Самостоятельная работа 9 класс. Построение графиков с модулем

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(122) "Программа элективного курса по теме "Построение графиков функции" "
    ["seo_title"] => string(72) "proghramma-eliektivnogho-kursa-po-tiemie-postroieniie-ghrafikov-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "117096"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1412698591"
  }
}

object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(110) "Разработка урока "Построение графика квадратичной функции" "
    ["seo_title"] => string(61) "razrabotka-uroka-postroieniie-ghrafika-kvadratichnoi-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "123607"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1414517568"
  }
}

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(168) "Факультативный курс "Решение уравнений, неравенств,построение графиков,содержащих модуль" "
    ["seo_title"] => string(101) "fakul-tativnyi-kurs-rieshieniie-uravnienii-nieravienstv-postroieniie-ghrafikov-sodierzhashchikh-modul"
    ["file_id"] => string(6) "244623"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1445965472"
  }
}

object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Программа по работе с одаренными детьми "Абсолютная величина" "
    ["seo_title"] => string(67) "proghramma-po-rabotie-s-odariennymi-diet-mi-absoliutnaia-vielichina"
    ["file_id"] => string(6) "117638"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1412861219"
  }
}

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(105) "Статья: из опыта работы "Применение ЭОР на уроках физики".  "
    ["seo_title"] => string(59) "stat-ia-iz-opyta-raboty-primienieniie-eor-na-urokakh-fiziki"
    ["file_id"] => string(6) "136930"
    ["category_seo"] => string(6) "fizika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1417207782"
  }
}

Аттестационная работа. «Графика квадратной функции, содержащей модуль» методическая разработка занятия курса. 9 класс

1. Аттестационная работа

3. Краткая характеристика работы. Постановка проблемы. Актуальность.

4. Краткая характеристика образовательного учреждения

5. Цель и задачи

7.

8. Обнаружение проблемы

9. Построение проекта выхода из затруднения

10. Примеры заданий учебного исследования

Page not found!

Станица, которую вы искали, не найдена.

Используйте поисковую форму ниже, чтобы найти искомую статью. Или просмотрите нижеследующие рубрики и статьи, чтобы найти для себя что-нибудь более интересное.

Архив за год

Архив за месяц

Архив рубрик

• Без рубрики (683)
• Галереи-край (282)
• Доска почета (4)
• Доска почёта — Беларусь (1)
• Доска почёта — Казахстан (1)
• Доска почёта — Россия (1)
• Доска почёта — Украина (1)
• Есть такие дети — дислексики (3)
• Изучение JavaScript (3)
• Интерактивы (13)
• Календарь знаменательных и памятных дат (769)
• Конкурсы (317)
• Мастер своего дела-2017 (177)
• Новости (15 312)
• Новости (15 265)
• Обл. Австрии (10)
• Обл. Азербайджана (33)
• Обл. Албании (11)
• Обл. Андорры (8)
• Обл. Армении (10)
• Обл. Белоруссии (141)
• Обл. Болгарии (30)
• Обл. Боснии (10)
• Обл. Венгрии (19)
• Обл. Греции (13)
• Обл. Дании (5)
• Обл. Испании (18)
• Обл. Италии (20)
• Обл. Казахстана (16)
• Обл. Киргизии (8)
• Обл. Латвии (29)
• Обл. Литвы (40)
• Обл. Лихтенштейн (12)
• Обл. Люксембурга (12)
• Обл. Молдовия (32)
• Обл. России (2 288)
• Обл. Украины (726)
• Официальная документация (891)
• Партнеры (4)
• Педагогическая копилка (47)
• Победители конкурса «Опять-25» (24)
• Поздравляем (11)
• Пообщаемся? (9)
• Примите участие в проектах (3)
• Разработки профессионалов (279)
• Резюме учителей (26)
• Реклама (2)
• Сборник идей (4 895)
  • Астрономия, экология (45)
  • Библиотечное дело, музеи, краеведение (23)
  • Военно-патриотическое воспитание, ОБЖ (137)
  • География, природоведение, окружающий мир (237)
  • Дополнительное образование, внешкольная работа (155)
  • Дошкольное образование (294)
  • Здоровьесберегающие технологии, физическая культура (182)
  • Иностранные языки (329)
  • Информатика и ИКТ (194)
  • Искусство, музыка, черчение, МХК, ИЗО (102)
  • История (142)
  • Классное руководство и воспитание учащихся (114)
  • Коррекционная и социальная педагогика, психология, логопедия (175)
  • Математика, алгебра, геометрия (414)
  • Начальные классы (819)
  • Право, экономика (81)
  • Русский язык, литература (574)
  • Специализированный сборник (любые другие направления) (477)
  • Управление образовательным учреждением (48)
  • Физика (118)
  • Химия, биология (234)
• События (261)
• Стр. Издания, Диски, Беларусь (15)
• Стр. Издания, Диски, Россия (37)
• Стр. Издания, Диски, Украина (15)
• Стр. Издания, Интернет-книги (5)
• Стр. Издания, Книги (5)
• Стр. Издания, Книги, Россия (1)
• Стр. Издания, Учебники (23)
• Стр. Товары, Аудио и видео (5)
• Стр. Товары, Бытовая техника (5)
• Стр. Товары, Игры (5)
• Стр. Товары, Искусство, ремёсла (93)
• Стр. Товары, Канцелярия (5)
• Стр. Товары, Компьютеры (5)
• Стр. Товары, Медицина (5)
• Стр. Товары, Мобильная связь (5)
• Стр. Товары, Оргтехника (5)
• Стр. Товары, Спорт и туризм (5)
• Стр. Услуги, Выставки (13)
• Стр. Услуги, Доставка цветов (129)
• Стр. Услуги, Конференции (13)
• Стр. Услуги, Обучение (13)
• Стр. Услуги, Отдых учителей (5)
• Стр. Услуги, Переводчики (160)
• Стр. Услуги, Репетиторы (3 568)
• Стр. Услуги, Семинары (14)
• Страны (57)
• Творчество педагогов (20)
• Фотокаталог (4)

Архив статей

Методы построения графиков функций содержащих модуль

Цель урока:

• повторить построение графиков функций содержащих знак модуля;
• познакомиться с новым методом построения графика линейно-кусочной функции;
• закрепить новый метод при решении задач.

Оборудование:

• мультимедиа проектор,
• плакаты.

Ход урока

Актуализация знаний

На экране слайд 1 из презентации.

Что является графиком функции y=|x| ? (слайд 2).

(совокупность биссектрис 1 и 2 координатных углов)

Найдите соответствие между функциями и графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).

Рисунок 1

y=| x+3|

y=| x| +3

y=-2| x| -2

y=6-| x-5|

y=1/3| x-6| -3

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(x)| на примере функции y=|x²-2x-3| (слайд 4)

Ученик: чтобы построить график данной функции нужно

— построить параболу y=x²-2x-3

— часть графика над ОХ сохранить, а часть графика расположенную ниже ОХ отобразить симметрично относительно оси ОХ (слайд 5)

Рисунок 2

Рисунок 3

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=f(|x|) на примере функции y=x²-2|x|-3 (слайд 6).

Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:

— построить параболу.

— часть графика при х 0 сохраняется и отображается симметрии относительно оси ОУ (слайд 7)

Рисунок 4

Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(|x|)| на примере функции y=|x²-2|x|-3| (слайд 8).

Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:

— нужно построить параболу у=x²-2x-3

— строим у= x²-2|x|-3, часть графика сохраняем и симметрично отображаем относительно ОУ

— часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)

Рисунок 5

Следующее задание выполняем письменно в тетрадях.

1. Построить график линейно-кусочной функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Ученик на доске с комментарием:

— находим нули подмодульных выражений х₁=-2, х₂=1, х₃=3

— разбиваем ось на промежутки

— для каждого промежутка запишем функцию

при х < -2, у=-х-4

при -2 х<1, у=х

при 1 х<3, у = 3х-2

при х 3, у = х+4

— строим график линейно-кусочной функции.

Мы с вами построили график функции используя определение модуля (слайд 10).

Рисунок 6

Предлагаю вашему вниманию “метод вершин”, который позволяет строить график линейно-кусочной функции (слайд 11). Алгоритм построения дети записывают в тетрадь.

Метод вершин

Алгоритм:

1. Найдем нули каждого подмодульного выражения
2. Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
3. Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно

2. Разберем этот метод на той же функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

Учитель на доске, дети в тетрадях.

Метод вершин:

— найдем нули каждого подмодульного выражения;

— составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа

х -3 -2 1 3 4

у -1 -2 1 7 8

— нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно.

Графиком линейно-кусочной функции является ломанная с бесконечными крайними звеньями (слайд 12) .

Рисунок 7

Каким же методом график получается быстрее и легче?

3. Чтобы закрепить данный метод предлагаю выполнить следующее задание:

При каких значения х функция у=|х-2|-|х+1| принимает наибольшее значение.

Следуем алгоритму; ученик на доске.

у=|х-2|-|х+1|

х₁=2, х₂=-1

у(-2)=4-1=3

у(-1)=3

у(2)=-3

у(3)=1-4=3, соединяем последовательно точки.

у_наиб = 3

4. Дополнительное задание

При каких значениях а уравнение ||4+x|-|x-2||=a имеет два корня.

5. Домашняя работа

а) При каких значениях Х функция у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| принимает наименьшее значение.

б) Построить график функции y=||x-1|-2|-3| .

Технологическая карта урока алгебры в 9 классе «Графики функций, содержащие модуль.

1.           Цель урока: Повторить построение графиков функций, содержащих знак модуля; познакомить с новым методом построения графика линейно-кусочной функции; закрепить новый метод при решении задач.

2.           Тип урока: урок общеметодической направленности

3.           Технологии: здоровьесбереженья, поэтапное формирование умственных действий, проблемного обучения, развивающего обучения, индивидуально личностного обучения.

4.           Решаемые проблемы: Функции, содержащие модуль; графики функций, содержащих модуль. Методы построения графиков функций, содержащих модуль.

5.           Виды действий: Формирование у учащихся умений построения и реализации новых знаний (понятий, способов действий): построение алгоритма действий, работы с опорным конспектом, проектирования способов выполнения задания.

Планируемые результаты:

6.            Предметные: Актуализировать знания учащихся по построению графиков функций с помощью различных преобразований; научить строить графики функций, содержащих модуль, используя различные методы .

7.           Метапредметные УУД: Коммуникативные: с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

                             Регулятивные: вносить коррективы и дополнения в способ своих действий в случае расхождения эталона, реального действия и его продукта.

                                       Познавательные: выбирать наиболее эффективные способы решения задачи.

                   8. Личностные УУД: Формирование познавательного интереса к предмету исследования, устойчивой мотивации к изучению и закреплению нового; формирование навыков анализа, навыков работы по алгоритму.

9. Задачи:

– обучающие: ввести и изучить алгоритм построения графика линейно-кусочной функции новым методом.

–развивающие: развивать зрительную память, математически грамотную речь, аккуратность, точность в построении; умение анализировать, логическое мышление, память через использование образных подсказок.

-воспитательные: создать условия для формирования ответственного отношения к учебному труду, проявления личной заинтересованности при выслушивании высказывания каждого, развивать умения критически относиться к получаемой информации, аргументировать собственное высказывание, работать в коллективе.

10.       Формы работы учащихся: индивидуальная, фронтальная

11.       Необходимое техническое оборудование: компьютер(1), проектор(1), экран(1).

12.       Структура и ход урока

13.       Аннотация к уроку

 Урок проводится в обычном, не специализированном кабинете математики в котором находится только один компьютер, не имеющий выход в интернет, проектор, экран. Исходя из данных условий, учитель определяет основными формами работы на уроке- фронтальную и индивидуальную.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

Построение графиков содержащих знак модуля построение графика функции содержащей переменную или функцию под знаком модуля согласно определению модуля

Построение графиков, содержащих знак модуля

Построение графика функции, содержащей переменную

или функцию под знаком модуля согласно определению модуля:

x, если х>=0 f(x), если f(x)>=0

|x| = ; |f(x) | =

-x, если x<0 -f(x), если f(x)<0

Пример:

Построить график функции у=|2x-3|-х.

Рассмотрим два случая.

2х-3>=0 2х-3<0

y=2x-3-x или y=-2x+3-x

x>= x<

y=x-3 y= -3x+3

Таким образом, чтобы построить график функции у=|2x-3|-x, надо построить графики функций, заданными различными выражениями на различных промежутках.

х-3, х>=

у=

— 3х+3, х<

График изображен ниже:

y=|2x-3|-x

Построить график:

1. Y=|X|+X

2. Y=|X| · (X-2)

3. Y=|X+4| · X

4. Y=

5. Y=

6. Y=²–1)

7. Y=²+4X+3)

8. Y=

9. Y=

10. Y=X — 1 — |X-1|

11. Y=|3X-4|-X

12. Y=

13. Y=

14. Y=

15. Y=

16. Y=

17. Y=X² — 2|X+1|-1

18. Y=X+

19. Y=|X²-4X+3|+2X

20. Y=

21. Y=|X²-4|+4X

22. Y=

Элементарные преобразования графика функции у=f(x)

Если формула зависимости имеют вид |y| = f(x):

1. Надо построить график у = f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси Ох (и на самой оси) оставить без изменения

3. Часть графика расположенную ниже оси Ох стереть

4. Для оставленной части построить симметричную относительно оси Ох

Пример:

Построить график |y| = 2х-1

Построить график:

1. Y|=5X-4

2. |Y|=9-X²

3. |Y|=

4. |Y|=(X+4)²-5

5. |Y|=

6. |Y|=X+2

7. |Y|=X²-6X+8

8. |Y|=X²-4X

9. X|Y|=2

10. |Y|=

11. |Y| · (X+1)=1

12. |Y|=1-

13. |Y|=|2X-X²|

14. Y²=-2X

15. |Y|=8+2X-X²

16. Y²=0,5X

Элементарные преобразования графика функции у=f(x)

Если формула зависимости у = f(|x|):

1. Надо построить график функции у = f(x), часть графика расположенную правее оси Оу(и на самой оси) оставить без изменения

2. Часть графика расположенную левее оси Оу стереть

3. Построить для оставленной части симметричную относительно оси Оу

Пример:

Построить график у=2|x|-1

Построить график:

1. Y=5|X|-5

2. Y=9-|X|²

3. Y=

4. Y=

5. Y=

6. Y=(|X|+4)²-5

7. Y=

8. Y=

9. Y=|X|-1

10. Y=

11. Y=X²-|X|-6

12. Y=-X²+6|X|-8

13. Постройте график. С его помощью укажите пути функции, интервалы знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения функции, область значений функции:

2-, если |X|<=4

у= , если |X|>4

14. Y=X²-|X|-2

15. Решите уравнение X²+3|X|-18=0 графически.

16. Y=|X|-X²

17. Y=

Элементарные преобразования графика функции у=f(x)

Если формула зависимости имеет вид у = |f(x)|,

1. График функции у = f(x) выше оси Ох (и на самой оси Ох) оставить без изменения

2. Для части графика расположенной ниже оси Ох строят симметричную относительно

оси Ох

3. Часть графика расположенная ниже оси Ох стирается.

Пример:

Построить график функции у=|2x-1|

Построить график:

1. Y=|5X-4|

2. Y=|9 -X²|

3. Y=

4. Y=|(X-4)²-5)|

5. Y=|X+2|

6. Y=|X-1|

7. Y=|X²+2X|

8. Y=

9. Y=||

10. Y=||X²-3|-1|

11. Y=|X²-1|

12. Y=|X+1|-2

13. Y=4+|X-3|

14. Y=3 ∙ |X-2|

15. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции Y=:

а)на отрезке [-2;2]

б)на луче [0;+ )

в)на луче (- ;3]

г)на отрезке [-5;0]

16. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции Y=:

а)на луче (- ;5]

б)на отрезке [4;7]

в)на луче [2;+ )

г)на полуинтервале [-1;6]

17.Решите уравнение графически:

а)|X²-9|=5 б)|X-2|=X² в)|X+1|= -2X²

г)|X²-1|=|X²-X+1| д)|X-3|=X²+1 е)|X+5|=-X-1

ё) -2(X+2)² ж) з)(X+3)²

и)-X

Построение графиков уравнений, содержащих несколько модулей

Пример: построить график функции

1). Найти те значения переменной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю. ; ; .

2). Числовую прямую разбивают на промежутки точками, соответствующими найденным значениям переменной

0 1

3). На каждом промежутке определяют знак выражения, стоящего под знаком модуля (берут числа из промежутка и ставят в под модульное выражение). Определяют знак выражения стоящего под знаком модуля

− 0 − 1 +

− + +

4). Берут промежуток, раскрывают модуль (пользуясь определением модуля) на данном промежутке и упрощают

Составляют формулу кусочной функции

y

Строят график кусочной функции

1

x

0 1

1). Найдите промежутки убывания функции и ее наибольшее значение на отрезке . Ответ: , .

2). Найдите множество значений функции и ее наименьшее значение на отрезке . Ответ: , .

3). Найдите множество значений функции и значения, которые функция принимает ровно три раза. Ответ: ; ; .

4). Найдите все значения , при которых значения функции положительны и значения, принимаемые функцией ровно 2 раза. Ответ: ; , .

5). Постройте график функции и для каждого укажите количество общих точек этого графика и прямой .

а). . Ответ: Общих точек нет при ;

При , одна точка;

При и , две точки;

При , бесконечное множество точек.

б). . Ответ: Общих точек нет при ;

При , одна точка;

При и , две точки;

При ,, три точки;

При , четыре точки.

6). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Ответ: ; .

7). Найдите наименьшее значение функции

а). .Ответ: при .

б). .Ответ: при .

9). Докажите, что если , то наименьшее значение функции равно .

10). Исследуйте функцию на промежутки монотонности

а). . Ответ: На промежутках ; функция убывает. На промежутках возрастает.

б). . Ответ: На промежутках ; функция убывает. На промежутках и возрастает. На промежутках и функция постоянна.

11). Постройте графики функций

1). 2).

3). 4).

Решение неравенств, содержащих знак модуля

Неравенства вида

> , где > 0

Если выражение, стоящее под знаком модуля , обозначить через t (f(x) = t), то данное неравенство примет вид > . Используя геометрический смысл модуля (модуль на числовой прямой представляет собой расстояние от точки, которая изображает данное число, до точки ноль). Изображаем на числовой прямой все точки, расстояние от которых до ноля больше .

———∙——————∙—————∙————►t

— 0

t < — или t >

Решаем совокупность неравенств

Пример:

Решите неравенство > 11

Решение: > 11

Пусть , >11

———∙——————∙—————∙————►t

-11 0 11

; ;

Ответ: ; ;

Неравенство вида > , где < 0 верно при всех из области допустимых значений неравенства.

Решите неравенства

1). > 11. Ответ:

2). . Ответ:

3). . Ответ: : .

4). . Ответ: . .

5). . Ответ: .

6). . Ответ: .

7). . Ответ: .

8). . Ответ: .

9). . Ответ: .

10). >2. Ответ: .

Неравенства вида

>

Учитывая свойство модуля =

и свойство неравенства: если обе части неравенства неотрицательны, то при возведении в квадрат получаем неравенство равносильное данному .

Неравенство > можно заменить равносильным неравенством > это — >0 (—) ∙ (+) >0

Далее решать методом интервалов или заменить совокупностью систем

Аналогично решаются неравенства вида < .

Решите неравенства

1). . Ответ: .

2). Найти целочисленные решения неравенства .

Ответ: -8; -7; -6; … -1;0.

3). . Ответ: .

4). . Ответ: .

5). . Ответ: .

6). . Ответ: .

7). . Ответ: .

8). . Ответ: .

9). . Ответ: .

10). . Ответ: .

11). . Ответ: .

12). . Ответ: .

13). . Ответ: .

14). . Ответ: .

15). . Ответ: .

16). . Ответ: .

17). . Ответ: .

18). . Ответ: .

19). . Ответ: .

20). . Ответ: .

21). . Ответ: .

22). . Ответ: .

23). . Ответ: .

Решение неравенств вида

;

Неравенство

Доказательство:

.

Неравенство

Доказательство:

.

.

Решите неравенства

1). . Ответ: .

2). . Ответ: .

3). . Ответ: .

4). . Ответ: .

5). . Ответ: .

6). . Ответ: или .

7). . Ответ: .

8). . Ответ: ; .

9). . Ответ: .

10). . Ответ: .

11). . Ответ: .

12). . Ответ: или .

13). . Ответ: ; .

14). . Ответ: или .

15). . Ответ: .

16). . Ответ: .

17). . Ответ: .

18). . Ответ: .

19). . Ответ: .

20). . Ответ: ; .

Решение неравенств, содержащих несколько модулей методом интервалов

Суть метода состоит в следующем:

Пример:

1). Находят те значения переменной при которых выражения, стоящие под знаком модуля равно нулю.

2). Числовую ось разбивают на промежутки точками, соответствующими значениям переменной

1

3). На каждом промежутке, определяют знак выражения, стоящего под знаком модуля (берут число из промежутка, ставят в подмодульное выражение, определяют знак выражения, стоящего под знаком модуля)

— 0 + 1 +

-1 — — +

4). Берут промежуток, раскрывают каждый модуль, пользуясь определением модуля на данном промежутке, и решают неравенство

5). Проверяют, принадлежат ли найденные решения неравенства рассматриваемому промежутку; если принадлежат, то их включают в ответ

0

2

Если нет – отбрасывают. Так поступают с каждым промежутком.

6). Объединяют все решения исходного неравенства, найденные на всех промежутках, и учитывая область допустимых значений первоначального неравенства, выписывают ответ.

Ответ: -2<<3

Решите неравенство

1). Ответ:

2). Ответ:

3). Ответ:

4). Ответ:

5).Укажите целочисленные решения неравенства Ответ: 3;4

6). Ответ:

7). Ответ:

8). Ответ:

9). Ответ:

10). Ответ:

11). Ответ:

12). Ответ:

13). Ответ:

14). Ответ:

15). Ответ:

16). Ответ:

Решение неравенств, содержащих знак модуля, методом введения новой переменной.

1). Найти область значений переменной, входящей в неравенство.

2). Если в уравнении неоднократно встречается фиксированное выражение, зависящее от неизвестной величины, то имеет смысл обозначить это выражение, какой либо буквой. Когда вводится обозначение желательно сразу отбросить все или некоторые значения при которых уравнение = не имеет решений , т.е. полезно сразу указать область значений функции = .

3). Решить неравенство относительно введенной неизвестной.

4). Решить неравенство относительно исходной переменной.

5). Учитывая область допустимых значений исходного неравенства записать ответ.

Пример:

Учитывая свойство модулей имеем Пусть = , , тогда неравенство примет вид =1; =-3. f

Учитывая, что имеем

Учитывая область допустимых значений исходного неравенства Ответ:

Решите неравенства

1). Ответ:

2). Ответ:

3). Ответ:

4). Ответ:

5). Ответ:

6). Ответ:

7). Ответ:

8). Ответ:

9). Ответ:

10). Ответ:

Изображение на координатной плоскости множества точек, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

Чтобы на координатной плоскости изобразить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству надо:

1). Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (если неравенство строгое, то линия изображается пунктирной, если не строгое, то сплошной).

2). График или графики уравнений разбивают координатную плоскость на части.

3). Взять координаты точки, принадлежащей каждой части по очереди и поставить в неравенство. Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то эту часть координатной плоскости заштриховать.

Пример: Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству .

1). Построим график уравнения .

или

III II I

-1 0 1

Прямые и изображаем сплошными линиями, так как неравенство не строгое. Прямые разбивают координатную плоскость на три области. Неравенству удовлетворяют координаты точек, принадлежащих II части, поэтому заштриховываем II часть.

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству.

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

6). .

7). .

8). .

9). .

10). .

11). .

12). .

13). .

14). .

15). .

16). .

17). .

18). .

19).

20). .

21). .

22). .

23. .

24). .

Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию

а) . б).

в) г)

д) е) .

Системы неравенств с параметрами, содержащие знак модуля

1). Найдите все значения параметра , при которых система неравенств имеет единственное решение.

а). Ответ: При .

б). Ответ: При .

2). При каких значениях параметра система неравенств имеет ровно одно решение?. Для всех таких найдите это решение.

а). Ответ: При , ;

При , .

б). Ответ: При , ;

При , .

3). При каких значениях параметра система не имеет решения.

а). Ответ: При .

б). Ответ: При .

4). Для каждого значения параметра решите систему неравенств.

а). Ответ: При , ;

При , ;

При , ;

При , .

б). Ответ: При и , ;

При , ;

При , ;

При , ;

При , .

Нестандартные уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

К нестандартным ,обычно относятся такие уравнения и неравенства, где традиционные алгоритмы решения не проходят. Во многих случаях, решение таких уравнений и неравенств осуществляется на функциональном уровне, т.е с помощью графиков, или за счет сопоставления некоторых свойств функций, содержащихся в левой и правой частях уравнения или неравенства.

Если, например, наименьшее значение одной из функций совпадает с наибольшим значением функции , то уравнение = заменяют равносильной системой , где — наименьшее значение или наибольшее значение .

Решение системы является решением уравнения = .

1). Решите уравнение

Уравнение необходимо решить графически. Ответ:

2). Решите неравенство

. Применить метод оценки. Ответ:

3). Решите уравнение

. Решить уравнение графически. Ответ:

4). Решите уравнение

. Применить свойство: сумма неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. Ответ:

5). Решите уравнение

.Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения состоит из конечного числа значений. Для решения достаточно проверить все эти значения. Ответ:

Применение свойства = для любого

при нахождении значения выражения

Вычислите:

1). Ответ: -6

2). , если t = -10; t = 127. Ответ: -8; 127

3). ∙ . Ответ: 0,125

4). −. Ответ: -6

5). − . Ответ: 2

6). − . Ответ: 8

7). + . Ответ: 2

8). + . Ответ: 6

9). + . Ответ: 2

10). + . Ответ: 10

11). − . Ответ: -3

12). − . Ответ: -6

13). − − 0,5. Ответ: 0

14). + . Ответ:1

15). + Ответ: 1

16). . Ответ: 8

17). Найти и , если = — . Ответ: 28; -2

18). Найти и , если = — . Ответ: 40; -2

19). Сравните значение выражения

с числом . Ответ:

20). Сравните значение выражения

с числом . Ответ:

21). Докажите, что выражение ∙ является корнем уравнения = 1.

22). Докажите, что выражение является корнем уравнения = 1.

23). Удовлетворяет ли число − неравенству 7+58+13>0 .

Ответ: нет

24). Удовлетворяет ли число − неравенству 11+26-730 .

Ответ: да

Л и т е р а т у р а

1). Алгебра: 8; 9; 10 – 11 класс.

Авторы: А.Г.Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.

2). Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе.

Авторы: Л.И. Звавич, Д.И.Аверьянов, Б.П. Пигарёв, Т.Н. Грушанина.

3). Сборник задач по алгебре 8 – 9 класс.

Авторы: М.Л. Галицкий,А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.

4). Сборник для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс.

Авторы: Г.В. Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седова.

5). Алгебраический тренажер.

Авторы: А.Г. Мерзляк,В.Б.Полонский, М.С.Якир

6). Материалы ЦТ и ЭГЭ за 2002 – 2005 годы.

7). Математика. Самостоятельные и контрольные работы 8; 9; 10 – 11 классы.

Авторы: А.П. Ершова, В.В. Голобородько.

8). Различные сборники для поступающих в В У З Ы.

Построение и решение графиков Функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Чтобы ребенок разобрался в теории и чувствовал себя увереннее на школьных контрольных, запишите его на современные уроки математики в онлайн-школу Skysmart.

Интерактивные задания, математические комиксы и карта прогресса в личном кабинете — математика еще никогда не была таким увлекательным приключением!

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

 pip install matplotlib 

  >>> import matplotlib.pyplot как plt
  

  >>> импортировать numpy как np
>>> np.random.seed (444)
  

  >>> fig, _ = plt.подсюжеты ()
>>> тип (рис)
<класс 'matplotlib.figure.Figure'>
  

  >>> one_tick = рис.оси [0] .yaxis.get_major_ticks () [0]
>>> тип (one_tick)
<класс 'matplotlib.axis.YTick'>
  

  # matplotlib / pyplot.py
>>> def plot (* args, ** kwargs):
... "" "Сокращенная версия plt.plot ()." ""
... ax = plt.gca ()
... вернуть ax.plot (* args, ** kwargs)

>>> def gca (** kwargs):
... "" "Получить текущие оси текущего рисунка." ""
... вернуть plt.gcf (). gca (** kwargs)
  

  >>> fig, ax = plt.подсюжеты ()
  

  >>> тип (топор)
<класс 'matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot'>
  

  >>> rng = np.arange (50)
>>> rnd = np.random.randint (0, 10, размер = (3, rng.size))
>>> лет = 1950 + номер

>>> fig, ax = plt.subplots (figsize = (5, 3))
>>> ax.stackplot (yrs, rng + rnd, labels = ['Eastasia', 'Eurasia', 'Oceania'])
>>> ax.set_title ('Совокупный рост долга с течением времени')
>>> ax.legend (loc = 'верхний левый')
>>> ax.set_ylabel ('Общий долг')
>>> топор.set_xlim (xmin = yrs [0], xmax = yrs [-1])
>>> fig.tight_layout ()
  

  >>> x = np.random.randint (низкий = 1, высокий = 11, размер = 50)
>>> y = x + np.random.randint (1, 5, размер = x.size)
>>> data = np.column_stack ((x, y))

>>> fig, (ax1, ax2) = plt.подзаголовки (nrows = 1, ncols = 2,
... figsize = (8, 4))

>>> ax1.scatter (x = x, y = y, marker = 'o', c = 'r', edgecolor = 'b')
>>> ax1.set_title ('Разброс: $ x $ против $ y $')
>>> ax1.set_xlabel ('$ x $')
>>> ax1.set_ylabel ('$ y $')

>>> ax2.hist (данные, бункеры = np.arange (data.min (), data.max ()),
... метка = ('x', 'y'))
>>> ax2.legend (loc = (0,65, 0,8))
>>> ax2.set_title ('Частоты $ x $ и $ y $')
>>> ax2.yaxis.tick_right ()
  

  >>> (fig.axes [0] - это ax1, fig.axes [1] - это ax2)
(Правда правда)
  

  >>> fig, ax = plt.subplots (nrows = 2, ncols = 2, figsize = (7, 7))
  

  >>> тип (топор)
numpy.ndarray

>>> топор
массив ([[,
        <объект matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot в 0x113045c88>],
       [<объект matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot в 0x11d573cf8>,
        <объект matplotlib.axes._subplots.AxesSubplot в 0x1130117f0>]],
      dtype = объект)

>>> ax.shape
(2, 2)
  

  >>> fig, ax = plt.subplots (nrows = 2, ncols = 2, figsize = (7, 7))
>>> ax1, ax2, ax3, ax4 = ax.flatten () # сглаживаем 2d массив NumPy до 1d
  

  >>> из io import BytesIO
>>> импортировать tarfile
>>> из urllib.request import urlopen

>>> url = 'http://www.dcc.fc.up.pt/~ltorgo/Regression/cal_housing.tgz'
>>> b = BytesIO (urlopen (url).читать())
>>> fpath = 'CaliforniaHousing / cal_housing.data'

>>> с tarfile.open (mode = 'r', fileobj = b) в качестве архива:
... корпус = np.loadtxt (archive.extractfile (fpath), delimiter = ',')
  

  >>> y = жилье [:, -1]
>>> поп, возраст = жилье [:, [4, 7]].Т
  

  >>> def add_titlebox (топор, текст):
... ax.text (.55, .8, текст,
... horizontalalignment = 'центр',
... transform = ax.transAxes,
... bbox = dict (цвет лица = 'белый', альфа = 0,6),
... fontsize = 12,5)
... вернуть топор
  

  >>> размер сетки = (3, 2)
>>> фиг = плт.рисунок (figsize = (12, 8))
>>> ax1 = plt.subplot2grid (размер сетки, (0, 0), colspan = 2, rowspan = 2)
>>> ax2 = plt.subplot2grid (размер сетки, (2, 0))
>>> ax3 = plt.subplot2grid (размер сетки, (2, 1))
  

  >>> ax1.set_title ('Стоимость дома как функция возраста и населения района',
... fontsize = 14)
>>> sctr = ax1.scatter (x = возраст, y = pop, c = y, cmap = 'RdYlGn')
>>> плт.цветная полоса (sctr, ax = ax1, format = '$% d')
>>> ax1.set_yscale ('журнал')
>>> ax2.hist (возраст, бункеры = 'авто')
>>> ax3.hist (pop, bins = 'auto', log = True)

>>> add_titlebox (ax2, 'Гистограмма: домашний возраст')
>>> add_titlebox (ax3, 'Гистограмма: население области (log scl.)')
  

  >>> fig1, ax1 = plt.subplots ()

>>> id (рис1)
4525567840

>>> id (plt.gcf ()) # `fig1` - текущая цифра.
4525567840

>>> fig2, ax2 = plt.subplots ()
>>> id (fig2) == id (plt.gcf ()) # Текущий рисунок изменился на `fig2`.
Правда
  

  >>> plt.get_fignums ()
[1, 2]
  

  >>> def get_all_figures ():
... return [plt.figure (i) for i в plt.get_fignums ()]

>>> get_all_figures ()
[,
 ]
  

  >>> plt.close ('все')
>>> get_all_figures ()
[]
  

  >>> x = np.diag (np.arange (2, 12)) [:: - 1]
>>> x [np.diag_indices_from (x [:: - 1])] = np.arange (2, 12)
>>> x2 = np.arange (x.size) .reshape (x.shape)
  

  >>> side = ('слева', 'справа', 'сверху', 'снизу')
>>> nolabels = {s: False for s in side}
>>> nolabels.update ({'label% s'% s: false для s в сторонах})
>>> печать (без меток)
{'left': Ложь, 'right': Ложь, 'top': Ложь, 'bottom': Ложь, 'labelleft': Ложь,
 labelright: False, labeltop: False, labelbottom: False}
  

  >>> from mpl_toolkits.axes_grid1.axes_divider import make_axes_locatable

>>> с plt.rc_context (rc = {'axes.grid': False}):
... fig, (ax1, ax2) = plt.subplots (1, 2, figsize = (8, 4))
... ax1.matshow (x)
... img2 = ax2.matshow (x2, cmap = 'RdYlGn_r')
... для ax in (ax1, ax2):
... ax.tick_params (axis = 'both', which = 'both', ** nolabels)
... для i, j в zip (* x.nonzero ()):
... ax1.text (j, i, x [i, j], color = 'белый', ha = 'center', va = 'center')
...
... делитель = make_axes_locatable (ax2)
... cax = diverr.append_axes ("right", size = '5%', pad = 0)
... plt.colorbar (img2, cax = cax, ax = [ax1, ax2])
... fig.suptitle ('Тепловые карты с Axes.matshow', fontsize = 16)
  

  >>> импортировать панд как pd

>>> s = pd.Series (np.arange (5), index = list ('abcde'))
>>> топор = с.участок()

>>> тип (топор)


>>> id (plt.gca ()) == id (топор)
Правда
  

  >>> импортировать панд как pd
>>> импортировать matplotlib.transforms как mtransforms

>>> url = 'https://fred.stlouisfed.org/graph/fredgraph.csv?id=VIXCLS'
>>> vix = pd.read_csv (url, index_col = 0, parse_dates = True, na_values ​​= '.',
... infer_datetime_format = Верно,
... squeeze = Истина) .dropna ()
>>> ma = vix.rolling ('90d'). mean ()
>>> state = pd.cut (ma, bins = [- np.инф, 14, 18, 24, np.inf],
... метки = диапазон (4))

>>> cmap = plt.get_cmap ('RdYlGn_r')
>>> ma.plot (color = 'black', linewidth = 1.5, marker = '', figsize = (8, 4),
... label = 'VIX 90d MA')
>>> ax = plt.gca () # Получить текущие оси, на которые ссылается ma.plot ()
>>> ax.set_xlabel ('')
>>> ax.set_ylabel ('90-дневная скользящая средняя: CBOE VIX')
>>> ax.set_title ('Состояние режима волатильности')
>>> ax.grid (Ложь)
>>> ax.legend (loc = 'верхний центр')
>>> топор.set_xlim (xmin = ma.index [0], xmax = ma.index [-1])

>>> trans = mtransforms.bleded_transform_factory (ax.transData, ax.transAxes)
>>> для i, цвет в enumerate (cmap ([0.2, 0.4, 0.6, 0.8])):
... ax.fill_between (ma.index, 0, 1, где = состояние == i,
... цвет лица = цвет, преобразование = транс)
>>> ax.axhline (vix.mean (), linestyle = 'dashed', color = 'xkcd: темно-серый',
... альфа = 0,6, метка = 'Среднее за весь период', маркер = '')
  

  >>> [attr для attr в каталоге (plt), если attr.начинается с ('rc')]
['rc', 'rcParams', 'rcParamsDefault', 'rc_context', 'rcdefaults']
  

  >>> plt.rc ('lines', linewidth = 2, color = 'r') # Синтаксис 1

>>> plt.rcParams ['lines.linewidth'] = 2 # Синтаксис 2
>>> plt.rcParams ['lines.color'] = 'r'
  

  >>> plt.style.available
['seaborn-dark', 'seaborn-darkgrid', 'seaborn-ticks', 'пятьдесят восемь',
 'seaborn-whitegrid', 'classic', '_classic_test', 'быстрый', 'seaborn-talk',
 «морская-темная-палитра», «морская-яркая», «морская-пастельная», «оттенки серого»,
 'seaborn-notebook', 'ggplot', 'seaborn-colorblind', 'seaborn-приглушенный',
 'seaborn', 'Solarize_Light2', 'seaborn-paper', 'bmh', 'морской-белый',
 'dark_background', 'seaborn-poster', 'seaborn-deep']
  

  >>> plt.style.use ('пятьсот тридцать восемь')
  

  >>> plt.rcParams ['interactive'] # или: plt.isinteractive ()
Правда
  

  >>> plt.ioff ()
>>> plt.rcParams ['интерактивный']
Ложь
  

  >>> plt.ioff ()
>>> x = np.arange (-4, 5)
>>> у1 = х ** 2
>>> у2 = 10 / (х ** 2 + 1)
>>> fig, ax = plt.subplots ()
>>> топор.plot (x, y1, 'rx', x, y2, 'b +', linestyle = 'solid')
>>> ax.fill_between (x, y1, y2, где = y2> y1, interpolate = True,
... цвет = 'зеленый', альфа = 0,3)
>>> lgnd = ax.legend (['y1', 'y2'], loc = 'верхний центр', тень = True)
>>> lgnd.get_frame (). set_facecolor ('# ffb19a')
>>> plt.show ()