Формулы дискриминанта с четным коэффициентом – Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

У р о к 4 (49) Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом

Цели: вывести формулу (II) нахождения корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом; формировать умения применять формулы I и II для решения квадратных уравнений.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Назовите коэффициенты a, b, c уравнений:

а) 4х2 – 5х – 7 = 0; г) 8 – 9х2 = 0;

б) х2 + 2 – 3х = 0; д) 11х2 = 0;

в) 3х2 + 2х = 0; е) 17 – х2х = 0.

2. Решите уравнение:

а) 2х2 – 18 = 0; в)

х2 + 16 = 0;

б) 3х2 – 12х = 0; г) 3,6х2 = 0.

3. Сколько корней имеет уравнение:

а) 6х2 – 5х = 0; в) 3х2 – 4 = 0;

б) х2 – 4х + 4 = 0; г) 2х2 + 7 = 0?

III. Объяснение нового материала.

С о з д а н и е п р о б л е м н о й с и т у а ц и и.

Предложить учащимся для решения квадратное уравнение 15х2 – 34х + + 15 = 0. Используя формулу нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

D = (–34)2 – 4 · 15 · 15 = 1156 – 900 = 256.

;

.

Решая это уравнение, учащиеся вынуждены проводить вычисления достаточно громоздкие, в отличие от ранее решаемых уравнений.

Можно теперь сообщить учащимся, что для решения квадратных уравнений, у которых второй коэффициент четный, существует другая формула корней, позволяющая упростить вычисления.

Вывод этой формулы проводится согласно пункту учебника. Причём в сильном классе можно предложить учащимся проделать это самостоятельно, записав только общий вид такого уравнения:

ax2 + 2 ∙ kx + c = 0 (b = 2k).

После вывода формулы возвращаемся к решенному уравнению и применяем новую формулу:

D = (–17)2 – 15 · 15 = 289 – 225 = 64;

;

.

Как видим, вычисления можно произвести «в уме», так как все значения квадратов чисел – табличные.

На доску можно вынести п л а к а т:

(обращаем внимание учащихся, что D1 в четыре раза меньше, чем D)

Р е ш е н и е к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я

a2 + 2kx + c = 0, a ≠ 0;

D1 = k2ac.

Если D1 < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D1 = 0, то x = .

Если D1 > 0, то x = .

IV. Формирование умений и навыков.

Все у п р а ж н е н и я, решаемые на этом уроке, можно разбить на три группы:

1-я г р у п п а. Упражнения на непосредственное применение формулы (II) корней квадратного уравнения.

2-я г р у п п а. Упражнения с выбором формулы (I или II) корней квадратного уравнения в зависимости от второго коэффициента.

3-я г р у п п а. Упражнения повышенной трудности.

1. № 539 (б, г, ж), № 540 (в, з).

При решении этих упражнений демонстрируем учащимся применение новой формулы для случая, когда корни уравнения являются иррациональными. Для этого вызываем двух учеников к доске и параллельно проводим решение по разным формулам.

№ 539 (ж).

Р е ш е н и е

7z2 – 20z + 14 = 0.

Ф о р м у л а I

Ф о р м у л а II

D = (–20)2 – 4 · 7 · 14 =

= 400 – 392 = 8.

D1 = (–10)2 – 7 · 14 =

= 100 – 98 = 2.

(Ещё раз замечаем, что D1 = .)

x = .

Вынесем множитель

из-под знака корня:

x = , то есть

x = .

x = .

Таким образом, получаем такие же корни.

2. № 541 (б, в, ж), № 546 (а, г), № 550 (б), № 552 (а, в), № 553 (а).

3. № 554, № 555.

Эти упражнения можно предложить сильным в учебе учащимся, сократив для них количество заданий из 1-й и 2-й группы.

№ 554.

Р е ш е н и е

а) х2 – 5х + 6 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 1 · 6 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = = 2;x2 = = 3.

6х2 – 5х + 1 = 0;

D = (–5)2 – 4 · 6 · 1 = 25 – 24 = 1, D > 0.

x1 = ;x2 = .

б) 2х2 – 13х + 6 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 2 · 6 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = ;x2 = = 6.

6х2 – 13х + 2 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 6 · 2 = 169 – 48 = 121, D > 0.

x1 = ;x2 = = 2.

Можно предположить, что корни уравнений ax2 + bx + c = 0 и cx2 + + bx + a = 0 являются взаимно-обратными числами. Докажем это.

ax2 + bx + c = 0.

cx2 + bx + a = 0.

x1 =

;

x2 = .

x3 = ;

x4 = .

