Трапеция геометрическая фигура: Трапеция — геометрия и искусство

Содержание

Объёмные геометрические фигуры и их названия. Геометрические фигуры. Играем в геометрическое лото

Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.

Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.

Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.

Точка

Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.

С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.

Прямая

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

Угол

Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.

Угол — это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.

Плоскость

Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость — это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.

Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.

Четырехугольники

Параллелограмм — это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.

Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и углами.

Ромб — это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.

Трапеция

Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.

Трапеция — это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.

Круг

Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.

Треугольник

Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.

Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.

Многоугольник

Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.

Объемные геометрические фигуры

  • призма;
  • сфера;
  • конус;
  • цилиндр;
  • пирамида;

Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.

Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.

Любопытные факты

Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.

  • Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
  • В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
  • Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
  • В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
  • Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.

Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.

Чукур Людмила Васильевна
Геометрические фигуры. Особенности восприятия детьми формы предметов и геометрических фигур

«ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА .

ОСОБЕННОСТИ ВОСПРИЯТИЯ ДЕТЬМИ

Подготовила : ст. воспитатель Чукур Л . В.

1. Понятие «геометрическая фигура » . Особенности развития представлений о форме предметов у детей дошкольного возраста

Одним из свойств окружающих предметов является их форма . Форма предметов получила обобщенное отражение в геометрических фигурах .

Фигура — латинское слово , означает «образ» , «вид» , «начертание» ; это часть плоскости, ограниченная замкнутой линией, или часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Этот термин вошел в общее употребление в XII в. До этого чаще употреблялось другое латинское слово —

«форма » , также означающее «наружный вид» , «внешнее очертание предмета » .

Наблюдая за предметами окружающего мира , люди заметили, что есть некоторое общее свойство, позволяющее объединить предметы в одну группу . Это свойство было названо геометрической фигурой . Геометрическая фигура – это эталон для определения формы предмета , всякое непустое множество точек; обобщенное абстрактное понятие.

Само определение понятия геометрической фигуры дали древние греки . Они определили , что геометрической фигурой является внутренняя область, ограниченная замкнутой линией на плоскости. Активно это понятие применял в своей работе Евклид. Древние греки классифицировали все геометрические фигуры и дали им названия .

Упоминание о первых геометрических фигурах встречается и у древних египтян и древних шумеров.

Учеными-археологами был найден папирусный свиток с геометрическими задачами , в которых упоминались геометрические фигуры . И каждая из них называлась каким-то определенным словом .

Таким образом, представление о геометрии и изучаемых этой наукой фигурах имели люди с давних времен, но название, «геометрическая фигура » и названия всем геометрическим фигурам дали древнегреческие ученые.

В наше время знакомство с геометрическими фигурами начинается с раннего детства и продолжается на всём пути обучения. Дошкольники, познавая окружающий мир, сталкиваются с разнообразием форм предметов , учатся называть и различать их, а затем знакомятся и со свойствами геометрических фигур .

Форма – это внешнее очертание предмета . Множество форм бесконечно .

Представления о форме предметов возникают у детей достаточно рано. В исследованиях Л. А. Венгера выясняется, возможно ли различение

формы предметов детьми , у которых еще не сформировался акт хватания . В качестве индикатора он использовал ориентировочную реакцию ребенка в возрасте 3-4 месяцев.

Детям предъявлялись два объемных тела одинакового стального цвета и размера (призма и шар, одно из них подвешивалась над манежем, чтобы угасить ориентировочную реакцию; затем снова подвешивалась пара фигур . На одну из них (призма) реакция угашена, другая (шар) — новая. Малыши обращали взор на новую фигуру и фиксировали ее взглядом в течение более длительного времени, чем старую.

Л. А. Венгер заметил также, что что на геометрической фигуре с изменением пространственной ориентации возникает такое же зрительное сосредоточение, как и на новой геометрической фигуре .

Исследования М. Денисовой и Н. Фигурина показали , что грудной ребенок по

форме на ощупь определяет бутылочку , соску, материнскую грудь. Зрительно дети начинают различать форму предметов с 5 месяцев . При этом индикатором различения являются движения рук, корпуса по направлению к экспериментальному объекту и схватывание его (при пищевом подкреплении) .

В других исследованиях выявлено, что, если предметы отличаются цветом , то ребенок 3-х лет выделяет их форму только в том случае , если предмет знаком ребенку из практического опыта (опыт манипуляций, действий) .

Это доказывает и тот факт, что ребенок одинаково узнает прямые и перевернутые изображения (может рассматривать и понимать знакомые картинки, держа книжку «вверх ногами» , предметы , окрашенные в несвойственные цвета (черное яблоко, но квадрат, повернутый на угол, т. е. в виде ромба, не узнает, так как исчезает непосредственное сходство

формы предмета , которого нет в опыте.

2. Особенности восприятия детьми дошкольного возраста формы предметов и геометрических фигур

Одним из ведущих познавательных процессов детей дошкольного возраста является восприятие . Восприятие помогает отличить один предмет от другого , выделить какие-то предметы или явления из других похожих на него.

Первичное овладение формой предмета Форма предмета , как таковая, не предмета предшествовать практическим действиям. Действия детей с предметами на разных этапах различны.

Исследования психолога С. Н. Шабалина показывают, что геометрическая фигура воспринимается дошкольниками своеобразно. Если взрослый воспринимает ведро или стакан как предметы , имеющие цилиндрическую

форму , то в его восприятие включается знание геометрических форм . У дошкольника происходит обратное явление.

В 3-4 года дети опредмечивают геометрические фигуры , так как они в их опыте представлена нераздельно с предметами , не абстрагированы. Геометрическая фигура воспринимается детьми как картинка , как некоторый предмет : квадрат — это платочек, кармашек; треугольник — крыша, круг — колесо, мячик, два круга рядом — очки, несколько кругов рядом — бусы и т. п.

В 4 года опредмечивание геометрической фигуры возникает только при столкновении ребенка с незнакомой фигурой : цилиндр — это ведро, стаканчик.

В 4-5 лет ребенок начинает сравнивать геометрическую фигуру с предметом : про квадрат говорит «это как платочек» .

В результате организованного обучения дети начинают выделять в окружающих

предметах знакомую геометрическую фигуру , сравнивать предмет с фигурой (стаканчик как цилиндр, крыша как треугольник, учится давать правильное название геометрической фигуры и формы предмета , в их речи появляются слова «квадрат» , «круг» , «квадратный» , «круглый» и т. п.

Проблему знакомства детей с геометрическими фигурами и их свойствами следует рассматривать в двух аспектах :

В плане сенсорного восприятия форм геометрических фигур и использования их как эталонов в познании форм окружающих предметов ;

В смысле познания особенностей их структуры , свойств, основных свя-зей и закономерностей в их построении, т. е. собственно геометри-ческого материала .

Контур предмета это общее начало , которое является исходным как для зрительного, так и для осязательного восприятия .

Однако вопрос о роли контура в восприятии формы и формировании целостного образа требует еще дальнейшей разработки.

Первичное овладение формой предмета осуществляется в действиях с ним. Форма предмета , как таковая, не воспринимается отдельно от предмета , она является его неотъемлемым признаком. Специфические зрительные реакции прослеживания контура предмета появляются в конце второго года жизни и начинают предшествовать практическим действиям.

Действия детей с предметами на разных этапах различны. Малыши стремятся, прежде всего, захватить предмет руками и начать манипулировать им. Дети 2,5 лет, прежде чем действовать, довольно подробно зрительно и осязательно — двигательно знакомятся с предметами . Значение практических действий остается главным. Отсюда следует вывод о необходимости руководить развитием перцептивных действий двухлетних детей. В зависимости от педагогического руководства характер перцептивных действий детей постепенно достигает познавательного уровня.

Ребенка начинают интересовать различные признаки предмета , в том числе и форма . Однако он еще долго не может выделить и обобщить тот или иной признак, в том числе и форму разных предметов .

Сенсорное восприятие формы предмета должно быть направлено не только на то, чтобы видеть , узнавать формы , наряду с другими его признаками, но уметь, абстрагируя форму от вещи , видеть ее и в других вещах . Такому восприятию формы предметов и ее обобщению и способствует знание детьми эталонов — геометрических фигур . Поэтому задачей сенсорного развития является формирование у ребенка умений узнавать в соответствии с эталоном (той или иной геометрической фигурой ) форму разных предметов .

Экспериментальные данные Л. А. Венгера показали, что возможностью различать геометрические фигуры обладают дети 3-4 месяцев. Сосредоточение взгляда на новой фигуре — свидетельство этому.

Уже на втором году жизни дети свободно выбирают фигуру по образцу из таких пар : квадрат и полукруг, прямоугольник и треугольник. Но различать прямоугольник и квадрат, квадрат и треугольник дети могут лишь после 2,5 лет. Отбор же по образцу фигур более сложной формы доступен примерно на рубеже 4-5 лет, а воспроизведение сложной фигуры осуществляют дети пятого и шестого года жизни.

Под обучающим воздействием взрослых восприятие геометрических фигур постепенно перестраивается. Геометрические фигуры начинают восприниматься детьми как эталоны , с помощью которых познание структуры предмета , его формы и размера осуществляется не только в процессе восприятия той или иной формы зрением , но и путем активного осязания, ощупывания ее под контролем зрения и обозначения словом.

Совместная работа всех анализаторов способствует более точному восприятию формы предметов . Чтобы лучше познать предмет , дети стремятся коснуться его рукой, взять в руки, повернуть; причем рассматривание и ощупывание различны в зависимости от формы и конструкции познаваемого объекта. Поэтому основную роль в восприятии предмета и определении его формы имеет обследование , осуществляемое одновременно зрительным и двигательно-осязательным анализаторами с последующим обозначением словом. Однако у дошкольников наблюдается весьма низкий уровень обследования формы предметов ; чаще всего они ограничиваются беглым зрительным восприятием и поэтому не различают близкие по сходству фигуры (овал и круг, прямоугольник и квадрат, разные треугольники) .

В перцептивной деятельности детей осязательно-двигательные и зрительные приемы постепенно становятся основным способом рас-познавания формы . Обследование фигур не только обеспечивает целостное их восприятие , но и позволяет ощутить их особенности (характер, направления линий и их сочетания, образующиеся углы и вершины, ребенок учится чувственно выделять в любой фигуре образ в целом и его части. Это дает возможность в дальнейшем сосредоточить внимание ребенка на осмысленном анализе фигуры , сознательно выделяя в ней структурные элементы (стороны, углы, вершины) . Дети уже осознанно начинают понимать и такие свойства, как устойчивость, неустойчивость и др., понимать, как образуются вершины, углы и т. д. Сопоставляя объемные и плоские фигуры , дети находят уже общность между ними («У куба есть квадраты» , «У бруса — прямоугольники, у цилиндра — круги» и т. д.).

Сравнение фигуры с формой того или иного предмета помогает детям понять, что с геометрическими фигурами можно сравнивать разные предметы или их части . Так, постепенно геометрическая фигура становится эталоном определения формы предметов .

3. Особенности обследования и этапы обучения обследованию детьми дошкольного возраста формы предметов и геометрических фигур

Известно, что в основе познания всегда лежит сенсорное обследование, опосредованное мышлением и речью. В исследованиях Л. Венгера с детьми 2-3 лет индикатором зрительного различения формы предметов служили предметные действия ребенка .

По исследованиям С. Якобсон, В. Зинченко, А. Рузской дети 2-4 лет лучше узнавали предметы по форме , когда предлагалось сначала ощупать предмет , а потом найти такой же. Более низкие результаты наблюдались тогда, когда предмет воспринимался зрительно .

Исследования Т. Гиневской раскрывают особенности движений рук при обследовании предметов по форме . Детям завязывали глаза и предлагали ознакомиться с предметом путем осязания .

В 3-4 года – движения исполнительные (катают, стучат, возят) . Движения немногочисленны, внутри фигуры , иногда (однократно) по осевой линии, много ошибочных ответов, смешение разных фигур . В 4-5 лет – движения установочные (зажимают в руке) . Количество движений увеличивается в два раза; судя по траектории, ориентированы на размер и площадь; крупные, размашистые, обнаруживаются группы близко расположенных фиксаций, относящихся к наиболее характерным признакам фигуры ; дают более высокие результаты. В 5-6лет – движения обследовательские (прослеживание контура, проверка на упругость) . Появляются движения, прослеживающие контур, однако они охватывают наиболее характерную часть контура, другие части оказываются необследованными; движения внутри контура, количество то же, высокие результаты; как и в предыдущий период , наблюдается смешение близких фигур . В 6-7 лет – движения по контуру, пересечение поля фигуры , причем движения сосредотачиваются на наиболее информативных признаках , наблюдаются отличные результаты не только при узнавании, но и при воспроизведении .

Таким образом, для того, чтобы ребенок выделил существенные признаки геометрических фигур , необходимо их зрительное и двигательное обследование. Движения рук организовывают движения глаз и этому детей необходимо научить.

Этапы обучения обследованию

Задача первого этапа обучения детей 3-4 лет — это сенсорное восприятие формы предметов и геометрических фигур .

Второй этап обучения детей 5-6 лет должен быть посвящен формированию системных знаний о геометрических фигурах и развитию у них начальных приемов и способов «геометрического мышления » .

«Геометрическое мышление » вполне возможно развить еще в дошкольном возрасте. В развитии «геометрических знаний » у детей прослеживается несколько различных уровней.

Первый уровень характеризуется тем, что фигура воспринимается детьми как целое , ребенок еще не умеет выделять в ней отдельные элементы, не замечает сходства и различия между фигурами , каждую из них воспринимает обособленно .

На втором уровне ребенок уже выделяет элементы в фигуре и устанавливает отношения как между ними, так и между отдельными фигурами , однако еще не осознает общности между фигурами .

На третьем уровне ребенок в состоянии устанавливать связи между свойствами и структурой фигур , связи между самими свойствами. Переход от одного уровня к другому не является самопроизвольным, идущим параллельно биологическому развитию человека и зависящим от возраста. Он протекает под влиянием целенаправленного обучения, которое содействует ускорению перехода к более высокому уровню. Отсутствие же обучения тормозит развитие. Обучение поэтому следует организовывать так, чтобы в связи с усвоением знаний о геометрических фигурах у детей развивалось и элементарное геометрическое мышление .

Познание геометрических фигур , их свойств и отношений расширяет кругозор детей, позволяет им более точно и разносторонне воспринимать форму окружающих предметов , что положительно отражается на их продуктивной деятельности (например, рисовании, лепке) .

Большое значение в развитии геометрического мышления и про-странственных представлений имеют действия по преобразованию фигур (из двух треугольников составить квадрат или из пяти палочек сложить два треугольника).

Все эти разновидности упражнений развивают пространственные представления и начала геометрического мышления детей , формируют у них умения наблюдать, анализировать, обобщать, выделять главное, существенное и одновременно с этим воспитывают такие качества личности, как целенаправленность, настойчивость.

Итак, в дошкольном возрасте происходит овладение перцептивной и интеллектуальной систематизацией форм геометрических фигур . Перцептивная деятельность в познании фигур опережает развитие интеллектуальной систематизации.

Библиографический список

1. Белошистая А. В. Знакомство с геометрическими понятиями / А . Белошистая // Дошкольное воспитание . — 2008. — № 9. — с. 41- 51

2. Венгер Л. А. Воспитание сенсорной культуры ребенка / Л. А. Венгер Э. Г. Пилюгина, Н. Б. Венгер. — М. : Просвещение, 1988.- 144с.

3. Воспитание и обучение детей пятого года жизни : книга для воспитателя детского сада / (А. Н. Давидчук, Т. И. Осокина, Л. А. Парамонова и др.) ; под ред. В. В. Холмовской. — М. : Просвещение, 1986. — 144 с.

4. Габова М. А. Знакомство детей с геометрическими фигурами / М . А. Габова // Дошкольное воспитание . — 2002. — № 9. — с. 2- 17.

5. Дидактические игры и упражнения по сенсорному воспитанию дошкольников : (пособие для воспитателя детского сада / под ред. Л. А. Венгера). — М. : Просвещение, 1978. — 203 с.

6. Кербс Е. В. Математические досуги / Е. В. Кербс // Ребёнок в детском саду. — 2008. — № 3. — с. 21- 23.

7.Математика в детском саду : (пособие для воспитателя дет . сада / составитель Г. М. Лямина). — М. : Просвещение, 1977. — С. 224 — 228.

8. Метлина Л. С.Математика в детском саду : (пособие для воспитателя дет . сада) / Л. С. Метлина. — М. : Просвещение, 1994. — 256 с.

Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.

Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.

Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.

Точка

Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.

С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.

Прямая

Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.

Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.

Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.

Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.

Угол

Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.

Угол — это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.

Плоскость

Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость — это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.

Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.

Четырехугольники

Параллелограмм — это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.

Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и углами.

Ромб — это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.

Трапеция

Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.

Трапеция — это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.

Круг

Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.

Треугольник

Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.

Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.

Многоугольник

Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.

Объемные геометрические фигуры

  • призма;
  • сфера;
  • конус;
  • цилиндр;
  • пирамида;

Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.

Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.

Любопытные факты

Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.

  • Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
  • В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
  • Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
  • В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
  • Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.

Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.

Маленькие детки готовы учиться везде и всегда. Их юный мозг способен улавливать, анализировать и запоминать столько информации, сколько трудно даже взрослому человеку. То, чему родители должны научить малышей, имеет общепринятые возрастные рамки.

Основные геометрические фигуры и их названия дети должны узнать в возрасте от 3 до 5 лет.

Поскольку все дети разнообучаемы, то эти границы лишь условно приняты в нашей стране.

Геометрия – это наука о формах, размерах и расположении фигур в пространстве. Может создаться впечатление, что это сложно для малышей. Однако предметы изучения этой науки находятся повсюду вокруг нас. Вот почему иметь основные познания в этой области важно и для детей, и для старших.

Чтобы увлечь детей изучением геометрии, можно прибегнуть к веселым картинкам. Дополнительно хорошо бы иметь пособия, которые ребенок сможет потрогать, ощупать, обвести, раскрасить, узнать с закрытыми глазами. Основной принцип любых занятий с детьми – удержание их внимание и развития тяги к предмету с использованием игровых приемов и непринужденной веселой обстановки.

Сочетание нескольких средств восприятия сделает свое дело очень быстро. Воспользуйтесь нашей мини-методичкой, чтобы научить ребенка отличать геометрические фигуры, знать их названия.

Круг – самая первая из всех фигур. В природе вокруг нас многое имеет круглую форму: наша планета, солнце, луна, сердцевина цветка, многие фрукты и овощи, зрачки глаз. Объемный круг – это шар (мячик, клубок)

Начать изучение формы круга с ребенком лучше, рассматривая рисунки, а потом уже подкрепить теорию практикой, дав ребенку подержать что-нибудь круглое в руках.

Квадрат – это фигура, у которой все стороны имеют одинаковую высоту и ширину. Квадратные предметы – кубики, коробки, дом, окно, подушка, табурет и т. п.

Строить из квадратных кубиков всякие домики очень просто. Рисунок квадрата проще сделать на листочке в клетку.

Прямоугольник – родственник квадрата, который отличается тем, что имеет одинаковые противоположные стороны. Так же, как и у квадрата, у прямоугольника все равны 90 градусам.

Можно найти множество предметов, имеющих форму прямоугольника: шкафы, бытовая техника, двери, мебель.

В природе форму треугольника имеют горы и некоторые деревья. Из ближайшего окружения малышей можно привести в пример треугольную крышу дома, различные дорожные знаки.

В форме треугольника были построены некоторые древние сооружения, например храмы и пирамиды.

Овал – это круг, вытянутый с двух сторон. Формой овала обладают, например: яйцо, орехи, многие овощи и фрукты, человеческое лицо, галактики т. д.

Овал в объеме называется эллипсом. Даже Земля сплюснута с полюсов – эллипсовидная.

Ромб

Ромб – тот же квадрат, только вытянутый, т. е. имеет два тупых угла и пару острых.

Изучать ромб можно с помощью наглядных пособий – нарисованной картинки или объемного предмета.

Приемы запоминания

Геометрические фигуры по названиям запомнить несложно. В игру их изучение для детей можно превратить, применив следующие идеи:

  • Купите детскую книжку с картинками, в которой будут веселые и красочные рисунки фигур и их аналогии из окружающего мира.
  • Нарежьте из разноцветного картона побольше всяких фигурок, заламинируйте их скотчем и используйте как конструктор – очень много интересных сочетаний можно выложить, комбинируя разные фигурки.
  • Купите линейку с отверстиями в форме круга, квадрата, треугольника и других – для детей, которые уже дружат с карандашами, рисунки с помощью такой линейки – интереснейшее занятие.

Можно придумать много возможностей научить малышей знать названия геометрических фигур. Все способы хороши: рисунки, игрушки, наблюдения за окружающими предметами. Начните с малого, постепенно усложняя информацию и задания. Вы не ощутите, как пролетит время, а малыш обязательно порадует вас успехами в скором.

Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.

Геометрические объемные тела

Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:

  1. Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
  2. Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
  3. Любая из осей координат — это результат векторного произведения двух других.

Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:

  1. Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань — это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней — это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
  2. Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.

Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:

  1. Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
  2. Наличие у каждой объемной фигуры площади поверхности.

Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.

Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.

Фигура куб: описание

Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.

Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.

Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a 3 и S = 6*a 2 , соответственно.

Фигура пирамида

Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.

Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.

Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h». Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a 2 *h/3 и S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 , соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.

Фигура тетраэдр: описание

Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.

Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a — длина стороны равностороннего треугольника.

Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH 4 , в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.

Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.

Фигура призма

Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.

Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a 2 *h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.

Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r 2 , а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r 3 /3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).

Виды объемных геометрических фигур и их названия. Геометрические фигуры плоские и объёмные

Геометрические фигуры — это замкнутые множества точек на плоскости или в пространстве, которые ограничены конечным числом линий. Они могут быть линейными (1D), плоскими (2D) или пространственными (3D).

Любое тело, имеющее форму, представляет собой совокупность геометрических фигур.

Любую фигуру можно описать математической формулой различной степени сложности. Начиная от простого математического выражения до суммы рядов математических выражений.

Основными математическими параметрами геометрических фигур являются радиусы, длины сторон или граней и углы между ними.

Ниже представлены основные геометрические фигуры, наиболее часто используемые в прикладных расчетах, формулы и ссылки на расчетные программы.

Линейные геометрические фигуры

1. Точка

Точка — это базовый объект измерения. Основной и единственной математической характеристикой точки является её координата.

2. Линия

Линия — это тонкий пространственный объект имеющий конечную длину и представляющий собой цепь связанных друг с другом точек. Основной математической характеристикой линии является длина.

Луч — это тонкий пространственный объект имеющий бесконечную длину и представляющий собой цепь связанных друг с другом точек. Основными математическими характеристиками луча являются координата его начала и направление.

Плоские геометрические фигуры

1. Круг

Круг — это геометрическое место точек на плоскости, расстояние от которых до его центра, не превышает заданного числа, называемого радиусом этого круга. Основной математической характеристикой круга является радиус.

2. Квадрат

Квадрат — это четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Основной математической характеристикой квадрата является длина его стороны.

3. Прямоугольник

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы равны 90 градусам (прямые). Основными математичскими характеристиками прямоугольника являются длины его сторон.

4. Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки (вершины треугольника), не лежащие на одной прямой. Основными математическими характеристиками треугольника являются длины сторон и высота.

5. Трапеция

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Основными математическими характеристиками трапеции являются длины сторон и высота.

6. Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Основными математическими характеристиками параллелограмма являются длины его сторон и высота.

Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны, а углы его вершин не равны 90 градусам. Основными математическими характеристиками ромба являются длина его стороны и высота.

8. Эллипс

Эллипс — это замкнутая кривая на плоскости, которая может быть представлена как ортогональная проекция сечения окружности цилиндра на плоскость. Основными математическими характеристиками окружности являются длина его полуосей.

Объемные геометрические фигуры

1. Шар

Шар — это геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от его центра на заданном расстоянии. Основной математической характеристикой шара является его радиус.

Сфера — это оболочка геометрического тела, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от его центра на заданном расстоянии. Основной математической характеристикой сферы является её радиус.

Куб — это геометрическое тело, представляющее собой правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Основной математической характеристикой куба является длина его ребра.

4. Параллелепипед

Параллелепипед — это геометрическое тело, представляющее собой многогранник, у которого шесть граней и каждая из них прямоугольник. Основными математическими характеристиками параллелепипеда являются длины его ребер.

5. Призма

Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Основными математическими характеристиками призмы являются площадь основания и высота.

Конус — это геометрическая фигура, полученная объединением всех лучей, исходящих из одной вершины конуса и проходящих через плоскую поверхность. Основными математическими характеристиками конуса являются радиус основания и высота.

7. Пирамида

Пирамида — это многогранник, основанием которого является произвольный многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющие общую вершину. Основными математическими характеристиками пирамиды являются площадь основания и высота.

8. Цилиндр

Цилиндр — это геометрическая фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Основными математическими характеристиками цилиндра являются радиус основания и высота.

Быстро выполнить эти простейшие математические операции можно с помощью наших онлайн программ. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлены все геометрические фигуры, которые наиболее часто встречаются в геометрии для представления объекта или его части на плоскости или в пространстве.

Маленькие детки готовы учиться везде и всегда. Их юный мозг способен улавливать, анализировать и запоминать столько информации, сколько трудно даже взрослому человеку. То, чему родители должны научить малышей, имеет общепринятые возрастные рамки.

Основные геометрические фигуры и их названия дети должны узнать в возрасте от 3 до 5 лет.

Поскольку все дети разнообучаемы, то эти границы лишь условно приняты в нашей стране.

Геометрия – это наука о формах, размерах и расположении фигур в пространстве. Может создаться впечатление, что это сложно для малышей. Однако предметы изучения этой науки находятся повсюду вокруг нас. Вот почему иметь основные познания в этой области важно и для детей, и для старших.

Чтобы увлечь детей изучением геометрии, можно прибегнуть к веселым картинкам. Дополнительно хорошо бы иметь пособия, которые ребенок сможет потрогать, ощупать, обвести, раскрасить, узнать с закрытыми глазами. Основной принцип любых занятий с детьми – удержание их внимание и развития тяги к предмету с использованием игровых приемов и непринужденной веселой обстановки.

Сочетание нескольких средств восприятия сделает свое дело очень быстро. Воспользуйтесь нашей мини-методичкой, чтобы научить ребенка отличать геометрические фигуры, знать их названия.

Круг – самая первая из всех фигур. В природе вокруг нас многое имеет круглую форму: наша планета, солнце, луна, сердцевина цветка, многие фрукты и овощи, зрачки глаз. Объемный круг – это шар (мячик, клубок)

Начать изучение формы круга с ребенком лучше, рассматривая рисунки, а потом уже подкрепить теорию практикой, дав ребенку подержать что-нибудь круглое в руках.

Квадрат – это фигура, у которой все стороны имеют одинаковую высоту и ширину. Квадратные предметы – кубики, коробки, дом, окно, подушка, табурет и т. п.

Строить из квадратных кубиков всякие домики очень просто. Рисунок квадрата проще сделать на листочке в клетку.

Прямоугольник – родственник квадрата, который отличается тем, что имеет одинаковые противоположные стороны. Так же, как и у квадрата, у прямоугольника все равны 90 градусам.

Можно найти множество предметов, имеющих форму прямоугольника: шкафы, бытовая техника, двери, мебель.

В природе форму треугольника имеют горы и некоторые деревья. Из ближайшего окружения малышей можно привести в пример треугольную крышу дома, различные дорожные знаки.

В форме треугольника были построены некоторые древние сооружения, например храмы и пирамиды.

Овал – это круг, вытянутый с двух сторон. Формой овала обладают, например: яйцо, орехи, многие овощи и фрукты, человеческое лицо, галактики т. д.

Овал в объеме называется эллипсом. Даже Земля сплюснута с полюсов – эллипсовидная.

Ромб

Ромб – тот же квадрат, только вытянутый, т. е. имеет два тупых угла и пару острых.

Изучать ромб можно с помощью наглядных пособий – нарисованной картинки или объемного предмета.

Приемы запоминания

Геометрические фигуры по названиям запомнить несложно. В игру их изучение для детей можно превратить, применив следующие идеи:

  • Купите детскую книжку с картинками, в которой будут веселые и красочные рисунки фигур и их аналогии из окружающего мира.
  • Нарежьте из разноцветного картона побольше всяких фигурок, заламинируйте их скотчем и используйте как конструктор – очень много интересных сочетаний можно выложить, комбинируя разные фигурки.
  • Купите линейку с отверстиями в форме круга, квадрата, треугольника и других – для детей, которые уже дружат с карандашами, рисунки с помощью такой линейки – интереснейшее занятие.

Можно придумать много возможностей научить малышей знать названия геометрических фигур. Все способы хороши: рисунки, игрушки, наблюдения за окружающими предметами. Начните с малого, постепенно усложняя информацию и задания. Вы не ощутите, как пролетит время, а малыш обязательно порадует вас успехами в скором.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Точка – основное понятие геометрии, это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса.

Линия – это множество точек, последовательно расположенных друг за другом. У линии измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет.

Прямая линия – это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.

Луч – это часть прямой линии, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону.

Отрезок – это часть прямой линии, ограниченная двумя точками. Отрезок имеет начало и конец, поэтому можно измерить его длину.

Кривая линия – это плавно изгибающаяся линия, которая определяется расположением составляющих её точек.

Ломаная линия – это фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных своими концами.

Вершины ломаной – это

  1. точка, с которой начинается ломанная,
  2. точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную,
  3. точка, которой заканчивается ломанная.

Звенья ломаной – это отрезки, из которых состоит ломаная. Количество звеньев ломаной всегда на 1 меньше, чем количество вершин ломаной.

Незамкнутая линия – это линия, концы которой не соединены вместе.

Замкнутая линия – это линия, концы которой соединены вместе.

Многоугольник – это замкнутая ломанная линия. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Геометрия — одна из важнейших компонент математического образования, необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, а также для эстетического воспитания. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, формирование навыков доказательства.

В курсе геометрии 7 класса систематизируются знания о простейших геометрических фигурах и их свойствах; вводится понятие равенства фигур; вырабатывается умение доказывать равенство треугольников с помощью изученных признаков; вводится класс задач на построение с помощью циркуля и линейки; вводится одно из важнейших понятий — понятие о параллельных прямых; рассматриваются новые интересные и важные свойства треугольников; рассматривается одна из важнейших теорем в геометрии — теорема о сумме углов треугольника, которая позволяет дать классификацию треугольников по углам (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный).

На протяжении занятий, особенно при переходе от одной части занятия к другой, смене деятельности встает вопрос о поддержании интереса к занятиям. Таким образом, актуальным становится вопрос о применении на занятиях по геометрии задач, в которых есть условие проблемной ситуации и элементы творчества . Таким образом, целью данного исследования является систематизация заданий геометрического содержания с элементами творчества и проблемных ситуаций.

Объект исследования : Задачи по геометрии с элементами творчества, занимательности и проблемных ситуаций.

Задачи исследования: Проанализировать существующие задачи по геометрии, направленные на развитие логики, воображения и творческого мышления. Показать, как занимательными приемами можно развить интерес к предмету.

Теоретическая и практическая значимость исследования состоит в том, что собранный материал может быть использован в процессе дополнительных занятий по геометрии, а именно на олимпиадах и конкурсах по геометрии.

Объем и структура исследования:

Исследование состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, содержит 14 страниц основного машинописного текста, 1 таблицу, 10 рисунков.

Глава 1. ПЛОСКИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Основные геометрические фигуры в архитектуре зданий и сооружений

В окружающем нас мире существует множество материальных предметов разных форм и размеров: жилые дома, детали машин, книги, украшения, игрушки и т. д.

В геометрии вместо слова предмет говорят геометрическая фигура, при этом разделяя геометрические фигуры на плоские и пространственные. В данной работе будет рассмотрен один из интереснейших разделов геометрии — планиметрия, в которой рассматриваются только плоские фигуры. Планиметрия (от лат. planum — «плоскость», др.-греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости. Плоской геометрической фигурой называется такая, все точки которой лежат на одной плоскости. Представление о такой фигуре даёт любой рисунок, сделанный на листе бумаги.

Но прежде, чем рассматривать плоские фигуры, необходимо познакомиться с простыми, но очень важными фигурами, без которых плоские фигуры просто не могут существовать.

Самой простой геометрической фигурой является точка. Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии.

Прямая — одно из фундаментальных понятий геометрии.При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии (евклидовой). Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить, как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Прямые в пространстве могут занимать различные положения, рассмотрим некоторые из них и приведем примеры, встречающиеся в архитектурном облике зданий и сооружений (табл. 1):

Таблица 1

Параллельные прямые

Свойства параллельных прямых

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны:

Ессентуки, здание грязелечебницы (фото автора)

Пересекающиеся прямые

Свойства пересекающихся прямых

Примеры в архитектуре зданий и сооружений

Пересекающиеся прямые имеют общую точку, то есть точки пересечения их одноименных проекций лежат на общей линии связи:

Здания «горы» на Тайване

https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

Скрещивающиеся прямые

Свойства скрещивающихся прямых

Примеры в архитектуре зданий и сооружений

Прямые, не лежащие в одной плоскости и не параллельные между собой, являются скрещивающимися.

Ноне является общей линией связи.

Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях.

Робер, Гюбер —

Вилла Мадама под Римом

https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287

1.2. Плоские геометрические фигуры. Свойства и определения

Наблюдая за формами растений и животных, гор и извилинами рек, за особенностями ландшафта и далекими планетами, человек заимствовал у природы ее правильные формы, размеры и свойства. Материальные потребности побуждали человека строить жилища, изготавливать орудия труда и охоты, лепить из глины посуду и прочее. Все это постепенно способствовало тому, что человек пришел к осознанию основных геометрических понятий.

Четырехугольники:

Параллелограмм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — черта, линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Признаки параллелограмма:

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий: 1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырёхугольник — параллелограмм. 2. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 3. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Трапеция— это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Треугольник — это простейшая геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника , а отрезки — сторонами треугольника. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков и астрономы при нахождении расстояний до планет и звезд используют свойства треугольников. Так возникла наука тригонометрия — наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Правда, верную формулу для площади треугольника удалось найти не сразу.

Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру:

Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XY-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все.

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как замкнутая ломаная.

Круг — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.

Существует большое количество геометрических фигур, все они отличаются параметрами и свойствами, порой удивляя своими формами.

Чтобы лучше запомнить и отличать плоские фигуры по свойствам и признакам, я придумал геометрическую сказку, которую хотел бы представит вашему вниманию в следующем параграфе.

Глава 2. ЗАДАЧИ-ГОЛОВОЛОМКИ ИЗ ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

2.1.Головоломки на построение сложной фигуры из набора плоских геометрических элементов.

Изучив плоские фигуры, я задумался, а существуют какие-нибудь интересные задачи с плоскими фигурами, которые можно использовать в качестве заданий-игр или заданий-головоломок. И первой задачей, которую я нашел, была головоломка «Танграм».

Это китайская головоломка. В Китае ее называют «чи тао ту», т.е умственная головоломка из семи частей. В Европе название «Танграм» возникло, вероятнее всего, от слова «тань», что означает «китаец» и корня «грамма» (греч. — «буква»).

Для начала необходимо начертить квадрат 10 х10 и разделить его на семь частей: пять треугольников 1-5 , квадрат 6 и параллелограмм 7 . Суть головоломки состоит в том, чтобы, используя все семь частей, сложить фигурки, показанные на рис.3.

Рис.3. Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры

Рис.4. Задания «Танграм»

Особенно интересно составлять из плоских фигур «образные» многоугольники, зная лишь очертания предметов (рис.4). Несколько таких заданий-очертаний я придумал сам и показал эти задания своим одноклассникам, которые с удовольствием принялись разгадывать задания и составили много интересных фигур-многогранников, похожих на очертания предметов окружающего нас мира.

Для развития воображения можно использовать и такие формы занимательных головоломок, как задачи на разрезание и воспроизведение заданных фигур.

Пример 2. Задачи на разрезание (паркетирование) могут показаться, на первый взгляд, весьма многообразными. Однако в большинстве в них используется всего лишь несколько основных типов разрезаний (как правило, те, с помощью которых из одного параллелограмма можно получить другой).

Рассмотрим некоторые приёмы разрезаний. При этом разрезанные фигуры будем называть многоугольниками.

Рис. 5. Приёмы разрезаний

На рис.5 представлены геометрические фигуры, из которых можно собрать различные орнаментальные композиции и составить орнамент своими руками.

Пример 3. Еще одна интересная задача, которую можно самостоятельно придумать и обмениваться с другими учениками, при этом кто больше соберет разрезанные фигуры, тот объявляется победителем. Задач такого типа может быть достаточно много. Для кодирования можно взять все существующие геометрические фигуры, которые разрезаются на три или четыре части.

Рис.6.Примеры задач на разрезание:

—— — воссозданный квадрат; — разрез ножницами;

Основная фигура

2.2.Равновеликие и равносоставленные фигуры

Рассмотрим еще один интересный прием на разрезание плоских фигур, где основными «героями» разрезаний будут многоугольники. При вычислении площадей многоугольников используется простой прием, называемый методом разбиения.

Вообще многоугольники называются равносоставленными, если, определенным образом разрезав многоугольник F на конечное число частей, можно, располагая эти части иначе, составить из них многоугольник Н.

Отсюда вытекает следующая теорема: равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь, поэтому они будут считаться равновеликими.

На примере равносоставленных многоугольников можно рассмотреть и такое интересное разрезание, как преобразование «греческого креста» в квадрат (рис.7).

Рис.7. Преобразование «греческого креста»

В случае мозаики (паркета), составленной из греческих крестов, параллелограмм периодов представляет собой квадрат. Мы можем решить задачу, накладывая мозаику, составленную из квадратов, на мозаику, образованную с помощью крестов, так, чтобы при этом конгруэнтные точки одной мозаики совпали с конгруэнтными точками другой (рис.8).

На рисунке конгруэнтные точки мозаики из крестов, а именно центры крестов, совпадают с конгруэнтными точками «квадратной» мозаики — вершинами квадратов. Параллельно сдвинув квадратную мозаику, мы всегда получим решение задачи. Причем, задача имеет несколько вариантов решений, если при составлении орнамента паркета используется цвет.

Рис.8. Паркет, собранный из греческого креста

Еще один пример равносоставленных фигур можно рассмотреть на примере параллелограмма. Например, параллелограмм равносоставлен с прямоугольником (рис.9).

Этот пример иллюстрирует метод разбиения, состоящий в том, что для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей таким образом, чтобы из этих частей можно было составить более простой многоугольник, площадь которого нам уже известна.

Например, треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту. Из этого положения легко выводится формула площади треугольника.

Отметим, что для приведенной выше теоремы справедлива и обратная теорема: если два многоугольника равновелики, то они равносоставлены.

Эту теорему, доказанную в первой половине XIX в. венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким офицером и любителем математики П.Гервином, можно представить и в таком виде: если имеется торт в форме многоугольника и многоугольная коробка, совершенно другой формы, но той же площади, то можно так разрезать торт на конечное число кусков (не переворачивая их кремом вниз), что их удастся уложить в эту коробку.

Заключение

В заключении отмечу, что задач на плоские фигуры достаточно представлено в различных источниках, но интерес представили для меня те, на основании которых мне пришлось придумывать свои задачи-головоломки.

Ведь решая такие задачи, можно не просто накопить жизненный опыт, но и приобрести новые знания и умения.

В головоломках при построении действий-ходов используя повороты, сдвиги, переносы на плоскости или их композиции, у меня получились самостоятельно созданные новые образы, например, фигурки-многогранники из игры «Танграм».

Известно, что основным критерием подвижности мышления человека является способность путём воссоздающего и творческого воображения выполнить в установленный отрезок времени определенные действия, а в нашем случае — ходы фигур на плоскости. Поэтому изучение математики и, в частности, геометрии в школе даст мне еще больше знаний, чтобы в дальнейшем применить их в своей будущей профессиональной деятельности.

Библиографический список

1. Павлова, Л.В. Нетрадиционные подходы к обучению черчению: учебное пособие/ Л.В. Павлова. — Нижний Новгород: Изд-во НГТУ, 2002. — 73 с.

2. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 352 с.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053

Приложение 1

Анкета-опросник для одноклассников

1. Знаете ли вы, что такое головоломка «Танграм»?

2. Что такое «греческий крест»?

3. Было бы вам интересно узнать, что такое «Танграм»?

4. Было бы вам интересно узнать, что такое «греческий крест»?

Было опрошено 22 ученика 8 класса. Результаты: 22 ученика не знают, что такое «Танграм» и «греческий крест». 20-ти ученикам было бы интересно узнать о том, как с помощью головоломки «Танграм», состоящая из семи плоских фигур, получить более сложную фигуру. Результаты опроса обобщены на диаграмме.

Приложение 2

Элементы игры «Танграм» и геометрические фигуры

Преобразование «греческого креста»

Геометрическая фигура — множество точек на поверхности (зачастую на плоскости), которое образует конечное количество линий.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая линия . Отрезок, луч, ломаная линия — самые простые геометрические фигуры на плоскости.

Точка — мельчайшая геометрическая фигура, являющаяся основой других фигур во всяком изображении либо чертеже.

Каждая более сложная геометрическая фигура есть множество точек, которые обладают определенным свойством, характерное только для этой фигуры.

Прямая линия , либо прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на 1-ой линии, которая не имеет начала и конца. На листе бумаги можно увидеть лишь часть прямой линии, т.к. она не имеет предела.

Прямую изображают так:

Часть прямой линии, которая ограничена с 2-х сторон точками, называют отрезком прямой, либо отрезком. Его изображают так:

Луч — это направленная полупрямая, имеющая точку начала и у которой нет конца. Луч изображают так:

Если на прямой поставить точку, то эта точка будет разбивать прямую на 2 противоположно направленных луча. Эти лучи называют дополнительными .

Ломаная линия — несколько отрезков, которые соединены друг с другом таким образом, что конец 1-го отрезка оказывается началом 2-го отрезка, а конец 2-го отрезка — началом 3-го отрезка и так далее, причем соседние (которые имеют 1-ну общую точку) отрезки располагаются на разных прямых. Когда конец последнего отрезка не совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет называться незамкнутой :

Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го, значит, эта ломаная линия будет замкнутой . Пример замкнутой ломаной — это всякий многоугольник:

Четырехзвенная замкнутая ломаная линия — четырехугольник (прямоугольник) :

Трехзвенная замкнутая ломаная линия —

Индивидуальный итоговый проект «Геометрическая фигура

Свойства трапеции, отсутствующие в учебниках.

10. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

20. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности, а больший — полусумме оснований.

30. Диагонали трапеции разбивают ее на 4 треугольника, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики

40. В трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжения боковых сторон, середины оснований трапеции лежат на одной прямой

50. Если при нижнем основании сумма углов трапеции равна 90 0, то вторая средняя линия трапеции равна полуразности оснований.

6 0. Дополнительные построения в трапеции являются эффективным методом решения геометрических задач. Наиболее часто используются при решении задач:

1. Опускание высот из концов одного основания на другое основание

2. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не содержащей эту вершину

3. Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам

4. Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей эту вершину

5. Продолжение боковых сторон до пересечения

Задачи

1. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5.

2. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

3. Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

4. Углы при одном из оснований трапеции равны 77 0 и 13 0 , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

5. В трапеции АВСД боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точкиС и Д и касается прямой АВ в точкеЕ . Найдите расстояние от точки Е до прямой СД, если АД =4 , ВС = 3 .

6. Боковые стороны АВ и СД трапеции АВСД равны соответственно 8 и 10, а основание ВС равно 2. Биссектриса угла АДС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Считаем площадь трапеции онлайн

Ну а этот простенький калькулятор служит для определения площади трапеции. Есть только одно но. Нужно вводить значения в сантиметрах.

Давайте еще вспомним что такое трапеция. Трапеция — геометрическая фигура (а именно выпуклый четырехугольник), который имеет 2 параллельные стороны, другие 2 стороны не параллельны между собой. Те стороны, которые параллельные называются основаниями трапеции, а другие боковыми сторонами ее.

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Замечательная геометрическая фигура, как трапеция


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР 

 

 

 

 

 

Математика 

8 класс  

  Трапеция 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 


 

Трапеция. 

 

Очень  часто  в  задачах  по  планиметрии  встречается  такая 

замечательная геометрическая фигура, как трапеция. С трапециями 

связано много интересных  утверждений, каждое из которых в той 

или  иной  ситуации  помогает  найти  аккуратные  не  громоздкие 

решения  задач.  В  этом  задании  рассмотрим  некоторые  свойства, 

связанные с трапецией.  

 

Для начала вспомним основные определения и свойства. 

 

Трапецией  называется  четырехугольник,  у  которого  две  стороны 

параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны 

называются  её  основаниями,  а  две  другие  стороны  —  боковыми 

сторонами

 

Высотой трапеции называется расстояние между основаниями. 

 

Средняя  линия  трапеции    —  отрезок,  соединяющий  середины 

боковых сторон. 

 

Трапеция  называется  равнобедренной,  если  её  боковые  стороны 

равны.  

 

Трапеция,  один  из  углов  которой  прямой,  называется 

прямоугольной

 

Рассмотрим  некоторые  факты,  которые  часто  применяются  при 

решении задач, связанных с трапецией.  

 

Теорема  1.  Средняя  линия  трапеции  равна  полусумме 

оснований(докажите самостоятельно). 

 

Теорема 2. Пусть дана трапеция 

ABCD

(

BC

AD ||

) и 


F

 – точка 

пересечения диагоналей трапеции 

AC

 и 


BD

. Треугольники  AFD  

и 

CFB

 подобны. 



 

Доказательство. 

Доказательство этого факта 

достаточно простое. Нарисуем 

трапецию и проведем её 

диагонали(рис.1).  

Отметим на чертеже 

одинаковые углы  

(внутренние накрест лежащие) 

(рис.2).  

Получили, что треугольники 

АFD и СFВ подобны. 

Что и требовалось доказать. 

 

Теорема 3. Пусть дана трапеция 

ABCD

(

BC

AD ||

) и 


F

 – точка 

пересечения диагоналей трапеции 

AC

 и 


BD

. Треугольники  AFB  

и 

DFC

 равновелики (т.е. имеют одинаковую площадь). 

Доказательство. 

Так как надо доказать равенство площадей, то вспомним различные 

формулы для вычисления площади треугольника.  

Остановимся на формуле: S =

sin

2

ас

. Сделаем чертеж (рис.3) и 

введем обозначения. Запишем:  

S

АFВ


=

sin


2

ac

S

DFС

=

sin

2

bd

,  


Требуется доказать, что ас = bd. 

Из подобия треугольников АFD 

и СFВ (теорема 2). Имеем 

c

b

d

a

 или ас = bd. Теорема 3 доказана. 

Рассмотрим ещё одно доказательство. Будем использовать формулу  

 

Рис. 1 

 

Рис. 2 


 

Рис. 3 


 

S = 

2

ah

. Из вершин трапеции В и С опустим высоты(рис.4). 

Имеем: S

АВD 


=

2

ah

= S

АСD


. Но 

треугольник АFD является 

общей частью 

треугольников АВD и АСD. 

Если из равных величин 

вычесть одну и ту же (S

АFD

), 


то равенство сохранится.  

 

И требуемое равенство S

АFВ

 = S


DFС

 доказано. 

 

Теорема 4.

 

В любой трапеции середины оснований и точка 

пересечения диагоналей лежат на одной прямой.  

Доказательство. 

Пусть дана трапеция АВСD (АD   ВС), точки М и N – середины 

оснований АD и ВС 

соответственно(рис.5).  

Точка F – пересечение 

диагоналей трапеции АС и ВD. 

Надо доказать, что отрезок МN 

проходит через точку F. Через 

точки F и М (середину 

основания AD) проведем 

прямую, которая пересечет основание ВС в некоторой точке К. 

Понятно, что  АМF подобен  СКF. Имеем 

FM

KF

a

g

Аналогично замечаем, что подобны треугольники DМF и ВКF, и 

FM

KF

a

f

В итоге: 

a

f

a

g

; значит f=g и точка К является серединой ВС, т.е. 

совпадает с N. 

 

 

Рис. 4 

 

Рис. 5 



 

Теорема 4. В любой трапеции середины оснований и точка 

пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой. 

Доказательство. 

Сделаем чертёж(рис.6).  

S – точка пересечения прямых 

АВ и DС; М – середина 

основания АD; N – пересечение 

отрезка SМ c основанием ВС.   

Докажем, что N – середина ВС. 

Ясно, что  ASM~ BSN и 

DSM~ CSN. Имеем 

a

g

SM

SN

a

f

, т.е. f=g. Следовательно, доказали, что N – середина 

ВС.           

 

Теорема  5.  Биссектрисы  углов,  прилежащих  к  одной  из  боковых 

сторон  трапеции,  пересекаются  под  прямым  углом  (докажите 

самостоятельно). 

 

При решении задач с трапецией часто используются различные 

дополнительные построения. Попытаемся эти построения 

упорядочить (классифицировать), т.е. сделаем попытку выяснить, 

какое именно дополнительное 

построение поможет решить задачу. 

Будем называть это «Методами 

борьбы с трапециями». 

 

Метод 1. 

Продолжить боковые 

стороны трапеции до взаимного 

пересечения (рис.7).  

 

Задача 1. В трапеции длина средней линии равна 4, а углы при 

одном из оснований имеют величины 

40

 и 


50

. Найти длины 

оснований трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины 

этих оснований, равна 1. 

 

 

Рис. 6 

 

Рис. 7 


 

Решение. Рассмотрим следующий чертеж(рис.8). 

Пусть 

x

BC

 и 


y

AD

. Тогда 


2

x

MC

BM

 и 


2

y

ND

AN

Продолжим прямые АВ и DC до пересечения в точке F. И заметим, 

что 

90

40

50

180


AFD

Тогда 

2

x

FM

 (по свойству 

медианы из прямого угла) и 

2

y

FN

Имеем следующие два уравнения: 

1

2

2

x

y

MN

4

2

x

y

 (условие о средней линии). 

Из этих уравнений следует, что 

3

x

5

y

Ответ:3 и 5. 

 

Метод 2. 

Провести через 

вершину верхнего основания 

(например С) прямую, 

параллельную боковой стороне 

(СF || АВ) (рис.9). 

 

Задача 2. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны 

которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25. 

Решение. В трапеции 

ABCD

 

проведем 

BC

DE ||

, тогда 


,

28

16

44

CD

AB

AE

 

17

BC

DE

(рис.10). Пусть 

DF

 — 


высота трапеции. Пусть 

x

AF

Найдем высоту 

DF

 из 


треугольников  ADF  и 

EDF

2

2

2

2

2

EF

DE

AF

DA

DF

 

Рис. 8 

 

Рис. 9 

 

Рис. 10 


 

Откуда получаем: 

2

2

2

2

)

28

(

17

25

x

x

, в итоге 

20

x

, а 


высота 

15

DF

.  

Площадь трапеции найдем по формуле: 

DF

DC

AB

S

ABCD

2

450

15

2

16

44

ABCD

S

.  


Ответ: 

450


кв.ед. 

 

Задача 3. Длины боковой стороны AD и основания CD трапеции 

ABCD равны 2, а длина основания АВ равна 4. Длина диагонали 

АС равна 

7

. Найти длину боковой стороны ВС. 

Решение. Проведем через С прямую, параллельную стороне AD. 

Она пересечет основание АВ в точке М. Тогда 

2

CM

 и 


2

AM

Получили, что и 

2

MB

, т.е. СМ – медиана треугольника АСВ.  

Известный факт: если медиана СМ равна половине стороны АВ, то 

угол АСВ равен 

90

. Длину отрезка ВС найдем по теореме 

Пифагора: 

7

16

2

BC

, т.е. 


3

BC

Ответ: 3. 

 

Метод 3. 

Провести через 

вершину верхнего 

основания трапеции 

(например С) прямую, 

параллельную диагонали 

ВD(СF || ВD) (рис.11). 

 

Задача 4.Сумма оснований 

трапеции равна 9, а диагонали 

равны 5 и 15. Можно ли найти 

высоту трапеции? 

 

Решение. Через вершину С 

проведем прямую, 

параллельную диагонали BD 

(рис.12). Пусть точка F – пересечение этой прямой с прямой AD. 

 

Рис. 11 

 

Рис. 12 


 

Ясно, что DF = BC и AF = 9. Рассмотрим ΔACF со сторонами 5, 9 и 

15. заметим, что 5 +9

треугольника (сумма двух сторон больше третьей) и трапеции с 

этими данными не существует.  

Ответ: нельзя найти высоту трапеции. 

 

Задача 5.  Диагонали в трапеции равны 3 и 7. Отрезок, 

соединяющий середины оснований, равен 4. Найти длину средней 

линии. 

 

Решение. Пусть 

2

a

MC

BM

 и 


2

b

ND

AN

(рис.13). 

Через вершину С проведем прямую, параллельную диагонали BD.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И точка F – пересечение этой прямой с прямой AD. 

Ясно, что 

a

DF

7

BD

CF

 и 


a

b

AF

. Пусть 


MN

CK

Тогда CKNМ – параллелограмм и 

4

CK

2

a

NK

. Видим, что 

2

2

a

b

NK

AN

AK

, т.е. К – середина стороны AF или СК – 

медиана 

ACF

Применим формулу длины медианы (СК) для 

ACF

 и получим 

равенство: 

2

49

2

9

2

2

1

4

AF 

 

Рис. 13 



 

В итоге, 

13

2

AF

 или 

13

2

b

a

Ответ: 

13

 

Метод 4. 

Провести высоту в 

равнобедренной или прямоугольной 

трапециях(рис.14,15).  

 

 

Задача 6. Найти высоту 

равнобедренной трапеции, если 

основания равны 10 и 26, а диагонали 

перпендикулярны боковым сторонам. 

 

Решение. Пусть 

H

CF

 – высота 

трапеции.  

Известно, что 

8

2

10

26

FD

 и 


18

2

10

26

AF

 (рис.16).  

По свойству высоты, опущенной  

из вершины прямого угла, имеем 

равенство: 

FD

AF

H

2

 или 

8

18

2

H

, т.е. 


12

H

Замечание. Свойство высоты из 

прямого угла следует из подобия 

треугольников ACF и DCF. 

Ответ: 12. 

 

Задача 7. В прямоугольной 

трапеции меньшая диагональ 

равна 15 и перпендикулярна 

большей боковой стороне. 

Меньшая сторона трапеции 

равна 12. Найти большее 

основание трапеции. 

 

 

 

Рис. 14 

 

Рис. 15 

 

Рис. 16 


 

Рис. 17 


 

10 


Решение. Пусть CF – высота. Ясно, что 

12

CF

. Пусть 

x

BC

AF

По свойству высоты, опущенной из вершины прямого угла, имеем 

равенство: 

y

x

2

12

, где 

FD

y

(рис.17). 

По теореме Пифагора получаем 

2

2

2

12

15

x

, т.е. 


9

x

. Тогда 


16

9

144

y

 и все основание 

25

y

x

AD

Ответ: 25. 

 

Задачи для самостоятельного решения. 

 

1.

 

В  трапеции  расстояние  между  серединами  оснований  равно 

полусумме длин оснований. Найти угол между диагоналями. 

2.

 

В  трапеции  расстояние  между  серединами  оснований  равно 

полуразности длин оснований. Найти сумму углов при большем 

основании. 

3.

 

В  трапеции  ABCD  углы  А  и  В  прямые, 

4

AD

6

AB

Биссектриса  угла  D делит сторону АВ на равные части. Найти 

длину основания ВС. 

4.

 

В трапеции ABCD (

BC

AD

) точки M и N лежат на основаниях 

ВС и AD соответственно. Точка Р – пересечение отрезков АМ и 

BN.  Точка  Q  –  пересечение  отрезков  DM  и  CN.  Известно,  что 

площадь  треугольника  АВР  равна  2,  площадь  треугольника 

CDQ равна 3. Найти площадь четырехугольника MQNP. 

5.

 

В  равнобедренной  трапеции  ABCD  с  основаниями 

10

AD

6

BC

 из середины М стороны АВ опущен перпендикуляр MN 

на  сторону  CD.  Известно,  что 

5

:

3

ND

CN

.  Найти  площадь 

трапеции ABCD. 

6.

 

Точки  М  и  N  выбраны  соответственно  на  основании  ВС  и 

боковой  стороне  CD  трапеции  ABCD.  Прямые  АМ  и  BN 

пересекаются  в  точке  К,  причем 

KM

AK

3

BK

KN

2

Найти отношение 

ND

CN :

7.

 

В  трапеции  ABCD  биссектриса  угла  BAD  при  основании  AD 

пересекает сторону CD в точке М и продолжение основания ВС 

в  точке  К.  Найти  длину  стороны  CD,  если  известно,  что 

12

AB

24

AD

16

AM

 и 


4

MK



 

11 


8.

 

В  трапеции  ABCD  основания  AD  и  ВС  равны  15  и  5 

соответственно.  Точка  Р  –  пересечение  диагоналей.  Найти 

отношение  площади  трапеции  ABCD  к  площади  треугольника 

APD. 

9.

 

Точка  М  –  середина  боковой  стороны  CD  трапеции  ABCD. 

Площадь треугольника АВМ равна 5. Найти площадь трапеции. 

10.

 

Через  точку  Р  пересечения  диагоналей  трапеции  ABCD 

проведена  прямая,  параллельная  основаниям  трапеции. 

Доказать,  что  точка  Р  делит  пополам  отрезок,  отсекаемый  от 

прямой боковыми сторонами трапеции. 

11.


 

Найти  отношение  между  основаниями  трапеции,  в  которой 

средняя линия делится двумя диагоналями на три равные части. 

12.


 

В  равнобедренной  трапеции  диагонали  перпендикулярны,  а 

длина средней линии равна 6. Найти площадь трапеции. 

13.


 

Построить трапецию по основаниям  

b

 и сторонам  

d

14.

 

Диагональ  равнобедренной  трапеции  делит  ее  тупой  угол 

пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 

42. Найти площадь трапеции. 

15.

 

Точка  М  –  середина  боковой  стороны  CD  трапеции  ABCD. 

Точка N – середина основания AD. Площадь треугольника ВСМ 

равна  3.  Площадь  треугольника  DMN  равна  4.  Найти  площадь 

трапеции ABCD. 

16.


 

В  трапеции  ABCD  сумма  углов  при  основании  AD  равна 

90

Пусть  MN – отрезок, соединяющий середины оснований,  PQ – 

отрезок,  соединяющий  середины  диагоналей.  Доказать,  что 

PQ

MN

17.

 

Для  описанной  трапеции  найти  отношение  средней  линии  к 

периметру. 

18.


 

Найти  площадь  равнобедренной  трапеции  ABCD,  если  ее 

диагональ  АС  равна  10  и  образует  с  большим  основанием  AD 

угол 


60

19.

 

В  прямоугольной  трапеции  ABCD  (

AD

AB

  и 


BC

AB

основания 

a

BC

 и 


b

AD

. Точка Р – пересечение диагоналей 

АС и BD. Найти расстояние от Р до боковой стороны АВ. 

 

© Специализированный учебно-научный центр НГУ, 2012 

 

Достарыңызбен бөлісу:

Геометрическая фигура

Пользователи также искали:

геометрическая фигура 7 букв, геометрическая фигура кроссворд, геометрическая фигура на букву к, геометрические фигуры 3d, геометрические фигуры для детей с названиями, геометрические фигуры на плоскости, геометрические фигуры в пространстве, показать все геометрические фигуры, фигуры, геометрические, Геометрическая, фигура, геометрическая, букву, Геометрическая фигура, геометрические фигуры на плоскости, показать все геометрические фигуры, геометрическая фигура на букву к, геометрическая фигура кроссворд, геометрические фигуры в пространстве, букв, плоскости, показать, детей, названиями, пространстве, кроссворд, геометрические фигуры d, геометрическая фигура букв, геометрические фигуры для детей с названиями, геометрические фигуры 3d, геометрическая фигура 7 букв, геометрическая фигура, cтатьи по геометрии. геометрическая фигура,

Трапеция (значения) — это… Что такое Трапеция (значения)?

Трапеция (значения)

Трапе́ция:

  • Трапеция (геометрическая фигура)
  • Трапеция (гимнастический снаряд)
  • Трапеция — горная вершина на Урале
  • Трапеция (аниме)
  • Рулевая трапеция
  • номенклатурный лист топографической карты
Категория:
  • Многозначные термины

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Верещагин
  • Эшнунна

Смотреть что такое «Трапеция (значения)» в других словарях:

  • Трапеция — У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция (от др. греч. τραπέζιον  «столик»; …   Википедия

  • Трапеция (гора) — У этого термина существуют и другие значения, см. Трапеция (значения). Трапеция Координаты: Координаты …   Википедия

  • ДСМ-метод — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. ДСМ метод – это метод автоматического порождения гипотез. Формализует схему правдоподобного и достоверного вывода, н …   Википедия

  • Рука — У этого термина существуют и другие значения, см. Рука (значения). Левая рука человека со стороны ладони и тыльной части …   Википедия

  • Туманность Ориона — У этого термина существуют и другие значения, см. M42. Туманность Ориона Диффузная туманность …   Википедия

  • Лопатка — У этого термина существуют и другие значения, см. Лопатка (значения). Лопатка …   Википедия

  • Ладьевидная кость (запястье) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ладьевидная кость. Ладьевидная кость …   Википедия

  • Донской (природный парк) — Природный парк «Донской» Дон. В …   Википедия

  • Орион (созвездие) — У этого термина существуют и другие значения, см. Орион. Орион …   Википедия

  • Фаланга (анатомия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Фаланга. Кости левой кисти человека, тыльная (дорзальная) поверхность …   Википедия

Форма: трапеция — элементарная математика

Значение

Трапеция — четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон. Никакие другие особенности не имеют значения. (В англоязычных странах за пределами Северной Америки эквивалентным термином является трапеция.)

Параллельные стороны могут быть вертикальными, горизонтальными или наклонными. Фактически, по определению, даже это трапеция, потому что у нее есть «по крайней мере одна пара параллельных сторон» (и никакие другие особенности не имеют значения) как есть.На этих фигурах две другие стороны также параллельны, поэтому они удовлетворяют не только требованиям для того, чтобы быть трапецией (четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон), но также и требованиям для того, чтобы быть параллелограммом.

Приведенное выше определение принято в математическом сообществе и, все чаще, в образовательном сообществе. Многие источники, связанные с K-12 образованием, исторически ограничивали определение трапеции, требуя ровно одной пары параллельных сторон.Этот более узкий вид исключает параллелограммы как подмножество трапеций и оставляет только такие фигуры, как, и. Это более узкое определение трактует трапеции как треугольники с «одной вершиной, отрезанной параллельно противоположной стороне». Даже с ограниченным определением ученикам важно видеть нестандартные примеры — асимметричные, как примеры зеленого и коричневого, и в неуровневой ориентации, как красный пример, — чтобы создаваемое ими изображение фокусировалось на основных особенность: пара параллельных сторон.

Классифицирующие трапеции

Параллелограммам с особыми характеристиками, такими как прямые углы или все совпадающие стороны (или и то и другое), даны собственные отличительные имена: прямоугольник, ромб и квадрат. Единственная особенность трапеции , которой присвоено собственное отличительное имя, — это вторая пара параллельных сторон, которая превращает специальную трапецию в параллелограмм. Когда две стороны (кроме оснований) имеют одинаковую длину, трапеция называется равнобедренной («равнобедренная трапеция»), так же как треугольники с двумя сторонами равной длины (кроме основания) называются равнобедренными треугольниками.Никакие другие отличительные названия не используются для трапеций с особыми характеристиками (например, прямые углы или три совпадающие стороны).

Что одним словом?

Суффикс -оид предполагает, что он «похож» на что-то, но не совсем то же самое: сфероид похож на сферу, но не обязательно на идеальную сферу; гуманоид похож на человека, но не на человека; и трапеция имеет форму трапеции, но не трапеция. Современное значение trapeze предполагает цирковые качели ( — это , часто трапециевидная форма, сиденье параллельно перекладине, на котором висит трапеция), но trapeze первоначально означало «стол», от tra ( «четыре», как в tetra- ) pez («нога» или «ступня», которые мы чаще видим как ped , как в pedal или pedestrian ).

геометрических фигур: трапеция (трапеция) | Бесплатная помощь с домашним заданием

https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/osmosis/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 Бесплатная помощь с домашним заданием Бесплатная помощь с домашним заданием https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/osmosis/images/empty/thumbnail.jpg

A трапеция , также называемая трапеция — четырехугольник, в котором пара противоположных сторон параллельна.Трапеция становится равнобедренной трапецией , если ее непараллельные стороны равны по длине.

В трапеции параллельные стороны называются основаниями , а две другие стороны называются ножками . Перпендикулярное расстояние от одной базы до другой называется высотой трапеции.

Отрезок, соединяющий средние точки сторон трапеции, называется ее медианной .

Периметр трапеции:

Периметр трапеции складывается из двух оснований и двух ножек.

Площадь трапеции:

Когда мы объединяем две равные трапеции, делая одну их копию на 180 градусов и объединяя ее с другой трапецией, мы получаем параллелограмм.

Мы знаем, что площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на его высоту. Но здесь основание параллелограмма было бы суммой оснований трапеции a + b, где его высота равна h.

Итак, площадь параллелограмма = (a + b) h

Поскольку параллелограмм состоит из трапеций одинаковой площади, площадь трапеции будет равна половине площади параллелограмма.

Итак, площадь трапеции = (a + b) h / 2

Вам также нужна помощь со стандартными тестами? Взгляните на наши репетиторские услуги по подготовке к экзаменам.

SchoolTutoring Academy — ведущая компания в сфере образовательных услуг для школьников и школьников. Мы предлагаем учебные программы для учащихся K-12, AP и колледжей.Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и ученикам в Манитобе, посетите: Репетиторство в Манитобе.

Геометрические свойства трапеции | calcresource

Определения

Геометрия

Трапеция — это четырехугольник с как минимум двумя параллельными сторонами. Используются определения, показанные на следующем рисунке:

Площадь трапеции определяется формулой:

A = h \ frac {a + b} {2}

где a, b длины двух оснований и h высота. 2} \ end {split}

Внутренний угол φ 3 является дополнительным к φ 1 , поскольку основания a и b параллельны.2}

Центроид

Координаты центроида относительно нижней базовой левой вершины, x c и y c (см. Рисунок ниже), могут быть вычислены с использованием первых моментов площади трех подобластей A ,ДО Н.Э.

Для x c , учитывая первые моменты площади относительно середины части B, находится:

\ begin {split} & A \ left (x_ {c} -a_1- \ frac {b} {2} \ right) = \ frac {a_1 h} {2} \ left (- \ frac {b} {2} — \ frac {a_1} {3} \ right) + \ frac {a_2 h} {2} \ left (\ frac {b} {2} + \ frac {a_2} {3} \ right) \ Rightarrow \\ \\ & x_ {c} = a_1 + \ frac {b} {2} + \ frac {h \ left (a_2-a_1 \ right) \ left (\ frac {3} {2} b + a_1 + a_2 \ right)} {6A} \ end {split}

, где A — площадь трапеции.2 \ left (2b + a \ right)} {6A} \\ \\ \ end {split}

Приведенные выше формулы верны, даже если α 1 или α 2 отрицательны, что происходит, когда углы φ 1 или φ 2 , тупые.

Что такое трапеция? (Определение, свойства и видео) // Tutors.com

Содержание

  1. Что такое трапеция?
  2. Определения трапеций
  3. Уголки трапеции
  4. Свойства трапеции
  5. Трапеции
  6. Виды трапеций

Что такое трапеция?

Трапеция — четырехугольник с одной парой параллельных сторон.Трапеция — это:

  • Плоская фигура (плоская)
  • Замкнутая фигура (имеет внутреннюю и внешнюю)
  • Многоугольник (прямые стороны)
  • Четырехугольник (четыре прямые стороны)

Чтобы сделать трапецию, вам понадобится треугольник. Подойдет любой треугольник: прямой, тупой, равнобедренный, разносторонний. Отрежьте верхнюю часть треугольника так, чтобы разрез был параллелен основанию треугольника. Теперь у вас есть более маленький треугольник и трапеция.

Поскольку для определения требуется только одна пара параллельных сторон, две другие стороны можно расположить разными способами, создавая четыре внутренних угла, которые в сумме всегда составляют 360 °.

Определения трапеций

Мы уже знаем, что трапеция похожа на нижнюю часть треугольника, если от нее отрезать меньший треугольник. Вы также можете сделать трапецию из четырех отрезков или четырех прямых объектов.

Используйте все, что вам нравится: сырые спагетти, карандаши, палочки от леденцов; все, что у вас есть под рукой. Четыре прямых (линейных) объекта могут быть четырех разных длин или трех разных длин (два из них могут быть одинаковыми).

Положите два объекта вниз или нарисуйте два отрезка линии, чтобы они были параллельны (равноудалены).Сделайте их горизонтально по отношению к вам. Поместите два других объекта слева и справа от этих двух или нарисуйте их так, чтобы все восемь конечных точек соприкасались.

Вот она, трапеция! Горизонтальные части основания . Последние две части, которые вы нарисовали или положили (на левом и правом концах), называются ножками трапеции.

Уголки трапеции

Обратите внимание, что мы не беспокоились ни о каком из внутренних углов, поскольку сохранение двух сторон параллельными заставляет остальную часть трапеции встать на место.Углы сортируются и складываются в 360 °.

Высота трапеции — это ее высота. Пусть вас не обманывают покатые ножки — если они наклонены, то длиннее высоты. Высота всегда измеряется от основания (любой параллельной стороны) до другой стороны под прямым углом к ​​основанию.

Вы можете провести перпендикулярную линию в любом месте основания трапеции, и когда она касается противоположной, параллельной стороны, ее длина равна высоте.

Свойства трапеции

Трапеция — это параллелограмм?

Вы можете определить любую трапецию, если это четырехугольник с одной парой параллельных сторон.Многие математики включают параллелограммы как типы трапеций, потому что, конечно, параллелограмм имеет по крайней мере одной пары параллельных сторон. Другие математики исключают параллелограммы, говоря, что у трапеции должно быть ровно одной пары параллельных сторон.

Еще одним отличительным свойством всех трапеций является то, что любые два смежных внутренних угла будут дополнительными (добавить к 180 °).

Трапеции

Обычно для максимальной ясности на изображениях и рисунках трапеций показаны две параллельные стороны, идущие горизонтально, причем более длинная сторона обращена вниз в качестве основания.Однако будьте готовы увидеть трапеции в любой ориентации . Трапецию можно нарисовать или изобразить либо с ногой внизу, либо с более короткой параллельной стороной внизу.

Поскольку параллельные стороны — единственные, которые могут быть основаниями, даже когда трапеция рисуется с ножкой внизу и горизонтально, это , а не основание. Это все еще нога.

Основание обычно представляет собой более длинную параллельную сторону, но если трапеция рисуется с более короткой параллельной стороной внизу, то это основание.

Типы трапеций

Поскольку трапеции могут возникать в виде треугольников, они имеют общие названия, полученные от типов треугольников:

  1. Scalene trapezoid — Начинается как разносторонний треугольник
  2. Равнобедренная трапеция — начиналась как равнобедренный треугольник
  3. Правая трапеция — Когда-то был прямоугольный треугольник
  4. Тупая трапеция — Как тупой треугольник
  5. Острая трапеция — как острый треугольник

Скаленовая трапеция

Разносторонняя трапеция имеет четыре стороны неравной длины.Основания параллельны, но разной длины. Две ножки разной длины.

Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция имеет ножки одинаковой длины. Основания параллельны, но разной длины.

Трапеция правая

Правая трапеция имеет один прямой угол (90 °) между основанием и ножкой.

Тупая трапеция

Тупая трапеция имеет один внутренний угол (образованный основанием или опорой ) больше 90 °.

Острая трапеция

Острая трапеция имеет оба внутренних угла (образованные более длинным основанием и ножками ) размером менее 90 °.

Краткое содержание урока

Используя всего четыре линии и четыре внутренних угла, мы построили трапецию , узнали, что делает трапецию уникальной (пара параллельных сторон), каковы различные части трапеции и названия пяти специальных трапеций.

Следующий урок:

Как найти площадь трапеции

трапеций: определение и свойства — математический класс [видео 2021]

Свойство

Трапеции имеют одно свойство, которое необходимо соблюдать. Свойство в том, что у него должна быть одна пара параллельных сторон. Если вы посмотрите на трапецию, вы увидите, что у нее две плоские стороны. Эти плоские стороны параллельны друг другу. Если вы продлите эти линии, они никогда не встретятся.Попытайся.

Словарь

При работе с трапециями есть несколько слов, которые мы должны добавить в наш словарь.

Первое слово — это основание , то есть стороны, параллельные друг другу. Нарисуйте треугольник, нижняя сторона которого будет одной из ваших основ. Сторона, полученная путем срезания вершины треугольника, является другой основой.

Второе слово, которое следует рассмотреть, — это ножка . Это наклонные стороны, которые образуют левый и правый край трапеции, которая находится самой длинной стороной вниз.Возвращаясь к разрезанному треугольнику, ноги — это стороны, которые поднимаются и встречаются на вершине треугольника. Но поскольку вершина треугольника срезана, ноги заканчиваются там, где произошел срез.

Третье слово — высота , что просто высота трапеции. Это то, насколько высока трапеция, когда вы сидите на плоской поверхности. Вы можете определить высоту, измерив расстояние от одной базы до другой.

Специальные трапеции

Когда ноги вашей трапеции имеют одинаковую длину и когда углы, которые каждая сторона образует с основанием, равны, тогда у вас есть так называемая равнобедренная трапеция .Это означает, что, если трапеция расположена ровно с самым длинным основанием вниз, два нижних угла будут равны, а два верхних угла также будут равны. Представьте себе эту трапецию как равнобедренный треугольник (треугольник с двумя равными сторонами и двумя равными углами) с отрезанной вершиной.

Теперь представьте себе разносторонний треугольник (треугольник, все стороны которого имеют разную длину) и отрежьте его вершину. Когда вы это сделаете, вы получите разностороннюю трапецию , трапецию, ноги которой имеют разную длину.

Третий вид специальной трапеции — это правая трапеция , трапеция, в которой одна ножка перпендикулярна основанию. Он будет выглядеть как прямоугольный треугольник (треугольник с одним прямым углом) с обрезанной вершиной.

Краткое содержание урока

Вау! Посмотрите, что мы узнали всего за несколько минут! Мы узнали, что трапеция представляет собой четырехстороннюю плоскую форму с одной парой параллельных сторон. Трапеции выглядят как треугольники со срезанной вершиной. Единственное свойство, которому должны соответствовать все трапеции, — это то, что у них должны быть две стороны, параллельные друг другу.

Специальные слова, которые мы используем с трапециями, — это основания, ноги и высота. Основания относятся к двум сторонам, параллельным друг другу. Ноги относятся к двум наклонным сторонам, а высота — это просто высота трапеции, когда она расположена ровно, ее самое длинное основание опущено.

Особый случай равнобедренной трапеции возникает, когда у вас есть ноги, равные по длине друг другу, и углы, образованные ногами и основаниями, также равны друг другу.Итак, у равнобедренной трапеции два нижних и два верхних угла равны друг другу. Частный случай разносторонней трапеции возникает, когда обе ножки имеют разную длину, а правая трапеция возникает, когда одна ножка перпендикулярна основанию.

Результаты обучения

Усвоение информации из этого урока может привести к вашей способности:

  • Распознавать свойство, связанное с трапециями
  • Определите основания, опоры и высоту, как они соотносятся с трапециями
  • Характеризуйте особые трапеции: равнобедренную, разностороннюю и правую

Где в мире трапеция есть трапеция?

Как учитель, я помню, как бесконечно говорил о квадратах на одном дыхании, говоря, что «квадраты — это особый тип прямоугольников».Я часто разрабатывал задания, в результате которых ученики создавали древовидные диаграммы или диаграммы Венна, чтобы показать семейную классификацию четырехугольников. Будь то углы, размеры, меры, конструкции или представление неизвестных величин, формы можно было регулярно видеть на уроках.

При проектировании путевых точек геометрии в Cambridge Mathematics Framework я обнаружил большое количество исследований, касающихся классификации четырехугольников. Большая часть этого исследования выявляет проблемы, с которыми мы слишком хорошо знакомы: ученики не осознают, что квадрат — это тип прямоугольника, а прямоугольник — это тип параллелограмма; необходимые и достаточные свойства четырехугольника и характеристики форм перечислить несколько.Ученики редко полностью понимают или знают истинное математическое определение каждого четырехугольника, и вместо этого склонны перечислять их характеристики, четыре стороны и все остальное.

Следует отметить несколько особенностей. Некоторые мутят воду, а другие помогают нам решить проблемы. Имея это в виду, вот небольшой набор важных вопросов, о которых следует подумать, когда вы работаете в этой области.

Какое определение для трапеции? У фигуры ровно одна пара параллельных сторон или хотя бы одна пара параллельных сторон? А может, вообще ничего! В разных культурах трапеции определяются по-разному, и во многих тоже есть термин трапеция.В США (для некоторых) трапеция — это четырехсторонний многоугольник без параллельных сторон; в Великобритании трапеция — это четырехсторонний многоугольник с ровно одной парой параллельных сторон; тогда как в Канаде трапеция имеет инклюзивное определение, так как это четырехсторонний многоугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон — следовательно, параллелограммы — это особые трапеции.

Сейчас я не в состоянии принять окончательное решение по этому поводу, но указать, что эти проблемы существуют (особенно в мультикультурных классах, в которых мы преподаем), важно, как и указывает тем, кто ищет в Интернете, когда урок Планируя, что часто необходимы осторожность, внимание и скептицизм!

Евклид, прародитель большей части нашей школьной программы по геометрии, определил (Книга 1, определение 2) квадрат, имеющий равные стороны и прямые углы, продолговатый, чтобы иметь четыре прямых угла, но не четыре равных стороны, ромб, чтобы иметь четыре равных угла. стороны, но без прямых углов, ромб имеет равные противоположные стороны и равные противоположные углы, но без прямых углов и без четырех равных сторон.Все остальные четырехугольники имели форму трапеции.

Даже простое осмысление этого — прекрасная возможность по-настоящему подумать о том, как выглядят эти формы и их знакомые отношения, поскольку Евклид подразумевает, что на самом деле нет никаких пересечений между формами. Каждый из них представляет собой квадрат, продолговатую форму, ромб, ромб или трапецию. Разве это не упростило бы жизнь?

Ну и да, и нет. Возникает вопрос, почему у нас есть те всеобъемлющие определения, которые мы делаем? Какой в ​​этом смысл — неужто они просто ошеломляют и сбивают с толку?

Все сводится к тому, что мы можем вывести и заключить от одной формы к другой.Квадрат — это особый тип прямоугольника и ромба и, следовательно, особый параллелограмм. Эти иерархические определения приводят к более экономичным определениям понятий и формулировкам теорем, упрощают дедуктивную систематизацию и вывод свойств более специальных понятий, обеспечивают полезную концептуальную схему при решении проблем, могут предлагать альтернативные определения и новые предложения и обеспечивать полезные глобальные перспективы ( Де Вильерс, 1994).

Другими словами: теорема, которую вы доказываете для параллелограмма, верна для квадратов, прямоугольников и ромбов, поскольку все они являются типами параллелограмма.Тем не менее, теорема, которая верна для квадрата, может не выполняться для всех параллелограммов, поскольку не все параллелограммы являются квадратами.

Здесь действительно интересно взглянуть на ограничения, необходимые при передаче семейства параллелограммов; рассмотреть, что остается инвариантным и как это взаимодействует с рассматриваемой теоремой. Возможно, ваше доказательство, основанное на квадрате, не опирается на эти ужесточенные ограничения, которые делают квадрат не просто параллелограммом, поэтому на самом деле ваше доказательство будет работать для всех параллелограммов.

При поиске чудес Интернета Википедия предлагает эту замечательную диаграмму:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/Euler_diagram_of_quadrateral_types.svg

Возможно, вы не полностью согласны с используемыми названиями, но замечательно то, как вы можете определить ужесточение или ослабление ограничения во время прогулки. Оставьте область, и вы расслабитесь, войдите в другой слой и затяните. Это также подчеркивает, что на самом деле, вы знаете, может быть, продолговатый — не такое уж неприятное слово — продолговатые и квадраты составляют семейство прямоугольников, а «продолговатый» может помочь с целыми квадратами — это путаница с прямоугольниками.В качестве альтернативы Клементс и Сарама (2009) предлагают использовать двойное имя квадрат-прямоугольник. Означает ли это, что у нас также будут ромб-параллелограммы? Было бы неплохо подумать, действительно ли некоторые регионы пусты, и у нас, как у команды, возникает вопрос, следует ли включать «дартс» здесь и в кайт-регион?

Весь разговор просто подчеркивает, насколько запутанным может быть определение четырехугольника. Крайне важно определиться с тем, что мы считаем необходимыми и достаточными условиями и, следовательно, знакомыми отношениями, и в то же время быть готовыми заявить о них прямо.Может быть, как только мы это сделаем, мы сможем нарисовать нашу собственную диаграмму Википедии для наших определений. Я оставлю это вам один раз, но мне было бы интересно, что вы создаете! Могу я найти ваши определения из вашей диаграммы?

Артикул:

Клементс, Д.Х., Сарама, Дж., 2000. Идеи маленьких детей о геометрических формах. Обучение детей математике 6, 482–488.

Де Вильерс, М., 1994. Роль и функция иерархической классификации четырехугольников. Для изучения математики 14, 11–18.

Сарама, Дж., Клементс, Д.Х., 2009. Форма, в: Математическое образование и исследования для детей младшего возраста, Траектории обучения для детей младшего возраста. Рутледж, Нью-Йорк, стр. 199–246.

ЧТО-ТО ПОПРОБОВАТЬ:

KS1: Что общего у каждого набора фигур? Что отличает каждый от другого?

KS2: Прямоугольник — это особый тип параллелограмма. Почему?

KS3: Нарисуйте древовидную диаграмму, чтобы связать семейство четырехугольников.Объясните ссылки, которые вы сделали.

KS4: построить циклический параллелограмм.

KS5: Теорема Ван Обеля утверждает, что: Если квадраты построены на сторонах любого четырехугольника, то отрезки прямых, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны. Какую форму образовали бы эти центры, если бы исходный четырехугольник был параллелограммом? Использование иерархических классификаций покажет, почему. Рассмотрим здесь доказательства исходной теоремы.

Иллюстративная математика

Комментарий IM

Цель этого задания — дать учащимся определение трапеции.Есть два конкурирующих определения слова «трапеция»:

  • Исключительное определение трапеции гласит, что трапеция имеет ровно одну пару параллельных противоположных сторон.

  • Включенное определение гласит, что трапеция имеет по крайней мере одну пару параллельных противоположных сторон.

Иногда люди говорят, что у трапеций «одна пара противоположных сторон параллельна», поэтому остается неясным, может быть их больше одной или нет. Вторая часть задания подталкивает учащихся к четкому пониманию того, какую версию они намереваются.Из-за того, что учащиеся должны внимательно относиться к определениям, эта задача во многом опирается на MP6, «Заботьтесь о точности».

После того, как учащиеся сформулировали определения для себя или с партнером, класс должен обсудить определение вместе. Класс должен выбрать одно определение, с которым все согласны, поскольку смысл четко сформулированных определений состоит в том, что мы все знаем, что говорим об одном и том же. Хотя оба определения законны, преимущество инклюзивного определения состоит в том, что любая теорема, верная для трапеции, верна и для параллелограмма.Кроме того, в своем исследовании Классификация четырехугольников (Information Age Publishing, 2008) Usiskin et al. заключение,

Преобладание преимуществ всеобъемлющего определения трапеции привело к тому, что все статьи, которые мы могли найти по этому предмету, и большинство выпускаемых колледжем книг по геометрии, отдавали предпочтение всеобъемлющему определению.

Инклюзивное определение устанавливает взаимосвязь между параллелограммами и трапециями, которая в точности аналогична взаимосвязи между квадратами и прямоугольниками; определение прямоугольников включает квадраты так же, как включающее определение трапеций включает параллелограммы.

Дополнительную информацию об этих проблемах см. В документе K-6 Geometry Progressions: http://commoncoretools.me/wp-content/uploads/2012/06/ccss_progression_g_k6_2012_06_27.pdf.

Решение

  1. Трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. Он может иметь прямые углы (прямая трапеция) и равнобедренные стороны, но это не обязательно.
  2. Иногда люди определяют трапеции, чтобы иметь по крайней мере одну пару противоположных сторон, параллельных, а иногда говорят, что есть одна и только одна пара параллельных противоположных сторон.Параллелограмм соответствует «по крайней мере одному» варианту определения, потому что он имеет две пары противоположных сторон, параллельных друг другу, поэтому он попадает в категорию как трапеции, так и параллелограмма.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск