Вычислить первообразную сложной функции

Теоретическая часть

Понятие первообразной функции актуально в механике. Проблема нахождения функции по некоторой определённой производной этой же функции является задачей первообразной. Поэтому будем считать, что задачи по нахождению производных функций уже известны. Обычно понятие первообразной разбирают в рамках вопроса нахождения определённого интеграла.

Определение 1

Первообразная функция $F(x)$ или просто первообразная является таковой, если в любой точке $x$ из некоторого замкнутого интервала $X=(a,b)$ на числовом множестве (или на бесконечной прямой) $F(x)$ дифференцируема и $F'(x)=f(x)$.

Если известны основные элементарные производные, то задача нахождения первообразной разрешима.

Если $C$ — любая постоянная величина (константа), то $F(x)+C$ — тоже первообразная для $f(x)$. Это означает, что у функции имеется бесконечное множество первообразных, которые отличны друг от друга на постоянную величину, потому что производная от $C$ равна нулю. Графически первообразные одной функции будут представлять собой одинаковую кривую с параллельным сдвигом относительно друг друга в направлении оси ординат.

Теорема 1

Две любые первообразные одной функции могут отличаться только на постоянное слагаемое. То есть $F_1(x)-F_2(x)=C$.

Неопределённый интеграл от какой-либо функции представляет общий вид (выражение) всех её первообразных. Заметим, что первообразная и неопределённый интеграл существуют только для непрерывных функций на заданном промежутке.

Найти общее выражение первообразных представляется возможным, если решить неопределённый интеграл от заданной функции.

Практическая часть

Для интегрирования сложных функций существует специальный способ — способ замены переменных.

Рассмотрим примеры. Будем пользоваться таблицей неопределённых интегралов.

Рисунок 1. Таблица неопределённых интегралов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Имеется функция

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Введём замену. Пусть $t=ax$. Тогда:

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Дана функция

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Произведём замену $t=x^2+a^2$. Тогда

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Имеется

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Сделаем замену $t=\sin x$.

Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Замена $t=x^2$.

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Первообразная. Интеграл. Формула Ньютона-Лейбница | Подготовка к ЕГЭ по математике

Математики любят всякому действию сопоставить противодействие.

Сложению противодействует вычитание, умножению – деление, возведению в степень – извлечение корня и т.п.

И противодействие  дифференцированию (то есть взятию производной) есть! Это интегрирование.

Но давайте по порядку.

Первообразная

 

Первообразной  функцией  (также называют  антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная  которой (на всей области определения) равна f, то есть .

Вычисление первообразной называется интегрированием.

Пример:

+ показать

 

Множество первообразных функций для называют неопределенным интегралом функции y = f(x) и обозначают  :

 

Определенный интеграл

 

Определенный интеграл записывается так:

То есть у нас появляются границы интегрирования. – нижняя граница интегрирования, – верхняя.

Так вот формула Ньютона-Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл следующим образом:

При вычислении первообразных вы можете пользоваться таблицей первообразных.

Пример:

+ показать

Вычислить интеграл

Решение:

Ответ: 0,25.

 

Геометрический смысл определенного интеграла

 

Сначала нам придется познакомиться с понятием «криволинейная трапеция».

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком некоторой неотрицательной непрерывной функции , осью   и прямыми :

Так вот, с геометрической точки зрения площадь криволинейной трапеции,  ограниченной графиком  функции , осью   и прямыми есть интеграл от на отрезке :

Примеры:

+ показать

1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью и прямыми

Решение: 

В общем-то, перед нами – прямоугольная трапеция с основаниями 3 и 7 и высотой 2.

Мы легко можем посчитать площадь трапеции по формуле :

.

Но, все же, мы посчитаем площадь через интеграл, а затем сверим результаты.

Итак,

Ну вот, все сошлось.

Ответ: 10.

Никто не спорит, здесь можно обойтись и без интеграла, но без него не обойтись в случаях, когда представляет из себя кривую, отличную от прямой линии.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью и прямыми

Решение:

Ответ:

Интегрирование по частям — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла

∫udv=uv−∫vdu{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}

или в другой записи

∫uv′dx=uv−∫vu′dx{\displaystyle \int u\,v’dx=u\,v-\int v\,u’dx}

для определённого интеграла

∫abudv=uv|ab−∫abvdu{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}

Предполагается, что нахождение интеграла ∫vdu{\displaystyle \int v\,du} проще, чем ∫udv{\displaystyle \int u\,dv}. В противном случае применение метода не оправдано.

Для неопределённого интеграла[править | править код]

Функции u{\displaystyle \textstyle {\mathit {u}}} и v{\displaystyle \textstyle {\mathit {v}}} гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

d(uv)=vdu+udv{\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

∫d(uv)=∫vdu+∫udv{\displaystyle \int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv}

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

uv=∫vdu+∫udv{\displaystyle u\,v=\int v\,du+\int u\,dv}

После перестановок:

∫udv=uv−∫vdu{\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int v\,du}

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

∫dxx=1x⋅x−∫−1×2⋅xdx=1+∫dxx{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+\int {\frac {dx}{x}}}

Отсюда «следствие»: 0=1{\displaystyle 0=1}, что очевидно неверно.

Для определённого интеграла[править | править код]

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

d(uv)=vdu+udv{\displaystyle d(u\,v)=v\,du+u\,dv}

∫abd(uv)=∫abvdu+∫abudv{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\,dv}

∫abudv=uv|ab−∫abvdu{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v\,du}

Данные формулы справедливы, если каждая из функций u{\displaystyle u} и v{\displaystyle v} непрерывно дифференцируема на области интегрирования.

• ∫xcos⁡xdx=∫xd(sin⁡x)=xsin⁡x−∫sin⁡xdx=xsin⁡x+cos⁡x+C{\displaystyle \int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C}
• ∫exxdx=∫xd(ex)=xex−∫exdx=xex−ex+C{\displaystyle \int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=x\,e^{x}-\int e^{x}\,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C}
• Иногда этот метод применяется несколько раз:

∫x2sin⁡xdx=∫x2d(−cos⁡x)=−x2cos⁡x−∫−2xcos⁡xdx={\displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\,dx=}

=−x2cos⁡x+∫2xd(sin⁡x)=−x2cos⁡x+2xsin⁡x−∫2sin⁡xdx=−x2cos⁡x+2xsin⁡x+2cos⁡x+C{\displaystyle =-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

∫ln⁡xdx=xln⁡x−∫1xxdx=xln⁡x−x+C{\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C}

∫arctgxdx=xarctgx−∫x1+x2dx=xarctgx−12ln⁡(1+x2)+C{\displaystyle \int \operatorname {arctg} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C}

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

I1=∫eαxsin⁡βxdx={\displaystyle I_{1}=\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx=}

=∫eαxd(−1βcos⁡βx)=−1βeαxcos⁡βx+αβ∫eαxcos⁡βxdx=−1βeαxcos⁡βx+αβI2{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}}

I2=∫eαxcos⁡βxdx={\displaystyle I_{2}=\int e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}\,dx=}

=∫eαxd(1βsin⁡βx)=1βeαxsin⁡βx−αβ∫eαxsin⁡βxdx=1βeαxsin⁡βx−αβI1{\displaystyle =\int e^{\alpha x}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}}

Таким образом один интеграл выражается через другой:

{I1=−1βeαxcos⁡βx+αβI2I2=1βeαxsin⁡βx−αβI1{\displaystyle {\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{\alpha x}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}}

Решив полученную систему, получаем:

I1=eαxα2+β2(αsin⁡βx−βcos⁡βx)+C{\displaystyle I_{1}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}-\beta \cos {\beta x}{\Big )}+C}

I2=eαxα2+β2(αcos⁡βx+βsin⁡βx)+C{\displaystyle I_{2}={\frac {e^{\alpha x}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+\beta \sin {\beta x}{\Big )}+C}

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, а вместо производной − частная производная.

Пусть Ω{\displaystyle \Omega } открытое ограниченное подмножество Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} с кусочно-гладкой границей ∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. Если u{\displaystyle u} и v{\displaystyle v} гладкие функции на замыкании Ω{\displaystyle \Omega }, то

∫Ω∂u∂xivdx=∫∂Ωuvnidσ−∫Ωu∂v∂xidx{\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,dx=\int _{\partial \Omega }uvn_{i}\,d\sigma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,dx}

где n→{\displaystyle {\vec {n}}} − внешняя нормаль к ∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }, а ni{\displaystyle n_{i}} − её i-ая координата, i от 1 до n, σ{\displaystyle \sigma } — мера на ∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }.

Также см. Математический анализ#Библиография.

Первообразная

Задачи на первообразную, которых ждали, появились в Открытом банке заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике  Давайте и мы вспомним теорию и рассмотрим решение задач по этой теме.

Функцию называют первообразной для функции  на заданном промежутке , если для любого  из этого промежутка выполняется равенство .

Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.  Интегрирование — математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию.

Множество всех первообразных называют неопределенным интегралом от функции  и обозначают

∫

Рассмотрим пример решения задачи из  Задания В8 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

Прототип задания B8 (№ 323077)

На рисунке изображён график функции 

, одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале  . Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  на отрезке .

Поскольку

— первообразная функции  — это функция, производная которой равна : — исходную задачу можно переформулировать так: по графику функции найти количество точек, принадлежащих отрезку , в которых производная функции равна нулю.

Как мы знаем, производная равна нулю в точках экстремума. (Замечу, что обратно неверно — если производная равна нулю, то это не обязательно тока экстремума.)

Отметим на рисунке сам отрезок и точки экстремума на графике функции:

 

Точки экстремума («холмики» и «впадинки») выделены красным цветом. На отрезке  их 10.

Ответ: 10.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.