Формула дискрименанта – Дискрминант. Пожалуйста напомните мне формулы для дискриминанта Х1 Х2 — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 29.04.202011.01.2020 by alexxlab

Содержание

Дискриминант — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дискримина́нт многочлена p(x)=a0+a1x+⋯+anxn{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}}, an≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}, есть произведение

D(p)=an2n−2∏i<j(αi−αj)2{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}},

где α1,α2,…,αn{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}} — все корни многочлена (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена^[⇨], знак которого определяет количество действительных корней.

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
D(p)=(−1)n(n−1)/2anR(p,p′){\displaystyle D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p’)}, где R(p,p′){\displaystyle R(p,p’)} — результант многочлена p(x){\displaystyle p(x)} и его производной p′(x){\displaystyle p'(x)}.
- В частности, дискриминант многочлена

p(x)=xn+an−1xn−1+…+a1x+a0{\displaystyle p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}

равен, с точностью до знака, следующему определителю (2n−1)×(2n−1){\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}-матрицы:

Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.

Многочлен второй степени[править | править код]

Дискриминант квадратного трёхчлена ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} равен D=b2−4ac.{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}

При D>0{\displaystyle D>0} вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле

x1,2=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.

При D=0{\displaystyle D=0} корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:

x=−b2a{\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}.

При D<0{\displaystyle D<0} вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

x1,2=−b±i4ac−b22a{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}}.

Многочлен третьей степени[править | править код]

Дискриминант кубического многочлена ax3+bx2+cx+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d} равен

D=b2c2−4ac3−4b3d−27a2d2+18abcd.{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}

В частности, дискриминант кубического многочлена x3+px+q{\displaystyle x^{3}+px+q} (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен −27q2−4p3{\displaystyle -27q^{2}-4p^{3}}.

При D>0{\displaystyle D>0} кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
При D=0{\displaystyle D=0} он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
При D<0{\displaystyle D<0} кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).

Многочлен четвертой степени[править | править код]

Дискриминант многочлена четвертой степени ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e} равен

D=256a3e3−192a2bde2−128a2c2e2+144a2cd2e−27a2d4+144ab2ce2−6ab2d2e−80abc2de+18abcd3+16ac4e−4ac3d2−27b4e2+18b3cde−4b3d3−4b2c3e+b2c2d2.{\displaystyle {\begin{aligned}&D=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{aligned}}}

Для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s} дискриминант имеет вид

D=256s3−128q2s2+144qr2s−27r4+16q4s−4q3r2{\displaystyle D=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^{3}r^{2}}

и равенство D=0{\displaystyle D=0} определяет в пространстве (q,r,s){\displaystyle (q,r,s)} поверхность, называемую ласточкиным хвостом.

При D<0{\displaystyle D<0} многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
При D>0{\displaystyle D>0} многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.

А именно, для многочлена x4+qx2+rx+s{\displaystyle x^{4}+qx^{2}+rx+s}:^[1]

При D=0{\displaystyle D=0} многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.

Точнее:^[1]

если q<0{\displaystyle q<0} и s>q24{\displaystyle s>{\frac {q^{2}}{4}}}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
если q<0{\displaystyle q<0} и −q212<s<q24{\displaystyle -{\frac {q^{2}}{12}}<s<{\frac {q^{2}}{4}}}, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
если q<0{\displaystyle q<0} и s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}}, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
если q<0{\displaystyle q<0} и s=−q212{\displaystyle s=-{\frac {q^{2}}{12}}}, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
если q>0{\displaystyle q>0}, s>0{\displaystyle s>0} и r≠0{\displaystyle r\neq 0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
если q>0{\displaystyle q>0}, s=q24{\displaystyle s={\frac {q^{2}}{4}}} и r=0{\displaystyle r=0}, то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
если q>0{\displaystyle q>0} и s=0{\displaystyle s=0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
если q=0{\displaystyle q=0} и s>0{\displaystyle s>0}, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
если q=0{\displaystyle q=0} и s=0{\displaystyle s=0}, то один вещественный корень кратности 4.

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр^[2].

Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999, 2001, 2003.

Дискриминант алгебраического числового поля — Википедия

Фундаментальная область кольца целых чисел поля K, полученного из Q{\displaystyle \mathbb {Q} } путём присоединения корня x3−x2−2x+1{\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x+1}. Эта фундаментальная область находится внутри K⊗QR{\displaystyle {K{\otimes }_{\mathbb {Q} }}\mathbb {R} }. Дискриминант поля K равен 49 = 7². Соответственно, объём фундаментальной области равен 7 и K разветвляется только разветвляется^[en] в точке 7.

Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант, который, грубо говоря, измеряет размер (кольца целых чисел^[en]) алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и он определяет, какие простые числа разветвляются^[en].

Дискриминант является наиболее важным инвариантом числового поля и появляется в некоторых важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение^[en] дзета-функции Дедекинда поля K и формула для числа классов^[en] поля K. Старая теорема Эрмита утверждает, что имеется лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение этого числа остаётся открытой проблемой и является предметом исследований^[1].

Дискриминант поля K может называться абсолютным дискриминантом поля K для того, чтобы отличить его от относительного дискриминанта расширения K/L числовых полей. Последнее является идеалом в кольце целых чисел поля L и подобно абсолютному дискриминанту показывает, какие простые числа разветвляются в K/L. Он является обобщением абсолютного дискриминанта, позволяющим полю L быть больше Q{\displaystyle \mathbb {Q} }. Фактически, когда L=Q{\displaystyle L=\mathbb {Q} }, относительный дискриминант K/Q{\displaystyle K/\mathbb {Q} } является главным идеалом кольца Z{\displaystyle \mathbb {Z} }, порождаемого абсолютным дискриминантом поля K.

Пусть K будет алгебраическим числовым полем и пусть O_K будет его кольцом целых чисел^[en]

. Пусть b1,…,bn{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}} будет целочисленным базисом^[en] кольца O_K (т.е. базис как Z-модуль), и пусть {σ1,…,σn}{\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}} — множество вложений поля K в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец K→C{\displaystyle K\rightarrow \mathbb {C} }). Дискриминант поля K равен квадрату определителя n х n матрицы B, (i,j)-элементы которой равны σi(bj){\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}. В символической форме,

ΔK=det(σ1(b1)σ1(b2)⋯σ1(bn)σ2(b1)⋱⋮⋮⋱⋮σn(b1)⋯⋯σn(bn))2.{\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}

Эквивалентно, можно использовать след из K в Q{\displaystyle \mathbb {Q} }. В частности, определим форму следа как матрицу, (i,j)-элементы которой равны TrK/Q(bibj){\displaystyle \mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}. Эта матрица равна B^TB, так что дискриминант поля K является определителем этой матрицы.

ΔK={dd≡1(mod4)4dd≡2,3(mod4).{\displaystyle \Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.}

Целое число, которое появляется как дискриминант квадратичного числового поля, называется фундаментальным дискриминантом^[3].

ΔKn=(−1)φ(n)/2nφ(n)∏p|npφ(n)/(p−1){\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}}

где φ(n){\displaystyle \varphi (n)} — функция Эйлера, а произведение в знаменателе пробегает по всем простым p, делящим n.

Степенные базисы: В случае, когда кольцо целых чисел имеет степенной целочисленный базис^[en], то есть может быть записано как OK=Z[α]{\displaystyle O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]}, дискриминант поля K равен дискриминанту минимального многочлена от α{\displaystyle \alpha }. Чтобы это увидеть, можно выбрать целочисленный базис кольца OK{\displaystyle O_{K}} равным b1=1,b2=α,b3=α2,…,bn=αn−1{\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1}}. Тогда матрица в определении является матрицей Вандермонда, ассоциированной с αi=σi(α){\displaystyle \alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )}, квадрат определителя которого равен

∏1≤i<j≤n(αi−αj)2{\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}

что в точности совпадает с определением дискриминанта минимального многочлена.

Пусть K=Q(α){\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )} будет числовым полем, полученным присоединением корня α{\displaystyle \alpha } многочлена x3−x2−2x−8{\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8}. Данный пример является оригинальным примером Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задаётся как {1,α,α(α+1)/2}{\displaystyle \{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\}}, а дискриминант поля K равен −503^[5]^[6].
Дублирующиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля единственным образом определяет его, но в общем случае для числовых полей более высокой степени это неверно. Например, имеется два неизоморфных кубических поля^[en] с дискриминантом 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x³ − 21x + 28 или x³ − 21x − 35 соответственно^[7].

Теорема Брилля^[8]: Знак дискриминанта равен (−1)r2{\displaystyle (-1)^{r_{2}}}, где r₂ — число комплексных точек поля K^[9].
Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит ΔK{\displaystyle \Delta _{K}}^[10].
Теорема Штикельбергера^[11]:

ΔK≡0{\displaystyle \Delta _{K}\equiv 0} или 1(mod4).{\displaystyle 1{\pmod {4}}.}

|ΔK|1/2⩾nnn!(π4)r2⩾nnn!(π4)n/2.{\displaystyle |\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.}

Теорема Минковского^[13]: Если K не равно Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, тогда |ΔK|>1{\displaystyle |\Delta _{K}|>1} (это следует прямо из границы Минковского).
Теорема Эрмита — Минковского^[en]^[14]: Пусть N — положительное целое. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) алгебраических числовых полей K с |ΔK|<N{\displaystyle |\Delta _{K}|<N}. Снова, это следует из границы Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует лишь конечное число алгебраических полей с предписанным дискриминантом).

${\displaystyle$ Ричард Дедекинд показал, что любое числовое поле обладает целочисленным базисом, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля^[15].

Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля K было дано Дедекиндом в 1871^[15]. В это время он уже знал о связи между дискриминантом и разветвлением^[16].

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта и доказательство её Шарль Эрмит опубликовал в 1857^[17]. В 1877 Александр фон Брилль определил знак детерминанта^[18]. Леопольд Кронекер сформулировал теорему Минковского в 1882^[19], хотя доказательство её Герман Минковский дал лишь в 1891^[20]. В том же году Минковский опубликовал свою границу детерминанта^[21]. К концу девятнадцатого века Штикельбергер, Людвиг^[en] получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре^[22]^[23].

О дискриминанте, определённом выше, иногда говорят как об абсолютном дискриминанте поля K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта ΔK/L{\displaystyle \Delta _{K}/L} расширения числовых полей K/L, который является идеалом в O_L. Относительный дискриминант определяется так же, как и абсолютный дискриминант, но следует принимать во внимание, что идеал в O_L может не быть главным и что O_L может не быть базисом O_K. Пусть {σ1,…,σn}{\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}} будет множеством вложений K в C{\displaystyle \mathbb {C} }, которые являются единицами на L. Если b1,…,bn{\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}} является каким-либо базисом поля K над L, пусть d(b1,…,bn{\displaystyle d(b_{1},\dots ,b_{n}}) будет квадратом детерминанта n х n матрицы, (i,j)-элементы которой равны σi(bj){\displaystyle \sigma _{i}(b_{j})}. Тогда относительный дискриминант расширения K/L является идеалом, порождённым d(b1,…,bn){\displaystyle d(b_{1},\dots ,b_{n})}, где {b1,…,bn}{\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}} пробегает по всем целочисленным базисам расширения

K/L. (т.е. по базисам со свойством, что bi∈OK{\displaystyle b_{i}\in O_{K}} для всех i.) Альтернативно, относительный дискриминант расширения K/L равен норме^[en] дифферента^[en] K/L^[24]. Когда L=Q{\displaystyle L=\mathbb {Q} }, относительный дискриминант ΔK/Q{\displaystyle \Delta _{K/\mathbb {Q} }} является главным идеалом кольца Z{\displaystyle \mathbb {Z} }, порождаемым абсолютным дискриминантом ΔK{\displaystyle \Delta _{K}}. В башне полей K/L/F относительные дискриминанты связаны выражением

ΔK/F=NL/F(ΔK/L)ΔL/F[K:L]{\displaystyle \Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}},

где N{\displaystyle {\mathcal {N}}} обозначает относительную норму^[25]^[26].

Разветвление[править | править код]

Относительный дискриминант определяет ветвление^[en] расширения поля K/L. Главный идеал p поля L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант ΔK/L{\displaystyle \Delta _{K/L}}. Расширение разветвляется тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом^[24]. Граница Минковского выше показывает, что не имеется нетривиальных неразветвлённых расширений поля Q{\displaystyle \mathbb {Q} }. Поля, которые больше Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, могут иметь неразветвлённые расширения. Например, для любого поля с числом классов, бо́льшим единицы его гильбертово поле классов^[en], является нетривиальным неразветвлённым расширением.

Корневой дискриминант числового поля K степени n, часто обозначаемый rd_K, определяется как n-ый корень абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта поля K^[27]. Соотношения между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвлённом расширении. Существование башни полей классов даёт границы для корневого дискриминанта — существование бесконечной башни полей классов над Q(−m){\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}, где m = 3·5·7·11·19, показывает, что имеется бесконечно иного полей с корневым дискриминантом 2√m ≈ 296,276^[28]. Если r и 2s равны числу вещественных и комплексных вложений, так что n=r+2s{\displaystyle n=r+2s}, положим ρ=r/n{\displaystyle \rho =r/n} и σ=2s/n{\displaystyle \sigma =2s/n}. Обозначим через α(ρ,σ){\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )} инфимум rd_K для полей K с (r′,2s′)=(ρn,σn){\displaystyle (r’,2s’)=({\rho }n,{\sigma }n)}. Мы имеем (для достаточно больших)^[28]

α(ρ,σ)⩾60,8ρ22,3σ{\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 60,8^{\rho }22,3^{\sigma }},

а в предположении верности обобщённой гипотезы Римана

α(ρ,σ)⩾215,3ρ44,7σ.{\displaystyle \alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 215,3^{\rho }44,7^{\sigma }.}

Таким образом, мы имеем α(0,1)<296,276{\displaystyle \alpha (0,1)<296,276}. Мартине показал, что α(0,1)<93{\displaystyle \alpha (0,1)<93} и α(1,0)<1059{\displaystyle \alpha (1,0)<1059}^[28]^[29]. Войт^[27] доказал, что для чисто вещественных полей корневой дискриминант > 14 с 1229 исключениями.

При вложении в K⊗QR{\displaystyle K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R} } объём фундаментальной области кольца O_K равен |ΔK|{\displaystyle {\sqrt {|\Delta _{K}|}}} (иногда используется другая мера и объём получается равным 2−r2|ΔK|{\displaystyle 2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}}, где r₂ — число комплексных мест поля K).
Поскольку дискриминант появляется в этой формуле для объёма, он также появляется в функциональном уравнении дзета-функция Дедекинда поля K, а потому также в аналитической формуле числа классов и в теореме Брауэра–Зигеля^[en].
Относительный дискриминант расширения K/L равен кондуктору Артина^[en] регулярного представления^[en] группы Галуа расширения K/L. Это даёт связь между кондукторами Артина и характерами^[en] группы Галуа расширения K/L, которая называется формулой кондуктора-дискриминанта^[en]^[30].

↑ Cohen, Diaz y Diaz, Olivier, 2002.
↑ ¹ ² Manin, Panchishkin, 2007, с. 130.
↑ Cohen, 1993, с. Definition 5.1.2.
↑ Washington, 1997, с. Proposition 2.7.
↑ Dedekind, 1878, с. 30–31.
↑ Narkiewicz, 2004, с. 64.
↑ Cohen, 1993, с. Theorem 6.4.6.
↑ Koch, 1997, с. 11.
↑ Washington, 1997, с. Lemma 2.2.
↑ Neukirch, 1999, с. Corollary III.2.12.
↑

Дискриминант — это… Что такое Дискриминант?

Дискримина́нт многочлена , есть произведение

, где — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
, где — результант многочлена и его производной .
- В частности, дискриминант многочлена

равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:

Примеры

В частности, дискриминант многочлена (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен .

История

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр^[1].

Примечания

Фундаментальный дискриминант — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фундаментальный дискриминант D — это целочисленный инвариант в теории целочисленных квадратичных форм от двух переменных (бинарных квадатичных форм). Если Q(x,y)=ax2+bxy+cy2{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}} является квадратичной формой с целыми коэффициентами, то D=b2−4ac{\displaystyle D=b^{2}-4ac} является дискриминантом формы Q(x, y).

Существуют явные условия конгруэнтности, которые дают множество фундаментальных дискриминантов. Конкретно — D является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

Первые десять положительных фундаментальных дискриминантов:

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33 (последовательность A003658 в OEIS).

Первые десять отрицательных фундаментальных дискриминантов:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (последовательность A003657 в OEIS).

Есть связь теории целочисленных бинарных квадратичных форм и арифметикой квадратичных числовых полей. Основное свойство этой связи — D₀ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда D0=1{\displaystyle D_{0}=1} или D₀ является дискриминантом квадратичного числового поля. Существует в точности одно, с точностью до изоморфизма, квадратичное поле для любого фундаментального дискриминанта D0≠1{\displaystyle D_{0}\neq 1}.

Предупреждение: Существует причина, по которой некоторые авторы не считают 1 фундаментальным дискриминантом — можно рассматривать D0=1{\displaystyle D_{0}=1} как вырожденное «квадратичное» поле Q (рациональные числа).

Фундаментальные дискриминанты можно описать их разложением на положительные и отрицательные простые числа. Определим множество

S={−8,−4,8,−3,5,−7,−11,13,17,−19,…}{\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \}},

где простые числа ≡ 1 (mod 4) берутся положительными, а числа, сравнимые с 3, берутся отрицательными. Тогда число D0≠1{\displaystyle D_{0}\neq 1} является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда оно является произведением взаимно простых членов S.

Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида , то есть при чётном , где
вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:

Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:

Также при чётном удобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

или, если уравнение приведённое: