Гаусс метод: принцип, теорема и примеры решения задач

Содержание

принцип, теорема и примеры решения задач

Задание. Решить СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент $a_{11}$ равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

$$\tilde{A}=A \mid B=\left(\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце.

Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей — три первых:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 8 \end{array}\right)$$

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на $\frac{1}{2}$ ):

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 6 \end{array}\right)$$

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right)$$

Умножив третью строку на $\left(-\frac{1}{2}\right)$ , получаем:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент $a_{23}$, для этого от второй строки отнимем третью:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

$$\tilde{A} \sim\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right)$$

Полученной матрице соответствует система

$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+0 \cdot x_{2}+0 \cdot x_{3}=-1 \\ 0 \cdot x_{1}+x_{2}+0 \cdot x_{3}=1 \\ 0 \cdot x_{1}+0 \cdot x_{2}+x_{3}=3\end{array}\right.$    или   $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Ответ. $\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$

Метод Гаусса — примеры c решением, теоремы и формулы

Метод Гаусса – идеальный вариант для решения систем линейных алгебраических уравнений (далее СЛАУ). Благодаря методу Гаусса можно последовательно исключать неизвестные путём элементарных преобразований. Метод Гаусса – это классический метод решения СЛАУ, который и рассмотрен ниже.

Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Обратите внимание!

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

  1. Одно решение;
  2. много решений;
  3. совсем не иметь решений.

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

  • перемена мест уравнений системы;
  • почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
  • сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

   

где а, в, с  – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если = = = , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа , , называются решением СЛАУ, если при подстановке , , в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

– это основная матрица СЛАУ.

– матрица столбец неизвестных переменных.

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице добавить в качестве – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если – матрица невырожденная.

Обратите внимание!

Если с системой уравнений:          

Произвести такие действия:

  • умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число ;
  • менять местами уравнения;
  • к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

Определение

Матрица системы – это матрица, которая составляется исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что касается расширенной матрицы системы, так, это такая матрица, в которой кроме коэффициентов записаны ещё и свободные члены. Любую из этих матриц называют просто матрицей.

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

.

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

В итоге получилось такое преобразование:

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же и вот что получается:

В матрице верхняя строка преобразовалась:

Первую строку делим на и преобразовалась нижняя строка:

И верхнюю строку поделили на то же самое число :

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

.

Обратите внимание!

Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям.

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Записываем матрицу:

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на и вторую строку прибавили к первой , умноженной на .

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

Верхнюю строку делим на и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим : ,

,

.

После находим :

,

.

Тогда:

.

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную :

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что . Из второго уравнения находим . И последнее, находим первое уравнение .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается через и в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

  • берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на ,
  • берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную со второго и третьего уравнения системы:

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

В этой системе в первом уравнении нет переменной и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

У нас получается такая ситуация

Как видим, второе уравнение . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: , где – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло  вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

В третьем уравнении получилось равенство . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных , и , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной . Если же  уже исключались, тогда переходим к ,  и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная :

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с исключились и . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это , и . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: , , , где , ,  – произвольные числа.

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: , а из первого уравнения получаем:

= =

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

,

,

,

,

,

.

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

Пример 1

Задача 

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой превратился в . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался . Для этого первую строку нужно умножить на и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на вторую строку. Вот что получилось:

. Теперь прибавляем со второй строки первую строку . У нас получился , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала :

Так как найден, находим :

.

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные и :

и .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

Пример 2

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем , и . Аналогично, и . И умножаем свободный член . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

Сначала находим : ,

.

Обратный ход:

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

,

,

.

Пример 3

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение                                                                

В уравнении , то есть – ведущий член и пусть  ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: , , . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в теперь стоит 0.

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

Получилось так, что = b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную из третьей и четвёртой строк:

Получилась такая матрица:

Также, учитывая, что  = , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную и получаем новую систему уравнений:

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения ,

из третьего: = = =

второе уравнение находим: = = = 2,

из первого уравнения: = .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

,

,

,

.

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

Пример 4

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

 

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

Получился ступенчатый вид уравнения:

Проверяем:

,

,

,

,

.

.

  Ответ

,

,

.

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.

Карчевский Е. М. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, учеб. пособие – Казанский университет – 2012 – 302 с.

Метод Гаусса – теорема, примеры решений обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

в чем суть, решение системы уравнений, примеры с объяснением

Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.

Метод Гаусса — что это такое

Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.

Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:

  1. Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.
  2. Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.
  3. Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.
  4. Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.

Важным параметром матрицы является размер:

  • ширина — это количество строк, обозначают буквой m;
  • длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.
Источник: bigpicture.ru

Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.

Определитель

Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:

  1. Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».
  2. Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».
Источник: wp.com

Рассчитать определитель представляется возможным лишь в случае работы с квадратной матрицей.

Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:

  • из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;
  • отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.

Классификация систем

Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:

  • определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;
  • неопределенные;
  • обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.

Источник: asiaplustj.info

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:

  1. Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.
  2. Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.
  3. Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.
  4. Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.
  5. Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.

Источник: wp.com

Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:

Источник: wp.com

При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.

Обратный и прямой ход метода Гаусса

В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.

Источник: wp.com

Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.

Источник: wp.com

Варианты дальнейших действий:

  • перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;
  • деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;
  • удаление нулевых строк;
  • добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.

Примеры решений с объяснением

Пример 1

Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Решение

Необходимо записать расширенную матрицу:

Источник: wp.com

Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:

Источник: wp.com

Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:

Источник: wp.com

После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:

Источник: wp.com

После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:

\(x_{3}=\frac{98}{49}=2\)

\(x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0\)

\(x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1\)

Данный пример демонстрирует единственное решение системы.

Источник: supertics.com

Пример 2

Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:

Источник: wp.com

Решение

Необходимо составить матрицу:

Источник: wp.com

Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:

вторая строка:

\(k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3\)

\(a»_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0\)

\(a» _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7\)

\(a»_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11\)

b» 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: 

\(k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5\)

\(a»_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0\)

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9\)

\( a»_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18\)

\( b»_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57\)

Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:

Источник: wp.com

Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.

Источник: wp.com

Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.

\(k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7\)

В случае, когда некоторые преобразования приводят в результате к получению не целого числа, следует оставить его в этом виде. Таким образом, вычисления будут более точными. Затем при получении ответов можно определиться с его дальнейшем округлением или переводом в другую форму записи.

\(a»_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0\)

\(a»_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7\)

\(b»_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7\)

Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

 

 

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».

Источник: wp.com

Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:

y = (24 — 11×(61/9))/7 = -65/9

С помощью первого уравнения можно определить х:

x = (12 — 4z — 2y)/1 = 12 — 4×(61/9) — 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.

МЕТОД ГАУССА — Системы линейных уравнений

Ме́тод Га́усса – классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода – в китайском трактате «Математика в девяти книгах».

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, – столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных .

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где   — номер строки):


где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Условие совместности

Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

  • На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
  • На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Метод Гаусса требует арифметических операций.

В простейшем случае алгоритм выглядит так:

  • Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Пример 1


Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на и 1, соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при  в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4:

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений:

   

С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов

   

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:

   

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1. умножение уравнения на отличное от нуля число;

2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;

3. перестановка уравнений местами.

Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.

Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы , как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду

   

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если , то неизвестным можно придавать произвольные значения, а неизвестные находим из решения системы с треугольной матрицей

   

Эту систему удобно решать, определив из -го уравнения , затем из -го и т.д. Таким образом, можно выразить переменные через и получить общее решение системы. Если , то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке называется обратным ходом.

Пример. Решить систему линейных уравнений

   

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

   

Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим

   

Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим

   

Запишем полученные уравнения:

   

Из второго уравнения выразим :

   

Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него :

   

Ответ. Общее решение данной системы:

   

Задачи.

1. Решите систему линейных уравнений

   

2. Решите систему линейных уравнений

   

3. Решите систему линейных уравнений

   

Метод Гаусса. Примеры

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных и преобразовании системы линейных алгебраических уравнений

к треугольному виду

Предположим, что в системе коэффициент . Если это условие не выполняется, то на первое место переносим уравнение, которое ее удовлетворяет. С помощью первого уравнения исключим из остальных уравнений.

Для этого делят первую строчку на , обозначим

.

Дальше второй строки вычитаем первую строку, умноженную на ;от третьего первую строчку, умноженный на ; и так далее до последней строки. Получим таблицу коэффициентов:

Для неизвестных имеем систему уравнений. Выполняя, как и раньше, исключим из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого сначала разделим вторую строчку на .

Если коэффициент , то переставим уравнения так, чтобы выполнялось условие .

Обозначив

,

от третьей строки вычтем вторую строчку, умноженный на ;

от четвертой строки вычтем вторую строчку, умноженный на и т.д. Получим таблицу коэффициентов:

Продолжая процесс исключения неизвестных получим таблицу:

Таблица коэффициентов при неизвестных сводится к треугольному виду. Все главной диагонали элементы . Запишем соответствующую систему уравнений:

Переход от первой системы уравнений до последней называется прямым ходом метода Гаусса. Обратный ход метода Гаусса начинается с последней системы уравнений. Ее решают с конца до начала. Из последнего уравнения находят . Подставив это значение в предпоследнее — находят и т.д. Из первого уравнения находят .

Если система уравнений с неизвестными имеет единственное решение, то эта система всегда может быть преобразована к треугольному виду. Для студентов не всегда требуют, чтобы диагональные элементы были равны единице. Достаточно просто свести систему линейных уравнений к верхней треугольной.

———————————————

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Гаусса.

Решение.

Исключим неизвестную из второго и третьего уравнения. Для этого от них вычтем первое умноженное на

Видим, что наше уравнение в таком виде можно решать обратным ходом метода Гаусса. Для этого из последнего уравнения выразим

Подставим полученное значение в предыдущее уравнение и найдем

Из первого уравнения находим

Решение данной системы равен

——————————————

В случаях систем больших размеров, а также для удобства, часто на практике используют другую схему решения. Вместо преобразований над системой выполняют соответствующие преобразования над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца из свободных членов, который для удобства выделяют вертикальной линией. Такую матрицу называют расширенной матрицей системы.

——————————————

Пример 2.

Решить систему четырех линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу для данной системы

Сведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

1.Поменяем местами первый и второй строки.

2. Добавим к элементам второго, третьего и четвертого строк элементы первой строки, умноженные соответственно на

3. Поменяем местами второй и третий строки. Добавим к элементам третьего и четвертого строк элементы второй строки, умноженные соответственно на

4. От четвертого уравнения умноженного на вычитаем третье уравнение умноженное на

Такой расширенной матрицы соответствует следующая система уравнений

С четвертого уравнения находим и подставляем в третье уравнение

Найденные значения подставляем во второе уравнение

Из первого уравнения находим первую неизвестную

Система полностью решена и – ее решение.

——————————————————

Посмотреть материалы:

Метод Гаусса

Определение и описание метода Гаусса

Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.

Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.

Определение 1

Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.

Помощь со студенческой работой на тему


Метод Гаусса

После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.

Описание алгоритма метода Гаусса

Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:

$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +…+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ … \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & …\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$

Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:

$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}…+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +… α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}…+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +… α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ …\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +… α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)

Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$

Для этих матриц характерен следующий набор свойств:

  1. Все её нулевые строки стоят после ненулевых
  2. Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.

После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.

Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:

  • перестановка нескольких строк местами,
  • прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
  • умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
  • строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
  • Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.

Все элементарные преобразования являются обратимыми.

Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса

Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:

  1. Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
  2. У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
  3. Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.

Исход решения с несовместной системой

Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.

Система уравнений, у которой есть только одно решение

Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:

$\begin{cases} x_1 — x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$

Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$

Этот пример можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x_1 — x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$

Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.

Система, обладающая множеством возможных вариантов решений

Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).

Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.

У такой системы есть только некое общее решение.

Разберём следующую систему уравнений:

$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 — 4y_4 = 1 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$

Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ — так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ — располагается после нулей).

В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.

Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.

Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.

Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 — (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$

Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 — \frac{4}{5}y_4 — \frac{1}{5} + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$

$2y_1 = -3y_2 — \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Решение готово.

Пример 1

Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса

$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 — 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$

Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.

Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Далее к средней строчке прибавим верхнюю, умноженную на $5$, а последнюю строчку преобразуем, умножив первую строчку на 3 и сложив с последней, получаем:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$

Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$

Далее сложим последнюю строчку с удвоенной средней:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$

И разделим последнюю строчку на $3$:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$

Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:

$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$

Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$

Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$

Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$

Решаем полученную систему уравнений:

$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$

$y=2$, $x = 0$.

Исключение Гаусса

Тип 2. Умножьте строку на ненулевую константу.

Тип 3. Добавьте одну строку, кратную одной, в другую.

Цель этих операций — преобразовать — или уменьшить — исходную расширенную матрицу в одну из форм, где A ′ является верхним треугольником ( a ij ′ = 0 для i> j ), любые нулевые строки появляются внизу матрицы, и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке; такая матрица имеет вид эшелон .Решения системы представлены более простой расширенной матрицей [ A ′ | b ′], можно найти путем осмотра нижних рядов и обратной подстановки в более высокие ряды. Поскольку элементарные операции со строками не меняют решений системы, векторы x , которые удовлетворяют более простой системе A x = b ′, являются в точности теми, которые удовлетворяют исходной системе, A x = b .

Пример 3 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица, которая представляет эту систему:

Первая цель — получить нули под первой записью в первом столбце , что означает исключение первой переменной x из второго и третьего уравнений.Для этого выполняются следующие операции со строками:

Вторая цель — получить ноль под второй записью во втором столбце, что означает исключение второй переменной y из третьего уравнения. Один из способов добиться этого — добавить -1/5 второй строки к третьей строке. Однако, чтобы избежать дробей, есть еще один вариант: сначала поменять местами второй и третий ряды. Замена двух строк просто меняет местами уравнения, что явно не изменит решения системы:

Теперь прибавьте −5 раз вторую строку к третьей строке:

Поскольку матрица коэффициентов преобразована в эшелонированную форму, «прямая» часть исключения Гаусса завершена.Теперь остается использовать третью строку для оценки третьего неизвестного, затем выполнить обратную подстановку во вторую строку для оценки второго неизвестного и, наконец, выполнить обратную замену в первой строке для оценки первого неизвестного.

Третья строка финальной матрицы переводится в 10 z = 10, что дает z = 1. Обратная подстановка этого значения во вторую строку, которая представляет уравнение y — 3 z = — 1, дает y = 2.Обратная подстановка обоих этих значений в первую строку, которая представляет уравнение x — 2 y + z = 0, дает x = 3. Таким образом, решение этой системы: ( x, y, z ) = (3, 2, 1).

Пример 4 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Для этой системы расширенная матрица (вертикальная линия опущена) составляет

Сначала умножьте строку 1 на 1/2:

Теперь добавление -1 первой строки ко второй строке дает нули под первой записью в первом столбце:

Перестановка второй и третьей строк дает желаемую матрицу коэффициентов верхней треугольной формы:

В третьей строке теперь указано z = 4.Обратная подстановка этого значения во вторую строку дает y = 1, а обратная подстановка обоих этих значений в первую строку дает x = −2. Решение этой системы, следовательно, ( x, y, z ) = (−2, 1, 4).

Исключение Гаусса-Джордана . Исключение по Гауссу осуществляется путем выполнения элементарных операций со строками для получения нулей ниже диагонали матрицы коэффициентов, чтобы привести ее к эшелонированной форме. (Напомним, что матрица A ′ = [ a ij ′] имеет эшелонированную форму, когда a ij ′ = 0 для i> j , любые нулевые строки появляются в нижней части матрицы , и первая ненулевая запись в любой строке находится справа от первой ненулевой записи в любой более высокой строке.Как только это будет сделано, проверка нижней строки (строк) и обратная подстановка в верхние строки определяют значения неизвестных.

Однако можно сократить (или полностью исключить) вычисления, связанные с обратной подстановкой, выполнив дополнительные операции со строками для преобразования матрицы из эшелонированной формы в сокращенную форму . Матрица находится в форме сокращенного эшелона, когда, помимо того, что она находится в форме эшелона, каждый столбец, содержащий ненулевую запись (обычно равную 1), имеет нули не только под этой записью, но и над этой записью.Грубо говоря, гауссовское исключение работает сверху вниз, чтобы создать матрицу в форме эшелона, тогда как Гаусс-Жорданов исключение продолжается с того места, где остановился гауссиан, затем работает снизу вверх для создания матрицы в форме сокращенного эшелона. Техника будет проиллюстрирована на следующем примере.

Пример 5 : Известно, что высота, y , брошенного в воздух объекта задается квадратичной функцией от t (время) в форме y = at 2 + bt + c .Если объект находится на высоте y = 23/4 в момент времени t = 1/2, при y = 7 в момент времени t = 1 и при y = 2 при t = 2 , определите коэффициенты a, b и c .

Так как t = 1/2 дает y = 23/4

, а два других условия, y ( t = 1) = 7 и y ( t = 2) = 2, дают следующие уравнения для a, b и c :

Следовательно, цель — решить систему

Расширенная матрица для этой системы сокращается следующим образом:

На этом прямая часть исключения Гаусса завершена, поскольку матрица коэффициентов приведена к эшелонированной форме.Однако, чтобы проиллюстрировать исключение Гаусса-Жордана, выполняются следующие дополнительные элементарные операции со строками:

Эта окончательная матрица сразу дает решение: a = −5, b = 10 и c = 2.

Пример 6 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Расширенная матрица для этой системы —

Кратные значения первой строки добавляются к другим строкам, чтобы получить нули под первой записью в первом столбце:

Затем −1 раз вторая строка добавляется к третьей строке:

В третьей строке теперь указано 0 x + 0 y + 0 z = 1, уравнение, которому не могут удовлетворять никакие значения x, y и z .Процесс останавливается: у этой системы нет решений.

Предыдущий пример показывает, как исключение Гаусса выявляет противоречивую систему. Небольшое изменение этой системы (например, изменение постоянного члена «7» в третьем уравнении на «6») проиллюстрирует систему с бесконечным числом решений.

Пример 7 : Решите следующую систему с помощью исключения Гаусса:

Те же операции, которые применяются к расширенной матрице системы в примере 6, применяются к расширенной матрице для данной системы:

Здесь третья строка переводится в 0 x + 0 y + 0 z = 0, уравнение, которому удовлетворяют любые x, y и z .Поскольку здесь нет ограничений на неизвестные, на неизвестные не три условия, а только два (представленные двумя ненулевыми строками в окончательной расширенной матрице). Поскольку имеется 3 неизвестных, но только 2 константы, 3–2 = 1 неизвестных, скажем, z , произвольно; это называется свободной переменной . Пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = −6) дает

Обратная подстановка z = t и y = 6 + 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 4) определяет x :

Следовательно, каждое решение системы имеет вид

, где t — любое действительное число.Существует бесконечно много решений, поскольку каждое действительное значение т дает отдельное конкретное решение. Например, выбор t = 1 дает ( x, y, z ) = (−4, 11, 1), а t = 3 дает ( x, y, z ) = (4, — 9, −3) и т. Д. Геометрически эта система представляет собой три плоскости в R 3 , которые пересекаются по линии, и (*) является параметрическим уравнением для этой линии.

Пример 7 дает иллюстрацию системы с бесконечным множеством решений, как возникает этот случай и как записывается решение.Каждая линейная система, имеющая бесконечно много решений, должна содержать хотя бы один произвольный параметр (свободная переменная). После того, как расширенная матрица была приведена к эшелонированной форме, количество свободных переменных равно общему количеству неизвестных минус количество ненулевых строк:

Это согласуется с теоремой B выше, которая утверждает, что линейная система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, если она согласована, имеет бесконечно много решений. Условие «меньше уравнений, чем неизвестных» означает, что количество строк в матрице коэффициентов меньше количества неизвестных.Следовательно, приведенное выше уравнение в рамке подразумевает, что должна быть хотя бы одна свободная переменная. Поскольку такая переменная по определению может принимать бесконечно много значений, система будет иметь бесконечно много решений.

Пример 8 : Найти все решения для системы

Во-первых, обратите внимание, что есть четыре неизвестных, но только три уравнения. Следовательно, если система непротиворечива, гарантировано, что у нее будет бесконечно много решений, а это состояние характеризуется как минимум одним параметром в общем решении.После того, как соответствующая расширенная матрица построена, исключение Гаусса дает

Тот факт, что в эшелонированной форме расширенной матрицы остались только две ненулевые строки, означает, что 4-2 = 2 переменных свободны:

Следовательно, выбрав y и z в качестве свободных переменных, пусть y = t 1 и z = t 2 . Во второй строке сокращенной расширенной матрицы следует

, а первая строка дает

Таким образом, решения системы имеют вид

, где т 1 т 2 могут принимать любые реальные значения.

Пример 9 : Пусть b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T и пусть A будет матрицей

Для каких значений b 1 , b 2 и b 3 будет ли система A x = b согласованной?

Расширенная матрица для системы A x = b читает

, который гауссовский элиминатин уменьшает следующим образом:

Нижняя строка теперь подразумевает, что b 1 + 3 b 2 + b 3 должно быть равно нулю, чтобы эта система была согласованной.Следовательно, в данной системе есть решения (фактически бесконечно много) только для тех векторов-столбцов b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T , для которых b 1 + 3 b 2 + b 3 = 0.

Пример 10 : Решите следующую систему (сравните с Примером 12):

Такая система, как эта, где постоянный член в правой части каждого уравнения равен 0, называется однородной системой .В матричной форме он читает A x = 0 . Поскольку каждая однородная система согласована — поскольку x = 0 всегда является решением, — однородная система имеет либо ровно одно решение ( тривиальное решение , x = 0 ), либо бесконечно много. Сокращение строки матрицы коэффициентов для этой системы уже было выполнено в примере 12. Нет необходимости явно дополнять матрицу коэффициентов столбцом b = 0 , поскольку никакая элементарная операция со строкой не может повлиять на эти нули.То есть, если A ‘является эшелонированной формой A , то операции элементарной строки преобразуют [ A | 0 ] в [ A ′ | 0 ]. По результатам Примера 12,

Поскольку последняя строка снова подразумевает, что z можно принять как свободную переменную, пусть z = t , где t — любое действительное число. Обратная подстановка z = t во вторую строку (- y + 5 z = 0) дает

и обратная подстановка z = t и y = 5 t в первую строку ( x + y -3 z = 0) определяет x :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t, t ), где t — любое действительное число.Растворителей бесконечно много, так как каждое действительное значение т дает уникальное частное решение.

Обратите внимание на разницу между набором решений для системы в Примере 12 и здесь. Хотя у обеих была одна и та же матрица коэффициентов A , система в примере 12 была неоднородной ( A x = b , где b 0 ), а здесь — соответствующая однородная система, A x = 0 .Помещая свои решения рядом,

общее решение для Ax = 0 : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t )

общее решение для Ax = b : ( x, y, z ) = (−2 t , 5 t , t ) + (−2, 6, 0)

иллюстрирует важный факт:

Теорема C . Общие решения для согласованной неоднородной лиенарной системы, A x = b , равны общему решению соответствующей однородной системы, A x = 0 , плюс частное решение неоднородная система.То есть, если x = x h представляет собой общее решение A x = 0 , то x = x h + x представляет общее решение A x + b , где x — любое конкретное решение (согласованной) неоднородной системы A x = b .

[Техническое примечание: теорема C, которая касается линейной системы , имеет аналог в теории линейных дифференциальных уравнений .Пусть L — линейный дифференциальный оператор; то общее решение разрешимого неоднородного линейного дифференциального уравнения, L (y) = d (где d ≢ 0), равно общему решению соответствующего однородного уравнения, L (y) = 0 плюс частное решение неоднородного уравнения. То есть, если y = y h повторно отображает общее решение L (y) = 0, то y = y h + y представляет собой общее решение L (y ) = d , где y — любое частное решение (решаемого) неоднородного линейного уравнения L (y) = d .]

Пример 11 : Определить все решения системы

Запишите расширенную матрицу и выполните следующую последовательность операций:

Поскольку в этой конечной (эшелонированной) матрице остаются только 2 ненулевые строки, есть только 2 ограничения и, следовательно, 4–2 = 2 из неизвестных — например, y и z — являются свободными переменными. Пусть y = t 1 и z = t 2 .Обратная подстановка y = t 1 и z = t 2 во вторую строку ( x — 3 y + 4 z = 1) дает

Наконец, обратная замена x = 1 + 3 t 1 — 4 2 , y = t 1 и z = t 2 в первую строка (2 w -2 x + y = −1) определяет w :

Следовательно, каждое решение этой системы имеет вид

, где t 1 и t 2 — любые вещественные числа.Другой способ написать решение:

, где т 1 , т 2 R .

Пример 12 : Определите общее решение

, которая является однородной системой, соответствующей неоднородной в примере 11 выше.

Поскольку решение неоднородной системы в примере 11 равно

Теорема C означает, что решение соответствующей однородной системы (где t 1 , t 2 R ) получается из (*), просто отбрасывая конкретное решение, x = (1 / 2,1,0,0) неоднородной системы.

Пример 13 : Докажите теорему A: независимо от ее размера или количества неизвестных, содержащихся в ее уравнениях, линейная система будет либо не иметь решений, либо иметь ровно одно решение, либо бесконечно много решений.

Доказательство . Пусть данная линейная система записана в матричной форме A x = b . Теорема действительно сводится к следующему: если A x = b имеет более одного решения, то на самом деле их бесконечно много.Чтобы установить это, пусть x 1 и x 2 будут двумя разными решениями A x = b . Теперь будет показано, что для любого реального значения t вектор x 1 + t ( x 1 x 2 ) также является решением A x = b ; Поскольку t может принимать бесконечно много различных значений, из этого следует желаемый вывод.Начиная с A x 1 = b и A x 2 ,

Следовательно, x 1 + t ( x 1 x 2 ) действительно является решением A x = b , и теорема доказана.

Систем линейных уравнений: исключение Гаусса

Системы линейных уравнений:
Решение методом исключения Гаусса
(стр. 6 из 7)

Разделы: Определения, Решение по графику, Подстановка, Исключение / добавление, исключение по Гауссу.


Решение трех переменных, линейных систем с тремя уравнениями сложнее, по крайней мере, на начальном этапе, чем решение систем с двумя переменными, потому что требуемые вычисления более грязный. Вы должны быть очень аккуратными в своей работе, и вы должны планируйте использовать много бумаги для заметок. Метод решения этих систем является расширением метода сложения двух переменных, поэтому сделайте конечно ты знаешь это метод хорошо и может использовать его последовательно правильно.

Хотя метод решения основан на добавлении / исключении, попытка выполнить фактическое добавление имеет тенденцию становится очень запутанным, поэтому существует систематизированный метод решения трех или более переменных системы. Этот метод называется «исключением по Гауссу» (с уравнения заканчиваются тем, что называется «строковой формой»).

Начнем с простого, и работаем над более сложными примерами.

  • Решите следующие система уравнений.
  • Достаточно легко увидеть как действовать в этом случае. Я просто подставлю обратно значение z -value из третьего уравнения во второе, решите результат для y , а затем штекер z и y в первое уравнение и решите результат для x .

      10 y 3 (3) = 11
      10 y 9 = 11
      10 y = 20
      y = 2

      5x + 4 (2) (3) = 0
      5 x + 8 3 = 0
      5 x + 5 = 0
      5 x = 5
      x = 1

    Тогда решение ( x , y , z ) = (1, 2, 3).

Причина, по которой эта система была Легко решить, что система была «треугольной»; это относится к уравнениям, имеющим форму треугольника, из-за нижних уравнений содержащий только более поздние переменные.

Дело в том, что в этом формат, система проста в решении. И гауссовское исключение — это метод, который мы будем использовать для преобразования систем в эту верхнетреугольную форму, используя операции со строками, которые мы изучили, когда применили метод сложения.

  • Решите следующие система уравнений с использованием исключения Гаусса.
  • Уравнение не решается для переменной, поэтому мне нужно будет выполнить умножение и сложение чтобы упростить эту систему. Чтобы отслеживать свою работу, напишу вниз на каждом шагу, когда я иду. Но я сделаю свои вычисления на бумаге для заметок. Вот как я это сделал:

    Первое, что нужно сделать состоит в том, чтобы избавиться от ведущих терминов x в два ряда.А пока я просто посмотрю, какие строки будут легко расчистить; Я могу поменять строки позже, чтобы перевести систему в «верхний треугольной «формы. Нет правила, которое гласит, что я должен использовать x — срок из первой строки, и в этом случае, думаю, будет проще используйте термин x из третьей строки, так как его коэффициент просто «1». Поэтому я умножу третью строку на 3, и добавьте его в первую строку.Я делаю вычисления на бумаге для заметок:

    … а потом записываю результатов:

    (Когда мы решали системы с двумя переменными, мы могли умножить строку, переписав систему в сторону, а затем добавить. Для этого нет места в система с тремя переменными, поэтому нам и нужна бумага для заметок.) ​​

    Предупреждение: поскольку я не на самом деле ничего не делаю с третьей строкой, я скопировал ее без изменений, в новую матрицу уравнений.Я б / у третий ряд, но я на самом деле не менял Это. Не путайте «использование» с «изменением».

    Чтобы получить меньшие числа для коэффициентов умножу первую строку на половину:

    Теперь умножу третий ряд на 5 и добавьте это ко второму строка. Работаю на бумаге для заметок:

    … а потом записываю результаты: Авторские права Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

    Я ничего не делал с первым рядом, поэтому я скопировал его без изменений. Я работал с третий ряд, но я работал только на вторая строка, поэтому вторая строка обновляется, а третья строка копируется более без изменений.

    Хорошо, теперь x — столбец удаляется, за исключением ведущего члена в третьей строке.Так что дальше Приходится работать с колонкой y .

    Предупреждение: Начиная с третьего уравнение имеет член x , Я больше не могу использовать его ни в одном из двух других уравнений (или я отменить мой прогресс). Я могу работать с на уравнении, но не на с Это.

    Если я добавлю в два раза больше первого строки во вторую строку, это даст мне ведущую 1 во втором ряду.Я не буду избавились от ведущего y -term во втором ряду, но я его преобразовал (не вмешиваясь дробями) в более простую форму. (Вы должны сохранить обратите внимание на такого рода упрощения.) Сначала я делаю царапину работа:

    … а потом записываю результатов:

Теперь могу использовать второй ряд, чтобы убрать y -term в первом ряду.Вторую строку умножу на 7 и добавить. Сначала я царапаю работа:

… а потом записываю результатов:

Я могу сказать что z сейчас, но для большей точности я разделю первую строку на 43. Затем я переставляю ряды, чтобы они имели верхнюю треугольную форму:

Теперь я могу начать процесс обратного решения:

Тогда решение ( x , y , z ) = ( 2, 3, 1 ) .

Примечание: нет ничего священного о шагах, которые я использовал для решения указанной выше системы; там ничего не было Особо о том, как я решил эту систему. Вы могли бы работать в другом упорядочивайте или упрощайте разные строки, и все равно получите правильный ответ. Эти системы достаточно сложны, поэтому вряд ли один правильный способ вычисления ответа. Так что не беспокойтесь о том, «как она знала, что делать дальше? », потому что здесь нет правила.я просто делал все, что пришло мне в голову; Я делал то, что казалось самым простым или что-то еще пришла в голову первая. Не волнуйтесь, если бы вы использовали совершенно другой шаги. Если каждый шаг на этом пути верен, вы придумаете Такой же ответ.


В приведенном выше примере я мог пошли дальше в своих вычислениях и более тщательно проработали строковые операции, удаляя все термины y кроме этого во втором ряду и во всех терминах z кроме того, что в первой строке.Это то, что процесс тогда выглядело так:

Так я могу просто читать от значений x , y , и z , и мне не нужно возиться с обратной заменой. Это более полное метод решения называется «методом исключения Гаусса-Жордана» (с уравнения, попадающие в так называемый «пониженный ряд-эшелон» форма»).Многие тексты доходят до исключения Гаусса, но я всегда было легче продолжать и делать Гаусс-Джордан.

Обратите внимание, что я выполнил две строковые операции сразу на этом последнем шаге перед переключением строк. Пока я не работая с и работая с в том же ряду на том же шаге, это нормально. В этом случае я работал с первой строкой и рабочая по второй и третий ряды.

<< Предыдущая Вверх | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вернуться к указателю Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета. «Системы линейных уравнений, решаемые методом исключения Гаусса». Purplemath
Доступно с https: // www.purplemath.com/modules/systlin6.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Уловка Гаусса — семинар для сотрудников

Начало работы

Можете ли вы сложить первые 10 чисел в уме? А как насчет первых 100 или первой тысячи? В твоей голове!

Карл Фридрих Гаусс был специальным математиком. История гласит, что в школе, в возрасте 8 лет, он очень быстро сумел сложить первые 100 чисел.Мне нравится думать, что учитель использовал этот трюк много раз, чтобы занять класс надолго, пока он вздремнул. Он знал, что его ждет долгий период затишья, пока класс не работает. Даже если один из них получил ответ, учитель мог попросить его проверить его, чтобы отнять больше времени. Но он не стал торговаться с этим не по годам развитым восьмилетним мальчиком.

В мгновение ока Гаусс получил 5050. Но он не только смог так быстро вычислить сумму первых 100 чисел, но и смог обосновать правильность своего ответа.И вы сделаете то же самое до того, как проведете этот семинар для сотрудников.

Возможно, вы захотите прочитать о Карле Фридрихе на одном из многих веб-сайтов. Стоит кое-что записать о Гауссе. Например, где он жил, когда жил, какие бытовые проблемы у него были и тому подобное. Стоит достать карту современной Германии и показать, где находится Брауншвейг. Насколько я помню, это недалеко от Ганновера и старой границы между Восточной и Западной Германией.

Так в чем же секрет и как с его помощью впечатлить друзей и коллег?

Пример 1

Сначала я с трудом сложу целые числа от 1 до 10, чтобы вы могли увидеть, как все работает.Предположим, что сумма первых 10 чисел равна S. Тогда

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Интересно то, что если сложить числа в обратном направлении, мы получим тот же ответ. Что ж, очевидно! Но давайте все равно сделаем это.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

И что? Что ж, я сделаю так, чтобы было легче увидеть, поместив эти два способа написания S друг под другом.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь просто добавьте S к S. Я знаю, что мы, кажется, уходим еще дальше от значения S, которое мы так стремимся получить, но терпите меня. Что ты видишь? Какие закономерности начинают проявляться?

