию
по степеням
.

Решение.
. Область сходимости:
.

3. Разложить функцию
по степеням
.

Решение. . Ряд сходится при
.

4. Разложить функцию
по степеням
.

Решение. . Ряд сходится при
.

5. Разложить функцию
по степеням
.

Решение. . Область сходимости
.

6. Разложить функцию
по степеням
.

Решение. Разложение в ряд простых рациональных дробей второго типа получается почленным дифференцированием соответствующих разложений дробей первого типа. В этом примере . Дальше почленным дифференцированием можно получить разложения функций
,
и т.д.

7. Разложить функцию
по степеням
.

Решение. Если рациональная дробь не является простой, она сначала представляется в виде суммы простых дробей:
, а затем действуем, как в примере 5: , где
.

Естественно, такой подход неприменим, например, для разложения функции по степеням х . Здесь, если надо получить несколько первых членов ряда Тейлора, проще всего найти значения в точке х =0 требуемого количества первых производных.

Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители — значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

  • В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой — самому этому числу.
  • Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
  • Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

Разложим число 150 на множители. Например, 150 — это 15 умножить на 10.

15 — это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3.

10 — это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.

Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 — это произведение чисел 5 и 30.

5 — число простое.

30 — это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3.

10 — число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.

Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей.

Принято записывать множители в порядке возрастания.

Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

Наименьшее простое число, на которое делится 216 — это 2.

Разделим 216 на 2. Получим 108.

Полученное число 108 делится на 2.

Выполним деление. Получим в результате 54.

Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2.

Выполнив деление, получим 27.

Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно

Не делится на 2. Следующее простое число — это 3.

Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое

Число, на которое делится 9, — это 3. Три — само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

  • Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
  • Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.

11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550.

В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11.

11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.

Результат деления a на b — это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел.

Итак, ответ: 30.

Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012.
  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. — Гимназия. 2006.
  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. — М.: Просвещение, 1989.
  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. — М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. — М.: ЗШ МИФИ, 2011.
  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. — М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
  1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
  2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

Домашнее задание

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. — М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
  2. Другие задания: № 133, № 144.

фактор | Определение, примеры и факты

множитель , в математике число или алгебраическое выражение, которое делит другое число или выражение нацело, то есть без остатка. Например, 3 и 6 являются делителями 12, потому что 12 ÷ 3 = точно 4, а 12 ÷ 6 = ровно 2. Другими делителями числа 12 являются 1, 2, 4 и 12. Положительное целое число, большее 1, или алгебраическое выражение, имеющее только два делителя (т. е. само себя и 1), называется простым числом; положительное целое число или алгебраическое выражение, которое имеет более двух делителей, называется составным.Простые множители числа или алгебраического выражения — это те множители, которые являются простыми. По основной теореме арифметики, за исключением порядка записи простых множителей, каждое целое число больше 1 может быть однозначно выражено как произведение своих простых множителей; например, 60 можно записать как произведение 2·2·3·5.

Методы факторизации больших целых чисел имеют большое значение в криптографии с открытым ключом, и от таких методов зависит безопасность (или ее отсутствие) данных, передаваемых через Интернет.Факторинг также является особенно важным шагом в решении многих алгебраических задач. Например, полиномиальное уравнение x 2 x — 2 = 0 можно разложить на множители как ( x — 2)( x + 1) = 0. Поскольку в области интегралов a · b = 0 подразумевает, что либо a = 0, либо b = 0, более простые уравнения x − 2 = 0 и x + 1 = 0 могут быть решены для получения двух решений x = 2 и x = −1 исходного уравнения.

Британская викторина

Дайте определение: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите ее принять: определите следующие математические термины до того, как истечет время.

Редакторы Британской энциклопедии Эта статья была недавно отредактирована и обновлена ​​Эриком Грегерсеном.

Факторинг в алгебре

Факторы

Числа имеют коэффициенты:

И выражения (например, x 2 +4x+3 ) также имеют множители:

Факторинг

Факторинг (называемый « Факторинг » в Великобритании) — это процесс нахождения факторов :

Факторинг: поиск того, что нужно перемножить, чтобы получить выражение.

Это похоже на «разбиение» выражения на произведение более простых выражений.

Пример: коэффициент 2y+6

И 2y, и 6 имеют общий делитель 2:

Итак, мы можем разложить все выражение на:

2у+6 = 2(у+3)

Таким образом, 2y+6 «учтено в» 2 и y+3

Факторинг также противоположен расширению:

Общий коэффициент

В предыдущем примере мы видели, что 2y и 6 имеют общий делитель 2

Но для правильной работы нам нужен наибольший общий делитель , включая любые переменные

Пример: коэффициент 3y

2 +12y

Во-первых, 3 и 12 имеют общий делитель 3.

Таким образом, мы могли бы иметь:

2 +12г = 3(г 2 +4г)

Но мы можем лучше!

3y 2 и 12y также имеют общую переменную y.

Вместе это составляет 3 года:

  • 3 года 2 равно 3 года × у
  • 12 лет — это 3 года × 4

 

Итак, мы можем разложить все выражение на:

3 года 2 +12 лет = 3 года(у+4)

 

Проверить: 3y(y+4) = 3y × y + 3y × 4 = 3y 2 +12y

Более сложный факторинг

Факторинг может быть сложным!

До сих пор примеры были простыми, но факторизация может быть очень сложной.

Потому что мы должны вычислить , что было умножено на , чтобы получить выражение, которое мы получили!

 


Это все равно, что пытаться выяснить, какие ингредиенты
вошли в торт, чтобы сделать его таким вкусным.
Это может быть трудно понять!

Опыт помогает

Чем больше опыта, тем проще факторинг.

Пример: Коэффициент

4x 2 − 9

Хммм… вроде бы нет общих факторов.

Но знание специальных биномиальных произведений дает нам подсказку, называемую «разностью квадратов» :

.

Потому что 4x 2 равно (2x) 2 , а 9 равно (3) 2 ,

Итак, имеем:

4x 2 − 9 = (2x) 2 − (3) 2

А что можно получить по формуле разности квадратов:

(а+б)(а-б) = а 2 — б 2

Где a равно 2x, а b равно 3.

Давайте попробуем сделать так:

(2x+3)(2x−3) = (2x) 2 − (3) 2 = 4x 2 − 9

Да!

 

Таким образом, множители 4x 2 − 9 равны (2x+3) и (2x−3) :

.

Ответ: 4x 2 − 9 = (2x+3)(2x−3)

Как этому научиться? Получив много практики и зная «Идентичности»!

 

Запомнить эти личности

Вот список общих «Идентификаций» (включая «разность квадратов» , использованную выше).

Их стоит запомнить, так как они могут упростить факторинг.

а 2 − б 2  =  (а+б)(а-б)
а 2 + 2аб + б 2  =  (а+б)(а+б)
а 2 − 2аб + б 2  =  (а-б)(а-б)
а 3 + б 3  =  (а+б)(а 2 −аб+б 2 )
а 3 − б 3  =  (а-б)(а 2 +аб+б 2 )
а 3 +3а 2 б+3аб 2 3  =  (а+б) 3
а 3 −3a 2 b+3ab 2 −b 3  =  (а-б) 3

Таких много, но эти самые полезные.

Совет

Обычно лучше использовать факторизованную форму.

При попытке факторинга выполните следующие действия:

  • «Вынести за скобки» любые общие термины
  • Посмотрите, подходит ли оно к какой-либо из идентификаций, а также к тому, что вы знаете
  • Продолжайте до тех пор, пока не перестанете множить

Существуют также системы компьютерной алгебры (называемые «CAS»), такие как Axiom, Derive, Macsyma, Maple, Mathematica, MuPAD, Reduce и многие другие, которые хорошо подходят для факторинга.

Дополнительные примеры

Опыт помогает, поэтому вот еще несколько примеров, которые помогут вам на этом пути:

Пример: w

4 − 16

Показатель степени 4? Может быть, мы могли бы попробовать показатель степени 2:

ш 4 — 16 = (ш 2 ) 2 — 4 2

Да, это разность квадратов

w 4 − 16 = (w 2 + 4)(w 2 − 4)

И «(w 2 − 4)» это еще одна разность квадратов

w 4 − 16 = (w 2 + 4)(w + 2)(w − 2)

Это все, что я могу сделать (если я не использую мнимые числа)

Пример: 3u

4 − 24uv 3

Удалить общий делитель «3u»:

3u 4 − 24uv 3 = 3u(u 3 − 8v 3 )

Тогда разница кубов:

3u 4 − 24uv 3 = 3u(u 3 − (2v) 3 )

= 3u(u−2v)(u 2 +2uv+4v 2 )

Это все, что я могу сделать.

Пример: z

3 − z 2 − 9z + 9

Попробуйте разложить первые два и вторые два отдельно:

z 2 (z−1) − 9(z−1)

Ничего себе, (z-1) есть на обоих, так что давайте использовать это:

(z 2 −9)(z−1)

А z 2 −9 есть разность квадратов

(г-3)(г+3)(г-1)

Это все, что я могу сделать.

Теперь получите больше опыта:

Факторизация: что это такое и как это делается?

В посте этой недели мы рассмотрим факторизацию.Что это? Почему мы это используем? Как это делается? Вот некоторые из вопросов, на которые мы ответим в этом посте.

Что такое факторизация?

Делители числа — это числа, которые без остатка делятся на другое число. Факторизация записывает число как произведение меньших чисел.

Например, разложим число 12 на множители:

12 = 6 х 2 или

12 = 3 х 4 или

12 = 2 х 2 х 3

Почему мы используем факторизацию?

Его можно использовать для многих целей, например, для выполнения арифметических операций.

Например, 15 x 8
Фактор 15 и 8:

15 = 3 х 5

8= 2 х 4

Теперь сгруппируем множители так, чтобы нам было легче умножать.

(2 х 5) х (3 х 4) = 10 х 12 = 120

Другой способ использования факторизации состоит в том, чтобы найти наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Но для этого факторизация должна быть сделана с использованием простых чисел. Это называется простой факторизацией .

Как найти простую факторизацию числа?

Наиболее распространенным способом является деление числа на его простые делители до тех пор, пока не останется только число 1.

Например, давайте завершим разложение числа 24 на простые множители.

Число, которое будет факторизовано, помещается в верхнюю левую часть вертикальной линии.

Теперь мы ищем простой делитель 24. Поскольку 24 — четное число, мы знаем, что 2 — делитель 24. Поэтому мы пишем 2 рядом с 24, но с другой стороны вертикальной линии, как показано на рис. следующее изображение:

Теперь делим 24 на 2. Получится 12, и пишем его ниже 24.

(Помните, что остаток от деления всегда должен быть равен нулю).

Теперь нам нужно найти простой делитель числа 12. Это также четное число, поэтому мы знаем, что 2 является делителем 12. Мы пишем 2 через строку от 12.


Делим 12 на 2 и получаем 6. Пишем под 12.

Мы ищем простой делитель 6, и снова он равен 2. Запишем его справа.

Делим 6 на 2 и получаем 3.Результат написан ниже 6.

Теперь мы ищем простой делитель числа 3. Поскольку 3 — простое число, его единственный простой делитель — это он сам.

Разделим 3 на 3 и получим 1. Результат запишем ниже 3 и закончим разложение числа 24 на простые множители.

Простые делители числа 24 находятся справа от вертикальной линии.

24 = 2 х 2 х 2 х 3

Помните, что в Smartick вы можете научиться использовать факторизацию и все предметы математики для детей от 4 до 14 лет. Зарегистрируйтесь сейчас для бесплатной пробной версии.

Узнать больше:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики
  • 15 минут веселья в день
  • Адаптируется к уровню вашего ребенка
  • Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Правило 9: Факторинг целых чисел

Правило 9: Факторинг целых чисел

Чтобы разложить целое число на множители, просто разбейте целое число на группу числа, произведение которых равно исходному числу. Факторы разделенные знаками умножения. Обратите внимание, что цифра 1 является множитель каждого числа. Все делители числа можно разделить поровну в это число.

Пример 1: Фактор числа 3.

Ответ:

Поскольку 3 x 1 = 3, делители 3 равны 3 и 1.

Пример 2: Фактор числа 10.

Ответ:

Поскольку 10 можно записать как 5 x 2 x 1, делители 10 равны 10, 5, 2 и 1. Число 10 можно разделить на 10, 5, 2 и 1.

Пример 3: Фактор числа 18.

Ответ:

Число 18 можно записать как 18 х 1, или 9 х 2, или 6 х 3, или 3 х 3 х 2. Так как 18 можно разделить на 18, 9, 6, 3, 2 и 1, то 18, 9, 6, 3, 2, и 1 являются множителями 18.

Пример 4: Фактор числа 24.

Ответ:

Число 24 можно записать как 24 х 1, или 12 х 2, или 8 х 3, или 4. х 6 или 2 х 2 х 2 х 3. Поскольку 24 можно разделить на 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2 и 1, тогда 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2 и 1 — это множители 24.

Пример 5: Разложите число на 105.

Ответ:

Число 105 может быть записывается как 105 х 1, или 21 х 5, или 3 х 7 х 5, или 15 х 7, или 35 х 3. Так как 105 можно разделить на 105, 35, 21, 15, 7, 5, 3 и 1, тогда 105, 35, 21, 15, 7, 5, 3 и 1 являются множителями из 105.

Пример 6: Полностью разложите число 1200 на множители.

Ответ:

Эта инструкция означает разложение 1200 на набор простых множителей (факторов, которые нельзя снова разложить на множители). Число 1200 может быть записано как 1200 x 1 или 100 x 12. Обратите внимание, что 100 снова может быть разложить на множители до 10 х 10, а 12 можно разложить до 6 х 2.Итак, теперь вы имеем 1200 = 100 х 12 = 10 х 10 х 6 х 2. Этот факторизованный набор снова может разложить на (2 х 5) х (2 х 5) х (2 х 3) х 2 х 1. Число 1200 полностью разлагается как 5 x 5 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1.

Решите следующие задачи и нажмите «Ответить», чтобы проверить Результаты.

Проблема 1: Фактор 15 полностью.

Ответить

Проблема 2: Фактор 300 полностью.

Ответить

Проблема 3: Фактор 4000 полностью.

Ответить

Задача 4: Фактор -3 полностью.

Ответить

Задача 5: Является ли 3 коэффициентом 10? Почему?

Ответить

Задача 6: Является ли 7 коэффициентом 21? Почему?

Ответить

Задача 7: Является ли 4 коэффициентом 87? Почему?

Ответить

Меню Назад к простым дробям [Идентификация] [Факторизация целых чисел] [Сокращение дробей] [Умножение] [Разделение] [Строительные фракции] [Добавление] [Вычитание] [Порядок работы] С.Домашняя страница OS MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус
Пт, 30 августа, 17:09:13 MDT 1996
Copyright 1999-2022 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Свяжитесь с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
пользователей онлайн за последний час

Факторизация простых чисел и уникальная теорема факторизации

Что такое факторизация простых чисел?

Факторизация означает, что вы разбиваете число на его множители. Чтобы выполнить Prime Factorization, после того, как вы разобьёте число на множители, вы разложите множители на множители, затем разложите множители множителей на множители, и так далее, и так далее, пока у вас не останутся только простые числа. Суть простых чисел в том, что их нельзя разбить на более мелкие множители. Таким образом, первичная факторизация означает, что вы разбили число настолько, насколько это возможно.

Факторизация грубых простых чисел Пример:

Иногда самый простой способ объяснить что-то начинается с примера.Возьмем число и разобьем его на составляющие. Как насчет номера со специальным именем? Возьмем брутто. Как разложить 144?

Хотите верьте, хотите нет, но «гросс» означает 144. (Нет, извините, мы не будем приводить математический пример с козявками.)

Ну, гросс особенный, потому что это дюжина раз дюжина. («Дюжина» — это еще одно число со специальным названием — дюжина означает 12.) Таким образом, 144 можно разделить на 12, умноженные на 12. Но 12 — составное число. Называть число «составным» просто означает, что мы можем разложить его на множители.В любом случае, 12 — это 6 умножить на 2. Таким образом, мы можем заменить одну из наших десятков на 6 умножить на 2, потому что это одно и то же. Теперь у нас есть 12 х (6 х 2).

Но подождите! Так как 3 умножить на 2 равно 6, мы можем заменить 6 на 3 умножить на 2. Теперь мы умножили наш брутто на 12 х ((3 х 2) х 2).

Почему? Потому что нам это нравится.

Но это еще не все — первые 12 еще можно разложить на множители. Двенадцать — это не только 6 х 2, но и 4 х 3. Так что мы можем заменить первые 12 на 4 х 3. Зачем использовать 4 х 3 вместо 6 х 2? Потому что нам это нравится.Ждать! Можешь ли ты сделать это по математике? Да, мы можем, и мы поговорим об этом позже. Кстати, у математиков есть специальное слово, обозначающее, когда можно что-то сделать только потому, что вам так хочется: они говорят, что это « Произвольное ».

Теперь мы говорим, что 144 равно (4 x 3) x (3 x 2) x 2. Осталось одно составное число: 4 равно 2, умноженному на 2. Разложение на множители дает нам ((2 x 2) x 3)  x (( 3 х 2) х 2). Это все простые числа, поэтому мы нашли простую факторизацию. Однако, поскольку не имеет значения, в каком порядке вы умножаете числа, мы можем избавиться от скобок и изменить порядок.Давайте переместим все двойки так, чтобы они были вместе, а все тройки вместе. Простая факторизация числа 144 равна 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3.

Какое отношение к этому имеет теорема об уникальной факторизации?

Некоторые вопросы имеют только один ответ. Некоторые вопросы имеют более одного правильного ответа. Вы заметили, что в приведенном выше примере было много вариантов действий? (Мы только что обратили внимание на один из таких произвольных вариантов.) Когда вы факторизуете число с множеством множителей, кажется, что это вопрос с множеством ответов, но Уникальная теорема факторизации говорит, что это не так.Несмотря на то, что существует множество способов разложения простых чисел, теорема гласит, что независимо от того, какой произвольный выбор вы сделаете, в конце вы получите один и тот же ответ.

Что такое Уникальная теорема факторизации?

  • Каждое целое число больше единицы является произведением уникального списка простых чисел (или самого себя, если — это простое число).
  • Список факторов может содержать одно и то же простое число более одного раза.
  • Если вы измените порядок номеров в списке, он все равно будет считаться одним и тем же списком.
  • Уникальный означает, что существует только один возможный список множителей простых чисел для любого исходного числа.

Что означает теорема об уникальной факторизации для простой факторизации?

По своей сути простая факторизация означает разбиение числа на список всех его простых множителей. Теорема об уникальной факторизации гласит, что независимо от того, как вы выполняете простую факторизацию (а для некоторых чисел есть лотов и правильных способов сделать это), вы в конечном итоге получите один и тот же правильный ответ.

Как запомнить теорему об уникальной факторизации

Все это может иметь смысл, но кажется немного сложным для запоминания. Что нам сейчас нужно, так это способ облегчить запоминание. Простой способ визуализации и запоминания теоремы – представить список простых множителей как рецепт числа . Существует только один рецепт для любого заданного числа.

Каждое число имеет уникальный рецепт.

Умножение и сложение

Иногда учащиеся могут немного запутаться на этом этапе между умножением и сложением.Вне контекста это кажется глупым, но на то есть веская причина. Что происходит, так это то, что мы успешно принимаем в нашем уме правильный образ разбиения числа на части, но разбиение может быть сделано либо в смысле сложения, либо в смысле умножения. Избегайте этой ловушки, сосредотачиваясь на слове факторизация как в Prime Factorization , так и в Уникальной теореме Factorization . Факторизация означает умножение. Причина этого связана с тем фактом, что если вы разбиваете число путем сложения, вы всегда можете разбить его на более мелкие части, пока не останется скучная куча единиц. В случае с умножением интересным становится тот факт, что одни числа простые, а другие составные.

Уникальная теорема о факторизации и основная теорема арифметики

Уникальная теорема о факторизации — это просто другое название основной теоремы арифметики. На самом деле, «Теорема уникальной факторизации», вероятно, является более подходящим названием, потому что оно напоминает всем о том, что в ней говорится. В конце концов, «арифметика» может относиться к сложению, тогда как слово «факторизация» помогает людям не забывать, что теорема относится только к умножению простых множителей.

Почему простая факторизация числа иногда записывается с показателями степени?

Это просто облегчает чтение. Например, «рецепт» факторизации для брутто (144) состоит из четырех двоек и двух троек. Поскольку все эти факторы перемножаются, мы можем записать это как 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3. Ваши глаза могут потеряться, увидев, сколько двоек. Поскольку показатель степени показывает, что число умножается само на себя определенное количество раз, его можно записать как 2 4 x 3 2 , что действительно ясно показывает, сколько двоек и сколько троек.

  1. Найдите любое число, которое является множителем. Если число достаточно мало, чтобы попасть в таблицу умножения 10 на 10, ваш разум, вероятно, просто увидит фактор. В противном случае вы можете систематически пробовать числа или даже просто надеяться на удачную догадку.
  2. Разделите число на коэффициент, который вы нашли, чтобы получить другой коэффициент. Составьте список всех найденных факторов.
  3. Если какой-либо из множителей является составным, его также необходимо разбить на простые множители (см. шаг 1).
  4. Как только каждый фактор, и фактор фактора, и фактор фактора фактора, и так далее, является простым числом, простая факторизация завершена.
  5. Может быть хорошей идеей перемножить все факторы вместе, чтобы убедиться, что не было допущено ошибок. Если все верно, произведение всех простых чисел должно дать исходное число.

Трудная часть — начало работы

Шаг 1 может быть трудным. Есть несколько маленьких хитростей, например: если число четное, то 2 — это множитель; если последняя цифра 5, то 5 — множитель; и если последняя цифра «0», то 10 является множителем. Если число действительно велико и нет очевидных уловок, может потребоваться много проб и ошибок, чтобы найти фактор.Имея список простых чисел и просто пытаясь разделить на простые числа, можно сэкономить время в таком случае. Поскольку увидеть множители чисел может быть сложно, и это очень важно для многих математических задач, мы создали игру, которая поможет вам научиться разлагать на множители и распознавать простые числа.

Интересная часть — рекурсия

Шаг 3 интересен. Основная проблема разбита на подзадачи, которые решаются так же, как и основная проблема. Этот метод решения проблем распространен в информатике, где он известен как рекурсивный алгоритм .

Использование дерева факторов

Если отслеживание всех факторов усложняется, мы иногда делаем нечто вроде рисунка, называемого деревом факторов. В дополнение к организации факторов, это позволяет нам избежать повторного копирования всех известных факторов каждый раз, когда нам нужно разбить составной фактор.

Еще одна замечательная особенность деревьев факторов заключается в том, что они могут дать очень четкое представление о Фундаментальной теореме арифметики. В следующем примере показаны два разных дерева факторов из 144.Хотя оно разбивается на множители по-разному, после того, как оно полностью сведено к простым множителям, обнаруживаются одни и те же простые числа — четыре двойки и две тройки.

