функции / Про функцию, для которой f(x) = f(1/x) / Математика

В общем случае верно только то, что производная в точке $%x=1$% равна нулю, что следует из формулы для производной сложной функции: $%f'(x)=(f(\frac1x))’=-\frac1{x^2}f'(\frac1x)$%, что при $%x=1$% превращается в $%f'(1)=-f'(1)$%, то есть $%f'(1)=0$%. Однако из равенства нулю производной ещё не следует наличие экстремума в этой точке. Например, функция $%g(t)$%, равная $%t^2\sin\frac1t$% при $%t\ne0$% и такая, что $%g(0)=0$%, непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. Легко видеть, что она имеет нулевую производную в нуле, и при этом точка $%t=0$% не является ни точкой локального максимума, ни точкой локального минимума. В любой сколь угодно малой окрестности нуля, как правой, так и левой, функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, то есть колеблется в обе стороны относительно значения $%g(0)=0$%.

Исходя из этой конструкции, нетрудно построить пример функции $%f(x)$%, удовлетворяющей условию, но не имеющей $%x=1$% в качестве точки экстремума. Достаточно положить $%f(x)=(x-1)^2\sin\frac1{x-1}$% при $%x > 1$% и $%f(x)=(\frac1x-1)^2\sin\frac{x}{1-x}$% при $%x < 1$%, а также положить $%f(1)=0$%. Все условия будут выполнены, но экстремума при этом не будет.

Что касается других примеров функций, то можно взять любую дифференцируемую функцию $%h(x)$%, определённую при положительных $%x$%, и в качестве $%f(x)$% взять сумму $%h(x)+h(\frac1x)$%, произведение $%h(x)h(\frac1x)$%, или какую угодно функцию, «симметричную» относительно $%h(x)$% и $%h(\frac1x)$%. Например, $%f(x)=2^x+2^{1/x}+\cos x\cos\frac1x$%.

Что касается примеров, выходящих за рамки определённой конструкции, то надо начать с того, чтобы её сначала описать. Пусть имеется произвольная функция $%h(x)$%, заданная при $%x > 0$%, а также функция $%G(a,b)$% от двух переменных, обладающая свойством $%G(a,b)=G(b,a)$%. Тогда функцию из условия можно задать формулой $%f(x)=G(h(x),h(\frac1x))$%, и все свойства будут выполнены при условии дифференцируемости используемых функций.

За пределы таких примеров выйти, к сожалению, нельзя по следующей причине. Если мы положим $%G(a,b)=\frac{a+b}2$% и в качестве $%h(x)$% возьмём саму функцию $%f(x)$%, что не запрещено конструкцией, то будет выполняться тождество $%f(x)=G(h(x),h(\frac1x))$%, так как оно равносильно $%f(x)=\frac{f(x)+f(\frac1x)}2$%.

Можно разве что прибегнуть к «маскировке», указав аналитическое выражение, в котором этот эффект не так заметен (типа степеней логарифма). Но само свойство будет всё равно выполняться. Например, можно взять любую чётную функцию от логарифма типа $%\cos\ln x$%.

math.hashcode.ru

Калькулятор онлайн — Найти (с решением) производную функции

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно найти производную функции. Программа решения производной не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения производной функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Вы можете посмотреть теорию о производной функции и правила дифференцирования и таблицу производных, т.е. список формул для нахождения производных от некоторых элементарных функций.

Если вам нужно найти уравнение касательной к графику функции, то для этого у нас есть задача Уравнение касательной к графику функции.

Примеры подробного решения >>

Введите выражение функции

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Определение производной

Определение. Пусть функция \( y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \( x_0 \). Дадим аргументу приращение \( \Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \( \Delta y \) (при переходе от точки \( x_0 \) к точке \( x_0 + \Delta x \) ) и составим отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \( \Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \( y=f(x) \) в точке \( x_0 \) и обозначают \( f'(x_0) \).

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x_0) $$

Для обозначения производной часто используют символ y’. Отметим, что y’ = f(x) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так:

производная функции у = f(x).

Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\( k = f'(a) \)

Поскольку \( k = tg(a) \), то верно равенство \( f'(a) = tg(a) \) .

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \( y = f(x) \) имеет производную в конкретной точке \( x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f'(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(x) \), т.е. \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х. Например, для функции \( y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \( \Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.

Сформулируем его.

Как найти производную функции у = f(x) ?

1. Зафиксировать значение \( x \), найти \( f(x) \)
2. Дать аргументу \( x \) приращение \( \Delta x \), перейти в новую точку \( x+ \Delta x \), найти \( f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \( \Delta y = f(x + \Delta x) — f(x) \)
4. Составить отношение \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.

Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).

Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \( \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \( \Delta x \) устремить к нулю, то и \( \Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Еще один пример. Функция \( y=\sqrt[3]{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \( f'(0) \)

Итак, мы познакомились с новым свойством функции — дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

$$ C’=0 $$ $$ x’=1 $$ $$ ( f+g)’=f’+g’ $$ $$ (fg)’=f’g + fg’ $$ $$ (Cf)’=Cf’ $$ $$ \left(\frac{f}{g} \right) ‘ = \frac{f’g-fg’}{g^2} $$ $$ \left(\frac{C}{g} \right) ‘ = -\frac{Cg’}{g^2} $$ Производная сложной функции:
$$ f’_x(g(x)) = f’_g \cdot g’_x $$

Таблица производных некоторых функций

$$ \left( \frac{1}{x} \right) ‘ = -\frac{1}{x^2} $$ $$ ( \sqrt{x} ) ‘ = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ $$ \left( x^a \right) ‘ = a x^{a-1} $$ $$ \left( a^x \right) ‘ = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left( e^x \right) ‘ = e^x $$ $$ ( \ln x )’ = \frac{1}{x} $$ $$ ( \log_a x )’ = \frac{1}{x\ln a} $$ $$ ( \sin x )’ = \cos x $$ $$ ( \cos x )’ = -\sin x $$ $$ ( \text{tg} x )’ = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ ( \text{ctg} x )’ = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ $$ ( \arcsin x )’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \arccos x )’ = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} $$ $$ ( \text{arctg} x )’ = \frac{1}{1+x^2} $$ $$ ( \text{arcctg} x )’ = \frac{-1}{1+x^2} $$

www.math-solution.ru

Сложная функция

Сложная функция

Пример 1. Дана функция f(x) = 3x² – 4. Найти:

Решение: f(4) = 3•4² – 4 = 48 – 4 = 44;

f(a³ + 1) = 3(a³ + 1)² – 4 = 3(a⁶ + 2a³ + 1) – 4 =

= 3a⁶ + 6a³ – 1;

f(t) = 3t² – 4;

Пример 2. Найти функцию f(x), если  f(x + 1) = x² + 2x + 2.

Решение. Пусть x + 1 = a, тогда x = a – 1;  f(a) = (a – 1)² + 2(a – 1) + 2 = a² – 2a + 1 + 2a – 2 + 2 = a² + 1.

Ответ: f(x) = x² + 1.

Пример 3. F(2x – 1) = 4x – 7; F(g(x)) = x³. Найти g(x).

Решение. Пусть 2x – 1 = a, тогда

т. е.  F(x) = 2x – 5. Значит,

F(g(x)) = 2g(x) – 5. 2g(x) – 5 = x³.

Ответ:

Пример № 229г (из учебника «алгебра, 10–11» А.Н. Колмогорова). Найти такую функцию f, что

f(g(x)) = x, g(x) = x² + 1, x Ј 0.

Решение. По условию f(x² + 1) = x, x Ј 0.

Пусть x² + 1 = t, тогда

Ответ:

Пример 4. Найти F(x), если F(sin x) + F(cos x) = 3.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

F(sin x) + F(cos x) = 3(sin² x + cos² x).

В выражении sin x заменим букву x на m, получим sin m. Допустим, что cos x = sin m, выразим x через m:

x = arccos (sin m).

Уравнение примет вид

F(sin m) + F(cos (arccos (sin m))) = 3(sin² m + sin² m),

2F(sin m) = 3•2sin² m,

т. е.  F(sin m) = 3sin² m; F(x) = 3x².

Ответ: F(x) = 3x².

Пример 5. Найти функцию f(x), если

Решение. В дроби

  заменив x на m, получим

Пусть 

Выразим x через m, получим

Найдем значение дроби через m:

и значение дроби в правой части данного уравнения тоже при

Получим новое уравнение (при аргументе m)

или, заменив букву m на x,

Вместе с данным уравнением составим систему

Эта система, линейная относительно неизвестных

и

решается любым из возможных способов. Ее решение (после упрощения):

или

Найдем f(t), если допустим, что

Выразим x через t:

Тогда

Аналогичный результат получим из первого уравнения последней системы.

Ответ:

Пример 6. Найти функцию f(x), если

Решение. Пусть

тогда

Получим новое уравнение с переменной t

Заменив t на x, запишем

Составим систему с данным уравнением, переставив слагаемые

Исключим из системы неизвестное

Ответ:

Пример 7. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

Тогда

и первое уравнение примет вид

Заменим t на x. Получим систему

Вычитая уравнения почленно, находим

а затем и

Пусть 2x + 1 = a, тогда

Следовательно,

Ответ:

Пример 8. Найти функции F(x) и g(x) из системы уравнений

Решение. Пусть

откуда

и второе уравнение перепишется в виде

Система примет вид

Исключим функцию F(•):

Значит,

Пусть

тогда

F(a) = 2a + 3.

Ответ: F(x) = 2x + 3, g(x) = 0.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите функцию F(x) из уравнений:

2. Найдите g(x), если

1) F(x – 1) = 2x – 3, F(g(x)) = 3x – 4.
2) F(x) = x3, F(g(x)) = 2x + 1.

3. Найдите F(x) и g(x) из систем уравнений:

Ответы

М Селиванова,
г. Реутов

mat.1sept.ru