Интеграл — Циклопедия

Интеграл — это математический термин, обозначающий непрерывную сумму произведений значений подынтегральной функции на дифференциал аргумента.

[править] Интеграл от функции

Нахождение интеграла от функции называется интегрированием. При интегрировании подынтегральной функции находят первообразную функцию, производная от которой равна подынтегральной функции. Интеграл от функции может быть неопределённым, а может быть определённым.

Суть неопределённого интеграла это класс функций (первообразная плюс константа), отличающихся только константой, производная которых равна подынтегральной функции.

Суть определённого интеграла это некое число, равное непрерывной алгебраической сумме произведений значений подынтегральной функции на дифференциал аргумента. Для положительных подынтегральных функций определённый интеграл равен величине площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и пределами интегрирования.

[править] Неопределённый интеграл от функции

Неопределённый интеграл от функции определяется по формуле:

f(x) — подынтегральная функция,

F(x) — первообразная функция.

C — константа.

[править] Свойства неопределённых интегралов

Для функций u=f(x) и v=g(x) верны правила:

При f(x) и g(x)=C₁ получаем:

При f(x)=C₁ и g(x) получаем:

[править] Интегрирование по частям

Для функций u=f(x) и v=g(x) верно правило:

[править] Примеры неопределённых интегралов

[править] Определённый интеграл от функции

Определённый интеграл от функции определяется по формуле Ньютона-Лейбница:

f(x) — подынтегральная функция,

F(x) — первообразная функция.

[править] Примеры определённых интегралов

[править] Другие понятия:

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara

Поверхностные интегралы — Википедия

Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода[править | править код]

Определение[править | править код]

Пусть Φ{\displaystyle \Phi } — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на Φ{\displaystyle \Phi } задана функция f(M)=f(x,y,z){\displaystyle f(M)=f(x,y,z)}. Рассмотрим разбиение T{\displaystyle T} этой поверхности на части Φi (i=1,…,n){\displaystyle \Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)} кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку Mi(xi,yi,zi){\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})}. Вычислив значение функции в этой точке f(Mi)=f(xi,yi,zi){\displaystyle f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})} и, приняв за σi{\displaystyle \sigma _{i}} площадь поверхности Φi{\displaystyle \Phi _{i}}, рассмотрим сумму

I{Φi,Mi}=∑if(Mi)σi.{\displaystyle I\{\Phi _{i},M_{i}\}=\sum _{i}f(M_{i})\sigma _{i}.}

Тогда число I{\displaystyle I} называется пределом сумм I{Φi,Mi}{\displaystyle I\{\Phi _{i},M_{i}\}}, если

∀ε>0 ∃δ>0 ∀T:d(T)<δ ∀{Mi} |I{Φi,Mi}−I|<ε.{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _{i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon .}

Предел I{\displaystyle I} сумм I{Φi,Mi}{\displaystyle I\{\Phi _{i},M_{i}\}} при d(T)→0{\displaystyle d(T)\to 0} называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M){\displaystyle f(M)} по поверхности Φ{\displaystyle \Phi } и обозначается следующим образом:

I=∬Φf(M)dσ.{\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma .}

Параметрическая форма[править | править код]

Пусть на поверхности Φ{\displaystyle \Phi } можно ввести единую параметризацию посредством функций

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),{\displaystyle x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),}

заданных в ограниченной замкнутой области Ω{\displaystyle \Omega } плоскости (u,v){\displaystyle (u,v)} и принадлежащих классу C1{\displaystyle C^{1}} в этой области. Если функция f(M)=f(x,y,z){\displaystyle f(M)=f(x,y,z)} непрерывна на поверхности Φ{\displaystyle \Phi }, то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности Φ{\displaystyle \Phi } существует и может быть вычислен по формуле

I=∬Φf(M)dσ=∬Ωf(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2dudv,{\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u,v),z(u,v){\big )}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,}

где:

E=(xu′)2+(yu′)2+(zu′)2,{\displaystyle E=(x_{u}’)^{2}+(y_{u}’)^{2}+(z_{u}’)^{2},}

F=xu′xv′+yu′yv′+zu′zv′,{\displaystyle F=x_{u}’x_{v}’+y_{u}’y_{v}’+z_{u}’z_{v}’,}

G=(xv′)2+(yv′)2+(zv′)2.{\displaystyle G=(x_{v}’)^{2}+(y_{v}’)^{2}+(z_{v}’)^{2}.}

Свойства[править | править код]

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции f{\displaystyle f} и g{\displaystyle g} интегрируемы по областям Φ,Φ1,Φ2{\displaystyle \Phi ,\Phi _{1},\Phi _{2}}. Тогда:

1. Линейность: ∬Φ(αf+βg)dσ=α∬Φfdσ+β∬Φgdσ{\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma } для любых вещественных чисел α,β∈R{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }.
2. Аддитивность: ∬Φ1fdσ+∬Φ2fdσ=∬Φ1∪Φ2fdσ{\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}f\,d\sigma } при условии, что Φ1{\displaystyle \Phi _{1}} и Φ2{\displaystyle \Phi _{2}} не имеют общих внутренних точек.
3. Монотонность:
4. Теорема о среднем для непрерывной функции f{\displaystyle f} и замкнутой ограниченной поверхности Φ{\displaystyle \Phi }:

   ∬Φfdσ=f(ξ)∬Φdσ=f(ξ)μ(Φ){\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )}, где ξ∈Φ{\displaystyle \xi \in \Phi }, а μ(Φ){\displaystyle \mu (\Phi )} — площадь области Φ{\displaystyle \Phi }.

Поверхностный интеграл второго рода[править | править код]

Определение[править | править код]

Рассмотрим двустороннюю поверхность Φ{\displaystyle \Phi }, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением z=z(x,y){\displaystyle z=z(x,y)} причём точка (x,y){\displaystyle (x,y)} изменяется в области (D){\displaystyle (D)} на плоскости xy{\displaystyle xy}, ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности Φ{\displaystyle \Phi } определена некоторая функция f(M)=f(x,y,z){\displaystyle f(M)=f(x,y,z)}. Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части Φi (i=1,…,n){\displaystyle \Phi _{i}\ (i=1,\dots ,n)} и выбрав на каждой такой части точку Mi(xi,yi,zi){\displaystyle M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})}, вычислим значение функции f(Mi)=f(xi,yi,zi){\displaystyle f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})} в данной точке и умножим его на площадь Di{\displaystyle D_{i}} проекции на плоскость xy{\displaystyle xy} элемента Φi{\displaystyle \Phi _{i}}, снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

∑i=1nf(Mi)Di=∑i=1nf(xi,yi,zi)Di.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i},z_{i})D_{i}.}

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

f(M)dxdy=f(x,y,z)dxdy,{\displaystyle f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,}

распространённым на выбранную сторону поверхности Φ{\displaystyle \Phi }, и обозначают символом

I=∬Φf(M)dxdy=∬Φf(x,y,z)dxdy{\displaystyle I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy}

(здесь dxdy{\displaystyle dx\,dy}) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость xy{\displaystyle xy}.

Если вместо плоскости xy{\displaystyle xy} спроектировать элементы поверхности на плоскость yz{\displaystyle yz} или zx{\displaystyle zx}, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

∬Φf(x,y,z)dydz{\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dy\,dz} или ∬Φf(x,y,z)dzdx.{\displaystyle \iint \limits _{\Phi }f(x,y,z)\,dz\,dx.}

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

∬ΦPdydz+Qdzdx+Rdxdy,{\displaystyle \iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,}

где P,Q,R{\displaystyle P,Q,R} суть функции от (x,y,z){\displaystyle (x,y,z)}, определённые в точках поверхности Φ{\displaystyle \Phi }.

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода[править | править код]

∬Σ+f(x,y,z)dydz=∬Σf(x,y,z)cos⁡(ν∧i)dσ,{\displaystyle \iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \wedge i)\,d\sigma ,}

где ν{\displaystyle \nu } — единичный вектор нормали поверхности Σ{\displaystyle \Sigma }, i{\displaystyle i} — орт.

Свойства[править | править код]

1. Линейность: ∬Φ(αf+βg)dxdy=α∬Φfdxdy+β∬Φgdxdy{\displaystyle \iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \limits _{\Phi }g\,dx\,dy}.
2. Аддитивность: ∬Φ1fdxdy+∬Φ2fdxdy=∬Φ1+Φ2fdxdy{\displaystyle \iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits _{\Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy}.
3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

• Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Гауссов интеграл — Википедия

Рассмотрим функцию (1+t)e−t{\displaystyle (1+t)e^{-t}} . Она ограничена сверху единицей на интервале (−∞;+∞){\displaystyle (-\infty ;+\infty )}, а снизу нулем на интервале [−1;+∞){\displaystyle [-1;+\infty )} . В частности, полагая t=±x2{\displaystyle t=\pm x^{2}}, получим при x≠0{\displaystyle x\not =0} : {(1−x2)ex2<1(1+x2)e−x2<1{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(1-x^{2})e^{x^{2}}<1\\(1+x^{2})e^{-x^{2}}<1\end{matrix}}\right.} Ограничим в первом неравенстве изменение x{\displaystyle x} промежутком (0,1){\displaystyle (0,1)}, а во втором — промежутком (0;∞){\displaystyle (0;\infty )}, возведём оба неравенства в степень n(n∈N){\displaystyle n(n\in N)}, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим: {(1−x2)n<e−nx20<x<1{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(1-x^{2})^{n}<e^{-nx^{2}}\\0<x<1\end{matrix}}\right.} и {e−nx2<1(1+x2)nx>0{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}e^{-nx^{2}}<{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\\x>0\end{matrix}}\right.} Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим ∫01(1−x2)ndx<∫01e−nx2dx<∫0∞e−nx2dx<∫0∞1(1+x2)ndx{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\,dx<\int \limits _{0}^{1}e^{-nx^{2}}\,dx<\int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx^{2}}\,dx<\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx} При замене u=xn{\displaystyle u=x{\sqrt {n}}} получим ∫0∞e−nx2dx=1n⋅K,K=∫0∞e−x2dx.{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-nx^{2}}\,dx={\frac {1}{\sqrt {n}}}\cdot K,\;K=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.} Полагая x=cos⁡t{\displaystyle x=\cos t} получим, соответственно, ∫01(1−x2)ndx=∫0π/2sin2n+1⁡tdt=2n!!(2n+1)!!{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\,dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}t\,dt={\frac {2n!!}{(2n+1)!!}}} Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной t{\displaystyle t} от 0 до π/2{\displaystyle \pi /2} величина cos⁡t{\displaystyle \cos t} меняется в пределах от 0 до 1. И заменяя x=ctgt{\displaystyle x=\mathrm {ctg} \,t}, получим ∫0∞1(1+x2)ndx=∫0π/2sin2n−2⁡tdt=π(2n−3)!!2(2n−2)!!{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx=\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n-2}t\,dt={\frac {\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}}} Здесь с пределами интегрирования аналогично: ctgt{\displaystyle \mathrm {ctg} \,t} изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной t{\displaystyle t} от 0 до π/2{\displaystyle \pi /2} . Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале n⋅2n!!(2n+1)!!<K<n⋅π(2n−3)!!2(2n−2)!!{\displaystyle {\sqrt {n}}\cdot {\frac {2n!!}{(2n+1)!!}}<K<{\sqrt {n}}\cdot {\frac {\pi (2n-3)!!}{2(2n-2)!!}}} Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до n2n+1⋅(2n!!)2(2n+1)((2n−1)!!)2<K2<n2n−1⋅(2n−1)((2n−3)!!)2((2n−2)!!)2⋅π24{\displaystyle {\frac {n}{2n+1}}\cdot {\frac {(2n!!)^{2}}{(2n+1)((2n-1)!!)^{2}}}<K^{2}<{\frac {n}{2n-1}}\cdot {\frac {(2n-1)((2n-3)!!)^{2}}{((2n-2)!!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi ^{2}}{4}}} Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4{\displaystyle \pi /4} при n→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty } Следовательно, K2=π4⟺K=π2{\displaystyle K^{2}={\frac {\pi }{4}}\Longleftrightarrow K={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}} В силу чётности функции e−x2{\displaystyle e^{-x^{2}}}, получаем, что ∫−∞∞e−x2dx=2∫0∞e−x2dx=π.{\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}

Интеграл Даниеля — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.

В сравнении с интегралом Лебега, интеграл Даниеля не требует предварительной разработки подходящей теории меры, за счёт чего имеет определённые преимущества, особенно в функциональном анализе при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса). Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу, тогда как интеграл Даниеля строится в этих случаях относительно просто.

Предложен английским математиком Перси Джоном Даниелем в 1918 году^[1].

Основная идея состоит в обобщении понятия интеграла, исходя о представлении о нём как о функционале. Рассмотрим семейство H{\displaystyle H} ограниченных вещественнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на пространстве X{\displaystyle X}, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Если f1,f2∈H{\displaystyle f_{1},f_{2}\in H}, то f1+f2∈H{\displaystyle f_{1}+f_{2}\in H}.
2. Если f∈H{\displaystyle f\in H}, то cf∈H{\displaystyle cf\in H}, где c{\displaystyle c} — действительное число.
3. Если f1,f2∈H{\displaystyle f_{1},f_{2}\in H}, то max(f1,f2)∈H{\displaystyle \max(f_{1},f_{2})\in H} и min(f1,f2)∈H{\displaystyle \min(f_{1},f_{2})\in H}.

На классе H{\displaystyle H} задан функционал U(f){\displaystyle U(f)}, обладающий следующими свойствами:

1. U(f1+f2)=U(f1)+U(f2){\displaystyle U(f_{1}+f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2})}.
2. U(cf)=cU(f){\displaystyle U(cf)=cU(f)}.
3. Если f1⩾f2⩾f3⩾…{\displaystyle f_{1}\geqslant f_{2}\geqslant f_{3}\geqslant …} и limn→∞fn=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=0}, то limn→∞U(fn)=0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }U(f_{n})=0} (свойство Лебега).
4. U(f)⩾0{\displaystyle U(f)\geqslant 0}, если f⩾0{\displaystyle f\geqslant 0}^[2]

В этих терминах можно определить множества меры нуль. Множество Z{\displaystyle Z}, являющееся подмножеством X{\displaystyle X}, имеет меру нуль, если для любого ε>0{\displaystyle \varepsilon >0} существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций hp(x)∈H{\displaystyle h_{p}(x)\in H} такая, что Ihp<ε{\displaystyle Ih_{p}<\varepsilon } и supphp(x)⩾1{\displaystyle \sup _{p}h_{p}(x)\geqslant 1} на Z{\displaystyle Z}.

Если некоторое условие выполняется на X{\displaystyle X} везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество L+{\displaystyle L^{+}}, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей {hn}{\displaystyle \{h_{n}\}} элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов Ihn{\displaystyle Ih_{n}} ограничено. Интеграл функции f∈L+{\displaystyle f\in L^{+}} по определению равен:

If=limn→∞Ihn.{\displaystyle If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}.}

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности {hn}{\displaystyle \{h_{n}\}}.

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Риса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля[править | править код]

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию χ(x){\displaystyle \chi (x)} некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

• Daniell, P. J., 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
• Daniell, P. J., 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
• Daniell, P. J., 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
• Daniell, P. J., 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
• Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
• Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1966. — 202 с.
• Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера, производная. — М.: Наука, 1967.

Специальные функции — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.

Специальные функции возникают обычно из следующих задач:

• «неберущиеся» интегралы;
• решения трансцендентных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
• решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
• ряды, не сходящиеся к элементарным функциям;
• математическое выражение свойств чисел;
• необходимость задания функции с необычными свойствами.

Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через неберущийся интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций

Большинство специальных функций являются трансцендентными.

К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интегральная экспонента, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции, интегралы Френеля.

К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция.

Неэлементарные решения дифференциальных уравнений[править | править код]

К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра, функции Матьё, функции Бесселя.

Существует много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.

Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции, знак числа, факториал.

• Проект Бейтмена — проект по созданию многотомного энциклопедического издания по теории специальных функций

• Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
• Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.:
  Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.
• Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980.