(Мы предполагаем, что b2 – 4ac ≥ 0, то есть корни существуют.)

Вычислим x1x4 = =

= 1. Значит, х1

и х4 – взаимно-обратные числа.

Аналогично доказывается, что x2 и x3 – взаимно-обратные числа.

№ 555.

Р е ш е н и е

х2ах + (а – 4) = 0.

D = (–а)2 – 4 · 1 · (а – 4) = а2 – 4а + 16.

Чтобы определить количество корней, необходимо оценить дискриминант. Выделим в выражении квадрат двучлена:

D = (а2 – 2 · 2 · а + 4) + 12 = (а – 2)2 + 12.

Дискриминант принимает положительные значения при любом а (точнее D ≥ 12), значит, при любом а уравнение имеет два корня.

О т в е т: а) нет; б) нет; в) при любом а.

studfile.net

8.8-3. Квадратные уравнения с чётным вторым коэффициентом — математика в тестах

Алгебра. 8 класс. Параграф 8. Тест 3

Вариант 1.

Решить уравнения.

1.  3x2-10x+3=0.

3.  5x2+14x-3=0.

A) -3; -0,2; B) 0,2; 3; C) -3; 0,2; D) -3; 0,5.

4.  5x2-18x+9=0.

A) -3; -0,6; B) -0,6; 3; C) 3; D)  0,6; 3.

5.  5x2-18x-8=0.

A) 0,4; 4; B) -4; -0,4; C) -0,4; 4; D) -4; 0,2.

6.  7x2+82x+55=0.

7. 9x2+12x-5=0.

9.  7(x2+2x-2)=(1-x)(1+x).

A) -2,5; -0,75; B) -0,75; 2,5; C) 0,75; 2,5; D) -2,5; 0,75.

10.  6x(x+4)+2x(x-1)= -15.

A) -1,5; 1,25; B) -1,5; -1,25; C) 1,25; 1,5; D) -2,5; 1,25.

Вариант 2.

Решить уравнения.

1.  3x2+14x-5=0.

3.  5x2-36x+7=0.

A) -7; 0,2; B) -0,2; 7; C) -7; 0,2; D) 0,2; 7.

4.  5x2-22x+8=0.

A) -4; -0,4; B) -0,4; 4; C) 0,4; 4; D)  -4; 0,4.

5.  5x2+12x-9=0.

A) -3; 0,6; B) -3; -0,6; C) -0,6; 3; D)  0,6; 3.

6.  7x2+62x+48=0.

7.  9x2-6x-8=0.

9.  5(x2+x+3)=3х(9-x).

A) -1,5; -1,25; B) -1,25; 1,5; C) -1,5; 1,25; D) 1,25; 1,5.

10.  2x(x+5)+2(x2-18)= 6х-1.

A) -3,5; -2,5; B) 2,5; 3,5; C) -3,5; 2,5; D) -2,5; 3,5.


Поделиться новостью в соцсетях « Предыдущая запись Следующая запись »

mathem-test.ru

Что это за формула для нахождения дискреминанта?

Называется формула для нахождения корней квадратного уравнения с чётным коэффициентом при х. Если коэффициент при х есть чётное число, то вместо дискриминанта удобнее вычислить его четверть. В данном случае через D1 обозначили D/4. Иногда это обозначают через d, но чаще оставляют просто D/4, чтобы меньше было путаницы и вопросов. Иногда обозначают половину чётного коэффициента при х буквой k: k = b/2 В этом случае формула для корней квадратного уравнения принимает простой вид: x1,2 = (-k +- sqrt(D1) / a, где D1 = D/4 = k^2 — ac. Эта формула проще тем, что: 1. В квадрат возводится не сам коэффициент b, а его половина. 2. Из этого квадрата вычитается не 4aс, а просто ac 3. В знаменателе содержится не 2а, а просто а. Если а = 1, т. е. уравнение приведённое, как в данном случае, то формула ещё упрощается: x1,2 = -k +- sqrt(D1), где D1 = k^2 — c Эту формулу и применили. Она легко выводится из общей формулы путём соответствующих подстановок и упрощений и применима для уравнений такого вида: x^2 + 2kx + c = 0 В данном случае k = 1, c = -120.

Я формулу дискриминанта и нахождения корней по нему помню до сих пор, а вам должно быть стыдно 🙂 <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/u_85a85f637e0814757e86b06ef89f3558_800.jpg» alt=»» data-lsrc=»//otvet.imgsmail.ru/download/u_85a85f637e0814757e86b06ef89f3558_120x120.jpg» data-big=»1″>

стандартная формула 4+480-сократи на 4 и всё,чем меньше число, тем легче считать

touch.otvet.mail.ru

напишите формулу квадратного уровнение где второе число чётное

..ну формула квадратного уравнения ах2+bx+c=0..не поняла что тебе нужно..

если число четное, то через коэффициент, К= -в / 2а…. потом х1= -K +,-корень из D/a

по такиому условию могу предложить только ax^2 +2bx + с =0

х2+2х-3=0 ну вот только так… . Задание какое-то странное…

формулу для квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом

touch.otvet.mail.ru

План-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме: Решение квадратных уравнений

                               Конспект урока по алгебре в 8 классе

             на тему «Решение квадратных  уравнений по  формуле №2

                             с чётным  вторым  коэффициентом»

Цели урока:

                     1. Вывести формулу корней квадратного уравнения с четным вторым

                        коэффициентом.

                     2. Продолжить формирование навыка решений квадратных уравнений .

                     3.Расширение знаний и навыков решения квадратных уравнений.

                     4.Развитие интеллекта , сознательного отношения к учебе.

                                      СОДЕРЖАНИЕ   УРОКА:

I .ПРОВЕРКА   ДОМАШНЕГО   ЗАДАНИЯ

 1.В парах по заранее  приготовленным заданиям на доске проверяют правильность выполненных уравнений.

№542  а)5х2= 9х+2

              5х2 —  9х-2 =0

                Д=b2 – 4ac=81+40=121,Д >0 ,2 корня :

х1,2 =

Х1,2 = ;  х1=2; х2=-0,2

     

           б)-х2 =5х -14

              -х2 —5х +14 =0

               х2 +5х  — 14=0,          

         Д=b2 – 4ac=25+56= 81; Д >0 ,2 корня : х1,2  === — 7; 2

           в) 6х+9 =х2

               х2 – 6х – 9=0

         

Д=b2 – 4ac=35+36=72; Д >0 ,2 корня : х1,2  === 3 +3;3 —  3;

          г ) z -5 = z2 -25

           z2 –z -20 =0

   

   Д=b2 – 4ac=1+80=81; Д >0 ,2 корня : х1,2  === 5 ; — 4

           д ) у2 =52у -576

              у2   -52у +76 =0

Д=b2 – 4ac=2704 -2304=400; Д >0 ,2 корня : х1,2  === 36 ; -16

            е ) 15 у2 -30 =22у +7

                  15 у2 -22у  -37 =0

Д=b2 – 4ac=484 +2220=2704; Д >0 ,2 корня : х1,2  === -1; 2

       ж ) 25p2 -10p +1=0

   

Д=b2 – 4ac=100-100=0; Д =0 ,1 корень : х= = 0,2

       з ) 299х2 +100х =500- 101х2

           400х2 +100х-500 =0| : 100

           4х2 + х -5 =0

       Д=b2 – 4ac=1+80 =81; Д >0 ,2 корня : х1,2  === 1; -1

№543

        а) 25=26х-х2 

          х2 -26х +25 =0

     

      Д=b2 – 4ac=676-100 =576; Д >0 ,2 корня : х1,2  === 25 ;1

        б)3х2 =10 -29х

           3х2 +29х -10 =0

Д=b2 – 4ac=841+120= 961; Д >0 ,2 корня : х1,2  === -10 ;

       в )у2 = 4у +96

         у2 — 4у -96 =0

       

Д=b2 – 4ac=16+384= 400; Д >0 ,2 корня : х1,2  === -8 ;12

      г   )  3p2 +3=10р

           3p2 — 10р  +3 =0

     Д=b2 – 4ac=100-36= 64; Д >0 ,2 корня : х1,2  === 3 ;

    д )   х2 -20х=20х+100

          х2 -40х -100 =0

Д=b2 – 4ac=1600+400= 2000; Д >0 ,2 корня :

х1,2  ===20+10; 20 -10;

     е ) 25х2 -13 х =10х2 -7

          15х2 -13х +7 =0

Д=b2 – 4ac=169 -420= -259; Дкорней нет

II. УСТНЫЕ   УПРАЖНЕНИЯ

1.Докажите ,что -1 является корнем уравнения : х3 +1=0, х2 -1=0,х2+х =0,х2+3х+2=0.

2.Укажите коэффициенты квадратного уравнения:

2х2 -5х+10 = 0 , 2+х+х2=0 ,   х2 +3х -0,5 =0    , 5х2 -4х =3   , 0,5х2 –х -3 =0 , 8х -7 =х2

1-3х-2х2 =0   ,    11-2х2 =4х.

3.Замените уравнение равносильным ему приведённым квадратным уравнением:

3х2-6х -12 =0;    х2 -3х +6=0;       -х2+2х -2 =0;   10х2 -20х +30 =0.

4.Имеет ли квадратное уравнение корни ; если имеет, то сколько; рациональными или иррациональными числами являются   корни:  4х2-12х +9 =0 , 2х2+3х -9 =0;

5х2-х+2=0 ;  4х2+7х -1 =0;   х2-3х +5 =0;   3х2+2х -2 =0;   3х2-11х +10=0; 25х2+10х+1=0

5.Подберите какие-нибудь значения с , при   которых  уравнение имеет   корни:

    х2-3х +с =0;                5х2- 2х +с =0.

III.АКТУАЛИЗАЦИЯ ОПОРНЫХ  ЗНАНИЙ :

(проводится в виде  диктанта с взаимопроверкой в парах, двое учащихся выполняют задания на отворотах доски)

1.Запишите общий вид  квадратного  уравнения  и  формулу  дискриминанта:

2.При каком условии полное квадратное уравнение :

Имеет  единственный корень                         |          не имеет  корней

3.Вычислите дискриминант  квадратного уравнения :

3х2 -8х — 3=0                                                    |              2х2 -3х -2=0

4.Решите квадратное уравнение :

х2-4х+9=0                                                      |               х2-6х+5=0

5. Подберите  какое-нибудь значение  с , при котором уравнение имеет  корни:

  х2 -3х +с=0;                                                  |             х2-2х+с=0.

IV.     ИЗУЧЕНИЕ   НОВОГО     МАТЕРИАЛА:

 Поручить уч-ся самостоятельно изучить в течение 5 минут  вывод формулы из п.21(стр.115).Затем сильный ученик выполняет вывод на доске ,  дети записывают в тетради. Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом , формулу корней  удобно записывать в другом виде:

               ах2 +2kх +с =0

     D=b2 – 4ac=4k2-4ас =4(k2 –ас),D1 = k2 –ас; если D1>0,  то

 х1,2  ===, где D1  = k2 –ас ,

если D1

   Привести  вторую запись данной формулы при условии  , если  в приведенном квадратном  уравнении  второй коэффициент чётный :

х2 +2kх +с =0; , где b =2k , то есть : х1,2 =   (формулаII)

   Для быстрого запоминания формулы  привожу стихотворные строки:

 «  …б  со знаком взяв обратным  , мы на два его поделим  ,

И от корня аккуратно  знаком   „минус-плюс”  отделим ,

а под корнем очень кстати – половина  б в квадрате, минус це (с)  и вот решенье небольшого уравненья»

  V.    ЗАКРЕПЛЕНИЕ   ИЗУЧЕННОГО:

 Решить на доске : №539 (а,б,в,ж)

    а )3х2 -14х+16=0                                           б) 5х2 -16х+3=0                                          

Д1=72-3·16=1, х1,2 == 2 ;2                 Д1=82-15=49, х1,2 == ;3

в ) х2  +2х-80=0                                            ж)7z2 -20z+14=0                                      

х1,2 = -1=-19 =8; -10                Д1=102-7∙14=2, х1,2 =.

Обучающая самостоятельная работа :№539 (г, д , е, з)   с последующей проверкой. Ответы :

г

23;  -1

д

5,5; 3,5

е

-1; 2

з

5+ 5 ; 5 — 5

VI.  ИТОГ   УРОКА:

1.воспроизвести буквенную запись формулы на доске.

2.Словесная формулировка нового правила :

   А ) Что означаетД1 ?

   Б)Как быстро запомнить формулу корней?

VII  . Приёмы устного решения некоторых квадратных уравнений

Сообщение о случаях устного решения отдельных видов квадратных уравнений готовится с  помощью учителя заранее сильным учеником.

В сообщении ученика приводятся приёмы для квадратных  уравнений ах2+bх+с =0:

1.Если а+b+с=0 , то х1 =1 , х2 =;

2.Если а+ с =b  , то х1 = -1;  х2 =.

Решаем устно :

1)   х2 +17х-18=0,   2) х2 -19х+18=0;    3)13х2 -29х+16=0 ;     4) х2 +2009х-2010=0;

5) х2 -5х-6=0  ;         6)17 х2 -19х-36=0;         7) х2 +17х+16=0

1

2

3

4

5

6

7

1;  -18

1;18

1;

1,-2010

-1;6

-1;

-1;-16

VII  .ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ :

 запомнить выведенные формулы п21учебника,№540,№543.          

         

nsportal.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.