Доказать основное тригонометрическое тождество
☰
Основным тригонометрическим тождеством является следующее равенство:
sin2 α + cos2 α = 1
Это значит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же острого угла равна единице.
Докажем это тригонометрическое тождество. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90º). Проведем в нем высоту CH к гипотенузе.
Выразим катеты треугольника ABC по косинусам углов. Так как cos A = AC/AB, то
AC = AB · cos A
Так как cos B = BC/AB, то
BC = AB · cos B
Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный, т. к. CH ⊥ AB. АС в этом треугольнике является гипотенузой. Тогда cos A = AH/AC. Выразим отсюда отрезок AH:
AH = AC · cos A
Подставим вместо отрезка AC его значение, выраженное ранее через косинус угла A треугольника ABC. Получим:
AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos2
Теперь рассмотрим треугольник BCH. В нем cos B = BH/BC. Выразим BH и заменим BC его значением, найденным в треугольнике ABC:
BH = AB · cos2 B
Отрезок AB является суммой отрезков AH и BH:
AH + BH = AB
Заменим AH и BH на их выражения через косинусы углов:
AB · cos2 A + AB · cos2 B = AB
AB · (cos2 A + cos2 B) = AB
cos2 A + cos2 B = 1
Как известно, синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла этого же треугольника. В данном случае:
sin A = cos B
Следовательно, в тождестве cos2 A + cos2 B = 1 мы можем косинус угла B заменить на синус угла A. Таким образом получим:
cos2 A + cos2 B = 1
cos2 A + (cos B · cos B) = 1
cos2 A + (sin A · sin A) = 1
cos2 A + sin2
Таким образом, сумма квадрата косинуса угла и квадрата синуса этого угла равна единицы, что и требовалось доказать.
Обсуждение:Тригонометрические тождества — Википедия
sinx = a. Если | a | > 1 — решений нет.
правильнее писать, что нет действительных решений или корней, т.к. есть комплексное решение. 217.16.26.85 13:47, 2 марта 2008 (UTC)
И в правду Amatory112 15:18, 20 апреля 2009 (UTC)
Из логического анализа формулы синуса суммы углов следует что если что-то и тождественно даже самому себе, то вне времени. Андроид.91.205.25.30 13:41, 10 октября 2011 (UTC)
Формулы сложения аргументов[править код]
Добавте формулу сложения аргументов котангенса.
cot(a +- b)=(cot(a)*cot(b) +- 1)/(cot(b) -+ cot(a)) —78.157.77.31 21:18, 28 марта 2010 (UTC)
Добавил, однако плюсы-минусы там наоборот. efpies 23:07, 28 марта 2010 (UTC)
Да, точно. Я какраз хотел исправить свою ошибку. Спасибо. —78.157.77.31 00:22, 29 марта 2010 (UTC)
формулы решения простейших уравнений[править код]
я добавил их, они в самом низу =) —DonAlex 13:19, 11 июля 2007 (UTC)
вывод формулы излишне сложный, воспользуемся тем же рисунком пусть угол EAB по прежнему α, а угол CAB — β, докажем, что sin (β-α) = sin β * cos α — sin α * cos β
пусть (AE) = 1, тогда
(BE) = sin α (из треугольника ∆ ABE)
(АВ) = cos α (из треугольника ∆ ABE)
(BC) = (AB) * tg β = cos α * tg β (из треугольника ∆ ABC)
(EC) = (BC) – (BE) = cos α * tg β — sin α
(AC) = (AB) / cos β = cos α / cos β (из треугольника ∆ ABC)
(ED) = sin (β-α) (из треугольника ∆ ADE)
∆ EDC подобен ∆ ABC, поэтому
(EC) / (ED) = (AC) / (AB), т.е.
(cos α * tg β — sin α) / sin (β-α) = (cos α / cos β) / cos α
умножаем обе части на sin (β-α) * cos β
(cos α * tg β — sin α) * cos β = sin (β-α) или
sin β * cos α — sin α * cos β = sin (β-α)
далее получаются все остальные формулы
Да и, к тому же, были ошибки[править код]
в выводе формулы cos(α + β) и в переходе к sin(α + β)
Уже поправил.
—DangerDave 13:23, 29 октября 2007 (UTC)
cos(a+b) вообще через … доказано.. Может и интересное.. Есть смысл переписывать в более простое? Или может сделать несолько вариантов?
А формулы произвдения в сумму вообще:
a=(a+b)/2 Из чего можно сделать вывод что а равно b 🙂 Фил 18:26, 20 мая 2008 (UTC)
Что стало с отображением формул? (93.73.159.71 10:09, 8 октября 2008 (UTC))
Перед закрывающим тегом /math надо было поставить пробел. 🙂 —87.228.121.228 13:21, 21 сентября 2009 (UTC) Юрий Д.
Почему убрали формулы тройного угла? Если нет весомых причин, то нужно их вернуть ZoAs 10:43, 26 октября 2008 (UTC) 79.172.76.232 12:21, 18 марта 2009 (UTC) Правда,верните формулу тройного угла:)
Да уж, формул тройного угла по непонятной причине нету. 79.173.80.189 17:07, 25 февраля 2010 (UTC) 79.173.80.189 17:08, 25 февраля 2010 (UTC)
Теперь есть. efpies 23:13, 25 февраля 2010 (UTC)
1) может, не «Формулы понижения степени», а «формулы УВЕЛИЧЕНИЯ степени»? Значения тригонометрических ф-ций действительно уменьшаются — с УВЕЛИЧЕНИЕМ их степеней.
2)» Формулы понижения степени выводятся с помощью формул косинуса двойного угла??? Вы не ошибаетесь? Мне казалось они выводятся из формул произведения через сумму. И если они действительно выводятся из данных формул косинуса двойного угла, можете ли Вы добавить процесс их выведения в статью, как это уже сделано с некоторыми формулами? 212.122.74.153 15:07, 12 октября 2012 (UTC)
Может быть, стоит добавить формулы сумм арктангенсов, арккотангенсов?..
Еще тригонометрические тождества[править код]
Желательно добавить вот эти тождества вместе с их выводом:
sinα+sinβ+sinγ=4⋅cosα2⋅cosβ2⋅cosγ2{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cos {\frac {\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}}
tgα+tgβ+tgγ=tgα⋅tgβ⋅tgγ{\displaystyle \mathrm {tg} \alpha +\mathrm {tg} \beta +\mathrm {tg} \gamma =\mathrm {tg} \alpha \cdot \mathrm {tg} \beta \cdot \mathrm {tg} \gamma }
ctgα2+ctgβ2+ctgγ2=ctgα2⋅ctgβ2⋅ctgγ2{\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\beta }{2}}\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\gamma }{2}}}
81.7.104.121 16:00, 18 октября 2012 (UTC)212.122.74.153 12:10, 19 октября 2012 (UTC)212.122.74.153 12:22, 19 октября 2012 (UTC)
Эти формулы уже есть в разделе Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами Можно скопировать
37.76.170.226 07:37, 13 июля 2018 (UTC)
Надо отметить, что эти формулы частные. Они подходят только для углов треугольника.
37.76.170.226 07:43, 13 июля 2018 (UTC)
Статья скачалась хорошо, но «Вывод формул» и другие дополнительные эпизоды (те, которые в html можно, нажав на кнопку, развернуть, а потом скрыть опять) не вошли в PDF. А для меня как раз они-то и были важны. В html я скачать не могу. —Li Pigeon 07:21, 22 января 2013 (UTC)
Формулы сложения гармонических колебаний[править код]
—НеСказочник 09:41, 30 января 2013 (UTC)
Формулы сложения гармонических колебаний в разделе 10 не полные. Вот более общий вариант:
пусть
S1 = A1 * sin(w * t + f1)
S2 = A2 * sin(w * t + f2), где A1 и A2 — амплитуды колебаний, w — частота, а f1 и f2 — фазы.
колебания S1 и S2 соответственно, тогда сумма этих колебаний
Sr = S1 + S2 = A1 * sin(w * t + f1) + A2 * sin(w * t + f2) = Ar * sin(w * t + fr), где
амплитуда результирующего колебания Ar = (a + b)^0.5
фаза результирующего колебания fr = arcsin(b/((a + b)^0.5)), при
a = A1 * cos(f1) + A2 * cos(f2)
b = A1 * sin(f1) + A2 * sin(f2)
Доказательство:
по формуле (4) раздела 2 этой же статьи:
S1 = A1 * sin(w * t + f1) = A1 * sin(w * t) * cos(f1) + A1 * cos(w * t) * sin(f1)
S2 = A2 * sin(w * t + f2) = A2 * sin(w * t) * cos(f2) + A2 * cos(w * t) * sin(f2)
тогда S1 + S2 = A1 * sin(w * t + f1) + A2 * sin(w * t + f2) =
= A1 * sin(w * t) * cos(f1) + A1 * cos(w * t) * sin(f1) + A2 * sin(w * t) * cos(f2) + A2 * cos(w * t) * sin(f2)
перегруппировав члены получим
S1 + S2 = sin(w * t) * (A1 * cos(f1) + A2 * cos(f2)) + cos(w * t) * (A2 * sin(f2) + A1 * sin(f1))
по формуле из раздела 10 этой же статьи получим:
S1 + S2 = (a + b)^0.5 * sin(w * t + arcsin(b/((a + b)^0.5))), где
a = A1 * cos(f1) + A2 * cos(f2)
b = A1 * sin(f1) + A2 * sin(f2).
Тогда, если принять Ar = (a + b)^0.5 и fr = arcsin(b/((a + b)^0.5)), получим конечный вариант
Sr = S1 + S2 = A1 * sin(w * t + f1) + A2 * sin(w * t + f2) = Ar * sin(w * t + fr)
О нумерации формул в статье[править код]
Предлагаю нумеровать формулы двойной нумерацией — раздел и формула в разделе: (1.1), (1.2) и т.д. А то, когда их много, за номерами трудно следить, при вставке одной формулы все следующие надо сдвигать. Уже сейчас есть две формулы (4). Dmitry Fomin 14:16, 13 ноября 2013 (UTC)
Формулы сложения гармонических колебаний 2[править код]
Я там исправил формулу asinx+bcosx=a2+b2sin(x+arcsinba2+b2){\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})} — в ней содержится ошибка. Дело в том, что нельзя просто записать ϕ=arcsinba2+b2{\displaystyle \phi =\arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}. Можно продемонстрировать на примере, когда эта формула будет неверна. Пусть a=−12{\displaystyle a=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}}, b=12{\displaystyle b={\frac {1}{\sqrt {2}}}}. Тогда −12sinx+12cosx=sin(x+3π4){\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin x+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos x=sin(x+{\frac {3\pi }{4}})}. А по формуле asinx+bcosx=a2+b2sin(x+arcsinba2+b2){\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}})} получится −12sinx+12cosx=sin(x+π4){\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin x+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cos x=sin(x+{\frac {\pi }{4}})}. Очевидно, что sin(x+π4){\displaystyle sin(x+{\frac {\pi }{4}})} и sin(x+3π4){\displaystyle sin(x+{\frac {3\pi }{4}})} — это разные функции. Clothclub 15:50, 17 апреля 2014 (UTC)
Формулы преобразования произведений функций[править код]
Есть формулы преобразования произведений 3 функций (синусов и/или косинусов ). Может, кто-то их впишет. Они есть в справочнике Бронштейна и Семендяева.
37.76.170.226 07:30, 13 июля 2018 (UTC)
Есть формулы преобразования синусов и косинусов в бесконечные произведения квадратичных двучленов. Может, кто-то их впишет. Они есть в справочнике Двайта.
37.76.170.226 07:34, 13 июля 2018 (UTC)
Основное тригонометрическое тождество
Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).
Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.
Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:
sin2α + cos2α = 1.
Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:
Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).
Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.
Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:
Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:
Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны на cos2α (для получения тангенса) или на sin2α (для котангенса).
Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.
Задача. Найдите sin α, если известно следующее:
Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:
sin2α + cos2α = 1 ⇒ sin2α + 99/100 = 1 ⇒sin2α = 1/100 ⇒sin α = ±1/10 = ±0,1.
Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π/2; π), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).
Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.
Задача. Найдите cos α, если известно следующее:
Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:
sin2α + cos2α = 1 ⇒ 3/4 + cos2α = 1 ⇒cos2α = 1/4 ⇒cos α = ±1/2 = ±0,5.
Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π/2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°).
Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если известно следующее:
Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:
Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α. Известно, что α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°).
Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.
Задача. Найдите cos α, если известно следующее:
Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:
sin2α + cos2α = 1 ⇒ 0,64 + cos2α = 1 ⇒cos2α = 0,36 ⇒cos α = ±0,6.
Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.
Задача. Найдите sin α, если известно следующее:
Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:
Отсюда получаем, что sin2α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π/2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) — I координатная четверть.
Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.
Смотрите также:
- Как формулы приведения работают в задаче B11
- Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
- Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 2 (без логарифмов)
- Метод узлов в задаче B5
- Задача B5: площадь кольца
Тригонометрические тождества и преобразования
Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:Простейшие тригонометрические тождества
Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)
Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.
Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.
Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.
Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)
Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:
Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:
Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла
Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла
Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица
Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла
Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.
Котангенс двойного угла
Формулы универсальной тригонометрической подстановки
Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем α/2 .Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.
Тригонометрические тождества преобразования половины угла
Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.
Тригонометрические формулы сложения углов
cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β
sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:
Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.
Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.
Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.
Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.
Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.
Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций
Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα
Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.
Формулы приведения тригонометрических функций
Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90) = cos α .
См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.
| Угол |
α + 90 α + π/2 |
α + 180 α + π |
α + 270 α + 3π/2 |
90 — α π/2- α |
180 — α π- α |
270 — α 3π/2- α |
360 — α 2π- α |
| sin | cos α | -sin α | -cos α | cos α | sin α | -cos α | -sin α |
| cos | -sin α | -cos α | sin α | sin α | -cos α | -sin α | cos α |
| tg | -ctg α | tg α | -ctg α | ctg α | -tg α | ctg α | -tg α |
| ctg | -tg α | ctg α | -tg α | tg α | -ctg α | tg α | -ctg α |