Диагональ трапеции делит среднюю линию трапеции: Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки 4 и 9 см. Найдите основания трапеции

Содержание

Геометрия В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию

Задача: в равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию на отрезки 6 и 12 см, Найдите площадь трапеции.

Дано: 

АВСД — трапеция
ЕФ — средняя линия
ЕФ1=12
ФФ1=6
угол 1 = углу 2
Найти S

Решение:

Угол 1 = углу 3 (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД).

Так как угол 3 = углу 2, то ΔВСД — равнобедренный и ВС=СД=АВ.
ЕФ1 — средняя линия треугольника АВД ⇒ АД по свойству средней линии треугольника рана 2×12=24.
ФФ1 — средняя линия треугольника ВСД ⇒ ВС=2×6=12.
Значит, СД и АВ равны 12.

Найдем АН.
ВС=НК=12.
АН+КД=24-12=12.
Так как трапеция равнобедренная, то АН=КД=12/2=6.
Рассмотрим ΔАВН — прямоугольный.

По теореме Пифагора ВН=


Площадь трапеции — это средняя линя (которая равна 12+6=18) × высоту
S=18 * √108 = 108√3

   

Похожая задача:

В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 и 12. Найдите периметр трапеции.

Часть решения: P=a b 2c Средняя линия = полусумме оснований => сумма оснований = (6 12)*2=36 a b=36 Теперь нужно найти 2c — равные боковые стороны трапеции.

Если диагональ трапеции еще и биссектриса, то она отсекает от трапеции равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны одному из оснований.
Почему — ясно из свойства углов, образующихся при пересечении параллельных прямых секущей.
Действительно, угол ВСА равен углу САД. Но АС биссектриса, и потому угол ВАС=углу САД, отсюда и угол ВСА равен углу ВАС.
Итак, треугольник АВС — равнобедренный.
Отрезок МО=6, и, т.к. это часть средней линии трапеции, он является средней линией треугольника АВС.
ВС=2 МО=12
АД=2 ОК=24 — на том же основании.
А так как АВ=ВС=СД, то боковые стороны трапеции равны по 12 см. Периметр найдем сложением длин сторон:
Р=2*12 12 24=60

   

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится — мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Трапеция. Свойства, признаки, площадь. Средняя линия трапеции

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме оснований:

Как видим, теория очень проста. А задачи, в которых применяются свойства трапеции, весьма разнообразны. В этой статье разобраны и стандартные задачи (номер  и ), и более интересные.

. Найдите высоту трапеции , опущенную из вершины , если стороны квадратных клеток равны .

 

 

Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины .

Ответ: .

. Основания трапеции равны  и , боковая сторона, равная , образует с одним из оснований трапеции угол . Найдите площадь трапеции.

Это стандартная задача. Углы и  — односторонние, значит, их сумма равна , и тогда угол равен . Из треугольника найдем высоту . Катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы. Получаем, что и площадь трапеции равна .

. Основания трапеции равны  и . Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Скажите, что вы видите на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция , и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, и , в которых проведены средние линии.

Мы помним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны.

Из треугольника  находим: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

В следующей задаче мы тоже воспользуемся свойством средней линии треугольника.

. Основания трапеции равны  и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Проведем  — среднюю линию трапеции, . Легко доказать, что отрезок , соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии. Дальше все просто. Найдем отрезки  и , являющиеся средними линиями треугольников и , а затем отрезок . Он равен .

. Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного , отсекает треугольник, периметр которого равен . Найдите периметр трапеции.

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть .

Периметр трапеции равен .

Заметим, что периметр трапеции на 8 больше, чем периметр треугольника. Значит, он равен 15 + 8 = 23.

Ответ: .

Контролная работа 1 2 | Образовательный портал EduContest.Net — библиотека учебно-методических материалов


ВАРИАНТ А11.В равностороннем треугольнике АВС со стороной равной 10см, точки К и М – середины сторон АВ и ВС соответственно.
А) Докажите. Что АКМС – трапеция.
Б) Найдите периметр АКМС.
2. Средняя линия трапеции равна 16см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 3:5.
3. Диагональ трапеции делит среднюю на отрезки 4см и 9см. Найдите основание трапеции. ВАРИАНТ А21.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС равным 12см, и боковой стороной, равной 10см, точки D и Е – середины сторон АВ и ВС соответственно.
А) Докажите. Что АDЕС – трапеция.
Б) Найдите периметр АDЕС.
2. Средняя линия трапеции равна 20см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 3:7.
3. Основания трапеции равны 8см и 14см. Найдите отрезки, на которые диагональ трапеции делит среднюю линию.
ВАРИАНТ Б11.В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС= 10см, точки К ,N и D – середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Определите вид четырехугольника КВND и найдите его периметр.
2.Биссектрисы острых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке, лежащей на меньшем основании трапеции. Большее основание трапеции равно 18см. а боковая сторона равна 4см. Найдите среднюю линию трапеции.
3.Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются вершинами
прямоугольника. ВАРИАНТ Б21.В равностороннем треугольнике АВС, АВС со стороной равной 6см,точки D ,E и F – середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Определите вид четырехугольника ADEF и найдите его периметр.
2.Биссектрисы тупых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке, лежащей на большем основании трапеции. Меньшее основание трапеции равно 8см. а боковая сторона равна 9см. Найдите среднюю линию трапеции.
3.Докажите, что если диагонали четырехугольника, то середины его сторон являются вершинами
ромба.
ВАРИАНТ В11.Диагонали трапеции делят среднюю линию на три отрезка, два из которых равны 5см и 7см. Найдите основания трапеции. Сколько решений имеет задача?
2. Средняя линия данной трапеции делит ее на две трапеции. Средние линии которых равны 10см и 18см. Найдите основания данной трапеции.
3. Докажите, что если в равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равна средней линии. ВАРИАНТ В21.Диагонали трапеции делят среднюю линию на три отрезка, один из которых равен 3см. Найдите среднюю линию трапеции, если большее основание равно 14см. Сколько решений имеет задача?
2. Средняя линия данной трапеции длиной 21см делит ее на две трапеции. Средние линии которых относятся как 2:5. Найдите среднюю линию данной трапеции.
3. Докажите, что если в равнобокой трапеции высота равна средней линии, то диагонали взаимно перпендикулярны .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «СРЕДНИЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ. ТРАПЕЦИЯ»

Приложенные файлы

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ Справочник по математике — Планиметрия

Средние линии треугольника

      Определение. Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (рис. 1).

Рис.1

      На рисунке 1 средней линией является отрезок DE.

      Утверждение 1. Средняя линия треугольника параллельна не пересекающейся с ней стороне треугольника и равна половине этой стороны.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник   ABC   и обозначим буквой   D   середину стороны   AB   (рис. 2). Проведем через точку   D   до пересечения с прямой   BC   прямую, параллельную прямой   AC .   Обозначим буквой   E   точку пересечения прямых   DE   и   BC .

Рис.2

      Поскольку   AD = DB ,   а прямые   AC   и   DE   параллельны, то выполнены все условия теоремы Фалеса, и можно заключить, что выполнено равенство:   CE = EB .   Отсюда вытекает, что точка   E   является серединой стороны   CB ,   а отрезок   DE   является средней линией треугольника.

      Первую часть утверждения 1 мы доказали.

      Для того, чтобы доказать вторую часть утверждения 1, заметим, что в любом треугольнике можно провести три средних линии – отрезки   DE , EF   и   FD   (рис.3).

Рис.3

      Поскольку

DE | | FC ,       DF | | EC ,

то четырёхугольник DECF – параллелограммчетырёхугольник DECF – параллелограмм, следовательно,   DE = FC .

      Поскольку

DE | | AF ,       AD | | FE ,

то четырёхугольник   DEFA   – параллелограммчетырёхугольник   DEFA   – параллелограмм, следовательно,   DE = AF .

      Но поскольку   AF = FC ,   то отсюда вытекает равенство

что и требуется доказать.

      Доказательство утверждения 1 закончено.

      Следствие.

Рис.4

Средняя линия трапеции

      Напомним, что трапециейтрапецией называют четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.

      Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные стороны – боковыми сторонами трапеции.

      Отрезки, соединяющие противоположные вершины трапеции, называют диагоналями трапеции.

      Определение. Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 5).

Рис.5

      На рисунке 5 средней линией трапеции является отрезок   EF .

      Утверждение 2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна половине суммы этих оснований.

Рис.6

      Доказательство. Проведем через вершину   B   и середину боковой стороны   F   трапеции прямую линию (рис. 6). Обозначим точку пересечения прямых   BF   и   AD   буквой   G .   Рассмотрим треугольники   BCF   и   FDG .   У этих треугольников стороны   CF   и   FD   равны, поскольку точка   F   – середина стороны   CD .   Углы   BCF   и   FDG   равны, поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых   BC   и   AD   с секущей   CD .   Углы   BFC   и   DFG   равны, поскольку они являются вертикальными. Тем самым выполнены все условия признака равенства треугольников «По стороне и прилежащим к ней углам», и можно заключить, что треугольники   BCF   и   FDG   равны. Из равенства треугольников   BCF   и   FDG   следует равенство отрезков   BF   и   FG ,   откуда вытекает, что отрезок   EF   является средней линией треугольника   ABG .   Поэтому

что и требовалось доказать.

      Задача 1. Доказать, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.

Рис.7

      Решение. Пусть   ABCD   – трапеция,   EF   –  её средняя линия,   LM   – указанный отрезок (рис.7). Поскольку   AE = EB ,   то, в силу теоремы Фалеса, выполнено равенство:   LN = NM ,   что и требовалось доказать.

      Задача 2. Доказать, что отрезок, который диагонали трапеции высекают на средней линии трапеции, равен половине разности оснований трапеции.

Рис.8

      Решение. Пусть   ABCD   – трапеция,   EF   – её средняя линия,   KL   – указанный отрезок (рис.8). В соответствии с задачей 1 можем заключить, что точка   K   – середина отрезка   AC ,   а точка   L   – середина отрезка   BD .   Поэтому отрезок   EK   – средняя линия треугольника   BAC ,   а отрезок   EL   – средняя линия треугольника   ABD .   В силу утверждения 1 выполнены равенства:

      Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Прямая, проходящая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции.

Рис.9

      Доказательство. Пусть   K   и   L   – середины оснований   BC   и   AD   трапеции   ABCD   соответственно (рис.9). Обозначим буквой   M   точку пересечения боковых сторон   AB   и   CD .   Проведем через точки   M   и   K   прямую и обозначим точку пересечения этой прямой с основанием   AD   символом   N .   Докажем, что точки   N   и   L   совпадают. Для этого заметим, что треугольник   BMK   подобен треугольнику   AMN .   Следовательно, выполнено равенство:

      Заметим также, что треугольник   KMC   подобен треугольнику   NMD .   Поэтому

      Из этих соотношений получаем:

откуда вытекает, что точки   N   и   L   совпадают. Доказательство завершено.

      Почти те же рассуждения позволяют доказать следующий факт, который мы предоставляем читателю в качестве упражнения.

      Утверждение 4. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину одного из оснований трапеции, проходит через середину другого основания трапеции.

      Следствие. Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.

Средние линии четырехугольника. Теорема Вариньона

      Определение. Средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины непересекающихся сторон четырёхугольника.

      Поскольку у каждого четырехугольника имеются две пары непересекающихся сторон, то у каждого четырехугольника имеются две средних линии (рис.10).

Рис.10

      На рисунке 10 средние линии – это отрезки   EF   и   GH .

      Замечание 1. Приведенное определение средней линии относится не только к плоским четырехугольникам, но и к «пространственным четырехугольникам» (рис.11). «Пространственным четырехугольником» мы называем замкнутую ломаную линию из 4 звеньев без самопересечений, не лежащую в одной плоскости.

Рис.11

      На рисунке 11 изображен «пространственный четырёхугольник»   ABCD ,   средними линиями которого являются отрезки   EF   и   GH .

      Замечание 2. Несмотря на то, что трапеция является четырехугольником, принято средней линией трапеции называть только отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

      Замечание 3. В данном разделе справочника не рассматриваются невыпуклые четырёхугольники и четырёхугольники с самопересечениями.

      Теорема Вариньона. Середины сторон произвольного плоского или «пространственного» четырёхугольника являются вершинами параллелограммапараллелограмма.

      Доказательство. Рассмотрим плоский четырёхугольник   ABCD ,   изображенный на рисунке 12. Точки   E, G, F, H   – середины сторон, отрезок   AC   – диагональ четырёхугольника.

Рис.12

      Поскольку отрезок   EG   – средняя линия треугольника   ABC ,   то отрезок   EG   параллелен диагонали   AC   и равен её половине. Поскольку отрезок   FH   – средняя линия треугольника   CDA ,   то отрезок   FH   параллелен диагонали   AC   и равен её половине. Таким образом, в четырёхугольнике   EGFH   противоположные стороны   EG   и   FH   равны и параллельны. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма отсюда вытекает, что четырёхугольник   EGFH   – параллелограмм, что и требовалось доказать.

      Замечание 4 . В случае «пространственного четырёхугольника»   ABCD   доказательство остаётся тем же (рис. 13).

Рис.13

      Поскольку диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополамдиагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополамдиагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то справедливо следующее утверждение, непосредственно вытекающее из теоремы Вариньона.

      Утверждение 5. Средние линии произвольного четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (рис. 14).

Рис.14

      Утверждение 6. Рассмотрим произвольный плоский или «пространственный» четырёхугольник   ABCD ,   у которого отрезок   EF   является одной из средних линий (рис. 15). Тогда будет выполнено векторное равенство:

Рис.15

      Доказательство. Рассмотрим в пространстве или на плоскости произвольную декартову систему координат с началом в некоторой точке   O   (рис. 16).

Рис.16

      В соответствии со свойствами векторов справедливы следующие равенства:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Средняя линия четырёхугольника меньше или равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника, причём равенство достигается лишь в том случае, когда указанные стороны четырёхугольника параллельны.

      Другими словами, средняя линия четырёхугольника равна половине суммы не пересекающих её сторон четырёхугольника лишь в том случае, когда этот четырехугольник является трапециейтрапецией, а не пересекающие среднюю линию стороны четырёхугольника – основания трапеции.

Средние линии тетраэдра

      Тетраэдром называют произвольную треугольную пирамиду (рис.17).

Рис.17

      У каждого тетраэдра имеется   4   вершины,   4   грани и   6   рёбер, причем все рёбра делятся на   3   пары непересекающихся рёбер. На рисунке 17 каждая пара непересекающихся рёбер выделена отдельным цветом. Каждые два непересекающихся ребра тетраэдра лежат на скрещивающихся прямых скрещивающихся прямых.

      Определение. Средней линией (бимедианой) тетраэдра называют отрезок, соединяющий середины двух непересекающихся рёбер тетраэдра.

Рис.18

      У каждого тетраэдра имеется 3 средних линии. Изображённый на рисунке 18 отрезок   EF   является одной из средних линий тетраэдра.

      Утверждение 7. Все средние линии тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

      Доказательство. Выберем какую-нибудь среднюю линию тетраэдра, например,   EF   и докажем, что любая другая средняя линия тетраэдра проходит через середину отрезка   EF .   Для этого рассмотрим, например, среднюю линию   GH ,   соединяющую середины рёбер   AC   и   BD ,   и соединим отрезками точки   E, H, F, G   (рис.19).

Рис.19

      Заметим, что отрезок   EH   является средней линией треугольника   ADB ,   поэтому

      Отрезок GF является средней линией треугольника   ACB ,   поэтому

      Отсюда вытекает, что отрезки   EH   и   GF   равны и параллельны, следовательно, четырёхугольник   EHFG   – параллелограммследовательно, четырёхугольник   EHFG   – параллелограммследовательно, четырёхугольник   EHFG   – параллелограмм. Поскольку средние линии тетраэдра   EF   и   GH   являются диагоналями этого параллелограмма, то в точке пересечения они делятся пополамв точке пересечения они делятся пополамв точке пересечения они делятся пополам, что и требовалось доказать.

      Определение. Точку пересечения средних линий тетраэдра называют центроидом тетраэдра.

      Утверждение 8. Рассмотрим в пространстве декартову систему координат с началом в точке   O   и произвольный тетраэдр   ABCD .   Если обозначить буквой   M   центроид этого тетраэдра (рис. 20), то будет выполнено векторное равенство:

Рис.20

      Доказательство. По свойствам векторов

что и требовалось доказать.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Найдите среднюю линию трапеции

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания связанные с трапецией. На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с площадью трапеции, а также с углами. Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии.  Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

Ответ: 23

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

Ответ: 38

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

Ответ: 10

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

Ответ: 4

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

Ответ: 20

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

Ответ: 9

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

Ответ: 14

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

При чём:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

Ответ: 12

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть  другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Ответ: 3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

28854.Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны √2.

В данном случае видно, что средняя линия трапеции равна трём диагоналям клетки. Диагональ одной клетки по теореме Пифагора будет равна:

Значит средняя линия равна 2∙3=6.

Конечно, есть и другой путь решения.

Если допустить мысль, что основания трапеции могут лежать по отношению к сетке под углом не 45 градусов, а например 30, или другим, то вполне применим следующий метод (таких задач на ЕГЭ не предвидится):

Вычисляем основания используя теорему Пифагора, а далее используем формулу средней линии.

Основание AD при данных условиях это диагональ в прямоугольном треугольнике с катетами равными 4 сторонам клетки, вычисляем:

Основание BC это диагональ в прямоугольном треугольнике катетами равными  2 сторонам клетки, вычисляем:

Средняя линия будет равна  (8+4)/2=6.

*То есть при данном подходе, как бы ни была построена трапеция всегда можно вычислить основания.

Ответ: 6

27853. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны √2.

Высота трапеции равна диагонали клетки. Вычисляем по теореме Пифагора:

Ответ: 2

27821. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Посмотреть решение

27838.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P,S: Расскажите о сайте в социальных сетях.

Задачи по школьной математике. Трапеция

  • Наибольший   угол  прямоугольной   трапеции  равен 120◦, а большая боковая сторона равна c. Найдите разность оснований.

  • Диагонали  трапеции  взаимно  перпендикулярны,   а средняя линия равна 5. Найдите отрезок, соединяющий середи­ны оснований.

  • Высота равнобокой трапеции, проведенная из конца меньшего основания, делит ее большее основание на отрезки, равные 4 и 8. Найдите основания трапеции.

  • Найдите меньшее основание равнобокой трапеции, ес­ли высота, проведенная из конца меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых на 5 больше другого.

  • Боковая сторона равнобокой трапеции видна из точ­ки пересечения диагоналей под углом, равным 60◦. Найдите диагонали трапеции, если ее высота равна h.

  • В равнобокой трапеции острый угол равен 60◦. Дока­жите, что меньшее основание равно разности большего основа­ния и боковой стороны.

  • Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 3, а большая образует угол, равный 30◦, с одним из осно­ваний. Найдите это основание, если на нем лежит точка пересе­чения биссектрис углов при другом основании.

  • Докажите, что биссектрисы углов при боковой сто­роне трапеции пересекаются на ее средней линии.

  • Дана трапеция ABCD с основанием AD. Биссектри­сы внешних углов при вершинах A и B пересекаются в точке P, а при вершинах C и D — в точке Q. Докажите, что отрезок PQ равен полупериметру трапеции.

  • Основания трапеции равны a и b (a > b). Най­дите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей тра­пеции.
  • Один из углов прямоугольной трапеции равен 120◦, большее основание равно 12. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей, если известно, что меньшая диагональ трапеции равна ее большему основанию.
  • Найдите   отношение   оснований   трапеции,   если  ее средняя линия делится диагоналями на три равные части.
  • Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого. Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.
  • Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Од­на из них равна 6, а вторая образует с основанием угол, рав­ный 30◦. Найдите среднюю линию трапеции.
  • Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединя­ющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основа­нии трапеции равны 30◦ и 60◦. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции.
  • Одна из боковых сторон трапеции равна сумме ос­нований. Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
  • Отрезок,   соединяющий  середины  двух противопо­ложных сторон четырехугольника, равен полусумме двух дру­гих сторон. Докажите, что этот четырехугольник — трапеция или параллелограмм.
  • Прямая,   проведенная   через  вершину  трапеции ABCD параллельно диагонали BD, пересекает продолжение основания AD в точке M. Докажите, что треугольник ACM равновелик трапеции ABCD.
  • Боковые стороны трапеции лежат на перпендикуляр­ных прямых. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах диагоналей и серединах оснований, если боковые стороны равны a и b.
  • Основания AD и BC трапеции ABCD равны соот­ветственно a и b. Диагональ AC разделена на три равные части и через ближайшую к A точку деления M проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите отрезок этой прямой, за­ключенный между диагоналями.
  • Площадь трапеции равна 27, основания 8 и 16. Най­дите площади треугольников, на которые трапеция разделена диагоналями.
  • Большее основание равнобедренной трапеции равно 21, боковая сторона ее 10, а диагональ 17. Определите площадь трапеции.
  • Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b (a>b). Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии трапеции. Найдите длину отрезка MN, концы которого делят стороны AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = p : q.
  • На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка Р так, что АР : AD = 1 : n. Точка Q — точка пересечения прямых AC и BP. Найдите AQ : AC.
  • На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая АК пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что AK2 = LK KM.
  • Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой боковая сторона, верхнее основание и средняя линия равны 13, 6 и 15 соответственно.
  • Периметр равнобедренной трапеции равен 36, а средняя линия — 10. Найдите боковую сторону.
  • Средняя линия равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD равна 18. Найдите высоту трапеции, если BC : AD = 1 : 5, а боковая сторона равна 15.
  • В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48. Определите боковую сторону трапеции.
  • Диагональ равнобедренной трапеции делит среднюю линию на две части, равные 2 и 5. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 5.
  • В равнобедренной трапеции основания равны 6 и 10. Диагональ равна 10. Найдите площадь трапеции.
  • В равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 8 и 12.
  • Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 10. Диагональ наклонена к основанию под углом 45о. Найдите площадь трапеции.
  • Диагональ прямоугольной трапеции равна ее боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции, если ее высота равна 4, а боковая сторона равна 5.
  • В прямоугольной трапеции разность длин оснований равна 4, а большая боковая сторона равна 5. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
  • Меньшее основание трапеции равно 4. Большее основание больше средней линии на 4. Найдите среднюю линию.
  • В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 52, высота равна 48, средняя линия равна 30. Найдите ее большее основание.
  • Прямая CF параллельна боковой стороне трапеции и делит основание AD на отрезки AF = 9 и FD = 5. Найдите среднюю линию трапеции.
  • В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD продлены до пересечения в точке E.  Найдите EC, если AB = 1, CD = 3 и BE = 2.
  • Углы при основании трапеции равны 90о и 45о. Одно основание в два раза больше другого и равно 24. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
  • Разность двух оснований равнобедренной трапеции равна 3. Синус угла при основании трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону трапеции.
  • Средняя линия равнобедренной трапеции равна 4. Площадь трапеции равна 8. Найдите тангенс угла между диагональю и основанием трапеции.
  • Контрольная работа по теме: СРЕДНИЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ. ТРАПЕЦИЯ


    ВАРИАНТ А11.В равностороннем треугольнике АВС со стороной равной 10см, точки К и М – середины сторон АВ и ВС соответственно.
    А) Докажите. Что АКМС – трапеция.
    Б) Найдите периметр АКМС.
    2. Средняя линия трапеции равна 16см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 3:5.
    3. Диагональ трапеции делит среднюю на отрезки 4см и 9см. Найдите основание трапеции. ВАРИАНТ А21.В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС равным 12см, и боковой стороной, равной 10см, точки D и Е – середины сторон АВ и ВС соответственно.
    А) Докажите. Что АDЕС – трапеция.
    Б) Найдите периметр АDЕС.
    2. Средняя линия трапеции равна 20см. Найдите основания трапеции, если они относятся как 3:7.
    3. Основания трапеции равны 8см и 14см. Найдите отрезки, на которые диагональ трапеции делит среднюю линию.
    ВАРИАНТ Б11.В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС= 10см, точки К ,N и D – середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Определите вид четырехугольника КВND и найдите его периметр.
    2.Биссектрисы острых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке, лежащей на меньшем основании трапеции. Большее основание трапеции равно 18см. а боковая сторона равна 4см. Найдите среднюю линию трапеции.
    3.Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются вершинами
    прямоугольника. ВАРИАНТ Б21.В равностороннем треугольнике АВС, АВС со стороной равной 6см,точки D ,E и F – середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Определите вид четырехугольника ADEF и найдите его периметр.
    2.Биссектрисы тупых углов равнобокой трапеции пересекаются в точке, лежащей на большем основании трапеции. Меньшее основание трапеции равно 8см. а боковая сторона равна 9см. Найдите среднюю линию трапеции.
    3.Докажите, что если диагонали четырехугольника, то середины его сторон являются вершинами
    ромба.
    ВАРИАНТ В11.Диагонали трапеции делят среднюю линию на три отрезка, два из которых равны 5см и 7см. Найдите основания трапеции. Сколько решений имеет задача?
    2. Средняя линия данной трапеции делит ее на две трапеции. Средние линии которых равны 10см и 18см. Найдите основания данной трапеции.
    3. Докажите, что если в равнобокой трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равна средней линии. ВАРИАНТ В21.Диагонали трапеции делят среднюю линию на три отрезка, один из которых равен 3см. Найдите среднюю линию трапеции, если большее основание равно 14см. Сколько решений имеет задача?
    2. Средняя линия данной трапеции длиной 21см делит ее на две трапеции. Средние линии которых относятся как 2:5. Найдите среднюю линию данной трапеции.
    3. Докажите, что если в равнобокой трапеции высота равна средней линии, то диагонали взаимно перпендикулярны .
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ «СРЕДНИЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ. ТРАПЕЦИЯ»

    Приложенные файлы

    Свойства среднего сегмента трапеции — Задача 1

    Промежуточный сегмент трапеции соединяет середины двух конгруэнтных сторон трапеции и параллелен паре параллельных сторон.

    Длина среднего сегмента — это сумма двух оснований, деленная на 2. Помните, что основания трапеции — это две параллельные стороны.

    Чтобы найти углы внутри трапеции, помните, что, поскольку две стороны параллельны, другие стороны можно рассматривать как поперечные, образуя соответствующие углы и те же внутренние боковые углы.Используя то, что известно о соответствующих и одинаковых внутренних углах, можно найти размеры недостающих углов трапеции.

    В этой задаче нас просят найти длину этого сегмента и меру этих двух углов. Что ж, давайте начнем с того, что расскажем, что мы знаем об этой проблеме?

    Хорошо, я вижу, что эта точка — середина этой стороны, а эта точка — середина этой другой стороны.Поскольку у меня две параллельные стороны, это будет трапеция, и, поскольку это средние точки, я создал промежуточный сегмент и две ключевые вещи, которые я знаю о средних сегментах, первое — это то, что они параллельны двух оснований, поэтому я собираюсь вернуться сюда и отметить этот средний сегмент как параллельный, и я также знаю, что длина моего среднего сегмента — это среднее значение двух оснований, поэтому, если вы сложите две базы и разделенные на 2, вы получите длину вашего среднего сегмента.

    Итак, давайте найдем первый. ‘a’ — это расстояние до нашего среднего сегмента, поэтому я собираюсь сказать, что a равно среднему значению ваших двух оснований, которые равны 10 и 18. Итак, 10 и 18 равны 28, поэтому a равно 28, деленному на 2, поэтому a это 14, и наши единицы здесь — сантиметры, поэтому я собираюсь написать это 14 см.

    Теперь найдем x. Что ж, поскольку эти две линии параллельны, я могу думать об этой стороне прямо здесь как о поперечине, создающей соответствующие углы, которые всегда совпадают. Итак, x конгруэнтен 55 градусам, потому что соответствующие углы должны быть конгруэнтными.Теперь, чтобы найти y, мне нужно будет смотреть на эту сторону как на поперечную.

    Несколько способов выяснить это. Первый способ — сказать, что 120 градусов соответствует этому углу прямо здесь, поэтому этот угол должен быть 120 градусов. 120 градусов и y находятся на одной стороне поперечной, и они находятся между двумя параллельными линиями, поэтому это одна и та же сторона, что означает, что y плюс 120 градусов должны быть дополнительными, поэтому, если я вычитаю 120 градусов, я вижу, что y должен быть 60 градусов.

    Итак, два ключевых момента в решении этой проблемы: один — помнить, что средний сегмент и трапеция параллельны двум основаниям, а их длина равна сумме двух оснований, деленных на 2.

    Трапеция

    Трапеция — это четырехугольник с одной парой параллельных сторон. На рисунке ниже показано несколько различных типов трапеций.

    Примечание. Некоторые определяют трапецию как четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон, подразумевая, что он может содержать две пары параллельных сторон, что делает его параллелограммом. В рамках данной статьи мы определим трапецию как четырехугольник с одной парой параллельных сторон.

    Грани трапеции

    Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями. Непараллельные стороны называются ножками. Высота (или высота) — это отрезок линии, используемый для измерения кратчайшего расстояния между двумя основаниями.

    Углы трапеции

    В трапеции пара углов, имеющих общее основание, называется базовыми углами. Для трапеций, показанных на диаграмме ниже, A и ∠D — это базовые углы, а ∠B и ∠C — базовые углы.Пара углов рядом с опорой дополнительные: ∠A + ∠B = 180 ° и ∠C + ∠D = 180 °.

    Срединный отрезок трапеции

    Середина трапеции — это отрезок прямой, соединяющий середину ее ног. Средний сегмент параллелен основаниям и имеет длину, равную половине суммы двух оснований.

    На рисунке выше средний сегмент EF делит ветви AB и CD пополам и

    Площадь трапеции

    Площадь А трапеции равна половине произведения суммы ее оснований и ее высоты.

    , где h — высота, а b 1 и b 2 — базовые длины.

    Классификация трапеций

    Трапеции можно классифицировать как разносторонние или равнобедренные в зависимости от длины ног. Если ноги и углы основания трапеции совпадают, это равнобедренная трапеция. В остальном это разносторонняя трапеция.

    Чешуйчатая трапеция Равнобедренная трапеция
    Ножки или углы основания не совпадают Конгруэнтные ножки и углы основания

    Трапеции также можно классифицировать как прямые трапеции или тупые трапеции в зависимости от их углов.Если одна из ножек перпендикулярна основанию, трапеция представляет собой прямую трапецию. В противном случае трапеция должна содержать два тупых угла и называется тупой трапецией.

    Правая трапеция Тупая трапеция
    Одна нога перпендикулярна основаниям. Два угла тупые.

    Равнобедренные трапеции

    Равнобедренная трапеция — это особая трапеция с совпадающими сторонами и углами основания.Он обладает следующими свойствами.

    • Две диагонали равнобедренной трапеции совпадают. Они также образуют равные треугольники. На изображенной ниже равнобедренной трапеции диагонали AC и BD совпадают. Поскольку ноги равнобедренной трапеции конгруэнтны, а следующие пары треугольников имеют общее основание, △ ABD ≅ DCA и △ ABC ≅ △ DCB согласно постулату Сторона-Сторона-Сторона.
    • Соотношение сегментов, составляющих диагонали трапеции, пропорционально. На диаграмме выше AE = DE, BE = CE и
    • Равнобедренная трапеция имеет одну линию симметрии: высоту, разделяющую ее основания пополам.На рисунке выше высота FE делит пополам основания AD и BC. Отражение равнобедренной трапеции ABCE поперек FE сохраняет его, делая FE линией симметрии.

    Параллельно через пересечение диагоналей.

    Параллель через пересечение диагоналей.


    Необязательно, чтобы трапеция была равнобедренной. Возьмите любую трапецию ABCD с диагоналями AC и BD , пересекающимися в точке E .Пусть a = AB и b = CD . Пусть c — длина отрезка FG параллельно двум основаниям трапеции. Наш проблема состоит в том, чтобы выразить c через a и b .

    ———————————

    Вытяните стороны DA и CB так, чтобы они встретились в точке H. Постройте линию A, параллельную стороне. DA через G и простирается до того места, где in пересекает AB в точке J (вне AB) и CD в K (внутренний для CD).

    Это дает следующие похожих треугольников: HAB, HDC, GJB, GKC. Обратите внимание, что в терминах a , b и c , BJ = c a и CK = b c

    Следовательно, учитывая треугольники GJB и HAB, отношение подобия есть и учитывая треугольники GKC и HDC, отношение подобия. Следовательно, у нас есть отношение, включающее a, b и c, которое мы можем решить для c.

    Если три числа таковы, что по любой части наибольшее срок превышает средний срок, а средний срок превышает третий срок та же часть третьего, а затем среднего члена — это среднее гармоническое первого и третьего. Это соотношение показано в этом уравнении. Обычно отношение записывается в одной из следующих форм, чтобы показать, что c — гармоническое среднее положительных чисел a и b :

    или

    Таким образом, длина отрезка параллельной прямой через точку пересечения диагоналей — это гармоническое среднее оснований трапеции.


    Возврат

    Трапеции и их свойства

    Овладейте семью столпами успеха в школе

    Повысьте успеваемость и снизьте уровень стресса

    Средняя часть трапеции . (Также называемая медианной) создается путем проведения линии из средней точки единицы. ногу до середины другой ноги.

    Длину средней части можно рассчитать, сложив длину двух оснований и разделив ее на два.

    Средняя часть EF = AB + DC / 2

    Трапеция может иметь прямой угол

    Базовые углы равнобедренной трапеции совпадают, а противоположные углы являются дополнительными.

    ∠A и ∠B и ∠D и ∠C совпадают

    A и ∠C и ∠B и ∠D дополнительные

    Углы, образованные сторонами на одной стороне трапеции, смежны углы, и являются дополнительными. (добавить к 180 градусам)

    ∠A и ∠D и ∠B и ∠C смежные и дополнительные

    • Трапеция — это четырехугольник с ровно одной парой параллельных сторон.
    • Параллельные стороны трапеции образуют основания.
    • Сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусам, а углы с каждой стороны трапеции являются дополнительными.
    • Трапеция имеет четыре вершины, также называемые углами.
    • Медиана трапеции — это линия, соединяющая середину двух сторон.
    • Трапеция имеет одну пару параллельных сторон.У параллелограмма две пары параллельных сторон.
    • Кроме того, есть прямые трапеции и равнобедренные трапеции.
    • Равнобедренная трапеция — это трапеция с двумя параллельными сторонами, причем две другие стороны совпадают.
    • Кроме того, диагонали равнобедренного треугольника совпадают.
    • Углы основания равнобедренной трапеции совпадают.
    • У правой трапеции два прямых угла.
    • В Великобритании трапеция называется трапецией

    Common Core Standard. 7.G.6

    Трапеция — это четырехугольник.

    Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны.

    Внутренние углы а трапеции складываются в 360 градусов, а углы с каждой стороны являются дополнительными.

    Формула площади трапеция равна

    Площадь = 1/2 (b1 + b2) h

    h = высота

    b = основание

    Формула периметра a трапеция равна

    Периметр = b1 + b2 + s1 + s2

    Высота Трапеция

    ч = г * SinB или h = w * SinA

    Диагонали длина

    Вам тоже может понравиться……

    Из этого видео вы узнаете ….

    Формула для определения периметра трапеции

    Пошаговая инструкция для определения периметра

    Видео определяет высоту проблема

    Какова высота равнобедренной трапеции с основанием 10 и 18 единиц, длиной стороны 4 единицы и углом 50 градусов? (см. рисунок)

    Внутренние углы трапеции складываются в 360 градусов.

    Углы трапеции

    Как найти площадь трапеции без длины одной из параллельных сторон

    Трапеция — это четырехугольная геометрическая форма, имеющая две параллельные и две непараллельные стороны. Площадь трапеции можно рассчитать как произведение высоты на среднее значение двух параллельных сторон, также известных как основания. Есть несколько свойств трапеций, которые позволяют определять неизвестные параметры на основе известных факторов, включая меру параллельных сторон, меру непараллельных сторон и меру различных углов.Площадь трапеции, в частности, может быть получена с использованием этих различных свойств, несмотря на то, что известна только длина одного основания, если известны длина диагонали, высота трапеции и одна непараллельная сторона.

      Определите заданную длину одного основания, высоту трапеции и длину одной непараллельной стороны. Например, предположим, что у трапеции высота 4 дюйма, одно основание — 6 дюймов, а непараллельная сторона — 5 дюймов.

      Определите длину диагонали.2, где c — гипотенуза, а a и b — две другие стороны. В этом примере, проведя линию высоты и диагональную линию, идущую из одного угла, можно увидеть два различных прямоугольных треугольника. 2 Длина неизвестной стороны = sqrt (39) или приблизительно 6 дюймов Длина неизвестного основания = 6 дюймов + 3 дюйма = 9 дюймов

      Используйте формулу трапеции, чтобы найти площадь.2

      Поймите, что решить эти проблемы можно, разделив трапецию на прямоугольные треугольники, чтобы определить длину неизвестного основания. Этот тип проблемы может быть решен только при наличии достаточной информации о трапеции.

    Площадь трапеции — формула, примеры, решения

    Студенты должны выполнять различные домашние задания по геометрии. Однако наибольшие трудности возникают у учеников средней школы, потому что они изучали только математику и алгебру, а также геометрию.Например, им нужно найти перпендикулярное расстояние, площадь поверхности или параллельные стороны трапеции. Сегодня мы поговорим конкретно о трапециях, нахождении площади и считая ее одной из важнейших теорем.

    Трапеция — что это за фигура?

    Трапеция — это четырехугольник, у которого две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Параллельные стороны называются основаниями трапеций, а две другие — боковыми сторонами. Высота трапеции — это расстояние между линиями, на которых лежат основания трапеции, любого общего перпендикуляра этих линий.Середина трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон.

    Трапеция Характеристики

    Если в трапецию вписан круг, то сумма основ всегда совпадает с суммой сторон: a + b = c + d, а средняя линия всегда равна полусумме сторон:

    Равнобедренная трапеция — это трапеция, стороны которой равны AB = CD. Тогда диагонали AC = BD и углы при основании равны:

    Из всех трапеций только равнобедренную трапецию можно описать окружностью, если сумма противоположных прямых углов равна 180 °.В равнобедренной трапеции расстояние от верха одного основания до выступа противоположного верха, который непосредственно связан с основанием, всегда точно соответствует средней линии.

    Прямоугольная трапеция — это тип трапеции, имеющий базовый угол 90 °.

    Теорема: площадь трапеции

    Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, мы делаем следующее: делим многоугольник на треугольники и находим площадь треугольника. Сумма площадей этих треугольников равна площади многоугольника.Используя эту технику, мы выводим формулу для расчета площади свободной трапеции. Условимся называть высоту трапеции перпендикуляром, проведенным из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке ниже мы указали, что отрезок линии BH соответствует высоте трапеции ABCD:

    На основании этого получаем теорему: «Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту». Основываясь на формуле площади, мы можем доказать эту теорему.

    Дана трапеция: ABCD, AD и BC — длины оснований, BH — высота.

    Докажите: площадь этой трапеции ABCD будет равна S = ½ (AD + BC) · BH.

    Доказательство: начертите диагональ BD. Он делит трапецию на два треугольника ABD и BCD. Это означает, что периметр трапеции ABCD будет равен сумме площадей этих треугольников.

    В треугольнике ABD: AD — основание, а BH — высота. В треугольнике BCD: BC — основание.

    Нарисуем высоту ДК.Площадь S треугольника ABD = 1/2 AD · BH; площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · DK. Поскольку BH = DK, то площадь S треугольника BCD = 1/2 BC · BH. Таким образом, площадь S трапеции ABCD = 1/2 AD · BH + 1/2 BC · BH = 1/2 (AD + BC) · BH. Что требовалось доказать.

    Расчет областей в прошлые времена

    Еще 4–5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь трапеции в квадратных единицах. Древние египтяне 4000 лет назад использовали почти те же уловки, что и мы: сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту.

    Определение площадей геометрических фигур — одна из древнейших практических задач. Люди не сразу нашли правильный подход к своему решению. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей открыл Евклид. При расчете площадей он использовал простую технику, называемую методом разбиения.

    Расчет площадей в современном мире

    Сегодня существует множество формул для расчета длин сторон, вершин, параллельных оснований и трапеции с площадью.Мы рассмотрим самые основные из них. Приведенные ниже формулы просты в использовании, но если вам сложно понять и вам нужна помощь в выполнении домашних заданий, вы всегда можете связаться с нашей службой. Опытные авторы проконсультируют вас по всем задачам, и вы значительно улучшите свою успеваемость.

    Формула для вычисления площади трапеции по основанию и высоте

    Дана произвольная трапеция. Чтобы найти его площадь, воспользуемся следующей формулой:

    В этой формуле:

    • а, б — основание трапеции;
    • hh — высота трапеции.

    Представьте, что нам нужно найти область трапеции с известными основаниями, численно равными 10 см и 8 см. Также всем известный рост, 6 см в длину.

    Решение:

    Сразу подставляем числа в имеющуюся формулу и вычисляем значение:

    Ответ: 54 квадратных сантиметра.

    Формула площади трапеции в основании и средней линии

    Отметим, что средняя линия трапеции составляет половину суммы ее оснований.Таким образом, поиск области через осевую линию — не что иное, как метод, аналогичный первому. Постольку:

    В этой формуле:

    • S = 1 ч;
    • l — средняя линия трапеции;
    • ч — высота.

    Предположим, нам нужно найти область трапеции, если известно, что средняя линия равна 5 см, а высота трапеции в два раза больше ее высоты.

    Решение:

    Найдите высоту трапеции:

    h = 2 ⋅ 5 = 10

    Площадь:

    S = l ⋅ h = 5 ⋅ 10 = 50 см.кв.

    Ответ: 50 кв. сантиметров

    Формула площади трапеции через радиус вписанной окружности и угол

    Этот футляр подходит только для равнобедренной трапеции:

    В этой формуле:

    • r — радиус вписанной окружности;
    • α — угол между основанием и стороной.

    Предположим, нам дан радиус вписанной окружности в трапецию, равный 4 см.Угол α равен 90 градусам. Нам нужно найти площадь трапеции.

    Решение:

    По формуле:

    Ответ: 64 квадратных сантиметра.

    Формула площади трапеции через диагонали и угла между ними

    Существует простая формула для определения площади трапеции по диагоналям и угла между ними:

    В этой формуле:

    • d1, d2 — диагонали трапеции;
    • α — угол между диагоналями.

    Пусть две диагонали трапеции равны 20 см и 7 см. Когда они пересекаются, они образуют угол в 30 градусов. Нам нужно найти площадь трапеции.

    Решение:

    • d1 = 20;
    • d2 = 7;
    • α = 30 °.

    Площадь:

    Ответ: 35 квадратных сантиметров.

    Трапеции и созвездия

    Трапеция встречается не только в домашних заданиях по математике.Этот рисунок можно найти при изучении созвездий. Выдающийся астеризм весеннего неба — трапеция Льва, наблюдаемая по вечерам с февраля по май. Эта фигура находится в зодиакальном созвездии Лев, образуя тело животного, и по форме напоминает трапецию.

    Четыре яркие звезды созвездия α, β, γ и δ расположены на вершинах трапеции — тела льва. А голова льва образована звездами, расположенными в форме серпа.Отсюда и название — трапеция Льва.

    Трапеции в экспериментальной физике Посмотреть

    Союз физики и математики предполагает непрерывное движение науки вперед. В физике ученые проводят эксперименты, суть которых становится полностью ясной только после математического анализа. Многие отрасли математики обязаны своим происхождением и дальнейшим развитием новым физическим экспериментам. В качестве примера рассмотрим школьные лабораторные работы по физике.

    Постановка вопроса: Рассмотрим фигуру — произвольную трапецию ABCD.Нарисуйте две ее диагонали AC и BD, которые делят трапецию на четыре треугольника — ABO, BCO, CDO и DAO. Треугольники ABO и CDO равны:

    Формулировка цели экспериментальной работы: с помощью взвешивания доказать, что массы треугольников, полученных по диагоналям и сторонам трапеции, равны.

    Ход лабораторных работ:

    1. Учащимся необходимо взять с собой: лист бумаги, линейку, карандаш, ластик, ножницы.
    2. Учащиеся рисуют параллельные линии с помощью прямоугольных линеек.
    3. Учащимся нужно построить пять разных трапеций и нарисовать диагональ.
    4. Учащиеся ножницами вырезают из трапеции треугольники, которые имеют одну сторону трапеции.
    5. На весах учащиеся взвешивают разрезанные треугольники ABO и CDO.
    6. Учащиеся записывают полученные результаты в таблицу и сравнивают.

    Как видите, знания о трапеции пригодятся вам в физике и других науках.

    Как найти углы в трапеции

    В геометрии трапеция — это четырехугольник (четырехсторонняя фигура), в котором только одна пара противоположных сторон параллельна. Трапеции также известны как трапеции. Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Непараллельные стороны называются ножками. Трапеция, как и круг, имеет 360 градусов. Поскольку у трапеции четыре стороны, у нее четыре угла. Трапеции названы по их четырем углам или вершинам, например, «ABCD».

      Определите, является ли трапеция равнобедренной.Равнобедренные трапеции имеют линию симметрии, разделяющую каждую половину. Ноги трапеции равны по длине, как и диагонали. В равнобедренной трапеции углы, имеющие общую основу, имеют одинаковую меру. Дополнительные углы, которые представляют собой углы, примыкающие к противоположным основаниям, имеют в сумме 180 градусов. Эти правила можно использовать для вычисления угла.

      Перечислить данные измерения. Вам может быть дано измерение угла или основания. Или вам может быть дано измерение среднего сегмента, который параллелен обоим основаниям и имеет длину, равную среднему значению двух оснований.Используйте данные измерения, чтобы определить, какие измерения, если не угол, можно рассчитать.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск