Функции и Графики — сайт по математике и не только!!! Всё о Математических функциях и их графиках…

КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ y = ax2 + bx + c, где a 0. График квадратичной функции — парабола. Свойства функции и вид её графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта D = b2 — 4ac. a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D a D > 0 a D = 0 a D РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ВЫДЕЛЕНИЕ ПОЛНОГО КВАДРАТА: РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ при D > 0 y = ax2 + bx + c = a(x — x 1)(x — x2) при D = 0 y = ax2 + bx + c = a(x — x1)2 при D СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ НАПРАВЛЕНИЕ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫЕ ТОЧКИ И ОСЬ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ, являющейся графиком функции у = ax2 + bx + c Направление ветвей параболы: при a > 0 ветви направлены вверх при a Координаты вершины параболы: (-b/2a; —D/4a) Ось симметрии параболы — прямая Точки пересечения (касания) графика с осью х: D > 0: (точки пересечения) D = 0: x1 = — b/(2a) (точка касания) D х нет Точка пересечения графика с осью у:(0,c), симметричная ей точка относительно параболы (- b/a;c) Для построения графика квадратичной функции можно использовать некоторые из указанных характеристик. Например, если уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два корня, удобно использовать координаты вершины параболы и координаты двух точек пересечения параболы с осью х. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ВЕТВЕЙ, ХАРАКТЕРНЫМ ТОЧКАМ И ОСИ СИММЕТРИИ ПАРАБОЛЫ Примеры: ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ГРАФИКА ФУНКЦИИ y = x2 С помощью выделения полного квадрата любую квадратичную функцию можно представить в виде: Это свойство позволяет построить график квадратичной функции с помощью элементарных преобразований графика функции y = x2. Построение графика y = a(x — m)2 + n можно произвести в три этапа: Результат преобразования: график функции y = a(x — m)2+n Примеры: 1. Растяжение графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза 2. Параллельный перенос графика функции y = 2x 2 вдоль оси x на 3 вправо Параллельный перенос графика функции y = 2(x — 3)2 вдоль оси y на 1 вверх. 1. Сжатие графика функции y = x 2 вдоль оси y в 2 раза и преобразование симметрии относительно оси x 2. Параллельный перенос графика функции y = — x 2 вдоль оси x на 2 влево Параллельный перенос графика функции y = — (x + 2)2/ 2 Используются технологии uCoz

Координатные плоскости и графики, функции.

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость. В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости и ts-плоскости.

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x

2

Это приближении к графику y = x²

Пример: нарисовать график y = 1/x

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y²-2y
(c) y = 1/x

Решение:

Пусть y = 0, тогда 3x = 6   or   x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

y = 1/x

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

• график симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

• график симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

• график симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функциина координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Пример 1

Постройте график f(x) = x + 2

y = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

y = |x|

x	y = x2	(x,y)
0	0	(0,0)
1	1	(1,1)
2	4	(2,4)
3	9	(3,9)
-1	1	(-1,1)
-2	4	(-2,4)
-3	9	(-3,9)
X	y=1/x	(x,y)
1/3	3	(1/3,3)
1/2	2	(1/2,2)
1	1	(1 ,1)
2	1/2	(2,1/2)
3	1/3	(3,1/3)
-1/3	-3	(-1/3 , -3)
-1/2	-2	(-1/2 , -2)
-1	-1	(-1 , -1)
-2	-1/2	(-2, -1/2)
-3	-1/3	(-3,-1/3)

|x| =

x если x ≥ 0, т.e. x — не отрицательно -x если x

График совпадает с линией y = x         для x> 0 и с линией y = -x

для x < 0 .

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x²— 4)/(x — 2) =

= ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

= (x + 2)       x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2            x ≠ 2

График h(x)= x² — 4 Or                     x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

g(x) =

1      если x ≤ 2 x + 2      если x > 2

Графики функций с перемещением

— Предположим, что график функции f(x) известен

— Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c

y = f(x) — c

y = f(x + c)

y = f(x — c)

y = f(x) + c          — график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) — c          — график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c)          — график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x — c)          — график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x — 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

y = |x-3|

Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

Пример 8

Постройте график

y = x² — 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x² — 4x + 5) + 4 y = (x² — 4x + 4) + 5 — 4

y = (x — 2)² + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x² вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x² — 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

— Нарисуйте график

— Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

— Переместим этот график вправо на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0 < c < 1

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

График работы МФЦ в выходные и праздничные дни

		Список дежурных МФЦ со 2 по 8 января 2022 г.
№ п/п	Округ		Наименование МФЦ	Проект	Дежурный	Адрес
1	ВАО		МФЦ окружного значения ВАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Щелковское ш., д. 75
2			МФЦ района Косино-Ухтомский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Святоозерская, д. 12
3			МФЦ района Измайлово	Экспресс-тестирование		Москва, ул. 3-я Парковая, д. 24
4			МФЦ района Новогиреево	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Алексея Дикого, д. 3
5			МФЦ района Преображенское	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Малая Черкизовская, д. 14
6			МФЦ района Сокольники	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Стромынка, д. 2
7	ЗАО		МФЦ района Дорогомилово	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, пл. Киевского вокзала, д. 2
8			МФЦ района Крылатское	Экспресс-тестирование		Москва, Рублевское ш. , д. 42, корп. 1
9			МФЦ района Тропарево-Никулино	Экспресс-тестирование		Москва, пр-т Вернадского, д. 97, корп. 3
10	ЗелАО		МФЦ района Савелки	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Зеленоград, корп. 337
11	САО		МФЦ окружного значения САО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Ленинградское ш. , д. 16А, стр. 8
12			Межрайонный МФЦ районов Бескудниковский и Восточное Дегунино	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Дубнинская, д. 40а, корп. 1
13			Межрайонный МФЦ районов Левобережный, Молжаниновский и Ховрино	Экспресс-тестирование		Москва, Ленинградское ш., д. 108
14			МФЦ района Дмитровский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Лобненская, д. 4А
15			МФЦ района Войковский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Космонавта Волкова, дом 10, стр. 1
16	СВАО		МФЦ района Северное Медведково	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, ул. Полярная, д. 31, стр. 1
17			МФЦ района Лосиноостровский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Изумрудная, д. 18
18			МФЦ района Бабушкинский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Летчика Бабушкина, д. 1, корп. 1
19	СЗАО		МФЦ района Митино	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Новотушинский пр., д. 10
20			МФЦ района Покровское-Стрешнево	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Тушинская, д. 17
21	ЦАО		МФЦ окружного значения ЦАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, наб. Пресненская, д. 2
22			МФЦ района Якиманка	Экспресс-тестирование		Москва, Якиманский пер., д. 6, стр. 1
23			МФЦ района Басманный	Экспресс-тестирование		Москва, пер. Центросоюзный, д. 13, стр. 3
24	ЮАО		МФЦ окружного значения ЮАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, ул. Кировоградская, д. 13А
25			Межрайонный МФЦ районов Нагорный и Нагатино-Садовники	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Варшавское ш., д. 47, кор. 4
26			МФЦ района Орехово-Борисово Северное	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Ясеневая, д. 8
27			МФЦ района Нагатинский Затон	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Нагатинская, д. 27
28			МФЦ района Орехово-Борисово Южное	Экспресс-тестирование		Москва, Каширское ш. , д. 144, корп. 3
29	ЮВАО		МФЦ окружного значения ЮВАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Рязанский просп., д. 2, корп. 3
30			МФЦ района Некрасовка	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Маресьева, д. 1
31			Дополнительный офис МФЦ района Выхино-Жулебино	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Ташкентская, д. 21
32			МФЦ района Лефортово	Экспресс-тестирование		Москва, пр-д Завода Серп и Молот, д. 10
33			МФЦ района Капотня	Экспресс-тестирование		Москва, 2-й квартал Капотни, д. 22
34	ЮЗАО		МФЦ окружного значения ЮЗАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Новоясеневский просп. , д. 1
35			МФЦ района Ясенево	Вакцинация		Москва, Новоясеневский просп., д. 9
36			МФЦ района Обручевский	Экспресс-тестирование		Москва, Ленинский просп., д. 103
37			МФЦ района Северное Бутово	Экспресс-тестирование		Москва, Куликовская ул. , д. 6
38			МФЦ района Котловка	Экспресс-тестирование		Москва, Нахимовский проспект, д. 25А
39			МФЦ района Гагаринский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Вавилова, д. 81, корп. 1

График работы МФЦ в праздничные дни

№ п/п	Округ	Наименование МФЦ	Проект	Дежурный	Адрес
1	ВАО	МФЦ окружного значения ВАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Щелковское ш. , д. 75
2		МФЦ района Косино-Ухтомский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Святоозерская, д. 12
3		МФЦ района Измайлово	Экспресс-тестирование		Москва, ул. 3-я Парковая, д. 24
4		МФЦ района Новогиреево	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Алексея Дикого, д. 3
5		МФЦ района Преображенское	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Малая Черкизовская, д. 14
6		МФЦ района Сокольники	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Стромынка, д. 2
7	ЗАО	МФЦ района Дорогомилово	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, пл. Киевского вокзала, д. 2
8		МФЦ района Крылатское	Экспресс-тестирование		Москва, Рублевское ш. , д. 42, корп. 1
9		МФЦ района Тропарево-Никулино	Экспресс-тестирование		Москва, пр-т Вернадского, д. 97, корп. 3
10	ЗелАО	МФЦ района Савелки	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Зеленоград, корп. 337
11	САО	МФЦ окружного значения САО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Ленинградское ш. , д. 16А, стр. 8
12		Межрайонный МФЦ районов Бескудниковский и Восточное Дегунино	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Дубнинская, д. 40а, корп. 1
13		Межрайонный МФЦ районов Левобережный, Молжаниновский и Ховрино	Экспресс-тестирование		Москва, Ленинградское ш., д. 108
14		МФЦ района Дмитровский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Лобненская, д. 4А
15		МФЦ района Войковский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Космонавта Волкова, дом 10, стр. 1
16	СВАО	МФЦ района Северное Медведково	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, ул. Полярная, д. 31, стр. 1
17		МФЦ района Лосиноостровский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Изумрудная, д. 18
18		МФЦ района Бабушкинский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Летчика Бабушкина, д. 1, корп. 1
19	СЗАО	МФЦ района Митино	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Новотушинский пр., д. 10
20		МФЦ района Покровское-Стрешнево	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Тушинская, д. 17
21	ЦАО	МФЦ окружного значения ЦАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, наб. Пресненская, д. 2
22		МФЦ района Якиманка	Экспресс-тестирование		Москва, Якиманский пер., д. 6, стр. 1
23		МФЦ района Басманный	Экспресс-тестирование		Москва, пер. Центросоюзный, д. 13, стр. 3
24	ЮАО	МФЦ окружного значения ЮАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, ул. Кировоградская, д. 13А
25		Межрайонный МФЦ районов Нагорный и Нагатино-Садовники	Экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Варшавское ш., д. 47, кор. 4
26		МФЦ района Орехово-Борисово Северное	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Ясеневая, д. 8
27		МФЦ района Нагатинский Затон	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Нагатинская, д. 27
28		МФЦ района Орехово-Борисово Южное	Экспресс-тестирование		Москва, Каширское ш., д. 144, корп. 3
29	ЮВАО	МФЦ окружного значения ЮВАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Рязанский просп. , д. 2, корп. 3
30		МФЦ района Некрасовка	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Маресьева, д. 1
31		Дополнительный офис МФЦ района Выхино-Жулебино	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Ташкентская, д. 21
32		МФЦ района Лефортово	Экспресс-тестирование		Москва, пр-д Завода Серп и Молот, д. 10
33		МФЦ района Капотня	Экспресс-тестирование		Москва, 2-й квартал Капотни, д. 22
34	ЮЗАО	МФЦ окружного значения ЮЗАО	Вакцинация + экспресс-тестирование	Дежурный (4 услуги)	Москва, Новоясеневский просп., д. 1
35		МФЦ района Ясенево	Вакцинация		Москва, Новоясеневский просп. , д. 9
36		МФЦ района Обручевский	Экспресс-тестирование		Москва, Ленинский просп., д. 103
37		МФЦ района Северное Бутово	Экспресс-тестирование		Москва, Куликовская ул., д. 6
38		МФЦ района Котловка	Экспресс-тестирование		Москва, Нахимовский проспект, д. 25А
39		МФЦ района Гагаринский	Экспресс-тестирование		Москва, ул. Вавилова, д. 81, корп. 1

⚡Блогеры вновь протестировали еще не вышедший Intel Core i5-12400 со штатным кулером | Процессоры | Новости

Ютуберы Chill Builds и Jawara Media протестировали младший процессор серии Alder Lake за несколько дней до официального анонса. Речь идет об Intel Core i5-12400. Где они взяли чип? Так, Chill Builds утверждает, что без проблем купил Core i5-12400 в обычном магазине, торгующем комплектующими. 

Процессор продается в стандартной коробке синего цвета из картона, поставляется со штатным кулером Laminar RM1. Новинка получила 6 ядер Golden Cove с поддержкой технологии Hyper-Threading.

Chill Builds проверил Intel Core i5-12400 на ПК с материнской платой MSI Z690 Tomahawk D4, 16 ГБ оперативной памяти Crucial Ballistix MAX DDR4-4400, видеокартой AMD Radeon RX 6700 XT и твердотельным накопителем Samsung 980 Pro на 1 ТБ.

Сообщается, что нагрелся Core i5-12400F до 81° в Cinebench и Blender. Частота на все ядра при нагрузке составила 3990 МГц. В Cinebench процессор набрал 1693 балла в одноядерном тесте и 12 137 баллов — в многоядерном. 

Результаты Jawara media схожие. Главное отличие — этот ютубер тестировал Intel Core i5-12400F (версия без встроенной графики). 

Читайте новости в нашем Telegram-канале. 

2-4 * x — (- 3) = 0

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:

 (2x  2  - 4x) - -3 = 0
 

Шаг 2:

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

2.1 Факторинг 2x ² -4x + 3

Первый член равен 2x ² , его коэффициент равен 2.
Средний член, -4x, его коэффициент равен -4.
Последний член, «константа», равен +3

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 2 • 3 = 6

Шаг-2: Найдите два множителя 6, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -4.

	-6	+	-1	=	-7
	-3	+	-2	=	-5
	-2	+	-3	=	-5
	-1	+	-6	=	-7
	1	+	6	=	7
	2	+	3	=	5
	3	+	2	=	5
	6	+	1 9 0041	=	7

Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
Заключение: Трехчлен не может быть разложен на множители

Уравнение в конце шага 2:

 2x  2  - 4x + 3 = 0
 

Шаг 3:

 
 Парабола, поиск вершины: 
 
 3. 1 Найдите вершину y = 2x  2  -4x + 3 
 
 Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 2, положительный (больше нуля). 
 
 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения. 
 
 Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.  
 
 Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна 1.0000 
 
 Подставив в формулу параболы 1.0000 для x, мы можем вычислить координату y: 
 y = 2.0 * 1.00 * 1.00 — 4.0 * 1.00 + 3.0 
 или y = 1.000 
 
 Parabola, Graphing Вершины и пересечения по оси X: 
 
 Корневой график для: y = 2x  2  -4x + 3 
 Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {1,00} 
 Вершина в точке {x, y} = {1,00, 1,00} 
 Функция не имеет действительных корней 
 
 Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
 
 3.2 Решение 2x  2  -4x + 3 = 0, завершив Квадрат. 
 
 Разделите обе части уравнения на 2, чтобы получить 1 в качестве коэффициента первого члена: 
 x  2  -2x + (3/2) = 0 
 
 Вычтем 3/2 из обеих частей уравнения: 
 x  2  -2x = -3/2 
 
 Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 2, разделите его на два, получив 1, и возведите его в квадрат, получив 1 
 
 Добавьте 1 к обеим сторонам уравнения : 
 В правой части имеем: 
 -3/2 + 1 или, (-3/2) + (1/1) 
 Общий знаменатель двух дробей равен 2 Сложение (-3/2) + ( 2/2) дает -1/2 
 Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы, наконец, получаем: 
 x  2  -2x + 1 = -1/2 
 
 Добавление 1 завершило левую часть в полный квадрат: 
 x  2  -2x + 1 = 
 (x-1) • (x-1) = 
 (x-1)  2  
 Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу. Поскольку 
 x  2  -2x + 1 = -1/2 и 
 x  2  -2x + 1 = (x-1)  2  
, то согласно закону транзитивности 
 (x-1)  2  = -1/2 
 
 Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1 
 
 Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны. 
 
 Обратите внимание, что квадратный корень из 
 (x-1)  2  равен 
 (x-1)  2/2  = 
 (x-1)  1  = 
 x-1 
 
 Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 3.2.1 получаем: 
 x-1 = √ -1/2 
 
 Добавьте 1 к обеим сторонам, чтобы получить: 
 x = 1 + √ -1/2 
 В математике i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет i  2  = -1. Оба i и -i являются квадратными корнями из -1 
 
 Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
 x  2  — 2x + (3/2) = 0 
 имеет два решения: 
 x = 1 + √ 1/2 • i 
 или 
 x = 1 — √ 1/2 • i 
 
 Обратите внимание, что √ 1/2 можно записать как 
 √ 1 / √ 2, что равно 1 / √ 2 
 
 Это принято дополнительно упрощать, пока знаменатель не станет радикальным. 
 
 Здесь это может быть достигнуто путем умножения знаменателя и знаменателя на √ 2 
 
 После этого умножения числовое значение 1 / √ 2 остается неизменным, так как оно умножается на √ 2 / √ 2, что равно 1 
 
 Хорошо, давай сделаем это: 
 
 1 • √ 2 1 • √ 2 
 —————————————— = ————————————— 
 √ 2 • √ 2 2 
 
 Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
 3.3 Решение 2x  2  -4x + 3 = 0 по квадратичной формуле.
 Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
   
 — B ± √ B  2  -4AC 
 x = ———————— 
 2A
 В нашем случае A = 2 
 B = -4 
 C = 3
 Соответственно B  2  — 4AC = 
 16 — 24 = 
 -8
 Применение формулы корней квадратного уравнения:
 4 ± √ -8 
 x = ————— 
 4
 В наборе действительных чисел отрицательные числа не имеют квадратных корней. Был изобретен новый набор чисел, названный комплексным, чтобы отрицательные числа имели квадратный корень. Эти числа записываются (a + b * i)
 И i, и -i являются квадратными корнями из минус 1
 Соответственно, √ -8 = 
 √ 8 • (-1) = 
 √ 8 • √ -1 = 
 ± √ 8 • i
 Можно ли упростить √ 8?
 Да! Факторизация на простые множители 8 равна 
 2 • 2 • 2 
 Чтобы иметь возможность удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).
 √ 8 = √ 2 • 2 • 2 = 
 ± 2 • √ 2
 √ 2, округленное до 4 десятичных цифр, составляет 1,4142 
 Итак, теперь мы смотрим на: 
 x = (4 ± 2 • 1,414 i) / 4
 Два мнимых решения: 
 x = (4 + √-8) / 4 = 1 + i / 2√ 2 = 1,0000 + 0,7071i
или: 
 x = (4-√-8) / 4 = 1-i / 2√ 2 = 1.0000-0.7071i
 
 
 Было найдено два решения: 
 x = (4-√-8) / 4 = 1-i / 2√ 2 = 1.0000-0.7071i
 x = (4 + √-8) / 4 = 1 + я / 2√ 2 = 1. 2-4x + 3
 Продолжение ……….
  График параболы в форме пересечения: 
 Форма квадратного уравнения с интервалом (уравнение параболы):  y = a (x — p) (x — q) , где p и  q  — точки пересечения с x, а
 Если  a> 0 , то парабола открывается вверх.
 Если  a <0 , то парабола открывается вниз.
 Функция имеет вид f (x) = y = — 2x  2  — 4x + 3.
 Запишите уравнение параболы в виде точки сечения.
 Разложите выражение на множители — 2x  2  — 4x + 3.
 — 2x  2  — 4x + 3, является квадратичным, поэтому используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни соответствующего квадратного уравнения.
 x = [- b ± √ (b  2  — 4ac)] / 2a.
 Подставляем a = — 2, b = — 4 и c = 3.
 x = [4 ± √ (16  + 24)] / 2 * -2
 x = — [4 ± √40] / 4
 х = — [2 ± √10] / 2.
 Из фольги: y = — 1 (x — [- (2 — √10) / 2]) (x — [(√10 +2) / 2])
 Сравните уравнение с интегральной формой квадратного уравнения (уравнение параболы):  y = a (x — p) (x — q) .
 a =  — 1> 0  (отрицательный), поэтому график функции открывается вниз и имеет максимальное значение.
 x — точки пересечения p и q равны  — (2 — √10) / 2  и  (√10 +2) / 2 .
 y — точка пересечения — это a (- p) (- q) = — 1 ([(2 — √10) / 2]) (- (√10 +2) / 2) = 3.
 Пересечение оси y равно (0, 3), поэтому точка, соединенная с ним на другой стороне оси симметрии, равна (- 2, 3) и имеет то же значение  y  -.
 Так как ось симметрии делит параболу на две равные части, то, если есть точка (0, 3) с одной стороны, есть соответствующая точка на другой стороне, которая находится на таком же расстоянии от оси симметрии и имеет тот же  у  — стоимость.
 Расстояние между точками (0, 3) и (- 1, 3) = 1 = Расстояние между (-1, 3) и точкой, спаренной с ней на другой стороне оси симметрии, имеет то же значение  y  — ценность.
 Расстояние между (- 1, 3) и спаренной с ним точкой по другую сторону оси симметрии. = — 1 — 1 = — 2.
 Следовательно, точка, соединенная с ней по другую сторону оси симметрии, равна (- 2, 3).
 Ось симметрии — это линия  x = (p + q) / 2. 
 Ось симметрии  x  = (-    (2 — √10) / 2  +  ((√10 +2) / 2) ) / 2 = — 4/4 =  — 1 .
 Вершина (x, y) = (x, f (x))
 = ( — 1 , f (- 1))
 = (- 1, 5).
 Вершина  (x, y) = (- 1, 5) .
  График: 
 1. Нарисуйте координатную плоскость.
 2. Постройте координатные точки.
 3. Затем нарисуйте график, соединив точки плавной кривой.
 Биоматематика: преобразование графиков 
  Что такое горизонтальное растяжение и усадка? 
 По горизонтали растягивает и сжимает, соответственно, по горизонтали вытягивает базовый график или сдвигает его вместе, оставляя пересечение  y  неизменным для привязки графика.
  Определение 
 Для базовой функции  f  ( x ) и константы  k , где  k > 0 и  k  ≠ 1, функция, заданная как
  г  ( x ) =  f  ( k   x ),
 можно нарисовать путем горизонтального сжатия  f  ( x ) с коэффициентом 1/ k , если  k > 1
 или
 путем горизонтального растяжения  f  ( x ) с коэффициентом 1/ k 
 , если 0 < k  <1.
 Горизонтальное растяжение или сжатие с коэффициентом 1/ k  означает, что точка ( x ,  y ) на графике  f  ( x ) преобразуется в точку ( x / k ,  y ) на графике  g  ( x ).
  Примеры горизонтального растяжения и усадки 
 Рассмотрим следующие базовые функции,
 (1)  f  ( x ) =  x   2  — 3,
 (2)  г  ( x ) = cos ( x ).
 Графическое представление функции (1),  f  ( x ), представляет собой параболу. Что вы думаете о графике
  y   1  ( x ) =  f  (4  x )
 как выглядит? Используя определение  f  ( x ), мы можем записать  y   1  ( x ) как,
  y   1  ( x ) =  f  (4  x ) = (4  x )  2  — 3 = 16  x   2  -3.
 На основании определения горизонтальной усадки график  y   1  ( x ) должен выглядеть как график  
 f  ( x ), сжатие по горизонтали с коэффициентом 1/4. Взгляните на графики  f  ( x ) и  y   1  ( x ).
 Функция (2),  g  ( x ), является функцией косинуса.Что бы на графике
  y   2  ( x ) =  g  (2/3  x )
 как выглядит? Используя наши знания о горизонтальных растяжках, график  y   2  ( x ) должен выглядеть как базовый график  g  ( x ), растянутый по горизонтали с коэффициентом 3/2. Чтобы проверить это, мы можем записать  y   2  ( x ) как,
  y   2  ( x ) =  g  (2/3  x ) = cos (2/3  x ),
 построить таблицу значений и построить график новой функции.Как видите, график  y   2  ( x ) на самом деле является базовым графиком  g  ( x ), растянутым по горизонтали с коэффициентом 3/2.
 *****
  В следующем разделе мы исследуем отражения. 
 Отражения
 1,7 — Обратные функции 
 1,7 — Обратные функции
 Обозначение 
 Функция, обратная f, обозначается f  -1  (если ваш браузер не поддерживает надстрочные символы, это выглядит как f
с показателем -1) и произносится как «f инверсия».Хотя обратная функция функции выглядит как
вы возводите функцию в степень -1, это не так. Обратная функция не означает
обратная функция.
 Обратные 
 Функция обычно сообщает вам, что такое y, если вы знаете, что такое x. Обратная функция скажет
вы, каким должен быть x, чтобы получить это значение y.
 Функция f  -1  является обратной функцией f, если
 для каждого x в области f, f  -1  [f (x)] = x и
 для каждого x в области f  -1 , f [f  -1  (x)] = x
 Область f — это диапазон f  -1 , а диапазон f — это область f  -1 .
 График обратной функции 
 Функция, обратная функции, отличается от функции тем, что все координаты x и y
были переключены. То есть, если (4,6) — точка на графике функции, то (6,4) — точка
на графике обратной функции.
 точек на функции идентичности (y = x) останутся в функции идентичности при переключении. Все
координаты других точек поменяются местами, и их местоположение переместится.
 График функции и обратный ей график являются зеркальным отображением друг друга.Они размышляют о
функция тождества y = x.
 Существование обратной функции 
 Функция говорит, что для каждого x существует ровно один y. То есть значения y могут дублироваться, но x
значения не могут быть повторены.
  Если  функция имеет инверсию, которая также является функцией, тогда может быть только один y для каждого x.
 Однозначная функция   — это функция, в которой для каждого x существует ровно один y, а для каждого y,
есть ровно один x. У однозначной функции есть обратная функция, которая также является функцией.
 Есть функции, у которых есть инверсии, которые не являются функциями. Есть и обратные для
связи. По большей части мы не обращаем на них внимания и имеем дело только с функциями, обратными к которым являются
также функции.
 Если обратная функция также является функцией, то обратная зависимость должна проходить вертикальную черту.
контрольная работа. Поскольку все x-координаты и y-координаты переключаются при нахождении обратного, говоря
что обратная функция должна пройти проверку вертикальной линии — это то же самое, что сказать, что исходная функция должна пройти
тест горизонтальной линии.
 Если функция проходит как тест  вертикальной линии  (так что это в первую очередь функция), так и  проверка горизонтальной линии  (так что его обратная функция является функцией), тогда функция взаимно однозначна и имеет
обратная функция.
 Неформальный поиск инверсий 
 Обращение к некоторым функциям, особенно к тем, в которых встречается только одно вхождение
независимая переменная, может быть решена путем  отмены  операций. Чтобы отменить операции, вы
должен не только изменить порядок, но и использовать обратную операцию.
 Пример 1 
 Функция f (x) = 5x-2 
 Начать с x: x
 Умножить на 5: 5x
 Вычесть 2: 5x-2
 Обратное f 
-1  (x) = (x + 2) / 5
 Начать с x: x
 Добавить 2: x + 2
 Разделить на 5: (x + 2) / 5
 Пример 2 
 Функция f (x) = 2 (x-3) 
 2 -5, x≥3
 Обратите внимание, что на x есть ограничение.
 Начать с x: x
 Вычесть 3: x-3
 Квадрат: (x-3)  2 
 Умножить на 2: 2 (x-3)  2 
 Вычесть 5: 2 (x-3)  2 -5
 Обратное f 
 -1  (x) = 3 + sqrt [(x + 5) / 2]
 Начать с x: x
 Добавить 5: x + 5
 Разделить на 2: (x + 5) / 2
 Извлеките квадратный корень: ± sqrt [(x + 5) / 2]
 Добавить 3: 3 ± sqrt [(x + 5) / 2]
 Подождите! Эта инверсия не является функцией, потому что для каждого x есть два значения y. Это из-за ±, которое появилось, когда мы извлекли квадратный корень из обеих частей. Теперь вернемся к исходной области x≥3. Это означает, что для обратного диапазон y≥3. Поскольку y должно быть не меньше 3, нам нужен положительный квадратный корень, а не отрицательный. Без ограничения на x в
исходная функция, у нее не было бы
обратная функция: 3 + sqrt [(x + 5) / 2]
 Пример 3 
 Функция f (x) = x 
 2  — 4x + 6, x≤2
 Уххх ????
 Что происходит, когда встречается более одного раза
независимая переменная в функции? Ты не
знаю, что вы сделали с x, потому что вы сделали это с двумя
разных x, и вы не сделали одно и то же с обоими
их.
 Формальный поиск инверсий 
 Нельзя сказать, что последний пример не может быть выполнен, но он включает в себя завершение квадрата до
получить f (x) = (x-2)  2  +2, а затем инвертировать его, чтобы получить f -1  (x) = 2-sqrt (x-2).
 Однако есть другой способ, который не слишком полагается на неформальность и будет работать независимо от того,
Вы не можете точно определить, что вы сделали с одним x.
 Начать с функции
 При необходимости заменить f (x) на y
 Поменяйте местами x и y.На данный момент вы имеете дело с инверсией
 Решить для y
 Замените y на f -1  (x), если обратная функция также является функцией, в противном случае оставьте ее как y
 Пример 4 
 Функция f (x) = x 
 2  / (x  2  +1), x≥0
 Ограничение важно сделать 1-1.
 Начнем с функции: f (x) = x  2  / (x  2  +1), x≥0
 Заменить f (x) на y: y = x  2  / (x  2  +1), x≥0
 Поменяйте местами x и y: x = y  2  / (y  2  +1), y ≥0
 Решить относительно y:
 Умножаем на знаменатель: x (y  2  +1) = y  2 
 Распределить: xy  2  + x = y  2 
 Переместите y в одну сторону, а все остальное в другую: xy  2  -y  2  = -x
 Фактор: y  2  (x-1) = — x
 Разделить на коэффициент при y  2 : y  2  = -x / (x-1)
 Упростить правую часть: y  2  = x / (1-x)
 Извлеките квадратный корень: y = ± sqrt [x / (1-x)]
 Поскольку y≥0, нам нужен положительный квадратный корень: y = sqrt [x / (1-x)]
 Назовите это f  -1  (x): f  -1  (x) = sqrt [x / (1-x)]  
 
 Для этой последней функции подразумеваемая область обратного преобразования равна [0,1). Это означает, что диапазон
исходная функция также должна была быть [0,1). Проверьте это на своем калькуляторе, и вы увидите, что это так.
 Иногда в инструкциях говорится, что если функция не является взаимно однозначной, то не находите обратную.
функция (потому что ее нет). Поэтому всегда проверяйте, прежде чем тратить время на поиск
обратная функция. Теперь, если вы должны найти обратное, независимо от того,
функция или нет, тогда вперед.
 Хорошая вещь! 
 Индивидуальные функции — замечательные вещи.
 При решении уравнений вы можете прибавить одно и то же к обеим сторонам, вычесть одно и то же из
обе стороны, умножьте обе стороны на одно и то же ненулевое значение и разделите обе стороны на одно и то же
отличное от нуля, и все равно получите то же самое решение, не беспокоясь о необходимости проверять свой ответ.
 Вы также можете применить взаимно-однозначную функцию к обеим сторонам уравнения, не беспокоясь о введении посторонних решений (решений, которые работают после выполнения чего-то, что не работало раньше). Это не обязательно верно для функций, которые не являются взаимно однозначными, как функция возведения в квадрат, где вы всегда должны проверять ответы после возведения в квадрат обеих сторон уравнения. Например, уравнение sqrt (x) = -2 не имеет решения, но если вы возведете в квадрат обе стороны, вы получите x = 4, но оно не проверяется в исходной задаче. Благодаря индивидуальным функциям вы не будете предлагать никаких посторонних решений.
 Ух ты! Говорить о
 мощный. Вы не цените этого сейчас, и книга не рассматривает это должным образом, пока вы не получите
 к главе 4 и имеют дело с логарифмическими и экспоненциальными функциями, но даже в этом случае они не делают
 как бы то ни было.
 Хорошо, попробуем сейчас. Поверьте мне на слово, что exp (x) является взаимно однозначной функцией и является
инверсия ln (x).
 ln (x) = 3
 Решите относительно x.
 ехр [ln (x)] = ехр [3]
 «Погодите, мистер Джонс» — ваш ответ. Вы никогда не видели такого зверя. Это
Ладно. Возьмите обратную функцию и примените ее к обеим сторонам.
 х = ехр (3)
 Вернитесь к определению инверсии в верхней части этого документа.x и находится на клавише [2  nd ] [ln].
 Вау — больше сплоченности. Обратную функцию можно найти, взяв функцию [2  nd ]. Смотреть
у него для прочего на калькуляторе.
 Квадратный корень — это величина, обратная квадрату. Если вы посмотрите на три тригонометрических ключа [sin],
[cos] и [tan], их обратные значения находятся с помощью клавиши [2  nd ].
 Режим мыльницы включен.
 Я говорю вам — все сходится.Для тех, кто помнит строчку, которую Ганнибал Смит использовал в
A-Team: «Мне нравится, когда план слагается».
 Математика — один из самых совместных предметов. Все дополняет
еще. Я надеюсь, что вы получите гораздо больше, чем просто механику
математика, но понимание, понимание и оценка того, как работает система.