2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция 
дифференцируема в точке
и
При отображении
вектор
исходящий из точки
переходит в
Рис. 8
бесконечно малый вектор 
исходящий из точки
а гладкая кривая
переходит в гладкую кривую(см. рис. 8). Поскольку
то выполняются одновременно следующие
соотношения: 
Отсюда
следует, что с точностью до 
выполняются равенства
Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной
): а) модуль 
равен коэффициенту растяжения (сжатия)
бесконечно малого вектора
исходящего из точки
при отображении
б) аргумент 
равен углу поворота
бесконечно малого вектораисходящего из точки
при отображении
Эти утверждения
верны для произвольного бесконечно
малого вектора 
исходящего из точки
причем
утверждение б) будет верно для любых
гладких кривых
исходящих из точки
(в этом случае вектор
касается кривой
в точке
).
Если
и
то
из утверждения б) следует, что при
отображении
они развернутся на один и тот же угол,
т.е. угол между кривыми
и
при отображении
сохраняется. Более того, сохраняется и
направление этого угла. Исходя из
сказанного, вводят следующее понятие. Определение 4. Отображение 
окрестности
на окрестность
точки
называетсяконформным,
если оно обладает постоянством растяжения
(сжатия) бесконечно малых элементов 
и сохранением углов и их направлением
между любыми двумя гладкими кривыми
Отображение
называется конформным в
области 
, если оно конформно в каждой точке области 
и если функция
является аналитической и однолистной
в области
. Теорема 2. Пусть функция 
– однолистная и аналитическая в области
и
в каждой точке области
.
Тогда отображение
будет конформным в области
Доказательство
этого утверждения вытекает из
геометрического смысла производной и
ее аргумента. Например, главная ветвь
логарифма 
является
конформным отображением области 
на область
Конформные отображения играют важную
роль в прикладных науках. Однако подробное
их изучение в нашем курсе не позволяет
дефицит времени. Читателю, заинтересованному
в более детальном ознакомлении с теорией
конформных отображений, рекомендуем
книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата «Функции
комплексного переменного и некоторые
их приложения» (ГИФМЛ, Москва, 1959) .
======================================================
Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
Везде ниже, если не оговорено противное,
функция 
предполагается однозначной в своей
области определения. Пусть в плоскости
задана некоторая ориентированная кривая
(
начало,
конец). Каждой точке
плоскости
соответствует единственное комплексное
число
и соответствующее комплексное число
и будем писать
Пусть функция
определена на кривой
.
Разобъём кривую
на частичные дуги
точками
в направлении ориентации кривой:
Возьмём произвольно точку 
и составим интегральную сумму
Обозначим
диаметр разбиения
.
Определение 5. Если существует конечный предел интегральных сумм:
и он не зависит от вида разбиения 
,
то его называют интегралом от функции
вдоль кривой (дуги)
и обозначают
При этом функцию
называетсяинтегрируемой на кривой
.Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:
которое вытекает из того, что при
ориентации кривой от 
до
вектор
заменяется на вектор
Кроме того, интеграл от комплексной
функции, очевидно, обладает свойствами
линейности и аддитивности, которые мы
не выписываем. Следующее утверждение
позволяет свести комплексный интеграл
к двум действительным криволинейным
интегралам.
Теорема 3.Пусть ограниченная дуга 
кусочно-гладка и лежит вобласти 
определения функии
.
Пусть, кроме того,
непрерывна на дуге
.Тогда имеет место равенство
Доказательство.Преобразуем в
интегральной сумме (5) слагаемое
:
Тогда интегральная сумма в равенсте (5) примет вид
Здесь действительная часть является
интегральной суммой для криволинейного
интеграла 
,
а мнимая часть – интегральной суммой
для криволинейного интеграла
.
Так как функция
непрерывна на дуге
то на этой дуге непрерывны ее действительная
часть
и мнимая часть
поэтому указанные криволинейные
действительные интегралы существуют.
Переходя к пределу в равенстве (7) при
получаем равенство (6). Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.
Теорема 4. Если функция 
непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной
кривой
то имеет место неравенство
где 
–
длина дуги.
Из теоремы 3 вытекает также следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть дуга 
задана параметрически уравнением
причем функция 
непрерывна на отрезке
и дуга
ориентирована по возрастанию
параметра 
(т.е.
– начало,
конец
дуги
).
Пусть, кроме того, функция
непрерывна на дуге
.Тогда
имеет место равенство
В качестве примера вычислим имеющий
широкое применение в дальнейшей теории
интеграл 
Покажем, что
Имеем
Если 
то
Если
то
Равенство 
доказано.
studfile.net
Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем, 9-й класс
Цель: рассмотреть геометрическое определение модуля. Уметь применять его для решения уравнений и неравенств с модулем, развивать умение исследовать уравнения с параметрами.
Ход урока
1. Организационная часть (Цель занятия)
2. Актуализация знаний
- Алгебраическое определение модуля
|a| =
- Вычислите модули чисел: 3, -8, 10, 0.
- Решите уравнения
- Решите неравенства
- Запишите к каждому чертежу соответствующее уравнение или неравенство
3. Изучение нового материала
- Найдите расстояние между двумя точками координатной прямой
А) А(-1) и В(3)
Б) Р(0,0001) и Q(132)
В) М(-2) и N(-87) - Формула расстояния между двумя точками координатной прямой
с координатами х и а:
ρ(x,a) = |x — a|
Геометрическое истолкование выражения |x-a|- это расстояние между двумя точками координатной прямой.
- Отметить на координатной прямой точки, для которых
|x| = 1 |x| ≥ 3 |x| > 2 1 < |x| < 4 |x| = 0 |x| = -1
- Каков смысл выражений?
Изобразите множества, задаваемые этими предложениями на координатной прямой. Иными словами переведем аналитические модели на геометрический язык.
- Решим неравенство |х-2| <3
Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию ρ (х,2) < 3. Другими словами удалены от точки с координатой 2 на расстояние меньше 3.
Это все точки, принадлежащие интервалу (-1;5)
Ответ: (-1;5)
- Как решить уравнение?
|х-5|+|х+1|=8
Выражение |х-5| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.
Выражение |х+1| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.
Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний от которой до точек с координатами 5 и -1 равна 8.
Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 < 8, следовательно, точка с координатой х находиться вне отрезка [-1;5] и таких точек две.
Ответ: х=-2, х=6
Что произойдет, если вместо 8 взять число 1, 6, 100,…? Сколько будет тогда корней уравнения?
При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 1
При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как все точки отрезка [-2;6] удовлетворяют условию уравнения.
При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения.
Вывод:
- Если сумма модулей больше расстояния между двумя точками, то уравнение имеет два решения.
- Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений, которых принадлежат отрезку между точками.
- Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей, то решений нет.
4. Закрепление полученных знаний
- Решите неравенство: |х-5|
Ответ: (3;7) - Решите неравенство: |х+3| ≥ 4
Ответ: x ≤ -7, x ≥ 1 - Решите уравнение: |х-1| +|х+2|=5
Ответ: x=2, x=-3
- Изобразите на координатной плоскости решения
неравенств:
1. |х-1|+|х+2|=5
2. | х-1|+|х+2|<5
-
Самостоятельно исследуйте, сколько решений может иметь уравнение в зависимости от значений а:
|х+3| +|х-1|=
Ответ:
а) Если, а=4, то уравнение имеет множество решений – отрезок [-3;1] б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня
в) Если а
5. Домашнее задание
1. Исследовать уравнение: |х+3| -|х-1|=а
2. Решить № 13, № 16 (а,б)
6. Итог занятия:
- Геометрический смысл модуля
- Как применить геометрический смысл модуля для решения неравенств
- Как применить геометрический смысл модуля для решения уравнений
Литература
1. Мордкович А.Г. Алгебра ,9 класс, в двух частях,6 издание, Москва, Мнеиозина,2004
2. «Метод координат», учебное пособие для учащихся, ОЛ ВЗМШ, Москва ,2002
urok.1sept.ru
Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины
Цели урока:
- формировать умения применять геометрическую интерпретацию модуля при решении линейных уравнений;
- осуществлять поиск решения задач синтетическим методом;
- учить наблюдать и анализировать.
Тип урока: изучение нового материала.
Структура урока:
1. Мотивационно-ориентировочный этап
1) Повторение изученного материала;
2) Актуализация прежних знаний и способов действия;
3) Мотивация учебной деятельности;
4) Постановка целей и учебных задач урока, сообщение темы урока.
2. Операционно-познавательный этап
Ознакомление с новым материалом (формирование новых знаний и способов решения)
3. Рефлексивно-оценочный этап
1) Сопоставление целей и результатов урока.
2) Первичный контроль усвоения знаний.
3) Постановка домашнего задания.;
4) Подведение итогов урока.
ХОД УРОКА
1 этап урока
На доске записаны задания:
1) | х | = 5;
– Сколько корней имеет данное уравнение?
– Чем мы пользуемся при решении данного уравнения?
2) | х – 3 | = 5.
– Какие способы вы можете предложить для решения данного уравнения?
После устного ответа двое учеников решают уравнение графическим и аналитическим способами на доске.
| х – 3 | = 5 | х – 3 | = 5
х – 3 = 5 х – 3 = – 5 у = | х – 3 |, сдвиг графика
х = 8 х = – 2 у = | х | на 3 ед. вправо.
Ответ: х = 8, х = – 2. y = 5 – прямая || оси абсцисс.
3) Прочитать и объяснить словесную запись:
ρ (х; 7) = 2; ρ(х; – 5) = 3
Предполагаемый ответ (ПО): Найти точки, которые находятся от точки 7 на расстоянии, равном 2 ед. отрезкам.
ПО: Найти точки, которые находятся от точки – 5 на расстоянии, равном 3 ед. отрезкам.
– В чем заключается геометрический смысл модуля?
ПО: Расстояние между точками на координатной прямой.
4) Записать аналитическую модель рисунка:
ПО: | х + 6 | = 3
5) | х – 2 | = 3
– В чем заключается смысл задания с геометрической точки зрения?
ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки 2.
– Записать данное уравнение с помощью знака ρ и решить его.
Ρ(х; 2) = 3; х – 2 = 3 х – 2 = – 3
х = 5 х = – 1
– Как можно найти корни уравнения, используя координатную прямую?
6) Прочитайте данное уравнение с помощью геометрического смысла модуля | х + 5 | = 3, найдите его корни, используя координатную прямую.
ПО: Найти точки, которые находятся на расстоянии 3 ед. отрезков от точки – 5.
Ответ: х = – 2; х = – 8.
7) | х – 2 | = | х + 5 |
Посмотрите внимательно на данное уравнение и попробуйте сами сформулировать задание с геометрической точки зрения.
ПО: Расстояние от х до -5 и 2 должно быть одинаковым.
Составьте план решения этого уравнения с помощью координатной прямой.
ПО:
а) найдем расстояние между точками – 5 и 2.
5 + 2 = 7.
б) т.к. х равноудалена от точек – 5 и 2, найдем половину этого расстояния: 7/2 = 3,5
в) найдем координату точки: – 5 + 3,5 = – 1,5 или 2 – 3,5 = – 1,5
– Молодцы! Назовите способ, с помощью которого мы с вами решили данное уравнение. Как вы думаете, чем мы с вами будем заниматься сегодня на уроке? Попробуйте сами сформулировать тему сегодняшнего урока.
2 этап урока
Учащиеся записывают в тетрадь тему урока: «Использование геометрической интерпретации модуля для решения уравнений».
1) Посмотрите внимательно на следующее уравнение и прочитайте его с помощью геометрического смысла:
| х – 1 | + | х – 2 | = 1
ПО: Левая часть есть сумма расстояний от точки х до 1 и 2. Правая часть показывает, что эта сумма равна 1.
– Найдите расстояние между точками 2 и 1. Оно равно 1. Следовательно, х может быть любым числом из отрезка [1; 2].
Ответ: х Є [1; 2].
2) | х – 1 | + | х – 2 | = – 1
– Посмотрите внимательно на данное уравнение и дайте ответ.
ПО: Уравнение корней не имеет, т.к. сумма расстояний не может быть отрицательным числом.
3) | х – 1 | + | х – 2 | = 3. В чем заключается геометрический смысл данного уравнения?
ПО: Сумма расстояний от точки х до 1 и 2 равна 3.
Уравнение имеет 2 корня: х = 0; х = 3.
4) Аналогично рассуждая, решите сами следующее уравнение: | х – 3 | + | х – 7 | = 4
Ответ: х Є [3; 7]
5) | х – 3 | – | х – 7 | = 4
– В чем заключается геометрический смысл этого уравнения?
ПО: Разность расстояний от точки х до точек 3 и 7 равна 4.
– Так как расстояние между 3 и 7 равно 4, то ответом будет любое число, расположенное на координатной оси правее 7.
Ответ: х Є [7; ∞).
6) | х – 7 | – | х – 3 | = – 4 (возможно учащиеся по аналогии с суммой скажут, что корней нет, но это неверный ответ, обязательно изобразить решение на координатной прямой).
Ответ: х Є [7; ∞).
7) | х – 7 | – | х – 3 | = 4
Ответ: х Є (-∞; 3].
3 этап урока
– Посмотрите внимательно на все решенные уравнения и попробуйте сделать вывод.
ПО: Сумма расстояний всегда положительна, а разность может принимать любое по знаку число.
Далее, с целью закрепления материала, учащиеся решают вместе с учениками, вызванными к доске задания:
| х – 9 | = 3
| х – 6 | = | х + 2 |
| х – 9 | + | х – 3 | = 6
| х – 9 | – | х – 3 | = 6
и еще раз проговаривают схему решения данных уравнений.
– Подведем итог урока.
– Что нового вы узнали сегодня на уроке?
– Сколько способов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, вы знаете?
– В чем заключается геометрический смысл модуля?
– Запишите в тетради задание на дом:
| х – 13 | = 8
| х – 28 | = | х + 14 |
| х – 10 | + | х – 36 | = 26
| х – 18 | – | х – 12 | = 6
| х – 18 | – | х – 12 | = – 6
urok.1sept.ru
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Лекция №1.
Понятие области, односвязной области, кривой Жордана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие конформного отображения. Конформные отображения посредством дробно-линейной функции.
Теоретические вопросы:
Понятие области, односвязной области, кривой Жордана.
Геометрический смысл аргумента и модуля производной;
Понятие конформного отображения.
Содержание лекции
Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIIIвеке. Особенно велики заслуги крупнейшего математикаXVIIIвека Леонарда Эйлера, который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного.
Геометрическая теория функций комплексного переменного изучает аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим свойством, а также различные геометрические свойства тех или иных классов аналитических функций. Поэтому естественно, что она опирается на ряд общих геометрических понятий, встречающихся в современной математике.
Ниже будут изложены основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексных чисел, действия с ними и их геометрической интерпретации.
Множества точек на плоскости.Множества точек на плоскости будем обозначать большими буквами; точки же плоскости обозначаем малыми буквами, а именно теми же буквами, что и соответствующие им комплексные числа.
Если точка апринадлежит множествуЕ, то это записывается так:
.
Если все точки множества Е принадлежат
множеству F, то пишут
и называютEмножеством,
лежащим в F, или частью F.
Каждой точке плоскости приписываются окрестности. Под окрестностью данной точкиапонимается совокупность всех внутренних точек какого-либо круга с центром ва(а иногда и любое множество точек, содержащее в себе такую круговую окрестность). Окрестность называетсядостаточно малой, если радиус круга достаточно мал.
Множество точек называется ограниченным, если оно целиком лежит внутри некоторого круга.
Точка аплоскости называетсяпредельной точкойилиточкой сгущения данного множества, если в любой окрестностиаимеются точки множества, отличные ота. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству. Точка множества, не являющаяся его предельной точкой, называется изолированной точкой множества.
Если данная точка апредельная для некоторого множества, то из него можно выделить последовательность точек, сходящуюся ка.
Последовательность точек может сходиться и к бесконечно далекой точке. Для того чтобы последовательность сходилась к конечной точке, необходимо и достаточно, чтобы расстояние между любыми двумя точками этой последовательности, начиная с некоторого номера, было меньше любого данного положительного числа.
Множество точек называется замкнутым,
если ему принадлежат все его предельные
точки. Любое множество можно сделать
замкнутым, если к нему присоединить все
его предельные точки. Так полученное
из множестваЕзамкнутое множество
обозначается через
и называетсязамыканиеммножества
Е.
Расстояниеммежду двумя множествами без общих точек называется точная нижняя граница расстояний любых пар точек, взятых по одной из каждого множества.
Замкнутое множество, состоящее более чем из одной точки, называется континуумом, если оно не распадается на два непустых замкнутых множества без общих точек.
Точка некоторого множества называется внутреннейдля него, если вместе с ней этому множеству принадлежит и некоторая окрестность этой точки.
Наряду с замкнутыми множествами рассматриваются открытые множества— это множества, состоящие только, из внутренних точек. Очевидно, дополнение к замкнутому множеству на плоскости есть открытое множество, а дополнение к открытому — замкнутое.
Области и кривые.Одним из основных геометрических понятий теории функций комплексного переменного является понятие области.
Областьюназывается открытое множество, любые две точки которого можно соединить некоторой ломаной линией, целиком состоящей из точек этого множества (свойство связности).Граничными точкамиобласти называются точки плоскости, не принадлежащие области, но являющиеся для нее предельными точками.
Совокупность всех граничных точек области образует границуобласти. Граница области есть замкнутое множество. Точки плоскости, не являющиеся для области ни внутренними ни граничными точками, называются еевнешними точками. У каждой внешней точки области существует окрестность, не содержащая точек области.
Если к области присоединить ее границу, то полученное множество называется замкнутой областью. В отличие от замкнутой области, сама область иногда называетсяоткрытой областью.
Область называется односвязной, если ее граница состоит из континуума или из одной точки или же она является полной плоскостью.
В противном случае область называется многосвязной. Область будет двухсвязной, трехсвязной,n-связной, если ее граница состоит соответственно из двух, трех, континуумов без общих точек; все вместе такие области называются конечносвязными.
Наряду с областью, другим основным геометрическим объектом в теории функций комплексного переменного является функция и кривая.
Говорят, что на множестве Mточек плоскостиZзадана функция
.
если указан закон, по которому каждой
точке 
ставится в соответствие определенная
точка или совокупность точек
.
В первом случае функция называетсяоднозначной, во втором –многозначной.
Множество Mназывается
множеством определения функции
,
а совокупностьNвсех
значения
,
которые
принимает наM, –множеством
её изменения.
Если положить 
,
то задание функции комплексного
переменного
будет равносильным заданию двух функций
двух действительных переменных.
.
Условимся откладывать значение 
на одной комплексной переменной, а
значение
–
на другой. Тогда функцию комплексного
переменного можно геометрически
представлять как некоторое отображение
множестваMплоскостиZна множествоNплоскости
.
Если функция 
однозначна на областиMи при этом двум различным точкамMвсегда соответствуют различные точкиN, то такое отображение
называетсявзаимно однозначнымилиоднолистнымвM.
Пусть дана функция 
,
осуществляющая множестваMна множествоN. Функция
,
ставящая в соответствие каждой точке
изNсовокупность всех
точек
,
которые функцией
отображаются в точку
,
называется обратной к функции
.
Ясно, что отображение 
будет взаимно однозначным, тогда и
только тогда, когда обе функции
и
однозначны.
Пусть функция 
отображает множествоMнаN, а
множествоNнаP.
Функция
,
отображающаяMнаP,
называется сложной функцией, составленной
изfиg,
а соответствующее отображениеh– суперпозицией отображенийfиg. Если, в
частности, отображение
взаимно однозначно и функция
– обратная кf, то
.
Функция 
называетсянепрерывнойв точке
,
если она определена в точке
и некоторой её окрестности и, если
.
Функция 
называетсянепрерывной в области 
,если она непрерывна в каждой точке этой
области.
Функция двух переменных, удовлетворяющая
уравненям Лапласа 
или
называютгармонической.
Если взять за 
две произвольные гармонические
функции, то функция
в общем случае не будет аналитической
в области.
В случае если функция 
аналитическая, то функции
и
называютсопряженнымиилисопряженными
гармоническимифункциями.
Непрерывной кривойназывается
множество точек плоскости, прямоугольные
координатых, укоторых могут быть
заданы как непрерывные функции
вещественного
переменногоtв некотором конечном
промежутке
.
Но непрерывная кривая — понятие слишком общее. Существуют непрерывные кривые, которые совершенно не соответствуют наглядному представлению о кривой, как об одномерной фигуре. Так, можно построить непрерывную кривую, проходящую через каждую точку данного квадрата. Однако, если потребовать, чтобы кривая не имела кратных точек, то в этом случае она уже будет обладать рядом наглядных свойств. Такие кривые называютсяпростыми кривымииликривыми Жордана.
Итак, непрерывная кривая 
или, короче, кривая
,
(1)
называется кривой Жордана, если для
любых двух различных значений
,
из [a, b) имеем
Точки
и
могут как совпадать, так и быть различными.
В первом случае кривая называетсязамкнутой, во второмнезамкнутой.
Из незамкнутых кривых Жордана можно составить непрерывные кривые и не жорданова типа. С другой стороны, и кривая Жордана иногда оказывается понятием слишком общим и тогда для различных целей вводятся кривые более частных типов, как например, гладкие, кусочногладкие, спрямляемые кривые.
Кривая (1) называется гладкой, если
в
существует
производная
(на концах односторонняя), непрерывная
и отличная от нуля. Требование гладкости
кривой, очевидно, равносильно требованию
существования касательной к кривой и
непрерывного вращения этой касательной
при движении по кривой. Кривая, составленная
из конечного числа гладких кривых,
называетсякусочногладкойкривой.
Наконец, простейший тип непрерывной
кривой — аналитическая кривая; эта
кривая определяется уравнением
,
где
вблизи каждого значения
,
разлагается в сходящийся степенной ряд
с
.
Непрерывную кривую, составленную из
конечного числа аналитических кривых,
назовемкусочноаналитияеской кривой.
Иногда в области приходится проводить
разрезы по различным кривым Жордана.
Провести в области Bразрез по кривой Жордана
значит удалить изBвсе точки кривойL.
Разрез в области Bназываетсяпоперечным, если он соединяет две (различные или совпадающие) граничные точки областиB, являющиеся его концами, и остальными своими точками лежит вB. Оказывается, что любой поперечный разрез в конечносвязной области, соединяющий граничные точки, лежащие на различных граничных континуумах, не разделяя области на части, уменьшает связность области на единицу; любой же поперечный разрез в односвязной области делит ее на две односвязных области (характеристическое свойство односвязных областей).
Аналогично, разрез, представляющий замкнутую кривую Жордана, целиком лежащую в области B, называетсякруговым разрезом. Круговой разрез всегда делит областьBна две области; в случае односвязной областиBодна из областей, ограниченных круговым разрезом, целиком лежит вB(тоже характеристическое свойство односвязных областей).
Наконец, разрез, представляющий открытую кривую Жордана, лежащую в какой-либо области Bцеликом или исключая один из своих концов, не делитBна части.
Многие разделы теории функций комплексного переменного и, в частности, геометрическая теория функций широко используют в своих доказательствах особые свойства сходимости последовательностей аналитических функций. Благодаря этим свойствам доказательства довольно просты и изящны по сравнению с аналогичными доказательствами вещественного анализа.
Введем следующие определения. Пусть
имеется последовательность однозначных
функций 
определенных на некотором множестве
точек плоскости
.
Определение.Последовательность
называетсясходящейсяв точке
если последовательность чисел
сходится.
Определение.Последовательность
функций
называетсясходящейся на
,
если она сходится во всех точках множества
.
В этом случае можно говорить о предельной
функции
определенной на
.
Определение.Последовательность
называетсяравномерно сходящейся на
к функции
,
конечной на
,
если для каждого
существует
такое, что при
имеем
для всех
.
Если же
на
,
то последовательность
по определению равномерно сходится на
к
,
если для каждого
существует
такое, что при
для всех
.
Легко доказать, что для равномерной
сходимости последовательности к конечной
функции необходимо и достаточно, чтобы
для каждого
существовало такое
,
что при
и для всех
выполнялось неравенство
.
Если функции 
определены в области
,
то кроме понятия равномерной сходимости
последовательностив области 
можно рассматривать равномерную
сходимость последовательностивнутри
области
,
что означает равномерную сходимость
на каждом замкнутом множестве
.
Равномерная сходимость внутри
– требование более слабое, чем равномерная
сходимость в
.
Определение.Функция,
однозначная и конечная на множестве
,
не содержащем
,
называетсянепрерывной на 
,
если, для любой точки
,
для любого
существует
такое, что если
и
,
то
.
Для последовательностей непрерывных
и аналитических функций имеет место
ряд теорема, которые будут рассматриваться
ниже.
1. Сохранение угла между кривыми
Пусть функция 
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
и пусть
.
Рассмотрим гладкую кривую
(Рис. 1.1), проходящую через точку
.
Обозначим
угол, образуемый касательной к кривой
,
в точке
и положительным направлением действительной
оси (касательная считается направленной
в ту же сторону, что и кривая). Тогда
.
Рисунок 1.1.
Рисунок 1.2.
Пусть 
— образ кривой
при отображении
,
т. е.
,
а точка
— образ точки
.
По правилу дифференцирования сложной
функции
(1.1)
Так как по условию 
и
,
то
,
т. е. кривая
имеет касательную в точке
.
Пусть
.
Тогда из (1.1) находим
,
то есть
(1.2)
Величина 
называетсяуглом поворота кривой 
в точке
при отображении
.
Из формулы (1.2) следует, что если 
,
то угол поворота в точке
не зависит от кривойи равен
,
т. е. все кривые, проходящие через точку
,
поворачиваются при отображении
на один и тот же угол, равный аргументу
производной в точке 
.
Таким образом, отображение 
,
где
— дифференцируемая в окрестности точки
функция и
,
сохраняет углы между кривыми, проходящими
через точку
,
не только по величине, но и по направлению
отсчета (рис. 1.2).
2. Постоянство растяжений
Пусть функция 
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
и
.
Рассмотрим произвольную точку
кривой
,
расположенную достаточно близко к точке
(рис. 2.1).
Рисунок
2.1.
Обозначим 
,
.
Из определения производной
следует, что
,
где
при
,
откуда получаем
или
. (2.1).
Пусть 
,
где
достаточно мало, тогда из формулы (2.1)
находим, что окружность
переходит при отображении
в кривую, которая мало отличается от
окружности
.
Иначе говоря, отображение 
с точностью до малых более высокого
порядка, чем
,
растягивает круг
в
раз.
Величина 
называетсялинейным растяжениемкривой
в точке
при отображении
.
Следовательно, линейное растяжение в
точке
не зависит от вида и направления кривойи равно
.
3. Определение конформного отображения
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности
точки
.
Определение.Отображение
называется конформным в точке
,
если оно сохраняет углы между кривыми
и обладает свойством постоянства
растяжений в точке
.
Из выше сказанного вытекает, что если
функция 
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
(регулярна в точке
)
и
,
то отображение
являетсяконформным в точке 
.
Определение.Пусть функция
однолистна в области D и пусть отображение
является конформным в каждой точке
области D. Тогда это отображение называетсяконформным.
Если сохраняется не только величина углов, но и ориентация, то отображение называется конформным первого рода. Если же ориентация меняется на противоположную, то –конформным второго рода.
Из определения однолистной функции,
определения конформного отображения
в точке 
и свойств производной вытекает, что
если функция
дифференцируема в области D,
однолистна в области D,
3. ее производная отлична от нуля в этой области,
то отображение 
является конформным.
Следующий материал готовить для доклада на следующем семинаре:
Линейная функция;
Дробно-линейнаяфункция;
Функция Жуковского.
Функция
;Тригонометрические функции
и;Гиперболические функции
и.
;
и
;
и
.studfile.net
9. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.
f’(z0)=lim[f(z0+Δz)-f(z0)]/Δz=|f’(z0)|eiargf(z0)
смысл arg f'(z0):
задана аналитическая функция f(z) в обл G
γ переходит в Г, r – касательная к γ в т.z0, τ– касательная к r в т.w0
γ: x=x(t), y=y(t), α≤t≤β, z=x+iy=x(t)+iy(t)=z(t) – комплексно-значная функция, tgα=y’(t0)/x’(t0)=yx’(t0)
Г: w=f(z(t)), α≤t≤β, ft’=fz’*zt’, w’(z(t0))=f’(z0)*zt’(t0)
arg w’(t0)= arg f’(z0)+arg z’(t0)
arg f’(z0)= arg w’(t0)-arg z’(t0)
arg f’(z0)=β-α смысл аргумента производной функции в комплексной плоскости z d фиксированной точке z0 описывает угол поворота касательной кривой проведенной в т.z0 при переходе ее в комплексную плоскость w.
Смысл |f’(z0)|
|(f(z0+Δz)-f(z0))/Δz|=|(w0+Δw-w0)/Δz |=|Δw/Δz|=|Δw|/|Δz| — коэффициент растяжения
Δz0 lim(Δz0)|Δw|/|Δz|=|f’(z0)| — коэффициент растяжения в т.z0.
Модуль производной аналитической функции в точке z0 имеет смысл коэффициента растяжения бесконечно малых отрезков, проведенных из z0 в плоскости z и ее образа в плоскости w.
a) Свойство постоянства растяжения. При отображении бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом.
b) Свойство сохранения углов.
Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения.
Отображение: бесконечно малая окружность → бесконечно малую окружность; бесконечно малый треугольник → бесконечно малый треугольник.
_____________________________________________________________________
10. Определение конформного отображения. Основная задача теории конформных отображений. Функции, осуществляющие конформные отображения.
Взаимно-однозначное отображение области G комплексной плоскости z на область D комплексной плоскости w называется конформным если это отображение во всех точках области G обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений бесконечно малых элементов.
Фундаментальной задачей в теории конформных отображений является: заданы области G и D, надо определить функцию с помощью которой осуществляется переход.
Теорема. Пусть функция f(z) является однозначной, взаимно одноместной и аналитичной в области G комплексной плоскости z, причем f’(z)≠0 для любого zϵG. Тогда функция f осуществляет конформное отображение области G на область значений D в плоскости w. (доказательство из конформности и геометрического смысла модуля).
Обратная теорема. Пусть функция f(z) осуществляет конформное отображение I рода области G плоскости z, на область D плоскости w и ограничена в G. Тогда функция f(z) является однозначной, одноместной и аналитичной в области G и f’(z)≠0 для любого zϵG.
w=f(z) – аналитическая функция. Они являются конформными 1 рода
w=z=x-iy – не аналитическая , из условия CR.
Рис конформное отображение 2 рода.
w=f(z) – аналитична, однозначна, одноместна
w=f(z) – все конформные 2 рода, где f(z) аналитична (углы сохраняются только по величине, но не по направлению).
Рис
Функции, осуществляющие конформные отображения: линейная, степенная, показательная
_______________________________________________________________________
studfile.net
IV. Использование геометрического смысла модуля при решении уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
При решении простейших неравенств, уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, можно использовать геометрический смысл модуля.
Абсолютную величину (модуль) действительного числа х, т.е. |x|, можно геометрически истолковать, как расстояние от точки, изображающей число х, до начала отсчета; |x — а| означает расстояние между точками х и а на числовой прямой.
Например, если |x| = 3, то на числовой оси имеются только две точки которые удалены от начала отсчёта 0 на расстояние, равное трем.
-3 0 3
х
Примеры:
1. Решите уравнение: |x — 1| = 3.
Уравнению удовлетворяют такие точки х, расстояние которых от 1 на числовой прямой равно трём.
-2 1 4
х
Это точки -2 и 4.
Ответ: .
(Вариант-23 №6 2005г.)
2. Решите уравнение: |2x — 3| = 5. разделим обе части уравнения на 2:
|x – 1,5| = 2,5
От точки 1,5 отложим влево и вправо 2,5 единицы, получим точки 4 и – 1.
-1 1,5 4
х
Ответ: .
3. Решите неравенство: |х — 3| < 1.
Геометрический способ решения.
Неравенству удовлетворяют такие точки, которые удалены от точки 3 на расстояние, меньшее 1. От точки 3 отложим влево и вправо единицу, получим две точки: 2 и 4.
2 3 4
х
Точки, расстояние до которых от точки 3 меньше единицы, находятся внутри интервала (2;4). 2 и 4 в решение не входят, т.к. неравенство строгое. Поэтому, решением будет интервал (2;4).
Ответ: х (2; 4)
4. Решите неравенство: |2х + 3| < 5.
Разделим обе части неравенства на 2: < или |x – (- )| < .
От точки — откладываем влево и вправо. Получаем точки -4 и 1.
-4 -3/2 1
х
И таким образом получаем решение (-4; 1).
Ответ: (-4; 1).
5. Решите неравенство: |2х — 3| > 7.
Разделим обе части неравенства на 2: |x – 1,5| > 3,5
От точки 1,5 отложим влево и вправо 3,5 единиц. Получаем точки -2 и 5. точки, удалённые от 1,5 на расстояние, большее 3,5 единицам, расположены левее -2 и правее 5. Поэтому, решением неравенства будет объединение интервалов . Т.к. неравенство строгое, -2 и 5 не принадлежат данным промежуткам.
-2 1,5 5
х
Ответ: .
Геометрический способ решения можно применить при решении следующих заданий:
1. Решите уравнение: |2x — 3| = 6.
А) (- ).
В) (-4.5; 4.5).
С) (-4.5; 1.5).
D) (- ).
Е) (-1.5; 4.5).
(Вариант-18 №20 2005г.)
2. Определите верный промежуток-решение неравенства: |2x — 3| < 5.
(Вариант-16 №20 2005г.)
3. Решите уравнение: |2x — 3| = 1.
А) {2; -1}.
В) {-2; -1}.
С) {2; 1}.
D) {-2; 1}.
Е) {-3; 1}.
(Вариант-3 №12 2005г.)
4. Решите неравенство: |3х — 1| .
А) -1\3 .
В) -3 .
С) все ответы неверны.
D) -1 .
Е) -1\2 .
(Вариант-34 №18 2007г.)
5. Определите верное решение неравенства: |x — 1|
А) [4; 6].
В) (- ; 4].
С) [-6; 4].
D) (- ; -4].
Е) [-4; 6].
(Вариант-23 №8 2007г.)
6. Определите верное решение неравенства: |x + 2|
А) [0; + ).
В) (- ; 0) ).
С) [-4; 0].
D) (- ; -4].
Е) [- ; -4]
(Вариант-22 №8 2007г.)
7. Определите верное решение неравенства: |1 + 2x| > 1.
А) (0;1).
В) (- ; -1) ).
С) (- ; 0) ).
D) (-1; + ).
Е) (-1; 0)
(Вариант-16 №19 2007г.)
8. Решите неравенство: |х| 1.
А) (1; + ).
В) (- ; -1).
С) (0; + ).
D) (-1; 1).
Е) (- ; -1] [1; + ).
(Вариант-5 №7 2007г.)
9. Определите верный промежуток-решение неравенства: |3 + x|
(Вариант-14 №7 2004г.)
10. Решите уравнение: |x — 1| =3.
A) {4; -2}.
B) {-1; 4}.
C) {2; -4}.
D) {-4; 3}.
E) {0; -3}.
(Вариант-17 №4 2004г.)
11. Определите верный промежуток-решение неравенства: |2x — 3| < 5.
(Вариант-23 №8 2004г.)
12. Решите систему уравнений:
А) (0; 5),(-2;8).
В) (-1; 3), (7; -1).
С) (-1; -3), (-5; 1).
D) (1; -3), (-5; -1).
Е) (-1; 0) (5; 0).
(Вариант-11 №25 2006г.)
13. Решите неравенство: 2|х — 1| .
А) [-8; 9].
В) (- .
С) [-7; 9].
D) (- .
Е) [9; + .
(Вариант-19 №4 2003г.)
14. Решите неравенство: |х| <3.
А) (3; + ).
В) (- ; -3) .
С) (-3; 3).
D) (-3; 3].
Е) (- ; 3).
(Вариант-21 №4 2003г.)
Коды правильных ответов
| E | C | C | A | E | E | B | E | E | A | E | B | C | C |
cyberpedia.su