Пример 1 . Найти

1.Находим неопределенный интеграл, полагая с=0. Имеем

2 .Вычисляем приращение первообразной :

При наличии навыка запись решения примера должна выглядеть так:

Пример 2 . Найти

Этот интеграл вычисляется с помощью замены:

И при , а при

Поэтому

Пример3. Найти

Этот интеграл следует вычислять по частям, т.е. по формуле

Пусть

тогда

Поэтому

Приложение определенного интеграла.

1.Площадь плоской фигуры.

2. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

3.Вычисление объема тела вращения.

4.Работа совершаемая переменной силой.

5.Прирост численной популяции.

Площадь плоской фигуры.

Абсолютная величина выражает

искомую площадь, т. е.

Этот интеграл определяет площадь

фигуры, заключенной между

графиком функции y=f(x), осью Ox

и двумя прямыми x=a и x=b.

Площадь плоской фигуры.

Если график функции y=f(x) на интервале

[a,b] несколько раз пересекает ось Ox , то

необходимо вычислять площади

фигур, расположенных выше оси Ox , а

также площади фигур, которые

лежат ниже оси Ox , и сложить их

абсолютные величины. Так,

площадь заштрихованной фигуры равна

Площадь плоской фигуры.

Если плоская фигура ограничена

несколькими линиями, то формула

для вычисления имеет вид

Площадь плоской фигуры. Пример №1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Это криволинейная

трапеция, поэтому ее площадь

равна:

Площадь плоской фигуры. Пример №1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Фигура ограничена снизу

параболой, сверху прямой.

Найдем координаты точек

пересечения этих линий. Для этого

нужно решить систему.

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.

Если площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ox , может быть выражена как функция от х, т.е. в виде S=S (x) (a

Вычисление объема тела вращения.

Пусть вокруг оси Ox вращается

криволинейная трапеция,

ограниченная линиями:

Тогда объем полученного тела

вращения можно найти по формуле:

Вычисление объема тела вращения.

Пример1.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y 2 =2x,y=0,x=1.

Решение:

Вычисление объема тела вращения.

Пример1. Предположим, что фигура, ограниченная прямыми и осью Ox , вращается вокруг оси Ox . Вычислить его объем.

Решение: Полученное тело вращения –косинус. Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения прямых с осью Ox . Решаем системы

Итак, а=0, b=4. Далее находим

Работа совершаемая переменной силой .

Пусть на материальную точку в положительном направлении оси Ox действует сила F(x) , в результате чего точка перемещается из положения х = а

в положение х = b . Найдем совершаемую при этом работу. ( Если величина силы меняется в зависимости от точки приложения, то эта формула непригодна.)

Вывод: Величина работы, совершаемой переменной силой, направление которой совпадает с направлением движения, равна определенному интегралу от величины силы по длине пути.

Работа совершаемая переменной силой .

Пример1. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см., если известно , что от нагрузки в 1Н она растягивается на 1см?

(См. справочный материал. )

Решение:

Согласно закону Гука , сила Х Н, растягивающая пружина на х м , равна Х= k x. коэффициент пропорциональности k найдем из условия: если х=0,01м, то Х=1Н; следовательно, k =1\0,01=100 и Х=100х. Тогда

Прирост численной популяции.

Пусть известна скорость v (t) роста некоторой популяции. Требуется найти прирост численности за время от до T . Если скорость роста постоянна, то

Прирост популяции равен определенному интегралу от скорости по интервалу времени ее размножения.

Заключение.

Данное методическое пособие может быть использовано преподавателями и студентами при подготовке к занятиям по теме «Интегральное исчисление», а также при проектировании курсовых проектов студентов агрономического и бухгалтерского отделения.

От определения определенного интеграла до кода, подробно объясните прямоугольный метод решения определенного интеграла.

тема:
Напишите общую функцию, которая использует прямоугольники для получения определенных интегралов, соответственно F (0,1) sinx dx, F (-1,1) cosx dx, F (0,2) exp ( x) Определенный интеграл от dx. (F (0,1) представляет собой диапазон определенного интеграла)
Примечание. sin, cos, exp уже находятся в библиотеке математических функций системы.

Сначала объясните, почему вы можете использовать метод прямоугольника для нахождения определенных интегралов:

Давайте сначала посмотрим на определение формулы:
обычно определяется как: диапазон определенного интеграла равен (a, b), чтобы найти интеграл от f (x), который по существу решается в соответствии с формулой изображения.
Особый случай: a = 0, когда b = 1, формулу можно упростить.

Давайте снова посмотрим на интуитивно понятные геометрические фигуры и почувствуем сочетание числа и формы (изображение цитируется в энциклопедии Baidu)


Видно, что определенный интеграл от (a, b) равенНайдите площадь кривой функции и ось абсцисс в диапазоне (a, b)Эта площадь равна сумме площадей n маленьких прямоугольников. И эти маленькие прямоугольники представляют собой прямоугольники одинаковой ширины и разной высоты. Высота прямоугольника зависит от значения x в f (x). Таким образом, вы можете использовать эквидистантность прямоугольника, чтобы получить абсциссу. x = a + i × h (i = 0,1,2… n)
Если каждый маленький прямоугольник разделен, тем ближе он к реальной площади. Код выражается как h = (ba) / n. Поскольку ширина каждого прямоугольника равноудалена, h равно то же самое, Следовательно, ордината f (x) может быть выражена как y = f (a + i * h), а i представляет собой ширину нескольких прямоугольников. Таким образом, чем больше значение n, тем больше прямоугольников разделено, тем точнее будет результат.

for(i=1;i<=n;i++) 
  {x=x+h; 
   s=s+(*p)(x)*h; 
   
  
  }

#include<stdio.h>
#include<math.h>





int main()
{float integral(float(*)(float),float,float,int);
float fsin(float);          
float fcos(float);          
float fexp(float);          
float a1,b1,a2,b2,a3,b3,c,(*p)(float);
int n=20; 
printf("input a1,b1:");
scanf("%f,%f",&a1,&b1);
printf("input a2,b2:");
scanf("%f,%f",&a2,&b2);
printf("input a3,b3:");
scanf("%f,%f",&a3,&b3);
p=fsin;
c=integral(p,a1,b1,n);
printf("The integral of sin(x) is:%f\n",c);
p=fcos;
c=integral(p,a2,b2,n);
printf("The integral of cos(x) is:%f\n",c);
p=fexp;
c=integral(p,a3,b3,n);
printf("The integral of exp(x) is:%f\n",c);
return 0;
}

float integral(float(*p)(float),float a,float b,int n)
{int i;
 float x,h,s;
 h=(b-a)/n;
 x=a;
 s=0;
 for(i=1;i<=n;i++)
  {x=x+h;
   s=s+(*p)(x)*h; 
  }
  return(s);
}
  float fsin(float x)
    {return sin(x);}
  float fcos(float x)
    {return cos(x);}
  float fexp(float x)
    {return exp(x);}

Изучение интегрирования началось в третьем веке до нашей эры с его использованием для нахождения площади окружности, параболы, эллипса. Давайте узнаем больше об определенных интегралах и свойствах определенных интегралов.

Что такое определенный интеграл?

Определенный интеграл – это площадь под кривой между двумя фиксированными пределами.b_af(x)dx\), где a — нижний предел, а b — верхний предел для функции f(x), определенной относительно оси x. Чтобы найти площадь под кривой между двумя пределами, мы делим площадь на прямоугольники и суммируем их. Чем больше прямоугольников, тем точнее площадь. Итак, мы делим площадь на бесконечное количество прямоугольников одинакового (очень маленького) размера и складываем все площади. Это фундаментальная теория, которая лежит в основе определенных интегралов.

Определенная интегральная формула

Формулы определенных интегралов используются для вычисления определенного интеграла.2dx\) = (1 ³ /3 + С) — (0 ³ /3 + С) = 1/3.

Постоянная интегрирования C всегда отменяется при применении пределов. Поэтому мы всегда игнорируем C при вычислении определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла помогают найти интеграл для функции, умноженной на константу, для суммы функций, а также для четных и нечетных функций. Проверим следующие свойства определенных интегралов, которые помогают решать задачи об определенных интегралах.a_{-a}f(x).dx = 0\), если f(x) — нечетная функция (т. е. f(-x) = -f(x)).

Применение определенного интеграла

Определенные интегралы в основном используются для нахождения площадей плоских фигур, таких как окружности, параболы, эллипсы. Проверим подробно применение определенных интегралов для нахождения площадей каждой из этих фигур.

Площадь круга с использованием определенного интеграла

Площадь круга рассчитывается путем вычисления площади части круга в первом квадранте.Здесь уравнение окружности x ² + y ² = a ² заменяется уравнением кривой вида y = √(a ² — x ² ). Здесь мы используем понятие определенного интеграла, чтобы найти уравнение кривой относительно оси x и пределы от 0 до a.

Площадь круга в четыре раза больше площади квадранта круга. Площадь квадранта вычисляется путем интегрирования уравнения кривой через пределы в первом квадранте.а_0\)

= 4[((a/2)× 0 + (a ² /2)sin ^-1 1) — 0]

= 4(а ² /2)(π/2)

= πa ²

Следовательно, площадь круга равна πa ² квадратных единиц.

Площадь параболы с использованием определенного интеграла

Парабола имеет ось, которая делит параболу на две симметричные части. Здесь мы берем параболу, симметричную относительно оси x и имеющую уравнение y ² = 4ax. Это можно преобразовать как y = √(4ax).2}{3}\) квадратных единиц.

Площадь эллипса с использованием определенного интеграла

Уравнение эллипса с большой осью длиной 2а и малой осью 2b имеет вид как y = b/a .√(a ² — x ² ). Здесь мы используем понятие определенного интеграла для вычисления площади, ограниченной эллипсом по первой координате и относительно оси x. Далее его умножают на 4, чтобы получить площадь эллипса.2}{2}.\frac{\pi}{2}\\&=\pi ab\end{align}\)

Следовательно, площадь эллипса равна πab кв.

Похожие темы

Следующие темы помогут лучше понять определенный интеграл.

Часто задаваемые вопросы по Definite Integral

Что такое определение определенного интеграла?

Определенный интеграл используется для нахождения площади кривой и представляется как \(\int^b_af(x). b _a f(a + b — x).dx \)

Как вычислить определенный интеграл?

Чтобы вычислить определенный интеграл:

• Вычисление неопределенного интеграла (т. е. без ограничений)
• Замените верхний предел, а затем нижний предел в ответе на предыдущем шаге.
• Вычесть оба результата по порядку.

Как вычислить определенные интегралы четных функций?

Определенные интегралы четной функции также следуют тому же процессу, что и любая другая функция.Ь_а = Ь — а\).

Что такое определенный интеграл и неопределенный интеграл?

Определенный интеграл	Неопределенный интеграл
Определенные интегралы определяются для интегралов с пределами.	Неопределенные интегралы не имеют пределов.
Ответ определенного интеграла представляет собой простое числовое значение.	Для неопределенного интеграла результирующий ответ в основном является выражением.
Не будет константы интегрирования ‘C’.	Мы всегда используем константу интегрирования ‘C’ в ответе.

Все формулы неопределенных интегралов можно использовать с определенными интегралами вместе с применением ограничений к формуле.

Каково практическое применение определенного интеграла?

Определенные интегралы можно использовать для нахождения площади кривых, таких как круг, эллипс, парабола.В основном формулы интегрирования используются для нахождения площади неправильных форм. В определенных интегралах площадь небольшого пространства вычисляется путем применения ограничений, а затем манипулируется, чтобы найти площадь всего пространства. Площадь круга рассчитывается путем его интегрирования по оси x в первом квадранте с ограничениями от начала координат до его радиуса, а затем умножается на 4, чтобы получить площадь всего круга.

5.2: Определенный интеграл — Mathematics LibreTexts

Цели обучения

• Дайте определение определенного интеграла. ∗_i)Δx.\]

  Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \(f(x)\) было непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

  Определение и обозначение

  Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \(f(x)\) и определяем определенный интеграл следующим образом.∗_i)Δx,\]

  при наличии ограничения. Если этот предел существует, то функция \(f(x)\) называется интегрируемой на \([a,b]\) или является интегрируемой функцией.

  Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Подобные обозначения мы видели в главе о приложениях производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без \(a\) и \(b\) выше и ниже) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают.Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

  Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления вместе с Исааком Ньютоном.Символ интегрирования \(∫\) представляет собой удлиненный \(S\), что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала, \([a,b].\) Числа \(a\) и \(b\) являются \(x\)-значениями и называются пределами интегрирования ; в частности, \(a\) — нижний предел, а \(b\) — верхний предел. ∗_i)∆x\) существует и единственно.Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

  Непрерывные функции интегрируемы

  Если \(f(x)\) непрерывно на \([a,b]\), то \(f\) интегрируемо на \([a,b].\)

  Функции, не являющиеся непрерывными на \([a,b]\), все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемыми являются функции с конечным числом скачкообразных разрывов или устранимых разрывов на отрезке.

  Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана.Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 2\,dx.\) Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

  Раствор

  Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \(a=0\) и \(b=2\). Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет обычным разделом \([0,2].\). Тогда

  \[Δx=\dfrac{b−a}{n}=\dfrac{2}{n}. \номер\]

  Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого \(i\) нам нужно вычислить значение функции в правой конечной точке интервала \([x_{i−1},x_i].3_0(2x−1)\,dx\).

  Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

  Подсказка

  Используйте стратегию решения из примера \(\PageIndex{1}\).

  Ответить

  6

  Вычисление определенных интегралов

  Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси \(х\).4_2(2x+3)\,dx\).

  Подсказка

  Построить график функции \(f(x)\) и вычислить площадь под функцией на интервале \([2,4].\)

  Ответить

  18 квадратных блоков

  Площадь и определенный интеграл

  Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности \(f(x)\). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \(f(x)\) отрицательно?

  Чистая подписанная область

  Вернемся к сумме Римана. ∗_i)Δx= (\text{Площадь прямоугольников над осью }x\text{-})−(\text{Площадь прямоугольников под осью }x\text{-}) \nonumber\]

  Рисунок \(\PageIndex{2}\): для частично отрицательной функции сумма Римана представляет собой площадь прямоугольников над осью \(x\) за вычетом площади прямоугольников под \(x\) -ось.

  В пределе \(n→∞,\) сумма Римана приближается к площади между кривой над осью \(x\) и осью \(x\) за вычетом площади между кривой под \ (x\) и ось \(x\), как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\).nf(c_i)Δx=A_1−A_2.\]

  Величина \(A_1−A_2\) называется чистой областью со знаком .

  Рисунок \(\PageIndex{3}\): В пределе определенный интеграл равен площади \(A_1\) минус площадь \(A_2\) или чистой площади со знаком.

  Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью \(x\) больше, чистая площадь со знаком положительна. Если площадь под осью \(x\) больше, чистая площадь со знаком будет отрицательной. Если площади выше и ниже оси \(x\) равны, чистая площадь со знаком равна нулю.

  Пример \(\PageIndex{3}\): Поиск области со знаком сети

  Найти чистую площадь со знаком между кривой функции \(f(x)=2x\) и осью \(x\) на интервале \([−3,3].\)

  Раствор

  Функция создает прямую линию, образующую два треугольника: один от \(x=−3\) до \(x=0\), а другой от \(x=0\) до \(x=3\) ( Рисунок \(\PageIndex{4}\)). Используя геометрическую формулу площади треугольника \(A=\dfrac{1}{2}bh\), площадь треугольника \(A_1\) над осью равна

  \(A_1=\dfrac{1}{2}3(6)=9\),

  , где \(3\) — основание, а \(2(3)=6\) — высота.3_{−3}2x\,dx=A_1−A_2=9−9=0.\)

  Рисунок \(\PageIndex{4}\): площадь над кривой и под осью \(x\) равна площади под кривой и над осью \(x\).

  Анализ

  Если \(A_1\) — это площадь над осью \(x\), а \(A_2\) — площадь под осью \(x\), то чистая площадь равна \(A_1−A_2\) . Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

  Упражнение \(\PageIndex{3}\)

  Найдите чистую площадь со знаком \(f(x)=x−2\) на интервале \([0,6]\), показанном на следующем рисунке.

  Подсказка

  Используйте метод решения, описанный в примере \(\PageIndex{3}\).

  Ответить

  6

  Общая площадь

  Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \(v(t)\) представляет собой скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения.Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости.

  Когда скорость постоянна, площадь под кривой равна скорости, умноженной на время. Эта идея уже очень знакома. Если автомобиль удаляется от своего начального положения по прямой со скоростью \(70\) миль в час в течение \(2\) часов, то он находится на \(140\) миль от своего первоначального положения (рисунок \(\ Индекс страницы{5}\)).2_0 70\,dt=140 \,\text{мили}. \номер\]

  Рисунок \(\PageIndex{5}\): Площадь под кривой \(v(t)=70\) говорит нам, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

  В контексте смещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рис. \(\PageIndex{6}\)).5_2−40\,dt=120−120=0.\номер\]

  В этом случае смещение равно нулю.

  Рисунок \(\PageIndex{6}\): Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

  Предположим, мы хотим узнать, какое расстояние проезжает машина независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью \(t\), независимо от того, находится ли эта площадь выше или ниже оси. Это называется общей площадью .

  Графически проще всего представить общую площадь путем сложения площадей над осью и площадей под осью (вместо вычитания площадей под осью, как мы сделали с чистой площадью со знаком).5_240\,dt=120+120=240.\номер\]

  Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.

  Определение: Область сети со знаком

  Пусть \(f(x)\) — интегрируемая функция, определенная на интервале \([a,b]\). Пусть \(A_1\) представляет собой площадь между \(f(x)\) и осью \(x\), которая лежит над осью, а \(A_2\) представляет собой площадь между \(f(x)\) ) и ось \(x\), которая лежит ниже оси. Затем чистая область со знаком между \(f(x)\) и осью \(x\) определяется как

  \[∫^b_af(x)\,dx=A_1−A_2. a_af(x)\,dx=0 \end{equation} \]

  Если пределы интегрирования одинаковы, интеграл представляет собой прямую и не содержит площади.2_1f(x)\,dx.\)

  Подсказка

  Используйте стратегию решения из Примера \(\PageIndex{6}\) и правило о свойствах определенных интегралов.

  Ответить

  \(−7\)

  Сравнительные свойства интегралов

  Иногда изображение может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования.Интуитивно можно сказать, что если функция \(f(x)\) выше другой функции \(g(x)\), то площадь между \(f(x)\) и \(x\)- ось больше площади между \(g(x)\) и \(x\)-осью. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов справедливы как \(ab\). Однако следующие свойства относятся только к случаю \(a≤b\) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов.

  Теорема сравнения

  я.2}\) и \(g(x)=\sqrt{1+x}\) на интервале \([0,1]\).

  Раствор

  Построение графика этих функций необходимо для понимания того, как они сравниваются на интервале \([0,1].\) Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе \(f(x)\) кажется выше \(g(x )\) повсюду. Однако на интервале \([0,1]\) графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \([0,1],\,g(x)\) выше \(f(x)\). Две функции пересекаются в точках \(x=0\) и \(x=1\) (рис. \(\PageIndex{8}\)).1_0f(x)\,dx\) (Рисунок \(\PageIndex{9}\)). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале \([0,1].\)

  Рисунок \(\PageIndex{9}\): (a) График показывает, что на интервале \([0,1],g(x)≥f(x),\), где равенство выполняется только на концах интервал. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

  Среднее значение функции

  Нам часто нужно найти среднее значение набора чисел, например, средней оценки за тест.Предположим, вы получили следующие результаты тестов на уроке алгебры: 89, 90, 56, 78, 100 и 69. Ваша оценка за семестр — это среднее значение результатов тестов, и вы хотите знать, какую оценку ожидать. Мы можем найти среднее значение, сложив все баллы и разделив их на количество баллов. В этом случае имеется шесть тестовых баллов. Таким образом,

  \[\dfrac{89+90+56+78+100+69}{6}=\dfrac{482}{6}≈80,33. \номер\]

  Таким образом, ваш средний балл за тест составляет примерно 80,33, что соответствует B− в большинстве школ.

  Предположим, однако, что у нас есть функция \(v(t)\), которая дает нам скорость объекта в любой момент времени \(t\), и мы хотим найти среднюю скорость объекта. Функция \(v(t)\) принимает бесконечное число значений, поэтому мы не можем использовать только что описанный процесс. К счастью, мы можем использовать определенный интеграл, чтобы найти среднее значение такой функции.

  Пусть \(f(x)\) непрерывен на интервале \([a,b]\) и пусть \([a,b]\) разбит на n подинтервалов шириной \(Δx=(b−a )/н\).b_af(x)\,dx. \метка{среднее значение}\]

  Пример \(\PageIndex{8}\): нахождение среднего значения линейной функции

  Найти среднее значение \(f(x)=x+1\) на интервале \([0,5].\)

  Раствор

  Сначала постройте график функции на указанном интервале, как показано на рисунке \(\PageIndex{10}\).

  Рисунок \(\PageIndex{10}\): На графике показана площадь под функцией \((x)=x+1\) над \([0,5].\)

  Область представляет собой трапецию, лежащую на стороны, поэтому мы можем использовать формулу площади для трапеции \(A=\dfrac{1}{2}h(a+b),\), где \(h\) представляет высоту, а \(a\) и \ (b\) представляют две параллельные стороны.5_0x+1\,dx=\dfrac{1}{5}⋅\dfrac{35}{2}=\dfrac{7}{2}\).

  Упражнение \(\PageIndex{7}\)

  Найти среднее значение \(f(x)=6−2x\) на интервале \([0,3]. \)

  Подсказка

  Используйте формулу среднего значения (уравнение \ref{averagevalue}) и используйте геометрию для вычисления интеграла.

  Ответить

  \(3\)

  Ключевые понятия

  • Определенный интеграл можно использовать для расчета чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью \(x\) за вычетом площади под осью \(x\).Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
  • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
  • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
  • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
  • Площадь под кривой многих функций можно рассчитать с помощью геометрических формул. b_cf(x)\,dx\)

    Глоссарий

    среднее значение функции

    (или \(f_{ave})\) среднее значение функции на интервале можно найти, вычислив определенный интеграл функции и разделив это значение на длину интервала

    определенный интеграл

    первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью \(х\) на заданном интервале есть определенный интеграл

    интегрируемая функция

    функция является интегрируемой, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана при стремлении \(n\) к бесконечности существует

    подынтегральная функция

    функция справа от символа интегрирования; подынтегральное выражение включает интегрируемую функцию

    пределы интегрирования

    эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, по которому функция должна интегрироваться

    чистая область со знаком

    площадь между функцией и осью \(х\), при которой площадь под осью \(х\) вычитается из площади над осью \(х\); результат такой же, как определенный интеграл функции

    общая площадь

    общая площадь между функцией и осью \(x\) рассчитывается путем сложения площади над осью \(x\) и площади под осью \(x\); результат такой же, как определенный интеграл от абсолютного значения функции

    переменная интегрирования

    указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это \(x\), то за функцией под интегралом следует \(dx\)

    Авторы и авторство

    • Гилберт Странг (MIT) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент от OpenStax лицензирован по лицензии CC-BY-SA-NC 4.0. Скачать бесплатно на http://cnx.org.

    Определенные интегралы — исчисление 2

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects. org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    Сент-Луис, Миссури 63105
    

    Или заполните форму ниже:

     

    AC Определенный интеграл

    Раздел 4.3 Определенный интеграл

    ¶

    Мотивирующие вопросы

    • Как увеличение количества подынтервалов влияет на точность аппроксимации, генерируемой суммой Римана?

    • Как определяется определенный интеграл функции \(f\) по интервалу \([a,b]\text{?}\)

    • Что именно измеряет определенный интеграл и каковы некоторые из его основных свойств?

    На рис. 4.3.1 мы видим свидетельство того, что увеличение числа прямоугольников в сумме Римана улучшает точность аппроксимации чистой области со знаком, ограниченной данной функцией.

    Рисунок 4.3.1. Слева и в центре две левые суммы Римана для функции \(f\), которая иногда бывает отрицательной; справа точные области, ограниченные \(f\) на интервале \([a,d]\text{.}\)

    Поэтому мы исследуем естественную идею неограниченного увеличения количества прямоугольников. Пытаясь вычислить точную чистую площадь со знаком, мы также учитываем различия между левыми, правыми и средними суммами Римана и различные результаты, которые они дают по мере увеличения значения \(n\).2}{10} + 3\) на интервале \([1,7]\text{.}\) Значение суммы равно \(R_{10} = 4,

    \text{.}\)

    Обратите внимание, что значение выбранной суммы Римана отображается рядом со словом «относительный», и что вы можете изменить тип вычисляемой суммы Римана, перетащив точку на ползунке под фразой «размещение точки выборки».

    Узнайте, как можно изменить окно, в котором отображается функция, а также саму функцию. Вы можете установить минимальное и максимальное значения \(x\), нажав и перетащив синие точки, которые устанавливают конечные точки; вы можете изменить функцию, набрав новую формулу в окне «f(x)» внизу; и вы можете настроить окно в целом, «панорамируя и масштабируя» с помощью клавиши Shift и функции прокрутки мыши.Дополнительную информацию о панорамировании и масштабировании можно найти по адресу http://gvsu.edu/s/Fl.

    Работайте соответствующим образом, чтобы настроить апплет так, чтобы он использовал левую сумму Римана с \(n = 5\) подинтервалами для функции \(f(x) = 2x + 1\text{.}\) Вы должны увидеть обновленный рисунок показан на рисунке 4.3.3. Затем ответьте на следующие вопросы.

    1. Обновите апплет (и окно просмотра при необходимости), чтобы рассматриваемая функция была \(f(x) = 2x+1\) на \([1,4]\text{,}\) как указано выше.Для этой функции на этом интервале вычислите \(L_{n}\text{,}\) \(M_{n}\text{,}\) \(R_{n}\) для \(n = 5\text {,}\) \(n = 25\text{,}\) и \(n = 100\text{. 2 + 1 ” для формулы функции).2+1\) и ось \(x\) на \([1,4]\) по формуле, как в (b)?

    Рисунок 4.3.3. Левая сумма Римана с 5 подинтервалами для функции \(f(x) = 2x+1\) на интервале \([1,4]\text{.}\) Значение суммы равно \(L_5 = 16,2 \текст{.}\)

    Подраздел 4.3.1 Определение определенного интеграла

    В предварительном просмотре 4.3.1 мы увидели, что по мере того, как количество прямоугольников становилось все больше и больше, значения \(L_n\text{,}\) \(M_n\text{,}\) и \(R_n\) все становилось все ближе и ближе к одному и тому же значению.*) \Дельта х\текст{.} \end{уравнение*}

    То, что эти пределы всегда существуют (и имеют одно и то же значение), когда \(f\) непрерывно ² , позволяет нам сделать следующее определение.

    Оказывается, функция не обязательно должна быть непрерывной, чтобы иметь определенный интеграл. Для наших целей мы предполагаем, что рассматриваемые нами функции непрерывны на интересующем интервале (интервалах). Легко видеть, что любая функция, кусочно-непрерывная на интересующем интервале, также будет иметь четко определенный интеграл.b v(t) \,dt\) сообщает нам расстояние, пройденное объектом. Если скорость иногда отрицательна на \([a,b]\text{,}\), то с помощью определенных интегралов можно найти площади, ограниченные функцией на каждом интервале, где \(v\) не меняет знака, а сумма этих площадей покажет нам расстояние, пройденное объектом.

    Чтобы вычислить значение определенного интеграла из определения, мы должны взять предел суммы. Хотя это возможно сделать в определенных обстоятельствах, это также утомительно и требует много времени и не дает много дополнительного понимания значения или интерпретации определенного интеграла.Вместо этого в Разделе 4.4 мы изучим Фундаментальную теорему исчисления, которая обеспечивает быстрый способ вычисления большого класса определенных интегралов. Это позволит нам определить точную чистую площадь со знаком, ограниченную непрерывной функцией и осью \(x\) во многих случаях.

    На данный момент наша цель состоит в том, чтобы понять смысл и свойства определенного интеграла, а не вычислить его значение. Чтобы сделать это, мы будем полагаться на чистую интерпретацию площади со знаком определенного интеграла.4 g(x) \, dx\text{,}\), где \(g\) — функция, изображенная на рисунке 4.3.7. Предположим, что каждая часть \(g\) является либо частью прямой, либо частью окружности.

    Рисунок 4.3.7. Кусочно определенная функция \(g\); каждая часть функции является частью круга или частью линии.
  Подсказка

  1. Нарисуйте область, ограниченную \(y = 3x\) и осью \(x\) на \([0,1]\text{.}\)

  2. Нарисуйте область, ограниченную \(y = 2-2x\) и осью \(x\) на \([-1,4]\text{.4 g(x) \, dx\text{,}\), где \(g\) — функция, изображенная на рис. 4.3.7, рассмотрим функцию на семи последовательных подынтервалах длины 1. Заметим, что на \([- 3,-2]\text{,}\) ограниченная область \(\frac{1}{2}\text{.}\) On \([-2,-1]\text{,}\) площадь равна \(\frac{1}{4} \pi\text{. a f(x) \, dx\) очевидно, что никакая площадь не заключена, потому что интервал начинается и заканчивается одной и той же точкой.б f(x) \,dx\text{.} \end{уравнение*}

     Этот результат имеет смысл, потому что если мы проинтегрируем от \(a\) до \(b\text{,}\), то в определяющей сумме Римана мы положим \(\Delta x = \frac{ba}{n}\ text{,}\), в то время как если мы проинтегрируем от \(b\) до \(a\text{,}\), мы получим \(\Delta x = \frac{ab}{n} = -\frac{ba} {n}\text{,}\) и это единственное изменение суммы, используемой для определения интеграла.

     Есть два дополнительных полезных свойства определенного интеграла. Когда мы работали с производными правилами в главе 2, мы сформулировали постоянное кратное правило и правило суммы.Напомним, что правило постоянного кратного числа гласит, что если \(f\) — дифференцируемая функция, а \(k\) — константа, то

     \begin{уравнение*} \frac{d}{dx} [kf(x)] = kf'(x)\text{,} \end{уравнение*}

     , а правило сумм говорит, что если \(f\) и \(g\) — дифференцируемые функции, то

     \begin{уравнение*} \frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)\text{. } \end{уравнение*}

     Эти правила полезны, потому что они позволяют индивидуально работать с простейшими частями определенных функций, используя преимущества сложения и умножения на константу.Другими словами, процесс взятия производной учитывает сложение и умножение на константы самым простым способом.

     Оказывается, аналогичные правила справедливы и для определенного интеграла. Во-первых, давайте рассмотрим функции, изображенные на рисунке 4.3.9.

     Рисунок 4.3.9. Области, ограниченные \(y = f(x)\) и \(y = 2f(x)\) на \([a,b]\text{.}\)

     Поскольку умножение функции на 2 удваивает ее высоту при каждом значении \(x\) мы видим, что высота каждого прямоугольника в левой сумме Римана удваивается, \(f(x_i)\) для исходной функции, по сравнению с \(2f(x_i)\) в двойная функция.Для областей \(A\) и \(B\text{,}\) следует \(B = 2A\text{.}\), так как это верно независимо от значения \(n\) или типа суммы, которую мы используем, мы видим, что в пределе площадь красной области, ограниченной \(y = 2f(x)\), будет вдвое больше площади синей области, ограниченной \(y = f(x)\ text{. b f(x) \,dx\text{.} \end{уравнение*}

     Аналогичная ситуация с суммой двух функций \(f\) и \(g\text{.}\)

     Рисунок 4.3.10. Области, ограниченные \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) на \([a,b]\text{,}\), а также площадь, ограниченная \(y = f(x) + g(x)\text{.}\)

     Если мы возьмем сумму двух функций \(f\) и \(g\) в каждой точке интервала, высота функции \ (f+g\) определяется как \((f+g)(x_i) = f(x_i) + g(x_i)\text{.}\) Следовательно, для изображенных прямоугольников с площадями \(A\text{ ,}\) \(B\text{,}\) и \(C\text{,}\) следует, что \(C = A + B\text{.5 г(х) \,dx \право)\\ =\mathstrut \amp -2 \left(\frac{8}{3} + \frac{117}{3}\right) + 7 \left(4 + (-1))\right)\\ =\mathstrut\amp -\frac{250}{3} + 21\\ =\mathstrut \amp -\frac{187}{3}\text{.} \конец{выравнивание*}

  Подраздел 4.3.3. Как определенный интеграл связан со средним значением функции.

  Одним из наиболее ценных применений определенного интеграла является то, что он дает возможность обсудить среднее значение функции, даже для функции, которая принимает бесконечно много значений. Напомним, что если мы хотим взять среднее число \(n\) чисел \(y_1\text{,}\) \(y_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(y_n \text{,}\) мы вычисляем

  \begin{уравнение*} AVG = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_n}{n}\text{.} \end{уравнение*}

  Поскольку интегралы возникают из сумм Римана, в которые мы складываем \(n\) значений функции, неудивительно, что вычисление интеграла похоже на усреднение выходных значений функции. Рассмотрим, например, правую сумму Римана \(R_n\) функции \(f\text{,}\), которая задается как

  \begin{уравнение*} R_n = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + \cdots + f(x_n) \Delta x = (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\Delta х\текст{.} \end{уравнение*}

  Поскольку \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\text{,}\) мы можем написать

  \начать{выравнивать} R_n =\mathstrut \amp (f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n))\cdot \frac{b-a}{n}\notag\\ =\mathstrut \amp (ba) \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{.}\label{E-RAvg}\tag{4.3.1 } \end{выравнивание}

  Мы видим, что правая сумма Римана с \(n\) подинтервалами равна длине интервала \((b-a)\), умноженному на среднее значение \(n\) значений функции, найденных на правых концах. И так же, как и в случае с нашими усилиями по вычислению площади, чем большее значение \(n\) мы используем, тем точнее будет наше среднее значение. В самом деле, мы определим среднее значение \(f\) на \([a,b]\) равным

  .

  \begin{уравнение*} f_{\operatorname{AVG} [a,b]} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}\text{ .} \end{уравнение*}

  Но мы также знаем, что для любой непрерывной функции \(f\) на \([a,b]\text{,}\) взятие предела суммы Римана приводит в точности к определенному интегралу.б f(x) \, dx\text{.} \end{уравнение*}

  Уравнение (4.3.2) подсказывает нам другой способ интерпретации определенного интеграла: определенный интеграл функции \(f\) от \(a\) до \(b\) равен длине интервала \(( ba)\), умноженное на среднее значение функции на отрезке. Кроме того, когда функция \(f\) неотрицательна на \([a,b]\text{,}\), уравнение (4.3.2) имеет естественную визуальную интерпретацию.

  Рисунок 4.3.11. Функция \(y = f(x)\text{,}\) площадь, которую она ограничивает, и ее среднее значение на \([a,b]\text{. b f(x) \, dx\text{.}\) Площадь синей области на левом рисунке такая же, как площадь зеленого прямоугольника на центральном рисунке. Мы также можем заметить, что площади \(A_1\) и \(A_2\) на крайнем правом рисунке кажутся равными. Таким образом, знание среднего значения функции позволяет построить прямоугольник, площадь которого равна значению определенного интеграла функции на отрезке. Java-апплет ³ на http://gvsu.edu/s/az предоставляет возможность исследовать, как среднее значение функции изменяется при изменении интервала, с помощью изображения, аналогичного изображенному на рисунке 4.2} \, dt = \frac{1}{4} 2\pi = \frac{\pi}{2}\text{,} \end{уравнение*}

  , который измеряется в метрах в минуту, поскольку единицы измерения на цифре «4» — это минуты, а на «\(2\pi\)» — метры.

  • Построив фигуру, аналогичную изображенной в этом разделе на тему среднего значения функции, находим следующую, на которой изображен прямоугольник, имеющий ту же площадь, что и полуокружность.

    Высота прямоугольника представляет собой среднее значение \(v\text{,}\), а именно \(v_{\text{AVG}}[0,4] = \frac{\pi}{2} \приблизительно 1 .57\текст{.}\)

  • Зная, что средняя скорость равна \(\frac{\pi}{2}\text{,}\), из того факта, что пройденное расстояние равно средней скорости, умноженной на время (при условии, что скорость всегда неотрицательна), имеем

    \begin{уравнение*} D = \frac{\pi}{2} \cdot 4 = 2\pi\text{.} \end{уравнение*}

    Мы видим из (с) или (f), что мы просто рассматриваем ситуацию с двух разных точек зрения: если мы знаем пройденное расстояние, мы можем найти среднюю скорость, или если мы знаем среднюю скорость, мы можем найти пройденное расстояние.

  Подраздел 4.3.4 Резюме

  • Любая сумма Римана непрерывной функции \(f\) на интервале \([a,b]\) дает оценку чистой области со знаком, ограниченной функцией и горизонтальной осью на интервале. Увеличение количества подинтервалов в сумме Римана повышает точность этой оценки, а неограниченное увеличение количества подынтервалов приводит к тому, что значения соответствующих сумм Римана приближаются к точному значению заключенной чистой области со знаком. bg(x) \,dx \end{уравнение*}

    , где \(f\) и \(g\) — непрерывные функции на \([a,b]\), а \(c\) и \(k\) — произвольные константы.

  Упражнения 4.3.5 Упражнения

  ¶

  1. Вычисление определенных интегралов по графической информации.

  2. Оценка определенных интегралов по графику.

  3. Нахождение среднего значения линейной функции.

  4. Нахождение среднего значения функции, заданной графически.

  5.Оценка определенного интеграла и среднего значения по графику.

  6. Использование правил для объединения известных интегральных значений.

  7.

  Скорость объекта, движущегося вдоль оси, задается кусочно-линейной функцией \(v\), изображенной на рисунке 4.3.12. Предположим, что объект движется вправо, когда его скорость положительна, и движется влево, когда его скорость отрицательна. Предположим, что данная функция скорости действительна для \(t = 0\) до \(t = 4\text{.}\)

  1. Запишите выражение, содержащее определенные интегралы, значением которого является полное изменение положения объекта на интервале \([0,4]\text{. }\)

  2. Используйте предоставленный график \(v\) для определения значения общего изменения позиции на \([0,4]\text{.}\)

  3. Напишите выражение, содержащее определенные интегралы, значением которого является общее расстояние, пройденное объектом на \([0,4]\text{.}\) Каково точное значение общего расстояния, пройденного на \([0,4 ]\текст{?}\)

  4. Какова точная средняя скорость объекта на \([0,4]\text{?}\)

  5. Найдите алгебраическую формулу для функции положения объекта на \([0, 1.4 v(t) \, dt = (0,25)(-2,625) = -0,65625 \end{уравнение*}

     футов в секунду.

  6. Предполагая, что \(v\) является линейным на интервале \([0,1.5]\text{,}\), наклон \(v\) равен \(-\frac{3}{1.5} = — 2\text{.}\) Учитывая, что \(v\)-перехват является \((0,1)\), мы заключаем, что на интервале \([0,1.5]\) мы имеем \(v(t ) = -2t+1\text{.}\) Теперь позиция \(s\text{,}\) является первообразной скорости, \(v\text{,}\), поэтому возможные формулы для \( s\) на интервале \([0,1. 2+t+C\text{,}\), где \(C\) — некоторая константа.2+т\текст{.}\)

  8.

  Предположим, что скорость движущегося объекта определяется как \(v(t) = t(t-1)(t-3)\text{,}\), измеренная в футах в секунду, и что эта функция действительна для \(0 \le t \le 4\text{.}\)

  1. Запишите выражение, содержащее определенные интегралы, значением которого является полное изменение положения объекта на интервале \([0,4]\text{.}\)

  2. Используйте соответствующую технологию (например, http://gvsu.edu/s/a9 ⁴ ) для вычисления сумм Римана для оценки общего изменения положения объекта на \([0,4]\text{.}\) Постарайтесь, чтобы ваша оценка была точной до двух знаков после запятой, и объясните, откуда вы это знаете.

  3. Напишите выражение, содержащее определенные интегралы, значением которого является общее расстояние, пройденное объектом на \([0,4]\text{.}\)

  4. Используйте соответствующую технологию для вычисления сумм Римана для оценки общего расстояния, пройденного объектом на \([0,4]\text{. }\) Убедитесь, что ваша оценка точна до двух знаков после запятой, и объясните, откуда вы это знаете быть дело.4 v(t) \, dt\text{.}\)

  5. \(D \ок. 8.00016\текст{.}\)

  6. \begin{уравнение*} v_{\operatorname{AVG} [0,4]} \ приблизительно = 0,66625 \end{уравнение*}

     футов в секунду.

  Решение

  1. Заметим, что \(v(t) = 0\) при \(t = 0\text{,}\) \(t = 1\text{,}\) и \(t = 3\text{,} \) и \(v(t)\) положительно на интервалах \(0 \lt t \lt 1\) и \(3 \lt t \lt 4\text{,}\), а \(v(t )\) отрицательно на \(1 \lt t \lt 3\text{.4 v(t) \, dt\text{.} \end{уравнение*}

     Мы оценили определенный интеграл в (b), поэтому, используя этот результат,

     \begin{уравнение*} v_{\operatorname{AVG} [0,4]} \приблизительно \frac{1}{4-0} 2,665 = 0,66625 \end{уравнение*}

     фута в секунду — это средняя скорость объекта с точностью как минимум до двух знаков после запятой. Имеет смысл, что средняя скорость положительна, поскольку общее изменение положения положительно.

  9.

  Рассмотрим графики двух функций \(f\) и \(g\), представленные на рисунке 4.4 f(x) \,dx\) есть разность площадей областей \(f\) границ над осью \(x\) за вычетом площадей областей \(f\) границ ниже \( ось х\) на отрезке \([1,4]\text{.}\) Площадь треугольника \(f\) ограничивает ось \(х\) на отрезке \([1, 1.5]\) есть \((0.5)(2)(0.5) = 0.5\text{,}\) площадь области \(f\) ограничивается ниже оси \(x\) на \([1.5 ,2]\) также \(0.5\text{,}\) площадь области \(f\) ограничивается ниже оси \(x\) на \([2,3]\) является площадью (\(2\)) прямоугольника с высотой \(2\) и основанием \(1\text{,}\) и площадью области \(f\) ниже оси \(x\) на \([3,4]\) — это площадь (\(1\)) треугольника с высотой \(2\) и основанием \(1\text{.4 f(x) \,dx = 0,5-0,5-2-1 = -3\текст{.} \end{уравнение*}

  Обратите внимание, что график \(g\) линеен на интервале \([1,2]\text{,}\), проходящем через точки \((1,-1)\) и \((2, 2)\text{.}\) Эта линия имеет наклон \(3\) и уравнение \(y = -1+3(x-1)\text{. }\) \(x\)-перехват этой линия равна \(\frac{4}{3}\text{.}\) Таким образом, треугольник, график которого \(g\) ограничивает интервал \(\left[1, \frac{4}{3}\ right]\) имеет площадь \(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3}\right)(1) = \frac{1}{6}\text {,}\) и площадь треугольника между графиком \(g\) и осью \(x\) на интервале \(\left[\frac{4}{3}, 2\right] \) равно \(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{2}{3}\right)(2) = \frac{2}{3}\text{.2\текст{.}\)

  1. На отрезке \([-1,1]\text{,}\) начертите помеченный график функции \(y = f(x)\) и запишите определенный интеграл, значением которого является точная площадь, ограниченная \ (y = f(x)\) на \([-1,1]\text{.}\)

  2. На отрезке \([-1,1]\text{,}\) начертите помеченный график функции \(y = g(x)\) и запишите определенный интеграл, значением которого является точная площадь, ограниченная \( y = g(x)\) на \([-1,1]\text{.}\)

  3. Напишите выражение, включающее разность определенных интегралов, значением которой является точная площадь, лежащая между \(y = f(x)\) и \(y = g(x)\) на \([-1,1] \текст{. b q(x) \, dx\)), а затем вычесть два определенных интеграла, как показано в (d).

  Разница между определенными и неопределенными интегралами

  Математическое исчисление — важный раздел математики, и дифференцирование играет решающую роль в исчислении. Обратный процесс дифференцирования известен как интегрирование, а обратный процесс известен как интеграл, или, проще говоря, обратный дифференцированию дает интеграл. На основании результатов, которые они производят, интегралы делятся на два класса, а именно., определенные и неопределенные интегралы.

  Определенный интеграл

  Определенный интеграл от f(x) является ЧИСЛОМ и представляет собой площадь под кривой

  Определенный интеграл имеет верхний и нижний пределы интегралов, и он называется определенным, потому что в конце задачи у нас есть число – это определенный ответ.

  Неопределенный интеграл

  Неопределенный интеграл от f(x) является ФУНКЦИЕЙ и отвечает на вопрос: «Какая функция при дифференцировании дает f(x) ?»

  При неопределенном интеграле здесь нет верхнего и нижнего пределов интеграла, и мы получим ответ, в котором все еще есть x , а также будет константа (обычно обозначаемая C ) в нем.

  Неопределенный интеграл обычно дает общее решение дифференциального уравнения.

  Неопределенный интеграл является более общей формой интегрирования, и его можно интерпретировать как первообразную рассматриваемой функции.

  Предположим, что дифференцирование функции F приводит к другой функции f , а интегрирование f дает интеграл. Символически это записывается как

  F(x)=∫ƒ(x)dx

  или

  F=∫ƒ dx

  , где F и ƒ являются функциями x , а F дифференцируемо.В приведенной выше форме он называется интегралом Реймана, а результирующая функция сопровождает произвольную константу.

  Неопределенный интеграл часто дает семейство функций; следовательно, интеграл неопределен.

  Интегралы и процесс интегрирования лежат в основе решения дифференциальных уравнений. Однако, в отличие от шагов дифференциации, шаги интеграции не всегда следуют четкой и стандартной рутине. Иногда мы видим, что решение не может быть явно выражено в терминах элементарной функции.В этом случае аналитическое решение часто дается в виде неопределенного интеграла.

  Основная теорема исчисления

  Определенный и неопределенный интегралы связаны основной теоремой исчисления следующим образом: чтобы вычислить определенный интеграл , найдите неопределенный интеграл (известный также как первообразная) функции и оценить в конечных точках x=a и x=b .

  Разница между определенными и неопределенными интегралами станет очевидной, если мы вычислим интегралы для одной и той же функции.

  Рассмотрим следующий интеграл:

  ОК. Давайте сделаем оба и посмотрим разницу.

  Для интеграции нам нужно добавить единицу к индексу, что приводит нас к следующему выражению:

  На данный момент C для нас просто константа. В задаче необходима дополнительная информация, чтобы определить точное значение C .

  Вычислим тот же интеграл в его определенной форме, т. е. с учетом верхнего и нижнего пределов.

  Графически говоря, теперь мы вычисляем площадь под кривой f(x) = y ³ между y=2 и y=3 .

  Первый шаг в этом вычислении такой же, как и в неопределенном интегральном вычислении. Единственное отличие состоит в том, что на этот раз мы не добавляем константу C .

  Выражение в этом случае выглядит следующим образом:

  Этот ход ведет к:

  По сути, мы подставили 3, а затем 2 в выражение и получили разницу между ними.

  Это определенное значение в отличие от использования константы C ранее.

  Рассмотрим подробнее постоянный множитель (применительно к неопределенному интегралу).

  Если дифференциал y ³ равен 3y ² , то

  ∫ 3 года ² dy = y ³

  Однако 3Y ² могут быть дифференциал многих выражений некоторых из которых включают

  1 Y ³ -5

  4 , Y ³ +7 и др.. Это означает, что обращение не является уникальным, поскольку константа не учитывается во время операции.

  Итак, в общем случае 3y ² — это дифференциал y ³ +C , где C — любая константа. Между прочим, C известен как «константа интегрирования» .

  Запишем это как:

  ∫ 3y ² .dx = y ³ + C

  Методы интеграции для неопределенного интеграла, такие как поиск по таблице или интеграция Риша, могут добавить новые разрывы в процессе интеграции. Эти новые разрывы появляются потому, что антипроизводные могут потребовать введения комплексных логарифмов.

  Комплексные логарифмы имеют разрыв скачка, когда аргумент пересекает ось отрицательного вещественного числа, и алгоритмы интегрирования иногда не могут найти представление, в котором эти скачки отменяются.

  Если определенный интеграл оценивается путем сначала вычисления неопределенного интеграла, а затем подстановки границ интегрирования в результат, мы должны знать, что неопределенное интегрирование может привести к разрывам.Если да, то дополнительно необходимо исследовать разрывы в интервале интегрирования.

  Последние сообщения Ашока Кумара (посмотреть все)
  

  : Если вам понравилась эта статья или наш сайт. Пожалуйста, распространите информацию. Поделитесь им с друзьями/семьей.

  См.
  APA 7
  Кумар, А. (2018, 20 сентября). Разница между определенными и неопределенными интегралами. Разница между похожими терминами и объектами. http://www.разницамежду.net/наука/математика-статистика/разница-между-определенными-и-неопределенными-интегралами/.
  MLA 8
  Кумар, Ашок. «Разница между определенными и неопределенными интегралами». Разница между похожими терминами и объектами, , 20 сентября 2018 г., http://www.differencebetween.net/science/mathematics-statistics/difference-between-definite-and-indefinite-integrals/.
  

  RD Sharma, класс 12, решения, глава 20, определенные интегралы, пример 20.1

  RD Sharma, класс 12, решения, глава 20, определенные интегралы, пример 20.1

  • Глава 20 Определенные интегралы Пр. 20.2
  • Глава 20 Определенные интегралы Пример 20.3
  • Глава 20 Определенные интегралы Пр. 20.4
  • Глава 20 Определенные интегралы Пример 20.5

  Определенные интегралы ex 20.1 Q1
  
  Определенные интегралы EX 20. 1 Q2
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q3
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q4
  
  Определенные интегралы ex 20.1 Q5
  
  
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q6
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q7
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q8
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q9
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q10
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q11
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q12
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q13
  
  Defined 1 q14
  
  
  
  Определенные интегралы ex 20.1 Q15

  1
  9001
  9001 Определенные интегралы EX 20.1 Q17
  
  Определенные интегралы EX 20. 1 Q18
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q19
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q20
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q21
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q22
  
  1 Q23
  
  
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q24
  
  
  9001
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q26
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q27
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q28
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q29
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q30
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q31
  
  Определенные 1 q32

  9
  
  
  

  9

  9
  
  Определенные интегралы EX 20. 1 Q34
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q35
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q36
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q37
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q38
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q39
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q40
  
  Определенные 1 q41
  
  
  
  Определенные интегралы ex 20.1 Q42

  9
  
  
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q44
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q45
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q46
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q47
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q48
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q49
  
  Определенные 1 q50
  
  
  
  Определенные интегралы EX 20. 1 Q51

  9
  
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q53
  
  Определенные интегралы ex 20.1 Q54
  
  Определенные интегралы ex 20.1 Q55
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q56
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q57
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q58
  
  Defined 1 Q59
  
  
  
  Определенные интегралы ex 20.1 Q60

  9
  
  9001
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q62
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q63
  
  
  Определенные интегралы EX 20.1 Q64
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q65
  
  Определенные интегралы Ex 20.1 Q66
  
  Определенные интегралы Ex 20.