Функция y = корень квадратный из x, ее свойства и график
Основные цели:
1) сформировать представление о целесообразности обобщённого исследования зависимостей реальных величин на примере величин, связанных отношением у=
2) формировать способность к построению графика у= и его свойства;
3) повторить и закрепить приёмы устных и письменных вычислений, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня.
Оборудование, демонстрационный материал: раздаточный материал.
1. Алгоритм:
2. Образец для выполнения задания в группах:
3. Образец для самопроверки самостоятельной работы:
4. Карточка для этапа рефлексии:
1) Я понял, как построить график функции у=.
2) Я могу по графику перечислить его свойства.
3) Я не допустил ошибок в самостоятельной работе.
4) Я допустил ошибки в самостоятельной работе (перечислить эти ошибки и указать их причину).
Ход урока
1. Самоопределение к учебной деятельности
Цель этапа:
1) включить учащихся в учебную деятельность;
2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с действительными числами.
Организация учебного процесса на этапе 1:
– Что мы изучали на прошлом уроке? (Мы изучали множество действительных чисел, действия с ними, построили алгоритм для описания свойств функции, повторяли функции изученные в 7 классе).
– Сегодня мы продолжим работать с множеством действительных чисел, функцией.
2. Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности
Цель этапа:
1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: функция, независимая переменная, зависимая переменна, графики
y = kx + m, y = kx, y =c, y =x2, y = - x2 ,
2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;
3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов;
4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний.
Организация учебного процесса на этапе 2:
1. Давайте вспомним как можно задать зависимости между величинами? (С помощью текста, формулы, таблицы, графика)
2. Что называется функцией? (Зависимость между двумя величинами, где каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной y = f(x)).
Как называется х? (Независимая переменная - аргумент)
Как называется у? (Зависимая переменная).
3. В 7- м классе мы изучили функции? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x2, y = - x2 , ).
Индивидуальное задание:
Что является графиком функций y = kx + m, y =x2, y = ?
3. Выявление причин затруднений и постановка цели деятельности
Цель этапа:
1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;
2) согласовать цель и тему урока.
Организация учебного процесса на этапе 3:
– Что особенного в этом задании? (Зависимость задана формулой y = с которой мы еще не встречались).
– Какая цель урока? (Познакомиться с функцией y = , ее свойствами и графиком. Функцией в таблице определять вид зависимости, строить формулу и график.)
– Можно сформулировать тему урока? (Функция у=, ее свойства и график).
– Запишите тему в тетради.
4. Построение проекта выхода из затруднения
Цель этапа:
1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.
Организация учебного процесса на этапе 4:
Работу на этапе можно организовать по группам, предложив группам построить график y = , затем проанализировать получившиеся результаты. Также группам можно предложить по алгоритму описать свойства данной функции.
5. Первичное закрепление во внешней речи
Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.
Организация учебного процесса на этапе 5:
Постройте график у= - и опишите его свойства.
Свойства у= - .
1.Область определения функции.
D(y) =
2.Область значений функции.
E(y) =
3. y = 0, y> 0, y<0.
y =0, если x = 0.
y<0, если х(0;+)
4.Возрастания, убывания функции.
Функция убывает при х [0;+ )
5. Ограниченность функции.
Функция ограничена сверху, и не ограничена снизу.
6.Наибольшее, наименьшее значения функции.
у наиб. = нет у наим. = 0.
7.Непрерывность функции.
Функция непрерывна на все области определения.
№13.2(в)
Используя график функции у=, найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [1; 9].
Построим график у=.
Выделим его часть на отрезке [1;9]. Заметим, что у
Ответ: у наим. = 1, у наиб. =3
6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону
Цель этапа: проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.
Организация учебного процесса на этапе 6:
№ 13.1(в)
Учащиеся выполняют задание самостоятельно, проводят самопроверку по эталону, анализируют, исправляют ошибки.
Построим график у=.
С помощью графика найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 4].
7. Включение в систему знаний и повторение
Цель этапа: тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: 2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках.
Организация учебного процесса на этапе 7:
Решите графически уравнение: = х – 6.
Ответ: 9.
Один ученик у доски остальные в тетрадях.
8. Рефлексия деятельности
Цель этапа:
1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
2) оценить собственную деятельность на уроке;
3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;
5) обсудить и записать домашнее задание.
Организация учебного процесса на этапе 8:
– Ребята, какая цель стояла сегодня перед нами? (Изучить функцию у=, ее свойства и график).
– Какие знания нам помогли в достижении цели? (Умение искать закономерности, умение читать графики.)
– Проанализируйте свою деятельность на уроке. (Карточки с рефлексией)
Домашнее задание
п. 13 (до примера 2) № 13.3, 13.4
Решите графически уравнение:
Постройте график функции и опишите его свойства:
Урок 9. график функции y = a(x – m)2 - Алгебра - 9 класс
На прошлых уроках мы рассмотрели два частных случая квадратичной функции: игрек равен а икс в квадрате и игрек равен а икс в квадрате плюс эн. Сегодня мы изучим третий частный случай игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм.
Для того чтобы установить взаимосвязь между графиками функций игрек равен а икс в квадрате и игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм, изобразим в одной координатной плоскости графики следующих функций: игрек равен три икс в квадрате, игрек равен три умножить на квадрат икс плюс два и игрек равен три умножить на квадрат икс минус два. Составим таблицы значений для каждой функции. Возьмём значения аргумента минус два, минус один, нуль, один и два. Чтобы найти значения переменной игрек, подставим каждое значение икс в формулу. Значения функции игрек равен три икс в квадрате соответственно равны двенадцати, трём, нулю, трём и двенадцати. Получаем точки с координатами минус два двенадцать, минус один три, нуль нуль, один три, два двенадцать. Построим параболу три икс в квадрате.
Изобразим последний график игрек равен три умножить на квадрат икс минус два. Значения этой функции найдём при икс равном нулю, одному, двум, трём и четырём. Соответственно получим значения двенадцать, три, нуль, три и двенадцать. Отметим точки с координатами нуль двенадцать, один три, два нуль, три три, четыре двенадцать. Проведём параболу три умножить на квадрат икс минус два.
Посмотрим внимательно на полученные графики функций.
Заметим, что график функции игрек равен три умножить на квадрат икс плюс два можно получить с помощью параллельного переноса вдоль оси икс графика три икс в квадрате на два единичных отрезка влево и эм равно минус двум. А график функции игрек равен три умножить на квадрат икс минус два с помощью параллельного переноса вдоль оси икс параболы три икс в квадрате на два единичных отрезка вправо, эм равно двум.
Так как выполняется параллельный перенос вправо на эм единиц или влево на минус эм единиц, то вершина параболы а умножить на квадрат икс минус эм будет иметь координаты эм, нуль.
Рассмотрим пример. Используя шаблон параболы игрек равен икс в квадрате, постройте график функции игрек равен икс плюс три всё в квадрате.
Сначала построим шаблон. Составим таблицу значений проведём параболу икс в квадрате. Это мы делали не один раз.
Построим график функции игрек равен икс плюс три всё в квадрате. Так как эм равно минус трём и меньше нуля, то перенесём ключевые точки графика икс в квадрате на три единицы влево. Проведём через полученные точки параболу. Получили график функции игрек равен икс плюс три всё в квадрате с вершиной в точке минус три нуль.
Заметим, что производить параллельные переносы можно в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси икс, а затем вдоль оси игрек или наоборот.
Приведём пример. Используя шаблон параболы игрек равен икс в квадрате, постройте график функции игрек равен разности квадрата икс минус три и двух.
Изобразим параболу игрек равен икс в квадрате. Заметим, что у заданной функции эм равно трём и больше нуля. Значит сдвинем точки шаблона на три единицы вправо. Эн равно минус двум и меньше нуля, значит сдвинем полученный график на две единицы вниз. Получили график функции игрек равен разности квадрата икс минус три и двух. Координаты вершины параболы три, минус два.
Можно ли обойтись без них?
Заметим, что графиком функции игрек равен разности квадрата икс минус три и двух является та же парабола, что служила графиком функции игрек равен икс в квадрате, только вершина переместилась из начала координат в точку три минус два. Поэтому можно сделать так: перейти к вспомогательной системе координат с началом в точке три минус два. Для этого построим пунктиром прямые икс равен трём и игрек равен минус двум. В этой вспомогательной системе координат построим шаблон парабола игрек равен икс в квадрате, то есть «привяжем» график функции игрек равен икс в квадрате к новой системе координат и в итоге получим требуемый график.
Подведём итог. Сегодня на уроке мы рассмотрели ещё один частный случай квадратичной функции и его график. Это парабола, которую можно получить из из графика функции игрек равен а икс в квадратес помощью параллельного переноса вдоль оси икс на эм единиц вправо, если эм больше нуля, или на минус эм единиц влево, если эм меньше нуля. Вершина будет иметь координаты эм нуль.
Объединив два частных случая, выяснили, что график функции игрек равен а умножить на квадрат икс минус эм плюс эн. является параболой, которую можно получить из графика функции а икс в квадрате с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси икс на эм единиц вправо, если эм больше нуля, или на минус эм единиц влево, если эм меньше нуля, и сдвига вдоль оси игрек на эн единиц вверх, если эн больше нуля, или на минус эн единиц вниз, если эн меньше нуля.
При этом производить параллельные переносы можно в любом порядке.
Так же мы рассмотрели способ построения графика функции с помощью вспомогательной системы координат.
resh.edu.ru
Урок 8. график функции y = ax2 + n - Алгебра - 9 класс
На прошлом уроке мы познакомились с квадратичной функцией и подробно рассмотрели частный случай игрек равен а икс в квадрате. Сегодня на уроке рассмотрим другой частный случай игрек равен а икс в квадрате плюс эн.
Для того чтобы установить взаимосвязь между графиками этих функций, изобразим в одной координатной плоскости графики следующих функций: игрек равен три икс в квадрате, игрек равен три икс в квадрате плюс два и игрек равен три икс в квадрате минус два. Составим таблицы значений для каждой функции. Возьмём значения аргумента минус два, минус один, нуль, один и два. Значения функции игрек равен три икс в квадрате соответственно равны двенадцати, трём, нулю, трём и двенадцати. Отметим полученные точки на координатной плоскости и построим параболу три икс в квадрате.
Составим таблицу значений для функции три икс в квадрате плюс два, взяв те же значения аргумента. Получим значения функции четырнадцать, пять, два, пять и четырнадцать. Отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем параболу три икс в квадрате плюс два. Для третьей функции игрек равен три икс в квадрате минус два таблица значений имеет следующий вид. Отметим полученные точки на координатной плоскости и проведём параболу три икс в квадрате минус два.
Посмотрим внимательно на полученные графики функций. Нетрудно заметить, что график функции игрек равен три икс в квадрате плюс два можно получить с помощью параллельного переноса графика три икс в квадрате на два единичных отрезка вверх. А график функции игрек равен три икс в квадрате минус два с помощью параллельного переноса параболы три икс в квадрате на два единичных отрезка вниз.
Сделаем вывод. График функции игрек равен а икс в квадрате плюс эн является параболой, которую можно получить из графика функции игрек равен а икс в квадрате с помощью параллельного переноса вдоль оси игрек на эн единиц вверх, если эн больше нуля, или на минус эн единиц вниз, если эн меньше нуля.
Так как выполняется параллельный перенос вверх на эн единиц или вниз на минус эн единиц, то вершина параболы а икс в квадрате плюс эн будет иметь координаты нуль, эн.
Рассмотрим примеры. Используя шаблон параболы игрек равен икс в квадрате, постройте график функции игрек равен икс в квадрате минус четыре. Составим таблицу значений. Отметим на координатной плоскости точки с координатами минус три девять, минус два четыре, минус один один, нуль нуль, один один, два четыре, три девять. Проведём параболу икс в квадрате.
Построим график функции игрек равен икс в квадрате минус четыре. Так как эн равно минус четырём и меньше нуля, то перенесём ключевые точки графика икс в квадрате на четыре единицы вниз. Проведём через полученные точки параболу. Получили график функции игрек равен икс в квадрате минус четыре с вершиной в точке нуль минус четыре.
Используя этот же шаблон построим график функции игрек равен минус икс в квадрате плюс три. Заметим, что перед икс в квадрате стоит знак минус. На прошлом уроке вы узнали, что график функции игрек равен минус эф от икс симметричен графику функции игрек равен эф от икс относительно оси икс. Поэтому построим точки, симметричные ключевым точкам графика игрек равен икс в квадрате. Получим график функции игрек равен минус икс в квадрате.
График функции игрек равен минус икс в квадрате плюс три получен из графика игрек равен минус икс в квадрате с помощью параллельного переноса на три единицы вверх. Таким образом, получили график функции игрек равен минус икс в квадрате плюс три с вершиной нуль три.
Подведём итог. Сегодня на уроке мы изучили функцию игрек равен а икс в квадрате плюс эн. Выяснили, что график функции можно получить из графика функции игрек равен а икс в квадрате с помощью параллельного переноса вдоль оси игрек на эн единиц вверх, если эн больше нуля, или на минус эн единиц вниз, если эн меньше нуля.
resh.edu.ru
Функции y=x2 и y=x3 и их графики
Вопросы занятия:
· рассмотреть функцию y = x2, её свойства и график;
· рассмотреть функцию y = х3, её свойства и график.
Материал урока
На одном из предыдущих уроков мы с вами познакомились с линейной функцией, которую можно задать формулой вида:
Также вспомним, что графиком линейной функции является прямая.
На этом уроке мы рассмотрим функции:
А точнее, мы научимся строить графики этих функций и выясним некоторые их свойства.
Начнём с того, что выразим формулой зависимость площади квадрата от длины его стороны.
Таким образом, зависимость площади квадрата от его стороны является примером функции.
Давайте построим график этой функции.
Составим таблицу значений x, y.
Далее полученные точки изобразим на координатной плоскости и проведём через них плавную линию.
Обратите внимание, что этот график неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси игрек.
Теперь выясним некоторые свойства функции y = x2.
Из последнего свойства графика следует, что точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси игрек.
Теперь давайте выразим формулой зависимость объёма куба от длины его ребра.
Если мы будем менять длину ребра, то и его объём будет меняться.
Зависимость объёма куба от длины его ребра является примером функции.
Построим график этой функции. Для этого придадим несколько значений аргументу икс и вычислим соответствующие значения функции.
Изобразим точки с полученными координатами на координатной плоскости и проведём через них плавную линию.
Обратите внимание, что этот график можно неограниченно продолжать справа от оси игрек вверх и слева от оси игрек вниз.
Поговорим о свойствах функции игрек равняется икс в кубе.
Следовательно, точки графика, которые имеют противоположные абсциссы, расположены симметрично относительно начала координат.
В повседневной жизни представление о параболе дают нам, например, траектории прыжков животных, радуга. Тросы висячего моста напоминают нам параболы.
Также параболу часто можно встретить в архитектуре.
videouroki.net