Компьютеры могут помочь решить действительно сложные случаи

В сложных случаях компьютерные программы могут найти разложение числа на простые множители, используя в основном тот же метод, что и человек, хотя иногда несколько иные приемы ускоряют его. Для действительно больших чисел даже самые быстрые и мощные компьютеры не могут найти простые факторизации!

Вот пример программы на C, которая может решать уникальные задачи факторизации.

Программа, написанная на языке C, для нахождения разложения чисел на простые множители

Следующая тема: Наименьшие общие знаменатели (LCD):

Об этой странице помощи Bubbly Primes Math Help

Факторы числа 48 — определение и простая факторизация

числа являются произведением таких чисел, которые полностью делят данное число. Факторы данного числа могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Умножая множители числа, мы получаем любое заданное число.Возьмем, к примеру, 1, 2, 3, 6 — множители 6. При умножении двух или более чисел мы получаем 6. Следовательно, мы имеем 2 x 3 = 6 или 1 x 6 = 6. На этом занятии мы изучим множители. 36 определений, как найти факторы 36 и примеры. Давайте обсудим множители числа 48.

Что такое множители?

Коэффициенты можно определить как числа, которые вы умножаете, чтобы получить другое число. Есть много чисел, которые имеют более одной факторизации (это означает, что они могут быть факторизованы более чем одним способом).Например, число 12 можно разложить как 1×12, 2×6 или 3×4. Вот что такое простой множитель!Число, которое можно разложить на множители только в 1 раз, известно как простое число.Множители 48 ОпределениеМножители числа определяются как числа, которые при умножении дают исходное число, два фактора мы получаем результат как исходное число. Делители любого числа могут быть как положительными, так и отрицательными целыми числами. Делители 48 — это все целые числа, на которые можно без остатка разделить данное число 48.Теперь давайте найдем все делители числа 48.

Как найти делители числа 48 (простая факторизация числа 48)?

Согласно определению делителей числа 48 мы знаем, что все делители числа 48 — это все положительные или отрицательные целые числа, которые полностью делят число 48. Итак, давайте просто разделим число 48 на каждое число, которое полностью делит 48 в порядке возрастания до 48.

48 ÷ 6 = 8

48 ÷ 8 = 6 7 48 ÷ 8 = 6

48 ÷ 12 = 4

48 ÷ 16 = 3

48 ÷ 24 = 2

48 ÷ 48 = 1

Так что факторы 48-1 , 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48

Мы знаем, что множители также включают отрицательные целые числа, поэтому мы также можем иметь список отрицательных множителей 48: -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -16, -24 и -48.

Какие множители числа 48 (простая факторизация числа 48)? 1 x 48 = 48, 2 x 24 = 48, 3 x 16 = 48, 4 x 12 = 48, 6 x 8 = 48. Можно перечислить множители числа 48 следующее. Положительный 

Коэффициенты 48 

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48

Отрицательный Коэффициенты 48-1,-2,-3,-4,-6,-8 ,-12,-16,-24 и -48

Следовательно, число 48 имеет всего 10 положительных и 10 отрицательных факторов.

Парные множители 48 (простая факторизация 48)

Давайте узнаем парные множители 48.

Пары факторов по 48 представляют собой комбинации двух факторов, которые при умножении вместе дают 48.

Список всех пар положительных факторов по 48

4 x 12 = 48

6 x 8 = 48

8 x 6 = 48

12x 4 = 48

16 x 3 = 48

24 x 2 = 48

48 x 1 = 48

Как мы знаем, что все множители числа 48 также включают отрицательные целые числа. Список всех пар отрицательных факторов из 48:

-1 x -48 = 48

-2 x -24 = 48

-3 x -16 = 48

-4 x -12 = 48

-6 х- 8 = 48

-8 х- 6 = 48

-12х- 4 = 48

-16 х- 3 = 48

-24 х- 2 = 48

-48 х -1 = 08 08

Коэффициенты 48

Чтобы определить множитель 48, мы сначала должны проверить, является ли это число простым или составным.Число 48 получается составным числом, так как оно имеет более двух делителей (само 1 и 48). Следовательно, теперь мы должны найти все его множители, которые равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48. Если вы проверите, то увидите, что число 48 делится на все эти числа.

Примеры нахождения делителей других чисел

Решение: число 20 делится на 1, 2, 4, 5, 10 и 20. Таким образом, эти шесть чисел являются его делителями

Решение: мы видим, что число 36 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36. Следовательно, все эти числа являются делителями 36.

Что такое простая факторизация?

Когда вы выражаете число через произведение его простых множителей, это называется простой факторизацией. Например, если мы снова возьмем пример числа 48 и представим его как 2×2×2×2×3, то это произведение его простых множителей (2 и 3) можно назвать его простой факторизацией. Теперь давайте решим несколько примеров, чтобы вы могли их полностью понять.

Решение: 30 с точки зрения простой факторизации можно записать как 2×3×5.Здесь мы видим, что простые делители числа 30 равны 2, 3 и 5.

Решение: разложение числа 72 на простые множители равно 2×2×2×3×3, где 2 и 3 являются простыми делителями числа 72. 72.

Решение: Число 130 можно записать как 2×5×13, что будет его простой факторизацией. Здесь числа 2, 5 и 13 являются простыми делителями числа 130. 

Итак, речь шла о факторах числа 48, его простой факторизации и т.  д. Мы предоставили достаточно примеров, чтобы вы могли понять эту тему.Если вы все еще не можете понять эту тему, вы можете обратиться к онлайн-видео-лекциям по математике или книгам по математике NCERT, которые помогут вам правильно понять это. Вы можете найти оба этих ресурса на веб-сайте Vedantu или в приложении Vedantu.

Факторизация числа 48

Согласно определению простого множителя мы знаем, что простой множитель числа является произведением всех простых множителей (число, которое делится само на себя и только на единицу). Следовательно, мы можем перечислить простые множители из списка множителей 48.Или другой способ найти простую факторизацию числа 48 — это простая факторизация или факторное дерево. Мы знаем все делители числа 48, поэтому сумма всех делителей числа 48 равна –Простые делители -1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48

Следовательно, сумма всех делителей числа 48 равно 124. Простой множитель любого простого числа:Например, давайте найдем простой множитель 41:Чтобы упростить задачу, мы можем найти квадратный корень данного числа. Предположим, что 41 не является простым числом, тогда это число будет делиться хотя бы на одно простое число, которое меньше или равно квадратному корню из числа √41 ≈ 6.4. Теперь перечислите все простые числа, меньшие 6, т.е. 2, 3 и 5, и, поскольку 41 нельзя разделить без остатка на 2, 3 или 5, мы можем заключить, что 41 — простое число. Таким образом, простых множителей числа 41 нет.

Решенные примеры

Пример 1. Запишите множители числа 48.

Решение) 48 ÷ 1 = 48

48 ÷ 2 = 24

48 ÷ 3 = 15

48 ÷ 4 = 12

48 ÷ 6 = 8

48 ÷ 80005

48 ÷ 8 = 6

48 ÷ 12 = 4

48 ÷ 16 ÷ 240005

48 ÷ 24 = 2

48 ÷ 48 = 1

Следовательно делители числа 16 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48.

Пример 2: Запишите множители числа 68.

Решение: 68 ÷ 1 = 68

68 ÷ 2 = 34

68 ÷ 4 = 17

68 ÷ 5 = 4 0 0 0 8 ÷ 2973

3

5 9

68 ÷ 68 = 1

Таким образом, коэффициенты 16 равны 1, 2, 4, 17, 34 и 68.

Шлюз

Veuillez réessayer данс quelques мгновения. Si le problème сохраняется, veuillez communiquer avec le service de soutien method de Alberta Education (доступно на английском языке).

Телефон : 780-427-5318
(Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
Телекопьер: 780-427-1179
Курьерский адрес: [email protected]

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск