Геометрическая прогрессия знаменатель – Геометрическая прогрессия — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 24.10.201923.12.2019 by alexxlab

Содержание

Геометрическая прогрессия — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел b1,b2,b3,…{\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots } (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q{\displaystyle q} (знаменатель прогрессии), где b1≠0{\displaystyle b_{1}\neq 0}, q≠0{\displaystyle q\neq 0}: b1,b2=b1q,b3=b2q,…,bn=bn−1q{\displaystyle b_{1},b_{2}=b_{1}q,b_{3}=b_{2}q,\ldots ,b_{n}=b_{n-1}q}^[1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

bn=b1qn−1.{\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}.}

Если b1>0{\displaystyle b_{1}>0} и q>1{\displaystyle q>1}, прогрессия является возрастающей последовательностью, если 0<q<1{\displaystyle 0<q<1}, — убывающей последовательностью, а при q<0{\displaystyle q<0} — знакочередующейся^[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

|bn|=bn−1bn+1,{\displaystyle |b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},}

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Видео по теме

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата

[3]^:8—9.

Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
π,π,π,π{\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi } — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).
3; -6; 12; -24; 48; … — знакочередующаяся прогрессия со знаменателем -2.
1; -1; 1; -1; 1; … — знакочередующаяся прогрессия со знаменателем -1.

Свойства

Доказательство

log⁡(bn)=log⁡(b1qn−1)=log⁡(b1)+(n−1)⋅log⁡(q){\displaystyle \log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)} Формула общего члена арифметической прогрессии: an=a1+(n−1)⋅d{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d}.
В нашем случае
a1=log⁡(b1){\displaystyle a_{1}=\log(b_{1})},
d=log⁡(q){\displaystyle d=\log(q)}.

bn2=bn−ibn+i{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}}, если 1<i<n{\displaystyle 1<i<n}.

Доказательство

bn2=bnbn=b1qn−1b1qn−1=b1qn−1−ib1qn−1+i=bn−ibn+i{\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}}

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
Pn=(b1⋅bn)n2{\displaystyle P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}}.

Доказательство

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
Pk,n=PnPk−1{\displaystyle P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}.

Доказательство

Pk,n=∏i=knbi=∏i=1nbi∏j=1k−1bj=PnPk−1{\displaystyle P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}}

Сумма n{\displaystyle n} первых членов геометрической прогрессии:
Sn={∑i=1nbi=b1−b1qn1−q=b1(1−qn)1−q,if q≠1nb1,if q=1{\displaystyle S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}(1-q^{n})}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}}

Доказательство