Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям применяется, в основном, когда подынтегральная функция состоит из произведения двух сомножителей определенного вида. Формула интегрирования по частям имеет вид:

.

Она дает возможность свести вычисление заданного интеграла к вычислению интеграла, который оказывается более простым, чем данный.

Большую часть интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям, можно разбить на три группы:

1. Интегралы вида

,,, где– многочлен,– число, не равное нулю

В этом случае через обозначают многочлен, а всю остальную часть подынтегрального выражения через.

2. Интегралы вида

,,,,, где– многочлен.

В этом случае через обозначают, а всю остальную часть подынтегрального выражения через:

3. Интегралы вида

,, где– числа.

В этом случае через обозначаюти применяют формулу интегрирования по частям дважды, возвращаясь в результате к исходному интегралу, после чего исходный интеграл выражается из равенства.

Замечание: В некоторых случаях для нахождения заданного интеграла формулу интегрирования по частям необходимо применять несколько раз. Также метод интегрирования по частям комбинируют с другими методами.

Пример 26.

Найти интегралы методом по частям: а)

; б).

Решение.

а)

.

б)

.

3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов: , где

– многочлен степени,– многочлен степени .

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. , в противном случае (если ) рациональная дробь называется неправильной.

Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена

и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:

,

где – целая часть от деления,– правильная рациональная дробь,– остаток от деления.

Правильные рациональные дроби вида:

I. ;

II. ;

III.

;

IV. ,

где ,,,,,, – действительные числа и (т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV дробей не имеет корней – дискриминант отрицательный) называются

простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших дробей

Интегралы от простейших дробей четырех типов вычисляются следующим образом.

I) .

II) ,.

III) Для интегрирования простейшей дроби III типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену . Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют выделением в числителе производной знаменателя, что дает табличный интеграл, а второй интеграл преобразовывают к виду

, так как, что также дает табличный интеграл.

;

IV) Для интегрирования простейшей дроби IV типа в знаменателе выделяют полный квадрат, производят замену . Интеграл после подстановки разбивают на два интеграла. Первый интеграл вычисляют подстановкой

, а второй с помощью рекуррентных соотношений.

Пример 27.

Найти интегралы от простейших дробей:

а); б); в).

Решение.

а) .

б) .

в)

.

Всякую правильную рациональную дробь, знаменатель которой может быть разложен на множители, можно представить в виде суммы простейших дробей. Разложение на сумму простейших дробей осуществляют методом неопределенных коэффициентов. Он заключается в следующем:

– каждому множителю знаменателя соответствует одна дробь вида;

– каждому множителю знаменателя соответствует сумма дробей вида

;

– каждому квадратному множителю знаменателя соответствует дробь вида;

– каждому квадратному множителю знаменателя соответствует суммадробей вида

,

где – неопределенные коэффициенты.

Для нахождения неопределенных коэффициентов правую часть в виде суммы простейших дробей приводят к общему знаменателю и преобразовывают. В результате получается дробь с тем же знаменателем, что и в левой части равенства. Затем отбрасывают знаменатели и приравнивают числители. В результате получается тождественное равенство, в котором левая часть – многочлен с известными коэффициентами, а правая часть – многочлен с неопределенными коэффициентами.

Существует два способа определения неизвестных коэффициентов: метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов.

Т.к. многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхв многочленах левой и правой частей, получим систему линейных уравнений. Решая систему, определяем неопределенные коэффициенты.

Метод частных значений.

Т.к. многочлены тождественно равны, то, подставляя вместо в левую и правую части любое число, получим верное равенство, линейное относительно неизвестных коэффициентов. Подставляя столько значений, сколько неизвестных коэффициентов, получим систему линейных уравнений. Вместов левую и правую части можно подставлять любые числа, однако более удобно подставлять корни знаменателей дробей.

После нахождения значений неизвестных коэффициентов, исходная дробь записывается в виде суммы простейших дробей в подынтегральное выражение и осуществляется ранее рассмотренное интегрирование по каждой простейшей дроби.

Схема интегрирования рациональных дробей:

1. Если подынтегральная дробь неправильная, то необходимо представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (т.е. разделить многочлен числителя на многочлен знаменателя с остатком). Если подынтегральная дробь правильная сразу переходим ко второму пункту схемы.

2. Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, если это возможно.

3. Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.

4. Проинтегрировать полученную сумму многочлена и простейших дробей.

Пример 28.

Найти интегралы от рациональных дробей:

а) ; б); в).

Решение.

а) .

Т.к. подынтегральная функция неправильная рациональная дробь, то выделим целую часть, т.е. представим ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе уголком.

Исходный интеграл примет вид: .

Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей c помощью метода неопределенных коэффициентов:

.

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

Решая систему линейных уравнений, получим значения неопределенных коэффициентов: А = 1; В = 3.

Тогда искомое разложение имеет вид: .

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

=.

б) .

Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:

.

Приведя к общему знаменателю, получим:

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:

Решая систему из пяти линейных уравнений, находим неопределенные коэффициенты:

.

Тогда искомое разложение имеет вид:

.

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

.

в) .

Разложим подынтегральную функцию (правильную рациональную дробь) на сумму простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Разложение ищем в виде:

.

Приведя к общему знаменателю, получим:

.

Отбросим знаменатели и приравняем левую и правую части:

.

Для нахождения неопределенных коэффициентов применим метод частных значений. Придадим частные значения , при которых множители обращаются в нуль, т. е. подставим эти значения в последнее выражение и получим три уравнения:

; ;

; ;

; .

Тогда искомое разложение имеет вид:

.

Найдем исходный интеграл, учитывая полученное разложение:

studfile.net

Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле

Замена переменной. Пусть— дифференцируемое отображениеcнепрерывной производной и такое, что, а— непрерывная функция, заданная на отрезке. Тогда

Доказательство. Пусть — первообразная функции. Тогда по формуле замена переменной в неопределенном интеграле функцияесть первообразная функции. Применим формулу Ньютона-Лейбница дважды:

— что и требовалось доказать. □

Пример 1.Вычислим площадь верхнего полукруга радиусаR.

Интегрирование по частям. Пустьи— дифференцируемые функции на отрезке. Тогда

Доказательство. Соотношение проинтегрируем отдоbполучимчто эквивалентно (2).

Пример 2.Вычислим

Заметим, что при условии

6. Несобственные интегралы

Пусть функция задана на полуинтервале, где, а величинаможет быть как конечным числом, так и. Предположим, чтоинтегрируема на любом отрезке,. Полагаем по определению

и называем это число несобственным интегралом. В случае, когда предел (1) существует, то говорим, что соответствующий интегралсходится; в противном случае будем говорить, что онрасходится.

Несобственный интеграл (1) применяется в двух типичных ситуациях.

1) Пусть . Тогда

2) Пусть d∈ℝи функциянеограничена на полуинтервале.

Если на полуинтервале, то несобственный интеграл равен площади неограниченной фигуры — криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции, снизу – осью Ох и слева – вертикальной прямой (см. рис. 1)

Отметим, что если функцияна самом деле интегрируема на отрезке(это означает, в частности, что), то коллизии обозначений не возникает — несобственный интеграл в смысле (1) будет равен определенному интегралу функциина отрезке.

Аналогично определяется несобственный интеграл для функций, определенных на полуинтервале , гдеи:

В примере §5 мы фактически вычислили несобственный интеграл.

Cвойство линейности несобственных интегралов.Если интегралысходятся, то для любых чиселkиmсходится также и интеграл, и он равен.

Это свойство вытекает из свойства линейности предельного перехода.

Свойство аддитивности несобственных интегралов. Пустьинтегрируема на отрезкедля фиксированногои любоготакого, что. Выберем точку. Несобственный интеграл сходится в том и только том случае, если сходится несобственный интегралПри этом условии имеет место равенство

Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Пусть— первообразная непрерывной функциина интервале (c,d). Предположим, что существуют пределы

Тогда несобственный интеграл сходится, причём

Равенство (5) вытекает из формулы Ньютона-Лейбница для обычных интегралов и соотношений (4).

Пример 1. Вычислим

Пример2. Докажем ???

1. Теорема сравнения.

Пусть на интервале. Тогда

1. если сходится, тосходится;

2. если расходится, то расходится.

Доказательство. 1) Если сходится, то существует (конечная) площадь криволинейной трапеции Т под графиком функции. Криволинейная трапеция под графиком функциисодержится в Т, следовательно и у нее площадь также конечна. Тем самым интегралсходится.

2) следует из 1) в силу логического принципа: импликация эквивалентна импликации(черта сверху – отрицание утверждения). Более подробно: если бы интеграл сходился, то и интеграл также бы сходился, согласно первому утверждению. Это, однако, противоречит условию. Противоречие показывает, что интеграл должен расходится.□

Следствие.Пусть функции кусочно непрерывны и имеют неотрицательные значения на полуинтервале. Предположим, что существует пределпричём он отличен от 0. Тогда интегралыиведут себя одинаково в смысле сходимости, т.е. либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Аналогичное утверждение имеет место для полуинтервала (c,b].

Предложение об «эталонных» интегралах . Пусть a>0.

1. Интеграл сходится тогда и только тогда, когда p>1.

2. Интеграл сходится тогда и только тогда, когдаp<1.

Доказательство. 1. Если, то первообразнаяподинтегральной функцииимеет конечный предел 0 при. По формуле Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов, получаем, что интегралсходится и равен.

Если , то первообразной подинтегральной функции служит, который не имеет конечного предела на. Длято же самое можно сказать о первообразной.

Аналогично, прямыми вычислениями доказывает второе утверждение.

Примеры

1. Интегралсходится, так как здесьТогда и интегралбудет сходится, ибо на бесконечности имеет место асимптотическая оценка:

2. Исследуем на сходимость . Так какпри x→0, а интегралсходится (здесь— см. предложение об эталонных интегралах, пункт 2), то и исходный интеграл сходится.

2. Докажем, что интегралы исходятся и вычислим их. Имеем

Интеграл также сходится, ибо занесение под знак дифференциалаи заменапревращают его в интеграл, который сходится согласно предложению об эталонных интегралах и равен 1.

Интегралы ирасходятся, так как такая же замена приводит их к несобственным эталонным интегралами, с

studfile.net

22. Интегрирование по частям и замена переменных в неопределённом интеграле.

Интег. по частям — один из способов нахожд. интеграла. Суть метода: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произвед. двух непр. и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедлива следующая формула для неопределённого интеграла:

Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) — подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

дифф. dx должен быть заменен на дифф. новой переменной du. Для опред. инт., необход. также измен.пределы интегр-ния.

23. Опред. Интеграл. Осн. Свойства опред. Интеграла.

Определенный интеграл — это функция, производная от которой дает подынтегральную функцию. ОИ ф-цииy=f(x) на отрезкеназ-ся предел инт-ых сумм.

Свойства:

Свойства определённого интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , то

6. 

7. 

8. ,, то

9. ф-янепрерывна на отрезке,,то на этом отрезке сущ. хотя бы одна точка,такая, что

10. −янепрерывна и,то имеет место равенствоФ-яназ. определённым интегралом с переменным верхним пределом.

24 Теорема Ньютона-Лейбница.

Теорема: Опред. интеграл от непрерывной ф-ции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница связывает неопред и опред интегралы. Если ф-цияy=f(x) непрерывна на отрезке,а ф-цияF(x)-какая-либо ее первообразная (т.е.F’(x)=f(x)), то. Эта формула сводит нахождение опрединтегр к нахождению неопрединтегр. РазностьF(b)-F(a) обозначаетсяF.

25.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Метод замены переменной

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a,b], а функцияx=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) =bи для всех. Тогда

Метод интегрирования по частям

Если функции u=u(x),v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то справедлива формула

Доказательство.

Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функцииu’(x)v(x) +u(x)v’(x), то

откуда и следует формулакоторую можно записать в виде

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) — непрерывно дифференцируемые функции, то .

Необходимое условие интегрируемости.

Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.

Необходимое и дост. усл. интегрируемости.

Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0

26.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения.

площадь Sкриволинейной трапецииabAB, ограниченной кривойy=f(x),f(x)0

осью Oxи двумя прямымиx=ax=b, вычисляется по формуле

y

y=f(x)

а

b

x

A

B

Если плоская фигура ABCDограничена прямымиx=a,x=b(a<b) и кривымиy=f(x)y=φ(x), причем φ(x)≤f(x),a≤x≤b,то ее площадь вычисляется по формуле

y

x

A

B

C

D

y=φ(x)

y=f(x)

Объем тела, образованного вращением кривой y=f(x), ограниченной прямыми х = а,x=bприa<x<bвокруг оси Ох, вычисляется по формуле:

Объем тела, образованного вашей кривой у = φ(у), ограниченной прямымиy=c,y=dприc<y<dвокруг осиOy, вычисляется по формуле:

Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами — целая окружность имеет 360°. Длина дуги

p=2π r n\360=π r n\180

studfile.net

Интегрирование по частям: объяснение, решение примеров

Следующая формула называется формулой интегрирования по частям в неопределённом интеграле:

Для применения формулы интегрирования по частям подынтегральное выражение нужно разбить на два множителя. Один из них обозначается через u, а остальная часть относится ко второму множителю и обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du и интегрированием — функция v. При этом за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv — такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется.

Когда выгодно применять метод интегрирования по частям? Тогда, когда подынтегральная функция содержит:

1) — логарифмические функции, а также обратные тригонометрические функции (с приставкой «arc»), тогда на основании продолжительного опыта интегрирования по частям эти функции обозначаются через u;

2) , , — синус, косинус и экспоненту, умноженные на P(x) — произвольный многочлен от икса, тогда эти функции обозначают через dv, а многочлен — через u;

3) , , , , в этом случае интегрирование по частям применяется дважды.

Поясним ценность метода интегрирования по частям на примере первого случая. Пусть выражение под знаком интеграла содержит логарифмическую функцию (таким будет пример 1). Применением интегрирования по частям такой интеграл сводится вычислению интеграла только алгебраических функций (чаще всего многочлена), то есть не содержащих логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. Применяя данную в самом начале урока формулу интегрирования по частям

,

получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) — функцию, не содержащую логарифма. Интеграл алгебраической функции намного проще интеграла, под знаком которого находятся отдельно или вместе с алгебраическим множителем логарифмическая или обратная тригонометрическая функция.

Таким образом, с помощью формулы интегрирования по частям интегрирование не выполняется сразу: нахождение данного интеграла сводится к нахождению другого. Смысл формулы интегрирования по частям состоит в том, чтобы в результате её применения новый интеграл оказался табличным или хотя бы стал проще первоначального.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций:

Так как

то её можно записать в виде

,

который и был приведён в самом начале урока.

При нахождении интегрированием функции v для неё получается бесконечное множество первообразных функций. Чтобы применить формулу интегрирования по частям, можно взять любую из них, а значит, и ту, которая соответствует произвольной постоянной С, равной нулю. Поэтому при нахождении функции v произвольную постоянную С вводить не следует.

Есть у метода интегрирования по частям совершенно особенное применение: с его помощью можно выводить рекуррентные формулы для нахождения первообразных функций, когда требуется понизить степень функций под знаком интеграла. Понижение степени необходимо, когда не существует табличных интегралов для таких, например, функций, как синусы и косинусы в степени более второй и их произведения. Рекуррентная формула — это формула для нахождения очередного члена последовательности через предыдущий член. Для обозначенных случаев цель достигается последовательным понижением степени. Так, если подынтегральная функция — синус в четвёртой степени от икса, то методом интегрирования по частям можно найти формулу для интеграла синуса в третьей степени и так далее. Описанной задаче посвящен последний параграф этого урока.

Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. В подынтегральном выражении — логарифм, который, как мы уже знаем, разумно обозначить через u. Полагаем, что , .

Тогда , .

Находим (как уже говорилось в пояснении к теоретической справке, сразу же получаем в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) — функцию, не содержащую логарифма):

И снова логарифм…

Пример 2.  Найти неопределённый интеграл:

.

Решение. Пусть , .

Логарифм присутствует в квадрате. Это значит, что его нужно дифференцировать как сложную функцию. Находим
,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл вновь находим по частям и получаем уже упомянутое преимущество (в первом слагаемом (без интеграла) логарифмическую функцию, а во втором слагаемом (под знаком интеграла) — функцию, не содержащую логарифма).

Находим изначальный интеграл:

Пример 3.  Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Арктангенс, как и логарифм, лучше обозначить через u. Итак, пусть , .

Тогда ,
.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

Второй интеграл находим методом замены переменной.

Возвращаясь к переменной x, получаем

.

Находим изначальный интеграл:

.

Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

Решение. Экспоненту лучше обозначить через dv. Разбиваем подынтегральное выражение на два множителя. Полагая, что

находим

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Синус, как и экспоненту, удобно обозначить через dv. Пусть , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям находим:

Пример 10. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Как и во всех подобных случаях, косинус удобно обозначить через dv. Обозначаем , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям получаем:

Ко второму слагаемому также применяем интегрирование по частям. Обозначаем , .

Тогда , .

Применив эти обозначения, интегрируем упомянутое слагаемое:

Теперь находим требуемый интеграл:

Среди интегралов, которые можно решить методом интегрирования по частям, есть и такие, которые не входят ни в одну из трёх упомянутых в теоретической части групп, относительно которых из практики известно, что лучше обозначать через u, а что через dv. Поэтому в этих случаях нужно пользоваться соображением удобства, также приведённым в параграфе «Суть метода интегрирования по частям»: за u следует брать такую часть подынтегральной функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv — такую часть подынтегрального выражения, которая легко интегрируется. Последний пример этого урока — решение именно такого интеграла.

Пример 11. Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:

.

Решение. Примем как руководство к действию общее соображение относительно обозначений. Обозначаем , .

Тогда , .

По формуле интегрирования по частям получаем:

Случаев, когда требуется понижения степени подынтегральной функции, мы уже коснулись во вводной части урока. Теперь — практика использования для этой цели метода интегрирования по частям.

Пример 12. Используя интегрирование по частям, вывести рекуррентную формулу для

,

найти I4.

Решение. Для удобства приведём исходный интеграл к такому выражению, в котором присутствовали бы и синус, и косинус. Используя тригонометрические тождества, получаем

Ко второму слагаемому — интегралу — применяем метод интегрирования по частям. Для этого обозначим

Тогда

Находим это второе слагаемое — интеграл:

Теперь находим рекуррентную формулу для исходного интеграла:

С помощью полученной формулы найдём I4:

Начало темы «Интеграл»

Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Определённый интеграл, его свойства

Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезкеразбиения выберем некоторую точкуи положим, где. Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точекна каждом из отрезков разбиения,.

Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезкаи выбора точек, то этот предел будем называтьопределённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е.

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этомf(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма –интегральной суммой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определённого интеграла

1.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:

3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:

4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:

где a<c<b.

6. Теорема об оценке интеграла

Если для , тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.

7. Теорема о среднем значении

Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение, что f(x₀)=f_ср – среднее значение f на отрезке.

2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

При вычислении интегралов ее часто записывают в виде

Например, =

Замена переменной в определённом интеграле

Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функцияимеет на отрезкенепрерывную производную, при этомиТогда

Пример 9. Найдём

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=sint; тогда . Найдём новые пределы интегрирования: еслих=0, то t=0, если х=1, то . Получим

.

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на функции. Тогда справедлива формула

или

Пример 10. Найти

Решение: Положим u=x, откуда

Согласно формуле находим

2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этомf(x)на этом отрезке, то площадьS криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:

Замечания:

1. Если же на, то –f(х)на этом отрезке. Поэтому площадьS соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

или

Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которыхf(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.

2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y₂=f₂(x), снизу – графиком функции y₁=f₁(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:

3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x₂=₂(y), слева – графиком функции x₁=₁(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:

Пример 11. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sinx и осью абсцисс при условии .

Решение:

Разобьём отрезок на два отрезка:и. На первом из них sinx, на второмsinx. Тогда, используя формулы, находим искомую площадь:

studfile.net

Тема 10 Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл

1Первообразная и неопределенный интеграл 1

2Простейшие свойства неопределенного интеграла. 3

Таблица основных интегралов 3

2.1Дополнительная таблица интегралов 4

3Замена переменной в неопределённом интеграле 5

3.1Метод интегрирования функций вида и (a≠ 0). 6

4Интегрирование по частям в неопределённом интеграле 7

4.1Метод интегрирования функций вида . 7

4.2Метод интегрирования функций вида : 8

5Интегрирование рациональных дробей 8

5.1Метод интегрирования простейших дробей 4 типа. 11

6Интегрирование иррациональных выражений 12

6.1Интегрирование тригонометрических выражений 14

Решаем дифференциальное уравнение

на интервале , т.е. находим такую функцию , что . Так как , то уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:

Любое решение такого уравнения называется первообразной функции . Итак, функция называется первообразной функции на интервале , если для всех . Случаи и/или не исключаются. Ясно, что если первообразная, то и также первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух переменных называется общим решением уравнения (1) или, по-другому, неопределенным интегралом функции , если при подстановке вместо любого числа получаем частное решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения (1) получается таким образом.

Неопределённый интеграл обозначается . Функция называется подинтегральной, дифференциал называется подинтегральным выражением, а — знак интеграла (растянутая латинская буква S, первая буква слова Sum – сумма). Возникает вопрос о существовании первообразной и неопределенного интеграла. В разделе «Определенный интеграл», § Формула Ньютона-Лейбница будет доказано, что первообразная непрерывной функции всегда существует.

Лемма. Пусть тождественно для всех . Тогда — константа на этом интервале.

Доказательство. Обозначим для какой-либо точки . Возьмём произвольную точку и к разности применим теорему Лагранжа: для некоторой точки . Отсюда и лемма доказана.□

Теорема о первообразных. Две первообразных одной и той же функции, определенной на интервале, отличаются на константу.

Доказательство. Пусть и — первообразные функции . Тогда откуда, по лемме — константа. Следовательно, . □

Следствие. Если — первообразная функции , то .

Заметим, что если в качестве ОДЗ функции взять не интервал, а, например, такое несвязное множество как объединение двух интервалов , то любая функция вида

имеет нулевую производную, и тем самым лемма и теорема о первообразных перестает быть верной в этом случае.

1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

2. Константу можно выносить за знак интеграла:

3. Производная от интеграла равна подинтегральной функции.

4. Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению.

5. (Линейная замена переменных) Если , то (здесь ).

Таблица основных интегралов

В частности,

Для исключительного случая имеем:

Далее

1. Дополнительная таблица интегралов

Определение неопределенного интеграла распространим на более общий случай: полагаем по определению . Таким образом, например

.

Теорема. Пусть — дифференцируемая функция. Тогда

Доказательство. Пусть . Тогда

что и требовалось доказать.□

В частном случае, когда получаем линейную замену переменных (см. свойство 5, §1). Применение формулы (1) «слева на право» и будет означать замену переменной . Применение формулы (1) в обратном направлении, «справа налево» называется занесением под знак дифференциала.

Примеры. А.

1. Метод интегрирования функций вида и (a≠ 0).

1. Выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:

2. Тогда

3. Для вычисления первого интеграла в (2) применяем занесение под знак дифференциала:

Для вычисления второго интеграла выделяем в квадратном трехчлене полный квадрат и линейной заменой переменных сводим его к табличному.

Таким же методом вычисляются и интегралы вида

Примеры

В.

Г.

Теорема. Для дифференцируемых функций и имеет место соотношение

Доказательство. Интегрируя левую и правую часть формулы , получаем:

Так как по определению и , то формула (1) следует.□

Пример.

1. Метод интегрирования функций вида .

Здесь и далее – многочлен степени n. Метод интегрирования состоит в занесении экспоненты или гармоники под знак дифференциала, а затем применяется формула интегрирования по частям. Повторяем эту процедуру n раз.

Пример.

2. Метод интегрирования функций вида :

Для интегрирования таких функций заносим многочлен под знак дифференциала и применяем формулу интегрирования по частям. Процедуру повторяем k раз.

Пример.

Рациональной дробью называется функция вида , где – многочлены. Если , то рациональную дробь называют правильной. В противном случае ее называют неправильной.

Следующие рациональные дроби называют простейшими

(1 тип) ,

(2 тип)

(3 тип)

(4 тип) ,

Теорема 1. Любую дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной дроби.

Доказательство. Пусть – неправильная рациональная дробь. Поделим числитель на знаменатель с остатком: Здесь — многочлены, причем Тогда

Дробь правильная в силу неравенства . □

Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших.

Алгоритм разложения.

а) Знаменатель правильной дроби раскладываем в произведение неприводимых многочленов (линейных и квадратичных с отрицательным дискриминантом):

Здесь и — кратности соответствующих корней.

б) Раскладываем дробь в сумму простейших с неопределенными коэффициентами по следующим принципам:

• множителю соответствует k простейших дробей первого и второго типов с неопределенными коэффициентами в числителе:

• множителю соответствует m простейших дробей третьего и четвертого типов:

Так мы поступаем для каждого линейного множителя и для каждого квадратичного множителя.

в) Получившееся разложение умножаем на общий знаменатель , и неопределенные коэффициенты отыскиваем из условия тождественности левой и правой части. Действуем комбинацией двух методов

• в получившееся равенство подставляем вместо корни знаменателя как действительные так и комплексные;

• в получившемся равенстве приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

??? – обоснование алгоритма

Примеры. А. Разложим в сумму простейших

Отсюда следует, что . Подставляя в это соотношение находим сразу . Итак

Б. Разложим рациональную дробь в сумму простейших. Разложение этой дроби с неопределенными коэффициентами имеет вид

Умножая на общий знаменатель, получаем соотношение

Подставляя сюда , находим , откуда . Подставляя находим . Приравнивая коэффициенты при получаем систему

Отсюда и . Складывая равенства последней системы, получаем и . Тогда и

Следовательно,

/**/ Задача. Обобщить результат примера А и доказать равенство

1. Метод интегрирования простейших дробей 4 типа.

а) Выделяя в числителе производную знаменателя, разложим интеграл в сумму двух интегралов.

б) Первый из получившихся интегралов, после занесения под знак дифференциала, станет табличным.

в) Во втором в знаменателе выделяем полный квадрат и сводим вычисление к интегралу вида . К этому интегралу применяем следующую рекуррентную процедуру

К последнему интегралу применяем формулу интегрирования по частям:

Итак, если обозначить , то

Это представляет собой рекуррентную формулу вычисления интегралов c учетом начального значения .

Пример

Далее — рациональная функция одной или нескольких переменных.

Интегралы вида , где m/n,…,r/s — рациональные числа с общим знаменателем k, сводятся к интегралу от рациональной функции заменой

Тогда суть рациональные выражения, следовательно, после подстановки, получается интеграл от рациональной дроби:

Вычислив этот интеграл (см. пар. 4) и сделав обратную замену , получим ответ.

Аналогично, интегралы вида

где ad-bc≠ 0, а k имеет тот же смысл как и выше, сводятся к интегралам от рациональной дроби заменой

Примеры. А. Вычислим интеграл

Б. Вычислим интеграл

Более простой метод интегрирования (но требующий догадки) этой же функции таков:

1. Интегрирование тригонометрических выражений

Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональной функции универсальной заменой

Тогда

поэтому получаем интеграл от рационального выражения

В частных случаях  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx и R(sin²x, cos²x, tg x, ctg x) dx лучше пользоваться заменами соответственно.

Примеры. А.

Б.

14

studfile.net

Метод интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид:
.

Метод интегрирования по частям состоит в применении этой формулы. При практическом применении стоит отметить, что u и v являются функциями от переменной интегрирования. Пусть переменная интегрирования обозначена как x (символ после знака дифференциала d в конце записи интеграла) . Тогда u и v являются функциями от x: u(x) и v(x).
Тогда
,     .
И формула интегрирования по частям принимает вид:
.

То есть подынтегральная функция должна состоять из произведения двух функций:
,
одну из которых обозначаем как u:   g(x) = u, а у другой должен вычисляться интеграл (точнее находиться первообразная):
, тогда dv = f(x) dx.

В некоторых случаях f(x) = 1. То есть в интеграле
,
можно положить g(x) = u, x = v.

Резюме

Итак, в данном методе, формулу интегрирования по частям стоит запомнить и применять в двух видах:
;
.

Интегралы, вычисляющиеся интегрированием по частям

Интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические (гиперболические) функции

По частям часто интегрируются интегралы, содержащие логарифм и обратные тригонометрические или гиперболические функции. При этом ту часть, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические (гиперболические) функции обозначают через u, оставшуюся часть – через dv.

Вот примеры таких интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям:
,   ,   ,   ,   ,   ,   .
Подробное решение этих интегралов >>>

Интегралы, содержащие произведение многочлена и sin x, cos x или e^x

По формуле интегрирования частям находятся интегралы вида:
,   ,   ,
где P(x) – многочлен от x. При интегрировании, многочлен P(x) обозначают через u, а e^ax dx, cos ax dx или sin ax dx – через dv.

Вот примеры таких интегралов:
,   ,   .
Подробное решение этих интегралов >>>

Примеры вычисления интегралов методом интегрирования по частям

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Пример

Вычислить интеграл:

Подробное решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x,
dv = x² dx.
Тогда
,
.

.

Вычисляем оставшийся интеграл:
.
Тогда
.
В конце вычислений нужно обязательно добавить постоянную C, поскольку неопределенный интеграл – это множество всех первообразных. Также ее можно было добавлять и в промежуточных вычислениях, но это лишь загромождало бы выкладки.

Более короткое решение

Можно представить решение и в более коротком варианте. Для этого не нужно делать подстановки с u и v, а можно сгруппировать сомножители и применить формулу интегрирования по частям во втором виде.

.

Ответ

Другие примеры

Примеры решений подобных интегралов >>>

Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или ex

Пример

Вычислить интеграл:
.

Решение

Введем экспоненту под знак дифференциала:
e ^{– x} dx = – e ^{– x} d(–x) = – d(e ^{– x}).

Интегрируем по частям.
.
Также применяем метод интегрирования по частям.
.
.
.
Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Другие примеры

Примеры решений подобных интегралов >>>

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-10-2014

1cov-edu.ru