К счастью для Гаусса и нас,

1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 10 + 1 = 11.

Сумма всех этих пар чисел дает 11! Это означает, что

2S = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11.

Там , у будет десять 11, так что

2S = 10 × 11 = 110.

Итак, S = 5 × 11 = 55.

Но этот трюк нельзя повторять снова и снова. Так что мы его доим изо всех сил.

Пример 2

Давайте сложим числа Гаусса, все целые числа от 1 до 100. Пусть снова S будет этой суммой. Итак, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 98 + 99 + 100.

Теперь вы видите, что я был довольно ленив и опустил все числа от 6 до 97.Но мы с вами знаем, что они действительно есть. Многоточие (…) говорит нам об этом.

О очередь!

S = 100 + 99 + 98 +… + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь давайте объединим эти две вещи и посмотрим, что произойдет.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 98 + 99 + 100.

S = 100 + 99 + 98 +… + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Здесь магическая сумма равна 101. Каждая пара чисел, одна над другой, складывается до 101.Итак, 2S = 101 + 101 + 101 +… + 101 + 101 + 101.

Единственная проблема, которая у нас сейчас есть, — это подсчитать, сколько там 101. Но это не должно быть проблемой. В конце концов, мы начали со 100 чисел, поэтому у нас должно быть 100 сумм, которые складываются с 101. Итак, 2S = 100 × 101.

Это означает, что S = 50 × 101 = 5050.

И Гаусс опередил нас всего на столетие или два.

Теперь вы видите быстрый способ сложить первые 1000 целых чисел? Как насчет первых 10 000, первых 100 000 или первого миллиона?

Пример 3

Я приведу еще один последний пример, прежде чем мы сделаем то, что делает каждый хороший математик, а именно попытаемся обобщить то, что мы делали.Другими словами, мы попытаемся найти закономерность. А пока давайте сложим первые 67 целых чисел.

S = 1 + 2 + 3 +… + 65 + 66 + 67.

S = 67 + 66 + 65 +… + 3 + 2 + 1.

На этот раз ключ — 68. В конце концов, 1 + 67 = 68 = 2 + 66 = 3 + 65 =…

Итак, 2S = 68 + 68 + 68 +… + 68 + 68 + 68.

Затем мы снова сталкиваемся с попыткой вычислить, сколько таких сумм. Но мы начали с шестидесяти семи чисел, поэтому у нас должно быть шестьдесят семь 68.Итак, 2S = 67 × 68, или S = ​​67 × 34 = 2278.

Есть какие-нибудь догадки относительно общей картины здесь?

Обобщение

Думаю, у нас должно быть достаточно информации, чтобы найти сумму первых n целых чисел, где n — любое значение, которое нам нравится. Давайте посмотрим, что нам нужно, чтобы увидеть, сможем ли мы сделать предположение, предположение о том, что происходит на самом деле.

Мы начали с n = 10 и получили S = ​​10 × 11 ÷ 2;

, тогда n = 100 дало нам S = 100 × 101 ÷ 2;

, то n = 67 дает нам S = 67 × 68 ÷ 2.

Похоже, нам нужно взять число, которое мы хотим суммировать, умножить на это число плюс 1, а затем разделить на 2. Итак, у нас есть

Гипотеза 1: Сумма S первых n чисел равна S = (n x (n +1)) / 2.

Можем ли мы это оправдать, доказать?

Хорошо, пусть S будет суммой чисел от 1 до n, независимо от n.

Если ваша алгебра немного заржавела, замените n ниже на «любое число», измените n — 1 на «любое число минус один», измените n + 1 на «любое число плюс один» и так далее.

Проверенным методом получаем

S = 1 + 2 + 3 +… + (n — 2) + (n — 1) + n.

S = n + (n — 1) + (n — 2) +… + 3 + 2 + 1.

Итак, делая то, что теперь естественно, мы получаем

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +… + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1).

Поскольку вначале было n чисел, теперь должно быть n партий (n + 1). Итак

2S = n × (n + 1).

Итак, S = (n x (n + 1)) / 2.

Похоже, мы опровергли эту гипотезу. Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

(i) Дает ли эта формула правильный ответ, если n = 15?

(ii) Конечно, S должно быть целым числом, поскольку мы складываем первые n целых чисел. Но мы делим на 2 в правой части уравнения. Может ли n × (n + 1) иногда быть нечетным и все портить?

(iii) Что эта формула говорит словами?

Немного дальше

Но вам не обязательно прибавлять только первые числа.Предположим, мы хотим сложить все числа от 8 до 93. Как мы могли это сделать?

Мне кажется, что мы могли бы сделать это по крайней мере тремя способами, но я не буду беспокоиться о том, когда вы складываете числа по одному.

Метод 1: Мы могли бы записать числа от 8 до 93 в обычном порядке, а затем записать их в обратном порядке, как мы это делали в других примерах. Я предоставлю вам сделать это, чтобы посмотреть, что у вас получится.

Method 2: С другой стороны, мы могли бы сначала прибавить 1 к 7, а затем от 1 к 93, используя нашу формулу.Тогда мы сможем вычесть меньшее из большего. Как это:

В 1 + 2 +… + 6 + 7, «любое число», n равно 7, поэтому сумма этих чисел составляет (7 x 8) / 2 = 28.

В 1 + 2 +… + 92 + 93, «любое число», n равно 93, поэтому сумма этих чисел составляет (93 x 94) / 2 = 4371.

Итак, нам нужна сумма 4371 — 28 = 4343.

Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

(iv) Существует ли формула для суммы чисел от любого числа, которое вы выберете (например, 8), до любого другого числа, которое вы выберете (например, 93)? Другими словами, можете ли вы обобщить гипотезу?

(v) Вы видите, как мы медленно попадаем в более сложные ситуации? Это путь, по которому математика всегда пытается расширить наши знания о мире.

(vi) В свете мысли в (v), куда мы должны двигаться дальше? Каким будет следующий способ расширить то, что мы делаем? Мы пробовали переходить от 1 к чему-то, а затем от чего-то к чему-то еще, но шаги от числа к числу всегда были единицами. Можем ли мы добиться прогресса, если ступеньки больше единицы?

(vii) В конце концов, существует ли только одна формула для ряда сложений, которые не просто складывают первое такое количество чисел? Что могла бы быть эта формула на словах?

Семинар

Еще раз вам придется подумать о том, как представить этот материал, который лучше всего подходит для ваших сотрудников, но как насчет следующего?

Установите их, задав им вопрос, который задал ему учитель Гаусса.Пусть они поработают немного. Затем дайте им понять, что 8-летний ребенок может сделать это в своей голове. Это должно привести к поиску некоторых закономерностей в числах от 1 до 100, которые могут облегчить быстрое суммирование. Например, некоторые группы видят, что 1 + 100 = 2 + 99 и так далее. Обычно они не думают о сложении двух сумм S. Но вы можете быстро сложить числа от 1 до 100 и другим способом.

Тогда попробуйте их с другими примерами. Если вы вооружитесь калькулятором, вы можете предложить им сложить числа от 1 ко всему, что они выберут, быстрее, чем вы.

Тогда им следует подумать, чего вы знаете, чего они не знают? Попросите их сделать несколько примеров и предположить, что это за образец.

В зависимости от того, насколько хорошо дела обстоят, вы можете перейти к некоторым арифметическим прогрессиям, где общая разница не равна 1 (см. Раздел 8). С заинтересованной группой вы могли бы даже провести доказательство.

Но вы должны сказать кое-что о Гауссе и его значении на математической сцене. Вы также должны найти несколько интересных историй о нем по ссылке, которую я дал выше.Немного истории никогда не заблудится.

Ответы на некоторые вопросы

В этом разделе мы завершаем работу, которую мы проделали в разделах 2–6. Конечно, насколько далеко вы зайдете с этой проблемой, будет зависеть от алгебраической уверенности ваших сотрудников, хотя вы можете полностью обойти алгебру, если думаете, что она пойдет. как свинцовый шар. В любом случае, постарайтесь немного вытолкнуть их из зоны комфорта, но бросьте им спасательный круг, когда они тонут. Мы оставляем это решение на ваше усмотрение, но здесь должно быть достаточно материала для вашего семинара.

Сейчас я попытаюсь найти формулу для суммы строки чисел, в которой шаг вверх от одного числа к другому всегда одинаков. Приведу два примера, а затем решу задачу в целом.

Первый пример: Суммируйте числа 2 + 4 + 6 +… + 64 + 66 + 68.

Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение — это единица, как и деление всех чисел в сумме на 2 и использование известной нам формулы. Однако я возвращаюсь к испытанному методу «сначала вперед, затем назад».Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Итак, вперед, затем назад, мы имеем

S = 2 + 4 + 6 +… + 64 + 66 + 68.

S = 68 + 66 + 64 +… + 6 + 4 + 2.

Это означает, что 2S = 70 + 70 + 70 +… + 70 + 70 + 70.

Единственная проблема сейчас в том, сколько там терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 2, мы получили бы 1 + 2 + 3 +… + 32 + 33 + 34. Поскольку здесь 34 члена, должно быть 34 члена в S. Итак, 2S = 34 × 70 и S = ​​(34 x 70) / 2 = 1190.

Вы можете проверить это одним из других методов, но он немного похож на формулу, которую мы нашли в разделе 5.

Второй пример: Суммируйте числа 9 + 12 + 15 +… + 54 + 57 + 60.

Это можно сделать несколькими способами. Прямое сложение равно единице, как и деление всех чисел в сумме на 3 и использование известной нам формулы. Однако я возвращаюсь к испытанному методу «сначала вперед, затем назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем.Итак, вперед, затем назад, мы имеем

S = 9 + 12 + 15 +… + 54 + 57 + 60.

S = 60 + 57 + 54 +… + 15 + 12 + 9.

Это означает, что 2S = 69 + 69 + 69 +… + 69 + 69 + 69.

Единственная проблема сейчас в том, сколько там терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 3, у нас было бы 3 + 4 + 5 +… + 18 + 19 + 20. Поскольку здесь 20 — 2 = 18 членов, должно быть 18 членов в S. Итак, 2S = 18 × 69 и S = ​​(18 x 69) / 2 = 621.

Вы можете проверить это одним из других методов.Здесь есть закономерность? Эти слова звучат знакомо?

Общий пример: Во-первых, можем ли мы угадать, что мы надеемся найти? Мы хотели бы найти формулу для суммы набора чисел, которые где-то начинаются и попадают в другое место, но при этом шаг между числами всегда одинаков. Исходя из имеющейся у нас информации, можем ли мы угадать, какой могла бы быть формула, прежде чем пробираться сквозь беспорядок алгебры, с которым мы столкнемся, чтобы получить ответ? В каждом случае, какие два числа мы умножаем, чтобы получить S?

Мы знаем, что когда мы добавили от 1 к n, числа были n и n + 1.Когда мы добавили от 2 до 68, их было 34 и 70; когда мы добавили от 9 до 60, их было 18 и 69.

Очевидно, что в каждом случае большее число — это общая сумма, которую мы получаем, складывая большие числа с меньшими числами. Эти большие числа представляют собой сумму наименьшего и наибольшего чисел.

А как насчет 34 и 18? И как они соотносятся с n, которое мы получили при сложении первых n чисел. Что у них общего? Разве это не просто количество складываемых чисел? Означает ли это, что формула, которую мы должны получить, содержится в следующей гипотезе?

Гипотеза 2: Если S — сумма любой из этих строк, где есть общая разница, S = ((количество членов) (сумма первого и последнего чисел)) / 2

Проверьте формулу на предмет других наборов чисел, которые где-то начинаются и увеличиваются на постоянную величину.Другими словами, наборы чисел, в которых есть общая разница между последовательными числами.

На этом этапе у нас есть предположение относительно того, каким может быть ответ. Это довольно сильное предположение, потому что оно работает на множестве примеров. Но можем ли мы доказать, что это работает для каждого набора чисел с общим свойством разности? Ну конечно можем. И сначала мы покажем это словесным методом, а затем посмотрим, насколько проще выразить то же самое с помощью алгебры.

Предположим, что набор чисел — это некоторое число, первое число; некоторое число плюс общая разница, второе число; некоторое число плюс общее различие плюс общее различие, третье число; до самого большого числа, последнего числа.

Тогда сумму S можно записать двумя обычными способами:

S = первое число + второе число +… + второе последнее число + последнее число

S = последнее число + второе последнее число +… + второе число + первое число.

Теперь первое число + последнее число = второе число + второе последнее число. Это потому, что мы поднимаемся на общую разницу, идущую от первого числа ко второму числу, и вниз на общую разницу, идущую от последнего числа ко второму последнему числу.Итак, как обычно, все отдельные суммы одинаковы. Итак

2S = (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число) +… + (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число).

Но есть одна из сумм в скобках для каждого из слагаемых исходной суммы. Итак, 2S = (количество терминов) (первое число + последнее число), и поэтому S = (количество терминов) (первое число + последнее число) ÷ 2.

Это то, что мы предположили выше. И теперь мы доказали эту гипотезу, и она верна для любого набора чисел, который увеличивается с одинаковыми шагами.Эти наборы называются арифметических прогрессий .

Между прочим, математики работали во многом так же, как мы, до изобретения алгебры. Даже в работе Ньютона вы найдете уравнения со словами. Здесь это неплохо, но может стать очень громоздким. С появлением алгебры математическая жизнь значительно улучшилась.

Если вам нужна полная алгебраическая версия, вот она. Пусть первый член будет a, общая разница будет d, а количество членов будет n.Тогда

S = a + (a + d) + (a + 2d) +… + [a + (n — 3) d] + [a + (n — 2) d] + [a + (n — 1) d ]

S = [a + (n — 1) d] + [a + (n — 1) d] + [a + (n — 1) d] +… + (a + 2d) + (a + d) +

Итак, 2S = [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] +… + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d]

или S = ​​n [2a + (n — 1) d] ÷ 2.

Одним из преимуществ этого метода является то, что легче увидеть, что сумма каждой пары соответствующих терминов одинакова.Другой заключается в том, что он записывает ответ в терминах первого члена, количества терминов и общей разницы. Единственный недостаток, по-видимому, заключается в том, что он скрывает тот факт, что формула включает «первое число плюс последнее число», записывая это выражение как [2a + (n — 1) d]. И форму, которую мы написали в Гипотезе 2, легче запомнить.

M.7 Устранение Гаусса-Джордана | STAT ONLINE

Исключение Гаусса-Жордана — это алгоритм, который может использоваться для решения систем линейных уравнений и нахождения обратной матрицы для любой обратимой матрицы.Он полагается на три операции с элементарной строкой , которые можно использовать с матрицей:

  1. Поменять местами две строки
  2. Умножьте одну из строк на ненулевой скаляр.
  3. Добавить или вычесть скалярное кратное одной строки из другой строки.

В качестве примера операции с первой элементарной строкой поменяйте местами 1-ю и 3-ю строки.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 7 & 5 & 0 \\ 2 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & -1 \ end {pmatrix} \]

Для примера операции со второй элементарной строкой умножьте вторую строку на 3.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 6 & -6 & 9 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \]

В качестве примера операции с третьей элементарной строкой добавьте дважды первую строку ко второй строке.

\ [\ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 3 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \ Rightarrow \ begin {pmatrix} 4 & 0 & -1 \\ 10 & -2 & 1 \\ 7 & 5 & 0 \ end {pmatrix} \]


Редукторный эшелон формы

Цель метода исключения Гаусса-Жордана состоит в том, чтобы использовать три операции с элементарными строками для преобразования матрицы в эшелонированную форму сокращенных строк.Матрица находится в форме уменьшенных строк, также известной как каноническая форма строк, , если выполняются следующие условия:

  1. Все строки с нулевыми записями находятся внизу матрицы
  2. Первая ненулевая запись в строке, называемая ведущей записью или опорной точкой , каждой ненулевой строки находится справа от ведущей записи строки над ней.
  3. Начальная запись, также известная как точка поворота, в любой ненулевой строке равна 1.
  4. Все остальные записи в столбце, содержащие в начале 1, являются нулями.

Например,

\ [A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}, B = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}, C = \ begin {pmatrix} 0 & 7 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}, D = \ begin {pmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \]

Матрицы A и B представлены в виде эшелона с уменьшенной строкой, а матрицы C и D — нет. C не находится в форме пониженного ряда, поскольку нарушает условия два и три. D не находится в форме пониженного ряда, поскольку нарушает четвертое условие. Кроме того, операции с элементарными строками могут использоваться для уменьшения матрицы D в матрицу B .


Шаги для исключения Гаусса-Джордана

Для выполнения исключения Гаусса-Джордана:

  1. Поменяйте местами строки так, чтобы все строки со всеми нулевыми записями находились внизу
  2. Поменяйте местами строки так, чтобы строка с самой большой левой ненулевой записью была наверху.
  3. Умножьте верхнюю строку на скаляр так, чтобы ведущая запись верхней строки стала 1.
  4. Сложить / вычесть кратные числа верхней строки из других строк, чтобы все остальные записи в столбце, содержащем ведущую запись верхней строки, были равны нулю.
  5. Повторите шаги 2–4 для следующей самой левой ненулевой записи, пока все ведущие записи не станут 1.
  6. Поменяйте местами строки так, чтобы ведущая запись каждой ненулевой строки находилась справа от ведущей записи строки над ней.

Выбранные примеры видео показаны ниже:

Чтобы получить инверсию матрицы n × n A :

  1. Создайте разделенную матрицу \ ((A | I) \), где I — единичная матрица.{-1} = I \).

2.2: Системы линейных уравнений и метод Гаусса-Жордана

Цели обучения

В этом разделе вы узнаете о

  1. Представьте систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  2. Решите систему, используя элементарные операции со строками.

В этом разделе мы учимся решать системы линейных уравнений, используя процесс, называемый методом Гаусса-Жордана. Процесс начинается с того, что сначала система выражается в виде матрицы, а затем сводится к эквивалентной системе с помощью простых операций со строками.Процесс продолжается до тех пор, пока решение не станет очевидным из матрицы. Матрица, представляющая систему, называется расширенной матрицей , а арифметические операции, которые используются для перехода от системы к сокращенной эквивалентной системе, называются операцией строки .

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Запишите следующую систему в виде расширенной матрицы.

\ [\ begin {array} {l}
2 x + 3 y-4 z = 5 \\
3 x + 4 y-5 z = -6 \\
4 x + 5 y-6 z ​​= 7
\ конец {массив} \ nonumber \]

Решение

Мы выражаем вышеуказанную информацию в матричной форме.Поскольку система полностью определяется своей матрицей коэффициентов и матрицей постоянных членов, расширенная матрица будет включать только матрицу коэффициентов и постоянную матрицу. Итак, расширенная матрица, которую мы получаем, выглядит следующим образом:

\ [\ left [\ begin {array} {ccc | c}
2 & 3 & -4 & 5 \\
3 & 4 & -5 & -6 \\
4 & 5 & -6 & 7
\ конец {массив} \ nonumber \ right] \ nonumber \]

В последнем разделе мы выразили систему уравнений как \ (AX = B \), где \ (A \) представляет матрицу коэффициентов, а \ (B \) — матрицу постоянных членов.В качестве расширенной матрицы мы записываем матрицу как \ (\ left [\ begin {array} {l | l} A & B \ end {array} \ right] \). Ясно, что вся информация сохраняется в этой матричной форме, и отсутствуют только буквы \ (x \), \ (y \) и \ (z \). Учащийся может написать \ (x \), \ (y \) и \ (z \) поверх первых трех столбцов, чтобы облегчить переход.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Для следующей расширенной матрицы запишите систему уравнений, которую она представляет.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 3 & -5 & | & 2 \\
2 & 0 & -3 & | & -5 \\
3 & 2 & -3 & | & -1
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Решение

Легко получить систему, как показано ниже.

\ [\ begin {array} {l}
x + 3 y-5 z = 2 \\
2 x-3 z = -5 \\
3 x + 2 y-3 z = -1
\ end { массив} \ nonumber \]

После того, как система выражена как расширенная матрица, метод Гаусса-Жордана сокращает систему до ряда эквивалентных систем с помощью строковых операций. Это сокращение строк продолжается до тех пор, пока система не будет выражена в так называемой сокращенной форме эшелона строк . Уменьшенная ступенчатая форма матрицы коэффициентов имеет единицы по главной диагонали и нули в других местах.Решение легко получить из этой формы.

Этот метод не сильно отличается от алгебраических операций, которые мы использовали в методе исключения в первой главе. Основное отличие состоит в том, что он носит алгоритмический характер и, следовательно, может быть легко запрограммирован на компьютере.

Далее мы решим систему двух уравнений с двумя неизвестными, используя метод исключения, а затем покажем, что этот метод аналогичен методу Гаусса-Жордана.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Решите следующую систему методом исключения.

\ [\ begin {array} {l}
x + 3 y = 7 \\
3 x + 4 y = 11
\ end {array} \ nonumber \]

Решение

Умножаем первое уравнение на — 3 и добавляем его ко второму уравнению.

\ begin {align}
-3 x-9 y & = — 21 \\
3 x + 4 y & = 11 \\ \ hline
-5y & = — 10
\ end {align}

Таким образом мы преобразовали нашу исходную систему в эквивалентную систему:

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
-5 y & = — 10
\ end {выравнивается}

Разделим второе уравнение на — 5 и получим следующую эквивалентную систему.

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
y & = 2
\ end {выравнивается}

Теперь мы умножаем второе уравнение на — 3 и прибавляем к первому, получаем

\ [\ begin {array} {l}
x = 1 \\
y = 2
\ end {array} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Решите следующую систему из примера 3 методом Гаусса-Жордана и покажите сходство в обоих методах, написав уравнения рядом с матрицами.

\ begin {array} {l}
x + 3 y = 7 \\
3 x + 4 y = 11
\ end {array}

Решение

Расширенная матрица для системы выглядит следующим образом.

\ [\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 3 & | & 7 \\
3 & 4 & | & 11
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {c}
x + 3 y = 7 \\
3 x + 4 y = 11
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Умножаем первую строку на — 3, и прибавляем ко второй строке.

\ [\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 3 & | & 7 \\
0 & -5 & | & -10
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {c}
x + 3 y & = 7 \\
-5 y & = — 10
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Делим вторую строку на — 5, получаем,

\ [\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 3 & | & 7 \\
0 & 1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {rl}
x + 3 y & = 7 \\
y & = 2
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Наконец, мы умножаем вторую строку на — 3 и прибавляем к первой строке, и мы получаем

\ [\ left [\ begin {array} {llll}
1 & 0 & | & 1 \\
0 & 1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad \ left [\ begin {array} {l}
x = 1 \\
y = 2
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Теперь мы перечислим три операции со строками, которые использует метод Гаусса-Жордана.

Операции со строками

  1. Любые две строки в расширенной матрице можно поменять местами.
  2. Любая строка может быть умножена на ненулевую константу.
  3. Постоянное кратное строке может быть добавлено к другой строке.

Легко видеть, что эти операции с тремя рядами могут изменить внешний вид системы, но они не меняют решения системы.

Операция первой строки утверждает, что если любые две строки системы поменять местами, полученная новая система имеет то же решение, что и старая.Давайте посмотрим на пример в двух уравнениях с двумя неизвестными. Рассмотрим систему

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {выравнивается}

Меняем ряды местами, и получаем,

\ begin {выравнивается}
3 x + 4 y & = 11 \\
x + 3 y & = 7
\ end {выравнивается}

Очевидно, что эта система имеет то же решение, что и предыдущая.

Вторая операция утверждает, что если строка умножается на любую ненулевую константу, полученная новая система имеет то же решение, что и старая.Снова рассмотрим указанную выше систему,

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {выравнивается}

Умножаем первую строку на –3, получаем

\ begin {выравнивается}
-3 x-9 y & = — 21 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {выравнивается}

Опять же, очевидно, что эта новая система имеет то же решение, что и исходная.

Операция третьей строки утверждает, что любое постоянное кратное одной строки, добавленной к другой, сохраняет решение.Рассмотрим нашу систему,

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
3 x + 4 y & = 11
\ end {выравнивается}

Если мы умножим первую строку на –3 и прибавим ее ко второй строке, мы получим

\ begin {выравнивается}
x + 3 y & = 7 \\
-5 y & = — 10
\ end {выравнивается}

И снова сохраняется то же самое решение.

Теперь, когда мы понимаем, как работают операции с тремя строками, пора ввести метод Гаусса-Жордана для решения систем линейных уравнений.Как упоминалось ранее, метод Гаусса-Жордана начинается с расширенной матрицы и с помощью серии операций со строками заканчивается матрицей, которая находится в сокращенном эшелоне строк формы .

Матрица находится в сокращенном эшелоне строк формирует , если первая ненулевая запись в каждой строке равна 1, а столбцы, содержащие эти единицы, имеют все остальные записи как нули. Форма сокращенного эшелона строк также требует, чтобы ведущая запись в каждой строке была справа от ведущей записи в строке над ней, а строки, содержащие все нули, были перемещены вниз.Сформулируем метод Гаусса-Жордана следующим образом.

Метод Гаусса-Джордана

  1. Запишите расширенную матрицу.
  2. Поменяйте местами строки, если необходимо, чтобы получить ненулевое число в первой строке, первом столбце.
  3. Используйте строковую операцию, чтобы получить 1 в качестве записи в первой строке и первом столбце.
  4. Используйте операции со строками, чтобы сделать все остальные записи нулями в первом столбце.
  5. Поменяйте местами строки, если необходимо, чтобы получить ненулевое число во второй строке, втором столбце.Используйте строковую операцию, чтобы сделать эту запись 1. Используйте строковую операцию, чтобы сделать все остальные записи нулями во втором столбце.
  6. Повторите шаг 5 для строки 3, столбца 3. Продолжайте двигаться по главной диагонали, пока не дойдете до последней строки или пока число не станет равным нулю.

Итоговая матрица называется сокращенной формой строки-эшелона.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Решите следующую систему методом Гаусса-Жордана.

\ begin {выравнивается}
2 x + y + 2 z & = 10 \\
x + 2 y + z & = 8 \\
3 x + y-z & = 2
\ end {выравнивается}

Решение

Пишем расширенную матрицу.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
2 & 1 & 2 & | & 10 \\
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ nonumber \]

Нам нужна 1 в первой строке, первом столбце. Этого можно добиться, разделив первую строку на 2 или поменяв местами вторую строку первой. Перестановка строк — лучший выбор, потому что таким образом мы избегаем дробей.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
2 & 1 & 2 & | & 10 \\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad \ text {мы поменяли местами строку 1 (R1) и строку 2 (R2)} \ nonumber \]

Нам нужно обнулить все остальные записи в столбце 1.Чтобы сделать запись (2) нулем в строке 2, столбце 1, мы умножаем строку 1 на — 2 и добавляем ее ко второй строке. Получаем,

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
0 & -3 & 0 & | & -6 \\
3 & 1 & -1 & | & 2
\ end {array} \ right] \ quad-2 R 1 + R 2 \ nonumber \]

Чтобы сделать запись (3) нулем в строке 3, столбце 1, мы умножаем строку 1 на — 3 и добавляем ее в третью строку. Получаем,

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
0 & -3 & 0 & | & -6 \\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ end {array} \ right] \ quad-3 R 1 + R 3 \ nonumber \]

Пока что мы поставили 1 в левом углу и все остальные записи в этом столбце равны нулю.Теперь мы переходим к следующей диагональной записи, строке 2, столбцу 2. Нам нужно сделать эту запись (–3) равной 1 и обнулить все остальные записи в этом столбце. Чтобы сделать запись строки 2, столбца 2 равной 1, мы делим всю вторую строку на –3.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 2 & 1 & | & 8 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & -5 & -4 & | & -22
\ end {array} \ right] \ quad \ mathrm {R} 2 \ div (-3) \ nonumber \]

Затем мы обнуляем все остальные записи во втором столбце.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & -4 & | & -12
\ end {array} \ right] \ quad-2 R 2 + R 1 \ text {и} 5 R 2 + R 3 \ nonumber \]

Сделаем последнюю диагональную запись равной 1, разделив строку 3 на — 4.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 1 & | & 4 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & 3
\ end {array} \ right] \ quad \ quad R 3 \ div (-4) \ nonumber \]

Наконец, мы обнуляем все остальные записи в столбце 3.

\ [\ left [\ begin {array} {ccccc}
1 & 0 & 0 & | & 1 \\
0 & 1 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & 3
\ end {array} \ right] \ quad- \ mathrm {R} 3+ \ mathrm {R} 1 \ nonumber \]

Ясно, что решение читается как \ (x = 1 \), \ (y = 2 \) и \ (z = 3 \).

Прежде чем мы закончим этот раздел, мы упомянем некоторые термины, которые могут нам понадобиться в четвертой главе.

Процесс получения 1 в местоположении с последующим обнулением всех остальных записей в этом столбце называется поворотом на .

Число, равное 1, называется поворотным элементом , , , а строка, которая содержит поворотный элемент, называется поворотной строкой .

Мы часто умножаем сводную строку на число и добавляем его к другой строке, чтобы получить в последней ноль. Строка, к которой добавляется кратная сводная строка, называется целевой строкой .

Метод исключения Гаусса


Далее: рядов сокращенная форма эшелона Up: операций со строками и аналог Предыдущая: Операции со строками и аналог Содержание D EFINITION 2.2.10 (Метод прямого / исключения Гаусса) Исключение Гаусса — это метод решения линейной системы (состоящий из уравнения в неизвестные) за счет приведения дополненной матрицы к верхнетреугольной форме Этот процесс исключения также называется методом прямого исключения.

Следующие примеры иллюстрируют процедуру исключения Гаусса.

E XAMPLE 2.2,11 Решите линейную систему по Гауссу метод устранения.

Решение: В этом случае расширенная матрица Метод продолжается по следующие шаги.
  1. Развязка а также уравнение (или ).
  2. Разделите уравнение (или же ).
  3. Добавить раз уравнение уравнение (или же ).
  4. Добавить раз уравнение уравнение (или ).
  5. Умножьте уравнение (или же ).

Последнее уравнение дает второе уравнение теперь дает Наконец, первое уравнение дает Следовательно, множество решения УНИКАЛЬНЫЙ РЕШЕНИЕ .

E XAMPLE 2.2.12 Решите линейную систему по Гауссу метод устранения.

Решение: В этом случае расширенная матрица и метод работает следующим образом:
  1. Добавить умножить первое уравнение на второе уравнение.
  2. Добавить умножить первое уравнение на третье уравнение.
  3. Добавить умножить второе уравнение на третье уравнение
Таким образом, множество решений есть с участием произвольный. Другими словами, в системе БЕСКОНЕЧНЫЙ НОМЕР РЕШЕНИЙ . E XAMPLE 2.2.13 Решите линейную систему по Гауссу метод устранения.

Решение: В этом случае расширенная матрица и метод работает следующим образом:
  1. Добавить умножить первое уравнение на второе уравнение.
  2. Добавить умножить первое уравнение на третье уравнение.
  3. Добавить умножить второе уравнение на третье уравнение
Третье уравнение на последнем шаге: Это никогда не применимо ни к какому значению Следовательно В системе НЕТ РЕШЕНИЯ . Замечание 2.2.14 Обратите внимание, что для решения линейной системы нужно применять только элементарные строковые операции с расширенной матрицей

Далее: рядов сокращенная форма эшелона Up: операций со строками и аналог Предыдущая: Операции со строками и аналог Содержание
А К Лал 2007-09-12

Обращение матрицы с использованием элементарных операций со строками (Гаусс-Джордан)

Также называется методом Гаусса-Жордана.

Это интересный способ найти обратную матрицу:

Поиграйте со строками (сложение, умножение или замена) пока мы не превратим Matrix A в Identity Matrix I

И, ТАКЖЕ внесение изменений в матрицу идентичности, она волшебным образом превращается в инверсию!

«Элементарные операции со строками» — это простые вещи, такие как добавление строк, умножение и замена местами… но давайте посмотрим на примере:

Пример: найти обратную букву «А»:

Мы начинаем с матрицы A и записываем ее с матрицей идентичности I рядом с ней:


(это называется «Расширенная матрица»)

Матрица идентификации

«Матрица идентичности» является матричным эквивалентом числа «1»:


Матрица идентификации 3×3

  • Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
  • Он имеет 1 с по диагонали и 0 с по всей остальной части.
  • Его символ — заглавная буква I .

Теперь мы делаем все возможное, чтобы превратить «А» (Матрица слева) в Матрицу Идентичности. Цель состоит в том, чтобы матрица A имела 1 с по диагонали и 0 с в другом месте (матрица идентичности) … и правая сторона используется для поездки, с каждой выполняемой операцией.

Но мы можем выполнять только эти «Элементарные операции со строками» :

  • поменять местами строк
  • умножить или разделить каждый элемент в строке на константу
  • заменить строку на , прибавив к ней или вычтя из нее число, кратное другой строке

И мы должны сделать это для всей строки , вот так:

Начните с A рядом с I

Добавить строку 2 к строке 1,

, затем разделите строку 1 на 5,

Затем возьмите 2 раза первую строку и вычтите ее из второй строки,

Умножить вторую строку на -1/2,

Теперь поменяйте местами вторую и третью строки,

Наконец, вычтите третью строку из второй строки,

И готово!

И матрица была преобразована в Матрицу идентификации…

… и в то же время идентификационная матрица превратилась в A -1

СДЕЛАНО! Как по волшебству, и так же весело, как решать любую головоломку.

И обратите внимание: не существует «правильного способа» сделать это, просто продолжайте играть, пока у нас не получится!

(Сравните этот ответ с тем, который мы получили об обратной матрице с использованием младших, сомножителей и адъюгата. Это то же самое? Какой метод вы предпочитаете?)

Большие матрицы

Мы можем сделать это с матрицами большего размера, например, попробуйте эту матрицу 4×4:

Начать как это:

Посмотри, сможешь ли ты сделать это сам (я бы начал с деления первой строки на 4, но ты делаешь это по-своему).

Вы можете проверить свой ответ с помощью калькулятора матрицы (используйте кнопку «inv (A)»).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск