Графическое решение квадратных уравнений – Графическое решение квадратных уравнений — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Графическое решение квадратных уравнений. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1. Графическое решение

Сложность: лёгкое

1
2. Гипербола и прямая

Сложность: лёгкое

2
3. Квадратное уравнение

Сложность: лёгкое

1
4. Составление уравнения

Сложность: среднее

2
5. Количество корней уравнения

Сложность: среднее

2
6. Графическое решение неполного квадратного уравнения

Сложность: среднее

2
7. Решение задачи

Сложность: сложное

3
8. Графическое решение квадратного уравнения

Сложность: сложное

3
9. Графическое решение квадратного уравнения (5 способ)

Сложность: сложное

3

www.yaklass.ru

Разработка урока "Графическое решение квадратных уравнений"

Цели урока:

  • Формировать умения и навыки в решении квадратных уравнений графически;
  • Расширение кругозора учащихся; развитие мышления, умения работать в парах;
  • Воспитание общей культуры, взаимовыручки.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие учащихся. Прежде чем начать наш урок, я хотела, чтобы каждый из вас подумал, как ему удобно выполнять любую работу одному или совместно с товарищем:.

Конечно, каждый из нас должен обладать таким качеством, как готовность прийти на помощь другому. Взаимопомощь или взаимовыручка воплощение добропорядочности, отзывчивости. Сегодня на уроке попробуем убедиться, в том что даже выполняя математические задания работа в парах дает более высокий результат. И тогда подтверждаются известные слова, что учиться не легко, но интересно.

Тема нашего урока: "Квадратные уравнения (методы решения)". Мы рассмотрим несколько графических способов решения квадратных уравнений. А значит, нам нужно вспомнить графики каких функций мы уже умеем строить в координатной плоскости. Остановимся на построении графика квадратичной функции.

Математический диктант. (интерактивная доска)

1 вариант

1. Какая из следующих функций является квадратичной: а) ; б)

2. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции:

3. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции:

4. Составьте квадратный трехчлен , у которого а = 9,в = -3, с = -1

5. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы у =

6. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы

7. Найдите координаты вершины параболы

2 вариант

1. Какая из следующих функций является квадратичной: а) ; б)

2. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции:

3. Назовите коэффициенты а, в, с квадратичной функции:

4. Составьте квадратный трехчлен , у которого а = 2, в = -1, с = 4

5. Не выполняя построения, ответьте на вопрос, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы у =

6. Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы

7. Найдите координаты вершины параболы

Взаимопроверка. (учащиеся в парах обмениваются тетрадями)

II. Актуализация знаний (интерактивная доска)

Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными. /Уравнение вида , где х - переменная, a,b,c - числа, называется квадратным. / Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа a, b, c ?

/ а - старший коэффициент, b - второй коэффициент, с - свободный член/ .

К методам решения уравнений относятся:

  • разложение на множители;
  • введение новой переменной;
  • графический способ.

Рассмотрим наиболее "зрелищный" метод. - Графический метод

Предварительная подготовительная работа.

У учащихся на столах заготовки (на пленке) с декартовой системы координат. Предлагается работать в парах. Нужно построить графики следующих функций:

1 ученик 2 ученик

Построив по первому графику, совместим заготовки . Точка пересечения графика?

Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций  y = f(x), y = g(x) и найти точки их пересечения; абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.  Вспомним применение этого метода при решении квадратного уравнения:

Презентация

Применяя графический метод в данном случае, мы нашли точное значение корней, но так бывает не всегда. Однако графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Историческая справка

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными относятся ко второму тысячелетию до н. э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Первое тысячелетие н. э. - Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат "Арифметика" содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль-Хорезми в Трактате "Алгебра" классифицирует квадратные уравнения. Для нас это время знаковое тем, что приблизительно в это время образуется древнерусское государство Киевская Русь. Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым он заложил основы буквенной алгебры.

Физминутка.

Разгадывание кроссворда (в презентации)

III. Закрепление изученного на уроке.

Работа в парах. Учащимся предлагается решить двумя способами - графическим и аналитическим уравнения. №23. 1(а) на доске 0 и 2

IV. Самостоятельная работа.

На доске карточки с ответами:

1) КО 1 и -1

2) ТЬСЯ- 0 и 6

3) ИНТЕРЕС 3 и -3

4) ЛЕГ 0 и -8

5) НО 2 и -2

6) НЕ 0 и -4

7) УЧИ 0 и 2

V. Подведение итогов.

Высказывание Я. А. Коменского: "Учиться нелегко, но интересно".

Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. Стопроцентную гарантию дает алгоритм решения квадратных уравнений, выработанный математиками, о котором мы поговорим позже. Ребята, как вам работалось в парах? Думаю, что вы всегда будете советоваться с товарищами и оказывать им помощь.

VI. Домашнее задание. п. 23 № 23. 3

urok.1sept.ru

Графическое решение квадратных уравнений — методическая рекомендация. Алгебра, 8 класс.

1. Графическое решение 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Необходимо определить, целесообразно ли решать уравнение графически.
2. Гипербола и прямая 1 вид - рецептивный лёгкое 2 Б. Записать формулы для двух функций.
3. Квадратное уравнение 1 вид - рецептивный лёгкое 1 Б. Необходимо по рисунку записать квадратное уравнение.
4. Составление уравнения 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Дана задача. Необходимо составить квадратное уравнение.
5. Количество корней уравнения 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Необходимо выяснить, сколько корней имеет уравнение.
6. Графическое решение неполного квадратного уравнения 2 вид - интерпретация среднее 2 Б. Графическим методом решить квадратное уравнение.
7. Решение задачи 3 вид - анализ сложное 3 Б. Решить задачу.
8. Графическое решение квадратного уравнения 3 вид - анализ сложное 3 Б. Необходимо графически решить квадратное уравнение.
9. Графическое решение квадратного уравнения (5 способ) 3 вид - анализ сложное 3 Б. Необходимо графически решить квадратное уравнение.

www.yaklass.ru

Решение квадратных уравнений графическим способом. 8-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

“Математика – это язык, на котором
говорят все точные науки”
Н. И. Лобачевский.

Цели урока:

  1. Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = , у = х2, закрепить навыки построения графиков функций.
  2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
  3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.
Тип урока: урок формирования знаний.
Вид урока: урок – практикум.
Методы урока: словесные, наглядные, практические.
Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.
Презентация к уроку.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.
4. Закрепление изученного материала.
5. Практическая работа с использованием компьютеров.
6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов
7. Подведение итогов урока.
8. Творческое домашнее задание.
9. Рефлексия.

Ход урока

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово “математика”. “Математика” – знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике. Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.

Цель урока: познакомить вас еще с одним способом решения квадратных уравнений – графическим, закрепить этот способ решения практической работой с использованием компьютеров.

У вас находятся одинаковые карточки для учащегося (Приложение1) с трафаретом, состоящего из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.

В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив графические уравнения. У нас получится крылатое изречение из романа А. С. Пушкина “Евгений Онегин”. Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания I–X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.

Тестовые задания.

II. Актуализация опорных знаний. (Устная работа.)

1. Линию, являющуюся графиком функции у = х2, называют…

? ) – синусоидой; : ) – гиперболой; …) – параболой.

I.

2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х2 возрастающей на отрезке [a; в], если:

е) а = – 3; в = 3;
к) а = 1; в = 4;
д) а = – 2; в = – 1;
а) а = 0; в = 0,5;
к) а = 9; в = 10;
б) а = –9; в = 10;

II.

3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х2

М(3; 9), Ж(5; 5), С(-100; -100), Н(-2; 4), О1(-1; 1), Г(0; 0), В(-7; 7), А(2; 8), О2(2; 4).

III.

4. Графиком функции у = является …

а) прямая; б) отрезок; в) гипербола; г) ветвь параболы.

IV.

5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

в) 5х + 1 = 0.
к) х3 – 2х2 + 1 = 0.
н) 5 – 8х = 0.
э) 2х2 – 9х + 5 = 0.
з) 2х – = 0.
м) х2 + 3х + 2 = 0.
т) 3х2 – 5х – 8 = 0.
о) х2 + 5х – 6 = 0.

V.

б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

к) 2х2 – 9х + 5 = 0.
в) х2 – 4х2 + 3 = 0.
о) 3х2 + 5х + 2 = 0.
л) 3х2 – 4х – 7 = 0.
ф) 3х2 – 2х – 5 = 0.
к) х2 + 6х + 8 = 0.
з) х2 – 14х + 49 = 0.
у) х2 – 10х + 25 = 0.
е) х2 + 11х – 12 = 0.

VI.

III. Изучение нового материала.

Решим уравнение: х2 + 2х – 3 = 0.
Какое это уравнение?
Как это уравнение можно решить?
Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?
Ответ: Можно, по теореме Виета.

Какие же корни?
Ответ: –3 и 1.

Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде: х2 = – 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции у1, равной левой части уравнения и у2, равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором у1 = у2, т. е. общую точку, принадлежащую графику функции у1 и графику функции у2. Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций у1= х2 и у2= –2х + 3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций у1 = х2 и у2 = –2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений.

у1 = х2 – парабола

х 0 ±1 ±2 ±3
у 0 1 4 9

 [–3; 3]

у2 = –2х + 3 – прямая

х = –3, х = 1.

А(–3;9) и В(1;1) –точки пересечения. Абсциссы этих точек равны –3 и 1.

Значит х = –3 и х = 1 – решение уравнения х2 + 2х – 3 =0

Ответ:

так) х = – 1 и х = 3
для) х = – 3 и х = 1
вот) х = – 5 и х = 0

VII.

Рассмотрим алгоритм решения.

Алгоритм решения:

1. дано уравнение х2 + 2х – 3 = 0.
2. представим уравнение в следующем виде х2 = – 2х + 3.
3. в одной системе координат строятся графики функций

у1 = х2 и у2 = – 2х + 3.

4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения

IV. Закрепление изученного материала.

1). Решить уравнение х2 – х – 2 = 0. x [-5; 5] с шагом 0,5 в программе MS Excel (Приложение 2, задание 2)

у1 = х2, у2 = х + 2

(Решение см. Слайд 24)

Ответ:

души) х = –2 и х = 1
школы) х = 3 и х = 1
сердца) х = 2 и х = – 1.

VIII.

2). Решить самостоятельно.

а). х2 – 2х – 8 = 0 x [–5; 5] с шагом 0,5

а) один ученик решает аналитически, с помощью теоремы Виета.
б) другой ученик решает графически в тетради.
в) класс решает в программе MS Excel. (Решение см. Приложение 3)

Ответ:

широкого) х = 5 и х = 1;
русского) х = 4 и х = – 2;
красного) х = 3 и х = – 1.

IX.

б). 2х2 + х – 3 = 0 x [–4; 4] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически в тетради.
б) другой ученик решает аналитически по формуле для решения квадратных уравнений.
в) класс решает в программе MS Excel. (Решение см. Приложение 4)

Ответ:

слилось) х = 1 и х = –1,5;
расцвело) х = 3 и х = –2;
приснилось) х = –1 и х = 2.

X.

Физкультминутка.

Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ согнуться – потянутся,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа.

(Класс разбивается на 9 групп.)

Каждая группа учащихся получает дифференцированные задания на карточках. (Приложение 5)

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках в программе MS Excel получаются буквы: М; О; С; К; В; А.(Приложение 6 лист1–7) и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ. (Приложение 7 лист1–3).

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа “Евгений Онегин” “Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось”.

(Как часто в горестной разлуке,
В моей блуждающей судьбе,
Москва, я думал о тебе!
Москва … как много в этом звуке
Для сердца русского слилось!
Как много в нём отозвалось.)

Учитель: Что это за город Москва?
Это сердце нашей Родины, столица нашего государства.

VI. Обогащение знаний.

(Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.)

Мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: “Полёт–это математика”. Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита 4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты “Пионер-10”, “Пионер-11”,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и

urok.1sept.ru

Презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему: Графическое решение квадратных уравнений

Слайд 1

Графическое решение квадратных уравнений Е.В.Кирина учитель математики МАОУ «Центр образования 13 имени Героя Советского Союза Н.А.Кузнецова» г.Тамбов

Слайд 2

Цель урока формировать умение решать квадратные уравнения графическим способом .

Слайд 3

Решить уравнение х 2 – 2х –3 = 0 Решение. I способ Построим график функции у = х 2 – 2х –3 Найдём координаты вершины параболы: Х 0 = - = 1 у 0 = - 4 Значит, (1; - 4) –вершина параболы Х = 1 ось симметрии параболы

Слайд 4

Возьмём на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например, точки х = - 1 и х = 3. Имеем: f (- 1) = f (3) = 0. Отметим на координатной плоскости точки (- 1; 0), (1; - 4), (3; 0) и через эти точки проведём параболу

Слайд 5

о х 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 у 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Корни уравнения х= - 1, х= 3

Слайд 6

II способ Преобразуем уравнение к виду х 2 = 2х +3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. Графики пересекаются в двух точках А(- 1; 1) и В(3; 9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, т.е. х 1 = - 1, х 2 = 3.

Слайд 7

о х 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 у 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Корни уравнения х= - 1, х= 3

Слайд 8

III способ Преобразуем к виду х 2 – 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики Функций у = х 2 – 3 и у = 2х. Они пересекаются в двух точках А(- 1; - 2) и В(3; 6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, т.е. х 1 = - 1, х 2 = 3.

Слайд 9

о х 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 у 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Корни уравнения х= - 1, х= 3

Слайд 10

IV способ Преобразуем уравнение к виду х 2 – 2х + 1 - 4 = 0 и далее х 2 – 2х + 1 = 4, т.е. (х - 1) 2 = 4. Построим в одной системе координат параболу у = (х - 1) 2 и прямую у = 4. Они пересекутся в двух точках А(- 1; 4) и В(3; 4). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, х 1 = - 1, х 2 = 3 .

Слайд 11

о х 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 у 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Корни уравнения х= - 1, х= 3

Слайд 12

V способ Разделив почленно обе части уравнения на х получим: х – 2 – = 0; х – 2 = . Построим в одной системе координат гиперболу у = и прямую у = х – 2. Они пересекаются в двух точках А(- 1; - 3) и В(3; 1). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, х 1 = - 1, х 2 = 3.

Слайд 13

1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 Корни уравнения х= - 1, х= 3

Слайд 14

Вывод Квадратное уравнение х 2 – 2х –3 = 0 можно решить графически пятью способами. На практике вы может выбирать любой понравившийся способ, но следует отметить, что сто процентную гарантию решения квадратного уравнения графический способ не даёт.

Слайд 15

Решите самостоятельно Решите графически уравнение - х 2 - 5х –6 = 0 (любым понравившимся способом) Ответ: - 3; - 2

Слайд 16

Домашнее задание П. 23 № 23.5(а,б) № 23.7(а,б) № 23.8(а)

nsportal.ru

Графическое решение квадратных уравнений. 8 класс

Быковская И.С

МБОУ «СОШ»19»

г.Абакан, республика Хакасия , 2013г.

Графическое решение квадратных уравнений

«Нельзя изучить математику, глядя,

как это делает сосед».

А.Нивен

Цель урока: Обзор графических способов решения квадратных уравнений.

Обучающие

  • Построение графиков квадратичной функции функций с помощью компьютерного моделирования и алгоритмов 1-3

  • Систематизация знаний по способам решения квадратных уравнений

Развивающие:

  • Развитие навыков геометрической иллюстрации математической модели – функции и навыков чтения геометрической модели – графика функции.

  • умение выполнять простейшие операции на интерактивной доске;

  • построение графиков линейной и квадратичной функций с помощью компьютера.

Воспитывающие:

    • Совершенствовать прием групповой работы, умения публично выступать, выражать своем мнение

    • воспитание чувства уважения друг к другу, коллективизма ;

    • серьёзное и ответственное отношение к учебному труду.

Ход урока

1.Актуализация опорных знаний, сообщение целей и задач урока.

Повторение алгоритма построения графика квадратичной функции, записанной различными аналитическими выражениями.

1.Сегодня мы начнем наш урок с просмотра небольшого видеоряда. демонстрация слайдов 1-3

У. Просмотрев его подумайте , что объединяет все эти рисунки?

hello_html_m2bd2c929.jpghello_html_m63971be6.jpghello_html_m15a91371.jpghello_html_m3e99b0.jpg

hello_html_67d68112.jpghello_html_4f618b61.jpghello_html_6c740478.gif

hello_html_2164b0b5.jpghello_html_77e08a4b.jpghello_html_f89e105.jpghello_html_3a40b0a6.jpg

hello_html_357a58db.jpghello_html_8101642.jpghello_html_4a894655.jpg

Красиво, правда, и так что же объединяет все рисунки?

Правильно, на каждом из них мы видим форму, напоминающую нам параболу.

У..Графиком какой функции является парабола?

Верно, квадратичной .

Сегодня мы продолжим разговор об этой удивительной линии, обобщим уже имеющиеся знания по построению графика квадратичной функции, необходимые при графическом способе решения квадратных уравнений, повторив для этого алгоритмы построения параболы.

В работе будем использовать интерактивную доску, презентацию учащихся по графическому способу решения квадратных уравнений методом математического моделирования.

На прошлом уроке мы рассмотрели три алгоритма построения параболы. Проверим вашу готовность к уроку, вспомним их

Алгоритм построения параболы

Алгоритм

Преобразования

А1. у = f( x + l ) + m

Параллельный перенос графика у = f(x) вдоль оси х, затем полученного - вдоль оси у

по оси x по оси y

l > 0 – влево m > 0 – вверх

l < 0 – вправо m < 0 – вниз

А2. у = f( x + l ) + m

Построение графика у = f(x) в новой системе координат

Начало новой системы координат ( -l, m )

А3. у = аx2 + вx +с

Построение параболы по трем (пяти) точкам: вершина параболы и 2 (4) симметричные точки

О(x0, y0)вершина параболы

x0= -b/2a , y0=f(x0)

Сколько алгоритмов построения графика квадратичной функции вы знаете?

В чем заключается каждый из них ?

Задание

1. Как из графика функции у = ах² получить график функции у = ах² + в?

у = -0,5х² - 3 и у = -0,5 х² + 3; Назвать у = ах²

2. Как из графика функции у = ах² получить график функции у =а(х –m)²?

у = 2(х + 2)² и у = 2(х - 2)² . Назвать у = ах²

3.Назовите координаты начала новой системы координат:

у = (х + 2)² - 4 и у = (х - 2)² + 4

3.Назовите уравнение оси симметрии параболы следующих квадратичных функций:

y = x2 + 4x -5, у = -0,5 х² +2х- 3,

Сегодня мы закрепим построение графика квадратичной функции при графическом решении квадратных уравнений разными способами.

Вспомним. Какое уравнение называется квадратным? Что значит решить уравнение? Что значит решить квадратное уравнение графически?

Квадратным уравнением называется уравнение вида

аx2 + вx +с=0, где а,в,с – коэффициенты(произвольные числа)

а- старший член

с – свободный член

Решить уравнение графически –

найти абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс

Рассмотрим положение графика квадратичной функции в прямоугольной системе координат, выясним от чего зависит число корней квадратного уравнения.

На интерактивной доске учащиеся перемещают параболу в ПСК, комментируя число корней уравнения в зависимости отточек пересечения с осью х.

Учитель дает задание прокомментировать каждую геометрическую иллюстрацию

Не плохо знать сколько корней имеет квадратное уравнение лучше их находить. На примере одного квадратного уравнения рассмотрим несколько способов графического решения квадратного уравнения с помощью компьютерного моделирования и интерактивной доски, которые помогут не только выиграть во времени, но и наглядно продемонстрировать все способы. И так вместе с вами попробуем выделить способы решения данного уравнения ( постановка проблемы)

Задание.

Решить графически квадратное уравнение x2 - 2x - 3=0

Попробуем выделить способы решения данного уравнения.

Уравнение

Способы решения

x2 - 2x – 3 = 0

Построение параболы y = x2 - 2x - 3 (А3)

и нахождение точек пересечения

Построение - на интерактивной доске

Вычисления – на обычной доске

x2 = 2x + 3

Построение в одной координатной плоскости графиков следующих функций: у=x2 и у=2x + 3

найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой

с помощью компьютерного моделирования

x2 - 3 = 2x

Построение в одной координатной плоскости графиков следующих функций: у=x2 – 3 и у=2x

найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой

с помощью компьютерного моделирования

x2 /х - 2x /х - 3/х = 0/х

х - 2 = 3/х

Построение в одной координатной плоскости графиков следующих функций: у=x - 2 и у=3/x

найдем абсциссы точек пересечения параболы и прямой

с помощью компьютерного моделирования

x2 - 2x – 3 = 0

x2 - 2x +1 - 4 = 0

x2 - 2x +1= 4

Построение параболы с помощью (А1) и (А2)

Выделение полного квадрата

  • воспользуемся в тетрадях шаблоном параболы

  • построение на интерактивной доске

  • с помощью компьютерного моделирования

Рассматривается поэтапное решение 1 способа на обычной доске с построением параболы на интерактивной доске.

Способы 2-4 представляют ребята с помощью компьютерного моделирования, поясняя этапы построения графиков функций, подписывая на интерактивной доске точки пересечения и указывая абсциссы точек- корни уравнения

Способ 5 выполняется с помощью алгоритмов 1 и 2 в тетрадях с применением шаблона параболы, на интерактивной доске это подтверждается перемещением параболы в заданной системе координат и новой системе координат, а так же демонстрируется решение с помощью компьютерного моделирования.

Подводится итог изучения темы., анализируя таблицу для общего случая квадратного уравнения.

Графическое решение квадратного уравнения

аx2 + вx +с=0,

Вид квадратного уравнения

Способы решения

x2 + вx +с=0

А3

аx2 = - вx - с

у = аx2 , у = - вx - с

аx2 + вx = - с

у = аx2 - в x, у = - с

аx+ в = - с/х

у= аx2 + вx, у= - с/х

f( x + l )2 + m =0

А1 или А2

Вывод : В решении данного уравнения были использованы 5 графических способов, которые мы продемонстрировали с помощью применения алгоритмов 1-3 и компьютерного моделирования

В каждом случаи получен один и тот же ответ: -1; 3.

Достоинства

графического способа решения

  • применение компьютерного моделирования и интерактивной доски

  • наглядность

  • красота

  • применение формул сокращенного умножения

Недостатки

графического способа решения

  • ограниченность размера тетрадного листа

  • не всегда координаты точек пересечения графиков функций « хорошие»

  • необходимость преобразования квадратного трехчлена

Знание этих способов, не панацея от все бед, они не дают 100% гарантии решения любого квадратного уравнения

На следующем уроке мы перейдем к рассмотрению аналитического метода решения квадратных уравнений .

Математики искали универсальный способ решения квадратных уравнений, пригодный для решения любо квадратного уравнения и они его нашли. О нем мы будем говорить на следующих уроках.

Домашнее задание

1.Практическая работа « Графическое решение квадратного уравнения несколькими способами»

«5» - 5 способов

«4» - 4 способа

«3» - 3 способа

2.Составить кроссворд по теме « Квадратное уравнение»

3.Пополнение видеоряда

Посмотрим еще раз на все построенные нами графики и послушаем стихотворение, посвященное параболе.

Я есть парабола! Взгляните!

Как я стройна, изящна и горда!

Ведь, если модуль а превысит единицу, hello_html_m53d4ecad.gif

То резко прочь направлюсь я тогда.

А если он поменьше единицы,

То плавно и изящно приближусь я к ОХ,

Ведь существо мое подобно птице,

Я не могу обидеть ось абсцисс.

Мне буква а указ и назиданье:

Лишь только от 0 она по праву руку встанет,

Как лебедь гордая, я крылья вверх стремлю

с огромнейшим желаньем.

А слева от нуля она немилосердна и жестока.

Приходится мне вниз лететь от дорогой оси абсцисс далеко.

Прослушав стихотворение о параболе, попробуйте найти в нем 4 математические утверждения, касающихся графика квадратичной функции:

1. Если модуль старшего коэффициента больше 1, то график квадрат.функции приближается к оси оу- растет скорость устремления параболы вверх или вниз ( увеличивается «степень крутизны» параболы)

2. Если модуль старшего коэффициента меньше 1, то график квадрат.функции удаляется от оси ординат, приближаясь к оси ( уменьшается «степень крутизны» параболы)

3.Если а меньше нуля, ветви параболы направлены вниз

4. Если а больше нуля, ветви параболы направлены вверх

Рефлексия

Вопросы

Оценка деятельности

Оценка своего участия на уроке

На сколько я усвоил материал

Что мне на уроке понравилось

Что вызвало затруднение

infourok.ru

Конспект урока по теме "Графический способ решения квадратных уравнений"

Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

УУД

V. Практическая работа.

Раздаются учащимся дифференцированные задания на карточках.

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках, получаются буквы: М; О; С; К; В; А. и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ. (см. приложение к уроку).

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа «Евгений Онегин» «Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось».

(Как часто в горестной разлуке,

В моей блуждающей судьбе,

Москва, я думал о тебе!

Москва … как много в этом звуке

Для сердца русского слилось!

Как много в нём отозвалось.)

УУД

VI. Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.

а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: «Полёт–это математика». Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты «Пионер-10», «Пионер-11»,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

1. График успеваемости (Знание – сила. Кто много читает, тот много знает – пословица.

2. График роста, график веса учащихся 8-го класса.

Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать пословицу «В здоровом теле здоровый дух»

УУД

VII. Подведение итогов урока.

Вы замечательно поработали на уроке. Проверив ваши работы и учитывая ваши ответы за устную работу, я поставила вам оценки в индивидуальную таблицу.

Каждый ученик класса принимал участие в уроке. Во время урока заполняется индивидуальная таблица, в которой виден результат его работы на уроке.

Практическая

работа

Общая

оценка

Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.

УУД

VIII. Домашнее задание.

Творческое задание: составить рекламу параболе или гиперболе;

сочинить сказку или рассказ на тему «Замечательные

кривые».

УУД

IX. Рефлексия.

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

- Что нового узнали на уроке?

- Понравился ли урок? (с помощью сигнальных карточек)

- Что понравилось на уроке?

- Что не понравилось?

- Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

УУД

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск