Уравнение решаем: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Содержание

Уравнения равные нулю | Алгебра

Что такое «уравнения равные нулю»?

Если в левой части уравнения стоит сумма или разность одночленов или многочленов, а в правой части — нуль, то это может быть обычное линейное уравнение.

Если левая часть уравнения представляет собой произведения двух или нескольких множителей, а правая часть — нуль, то это — уравнение типа «произведение равно нулю».

В общем виде простейшие равные нулю уравнения можно записать как

   

(множителей может быть больше).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

   

и решаем каждое из полученных уравнений отдельно.

Примеры.

   

Это — уравнение типа «произведение равно нулю».

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: 0; 1,5; -0,8.

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: 3; -2/7.

Если в уравнении, равном 0, левую часть можно разложить на множители, то такое уравнение также можно решить как уравнение типа «произведение равно 0».

Например,

   

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а четвёртое — со вторым:

   

Из первых скобок вынесем за скобки общий множитель x², из вторых — 4:

   

Общий множитель (x-3) вынесем за скобки:

   

Получили уравнение типа «произведение равно 0». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Корень первого уравнения —

   

Второе уравнение не имеет корней (сумма положительных чисел не может равняться нулю).

Ответ: 3.

В алгебре многие уравнения сводятся к уравнениям типа «произведение равно нулю» с помощью разложения на множители.

Множители могут линейными, квадратными, логарифмическими, тригонометрическими и т. д. уравнениями.

Еще один важный частный случай уравнений, равных  нулю, рассмотрим позже.

Читать «Решаем уравнения» — Крючков Алексей Алексеевич

Линейные уравнения

В этой небольшой книжке будет рассматриваться решение алгебраических уравнений с одной и двумя переменными. Для начала займемся линейными уравнениями. Вы скорее всего в курсе, что общий вид таких уравнений это

, где и – некоторые числа, а – неизвестное, которое требуется найти. Линейное уравнение это всегда уравнение первой степени и поэтому у него всегда может быть только один корень. Формула для вычисления корня имеет следующий вид:

Давайте на примере посмотрим как решаются такие уравнения.

Решим уравнение

. Подставив соответствующие числа в формулу получим:

После сокращения имеем

. Сделаем проверку:

Этот же результат можно получить и без всяких формул. Просто перенесем слагаемое -2 в левую часть с переменой знака:

. А теперь разделим обе части на 4:

В итоге после сокращения обеих частей получим

.

Далее пример с подобными слагаемыми. Решим уравнение:

.

Уравнение выглядит совсем не так как предписывает формула общего вида, поэтому мы его к этому виду сейчас приведем. Для этого сгруппируем слагаемые так чтобы в левой части были слагаемые с иксом, а в правой без икса. Перенос слагаемых нужно делать с переменой знака на противоположный. Не забывайте это! В итоге наше уравнение должно принять такой вид:

Сложив все получим:

, откуда легко вывести, что .

Дальше предлагаю решить задачу на составление уравнений. Итак, старая задачка про стаю гусей:

Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» «Нас не сто гусей,– отвечает ему вожак стаи,– если бы нас было столько, сколько теперь, да еще столько, да еще пол столько, да еще четверть столько, да еще ты, гусь, был бы с нами, вот тогда нас было бы сто гусей». Сколько было в стае гусей?

Возьмем за икс неизвестное число гусей. Вожак говорит, что если бы «было столько, сколько теперь», то есть икс, «да еще столько», то есть еще икс, и «еще пол столько», то есть половина икса, и плюс «еще четверть столько», иначе говоря плюс четвертая часть икса и вдобавок встреченный гусь, тогда получим сотню. Записав все это на языке алгебры получим:

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

Решаем уравнение простой линейной регрессии / Хабр

В статье рассматривается несколько способов определения математического уравнения линии простой (парной) регрессии.

Все рассматриваемые здесь способы решения уравнения основаны на методе наименьших квадратов. Обозначим способы следующим образом:

  • Аналитическое решение
  • Градиентный спуск
  • Стохастический градиентный спуск

Для каждого из способов решения уравнения прямой, в статье приведены различные функции, которые в основном делятся на те, которые написаны без использования библиотеки

NumPy

и те, которые для проведения расчетов применяют

NumPy

. Считается, что умелое использование

NumPy

позволит сократить затраты на вычисления.

Весь код, приведенный в статье, написан на языке python 2.7 с использованием Jupyter Notebook

. Исходный код и файл с данными выборки выложен на гитхабе

Статья в большей степени ориентирована как на начинающих, так и на тех, кто уже понемногу начал осваивать изучение весьма обширного раздела в искусственном интеллекте — машинного обучения.

Для иллюстрации материала используем очень простой пример.

Условия примера

У нас есть пять значений, которые характеризуют зависимость

Y

от

X

(Таблица №1):

Таблица №1 «Условия примера»

Будем считать, что значения — это месяц года, а — выручка в этом месяце. Другими словами, выручка зависит от месяца года, а — единственный признак, от которого зависит выручка.

Пример так себе, как с точки зрения условной зависимости выручки от месяца года, так и с точки зрения количества значений — их очень мало. Однако такое упрощение позволит, что называется на пальцах, объяснить, не всегда с легкостью, усваиваемый новичками материал. А также простота чисел позволит без весомых трудозатрат, желающим, порешать пример на «бумаге».

Предположим, что приведенная в примере зависимость, может быть достаточно хорошо аппроксимирована математическим уравнением линии простой (парной) регрессии вида:

где

— это месяц, в котором была получена выручка,

— выручка, соответствующая месяцу,

и

— коэффициенты регрессии оцененной линии.

Отметим, что коэффициент часто называют угловым коэффициентом или градиентом оцененной линии; представляет собой величину, на которую изменится при изменении .

Очевидно, что наша задача в примере — подобрать в уравнении такие коэффициенты и , при которых отклонения наших расчетных значений выручки по месяцам от истинных ответов, т.е. значений, представленных в выборке, будут минимальны.

Метод наименьших квадратов

В соответствии с методом наименьших квадратов, отклонение стоит рассчитывать, возводя его в квадрат.

Подобный прием позволяет избежать взаимного погашения отклонений, в том случае, если они имеют противоположные знаки. Например, если в одном случае, отклонение составляет

+5

(плюс пять), а в другом

-5

(минус пять), то сумма отклонений взаимно погасится и составит 0 (ноль). Можно и не возводить отклонение в квадрат, а воспользоваться свойством модуля и тогда у нас все отклонения будут положительными и будут накапливаться. Мы не будем останавливаться на этом моменте подробно, а просто обозначим, что для удобства расчетов, принято возводить отклонение в квадрат.

Вот так выглядит формула, с помощью которой мы определим наименьшую сумму квадратов отклонений (ошибки):

где

— это функция аппроксимации истинных ответов (то есть посчитанная нами выручка),

— это истинные ответы (предоставленная в выборке выручка),

— это индекс выборки (номер месяца, в котором происходит определение отклонения)

Продифференцируем функцию, определим уравнения частных производных и будем готовы перейти к аналитическому решению. Но для начала проведем небольшой экскурс о том, что такое дифференцирование и вспомним геометрический смысл производной.

Дифференцирование

Дифференцированием называется операция по нахождению производной функции.

Для чего нужна производная? Производная функции характеризует скорость изменения функции и указывает нам ее направление. Если производная в заданной точке положительна, то функция возрастает, в обратном случае — функция убывает. И чем больше значение производной по модулю, тем выше скорость изменения значений функции, а также круче угол наклона графика функции.

Например, в условиях декартовой системы координат, значение производной в точке M(0,0) равное +25 означает, что в заданной точке, при смещении значения вправо на условную единицу, значение возрастает на 25 условных единиц. На графике это выглядит, как достаточно крутой угол подъема значений с заданной точки.

Другой пример. Значение производной равное -0,1 означает, что при смещении на одну условную единицу, значение убывает всего лишь на 0,1 условную единицу. При этом, на графике функции, мы можем наблюдать едва заметный наклон вниз. Проводя аналогию с горой, то мы как будто очень медленно спускаемся по пологому склону с горы, в отличие от предыдущего примера, где нам приходилось брать очень крутые вершины:)

Таким образом, проведя дифференцирование функции по коэффициентам и , определим уравнения частных производных 1-го порядка. После определения уравнений, мы получим систему из двух уравнений, решив которую мы сможем подобрать такие значения коэффициентов и , при которых значения соответствующих производных в заданных точках изменяются на очень и очень малую величину, а в случае с аналитическим решением не изменяются вовсе. Другими словами, функция ошибки при найденных коэффициентах достигнет минимума, так как значения частных производных в этих точках будут равны нулю.

Итак, по правилам дифференцирования уравнение частной производной 1-го порядка по коэффициенту примет вид:

уравнение частной производной 1-го порядка по примет вид:

В итоге мы получили систему уравнений, которая имеет достаточно простое аналитическое решение:

\begin{equation*}
\begin{cases}
na + b\sum\limits_{i=1}^nx_i — \sum\limits_{i=1}^ny_i = 0
\\
\sum\limits_{i=1}^nx_i(a +b\sum\limits_{i=1}^nx_i — \sum\limits_{i=1}^ny_i) = 0
\end{cases}
\end{equation*}

Прежде чем решать уравнение, предварительно загрузим, проверим правильность загрузки и отформатируем данные.

Загрузка и форматирование данных

Необходимо отметить, что в связи с тем, что для аналитического решения, а в дальнейшем для градиентного и стохастического градиентного спуска, мы будем применять код в двух вариациях: с использованием библиотеки

NumPy

и без её использования, то нам потребуется соответствующее форматирование данных (см. код).

Код загрузки и обработки данных
# импортируем все нужные нам библиотеки
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import pylab as pl
import random

# графики отобразим в Jupyter
%matplotlib inline

# укажем размер графиков
from pylab import rcParams
rcParams['figure.figsize'] = 12, 6

# отключим предупреждения Anaconda
import warnings
warnings.simplefilter('ignore')

# загрузим значения
table_zero = pd.read_csv('data_example.txt', header=0, sep='\t')

# посмотрим информацию о таблице и на саму таблицу
print table_zero.info()
print '********************************************'
print table_zero
print '********************************************'

# подготовим данные без использования NumPy

x_us = []
[x_us. append(float(i)) for i in table_zero['x']]
print x_us
print type(x_us)
print '********************************************'

y_us = []
[y_us.append(float(i)) for i in table_zero['y']]
print y_us
print type(y_us)
print '********************************************'

# подготовим данные с использованием NumPy

x_np = table_zero[['x']].values
print x_np
print type(x_np)
print x_np.shape
print '********************************************'

y_np = table_zero[['y']].values
print y_np
print type(y_np)
print y_np.shape
print '********************************************'


Визуализация

Теперь, после того, как мы, во-первых, загрузили данные, во-вторых, проверили правильность загрузки и наконец отформатировали данные, проведем первую визуализацию. Часто для этого используют метод

pairplot

библиотеки

Seaborn

. В нашем примере, ввиду ограниченности цифр нет смысла применять библиотеку

Seaborn

. Мы воспользуемся обычной библиотекой

Matplotlib

и посмотрим только на диаграмму рассеяния. ny_i) = 0
\end{cases}
\end{equation*}

По правилу Крамера найдем общий определитель, а также определители по и по , после чего, разделив определитель по на общий определитель — найдем коэффициент , аналогично найдем коэффициент .

Код аналитического решения
# определим функцию для расчета коэффициентов a и b по правилу Крамера
def Kramer_method (x,y):
        # сумма значений (все месяца)
    sx = sum(x)
        # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = sum(y)
        # сумма произведения значений на истинные ответы
    list_xy = []
    [list_xy.append(x[i]*y[i]) for i in range(len(x))]
    sxy = sum(list_xy)
        # сумма квадратов значений
    list_x_sq = []
    [list_x_sq.append(x[i]**2) for i in range(len(x))]
    sx_sq = sum(list_x_sq)
        # количество значений
    n = len(x)
        # общий определитель
    det = sx_sq*n - sx*sx
        # определитель по a
    det_a = sx_sq*sy - sx*sxy
        # искомый параметр a
    a = (det_a / det)
        # определитель по b
    det_b = sxy*n - sy*sx
        # искомый параметр b
    b = (det_b / det)
        # контрольные значения (прооверка)
    check1 = (n*b + a*sx - sy)
    check2 = (b*sx + a*sx_sq - sxy)
    return [round(a,4), round(b,4)]

# запустим функцию и запишем правильные ответы
ab_us = Kramer_method(x_us,y_us)
a_us = ab_us[0]
b_us = ab_us[1]
print '\033[1m' + '\033[4m' + "Оптимальные значения коэффициентов a и b:"  + '\033[0m' 
print 'a =', a_us
print 'b =', b_us
print

# определим функцию для подсчета суммы квадратов ошибок
def errors_sq_Kramer_method(answers,x,y):
    list_errors_sq = []
    for i in range(len(x)):
        err = (answers[0] + answers[1]*x[i] - y[i])**2
        list_errors_sq. append(err)
    return sum(list_errors_sq)

# запустим функцию и запишем значение ошибки
error_sq = errors_sq_Kramer_method(ab_us,x_us,y_us)
print '\033[1m' + '\033[4m' + "Сумма квадратов отклонений" + '\033[0m'
print error_sq
print

# замерим время расчета
# print '\033[1m' + '\033[4m' + "Время выполнения расчета суммы квадратов отклонений:" + '\033[0m'
# % timeit error_sq = errors_sq_Kramer_method(ab,x_us,y_us)

Вот, что у нас получилось:

Итак, значения коэффициентов найдены, сумма квадратов отклонений установлена. Нарисуем на гистограмме рассеяния прямую линию в соответствии с найденными коэффициентами.

Код линии регрессии
# определим функцию для формирования массива рассчетных значений выручки
def sales_count(ab,x,y):
    line_answers = []
    [line_answers.append(ab[0]+ab[1]*x[i]) for i in range(len(x))]
    return line_answers

# построим графики
print 'Грфик№2 "Правильные и расчетные ответы"'
plt.plot(x_us,y_us,'o',color='green',markersize=16, label = '$True$ $answers$')
plt. plot(x_us, sales_count(ab_us,x_us,y_us), color='red',lw=4,
         label='$Function: a + bx,$ $where$ $a='+str(round(ab_us[0],2))+',$ $b='+str(round(ab_us[1],2))+'$')
plt.xlabel('$Months$', size=16)
plt.ylabel('$Sales$', size=16)
plt.legend(loc=1, prop={'size': 16})
plt.show()


График №2 «Правильные и расчетные ответы»

Можно посмотреть на график отклонений за каждый месяц. В нашем случае, какой-либо значимой практической ценности мы из него не вынесем, но удовлетворим любопытство в том, насколько хорошо, уравнение простой линейной регрессии характеризует зависимость выручки от месяца года.

Код графика отклонений
# определим функцию для формирования массива отклонений в процентах
def error_per_month(ab,x,y):
    sales_c = sales_count(ab,x,y)
    errors_percent = []
    for i in range(len(x)):
        errors_percent.append(100*(sales_c[i]-y[i])/y[i])
    return errors_percent

# построим график
print 'График№3 "Отклонения по-месячно, %"'
plt. gca().bar(x_us, error_per_month(ab_us,x_us,y_us), color='brown')
plt.xlabel('Months', size=16)
plt.ylabel('Calculation error, %', size=16)
plt.show()


График №3 «Отклонения, %»

Не идеально, но нашу задачу мы выполнили.

Напишем функцию, которая для определения коэффициентов и использует библиотеку NumPy, точнее — напишем две функции: одну с использованием псевдообратной матрицы (не рекомендуется на практике, так как процесс вычислительно сложный и нестабильный), другую с использованием матричного уравнения.

Код аналитического решения (NumPy)
# для начала добавим столбец с не изменяющимся значением в 1. 
# Данный столбец нужен для того, чтобы не обрабатывать отдельно коэффицент a
vector_1 = np.ones((x_np.shape[0],1))
x_np = table_zero[['x']].values # на всякий случай приведем в первичный формат вектор x_np
x_np = np.hstack((vector_1,x_np))

# проверим то, что все сделали правильно
print vector_1[0:3]
print x_np[0:3]
print '***************************************'
print

# напишем функцию, которая определяет значения коэффициентов a и b с использованием псевдообратной матрицы
def pseudoinverse_matrix(X, y):
    # задаем явный формат матрицы признаков
    X = np. matrix(X)
    # определяем транспонированную матрицу
    XT = X.T
    # определяем квадратную матрицу
    XTX = XT*X
    # определяем псевдообратную матрицу
    inv = np.linalg.pinv(XTX)
    # задаем явный формат матрицы ответов
    y = np.matrix(y)
    # находим вектор весов
    return (inv*XT)*y

# запустим функцию
ab_np = pseudoinverse_matrix(x_np, y_np)
print ab_np
print '***************************************'
print

# напишем функцию, которая использует для решения матричное уравнение
def matrix_equation(X,y):
    a = np.dot(X.T, X)
    b = np.dot(X.T, y)
    return np.linalg.solve(a, b)

# запустим функцию
ab_np = matrix_equation(x_np,y_np)
print ab_np

Сравним время, которое было затрачено на определение коэффициентов

и

, в соответствии с 3-мя представленными способами.

Код для вычисления времени расчетов
print '\033[1m' + '\033[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов без использования библиотеки NumPy:" + '\033[0m'
% timeit ab_us = Kramer_method(x_us,y_us)
print '***************************************'
print
print '\033[1m' + '\033[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов с использованием псевдообратной матрицы:" + '\033[0m'
%timeit ab_np = pseudoinverse_matrix(x_np, y_np)
print '***************************************'
print
print '\033[1m' + '\033[4m' + "Время выполнения расчета коэффициентов с использованием матричного уравнения:" + '\033[0m'
%timeit ab_np = matrix_equation(x_np, y_np)


На небольшом количестве данных, вперед выходит «самописная» функция, которая находит коэффициенты методом Крамера.

Теперь можно перейти к другим способам нахождения коэффициентов и .

Градиентный спуск

Для начала определим, что такое градиент. По-простому, градиент — это отрезок, который указывает направление максимального роста функции. По аналогии с подъемом в гору, то куда смотрит градиент, там и есть самый крутой подъем к вершине горы. Развивая пример с горой, вспоминаем, что на самом деле нам нужен самый крутой спуск, чтобы как можно быстрее достичь низины, то есть минимума — места где функция не возрастает и не убывает. В этом месте производная будет равна нулю. Следовательно, нам нужен не градиент, а антиградиент. Для нахождения антиградиента нужно всего лишь умножить градиент на

-1

(минус один).

Обратим внимание на то, что функция может иметь несколько минимумов, и опустившись в один из них по предложенному далее алгоритму, мы не сможем найти другой минимум, который возможно находится ниже найденного. Расслабимся, нам это не грозит! В нашем случае мы имеем дело с единственным минимумом, так как наша функция на графике представляет собой обычную параболу. А как мы все должны прекрасно знать из школьного курса математики — у параболы существует только один минимум.

После того, как мы выяснили для чего нам потребовался градиент, а также то, что градиент — это отрезок, то есть вектор с заданными координатами, которые как раз являются теми самыми коэффициентами и мы можем реализовать градиентный спуск.

Перед запуском, предлагаю прочитать буквально несколько предложений об алгоритме спуска:

  • Определяем псевдослучайным образом координаты коэффициентов и . В нашем примере, мы будем определять коэффициенты вблизи нуля. Это является распространённой практикой, однако для каждого случая может быть предусмотрена своя практика.
  • От координаты вычитаем значение частной производной 1-го порядка в точке . Так, если производная будет положительная, то функция возрастает. Следовательно, отнимая значение производной, мы будем двигаться в обратную сторону роста, то есть в сторону спуска. Если производная отрицательна, значит функция в этой точке убывает и отнимая значение производной мы двигаемся в сторону спуска.
  • Проводим аналогичную операцию с координатой : вычитаем значение частной производной в точке .
  • Для того, чтобы не перескочить минимум и не улететь в далекий космос, необходимо установить размер шага в сторону спуска. В общем и целом, можно написать целую статью о том, как правильнее установить шаг и как его менять в процессе спуска, чтобы снизить затраты на вычисления. Но сейчас перед нами несколько иная задача, и мы научным методом «тыка» или как говорят в простонародье, эмпирическим путем, установим размер шага.
  • После того, как мы из заданных координат и вычли значения производных, получаем новые координаты и . Делаем следующий шаг (вычитание), уже из рассчитанных координат. И так цикл запускается вновь и вновь, до тех пор, пока не будет достигнута требуемая сходимость.

Все! Теперь мы готовы отправиться на поиски самого глубокого ущелья Марианской впадины. Приступаем.

Код для градиентного спуска
# напишем функцию градиентного спуска без использования библиотеки NumPy.  
# Функция на вход принимает диапазоны значений x,y, длину шага (по умолчанию=0,1), допустимую погрешность(tolerance)
def gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001):
    # сумма значений (все месяца)
    sx = sum(x_us)
    # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = sum(y_us)
    # сумма произведения значений на истинные ответы
    list_xy = []
    [list_xy.append(x_us[i]*y_us[i]) for i in range(len(x_us))]
    sxy = sum(list_xy)
    # сумма квадратов значений
    list_x_sq = []
    [list_x_sq.append(x_us[i]**2) for i in range(len(x_us))]
    sx_sq = sum(list_x_sq)
    # количество значений
    num = len(x_us)
    # начальные значения коэффициентов, определенные псевдослучайным образом
    a = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    b = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    # создаем массив с ошибками, для старта используем значения 1 и 0
    # после завершения спуска стартовые значения удалим
    errors = [1,0]
    # запускаем цикл спуска
    # цикл работает до тех пор, пока отклонение последней ошибки суммы квадратов от предыдущей, не будет меньше tolerance
    while abs(errors[-1]-errors[-2]) > tolerance:
        a_step = a - l*(num*a + b*sx - sy)/num
        b_step = b - l*(a*sx + b*sx_sq - sxy)/num
        a = a_step
        b = b_step
        ab = [a,b]
        errors. append(errors_sq_Kramer_method(ab,x_us,y_us))
    return (ab),(errors[2:])

# запишем массив значений 
list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0.1,tolerance=0.000000000001)


print '\033[1m' + '\033[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '\033[0m'
print 'a =', round(list_parametres_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_gradient_descence[0][1],3)
print


print '\033[1m' + '\033[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '\033[0m'
print round(list_parametres_gradient_descence[1][-1],3)
print



print '\033[1m' + '\033[4m' + "Количество итераций в градиентном спуске:" + '\033[0m'
print len(list_parametres_gradient_descence[1])
print


Мы погрузились на самое дно Марианской впадины и там обнаружили все те же значения коэффициентов и , что собственно и следовало ожидать.

Совершим еще одно погружение, только на этот раз, начинкой нашего глубоководного аппарата будут иные технологии, а именно библиотека NumPy.

Код для градиентного спуска (NumPy)
# перед тем определить функцию для градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy, 
# напишем функцию определения суммы квадратов отклонений также с использованием NumPy
def error_square_numpy(ab,x_np,y_np):
    y_pred = np.dot(x_np,ab)
    error = y_pred - y_np
    return sum((error)**2)

# напишем функцию градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy. 
# Функция на вход принимает диапазоны значений x,y, длину шага (по умолчанию=0,1), допустимую погрешность(tolerance)
def gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001):
    # сумма значений (все месяца)
    sx = float(sum(x_np[:,1]))
    # сумма истинных ответов (выручка за весь период)
    sy = float(sum(y_np))
    # сумма произведения значений на истинные ответы
    sxy = x_np*y_np
    sxy = float(sum(sxy[:,1]))
    # сумма квадратов значений
    sx_sq = float(sum(x_np[:,1]**2))
    # количество значений
    num = float(x_np.shape[0])
    # начальные значения коэффициентов, определенные псевдослучайным образом
    a = float(random. uniform(-0.5, 0.5))
    b = float(random.uniform(-0.5, 0.5))
    # создаем массив с ошибками, для старта используем значения 1 и 0
    # после завершения спуска стартовые значения удалим
    errors = [1,0]
    # запускаем цикл спуска
    # цикл работает до тех пор, пока отклонение последней ошибки суммы квадратов от предыдущей, не будет меньше tolerance
    while abs(errors[-1]-errors[-2]) > tolerance:
        a_step = a - l*(num*a + b*sx - sy)/num
        b_step = b - l*(a*sx + b*sx_sq - sxy)/num
        a = a_step
        b = b_step
        ab = np.array([[a],[b]])
        errors.append(error_square_numpy(ab,x_np,y_np))
    return (ab),(errors[2:])

# запишем массив значений 
list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001)

print '\033[1m' + '\033[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '\033[0m'
print 'a =', round(list_parametres_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_gradient_descence[0][1],3)
print


print '\033[1m' + '\033[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '\033[0m'
print round(list_parametres_gradient_descence[1][-1],3)
print

print '\033[1m' + '\033[4m' + "Количество итераций в градиентном спуске:" + '\033[0m'
print len(list_parametres_gradient_descence[1])
print


Значения коэффициентов

и

неизменны.

Посмотрим на то, как изменялась ошибка при градиентном спуске, то есть как изменялась сумма квадратов отклонений с каждым шагом.

Код для графика сумм квадратов отклонений
print 'График№4 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_gradient_descence[1])), list_parametres_gradient_descence[1], color='red', lw=3)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

График №4 «Сумма квадратов отклонений при градиентном спуске»

На графике мы видим, что с каждым шагом ошибка уменьшается, а спустя какое-то количество итераций наблюдаем практически горизонтальную линию.

Напоследок оценим разницу во времени исполнения кода:

Код для определения времени вычисления градиентного спуска
print '\033[1m' + '\033[4m' + "Время выполнения градиентного спуска без использования библиотеки NumPy:" + '\033[0m'
%timeit list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_usual(x_us,y_us,l=0. 1,tolerance=0.000000000001)
print '***************************************'
print

print '\033[1m' + '\033[4m' + "Время выполнения градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy:" + '\033[0m'
%timeit list_parametres_gradient_descence = gradient_descent_numpy(x_np,y_np,l=0.1,tolerance=0.000000000001)


Возможно мы делаем что-то не то, но опять простая «самописная» функция, которая не использует библиотеку NumPy опережает по времени выполнения расчетов функцию, использующую библиотеку NumPy.

Но мы не стоим на месте, а двигаемся в сторону изучения еще одного увлекательного способа решения уравнения простой линейной регрессии. Встречайте!

Стохастический градиентный спуск

Для того, чтобы быстрее понять принцип работы стохастического градиентного спуска, лучше определить его отличия от обычного градиентного спуска. Мы, в случае с градиентным спуском, в уравнениях производных от

и

использовали суммы значений всех признаков и истинных ответов, имеющихся в выборке (то есть суммы всех

и

). В стохастическом градиентном спуске мы не будем использовать все значения, имеющиеся в выборке, а вместо этого, псевдослучайным образом выберем так называемый индекс выборки и используем его значения.

Например, если индекс определился за номером 3 (три), то мы берем значения и , далее подставляем значения в уравнения производных и определяем новые координаты. Затем, определив координаты, мы опять псевдослучайным образом определяем индекс выборки, подставляем значения, соответствующие индексу в уравнения частных производных, по новому определяем координаты и и т.д. до позеленения сходимости. На первый взгляд, может показаться, как это вообще может работать, однако работает. Правда стоит отметить, что не с каждым шагом уменьшается ошибка, но тенденция безусловно имеется.

Каковы преимущества стохастического градиентного спуска перед обычным? В случае, если у нас размер выборки очень велик и измеряется десятками тысяч значений, то значительно проще обработать, допустим случайную тысячу из них, нежели всю выборку. Вот в этом случае и запускается стохастический градиентный спуск. В нашем случае мы конечно же большой разницы не заметим.

Смотрим код.

Код для стохастического градиентного спуска
# определим функцию стох.град.шага
def stoch_grad_step_usual(vector_init, x_us, ind, y_us, l):
#     выбираем значение икс, которое соответствует случайному значению параметра ind 
# (см.ф-цию stoch_grad_descent_usual)
    x = x_us[ind]
#     рассчитывыаем значение y (выручку), которая соответствует выбранному значению x
    y_pred = vector_init[0] + vector_init[1]*x_us[ind]
#     вычисляем ошибку расчетной выручки относительно представленной в выборке
    error = y_pred - y_us[ind]
#     определяем первую координату градиента ab
    grad_a = error
#     определяем вторую координату ab
    grad_b = x_us[ind]*error
#     вычисляем новый вектор коэффициентов
    vector_new = [vector_init[0]-l*grad_a, vector_init[1]-l*grad_b]
    return vector_new


# определим функцию стох.град.спуска
def stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0. 1, steps = 800):
#     для самого начала работы функции зададим начальные значения коэффициентов
    vector_init = [float(random.uniform(-0.5, 0.5)), float(random.uniform(-0.5, 0.5))]
    errors = []
#     запустим цикл спуска
# цикл расчитан на определенное количество шагов (steps)
    for i in range(steps):
        ind = random.choice(range(len(x_us)))
        new_vector = stoch_grad_step_usual(vector_init, x_us, ind, y_us, l)
        vector_init = new_vector
        errors.append(errors_sq_Kramer_method(vector_init,x_us,y_us))
    return (vector_init),(errors)


# запишем массив значений 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.1, steps = 800)

print '\033[1m' + '\033[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '\033[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print '\033[1m' + '\033[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '\033[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print

print '\033[1m' + '\033[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + '\033[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])


Смотрим внимательно на коэффициенты и ловим себя на вопросе «Как же так?». У нас получились другие значения коэффициентов и . Может быть стохастический градиентный спуск нашел более оптимальные параметры уравнения? Увы, нет. Достаточно посмотреть на сумму квадратов отклонений и увидеть, что при новых значениях коэффициентов, ошибка больше. Не спешим отчаиваться. Построим график изменения ошибки.

Код для графика суммы квадратов отклонений при стохастическом градиентном спуске
print 'График №5 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])), list_parametres_stoch_gradient_descence[1], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()


График №5 «Сумма квадратов отклонений при стохастическом градиентном спуске»

Посмотрев на график, все становится на свои места и сейчас мы все исправим.

Итак, что же произошло? Произошло следующее. Когда мы выбираем случайным образом месяц, то именно для выбранного месяца наш алгоритм стремится уменьшить ошибку в расчете выручки. Затем выбираем другой месяц и повторяем расчет, но ошибку уменьшаем уже для второго выбранного месяца. А теперь вспомним, что у нас первые два месяца существенно отклоняются от линии уравнения простой линейной регрессии. Это значит, что когда выбирается любой из этих двух месяцев, то уменьшая ошибку каждого из них, наш алгоритм серьезно увеличивает ошибку по всей выборке. Так что же делать? Ответ простой: надо уменьшить шаг спуска. Ведь уменьшив шаг спуска, ошибка так же перестанет «скакать» то вверх, то вниз. Вернее, ошибка «скакать» не перестанет, но будет это делать не так прытко:) Проверим.

Код для запуска SGD с меньшим шагом
# запустим функцию, уменьшив шаг в 100 раз и увеличив количество шагов соответсвующе 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.001, steps = 80000)

print '\033[1m' + '\033[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '\033[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print '\033[1m' + '\033[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '\033[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print



print '\033[1m' + '\033[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + '\033[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])

print 'График №6 "Сумма квадратов отклонений по-шагово"'
plt. plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])), list_parametres_stoch_gradient_descence[1], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()


График №6 «Сумма квадратов отклонений при стохастическом градиентном спуске (80 тыс. шагов)»

Значения коэффициентов улучшились, но все равно не идеальны. Гипотетически это можно поправить таким образом. Выбираем, например, на последних 1000 итерациях значения коэффициентов, с которыми была допущена минимальная ошибка. Правда нам для этого придется записывать еще и сами значения коэффициентов. Мы не будем этого делать, а лучше обратим внимание на график. Он выглядит гладким, и ошибка как будто уменьшается равномерно. На самом деле это не так. Посмотрим на первые 1000 итераций и сравним их с последними.

Код для графика SGD (первые 1000 шагов)
print 'График №7 "Сумма квадратов отклонений по-шагово. Первые 1000 итераций"'
plt. plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][:1000])), 
         list_parametres_stoch_gradient_descence[1][:1000], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()

print 'График №7 "Сумма квадратов отклонений по-шагово. Последние 1000 итераций"'
plt.plot(range(len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1000:])), 
         list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1000:], color='red', lw=2)
plt.xlabel('Steps (Iteration)', size=16)
plt.ylabel('Sum of squared deviations', size=16)
plt.show()


График №7 «Сумма квадратов отклонений SGD (первые 1000 шагов)»

График №8 «Сумма квадратов отклонений SGD (последние 1000 шагов)»

В самом начале спуска мы наблюдаем достаточно равномерное и крутое уменьшение ошибки. На последних итерациях мы видим, что ошибка ходит вокруг да около значения в 1,475 и в некоторые моменты даже равняется этому оптимальному значению, но потом все равно уходит ввысь… Повторюсь, можно записывать значения коэффициентов и , а потом выбрать те, при которых ошибка минимальна. Однако у нас возникла проблема посерьезнее: нам пришлось сделать 80 тыс. шагов (см. код), чтобы получить значения, близкие к оптимальным. А это, уже противоречит идее об экономии времени вычислений при стохастическом градиентном спуске относительно градиентного. Что можно поправить и улучшить? Не трудно заметить, что на первых итерациях мы уверенно идем вниз и, следовательно, нам стоит оставить большой шаг на первых итерациях и по мере продвижения вперед шаг уменьшать. Мы не будем этого делать в этой статье — она и так уже затянулась. Желающие могут и сами подумать, как это сделать, это не сложно 🙂

Теперь выполним стохастический градиентный спуск, используя библиотеку NumPy (и не будем спотыкаться о камни, которые мы выявили раннее)

Код для стохастического градиентного спуска (NumPy)
# для начала напишем функцию градиентного шага
def stoch_grad_step_numpy(vector_init, X, ind, y, l):
    x = X[ind]
    y_pred = np.dot(x,vector_init)
    err = y_pred - y[ind]
    grad_a = err
    grad_b = x[1]*err
    return vector_init - l*np. array([grad_a, grad_b])

# определим функцию стохастического градиентного спуска
def stoch_grad_descent_numpy(X, y, l=0.1, steps = 800):
    vector_init = np.array([[np.random.randint(X.shape[0])], [np.random.randint(X.shape[0])]])
    errors = []
    for i in range(steps):
        ind = np.random.randint(X.shape[0])
        new_vector = stoch_grad_step_numpy(vector_init, X, ind, y, l)
        vector_init = new_vector
        errors.append(error_square_numpy(vector_init,X,y))
    return (vector_init), (errors)

# запишем массив значений 
list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_numpy(x_np, y_np, l=0.001, steps = 80000)

print '\033[1m' + '\033[4m' + "Значения коэффициентов a и b:" + '\033[0m'
print 'a =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][0],3)
print 'b =', round(list_parametres_stoch_gradient_descence[0][1],3)
print


print '\033[1m' + '\033[4m' + "Сумма квадратов отклонений:" + '\033[0m'
print round(list_parametres_stoch_gradient_descence[1][-1],3)
print



print '\033[1m' + '\033[4m' + "Количество итераций в стохастическом градиентном спуске:" + '\033[0m'
print len(list_parametres_stoch_gradient_descence[1])
print


Значения получились почти такими же, как и при спуске без использования NumPy. Впрочем, это логично.

Узнаем сколько же времени занимали у нас стохастические градиентные спуски.

Код для определения времени вычисления SGD (80 тыс. шагов)
print '\033[1m' + '\033[4m' +\
"Время выполнения стохастического градиентного спуска без использования библиотеки NumPy:"\
+ '\033[0m'
%timeit list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_usual(x_us, y_us, l=0.001, steps = 80000)
print '***************************************'
print

print '\033[1m' + '\033[4m' +\
"Время выполнения стохастического градиентного спуска с использованием библиотеки NumPy:"\
+ '\033[0m'
%timeit list_parametres_stoch_gradient_descence = stoch_grad_descent_numpy(x_np, y_np, l=0.001, steps = 80000)


Чем дальше в лес, тем темнее тучи: опять «самописная» формула показывает лучший результат. Все это наводит на мысли о том, что должны существовать еще более тонкие способы использования библиотеки NumPy, которые действительно ускоряют операции вычислений. В этой статье мы о них уже не узнаем. Будет о чем подумать на досуге:)

Резюмируем

Перед тем как резюмировать, хотелось бы ответить на вопрос, который скорее всего, возник у нашего дорогого читателя. Для чего, собственно, такие «мучения» со спусками, зачем нам ходить по горе вверх и вниз (преимущественно вниз), чтобы найти заветную низину, если в наших руках такой мощный и простой прибор, в виде аналитического решения, который мгновенно телепортирует нас в нужное место?

Ответ на этот вопрос лежит на поверхности. Сейчас мы разбирали очень простой пример, в котором истинный ответ зависит от одного признака . В жизни такое встретишь не часто, поэтому представим, что у нас признаков 2, 30, 50 или более. Добавим к этому тысячи, а то и десятки тысяч значений для каждого признака. В этом случае аналитическое решение может не выдержать испытания и дать сбой. В свою очередь градиентный спуск и его вариации будут медленно, но верно приближать нас к цели — минимуму функции. А на счет скорости не волнуйтесь — мы наверняка еще разберем способы, которые позволят нам задавать и регулировать длину шага (то есть скорость).

А теперь собственно краткое резюме.

Во-первых, надеюсь, что изложенный в статье материал, поможет начинающим «дата сайнтистам» в понимании того, как решать уравнения простой (и не только) линейной регрессии.

Во-вторых, мы рассмотрели несколько способов решения уравнения. Теперь, в зависимости от ситуации, мы можем выбрать тот, который лучше всего подходит для решения поставленной задачи.

В-третьих, мы увидели силу дополнительных настроек, а именно длины шага градиентного спуска. Этим параметром нельзя пренебрегать. Как было подмечено выше, с целью сокращения затрат на проведение вычислений, длину шага стоит изменять по ходу спуска.

В-четвертых, в нашем случае, «самописные» функции показали лучший временной результат вычислений. Вероятно, это связано с не самым профессиональным применением возможностей библиотеки NumPy. Но как бы то ни было, вывод напрашивается следующий. С одной стороны, иногда стоит подвергать сомнению устоявшиеся мнения, а с другой — не всегда стоит все усложнять — наоборот иногда эффективнее оказывается более простой способ решения задачи. А так как цель у нас была разобрать три подхода в решении уравнения простой линейной регрессии, то использование «самописных» функций нам вполне хватило.

Предыдущая работа автора — «Исследуем утверждение центральной предельной теоремы с помощью экспоненциального распределения»
Следующая работа автора — «Приводим уравнение линейной регрессии в матричный вид»

Литература (или что-то вроде того)

1. Линейная регрессия

http://statistica.ru/theory/osnovy-lineynoy-regressii/

2. Метод наименьших квадратов

mathprofi.ru/metod_naimenshih_kvadratov.html

3. Производная

www.mathprofi.ru/chastnye_proizvodnye_primery.html

4. Градиент

mathprofi.ru/proizvodnaja_po_napravleniju_i_gradient.html

5. Градиентный спуск

habr.com/ru/post/471458

habr.com/ru/post/307312

artemarakcheev.com//2017-12-31/linear_regression

6. Библиотека NumPy

docs.scipy.org/doc/numpy-1.10.1/reference/generated/numpy. linalg.solve.html

docs.scipy.org/doc/numpy-1.10.0/reference/generated/numpy.linalg.pinv.html

pythonworld.ru/numpy/2.html

Показательные уравнения. Решения

Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов — теоретического материала об уравнениях.
Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения ax=b решают логарифмированием x=log[a](b).

При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.
Из равенства следует или .

Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения. Например уравнения
легко сводится к квадратному если сделать замену
При этом исходное уравнение примет вид
После его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.
Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.
Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.

На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.

Пример 1.Решить показательное уравнение

Решение. Перепишем уравнение к следующему виду

Второе слагаемое распишем как произведение

и сделаем замену в уравнении

Исходное уравнение преобразуем к следующему

Областью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.
Умножим его на y и переносим все в левую сторону

Получили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значения

Возвращаемся к замене и находим решения


Выполняем проверку


Итак оба решения удовлетворяют уравнению.

 

Пример 2. Решить показательное уравнение

Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в виде

Приравнивая показатели находим

 

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.


Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминант

Корни уравнения приобретут значения



Другого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.

 

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение

Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получим

Выполняем замену

Уравнение превратится к квадратному


Вычисляем дискриминант

Найденное значение подставляем в формулу корней


Возвращаемся к замене и находим


Задача решена.

 

Пример 5.Решить уравнение

Решение. Такого типа уравнения решают с постоянной основой . За основу классически берут 10 , однако , если взять другую (для данного примера 5 или 9 ) то решение примет компактный вид
Рассмотрим оба метода.
1. Прологарифмируем обе части равенства

Раскрываем скобки и группируем слагаемые при неизвестных


Такой интересный результат.

2. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 9

Группируя слагаемые содержащие переменную получим


Оба метода достаточно быстрые и эффективные, для себя выбирайте который Вам больше подходит.

 

Пример 6.Решить уравнение

Решение.Такого рода задачи решают по следующей схеме. Показательное уравнения превращают к виду

Все слагаемые разделяем на величину чтобы свести к дробному виду

После этого выполняем замену

Уравнение переписываем в виде

Умножаем на переменную и решаем квадратное уравнение


Дискриминант принимает нулевое значение, при етом корни уравнения совпадают

Возвращаемся к замене и решаем


Итак x=2 — единственное решение.
Используйте приведенную схему в подобных задач и гарантированно получите верный результат.

 

Пример 7. Решить уравнение

Решение. На первый взгляд уравнения достаточно сложное и неизвестно как его упрощать, однако схема решения данного примера и подобных довольно проста и интересна. Выполним над уравнением преобразования

Нужно это уравнение преобразовать к квадратному



Выполним замену

и перепишем уравнение в виде следуещого

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Возвращаемся к совершенной замене

Такое уравнение сводим к квадратному, выполнив замену

В результате получим

Решаем через дискриминант


Возвращаемся к замене и определяем переменную x

Второе значение рассматривать не будем, поскольку оно отрицательное, а показательная функция всюду положительная.
Решаем вторую половину задачи

Используя предыдущую замену получим

Дискриминант примет значение

Находим корни уравнения

Первый корень имеет место бить, второй — отрицательный и не подходит.

Получили два решения показательного уравнения

Хорошо разберитесь с приведенными методами решения показательных уравнений, возможно некоторые из них пригодятся при прохождении ВНО, экзамене или контрольной работе. Будьте внимательны при упрощении, первое время используйте подстановку для проверки результатов.

Похожие материалы:

Решаем уравнения . Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

История теории групп уходит корнями в древние таблички вавилонян с решениями квадратных уравнений. Методы вавилонян преследуют прежде всего практические цели. Это была вычислительная методика, и, судя по всему, никто из древних особо не задавался глубокими вопросами, когда ею пользовался. Если вы умеете извлекать квадратные корни и владеете основами арифметики, то сумеете решить и квадратные уравнения.

Было найдено несколько свидетельств на глиняных табличках, что вавилоняне также подступались к решению кубических уравнений и даже уравнений четвертой степени. Греки, а вслед за ними и арабы открыли геометрические способы решения кубических уравнений с помощью конических сечений. (Мы сейчас знаем, что традиционные евклидовы линии и окружности не могут точно решить эту проблему. Здесь необходимо нечто более изощренное; так случилось, что эту работу взяли на себя конические сечения.) Одной из самых заметных фигур в этой области был персидский мыслитель Омар Хайям. Он решил все возможные виды кубических уравнений с помощью целой системы геометрических методов. Однако, как мы видели, алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени появилось в эпоху Возрождения в работах дель Ферро, Тартальи, Фиоре, Кардано и его ученика Феррари.

Формулы, которые появились в их работах, были простыми, но зачастую с беспорядочными деталями. Вы можете решить любое кубическое уравнение, используя арифметические операции плюс квадратные корни плюс корни кубические. Вы можете решить любое уравнение четвертой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой степени, – хотя последние могут быть сведены к двум последовательно взятым квадратным корням. Создавалось впечатление, что эту закономерность можно продолжать, так что вы сможете решить любое уравнение пятой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой и пятой степеней. И так далее – для уравнений любой степени. Да, понятно, что все эти формулы чрезвычайно сложны, и их поиск – еще более трудное дело, но практически ни у кого не возникало сомнений, что они существуют.

Шли века, но почему-то ни одна из этих формул не была открыта. И кое-кто из маститых математиков решил присмотреться повнимательнее к данной области, чтобы понять, что действительно происходит за ее кулисами, унифицировать известные методы и упростить их так, чтобы стало понятно, почему они работают. Тогда, как они полагали, это будет просто вопрос применения одних и тех же общих принципов, и уравнение пятой степени раскроет свои тайны.

Самую успешную и систематичную работу в этом направлении проделал Лагранж. Он переосмыслил классические формулы с точки зрения решений, которые собирался найти. Он утверждал, что важнее всего понять, как ведут себя в этих решениях определенные алгебраические выражения, когда вы ищете корни. Они будут перегруппированы, перестроены, примут другой вид. Он знал, что любое полностью симметричное выражение, зависящее от корней, которое остается неизменным, как бы ни менялся порядок корней при решении, может быть выражено через коэффициенты уравнения, становясь таким образом известной величиной. Более интересны были выражения, получавшие несколько разных значений, когда корни решения переставлялись. Казалось, здесь и зарыт ключ к общему принципу решения уравнений.

СИММЕТРИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Возьмем квадратное уравнение, немного упростив его форму:

x2 + px + q = 0.

Предположим, есть два решения (корня) x = a и x = b:

x2 + px + q = (x – a) (x – b).

Нам известно из школьного курса, что

a + b = –p ab = q.

Значит, хотя мы всё еще не знаем корней, нам известны их сумма и произведение.

Почему так вышло? Сумма a + b равна сумме b + a – она не меняется от перестановки корней. То же верно и для ab = ba. Получается, любая симметричная функция, зависящая от корней, может быть выражена через коэффициенты p и q. Верно и обратное: любое выражение для p и q всегда является симметричной функцией от a и b. Если смотреть шире, связь между корнями уравнения и коэффициентами определяется свойствами симметрии.

Асимметричные функции так себя не ведут. Хороший пример – разница a – b. Если мы меняем местами a и b, получаем b – a, т. е. другое значение. Однако – и это важнейшее наблюдение – оно не совсем другое. Это то, что мы получим из a – b, сменив его знак. Так что квадрат (a – b)2 полностью симметричен. Но любая полностью симметричная функция от корней должна быть неким выражением в коэффициентах. Извлеките квадратный корень, и вы получите выражение для a – b через коэффициенты, где не используется ничего более загадочного, чем квадратный корень. Мы уже знаем: a + b = –p. Также нам известно и a – b; сумма двух этих чисел равна 2а, а разница 2b. Поделив на 2, мы получим формулы для a и b.

Всё это мы проделали, чтобы доказать, что должна существовать формула для корней a и b, не включающая ничего более загадочного, чем квадратный корень, основанная на общих свойствах симметрии алгебраических выражений. Это впечатляет: мы доказали, что у задачи есть решение, не вдаваясь в запутанные детали и объяснения, что есть что. И в каком-то смысле мы отследили, почему древние вавилоняне смогли найти свой метод. Это небольшое исследование наделяет слово «понимать» новым смыслом. Вы можете понять, как метод вавилонян привел к решению, пройдя поочередно все этапы и убедившись в их логике. Но теперь мы знаем, почему здесь непременно должен быть такой метод, – не показав конкретное решение, но рассмотрев общие свойства предполагаемых корней. В данном случае таким ключевым свойством оказалась симметрия.

Не требуя больших усилий для того, чтобы вывести точное выражение для (a – b)2, этот прием дает нам формулу решения. Она эквивалента и той формуле, которую мы учили в школе, и методу, использованному в Вавилоне.

Чувство математической формы и красоты, очень высоко развитое у Лагранжа, подсказало ему, что здесь и кроется главная идея. Если что-то похожее можно получить для кубических уравнений и уравнений четвертой степени, должна быть возможность найти решения и для пятой степени.

Используя ту же основную идею, мы выясняем, что частично симметричные функции от корней позволяют свести кубическое уравнение к квадратному. Для его решения нужен квадратный корень, а благодаря сведению можно избавиться от необходимости использовать кубический корень. Так же и любое уравнение четвертой степени может быть сведено к кубическому, которое называется кубическая разрешающая (резольвента). Вы можете решить уравнение четвертой степени, используя квадратные и кубические корни, имея дело с кубической разрешающей и четырьмя корнями, и получить в ответ искомое решение. В обоих случаях ответы идентичны классическим формулам, открытым в эпоху Возрождения. Да иначе и быть не могло: это те же самые ответы. Но теперь Лагранж знал, почему это так, и был в курсе, почему эти ответы могут быть найдены. Наверное, на этом этапе исследований он испытал немалый подъем. Переходя к уравнениям пятой степени и используя те же техники, вы ожидаете, что получите разрешающую уравнения четвертой степени, – дело сделано! Но, забегая вперед в истории его разочарования, он так и не нашел разрешающее уравнение четвертой степени. Он получил разрешающее уравнение шестой степени. И вместо того, чтобы упростить решение, его метод превратил уравнение в еще более сложное.

В чем же крылся недостаток его метода? Мог ли какой-то более талантливый математик решить уравнение пятой степени? Судя по всему, Лагранж в это верил. Он выражал надежду, что его новый подход будет полезен любому, кто отважится на поиски решения уравнения пятой степени. Кажется, ему даже не приходило в голову, что здесь не может быть такого метода, что его подход ошибочен, потому что уравнения пятой степени вообще не имеют решений в «радикалах» – выражениях, включающих арифметические операции и корни разной степени, в том числе и пятой. Еще большую путаницу привносит то, что все-таки у некоторых уравнений пятой степени есть такие решения. Например, уравнение x5 – 2 = 0 имеет решение x = . Но это простой случай, и уж точно не типичный.

Кстати, все уравнения пятой степени имеют решения: как правило, это комплексные числа, и их можно численно выразить довольно точно. Проблема кроется в алгебраических формулах для поиска этих решений.

«Безопасность» = «Эффективность». Решаем простое уравнение со всеми известными — Совет по этике научных публикаций

«Безопасность» = «Эффективность». Решаем простое уравнение со всеми известными

Сегодня привычным инструментом вуза и научной организации является сервис проверки документов на наличие заимствований. В России и странах СНГ чаще всего используются продукты компании Антиплагиат — системы «Антиплагиат.ВУЗ», «Антиплагиат.Эксперт» и другие. Организация имеет подписку на выбранный сервис и может проверить в течение года определённое количество документов. При этом другие показатели сервиса, такие, как, например, количество пользователей, не ограничиваются.

Автор Андрей Ивахненкоруководитель отдела внедрения и эксплуатации компании Антиплагиат

Очевидно, что количество проверок документов на заимствования является ресурсом организации, и поэтому следует стремиться использовать их эффективно. Но на практике у администратора системы, назначенного руководством организации, не всегда находится возможность, чтобы заниматься администрированием полноценно. Свой ресурс — время — оказывается ценнее ресурса организации. При этом может возникать впечатление, что ничего страшного произойти не может: квоты хватает с приличным запасом.

В этой статье я расскажу о том, как подходят разработчики системы «Антиплагиат» к решению вопросов информационной безопасности, а также поделюсь некоторыми простыми рецептами, которые позволят практически предотвратить возникновение проблем с несанкционированным доступом и потерю контроля над интеллектуальной собственностью.

Как показали наши наблюдения, неэффективность в использовании проверок часто предвещает гораздо более серьёзные проблемы. Если администратор не наладит процесс, то рано или поздно учётные данные пользователей организации станут доступны третьим лицам. А это, в свою очередь, автоматически поставит под угрозу интеллектуальную собственность организации и — ещё неизвестно, что хуже, — пользователей сервиса.

С другой стороны, те же наблюдения показывают, что аккуратное следование нескольким очень простым правилам информационной безопасности позволит и уменьшить стоимость владения сервисом, и избежать рисков возникновения неприятных последствий.

Два основных канала нерационального использования проверок: получение доступа к аккаунтам пользователей, не являющихся сотрудниками организации (в этом случае все проверки, совершённые с этих аккаунтов, выполняются в интересах третьих лиц), и неэффективное использование системы сотрудниками организации (в этом случае некоторая часть проверок осуществляется в интересах третьих лиц или просто проверок осуществляется больше, чем необходимо для выполнения производственных задач данного сотрудника). Рассмотрим причины и последствия совершения нецелевых проверок, а также меры, которые существенно снижают риски компрометации учётных данных, риски утраты интеллектуальной собственности организации и её пользователей.

Предотвращение доступа к системе пользователей, не являющихся сотрудниками организации

Для аутентификации в системе «Антиплагиат» чаще всего используется пара e-mail и пароль. Пользователь вводит данные в браузере, браузер передаёт их в систему, и если пара известна системе, то пользователя пропускают в кабинет. Кажется, что пароль известен и пользователю, и системе и может быть скомпрометирован на обеих сторонах. Это может показаться удивительным, но на самом деле система «Антиплагиат» не хранит пароли пользователей! Точно так же, как не хранят их и другие профессионально разработанные интернет-сервисы. Вместо пароля в базе данных хранится результат вычисления хеш-функции от пароля. По хешу практически невозможно восстановить пароль пользователя.

Пользователь взаимодействует с сервером системы по защищённому протоколу HTTPS, при этом вся информация шифруется при передаче от браузера к серверу и обратно. Перехватить пароль посередине также практически невозможно. К паролю система предъявляет разумные требования по сложности. Пользователь сам задаёт пароль к своему входу в систему и разгласить его третьим лицам может только он, потому что кроме пользователя его никто не знает. Таким образом, пользователь должен нести полную ответственность при выявлении факта компрометации его учётных данных.

Борьба с умышленной компрометацией учётных данных пользователей — комплексная задача, протяжённая по времени. Прежде всего, ответственным за внедрение и эксплуатацию системы «Антиплагиат» сотрудникам необходимо проверить, что в системе не присутствуют учётные записи кафедр и других структурных подразделений. Как и в других информационных системах, пароль от учётной записи должен знать только один человек. Простое правило: одна учётная запись — один пользователь. Для того чтобы упростить жизнь пользователям, ИТ-департаменту организации нужно вести единый каталог пользователей в организации, и все системы должны проводить авторизацию с его помощью. Примеры каталогов: Active Directory, LDAP (пригодны для авторизации внутри контура организации), AD FS, Google Workspace, системы федеративной аутентификации FEDURUS и RUNNet (пригодны для авторизации пользователей во внешних системах).

Мы дополнительно усилили защиту аккаунта пользователя с ролью «Администратор» с помощью двухфакторной аутентификации (2ФА)[1]. Теперь для совершения некоторых действий (создание/пакетное создание/изменение пользователя; сброс пароля пользователю; разблокировка/восстановление пользователя; имперсонирование в пользователя) администратор должен ввести дополнительный код, генерируемый с помощью специального приложения на смартфоне пользователя с ролью «Администратор». Если 2ФА включена и настроена, то даже если злоумышленники завладеют учётными данными «Администратора», они не смогут завести новых или изменить существующих пользователей.

В последнее время администраторы систем всё чаще стали подвергаться фишинговым атакам. Например, к администратору поступает электронное письмо за подписью одного из руководителей организации (ректора, профильного проректора и т. п.), руководителя структурного подразделения или даже от службы технической поддержки системы «Антиплагиат» с просьбой предоставить доступ списку лиц или создать техническую учётную запись. Естественно, письмо фальшивое — и в случае выполнения сотрудниками такой «заявки» злоумышленники получают в своё распоряжение несколько учётных записей, а иногда даже и учётную запись пользователя с ролью «Администратор». Для предотвращения подобных случаев сотрудникам, ответственным за подключение новых пользователей к системе «Антиплагиат», необходимо правильно организовать порядок предоставления доступа к системе[2], исключив возможность получения заявок по почте или телефону от людей, верифицировать положение которых в организации затруднительно.

Электронная почта не является надёжной системой, и мы сталкивались с тем, что почтовый сервер организации был сконфигурирован так, что принимал письма с поддельным адресом отправки без каких-либо пометок. Чтобы уменьшить число фишинговых писем, с конца 2021 года в системе «Антиплагиат» больше не показываются контактные данные администраторов, отвечающих за подключение новых пользователей. Мы предусмотрели возможность информировать новых пользователей о последовательности действий для создания учётной записи и рекомендуем воспользоваться ею для указания регламента подключения новых пользователей через внутренние системы документооборота организации.

Ещё одна возможность появления пользователя, не являющегося сотрудником организации, — процедура увольнения. Если не используется авторизация через общий каталог пользователей организации (мы предполагаем, что информация об увольнении сотрудника вносится туда своевременно), то велик риск, что учётная запись уволившегося сотрудника не будет заблокирована.

Предотвращение неэффективного использования системы сотрудниками организации

Каждый пользователь, авторизовавшийся в системе «Антиплагиат», соглашается с «Принципами добросовестной работы»[3]. Эти принципы работы нацелены на достижение следующих результатов:

  1. эффективное использование проверок, выделенных на организацию в соответствии с договором, и предотвращение нецелевого расходования проверок,
  2. усиление безопасности персональных данных и учётных записей легитимных пользователей и предотвращение их передачи третьим лицам,
  3. защиту документов и отчётов пользователя от несанкционированных действий третьих лиц (копирования, удаления и других действий с документами).

В случае нарушения пользователем «Принципов добросовестной работы» аккаунт пользователя автоматически ограничивается. Администратор системы может снять ограничение. Мы рекомендуем администраторам перед снятием ограничения провести анализ действий пользователя и в случае обнаружения неправомерного использования системы (в пользу третьих лиц) довести этот факт до сведения ответственных лиц организации.

Рекомендуем провести профилактическую беседу с пользователем о недопустимости недобросовестного использования системы. В случае компрометации учётных данных (логин и пароль стали известны третьим лицам) необходимо провести сброс пароля, после чего разблокировать пользователя. В ближайшем будущем в системе будет реализована функциональность принудительного сброса пароля при разблокировании пользователей, нарушивших «Принципы добросовестной работы».

В основе работы механизма ограничения пользователя за недобросовестное использование системы лежит машинное обучение с подкреплением. Это значит, что алгоритм ограничения устроен как нейронная сеть (к сожалению, он не может быть представлен в виде простых правил, понятных человеку) и постоянно дообучается на свежих примерах недобросовестного использования.

Если в организации используется интеграция с информационной системой с помощью API, то на этапе проектирования и реализации интеграции необходимо озаботиться тем, чтобы в систему «Антиплагиат» из внешней системы передавался параметр External User ID. Это идентификатор пользователя, загрузившего работу, в системе, которая вызывает «Антиплагиат». Благодаря этому идентификатору система различает пользователей и блокирует их в случае выявления действий, нарушающих «Принципы добросовестной работы» в системе «Антиплагиат».

В 2020 году в системе «Антиплагиат» появился механизм выделения квот на проверки[4]. Этот механизм ограничивает максимальное число проверок, которое может совершить пользователь. Если использовать этот механизм, то можно быть уверенным, что даже при компрометации учётных данных одного из пользователей системы злоумышленники не смогут потратить все проверки организации или значительную их долю. В системе есть квота проверок по умолчанию, которая действует для всех пользователей, кому не назначена индивидуальная квота. Механизм похож на лимиты трат по банковским картам, он позволяет ограничить возможные потери в случае компрометации. Кроме того, механизм квот помогает точнее прогнозировать необходимое число проверок для организации.

Необходимые действия для контроля эффективности использования системы

Чтобы эффективность использования системы была на высоком уровне, сотрудникам организации, отвечающим за внедрение и эксплуатацию системы «Антиплагиат», необходимо провести предварительные настройки и наладить регулярное проведение ряда мероприятий.

  1. Установка индивидуальных квот и квоты по умолчанию. Необходимо проверять, выставлена ли квота по умолчанию, и устанавливать индивидуальные квоты для пользователей, которые по объективным причинам совершают больше проверок, чем обычный пользователь.
  2. Авторизация с использованием единого каталога пользователей компании. Если есть возможность, то рекомендуем реализовать авторизацию пользователей с помощью каталога пользователей, используемого в организации (Active Directory, LDAP, AD FS и прочих). Это избавит администраторов системы от обязанности выдавать доступ к учётным записям системы и позволит своевременно блокировать доступ уволенным сотрудникам.
  3. Своевременное отключение уволенных пользователей от системы. Если нет интеграции с каталогом пользователей компании, то необходимо наладить взаимодействие с отделом кадров организации и блокировать учётные записи уволившихся сотрудников и выпустившихся студентов.
  4. Регулярный контроль количества пользователей с ролью «Администратор». Число администраторов системы должно быть минимально необходимым. Важно не менее двух раз в год проверять список администраторов системы и контролировать, нет ли среди пользователей ушедших в декрет, сменивших должность, уволенных сотрудников и т. п.
  5. Регулярный контроль пользователей, совершающих больше всего проверок. Необходимо не реже раза в месяц (а во время сезона активных проверок не менее раза в неделю) просматривать отчёт «Интенсивность работы пользователей»[5]. Отсортируйте пользователей по числу проверок за последний месяц и проанализируйте, какие именно документы проверяют пять первых по этому показателю пользователей.
  6. Разблокировка пользователя, заблокированного за нарушение «Принципов добросовестной работы», только после анализа действий этого пользователя. Для анализа действий пользователя используется учётную запись с ролью «Супервизор». Данная роль предназначена специально для анализа действий пользователей и содержит уникальные отчёты[6] по действиям пользователей в системе. Также необходимо проверять содержимое документов, которые проверял заблокированный пользователь. В случае существенного расхождения тематики проверяемых документов и направления деятельности сотрудника важно донести эту информацию до сведения ответственных лиц организации.
Заключение

Мы рассмотрели две основные причины нерациональной траты проверок на заимствования системы «Антиплагиат» в организациях. В заключении хотелось бы подчеркнуть, что перерасход бюджета — это не самое страшное. Гораздо более серьёзный урон может быть нанесён из-за получения доступа лицами, не являющимися сотрудниками организации, к кабинетам пользователей или, ещё хуже, к административной панели. Такой доступ может привести к утечкам интеллектуальной собственности организации и персональных данных её сотрудников, что может быть многократно хуже материальных потерь. К сожалению, такие случаи происходят слишком часто, чтобы не уделять должного внимания информационной безопасности.

Ссылки
  1. Подробнее см.: https://docs.antiplagiat.ru/ru/html/vuz_administrator_guide.html#2fa.
  2. Методические рекомендации по эффективному внедрению и использованию системы «Антиплагиат.ВУЗ»: учебно-методическое пособие / Ю. В. Чехович, О. С. Беленькая, А. А. Ивахненко. — Санкт-Петербург: Лань, 2020. — 48 с. — ISBN 978-5-8114-6837-9. — Текст: электронный // Лань: электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/154156 (дата обращения: 19.08.2021).
  3. Подробнее см.: https://www.antiplagiat.ru/help/manifest.
  4. Подробнее о распределении квот см.: «Руководство администратора корпоративной версии системы “Антиплагиат.ВУЗ”» https://docs.antiplagiat.ru/ru/html/vuz_administrator_guide.html#billing-kvoti-na-proverki.
  5. Подробнее см.: https://docs.antiplagiat.ru/ru/html/vuz_administrator_guide.html#intensivnost-raboty-polzovateley.
  6. Подробнее см.: https://docs.antiplagiat.ru/ru/html/vuz_supervisor_guide.html#zhurnal-bezopasnosti-companii.

Материал впервые опубликован в информационно-аналитическом журнале «Университетская книга».

Урок 7. Решаем уравнение, или Вычисления в программе

Урок 7. Решаем уравнение, или Вычисления в программе

 

Цель урока — научиться:

·         записывать алгебраические выражения в программе Pascal;

·         решать алгебраические уравнения, используя метод дихотомии.

 

 

Задание:

составить программу, помогающую находить корни произвольного алгебраического уравнения.

 

Результат:

·         сохранён в файле___________________________________________, находящемся по адресу _____________________________________________________

 

Коротко о главном

·         Арифметические выражения в программе на Pascal записываются в одну строчку, без надстрочных и подстрочных символов.

·         Десятичные дроби записываются через ________________.

·         Метод ________________ позволяет находить приближённые корни для уравнений практически любой сложности.

·         Метод дихотомии основан на том факте, что непрерывная функция, имеющая на концах отрезка значения разных знаков, обязательно хотя бы раз пересечёт ось Х, то есть имеет на этом отрезке хотя бы один корень.

·         Поиск корня методом дихотомии заключается в следующем:

o  определяется отрезок, на котором функция непрерывна и принимает на его концах значения _____________ знаков;

o  определяется знак функции в ________________ отрезка;

o  первый отрезок заменяется той его половиной, на концах которой знаки функции _______________;

o  всё повторяется до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше требуемой точности.

 

 

Мои заметки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнения — методы, методы и примеры

Решение уравнения включает нахождение значения неизвестных переменных в данном уравнении. Условию равенства двух выражений удовлетворяет значение переменной. Решение линейного уравнения с одной переменной приводит к единственному решению, решение линейного уравнения с двумя переменными дает два результата. Решение квадратного уравнения дает два корня. При решении уравнения используется множество методов и процедур.Давайте подробно обсудим методы решения одного уравнения за другим.

Что такое решение уравнения?

Решение уравнения — это вычисление неизвестной переменной, по-прежнему уравновешивающее уравнение с обеих сторон. Уравнение — это условие для переменной, при котором два выражения в переменной имеют равное значение. Значение переменной, для которой выполняется уравнение, называется решением уравнения. Уравнение остается неизменным, если местами LHS и RHS поменять местами.Переменная, для которой должно быть найдено значение, выделяется, и получается решение. Решение уравнения зависит от того, с каким уравнением мы имеем дело. Уравнения могут быть линейными, квадратными, рациональными или радикальными.

шагов в решении уравнения

Цель решения уравнения — найти значение переменной, которое удовлетворяет условию истинности уравнения. Чтобы изолировать переменную, выполняются следующие операции, по-прежнему уравновешивая уравнение с обеих сторон.При этом LHS остается равным RHS, и в конечном итоге баланс остается неизменным.

  • Дополнительное свойство равенства: добавьте одинаковое число к обеим сторонам. Если a = b, то a + c = b + c
  • Вычитание. Свойство равенства: вычесть одно и то же число с обеих сторон. Если a = b, то a-c = b-c
  • Свойство умножения равенства: Умножьте одно и то же число с обеих сторон. Если a = b, то ac = bc
  • Разделение свойства равенства: Разделить на одинаковое число с обеих сторон.Если a = b, то a / c = b / c (где c ≠ 0)

После выполнения этого метода систематического уравновешивания решения уравнения с помощью серии идентичных арифметических операций с обеими сторонами уравнения, мы отделяем переменную на одной из сторон, и конечным шагом является решение уравнения.

Решение уравнения одной переменной

Линейное уравнение одной переменной имеет вид ax + b = 0, где a, b, c — действительные числа. Следующие шаги выполняются при решении линейного уравнения.

  • Убрать скобки и при необходимости использовать свойство распространения.
  • Упростите обе части уравнения, объединив похожие члены.
  • Если есть дроби, умножьте обе части уравнения на ЖКД (наименьший общий знаменатель) всех дробей.
  • Если есть десятичные дроби, умножьте обе части уравнения на наименьшую степень 10, чтобы преобразовать их в целые числа.
  • Переместите переменные члены к одной стороне уравнения и постоянные члены к другой стороне, используя свойства равенства и сложения и вычитания.
  • Сделайте коэффициент переменной равным 1, используя свойства равенства умножения или деления.
  • Выделите переменную и получите решение.

Рассмотрим этот пример: 3 (x + 4) = 24 + x

Мы упрощаем LHS, используя свойство распределенности.

3 х + 12 = 24 + х

Сгруппируйте похожие термины вместе с помощью метода транспонирования. Это становится 3x — x = 24-12

Дальнейшее упрощение ⇒ 2x = 12

Используйте свойство деления равенства, 2x / 2 = 12/2

Изолировать переменную x.x = 6 — решение уравнения.

Используйте любой из следующих методов, чтобы упростить линейное уравнение и найти неизвестную переменную. Для выделения переменной используются метод проб и ошибок, метод балансировки и метод транспонирования.

Решение уравнения методом проб и ошибок

Рассмотрим 12 x = 60. Чтобы найти x, мы интуитивно вычисляем, что 12 раз число равно 60. Мы находим, что 5 — это необходимое число.

Решение уравнения методом балансировки

Нам нужно выделить переменную x для решения уравнения.Для ее решения воспользуемся методом разделения переменных или методом балансировки. Рассмотрим уравнение 2x + 3 = 17.

Сначала мы исключаем 3 на первом этапе. Чтобы сохранить баланс при решении уравнения, мы вычитаем 3 из каждой части уравнения.

Таким образом, 2x + 3 — 3 = 17 — 3

Имеем 2x = 14

Теперь, чтобы изолировать x, разделим на 2 с обеих сторон (свойство деления равенства)

2x / 2 = 14/2

х = 7

Таким образом, мы изолируем переменную, используя свойства равенства при решении уравнения в методе балансировки.

Решение уравнения методом транспонирования

Решая уравнение, мы меняем стороны чисел. Этот процесс называется транспонированием. При транспонировании числа мы меняем знак или отменяем операцию. Рассмотрим 5y + 2 = 22.

Нам нужно найти y, поэтому изолируем его. Следовательно, мы переносим число 2 на другую сторону. Уравнение принимает вид

5лет = 22-2

5лет = 20

Теперь переместив 5 на другую сторону, мы обратим операцию умножения к делению.у = 20/5 = 4

Решение квадратного уравнения

Есть уравнения, которые дают более одного решения. Квадратичные многочлены имеют степень два, а нули квадратного многочлена представляют квадратное уравнение.

Рассмотрим (x + 3) (x + 2) = 0. Это квадратичный характер. Мы просто приравниваем каждое из выражений в LHS к 0.

Либо x + 3 = 0, либо x + 2 = 0.

Мы приходим к x = -3 и x = -2.

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + b x + c = 0.Решение квадратного уравнения приводит к двум корням: α и β.

Шаги, необходимые для решения квадратного уравнения:

  • По методу квадратов
  • Метод факторизации
  • Методом формулы

По методу квадратов

Решить уравнение квадратичного типа с помощью метода квадратов довольно просто, если мы применим наши знания алгебраического тождества: (a + b) 2

  • Запишите уравнение в стандартной форме ax 2 + b x + c = 0.
  • Разделите обе части уравнения на a.
  • Перенести постоянный член в другую сторону
  • Сложите квадрат половины коэффициента при x с обеих сторон.
  • Завершите левую часть квадратом и упростите правую часть.
  • Извлеките квадратный корень из обеих частей и решите относительно x.

Метод факторизации

Для решения уравнения квадратичного типа с использованием метода факторизации выполните шаги, описанные здесь.Запишите данное уравнение в стандартной форме и, разделив средние члены, факторизуйте уравнение. Перепишите полученное уравнение как произведение двух линейных множителей. Приравняйте каждый линейный коэффициент к нулю и решите относительно x. Рассмотрим 2x 2 + 19x + 30 = 0. Это стандартная форма ax 2 + bx + c = 0.

Разделите средний член таким образом, чтобы произведение членов равнялось произведению коэффициента x 2 и c, а сумма членов была равна b.Здесь произведение членов должно быть 60, а сумма — 19. Таким образом, разделите 19x на 4 x и 15 x.

2x 2 + 4x + 15 x + 30 = 0.

Возьмите общий множитель из первых двух членов и общие множители из двух последних членов.

2x (x + 2) + 15 (x + 2) = 0

Снова разложив на множители (x + 2), получаем

(x + 2) (2x + 15) = 0

х = -2 и х = -15/2

Решение квадратичного уравнения включает такие шаги при разделении средних членов при факторизации.

Методом формулы

Решение уравнения квадратичного типа по формуле

x = -b ± √ [(b 2 -4ac)] / 2a помогает нам найти корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Подставляя значения a, b и c в формуле приходим к решению.

Рассмотрим пример: 9 x 2 -12 x + 4 = 0

a = 9, b = -12 и c = 4

x = -b ± √ [(b 2 -4ac)] / 2a

= 12 ± √ [((- 12) 2 -4 × 9 × 4)] / 2 × 9

= 12 ± √ (144 — 144) / 18

= 12 ± 0

х = 12

Решение рационального уравнения

Уравнение с хотя бы одним полиномиальным выражением, содержащим дробь в числителе или знаменателе, называется рациональным уравнением. Решение рационального уравнения включает следующие шаги. Приведите дроби к общему знаменателю, а затем решите уравнение числителей.

Рассмотрим x / (x-1) = 5/3

При перекрестном умножении получаем

3х = 5 (х-1)

3x = 5x — 5

3x — 5x = — 5

-2x = -5

х = 5/2

Решение радикального уравнения

Уравнение, в котором переменная находится под радикалом, называется радикальным уравнением.Решение радикального уравнения включает несколько шагов. Выразите данное радикальное уравнение через индекс радикала и уравновесите уравнение. Найдите переменную.

Рассмотрим √ (x + 1) = 4

Теперь выровняйте обе стороны, чтобы уравновесить это. [√ (x + 1)] 2 = 4 2

(х + 1) = 16

Таким образом, x = 16-1 = 15

Важно Примечания

  • Для решения уравнения нужно найти значение переменной в уравнении.
  • Решение уравнения удовлетворяет условию данного уравнения.
  • Решение уравнения линейного типа также может быть выполнено графическим способом.

Также проверьте:

Часто задаваемые вопросы по решению уравнения

Что такое решение уравнения?

Решение уравнения — это нахождение значения неизвестных переменных в данном уравнении.

Каковы шаги при решении уравнения?

Укажите тип уравнения: линейное, квадратичное, логарифмическое, экспоненциальное, радикальное или рациональное.

  • Снимите скобки, если они есть в данном уравнении. Примените распределительное свойство.
  • Добавьте одинаковое число к обеим сторонам
  • Вычтем одинаковое число с обеих сторон
  • Умножить одинаковое число с обеих сторон
  • Разделить на одинаковое число с обеих сторон.

Что такое золотое правило решения уравнения?

Идентифицирован тип уравнения. Если это линейное уравнение, используется метод разделения переменных или метод транспонирования. Если это квадратное уравнение, завершение квадратов, разделение средних членов с использованием факторизации или метода формул.

Как использовать 3 шага для решения уравнения?

Три шага в решении уравнения — это

  • снимите скобки, если таковые имеются, используя свойство распределения,
  • упростите уравнение, добавив или вычтя одинаковые члены,
  • изолировать переменную и решить ее.

Как решать линейные уравнения?

Решая линейное уравнение, мы выделяем переменную, значение которой необходимо найти.Мы либо используем метод транспонирования, либо метод балансировки.

Как решить квадратные уравнения?

При решении квадратного уравнения мы записываем уравнение в стандартной форме ax 2 + bx + c = 0, а затем решаем, используя метод формул, метод факторизации или завершая метод квадратов.

Как решить радикальные уравнения?

Решая радикальное уравнение, мы удаляем знак радикала, возводя обе части уравнения до индекса радикала, выделяем переменную и решаем относительно x.

Как решить рациональные уравнения?

Решая рациональное уравнение, мы упрощаем выражения на каждой стороне уравнения, перекрестно умножаем, объединяем похожие члены, а затем выделяем переменную, чтобы найти x.

Решение уравнения | Encyclopedia.com

Методы решения простых уравнений

Решение более сложных уравнений

Решение многомерных уравнений

Решение уравнений второй и более высокой степени

Ресурсы

Решение уравнения представляет собой набор всех значений, которые при замене на неизвестных, сделайте уравнение истинным.Для уравнений, имеющих одно неизвестное, возведенное в единственную степень, два фундаментальных правила алгебры, включая свойство аддитивности и свойство мультипликативности, используются для определения его решений. Решения для уравнений с несколькими неизвестными переменными находятся с использованием принципов системы уравнений. Уравнения с членами в степени, большей единицы, могут быть решены путем факторизации, а в некоторых конкретных случаях — с помощью квадратного уравнения.

Идея решения уравнений существовала со времен древних египтян и вавилонян.В то время они использовали простые алгебраические методы для поиска решений практических проблем, связанных с их повседневной жизнью. Методы, используемые древними, были сохранены в трактате, написанном арабским математиком Аль-Коваризми 825 г. н.э.). В эту работу он включает методы решения линейных уравнений, а также уравнений второй степени. Решения некоторых уравнений более высокой степени были разработаны в шестнадцатом веке итальянским математиком Джероламо Кардано (1501–1576).

Уравнение — это алгебраическое выражение, которое обычно связывает неизвестные переменные с другими переменными или константами.Например, x + 2 = 15 — это уравнение, как и y 2 = 4. Решение или корень уравнения — это любое значение или набор значений, которые можно подставить в уравнение, чтобы сделать его истинным. . Для первого примера решение для x равно 13. Во втором примере есть два значения, которые сделают утверждение истинным, а именно 2 и –2. Эти значения составляют набор решений уравнения.

Используя два основных правила алгебры, можно получить решения многих простых уравнений.Первое правило гласит, что одну и ту же величину можно добавить к обеим сторонам уравнения, не меняя решение уравнения. Например, уравнение x + 4 = 7 имеет решение x = 3. Согласно первому правилу, можно добавить любое число к обеим сторонам уравнения и при этом получить то же решение. При добавлении 4 к обеим частям уравнение становится x + 8 = 11, но решение остается x = 3. Это правило известно как аддитивное свойство равенства. Чтобы использовать это свойство для поиска решения уравнения, все, что требуется, — это выбрать правильное число для добавления.Решение предыдущего примера x + 4 = 7 можно найти, прибавив –4 к обеим сторонам уравнения. Если это сделано, уравнение упрощается до x + 4 — 4 = 7 — 4 или x = 3, и уравнение решается.

Второе фундаментальное правило, известное как мультипликативное свойство равенства, гласит, что каждый член в обеих частях уравнения может быть умножен или разделен на одно и то же число без изменения решения уравнения. Например, решение уравнения y — 2 = 10 есть y = 12.Используя мультипликативное правило, можно получить эквивалентное уравнение с тем же множеством решений, умножив обе части на любое число, например 2. Таким образом, уравнение принимает вид 2y– 4 = 20, но решение остается y = 12. Это свойство может также может использоваться для решения алгебраических уравнений. В случае уравнения 2x = 14 решение получается путем деления обеих частей на 2. Когда это делается 2x / 2 = 14/2, уравнение упрощается до x = 7.

Часто оба этих правила должны быть используется для решения одного уравнения, например уравнения 4x + 7 = 23.В этом уравнении к обеим сторонам уравнения добавляется –7, и оно упрощается до 4x = 16. Обе части этого уравнения затем делятся на 4, и это упрощает решение, x = 4.

Большинство уравнений приведены в более сложная форма, которую можно упростить. Рассмотрим уравнение 4x — x — 5 = 2x + 7. Первый шаг в решении этого уравнения — объединить одинаковые члены с каждой стороны уравнения. В правой части нет одинаковых терминов, но 4x и –x в левой части похожи на термины.Это уравнение в упрощенном виде становится 3x — 5 = 2x + 7. Следующим шагом является удаление неизвестного из одной части уравнения. В этом примере это достигается добавлением –2x к обеим сторонам уравнения, что дает x — 5 = 7. Используя свойство аддитивности, решение получается добавлением 5 к обеим сторонам уравнения, поэтому x = 12.

Весь процесс решения алгебраических уравнений с одной переменной можно описать следующими шагами. Во-первых, удалите скобки, умножив множители.Во-вторых, добавьте одинаковые термины с каждой стороны. В-третьих, устраните неизвестное с одной стороны уравнения, используя мультипликативные или аддитивные свойства. В-четвертых, удалите постоянный член со стороны неизвестного, используя аддитивное свойство. Наконец, исключите любой коэффициент при неизвестном, используя свойство мультипликативности.

Многие алгебраические уравнения содержат более одной переменной, поэтому полный набор решений не может быть найден с помощью методов, описанных до сих пор. Уравнения с двумя неизвестными называются линейными уравнениями и могут быть представлены общей формулой ax + by = c; где a, b и c — константы, а x и y — переменные.Решением этого типа уравнения будет упорядоченная пара x и y, которая делает уравнение истинным. Например, набор решений для уравнения x + y = 7 будет содержать все пары значений x и y, которые удовлетворяют уравнению, такие как (2,5), (3,4), (4,3), и т. д. В общем, чтобы найти решение линейного уравнения с двумя переменными, уравнение переписывается и решается в терминах одной переменной. Решением уравнения x + y = 7 становится любая пара значений, которая делает x = 7 — y истинным.

Часто существует несколько линейных уравнений, которые связывают две переменные в одной системе. Все уравнения, связанные с переменными, известны как система уравнений, и их решение представляет собой упорядоченную пару, которая делает каждое уравнение истинным. Эти уравнения решаются методами построения графиков, подстановки и исключения.

Уравнения, содержащие неизвестные в степени единицы, известны как уравнения первой степени. Также существуют уравнения второй степени, которые включают:

КЛЮЧЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Аддитивное свойство — Свойство уравнения, в котором указано число, может быть добавлено к обеим сторонам уравнения, не влияя на его решение.

Факторинг — Метод сведения уравнения более высокой степени к продукту уравнений более низкой степени.

Уравнение первой степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное в первой степени.

Мультипликативное свойство — Свойство уравнения, которое устанавливает все члены в уравнении, можно умножить на одно и то же число, не влияя на окончательное решение.

Уравнение второй степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное во второй степени.

как минимум одна переменная, возведенная в квадрат или в степени двойки. Уравнения также могут быть третьей, четвертой и т. Д. Самым известным уравнением второй степени является квадратное уравнение, которое имеет общий вид ax 2 + bx + c = 0; где a, b и c — константы, а a не равно 0. Решение этого типа уравнения часто можно найти с помощью метода, известного как факторинг.

Поскольку квадратное уравнение является произведением двух уравнений первой степени, оно может быть включено в эти уравнения.Например, произведение двух выражений (x + 2) (x — 3) дает одно квадратичное выражение x 2 — x — 6. Два выражения (x + 2) и (x — 3) называются коэффициенты квадратного выражения x 2 — x — 6. Приняв каждый коэффициент квадратного уравнения равным нулю, можно получить решения. В этом квадратном уравнении решениями являются x = –2 и x = 3.

Нахождение множителей квадратного уравнения не всегда легко. Для решения этой проблемы была изобретена квадратная формула, позволяющая решить любое квадратное уравнение.Квадратное уравнение для общего уравнения формулируется следующим образом: ax 2 + bx + c = 0

Чтобы использовать формулу корней квадратного уравнения, в уравнение подставляются числа для a, b и c, и определяются решения для x .

См. Также Системы уравнений.

КНИГИ

Биттингер, Марвин Л. и Давик Элленбоген. Промежуточная алгебра: концепции и приложения . 7-е изд. Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, 2006.

Ларсон, Рон. Предкалькулус . 7-е изд. Бостон, Массачусетс: Houghton Mifflin, 2007.

Лоренц, Фалько. Алгебра. Нью-Йорк: Springer, 2006.

Сетек, Уильям М. Основы математики . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, 2005.

Perry Romanowski

Решите алгебраическое уравнение — MATLAB и Simulink

Решите алгебраическое уравнение

Symbolic Math Toolbox ™ предлагает как символьные, так и числовые уравнения решатели. В этом разделе показано, как символически решить уравнение. используя символический решатель , решите .(1/2)) / (2 * a)

solx — символический вектор, содержащий два решения квадратного уравнения. Если ввод eqn равен выражение, а не уравнение, решает решает уравнение eqn == 0 .

Чтобы найти переменную, отличную от x , укажите вместо этой переменной. Например, решите уравнение для b .

Если вы не укажете переменную, решение использует символ для выберите переменную для поиска.Например, решить (уравнение) решает уравнение для x .

Вернуть полное решение к уравнению

решить не возвращает автоматически все решения уравнения. Решите уравнение cos (x) == -sin (x) . Функция resolve возвращает одно из многих решений.

 syms x
solx = resolve (cos (x) == -sin (x), x) 

Чтобы вернуть все решения вместе с параметрами в решении и условия решения, установите опцию ReturnConditions to true .Решите то же уравнение для полной решение. Предоставьте три выходные переменные: для решения x , для параметров в решении и для условий на решение.

 syms x
[solx, param, cond] = решить (cos (x) == -sin (x), x, 'ReturnConditions', true) 
 solx =
пи * к - пи / 4
param =
k
cond =
in (k, 'integer') 

solx содержит решение для x , что составляет пи * к - пи / 4 . Параметр переменная указывает параметр в решении, который равен k .Переменная cond определяет условие в (k, 'integer') на решение, что означает, что k должны быть целым числом. Таким образом, решение возвращает периодический решение, начиная с пи / 4 , которое повторяется с интервалами из pi * k , где k - целое число.

Работа с полным решением, параметрами и условиями, возвращенными решением

Вы можете использовать возвращенные решения, параметры и условия по решить , чтобы найти решения в пределах интервала или при дополнительных условиях.

Чтобы найти значения x в интервале -2 * pi , решить solx для k внутри этого интервал при условии конд . Предположим, что условие cond , используя , предположим .

 предположить (усл.)
solk = решить (-2 * pi  

Чтобы найти значения x , соответствующие этим значения k , используйте подпрограммы для замены для k in solx .

 xvalues ​​= subs (solx, solk) 
 xvalues ​​=
 - (5 * пи) / 4
     -pi / 4
  (3 * пи) / 4
  (7 * pi) / 4 

Для преобразования этих символьных значений в числовые значения для использования в числовых расчетах используйте vpa .

 xvalues ​​=
  -3.926998724154807830422

-0,78539816339744830961566084581988 2,3561944344
69825374596 5.49778714378213816730962591

Визуализация и построение графика Решение, возвращенное методом решения

В предыдущих разделах использовалось решение для решения уравнение cos (x) == -sin (x) . Решение это уравнение можно визуализировать с помощью функций построения графиков, таких как fplot и scatter .

Постройте обе части уравнения cos (x) == -sin (x) .

 f график (cos (x))
Подожди
сетка на
fplot (-sin (x))
title ('Обе части уравнения cos (x) = -sin (x)')
legend ('cos (x)', '- sin (x)', 'Location', 'best', 'AutoUpdate', 'off') 

Вычислить значения функций при значениях x , и наложите решения как точки, используя разброс .

 yvalues ​​=
 

(-0.707106781186547524400844362104850.70710678118654752440084436210485-0.707106781186547524400844362104850.70710678118654752440084436210485)

000 значений x 

 scatter
два участка. 

Упростите сложные результаты и улучшите производительность

Если результаты выглядят сложными, решить, застрял, или если вы хотите повысить производительность, см. Устранение неполадок с решениями уравнений из функции решения.

Решение простых уравнений

Решая простое уравнение, думайте о нем как о балансе, в котором знак равенства (=) является точкой опоры или центром. Таким образом, если вы делаете что-то с одной стороной уравнения, вы должны делать то же самое с другой стороной. Выполнение одной и той же операции с обеими сторонами уравнения (скажем, добавление 3 к каждой стороне) сохраняет уравнение сбалансированным.

Решение уравнения - это процесс получения того, что вы ищете, или решения относительно , с одной стороны от знака равенства и всего остального с другой стороны.Вы действительно сортируете информацию. Если вы решаете для x , вы должны получить x с одной стороны.

Уравнения сложения и вычитания

Некоторые уравнения включают только сложение и / или вычитание.

Пример 1

Решите относительно x .

x + 8 = 12

Чтобы решить уравнение x + 8 = 12, вы должны получить x на одной стороне. Поэтому вычтите 8 с обеих сторон.

Чтобы проверить свой ответ, просто подставьте свой ответ в уравнение:

Пример 2

Решите относительно и .

y - 9 = 25

Чтобы решить это уравнение, вы должны получить y отдельно с одной стороны. Поэтому прибавьте 9 к обеим сторонам.

Для проверки просто замените y на 34:

Пример 3

Решите относительно x .

x + 15 = 6

Чтобы решить, отнимите 15 с обеих сторон.

Чтобы проверить, просто замените x на –9:

.

Обратите внимание, что в каждом из приведенных выше случаев используются противоположных операций ; то есть, если в уравнении есть сложение, вы вычитаете с каждой стороны.

Уравнения умножения и деления

Некоторые уравнения включают только умножение или деление. Обычно это происходит, когда переменная уже находится на одной стороне уравнения, но существует либо несколько переменных, например 2 x , либо часть переменной, например

.

или

Таким же образом, как при сложении или вычитании, вы можете умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, , если оно не равно нулю , и уравнение не изменится.

Пример 4

Решите относительно x .

3 x = 9

Разделите каждую часть уравнения на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 5

Решите относительно и .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на 5.

Для проверки замените y на 35:

Пример 6

Решите относительно x .

Чтобы решить, умножьте каждую сторону на.

Или, без отмены,

Обратите внимание, что слева вы обычно не пишете, потому что это всегда отменяется до 1 x или x .

Комбинации операций

Иногда для решения уравнения требуется более одного шага. В большинстве случаев сначала выполните этап сложения или вычитания. Затем, после того, как вы отсортировали переменные в одну сторону, а числа в другую, умножьте или разделите, чтобы получить только одну из переменных (то есть переменную без номера или 1 перед ней: x , а не 2 x ).

Пример 7

Решите относительно x .

2 x + 4 = 10

Вычтите 4 с обеих сторон, чтобы получить 2 x на одной стороне.

Затем разделите обе стороны на 2, чтобы получить x .

Чтобы проверить, подставьте свой ответ в исходное уравнение:

Пример 8

Решите относительно x .

5x - 11 = 29

Добавьте 11 с обеих сторон.

Разделите каждую сторону на 5.

Для проверки замените x на 8:

Пример 9

Решите относительно x .

Вычтем по 6 с каждой стороны.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените x на 9:

Пример 10

Решите относительно и .

Добавьте 8 с обеих сторон.

Умножаем каждую сторону на.

Для проверки замените y на –25:

.

Пример 11

Решите относительно x .

3 x + 2 = x + 4

Вычтем 2 с обеих сторон (то же самое, что прибавить –2).

Вычтите x с обеих сторон.

Обратите внимание, что 3 x - x совпадает с 3 x - 1 x .

Разделите обе стороны на 2.

Для проверки замените x на 1:

Пример 12

Решите относительно и .

5 y + 3 = 2 y + 9

Вычтем 3 с обеих сторон.

Вычтем 2 y с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените y на 2:

Иногда вам нужно упростить каждую сторону (объединить одинаковые термины) перед фактическим запуском процесса сортировки.

Пример 13

Решите относительно x .

3 x + 4 + 2 = 12 + 3

Во-первых, упростите каждую сторону.

Вычтем 6 с обеих сторон.

Разделите обе стороны на 3.

Для проверки замените x на 3:

Пример 14

Решите относительно x .

4 x + 2 x + 4 = 5 x + 3 + 11

Упростите каждую сторону.

6 x + 4 = 5 x + 14

Вычтем 4 с обеих сторон.

Вычтите 5 x с обеих сторон.

Для проверки замените x на 10:

Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote

Типы задач, поддерживаемые Math Assistant

При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список Выберите действие под уравнением изменяется в зависимости от выбранного уравнения. Вот некоторые из типов задач, которые поддерживаются в зависимости от уравнения, которое вы пытаетесь решить.

Массивы

Для списка действительных чисел поддерживаются все перечисленные ниже.

Выражения

Для любого выражения доступны следующие действия:

  • Оценить

  • Проверить

  • Развернуть (если применимо)

  • Коэффициент

    (если применимо)

  • График в 2D (доступен только при наличии переменной)

  • Дифференцировать (доступно только при наличии переменной)

  • Интегрировать (доступно только при наличии переменной)

Уравнения и неравенства

Для уравнений и неравенств доступны следующие действия:

  • Решите для {вашей переменной}

  • Обе стороны графика в 2D - Каждая из сторон равенства или неравенства изображена на графике как отдельная функция.

  • График в 2D - график решений уравнения или неравенства

  • Graph Inequality - отмечает область решения на графике

Системы

Важно иметь равное количество уравнений и переменных, чтобы обеспечить доступность правильных функций.Системы можно записать двумя способами:

  1. Один под другим, с большой скобкой перед ними или без нее

  2. Через запятую


Производные и интегралы

Производные могут быть записаны либо с d / dx перед функцией, либо со знаком штриха.

Действия, доступные для производных и интегралов:

Матрицы

Матрицы можно записывать в квадратных или круглых скобках. Для матриц поддерживаются следующие действия:

  • Оценить

  • Вычислить определитель

  • Инвертировать матрицу

  • Вычислить трассировку

  • Матрица транспонирования

  • Размер матрицы

  • Уменьшить матрицу


Матричные уравнения в настоящее время не поддерживаются.

Построение графиков в полярных координатах

Чтобы построить график функции в полярных координатах, необходимо выразить r как функцию от тета.

Комплексный режим

Примечание: Выберите Настройки , чтобы переключаться между действительными и комплексными числами.

Для сложных выражений и чисел, содержащих мнимую единицу i, , доступны следующие действия.

Узнать больше

Создайте математический тест в Microsoft Forms

Создайте практическую викторину по математике с помощью Math Assistant в OneNote

Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote


College Algebra
Учебник 49: Решение систем
Линейные уравнения с двумя переменными


Цели обучения



После изучения этого руководства вы сможете:
  1. Узнайте, является ли заказанная пара решением системы линейные уравнения в две переменные или нет.
  2. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными. путем построения графиков.
  3. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными. заменой метод.
  4. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными. устранением методом сложения.

Введение



В этом уроке мы будем специально рассматривать системы, которые имеют два уравнения и две неизвестные.Урок 50: Решение систем Линейный Уравнения в трех переменных будут охватывать системы, которые имеют три уравнения и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных способы: путем построения графиков, методом подстановки и путем исключения добавление метод. Итак, давайте посмотрим на эти системы.

Учебник



Система линейных уравнений

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнения, которые решаются одновременно.

В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые имеют только два линейных уравнения и две неизвестные.




В общем, решение системы двух переменных заказанный пара, которая делает ОБЕИХ уравнениями истинными.

Другими словами, это то место, где пересекаются два графика, что у них есть в общем.Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения, но не другой, то это НЕ решение системы.

Согласованная система - это система, в которой хотя бы одно решение.

Несогласованная система - это система, имеющая нет решения .

Уравнения системы зависимы , если ВСЕ решения одного уравнения являются решениями другого уравнения.В разное словами, они в конечном итоге будут той же строкой .

Уравнения системы независимы , если они не разделяют ВСЕ решения . У них может быть одна общая черта, только не все их.




Одно решение
Если система с двумя переменными имеет одно решение, это заказанный пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений. Другими словами, когда вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБОИЕ уравнения ИСТИННЫЙ.

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу!

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных у которого есть одно решение:


Нет решения
Если две линии параллельны друг другу, они будут никогда не пересекаются. Значит, у них нет ничего общего. В этом ситуация у вас не будет решения.

Если вы не получили решения для окончательного ответа, - это эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали «непоследовательно», вы правы!

Если вы не получите окончательного ответа, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных не имеющий решения:


Бесконечный Решения
Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, то Там есть бесконечное количество решений. В этой ситуации они было бы в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном уравнение собирается работать в другом.

Если вы получите бесконечное количество решений для Ваш окончательный ответ, я с эта система непротиворечива или непоследовательна?
Если вы сказали "последовательный", вы правы!

Если вы получите бесконечное количество решений для ваш окончательный ответ, будет уравнения быть зависимыми или независимыми?
Если вы сказали иждивенец, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений. и два неизвестных имеющий бесконечное количество решений:




Пример 1 : Определите, является ли каждая упорядоченная пара решением из система.
(3, 1) и (0, -1)

Давайте проверим заказанную пару (3, 1) в первом уравнение:



* Вставка 3 для x и 1 для y

* Истинное утверждение


Пока все хорошо, (3, 1) - решение первого уравнение 2 x -3 y = 3.

Теперь давайте проверим (3, 1) во втором уравнении:



* Вставка 3 для x и 1 для y

* Истинное утверждение


Эй, мы закончили с еще одним верным утверждением, которое означает, что (3, 1) есть также решение второго уравнения 4 x - 2 y = 10.

Вот большой вопрос, является ли (3, 1) решением данная система ?????

Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в система, тогда это это решение для всей системы.

Теперь поместим (0, -1) в первое уравнение:



* Вставка 0 для x и -1 для y

* Истинное утверждение


Это истинное утверждение, поэтому (0, -1) является решением первое уравнение 2 x - 3 y = 3.

Наконец, поместим (0, -1) во второе уравнение:



* Вставка 0 для x и -1 для y

* Ложное заявление


На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это означает. (0, -1) НЕ является решением второго уравнения 4 x - 2 y = 10.

Вот большой вопрос, является ли (0, -1) решением данная система ?????

Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в система, тогда это не решение всей системы.

Три способа
Решать системы линейных
Уравнения с двумя переменными




Шаг 1: Изобразите первое уравнение.


Если в инструкциях указано иное, вы можете использовать любой "законный" способ построить линию. Если вам нужен обзор линий графика, не стесняйтесь вернуться к Урок 27: Графические линии.

Шаг 2: Изобразите второе уравнение на та же координата система как первая.


Вы изобразите второе уравнение так же, как и любое другое. уравнение. Обратитесь к первому шагу, если вам нужно узнать, как график линия.

Отличие вот в том, что на такой же ставишь система координат как первый. Это похоже на две задачи с графиком в одной.


Шаг 3: Найдите решение.


Если две линии пересекаются в одном месте , то точка перекресток - решение системы.

Если две линии параллельны , то они никогда не пересекаются, так что нет решения.

Если две линии лежат друг на друге , то они та же строка , и у вас есть бесконечное количество решений . В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение указывать они одной линии.


Шаг 4: Проверьте предложенный заказанный парное решение в ОБА уравнения.


Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения.Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно идти назад и повторить проблема.



Пример 2 : Решите систему уравнений, построив график.




* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват по оси x равен (3, 0).

Y-перехват



* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept


Пересечение оси y равно (0, 3).

Найдите другого решение, положив x = 1.



* Вставка 1 для x

Другое решение (1, 2).

Решения:

х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:






* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват по оси x равен (1, 0).

Y-перехват



* Вставка 0 для x для y -int

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 - это div. по -1

* y -перехват


Перехват по оси Y равен (0, -1).

Найдите другого решение, положив x = 2.



* Вставка 2 для x
* Сумма, обратная сумме 2, является вспомогательной. 2

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 это div по -1


Другое решение (2, 1).

Решения:


х y (х, у)
1 0 (1, 0)
0 -1 (0, -1)
2 1 (2, 1)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ - да, они пересекаются в (2, 1).



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

Решение этой системы - (2, 1).




Пример 3 : Решите систему уравнений, построив график.




* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept


Перехват по оси x равен (5, 0).

Y-перехват



* Вставка 0 для x для y -int

* y -перехват


Перехват по оси Y равен (0, 5).

Найдите другого решение, положив x = 1.



* Вставка 1 для x
* Сумма, обратная сумме 1, является вспомогательной. 1


Другое решение (1, 4).

Решения:


х y (х, у)
5 0 (5, 0)
0 5 (0, 5)
1 4 (1, 4)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:





* Вставка 0 для y для x -int
* Сумма, обратная сумме 3, является вспомогательной. 3

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 - это div. по -1

* x - перехват


Перехват по оси x равен (3, 0).

Y-перехват



* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept


Пересечение оси y равно (0, 3).

Найдите другого решение, положив x = 1.



* Вставка 1 для x


Другое решение (1, 2).

Решения:


х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение линия:



Нам нужно спросить себя, есть ли место, где две линии пересекаются, и если да, то где?

Ответ - нет, они не пересекаются. Мы иметь два параллельных линий.



Нет заказанных пар для проверки.

Ответ - нет решения.


Решить методом подстановки

Шаг 1. При необходимости упростите.


Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Для удаления дробей: поскольку дроби - это еще один способ написать деление, а обратное деление - умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


Шаг 2: Решите один уравнение для любой переменной.


Неважно, какое уравнение вы используете или какое переменная, которую вы выбираете решить для.

Вы хотите сделать это как можно проще. Если один уравнений уже решена для одной из переменных, это быстро и легко способ идти.

Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать тот, у которого есть 1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы не будет делить на число и рисковать работать с дробная часть (фу !!).


Шаг 3: Заменить что вы попадаете на шаг 2 в другое уравнение.


Вот почему он называется методом подстановки. Убедись в том, что вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы не сделал используйте на шаге 2.

Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным.


Шаг 4: Решить для оставшаяся переменная.


Решите уравнение, заданное на шаге 3 для переменной что осталось.

Если вам нужен обзор решения линейных уравнений, прочувствуйте бесплатно перейти к Учебник 14: Линейные уравнения от одной переменной.

Если ваша переменная выпадает и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ - бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


Шаг 5. Решите для вторая переменная.


Если вы нашли значение переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое из уравнений задачи и решить для другого Переменная.


Шаг 6. Проверьте предлагаемые упорядоченное парное решение в ОБЕИХ исходных уравнениях.


Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения.Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно идти назад и повторить проблема.




Пример 4 : Решите систему уравнений заменой метод:


Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



Неважно, какое уравнение или какую переменную вы используете. выбрать решение за. Просто будь проще.

Так как x во втором уравнение имеет коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на номер решить эту проблему и рискнуть работать с дробями (YUCK). Самый простой способ - решить второе уравнение для x , и мы определенно хотим выбрать легкий путь.

Вы не ошибетесь, если выберете другой уравнение и / или решить для y , вы снова хотите сохранить его как просто насколько возможно.

Решая второе уравнение относительно x , мы получить:


* 2-е уравнение решено для x



Подставьте выражение y + 1 вместо x в первое уравнение и решите относительно y :
(когда вы вставляете такое выражение, это похоже на то, как вы подключаете в номере вашей переменной)



* Под. л + 1 дюйм для x
* Расст. С 3 по ()
* Объединить похожие термины

* Прибавление 3 - это под. 3



Вставить 3 для y в уравнение в шаг 2, чтобы найти значение x .


* Вставка 3 для y



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (4, 3) в ОБЕИХ уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

(4, 3) - это решение нашей системы.




Пример 5 : Решите систему уравнений заменой метод:


В этом уравнении полно неприятных дробей. Мы можем упростить оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением.До тех пор, как вы проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны равны друг другу.

Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы получить:


* Мног. по ЖК из 2

* Мульт. по ЖК из 2




Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y . Мы можем использовать его на этом этапе.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение за. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как возможный.

Второе уравнение, решенное относительно y :


* Решено для y



Заменить выражение -3 x + 4 для y в первое уравнение и решите относительно x :
(когда вы вставляете такое выражение, это похоже на то, как вы подключаете в номере вашей переменной)



* Под. -3 х + 4 для y
* Переменная выпала И ложь


Погодите, а откуда наш переменная go ????

Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает и вы иметь оператор FALSE, тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика, они будут параллельны друг другу.



Поскольку мы не получили значение для x , там здесь нечего подключать.



Нет заказанных пар для проверки.

Ответ - нет решения.




Пример 6 : Решите систему уравнений заменой метод:


Оба эти уравнения уже упрощены. Нет необходимости в работе делать здесь.



Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y . Мы можем использовать его на этом этапе.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы выбрать решение за. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как возможный.

Второе уравнение, решенное относительно y :


* Решено для y



Подставить выражение 2 x - 4 для y в первое уравнение и решите относительно x :
(когда вы вставляете такое выражение, это похоже на то, как вы подключаете в номере вашей переменной)



* Под. 2 x - 4 для y

* Переменная выпала И истинно


Погодите, а откуда наш переменная go ????

Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы иметь ИСТИННОЕ заявление, тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге та же линия.



Поскольку мы не получили значение для x , там здесь нечего подключать.



Здесь нет никакой ценности для подключения.

Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть бесконечное число решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

Два способа написать ответ: {( x , y ) | 2 x - y = 4} OR {( x , y ) | y = 2 x - 4}.


Решить устранением по Метод сложения


Шаг 1. Упростите и при необходимости поместите оба уравнения в форму A x + B y = C.


Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Для удаления дробей: поскольку дроби - это еще один способ написать деление, а обратное деление - умножение, дробь удаляется на умножение обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.


Шаг 2: умножить на единицу или оба уравнения на число, которое создаст противоположные коэффициенты за либо x , либо y , если необходимо.


Забегая вперед, мы добавим эти два уравнения вместе . В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает вне, оставив нам одно уравнение и одно неизвестное. Единственный способ, которым мы можем гарантия, что если мы добавляем противоположности . Сумма противоположности равно 0.

Если ни одна из переменных не выпадает, значит, мы застряли с уравнение с две неизвестные, которые неразрешимы.

Неважно, какую переменную вы выберете для удаления вне. Вы хотите, чтобы это было как можно проще.Если переменная уже имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений вместе. В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число. тот создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных. Ты может думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал коэффициенты оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение. Сделать убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы добавлять.

Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении и 3 x в другом уравнении, мы могли бы умножать первое уравнение на 3 и получаем 6 x и в второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x . Так когда вы собираетесь сложить эти два, они выпадут.



Сложите два уравнения.

Переменная с противоположными коэффициентами будет выпадать из этого шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным.


Шаг 4: Решите оставшиеся Переменная.


Решите уравнение, найденное на шаге 3 для переменной что осталось.

Если вам нужен обзор решения линейных уравнений, прочувствуйте бесплатно перейти к Учебник 14: Линейные уравнения от одной переменной.

Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ заявление, что означает ваш ответ не решение.

Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА заявление, что означает ваш ответ - бесконечные решения, которые были бы уравнением линия.


Шаг 5: Решить на секунду Переменная.


Если вы нашли значение переменной на шаге 4, что означает два уравнения имеют одно решение. Вставьте значение, найденное в шаг 4 в любое из уравнений задачи и решить для другого Переменная.


Шаг 6: Проверка предлагаемый упорядоченное парное решение в ОБЕИХ исходных уравнениях.


Предлагаемое решение можно подключить к ОБА уравнения.Если это делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение система.

Если хотя бы одно из них становится ложным, вам нужно идти назад и повторить проблема.




Пример 7 : Решите систему уравнений с помощью устранение метод:



В этом уравнении полно неприятных дробей. Мы можем упростить оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны равны друг другу.

Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы получить:



* Мног. по ЖК из 6

* Мульт. по ЖК 40




Опять же, вы хотите сделать это так просто, как возможный.

Обратите внимание, как коэффициент при y в первом уравнение равно 2, а во втором уравнении - 5.Нам нужно иметь противоположности, поэтому, если одному из них будет 10, а другому -10, они бы отменить друг друга, когда мы собираемся их добавить. Если бы мы сложили их вместе так, как они сейчас, мы бы получили одно уравнение и два переменные, ничего бы не выпадало. И мы бы не смогли ее решить.

Итак, я предложил умножить первое уравнение на 5 и второй уравнение на -2, , это создаст 10 и -10 перед y ’s и у нас будут свои противоположности.

Умножение первого уравнения на 5 и второго уравнение на -2 получаем:


* Мног. обе стороны 1-го ур. по 5
* Мульт. обе стороны 2-го ур. по -2

* y х иметь противоположное коэффициенты




* Обратите внимание, что y 's выпал






Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче, чтобы вставьте найденное значение x .

Я решил подключить 10 для x в первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s ценность.



* Вставка 10 для x

* Сумма, обратная сумме 30, является sub. 30

* Инверсная по отношению к мульт.на 2 - div. по 2



Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (10, 24) в ОБЕИХ уравнений исходной системы, что это решение ОБЕИХ из их.

(10, 24) - это решение нашей системы.




Пример 8 : Решите систему уравнений с помощью устранение метод:



Эта задача уже упрощена, однако вторая уравнение не записывается в форме A x + B y = C.Другими словами, нам нужно записать его в таком виде, чтобы все выстраивается в линию, когда мы складываем два уравнения вместе.

Переписывая второе уравнение, получаем:



* Сумма, обратная сумме x , является вспомогательной. x

* Все выстроено в линию



Обратите внимание, что x 's коэффициенты уже противоположности. Коэффициенты y равны также противоположности в этом отношении.

Таким образом, нам не нужно умножать любое уравнение на номер.




* Обратите внимание, что x 's и y оба выпали



Эй, откуда у нас переменные идти??

Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы иметь ИСТИННОЕ заявление, тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге та же линия.



Здесь нет никакой ценности для подключения.



Здесь нет никакой ценности для подключения.

Когда они оказываются в одном уравнении, у вас есть бесконечное число решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

Два способа написать ответ: {( x , y ) | x - y = 3} OR {( x , y ) | y = x - 3}.




Пример 9 : Решите систему уравнений с помощью устранение метод:



Оба эти уравнения уже упрощены и в правильная форма. Здесь не нужно ничего делать.



Опять же, вы хотите сделать это так просто, как возможный.

Обратите внимание, как коэффициент при x в первом уравнение равно 5, а во втором уравнении - 10. Нам нужно имеют противоположности, поэтому, если у одного из них -10, а у другого 10, они бы отменить друг друга, когда мы собираемся их добавить.Если бы мы сложили их вместе так, как они сейчас, мы бы получили одно уравнение и два переменные, ничего бы не выпадало. И мы бы не смогли ее решить.

Итак, я предложил умножить первое уравнение на -2, это создаст -10 и 10 перед x и у нас будут свои противоположности.

Умножая первое уравнение на -2, получаем:


* Мног.обе стороны 1-го ур. по -2

* x 's и y s имеют противоположные коэффициенты




* Обратите внимание, что x 's и y оба выпали



Погодите, а откуда наш переменная go ????

Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает и вы иметь оператор FALSE, тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика, они будут параллельны друг другу.



Здесь нет никакой ценности для подключения.



Здесь нет никакой ценности для подключения.

Ответ - нет решения.



Практические задачи



Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Математика работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути. практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны решить проблему на свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

Практические задачи 1a - 1c: Решите каждую систему с помощью подмена или исключение методом добавления.

Практическая задача 2a: Решите систему, построив график.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?





Последний раз редактировал Ким Сьюард 25 марта 2011 г.
Авторские права на все содержимое (C) 2002 - 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Решение уравнений

Решение уравнений

Большинство людей впервые знакомятся с алгеброй через простые уравнения типа x + 3 = 7.Каждый думает о x как о "загадочное" число, и можно разгадать загадку, работая из предоставленной информации, каким должен быть x. Когда кто-то полностью привык к этой идее, тогда можно научили решать более сложные виды уравнения, такие как квадратные уравнения или одновременные линейные уравнения с двумя или тремя переменными.

Положительные целые числа настолько просты, что, когда мы дадим x = 4 как решение уравнения x + 3 = 7, имеем очевидно, чего-то добились: мы обнаружили, что x, которого мы не знали, оказывается 4, что является номер, с которым мы уже были знакомы. Однако, когда мы оставляем целые числа, это не всегда так просто сказать, в чем наше достижение. Рассмотрим, например, уравнение x 2 = 2. Каково решение? Ну, их два, но более очевидным является (положительный) квадратный корень из 2. И что это значит? Ну положительный квадрат корень из двух - это действительное положительное число, возводящее в квадрат к 2. Итак, чего мы достигли? Мы "узнали", что положительное решение уравнения x 2 = 2 положительное действительное число, равное 2.

Это метод широкого применения. За Например, наибольшее действительное решение уравнения пятой степени

x 5 -13x 4 + 2x 2 -7x-1 = 0

- это не что иное, как {[-13,0,2, -7, -1]}. А что есть значение выражения {[-13,0,2, -7, -1]}? Ну для действительные числа a, b, c, d и e. Я определяю {[a, b, c, d, e]} как наибольшее действительное решение уравнения пятой степени

x 5 + ax 4 + bx 3 + сх 2 + дх + е = 0

Аналогичным способом могу интегрировать e -x 2 (просто определите функцию Phi (x) как интеграл от e -t 2 от минус бесконечности до x), решать неприятные уравнения в частных производных и так далее. Или, на более простом уровне, я могу решить уравнения x + 5 = 0 (установив x равным -5, что определяется как "аддитивная инверсия" 5 - то есть числа, которое дает 0, когда вы добавляете к нему 5) и 3x = 1 (устанавливая x = 1/3, "обратное" 3 - то есть число, которое, когда умножаешь на 3, дает 1).

Конечно, игра, в которую слишком легко играть, - это неинтересная игра, и все же большую часть времени, когда мы решать уравнения, мы чувствуем, что делаем некоторую работу, и узнавая что-то, чего мы не знали.Так что это правильный взгляд на то, что мы делаем? Есть два разных Ответы на этот вопрос оба важны.


Одно решение

Это когда мы сосредотачиваемся на довольно простых уравнениях, таких как x 2 = 2, 3x = 1 и x + 5 = 0, что мы, скорее всего, ощущать некоторую замкнутость в том, что мы делаем. Однако в каждый случай - это что-то нетривиальное в что здесь происходит. Нетривиальное утверждение, что есть действительное число, равное 2 (как у меня обсуждалось на моих страницах на квадратный корень из двух и действительные числа как бесконечные десятичные дроби). Так в одну сторону оправдания нашей обычной практики, когда мы "решаем" уравнение x 2 = 2 означает, что, что интересно, мы можем доказать, что существует единственное положительное реальное решение а второй корень - это имя, которое мы даем этому решению.

Такой ответ не подходит для x + 5 = 0. Непонятно, что означало бы доказать, что -5 существует. Однако даже здесь есть нетривиальное утверждение вовлечены, а именно, что положительные целые числа могут быть встроены в более крупный набор, который мы называем целыми числами, в котором сложение и умножение могут быть определены в естественным путем.Когда они определены на этом большом наборе, они все еще обладают знакомыми свойствами, такими как коммутативность, но они имеют дополнительное очень полезное свойство, заключающееся в том, что каждое число имеет аддитивную инверсию.

Нечто подобное можно сказать об уравнении 3x = 1. Что интересно в решении, так это не то, что, как ни странно, 3 имеет мультипликативную инверсию, и у нас есть найти , а лучше, что кольцо целых чисел может быть встроен в поле, Q.

На самом деле алгебраисты (в отличие от аналитиков) принимают это отношение даже к квадратному корню из двух.Что интересно примерно это число меньше, чем примерно 1.4142135 ... и более того, если мы объявим, что x имеет свойство, что x 2 = 2 (не беспокоясь о том, что такое x - хотя мы знаем, что это не рациональное число), то множество всех чисел форма a + bx, с рациональными a и b, образует поле, которую мы называем Q (корень два). Это второе, более абстрактное, подход к решению уравнений имеет большое значение, когда Рассмотрим уравнение x 2 + 1 = 0. Снова это выглядит круглым, чтобы сказать, что решение - это i, где i - квадратный корень из -1, но опять же, что на самом деле интересно существование некоторого алгебраического структура - на этот раз поле комплексных чисел, который, конечно же, обладает множеством интересных свойств, не все из них алгебраические.


Другой вид решения.

Примеры, которые я рассмотрел до сих пор, предлагают следующий ответ на вопрос, что значит решить уравнение. Уравнение обращает внимание на неадекватность определенного система счисления (не содержит решения уравнение), и поэтому нужно расширить число система путем введения или "присоединения" к решению. С участием удачи, расширенная система обладает хорошими свойствами оригинальный, с дополнительным преимуществом, что больше уравнения могут быть решены.

Иногда мы можем принять точку зрения, что более крупный система счисления уже определена, и что решить уравнение означает доказать, что оно имеет решение в более крупной системе счисления. Другими словами, что есть интересно существование (и после этого, свойства) решения, а не аккуратную формулу для Это. Это изменение отношения особенно важно с дифференциальными уравнениями - где, конечно, сейчас я речь идет не о системах счисления, а о системах функций.Известно, что уравнение f '(x) = e -x 2 не имеет решения в терминах функций, таких как многочлены экспоненты и тригонометрические функции. Однако решение определенно существует (даже если мы не можем антидифференцировать, мы можем интегрировать Римана), и это очень интересно свойства, как вам скажет любой теоретик.

Однако ни одно из приведенных выше представлений не кажется запечатлеть, что происходит, когда мы решаем квадратное уравнение например x 2 = x + 1, получая решение (1 +/- корень 5) / 2.Чего мы достигаем, выполнив квадрат, или по формуле?

Ситуация, несомненно, иная, потому что хотя (1 +/- корень 5) / 2 является решением уравнение, это определенно неверно по определению . С другой стороны, часть решения, а именно квадратный корень из 5, - это по определению решение. Похоже, что мы сделали считать само собой разумеющимся, что мы можем решить уравнение x 2 = 5 (и аналогичные) и использовать это интересная способность решать уравнение, которое не такой простой формы.

Другими словами, когда мы "решаем" квадратичную, что мы действительно показываем, что проблема может сводится к решению особенно простой квадратичная - то есть одна из формы x 2 = c. Аналогичное замечание можно сделать и об уравнении 3х = 7. Предположим, мы знаем, что умножение и сложение удовлетворяют всем аксиомам поля. Это позволяет нам для решения по определению уравнения вида 3x = 1, но чтобы решить уравнение 3x = 7, мы должны взять дополнительный шаг умножения обратного умножения 3 на 7.Таким образом, из существования мультипликативных обратных мы можем вывести решения всех уравнений вида ax = b (с не равным нулю).

Точно так же можно сказать, что e x по определению является решением дифференциального уравнения f '(x) = f (x) (при f (0) = 1). Как только это будет сделано, будет интересно знать, что новых определений не нужны в чтобы решить такие уравнения, как f '' (x) -3f '(x) + 2f (x) = 0.

Этой точки зрения придерживаются, когда говорят, что уравнения пятой степени не могут быть решены.Можно показать, что решения существуют (как действительные или комплексные числа, или как абстрактные объекты, примыкающие к рациональным), но это невозможно уменьшить раствор квинтики до решение уравнения вида x m = c.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск