Иррациональные уравнения. Алгебра 10 — презентация онлайн

1. Иррациональные уравнения Алгебра 10

ГОУ СОШ № 413 Петродворцового района
Санкт-Петербурга
Учитель: Оленникова Т.Н.

2. План урока

1.
2.
3.
4.
Историческая справка
Определение иррационального уравнения
Уравнения, содержащие корень нечетной степени.
Уравнения вида
f ( x) g ( x)
5.
6.
7.
8.
Уравнения вида
f ( x) g ( x)
Замена переменных
Задания для самостоятельной работы
Домножение на сопряженное выражение

3. Историческая справка

Название «радикал» происходит от латинских
слов radix – «корень», radicalis — «коренной».
Начиная с ХІІІ в. европейские математики
обозначали корень этим словом, или, сокращенно, r.
В 1525г в книге К.
Рудольфа «Быстрый и
красивый счет при помощи искусных
правил алгебры, обычно называемых
Косс» появилось обозначение V для знака
квадратного корня, корень кубический обозначался
там, как ▼▼▼.

4. Историческая справка (продолжение)

В 1626г голландский
математик А.Жирар
2
3
ввел обозначение V , V и т.д., которое стало
быстро вытеснять знак r ; при этом над
подкоренным выражением ставилась
горизонтальная черта.
Тогда писали V x y вместо x y
современного.
Современное обозначение корня впервые
появилось в книге Р. Декарта «Геометрия»,
изданной в 1637г.

5. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется
уравнение, в котором переменная
входит под знаком корня (радикала).
Например:

6. Уравнения, содержащие корень нечетной степени.

Решая уравнения, содержащие корень
нечетной степени, чтобы «избавиться от
радикала», надо возвести обе части
уравнения в соответствующую степень.
Примеры. Решить уравнение.
Возведём обе части в куб, получим
Ответ:

7. Уравнения, содержащие корень нечетной степени (продолжение)

Решить уравнение:
Возведём обе части в куб, получим:
х = 1, х = 2, х = 0
Ответ: 0, 1, 2

8.

І. Уравнения вида f ( x) g ( x)
В ОДЗ левая часть уравнения всегда
неотрицательна – поэтому решение может
существовать только тогда, когда g ( x ) 0 .
В этом случае обе части уравнения
неотрицательны, возведение в квадрат даёт
равносильное в ОДЗ уравнение. Мы получаем,
что
2
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
(*)

9. ПРИМЕРЫ 1) Решить уравнение

x 2x 9x 5 3
2
Воспользуемся условием равносильности (*):
x 2x 9x 5 3
2
2x 9x 5 x 3
2
2 x 9 x 5 x 6 x 9
x 3x 4 0
x 3 0
x 3
x 4
2
2
Ответ : x 4
2

10. ПРИМЕРЫ 2) Решить уравнение

ПРИМЕРЫ
4 x3 8 x 2 5 x 2 x 1
2) Решить уравнение
Воспользуемся условием равносильности (*):
4 x 8x 5x 2 x 1
4 x 8x 5x 2 x 1
2 x 1 0
3
3
2
2
2
x
0,5
x 1 4 x 1 0
4 x3 4 x 2 x 1 0
x 1
2 x 1
x 0,5
x 0,5
2
x 0,5 Ответ: x 0,5

11.

ІІ. Уравнения вида f ( x) g ( x)
В ОДЗ обе части неотрицательны и при
возведении в квадрат дает равносильное
уравнение
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
g ( x) 0
При таком способе решения достаточно
проверить неотрицательность одной из
функций – можно выбрать более простую.
(1)

12. ПРИМЕРЫ 1) Решить уравнение

x 2 x 1 2 x3 4 x 2 x 1
Воспользуемся условием равносильности (1):
2
x
x 1 0
2
3
2
x x 1 2x 4x x 1 2
3
2
x x 1 2 x 4 x x 1
2
x
x 1 0
2
x x 1 0
3
x 2,5
x 2,5
2
2 x 5 x 0
x 0
Ответ: х = 2,5

13. 2) Найдите произведение корней уравнения

x x 3x 2 8 2 x x
3
2
2
Воспользуемся условием равносильности (1):
2
8
2
x
x
0
3
2
2
x x 3x 2 8 2 x x 3 2
2
x x 3x 2 8 2 x x
x 2 2 x 8 0
x 2 x 4 0
x 2 x 4 0
3
2
2
x 2 x 5 x 6 0
x 1 x 3 x 2 0
x 1 x x 6 0
x 1
x 2
Ответ: Произведение корней равно — 2

14.

ІІІ. Замена переменных. Решить уравнение 1. Пусть
получим уравнение
Значит
решений нет.
Ответ: х = 3.

15. Замена переменных Решить уравнение 2.

Замена:
, тогда
, т.е.
Обе части неотрицательны, возведём в квадрат
и получим равносильное уравнение
и учитывая (*):
Ответ:

16. Решить самостоятельно уравнения

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ответы: — 1, 0, 2
2
— 6, 10
-2
5
1
4

17. Решить самостоятельно уравнения

8.
Замена :
тогда
Ответ :
9.
Замена :
тогда
Ответ:

18. Домножение на сопряженное выражение

Решить уравнение
ОДЗ:
а)
x = 0 — не является корнем иск. ур-я (1)

19. Домножение на сопряженное выражение (продолжение)

б)
Домножим числитель и знаменатель
дроби на
, получим
Обе части неотрицательны, возведём в
квадрат и получим равносильное уравнение
Ответ:

Решение иррациональных уравнений с параметром

1.

Решение иррациональных уравнений с параметром. Решение иррационального уравнения
n
f x g x
Зависит от четности натурального числа n:
• если
n – четное, то есть n=2k, где k – натуральное число, то
данное уравнение равносильно системе:
g x 0
2k
x
f
x
g
• если
n – нечетное, то есть n=2k+1, где k – натуральное число, то
данное уравнение равносильно уравнению:
f x g
2 k 1
x

3. Пример 1. Решить уравнение относительно х

x 2 ax 2a x 1
Решение: исходное уравнение равносильно системе
x 1 0,
x 1,
2
2
x
ax
2
a
x
2
x
1
a 2 x 1 2a
Найдем а, при которых
неравенство
1 2a
a 2
x 1,
1 2a
,
x
a
2
a 2.
больше -1, т.е. решим
1
1 2a
a
;
2;
1
3
a 2
1
1 2a
Ответ: a ; 3 2; x
a 2
1
a ;2 — решений нет.
3

4. Пример 2. При каких а уравнение имеет единственный корень?

x 3 2x a
Пример 2. При каких а уравнение
имеет единственный корень?
Решение: исходное уравнение равносильно системе:
2 x a 0
2
2
x 3 4 x 4ax a
a
x
2
4 x 2 4a 1 x a 2 3 0
Данная система имеет единственное решение, если:
D 0
f a 0
2
4a 1 2 16 a 2 3 0
a2
a
2
4 4a 1 a 3 0
4
2
Ответ: при a
49
8
49
a
8
a 6
или a 6 данное уравнение имеет
единственный корень.

5. Пример 3. При каких а уравнение имеет два корня?

x 2a 1 a
x
4
Пример 3. При каких а уравнение
имеет два корня?
Решение: исходное уравнение равносильно системе:
x
a
0
4
2
ax
x
x 2a 1 a 2
4 16
x 4a
2
2
x
8
a
2
x
16
a
32a 16 0
Данная система имеет два решения, если:
2
2
16
a
2
16
a
32a 16 0
D 0
f 4a 0
16a 2 8 4a a 2 16a 2 32a 16 0
32a 80 0
32a 16 0
a
a
5
2
1
2
1 5
a
Ответ: при
; данное уравнение имеет два корня.

2-9x+14=0\)

Решение:

Ответ: \(7\) и \(2\).

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Новосибирский государственный технический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Люблю математику за то, что она на практике показывает, что любую задачу можно решить. Считаю, что каждый ребенок может знать математику, нужно лишь немного терпения. Готов всегда помочь ученику, ответить на его вопросы, объяснить сложные вещи простым и понятным языком. С нетерпением буду ждать Вас на своих занятиях!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный педагогический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 класса. Моя система работы основана на личностно-ориентированном подходе в обучении, который реализуется через личностную мотивацию учащихся: знаю, что изучать, чему учиться, понимаю, зачем эти знания и умения мне нужны. Убеждена, что базисные школьные знания должны быть усвоены основательно, чтобы оставались действующими на протяжении всей жизни, быть твёрдой основой для накопления новых знаний. Может банально, но математику уже люблю за то, что ум в порядок приводит!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Люблю математику за ее точность и однозначность. Мне нравится работать с детьми, умею находить с ними общий язык. Могу заверить, что изучение математики будет простым, а главное интересным. Ваш ребенок сможет достичь успеха, если его поддержать!

Математика 10 класс

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Записаться на бесплатный урок

Простейшие иррациональные уравнения примеры. Уравнения иррациональные и способы их решения

Иррациональное уравнение — это любое уравнение, содержащее функцию под знаком корня. Например:

Такие уравнения всегда решаются в 3 шага:

1. Уединить корень. Другими словами, если слева от знака равенства помимо корня стоят другие числа или функции, все это надо перенести вправо, поменяв знак. Слева при этом должен остаться только радикал — без всяких коэффициентов.
2. 2. Возводим обе части уравнения в квадрат. При этом помним, что область значений корня — все неотрицательные числа. Следовательно, функция справа иррационального уравнения также должна быть неотрицательна: g (x ) ≥ 0.
3. Третий шаг логично следует из второго: надо выполнить проверку. Дело в том, что на втором шаге у нас могли появиться лишние корни. И чтобы отсечь их, надо подставить полученные числа-кандидаты в исходное уравнение и проверить: действительно ли получается верное числовое равенство?

Решение иррационального уравнения

Разберемся с нашим иррациональным уравнением, данным в самом начале урока. Тут корень уже уединен: слева от знака равенства нет ничего, кроме корня. Возводим обе стороны в квадрат:

2x 2 − 14x + 13 = (5 − x ) 2
2x 2 − 14x + 13 = 25 − 10x + x 2
x 2 − 4x − 12 = 0

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 · 1 · (−12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Осталось лишь подставить эти числа в исходное уравнение, т.е. выполнить проверку. Но и тут можно поступить грамотно, чтобы упростить итоговое решение.

Как упростить решение

Давайте подумаем: зачем вообще мы выполняем проверку в конце решения иррационального уравнения? Мы хотим убедиться, что при подстановке наших корней справа от знака равенства будет стоять неотрицательное число. Ведь мы уже точно знаем, что слева стоит именно неотрицательное число, потому что арифметический квадратный корень (из-за которого наше уравнение и носит название иррационального) по определению не может быть меньше нуля.

Следовательно, все, что нам надо проверить — это чтобы функция g (x ) = 5 − x , которая стоит справа от знака равенства, была неотрицательной:

g (x ) ≥ 0

Подставляем наши корни в эту функцию и получаем:

g (x 1) = g (6) = 5 − 6 = −1 g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Из полученных значений следует, что корень x 1 = 6 нас не устраивает, поскольку при подстановке в правую часть исходного уравнения мы получаем отрицательное число. А вот корень x 2 = −2 нам вполне подходит, потому что:

1. Этот корень является решением квадратного уравнения, полученного в результате возведения обеих сторон иррационального уравнения в квадрат.
2. Правая сторона исходного иррационального уравнения при подстановке корня x 2 = −2 обращается в положительное число, т.е. область значений арифметического корня не нарушена.

Вот и весь алгоритм! Как видите, решать уравнения с радикалами не так уж и сложно. Главное — не забывать проверять полученные корни, иначе очень велика вероятность получить лишние ответы.

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6: x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · (x − 1) = 19 , x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · (8 + 1) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · (x + 17) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Пример 3

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня — 2 , 1 и 5 , то пишем — 2 , 1 , 5 или { — 2 , 1 , 5 } .

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3 , 4) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Хотя пугающий вид символа квадратного корня и может заставить съежиться человека, не сильного в математике, задачи с квадратным корнем не такие уж и трудные, как это может вначале показаться. Простые задачи с квадратным корнем довольно часто можно решить так же легко, как обычные задачи с умножением или делением. С другой стороны, более сложные задачи могут потребовать некоторых усилий, но с правильным подходом даже они не составят вам труда. Начните решать задачи с корнем уже сегодня, чтобы научиться этому радикально новому математическому умению!

Шаги

Часть 1

Понимание квадратов чисел и квадратных корней

1. Возведите число в квадрат, умножив его само на себя. Для того чтобы понять квадратные корни, лучше начать с квадратов чисел. Квадраты чисел довольно просты: возведение числа в квадрат означает умножение его само на себя. Например, 3 в квадрате это то же самое, что и 3 × 3 = 9, а 9 в квадрате это то же самое, что и 9 × 9 = 81. Квадраты помечаются написанием небольшой цифры «2» справа над возводящим в квадрат числом. Пример: 3 2 , 9 2 , 100 2 и так далее.

   • Попробуйте сами возвести в квадрат еще несколько чисел, чтобы опробовать эту концепцию. Помните, возведение числа в квадрат означает, что это число следует умножить само на себя. Это можно сделать даже для отрицательных чисел. В таком случае результат всегда будет положительным. Например: -8 2 = -8 × -8 = 64 .

2. Когда речь идет о квадратных корнях, то здесь идет обратный процесс возведению в квадрат. Символ корня (√, его также называют радикалом) по существу означает противоположность символа 2 . Когда вы видите радикал, вы должны спросить себя: «Какое число может умножиться само на себя, чтобы получилось число под корнем?». Например, если вы видите √(9), тогда вы должны найти число, которое при возведении в квадрат давало бы число девять. В нашем случае этим числом будет три, потому что 3 2 = 9.

   • Рассмотрим еще один пример и найдем корень из 25 (√(25)). Это означает, что нам необходимо найти число, которое бы в квадрате давало нам 25. Так как 5 2 = 5 × 5 = 25, можно сказать, что √(25) = 5.
   • Вы также может думать об этом, как об «аннулировании» возведения в квадрат. Например, если нам необходимо найти √(64), квадратный корень 64, то давайте думать об этом числе, как о 8 2 . Так как символ корня «отменяет» возведение в квадрат, то мы можем сказать, что √(64) = √(8 2) = 8.

3. Знайте разницу между идеальным и не идеальным возведением в квадрат. До этих пор ответами на наши задачи с корнем были хорошие и круглые числа, но это не всегда так. Ответами задач с квадратным корнем могут быть очень длинные и неудобные числа с десятичной дробью. Числа, корень которых представляет собой целые числа (другими словами, числа которые не являются дробью) называются полными квадратами. Все вышеупомянутые примеры (9, 25 и 64) являются полными квадратами, потому что их корнем будет целое число (3,5 и 8).

   • С другой стороны, числа, которые при возведении под корень не дают целого числа, называются неполными квадратами. Если поставить одно из этих чисел под корень, то вы получите число с десятичной дробью. Иногда такое число может оказаться весьма длинным. Например, √(13) = 3,605551275464…

4. Запомните первые 1-12 полных квадратов. Как вы, вероятно, уже заметили, найти корень полного квадрата довольно легко! Из-за того, что эти задачи такие простые, стоит запомнить корни первой дюжины полных квадратов. Вы не раз столкнетесь с этими числами, так что потратьте немного времени, чтобы запомнить их пораньше и сэкономить время в будущем.

   • 1 2 = 1 × 1 = 1
   • 2 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 2 = 3 × 3 = 9
   • 4 2 = 4 × 4 = 16
   • 5 2 = 5 × 5 = 25
   • 6 2 = 6 × 6 = 36
   • 7 2 = 7 × 7 = 49
   • 8 2 = 8 × 8 = 64
   • 9 2 = 9 × 9 = 81
   • 10 2 = 10 × 10 = 100
   • 11 2 = 11 × 11 = 121
   • 12 2 = 12 × 12 = 144

5. Упростите корни, убрав из него полные квадраты, если это возможно. Найти корень неполного квадрата иногда может оказаться нелегко, особенно если вы не используете калькулятор (в разделе ниже вы найдете несколько трюков, как сделать этот процесс легче). Однако зачастую можно упростить число под корнем, чтобы с ним было легче работать. Чтобы сделать это, вам просто необходимо разделить число под корнем на множители, а затем найти корень множителя, который является полным квадратом, и записать его снаружи корня. Это проще, чем кажется. Читайте далее, чтобы получить больше информации.

   • Давайте предположим, что нам необходимо найти квадратный корень 900. На первый взгляд это кажется довольно тяжелой задачей! Однако это не будет так тяжело, если мы разделим число 900 на множители. Множители – это числа, которые умножаются друг на друга для того, чтобы дать новое число. Например, число 6 можно получить, умножив 1 × 6 и 2 × 3, его множителями будут числа 1, 2, 3 и 6.
   • Вместо того чтобы искать корень числа 900, что немного затруднительно, давайте запишем 900, как умножение 9 × 100. Теперь, когда число 9, которое является полным квадратом, отделено от 100, мы можем найти его корень. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Другими словами, √(900) = 3√(100).
   • Мы даже можем пойти еще дальше, разделив 100 на два множителя, 25 и 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) × √(4) = 5 × 2 = 10. Поэтому мы можем сказать, что √(900) = 3(10) = 30

6. Используйте мнимые числа, чтобы найти корень отрицательного числа. Спросите себя, какое число при умножении само на себя даст -16? Это не 4 и не -4, так как возведение этих чисел в квадрат даст нам положительное число 16. Сдались? На самом деле не существует способа записать корень -16 или любого другого отрицательного числа обычными числами. В таком случае мы должны подставить мнимые числа (обычно в форме букв или символов), чтобы они оказались вместо корня отрицательного числа. Например, переменная «i» обычно используется для возведения под корень числа -1. Как правило, корнем отрицательного числа всегда будет мнимое число (или включенное в него).

   • Знайте, что хотя мнимые числа и не могут быть представлены обычными цифрами, к ним все равно можно относиться, как к таковым. Например, квадратный корень отрицательного числа можно возвести в квадрат, чтобы придать этим отрицательным числам, как и любым другим, квадратный корень. Например, i 2 = -1

   Часть 2

   Использование алгоритма деления столбиком

   1. Запишите задачу с корнем, как задачу деления столбиком. Хотя это может отнять довольно много времени, таким образом, вы сможете решить задачу с корнем неполных квадратов, не прибегая к помощи калькулятора. Для этого мы воспользуемся методом решения (или алгоритмом), который похож (но не точно такой же) на обычное деление столбиком.

      • Для начала запишите задачу с корнем в такую же форму, что и при делении столбиком. Предположим, что мы хотим найти квадратный корень числа 6,45, которое точно не является полным квадратом. Сперва мы напишем обычный символ квадрата, а затем под ним мы напишем число. Далее над числом мы нарисуем линию, чтобы оно оказалось в небольшой «коробочке», так же как и при делении столбиком. После этого у нас получится корень с длинным хвостом и числом 6,45 под ним.
      • Над корнем мы будем писать числа, так что обязательно оставьте там место.

   2. Сгруппируйте цифры по парам. Для того чтобы начать решать задачу, необходимо сгруппировать цифры числа под радикалом по парам, начав с точки в десятичной дроби. Если хотите, можете делать небольшие отметки (вроде точек, косой линии, запятых и прочего) между парами, чтобы не запутаться.

      • В нашем примере, мы должны разделить на пары число 6,45 следующим образом: 6-,45-00. Обратите внимание, что слева присутствует «оставшаяся» цифра – это нормально.

   3. Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен первой «группе». Начните с первого числа или пары слева. Выберите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен оставшейся «группе». Например, если бы группа была равна 37, вы бы выбрали число 6, потому что 6 2 = 36 37. Запишите это число над первой группой. Это будет первой цифрой вашего ответа.

      • В нашем примере, первой группой в 6-,45-00 будет цифра 6. Наибольшее число, которое в квадрате будет меньше или равно 6 это 2 2 = 4. Напишите цифру 2 над цифрой 6, которая стоит под корнем.

   4. Удвойте только что написанное число, затем опустите его под корень и отнимите. Возьмите первую цифру вашего ответа (число, которое вы только что нашли) и удвойте ее. Запишите результат под первой своей группой и отнимите, чтобы найти разницу. Опустите следующую пару чисел рядом с ответом. И наконец, напишите слева последнюю цифру удвоения первой цифры своего ответа, а рядом оставьте пробел.

      • В нашем примере, мы начнем с удвоения цифры 2, которая является первой цифрой нашего ответа. 2 × 2 = 4. Затем мы отнимем 4 от 6 (нашей первой «группы»), получив при этом 2. Далее мы опустим следующую группу (45), чтобы получить 245. И наконец, слева мы еще раз напишем цифру 4, оставив в конце небольшой пробел, вот так: 4_

   5. Заполните пробел. Затем вы должны прибавить цифру к правой части записанного числа, которое находится слева. Выберите цифру, перемножив которую с вашим новым числом, вы получили бы максимально большой результат, но который бы был меньше или равен «опущенному «числу». Например, если ваше «опущенное» число равно 1700, а ваше число слева это 40_, в пробел необходимо написать цифру 4, так как 404 × 4 = 1616

      • В нашем примере, мы должны найти число и записать его в пробелы 4_ × _, что сделает ответ как можно большим, но все же меньшим или равным 245. В нашем случае это цифра 5. 45 × 5 = 225, в то время как 46 × 6 = 276

   6. Продолжайте использовать «пустые» числа, чтобы найти ответ. Продолжайте решать это измененное деление столбиком, пока не начнете получать нули при вычитании «опущенного» числа или пока не получите желаемый уровень точности ответа. Когда вы закончите, числа, которые вы использовали, чтобы заполнить пробелы в каждом шаге (плюс самое первое число) будут составлять число вашего ответа.

      • Продолжая наш пример, мы отнимем 225 от 245, чтобы получить 20. Затем, мы опустим следующую пару чисел, 00, чтобы получить 2000. Удвоим число над знаком корня. Мы получим 25 × 2 = 50. Решив пример с пробелами, 50_ × _ =/

   7. Передвиньте точку десятичной дроби вперед от изначального «делимого» числа. Чтобы завершить свой ответ, вы должны поставить точку десятичной дроби в правильное место. К счастью, сделать это довольно легко. Все, что вам необходимо сделать, это выровнять ее относительно точки изначального числа. Например, если под корнем будет стоять число 49,8, вы должны будете поставить точку между двумя цифрами над девяткой и восьмеркой.

      • В нашем примере под радикалом стоит число 6,45, так что мы просто переместим точку и поставим ее между цифрами 2 и 5 в нашем ответе, получив при этом ответ равный 2,539.

   Часть 3

   Быстрый подсчет неполных квадратов

   1. Найдите неполные квадраты, подсчитав их. Когда вы запомните полные квадраты, поиск корня неполных квадратов станет намного проще. Так как вы уже знаете дюжину полных квадратов, любое число, которое попадает в область между этими двумя полными квадратами можно найти, сведя все к приблизительному подсчету между этих значений. Начните с поиска двух полных квадратов, между которыми находится ваше число. Затем определите, к которому из этих чисел ваше число находится ближе.

      • Например, предположим, что нам необходимо найти квадратный корень числа 40. Так как мы запомнили полные квадраты, мы можем сказать, что число 40 находится между 6 2 и 7 2 или числам 36 и 49. Так как 40 больше 6 2 , его корень будет больше 6, а так как оно меньше 7 2 , его корень также будет и меньше 7. 40 немного ближе к 36, чем к 49, так что ответ, скорее всего, будет немного ближе к 6. В следующих нескольких шагах мы сузим наш ответ.
      Следующее, что вы должны сделать, это возвести приблизительное число в квадрат. Вам, скорее всего, не повезет и вы не получите изначальное число. Оно будет или немного большим, или немного меньшим. Если ваш результат слишком большой, тогда попробуйте снова, но с немного меньшим приблизительным числом (и наоборот, если результат слишком низкий).
      • Умножьте 6,4 само на себя, и вы получите 6,4 × 6,4 = 40,96, что немного больше за изначальное число.
      • Так как наш ответ оказался больше, мы должны умножит число на одну десятую меньше за приблизительное и получить следующее: 6,3 × 6,3 = 39,69. Это немного меньше за изначальное число. Это значит, что квадратный корень 40 находится между 6,3 и 6,4. И снова, так как 39,69 ближе к 40, чем 40,96, мы знаем, что квадратный корень будет ближе к 6,3, чем к 6,4.

   2. Продолжайте расчет. На этом этапе, если вы довольны своим ответом, вы можете просто взять первое угаданное приблизительное значение. Однако если вы хотите получить более точный ответ, все что вам необходимо сделать, это выбрать приблизительное значение с двумя знаками десятичной дроби, которое ставит это приблизительное значение между первыми двумя числами. Продолжив этот подсчет, вы сможете получить для своего ответа три, четыре и больше знаков после запятой. Все зависит от того, насколько далеко вы захотите зайти.

      • В нашем примере давайте выберем 6,33 в качестве приблизительного значения с двумя знаками после запятой. Умножьте 6,33 само на себя, чтобы получить 6,33 × 6,33 = 40,0689. так как это немного больше нашего числа, мы возьмем число поменьше, например, 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Этот ответ немного меньше нашего числа, так что мы знаем, что точный квадратный корень находится между 6,32 и 6,33. Если бы мы захотели продолжить, мы бы продолжали использовать тот же подход, чтобы получить ответ, который становился бы все точнее и точнее.
   • Для быстрого поиска решения, воспользуйтесь калькулятором. Большинство современных калькуляторов могут мгновенно найти квадратный корень числа. Все что вам необходимо сделать, это ввести свое число, а затем нажать на кнопку со знаком корня. Например, для того чтобы найти корень 841, вы должны будет нажать 8, 4, 1 и (√). В результате чего вы получите ответ 39.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Довольно часто в уравнениях встречается знак корня и многие ошибочно считают, что такие уравнения сложные в решении. Для таких уравнений в математике существует специальный термин, которым и именуют уравнения с корнем — иррациональные уравнения.

Главным отличием в решении уравнений с корнем от других уравнений, например, квадратных, логарифмических, линейных, является то, что они не имеют стандартного алгоритма решения. Поэтому чтобы решить иррациональное уравнение необходимо проанализировать исходные данные и выбрать более подходящий вариант решения.

В большинстве случаев для решения данного рода уравнений используют метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Допустим, дано следующее уравнение:

\[\sqrt{(5x-16)}=x-2\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[\sqrt{(5х-16))}^2 =(x-2)^2\], откуда последовательно получаем:

Получив квадратное уравнение, находим его корни:

Ответ: \

Если выполнить подстановку данных значений в уравнение, то получим верное равенство, что говорит о правильности полученных данных.

Где можно решить уравнение с корнями онлайн решателем?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)

За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

1. Решить уравнение различными способами.

2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки

Цели урока:

Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

Правила решения иррациональных уравнений.

Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Ход урока

I. Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

II. Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

(Работу представляет учащийся, который ее проводил.)

III. Анализ методов решения домашнего задания

(По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)

Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

Отсюда

Проверка:

1. Если х=42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.

2. Если х=2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
1	Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень	1. Понятно. 2. Доступно.	1. Словесная запись. 2. Сложная проверка.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1–2 радикала.

Второй способ: равносильные преобразования.

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ:2.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
2	Равносильных преобразований	1. Отсутствие словесного описания. 2. Нет проверки. 3. Четкая логическая запись. 4. Последовательность равносильных переходов.	1. Громоздкая запись. 2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда – совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.

Третий способ: функционально-графический.

Решение.

Рассмотрим функции и .

1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени – положительное (не целое) число.

Найдем область определения функции D(f).

Составим таблицу значений x и f(x).

x	1,5	2	3,5	6
f(x)	0	1	2	3

2. Функция степенная; является убывающей.

Найдем область определения функции D(g).

Составим таблицу значений x и g(x).

x		0	2	6
g(x)	4	3	1	-1

Построим данные графики функций в одной системе координат.

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f(x) возрастает, а функция g(x) убывает, то решение уравнения будет только одно.

Ответ: 2.

№п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
3	Функционально-графический	1. Наглядность. 2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ. 3. Позволяет найти количество решений.	1. словесная запись. 2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка.

Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Четвертый способ: введение новой переменной.

Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы

Составим второе уравнение системы.

Для переменной :

,

Для переменной

Поэтому

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и

Вернувшись к переменной , получим

Ответ: 2.

№п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
4	Введение новой переменной	Упрощение – получение системы уравнений, не содержащих радикалы	1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных 2. Необходимость возврата к исходной переменной

Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.

– Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

2) методу равносильных преобразований;

3) функционально-графическому методу;

4) методу введения новой переменной.

IV. Практическая часть

(Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)

Группа 1.

Группа 2.

Группа 3.

V. Самостоятельная работа

(В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)

VI. Подведение итогов урока

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Домашнее задание

Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.

Иррациональные уравнения. Онлайн уроки. ЕГЭ. Часть 1

Иррациональные уравнения. ЕГЭ. Тригонометрическое уравнение. Отбрасывание лишних корней. Появление лишних корней. Область допустимых значений. ОДЗ. Потеря корней. Равносильные уравнения. Тождественные преобразования. Посторонние корни. Расширение ОДЗ. Сужение ОДЗ. Применение тригонометрических формул

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org    
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Решу задачи по математике (быстро), пишите: irina@bodrenko.org

Окончившие среднюю школу обычно хорошо владеют техническими, вычислительными навыками, необходимыми для решения уравнений.

Это и проявляется на экзамене:

Скажем, школьникам хорошо известно, что при возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни.

Или взять вопрос о проверке. Среди поступающих по этому вопросу бытуют два совершенно противоположных мнения.

Короче говоря, каждый должен владеть тем минимумом теоретических знаний, который необходим для решения уравнений.

Прежде всего приведем определения.

Каким же образом работают введенные понятия при решении уравнений? Дело в том, что в подавляющем большинстве случаев решение получается лишь после длинной цепи преобразований, переходов от одного уравнения к другому.

Проследить за этим изменением корней, не допустить потери и суметь отбросить лишние корни — это и есть задача правильного решения уравнений. Ясно, что самый лучший способ — каждый раз заменить очередное урабненйе на равносильное тогда корни последнего уравнения и будут корнями исходного. Но этот идеальный путь на практике обычно неосуществим.

И в случае, когда хотя бы один раз в процессе преобразовании урэвнрние заменялось на неравносильное ему следствие, обязательно исследование полученных корней — проверка. Заметим сразу же, что, как мы увидим ниже, это исследование вовсе не обязательно требует непосредственной подстановки полученных корней в исходное уравнение.

Таким образом, если

Если же они появились и не отброшены, то решение просто неверно.

С другой стороны, если каждый раз уравнение заменялось на равносильное (что, впрочем, как мы уже сказали, бывает редко), причем этот факт специально оговаривался в процессе решения, то проверка не нужна.

Что же касается контроля вычислений, го это личное дело каждого решающего; его можно проводить или не проводить в зависимости от своей техники вычислений, от уверенности в себе.

Но делать это надо на черновике, и включать такой контроль в решение незачем.

Подчеркнем, что

корнем второго, а тогда, решив это второе уравнение, мы все равно не найдем всех корней первого

В результате произойдет потеря корня, что уже непоправимо.

Эти источники бывают, в основном, двух типов: так называемые «тождественные преобразования» и взятие от обеих частей уравнения некоторых функций (возведение в степень, логарифмирование, потенцирование и т. д.).

Ясно, что из-за расширения ОДЗ возможно приобретение лишних корней, а из-за сужения ОДЗ — потеря корней, так что сужение ОДЗ недопустимо.

Что же касается лишних корней, то в случае, когда они приобретены за счет расширения ОДЗ, для их отделения от корней исходного уравнения нет необходимости подставлять их непосредственно в это исходное уравнение — достаточно лишь проверить, входят ли они в его ОДЗ, и если не входят, то отбросить, а если входят, то оставить. Этот факт имеет исключительное значение для практики решения уравнений, и поэтому мы его выделим.

Использование этого утверждения избавляет нас от непосредственной подстановки полученных корней в уравнение и технической проверки соответствующих числовых равенств, которая нередко бывает весьма затруднительной, а иногда и просто невозможной из-за того, что проверяемых чисел бесконечно много.

Если обе части уравнения неотрицательны на некотором множестве значений аргумента, то при возведении в квадрат получается уравнение, равносильное исходному на этом множестве. В самом деле, в этом случае «постороннее» уравнение, очевидно, не имеет корней, разве лишь те, при которых обе части обращаются в нуль — но они и не являются лишними для нашего уравнения, Как это утверждение применяется на практике, мы покажем ниже на конкретных примерах.

Таков тот теоретический «багаж», который должен быть у каждого поступающего. Следует подчеркнуть в то же время, что использование всей этой теории не всегда целесообразно, и при решении примеров нужно соблюдать какую-то меру, стремясь всегда к самому простому решению.

Если, скажем, при решении на черновике выяснилось, что простая проверка полученных корней не представляет труда, то незачем ни выяснять источники приобретения корней, ни интересоваться изменением ОДЗ в процессе решения, ни даже вообще находить ОДЗ; если же эта проверка затруднительна, то выручают именно теоретические рассуждения — в соответствующем месте (и обязательно в чистовике) нужно исследовать преобразование, которое могло привести к появлению лишних корней.

В то же время в любом решении должна быть уверенность, что не происходит потери корней. Это также полезно явно оговаривать, особенно если применяемое преобразование достаточно сложно.

Невниманием к ОДЗ объясняются ошибки при решении уравнений, у которых в левой части стоит некоторая дробь, а в правой части — нуль. Часто для решения такого рода уравнения просто отбрасывают знаменатель и приравнивают числитель нулю.

Ясно, что при этом могут быть потеряны корни, которые обращают в нуль этот общий множитель.

В этих случаях лучше всего перенести все в левую часть, вынести общий множитель за скобки и рассмотреть два случая: 1) общий множитель равен нулю; 2) общий множитель не равен нулю — тогда обязательно равно нулю выражение в скобках. Можно также рассмотреть сначала случай, когда общий множитель равен нулю, а затем на него сократить.

Очень часто при решении уравнений поступающие неправильно пользуются следующим утверждением: «Если две степени равны, их основания равны и отличны от 0 и 1, то и показатели степеней равны». Как правило, они забывают о выделенном курсивом ограничении. В результате теряются корни — именно те, при которых основание равно 0 или 1.

Таким образом, при пользовании правилом перехода от равенства степеней одного и того же неотрицательного основания к равенству показателей нужно рассматривать три случая:

основание степени равно 0, основание степени равно 1, показатели степеней равны. Это рассмотрение позволяет избежать потери корней.

Однако посторонние корни при таком решении могут появиться, В самом деле, в каждом из этих случаев приходится, вообще говоря, решать уравнение, и поскольку все эти три уравнения решаются уже совершенно изолированно друг от друга, может оказаться, что некоторые их решения не будут входить в ОДЗ исходного уравнения. Так и случилось в последних двух примерах.

При этом достаточно установить лишь, что проверяемый корень входит в ОДЗ исходного уравнения; тогда корень автоматически будет ему удовлетворять.

Как известно левая и правая части тригонометрической формулы могут иметь различную область допустимых значений. Таковы, например, формулы так называемой «универсальной подстановки», выражающие синус и косинус через тангенс половинного угла. В этих формулах левая часть имеет более широкую область допустимых значений, и поэтому, заменяя в уравнении левую часть формулы правой, мы сужаем его ОДЗ, т. е. рискуем потерять корни.

Упростите радикальное, рациональное выражение с помощью пошагового решения математических задач

В разделе 3 главы 1 есть несколько очень важных определений, которые мы использовали много раз. Поскольку эти определения приобретают новое значение в этой главе, мы повторим их.

Когда алгебраическое выражение составлено из частей, соединенных знаками + или -, эти части вместе со своими знаками называются членами выражения.

a + b имеет два термина.
2x + 5y — 3 имеет три члена.

В a + b термины a и b. В 2x + 5y — 3 члены равны 2x, 5y и -3.

Когда алгебраическое выражение состоит из частей, подлежащих умножению, эти части называются делителями выражения.

ab имеет множители a и b.

Очень важно уметь различать термины и факторы. Правила, применимые к терминам, в общем случае не будут применяться к факторам. При именовании терминов или факторов необходимо учитывать выражение целиком.

С этого момента во всей алгебре вы будете использовать слова термин и фактор . Убедитесь, что вы понимаете определения.

Показатель степени — это число, используемое для обозначения того, сколько раз коэффициент должен использоваться в продукте. Показатель степени обычно записывается в виде меньшего (по размеру) числа немного выше и правее множителя, на который влияет показатель степени.

Показатель степени иногда называют степенью.» Например, 5 3 может называться «пять в третьей степени».

Обратите внимание на разницу между 2x ³ и (2x) ³ . Из использования круглых скобок в качестве группирующих символов мы видим, что

2x ³ означает 2(x)(x)(x), тогда как (2x) ³ означает (2x)(2x)(2x) или 8x ³ .

Если не используются круглые скобки, показатель степени влияет только на коэффициент, непосредственно предшествующий ему.

В таком выражении, как 5x ⁴
5 , это коэффициент ,
x это основание ,
4 это показатель степени .
5x ⁴ означает 5(x)(x)(x)(x).

Обратите внимание, что показатель степени влияет только на основание.

Многие ученики делают ошибку, умножая основание на показатель степени. Например, вместо правильного ответа они скажут 3 4 = 12, 3 4 = (3)(3)(3)( 3) = 81.

Когда мы пишем буквальное число, такое как x, будет понятно, что коэффициент равен единице и показатель степени равен единице. Это может быть очень важно во многих операциях.

х означает 1 х ¹ .

Также понятно, что письменное числительное, такое как 3, имеет показатель степени 1. Мы просто не утруждаем себя записью показателя степени 1.

ЗАКОН УМНОЖЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете правильно применять первый закон показателей.

Теперь, когда мы рассмотрели эти определения, мы хотим установить очень важные законы показателей.Эти законы выводятся непосредственно из определений.

Первый закон экспонент Если a и b — положительные целые числа, а x — действительное число, то

Чтобы умножить множители с одинаковым основанием, сложите показатели степени.

Для любого правила, закона или формулы мы всегда должны быть очень осторожны, чтобы выполнить необходимые условия, прежде чем пытаться применить их. Обратите внимание, что в приведенном выше законе основание одинаково для обоих множителей.Этот закон применяется только при соблюдении этого условия.

Эти факторы не имеют одинаковой базы.

Показатель степени 1 обычно не пишется. Когда мы пишем x, предполагается показатель степени: x = x1. Этот факт необходим для применения законов экспонент.

Если выражение содержит произведение разных оснований, мы применяем закон к тем основаниям, которые подобны.

УМНОЖЕНИЕ МОНОМОВ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Распознать моном.
2. Найдите произведение нескольких одночленов.

Одночлен — это алгебраическое выражение, в котором буквенные числа связаны только операцией умножения.

не является мономом, так как задействована операция сложения.

предполагает операцию деления.

Чтобы найти произведение двух мономов , умножьте числовые коэффициенты и примените первый закон показателей к буквальным множителям.

Вы помните первый закон показателей?

Умножьте 5 на 3 и сложите показатели x. Помните, что если показатель степени не указан, то понимается показатель степени единицы.

МОНОМЫ, УМНОЖЕННЫЕ НА ПОЛИНОМЫ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Распознавание многочленов.
2. Определите двучлены и трехчлены.
3. Найдите произведение одночлена на двучлен.

Многочлен представляет собой сумму или разность одного или нескольких одночленов.

Обычно, если имеется более одной переменной, многочлен записывается в алфавитном порядке.

Для некоторых многочленов используются специальные имена. Если многочлен имеет два члена, он называется биномом .

Если многочлен состоит из трех членов, он называется трехчленом .

В процессе удаления круглых скобок мы уже заметили, что на все термины в круглых скобках влияет знак или число, предшествующее скобкам. Теперь мы расширим эту идею, чтобы умножить одночлен на многочлен.

Размещение 2x непосредственно перед скобками означает умножение выражения в скобках на 2x. Обратите внимание, что каждый член умножается на 2x.

Снова каждое слагаемое в скобках умножается на 3y 2

Снова каждое слагаемое в скобках умножается на 3y 2 . В каждом из этих примеров мы используем свойство распределения .

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОЛИНОМОВ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Найдите произведение двух двучленов.
2. Используйте свойство дистрибутивности для умножения любых двух многочленов.

В предыдущем разделе вы узнали, что произведение A(2x + y) расширяется до A(2x) + A(y).

Теперь рассмотрим произведение (3x + z)(2x + y).

Поскольку (3x + z) заключено в скобки, мы можем рассматривать его как один множитель и разложить (3x + z)(2x + y) так же, как A(2x + y). Это дает нам

Если мы теперь расширим каждое из этих условий, мы получим

Обратите внимание, что в окончательном ответе каждый член одной скобки умножается на каждый член других скобок.

Обратите внимание, что это применение свойства распределения.

Обратите внимание, что это применение свойства распределения.

Так как — 8x и 15x похожи, мы можем объединить их, чтобы получить 7x.

В этом примере мы смогли объединить два термина, чтобы упростить окончательный ответ.

Здесь мы снова объединили некоторые термины, чтобы упростить окончательный ответ. Обратите внимание, что порядок членов в окончательном ответе не влияет на правильность решения.

Свойство коммутативности позволяет менять порядок.

Попробуйте установить систему умножения каждого члена одной скобки на каждый член другой скобки.В этих примерах мы взяли первый член в первом наборе скобок и умножили его на каждый член во втором наборе скобок. Затем мы взяли второй член первого набора и умножили его на каждый член второго набора, и так далее.

СТЕПЕНИ СТЕПЕН И КВАДРАТНЫЕ КОРНИ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете:

1. Правильно применить второй закон показателей.
2. Найдите квадратные корни и главные квадратные корни чисел, являющихся полными квадратами.

Теперь мы хотим установить второй закон показателей. Обратите внимание на следующие примеры, как этот закон выводится с использованием определения показателя степени и первого закона показателей степени.

по смыслу показателя степени 3.

Теперь по первому закону показателей у нас есть

В общем отметим, что

Это означает, что ответ будет

Помните, чтобы умножить общие основания, добавьте показатели степени.

Если мы суммируем член a b раз, мы получим произведение a и b. Отсюда мы видим, что

Второй закон экспонент Если a и b — положительные целые числа, а x — действительное число, то
.

Другими словами, «чтобы возвести степень основания x в степень, умножьте показатели».

.

Обратите внимание, что каждый показатель должен быть умножен на 4.

Обратите внимание, что когда факторы сгруппированы в скобках, каждый фактор зависит от показателя степени.

.

Опять же, каждый множитель нужно возвести в третью степень.

Используя определение степени, (5) ² = 25. Мы говорим, что 25 есть квадрат 5. Теперь мы вводим новый термин в наш алгебраический язык. Если 25 — это квадрат 5, то говорят, что 5 — это квадратный корень из 25.

Если x ² = y, то x является квадратным корнем из y.

Обратите внимание, мы говорим, что 5 — это , квадратный корень из , а не — квадратный корень из . Вскоре вы увидите, почему.

.

Из последних двух примеров вы заметите, что 49 имеет два квадратных корня, 7 и — 7. Действительно, каждое положительное число имеет два квадратных корня.

На самом деле, один квадратный корень положительный, а другой отрицательный.

.

Сколько квадратных корней из 36?

главный квадратный корень из положительного числа является положительным квадратным корнем.

Символ «» называется подкоренным знаком и указывает на главное

указывает главный квадратный корень или положительный квадратный корень из 9.

Обратите внимание на разницу в этих двух задачах.

а. Найдите квадратные корни из 25.
b. Находить .

Очень важно понимать разницу между этими двумя утверждениями.

Для а. ответ равен +5 и -5, так как (+ 5) ² = 25 и (- 5) ² = 25.
Для б. ответ равен +5, так как знак радикала представляет главный или положительный квадратный корень.
Целые числа, такие как 16, 25, 36 и т. д., квадратные корни которых являются целыми числами, называются совершенными квадратными числами . В настоящее время нас интересуют только квадратные корни из совершенных квадратных чисел. В одной из последующих глав мы займемся оценкой и упрощением указанного квадратного корня из чисел, не являющихся совершенными квадратными числами.

Иногда вы можете увидеть символ +/- .Это означает, что требуются оба квадратных корня числа. Например, +/- 5 — это сокращенный способ записи + 5 и -5.

ЗАКОН ДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы сможете правильно применять третий закон показателей.

Перед тем, как приступить к установлению третьего закона показателей, мы сначала рассмотрим некоторые факты об операции деления.

1. Разделение двух чисел может быть обозначено знаком деления или записью одного числа над другим с чертой между ними.Шесть разделить на два записывается как
.
2. Деление связано с умножением по правилу, если тогда a = be. Это проверка на все проблемы деления. Например, мы знаем это, потому что 18 = (6)(3).
3. Деление на ноль невозможно. Для оценки нам требуется найти число, которое при умножении на ноль даст 5. Такого числа не существует.
4. Ненулевое число, разделенное само на себя, равно 1.

. Умножьте обведенные количества, чтобы получить a. Это очень важно! Если a — любое ненулевое число, то оно не имеет значения.

Из (3) мы видим, что такое выражение, как не имеет смысла, если мы не знаем, что y ≠ 0. В этом и последующих разделах всякий раз, когда мы пишем дробь, предполагается, что знаменатель не равен нулю. Теперь, чтобы установить закон деления показателей, воспользуемся определением показателей.

Важно! Прочтите этот абзац еще раз!

Мы знаем, что = 1.Мы также предполагаем, что x представляет собой ненулевое число.

В таком примере нам не нужно разделять количества, если мы помним, что количество, деленное само на себя, равно единице. В приведенном выше примере мы могли бы написать

Три крестика в знаменателе делят три крестика в числителе.

Помните, что 1 нужно писать, если это единственный член в числителе.

Из предыдущих примеров мы можем обобщить и прийти к следующему закону:

Третий закон показателей Если a и b — положительные целые числа, а x — ненулевое действительное число, то

Если мы попытаемся использовать только ту часть закона, которая утверждает такое выражение, как мы получили бы На данный момент отрицательные показатели не определены.Мы обсудим их позже.

ДЕЛЕНИЕ МОНОМА НА МОНОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете упростить выражение, сократив дробь с коэффициентами, а также используя третий закон показателей.

Мы должны помнить, что коэффициенты и показатели регулируются разными законами, потому что они имеют разные определения. При делении одночленов коэффициенты делятся, а показатели степени вычитаются по закону деления показателей.

Если деление невозможно или возможно только сокращение дроби с коэффициентами, это не влияет на использование закона показателей деления.

Сократите этот тип дроби в два этапа: 1. Сократите коэффициенты. 2. Используйте третий закон показателей.

ДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМА НА МОНОМ

ЗАДАЧИ

После завершения этого раздела вы должны уметь делить многочлен на одночлен.

Деление многочлена на одночлен связано с одним очень важным фактом в дополнение к тому, что мы уже использовали. Дело в том, что если в числителе дроби несколько членов, то каждое из них нужно разделить на знаменатель.

Таким образом, мы фактически используем свойство распределения в этом процессе.

ДЕЛЕНИЕ ПОЛИНОМА НА ДВУМОЧИНА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете правильно применить алгоритм деления в длину для деления многочлена на двучлен.

Процесс деления многочлена на другой многочлен будет полезен в следующих темах. Здесь мы разработаем методику и обсудим причины, по которым она будет работать в будущем.

Этот метод называется алгоритмом длинного деления . Алгоритм — это просто метод, которому нужно точно следовать. Поэтому представим его в пошаговом формате и на примере.

Вспомните три выражения в делении: Если бы нас попросили расположить выражение в убывающей степени, мы бы написали .Нулевой коэффициент дает 0x 3 = 0. По этой причине член x 3 отсутствовал или не был записан в исходном выражении.

Решение

Шаг 1: Расположите и делитель, и делимое в убывающей степени переменной (это означает, что первым будет самый высокий показатель, второй самый высокий и т. д.) и задайте нулевой коэффициент для всех отсутствующих членов. (В этом примере расположение не нужно менять, и отсутствуют пропущенные термины.) Затем расположите делитель и делимое следующим образом:

Шаг 2: Чтобы получить первый член частного, разделите первый член делимого на первый член делителя, в данном случае . Записываем это так:

Шаг 3: Умножьте весь делитель на член, полученный в шаге 2. Вычтите результат из делимого следующим образом:

Убедитесь, что вы пишете частное непосредственно над количеством, на которое вы делите.В этом случае х делится на х 2 х раз.

Шаг 4: Разделите первый член остатка на первый член делителя, чтобы получить следующий член частного. Затем умножьте весь делитель на полученный член и снова вычтите следующим образом:

Первый член остатка (-2x — 14) равен -2x. Умножить (x + 7) на -2.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока либо остаток не станет равным нулю (как в этом примере), либо степень первого члена остатка не станет меньше степени первого члена делителя.

Как и в арифметике, деление проверяется умножением. Мы должны помнить, что (частное) X (делитель) + (остаток) = (делимое).

Чтобы проверить этот пример, мы умножаем (x + 7) и (x — 2), чтобы получить x ² + 5x — 14.

Поскольку это делимое, ответ правильный.

Снова (частное) X (делитель) + (остаток) = (делимое)

Ответ х — 3. Проверяя, находим (х + 3)(х — 3)

Распространенная ошибка — забыть записать пропущенный член с нулевым коэффициентом.

ОБЗОР

Ключевые слова

• Одночлен — это алгебраическое выражение, в котором буквенные числа связаны только операцией умножения.
• Многочлен представляет собой сумму или разность одного или нескольких одночленов.
• Бином — многочлен, имеющий два члена.
• Трехчлен — многочлен, состоящий из трех членов.
• Если x ² = y, то x является квадратным корнем из y.
• главный квадратный корень из положительного числа является положительным квадратным корнем.
• Символ называется подкоренным знаком и указывает на главный квадратный корень числа.
• идеально квадратное число имеет целые числа в качестве квадратных корней.

Процедуры

• Первый закон показателей: x ^a x ^b = x ^a+b .
• Чтобы найти произведение двух одночленов, умножьте числовые коэффициенты и примените первый закон показателей к буквальным множителям.
• Чтобы умножить многочлен на другой многочлен, умножьте каждый член одного многочлена на каждый член другого и объедините одинаковые члены.
• Второй закон показателей равен (x ^a ) ^b = x ^ab .
• Третий закон показателей равен
  
• Чтобы разделить одночлен на одночлен, разделите числовые коэффициенты и используйте третий закон показателей для буквенных чисел.
• Чтобы разделить многочлен на одночлен, разделите каждый член многочлена на одночлен.
• Чтобы разделить многочлен на двучлен, используйте алгоритм длинного деления.

Алгебра — радикалы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне).Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-3: Радикалы

Мы начнем этот раздел с определения радикала. {\ гидроразрыва {1} {п}}} \]

где \(n\) называется индексом , \(a\) называется радикалом и , а символ \(\sqrt {} \) называется радикалом . Левую часть этого уравнения часто называют радикальной формой, а правую часть часто называют экспоненциальной формой.

Из этого определения видно, что радикал — это просто другое обозначение первого рационального показателя, которое мы рассматривали в разделе о рациональных показателях.

Обратите также внимание, что в них требуется индекс, чтобы убедиться, что мы правильно оцениваем радикал.Есть одно исключение из этого правила, и это квадратный корень. Для квадратных корней имеем

\[\sqrt[2]{a} = \sqrt a \]

Другими словами, для квадратных корней мы обычно опускаем индекс.

Давайте сделаем пару примеров, чтобы познакомить нас с этой новой нотацией.

Пример 1 Запишите каждый из следующих радикалов в экспоненциальной форме. 2}} \) Показать решение

Вводный текст перед решениями деталей.{\ frac {1} {{10}}}} = 8 \, \, \ sqrt [{10}] {x} \ ne \ sqrt [{10}] {{8x}} \]

Итак, мы еще раз видим, что скобки очень важны в этом классе. Будьте осторожны с ними.

Поскольку мы знаем, как вычислять рациональные показатели, мы также знаем, как вычислять радикалы, как показывает следующий набор примеров.

Пример 2. Оцените каждое из следующих действий.

1. \(\sqrt {16} \) и \(\sqrt[4]{{16}}\)
2. \(\sqrt[5]{{243}}\)
3. \(\sqrt[4]{{1296}}\)
4. \(\sqrt[3]{{ — 125}}\)
5. \(\sqrt[4]{{ — 16}}\)

Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Чтобы оценить их, мы сначала преобразуем их в экспоненциальную форму, а затем оценим, поскольку мы уже знаем, как это сделать.2} = 16\). Итак, почему мы не использовали вместо этого -4? Существует общее правило вычисления квадратных корней (или, в более общем случае, радикалов с четными индексами). При вычислении квадратных корней мы ВСЕГДА берем положительный ответ. Если мы хотим получить отрицательный ответ, мы сделаем следующее.

\[ — \sqrt {16} = — 4\]

Это может показаться не таким уж важным, но в более поздних темах это может быть очень важно. Следование этому соглашению означает, что мы всегда будем получать предсказуемые значения при оценке корней.п}}} = а\)

\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}\)

\(\displaystyle \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\ )

Обратите внимание, что иногда мы можем разрешить \(a\) или \(b\) быть отрицательными, и эти свойства все равно будут работать. Когда мы сталкиваемся с такими ситуациями, мы признаем их. Однако в оставшейся части этого раздела мы будем предполагать, что \(a\) и \(b\) должны быть положительными.

Также обратите внимание, что, хотя мы можем «разбивать» произведения и частные под радикалом, мы не можем делать то же самое с суммами или разностями. Другими словами,

\[\sqrt[n]{{a + b}} \ne \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}{\mbox{И }}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}\sqrt[n]{{a — b}} \ne \sqrt[n]{a} — \sqrt[n]{b}\]

Если вы не уверены, что верите в это, рассмотрите следующий пример быстрого числа.

\[5 = \sqrt {25} = \sqrt {9 + 16} \ne \sqrt 9 + \sqrt {16} = 3 + 4 = 7\]

Если мы «разложим» корень на сумму двух частей, то получим явно разные ответы! Так что будьте осторожны, чтобы не сделать эту очень распространенную ошибку!

Мы собираемся упростить радикалы в ближайшее время, поэтому мы должны определить упрощенную радикальную форму .Говорят, что радикал находится в упрощенной радикальной форме (или просто в упрощенной форме), если верно каждое из следующих утверждений.

Упрощенная радикальная форма

1. Все показатели степени в подкоренном члене должны быть меньше индекса.
2. Любые показатели степени в подкоренном члене не могут иметь общих делителей с индексом. 4}}}\]

   Теперь, когда он в этой форме, мы можем сделать некоторое упрощение.3}}}\sqrt[3]{{2x}} = 3x\sqrt[3]{{2x}}\]

   Перед тем, как перейти к набору примеров, иллюстрирующих последние два правила упрощения, нам нужно кратко рассказать о сложении/вычитании/умножении радикалов. Выполнение этих операций с радикалами во многом аналогично выполнению этих операций с полиномами. Если вы не помните, как складывать/вычитать/умножать многочлены, мы дадим краткое напоминание здесь, а затем дадим более подробный набор примеров в следующем разделе.

   Напомним, что для добавления/вычитания членов с \(x\) в них все, что нам нужно сделать, это добавить/вычесть коэффициенты \(x\).Например,

   \[4x + 9x = \left( {4 + 9} \right)x = 13x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}3x — 11x = \left( {3 — 11} \right)x = — 8x\]

   Добавление/вычитание радикалов работает точно так же. Например,

   \[4\sqrt x + 9\sqrt x = \left( {4 + 9} \right)\sqrt x = 13\sqrt x \hspace{0. 25in}3\,\,\sqrt[{10}]{ 5} — 11\,\,\sqrt[{10}]{5} = \left( {3 — 11} \right)\sqrt[{10}]{5} = — 8\,\,\sqrt[ {10}]{5}\]

   Мы уже видели некоторое умножение радикалов в последней части предыдущего примера.Если мы смотрим на произведение двух радикалов с одинаковым индексом, то все, что нам нужно сделать, это использовать второе свойство радикалов, чтобы объединить их, а затем упростить. Теперь нам нужно рассмотреть такие проблемы, как следующий набор примеров.

   Пример 4 Умножьте каждое из следующих чисел. Предположим, что \(х\) положительно.
   1. \(\ влево ( {\ sqrt x + 2} \ вправо) \ влево ( {\ sqrt x — 5} \ вправо) \)
   2. \(\left( {3\,\sqrt x — \sqrt y } \right)\left( {2\sqrt x — 5\sqrt y } \right)\)
   3. \(\влево( {5\sqrt x + 2} \right)\left( {5\sqrt x — 2} \right)\)
   Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

   Во всех этих задачах все, что нам нужно сделать, это вспомнить, как ИСПРАВЛЯТЬ биномы. 2}} — 3\sqrt x — 10\\ & = x — 3\sqrt x — 10\end{align*} \]

   Как отмечалось выше, нам нужно было немного упростить первый член после умножения.2}\]

   Если вы не помните эту формулу, мы рассмотрим ее более подробно в следующем разделе.

   Хорошо, теперь мы готовы взглянуть на несколько примеров упрощения, иллюстрирующих последние два правила. Обратите также внимание на то, что четвертое правило гласит, что в знаменателе не должно быть радикалов. Чтобы избавиться от них, мы будем использовать некоторые идеи умножения, которые мы рассмотрели выше, и процесс избавления от радикалов в знаменателе называется , рационализируя знаменатель .3}}}}}\)

3. \( \displaystyle \frac{1}{{3 — \sqrt x }}\)
4. \( \displaystyle \frac{5}{{4\sqrt x + \sqrt 3 }}\)

Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

На самом деле здесь мы увидим два разных типа проблем. n}}} = a\).2}\]

Когда знаменатель состоит из двух слагаемых, хотя бы в одном из слагаемых есть радикал, мы сделаем следующее, чтобы избавиться от радикала.

\[\ frac{1}{{3 — \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {3 — \sqrt x } \right)}}\frac{{3 + \sqrt x }} {{\left( {3 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 + \sqrt x}}{{\left( {3 — \sqrt x} \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 + \sqrt x }}{{9 — x}}\]

Итак, мы взяли исходный знаменатель, изменили знак второго члена и умножили числитель и знаменатель на этот новый член.Делая это, мы смогли устранить радикал в знаменателе, когда мы затем умножили.

d \( \displaystyle \frac{5}{{4\sqrt x + \sqrt 3 }}\) Показать решение

Этот пример работает точно так же, как и предыдущий. Единственное отличие состоит в том, что оба члена в знаменателе теперь имеют радикалы. Однако процесс тот же.

\[\ frac{5}{{4\sqrt x + \sqrt 3}} = \frac{5}{{\left( {4\sqrt x + \sqrt 3} \right)}}\frac{{\ влево( {4\sqrt x — \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {4\sqrt x — \sqrt 3 } \right)}} = \frac{{5\left( {4\sqrt x — \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {4\sqrt x + \sqrt 3 } \right)\left( {4\sqrt x — \sqrt 3 } \right)}} = \frac {{5\left( {4\sqrt x — \sqrt 3 } \right)}}{{16x — 3}}\]

Может показаться, что рационализация знаменателя не имеет реального применения, и, честно говоря, мы не увидим много применений в классе алгебры. Однако, если вы находитесь на пути, который приведет вас к классу исчисления, вы обнаружите, что рационализация иногда полезна на этом уровне.

Мы завершим этот раздел более общей версией первого свойства радикалов. Вспомним, что когда мы впервые записали свойства радикалов, мы потребовали, чтобы \(а\) было положительным числом. Это сделано для того, чтобы немного облегчить работу в этом разделе. Однако с первым свойством это не обязательно должно иметь место.n}}} = \left\{ {\begin{массив}}{*{20}{l}}{\left| a \right|}&{{\mbox{если}}n{\mbox{четно}}}\\a&{{\mbox{если}}n{\mbox{нечетно}}}\end{массив} } \правильно.\]

, где \(\left| a \right|\) — абсолютное значение \(a\). Если вы не помните абсолютное значение, мы подробно рассмотрим это в разделе следующей главы. Все, что вам нужно сделать, это знать, что абсолютное значение всегда делает \(a\) положительным числом.

Итак, в качестве быстрого примера это означает, что

\[\sqrt[8]{{{x^8}}} = \left| х \право|\hspace{0. 2}} = \влево| х \справа|\]

Это не то, о чем нам нужно беспокоиться, но опять же, есть темы в курсах после курса алгебры, для которых это важная идея, поэтому нам нужно, по крайней мере, признать это.

Умножение, а затем упрощение подкоренных выражений — видео и расшифровка урока

Умножение подкоренных выражений

Используя правило произведения для объединения терминов под одним подкоренным символом, легко сделать следующий шаг и перемножить эти термины вместе.В нашем предыдущем примере мы можем быстро увидеть, что нам нужно умножить 5 и 3, что равно 15. Таким образом, окончательный ответ на задачу — квадратный корень из 15.

При умножении двух или более подкоренных выражений, если каждый член имеет один и тот же индекс, вы можете объединить термины под каждым радикалом, а затем умножить, используя правило умножения для степеней, которое заключается в том, что когда термины имеют одно и то же основание, просто добавьте показатели, чтобы умножить.

Давайте рассмотрим пример.

Умножить:

Поскольку индекс каждого термина равен 4, вы можете объединить каждый термин под одним подкоренным символом из-за правила произведения.

Затем вы можете перемножить каждое слагаемое вместе, чтобы получить ответ:

Упрощение радикальных выражений

Последний шаг при работе со всеми математическими задачами — убедиться, что ваш ответ представлен в простейшей форме.4 члена можно уменьшить, потому что радикал имеет индекс 4. Они компенсируют друг друга, и член упрощается до y .

Никакие другие термины нельзя упростить, поэтому окончательный ответ на наш вопрос:

Давайте попробуем еще один пример.

Во-первых, используйте правило произведения, чтобы поместить термины под одним корневым символом.

Затем объедините одинаковые члены:

Далее разделите каждый термин для упрощения.

Есть три термина, которые можно упростить.

После того, как вы все упростили, вы можете снова объединить термины, чтобы получить окончательный ответ:

3bc?2abc

Итоги урока

Чтобы умножить подкоренные выражения, используйте правило произведения, чтобы собрать все термины под одним радикалом. .Помните, это будет работать, только если радикалы имеют одинаковый индекс. Затем соедините одинаковые термины по правилам умножения. Наконец, упростите, где это возможно.

Результат обучения

Когда вы закончите этот урок, вы сможете использовать правило произведения для умножения подкоренных выражений.

Калькулятор радикальных уравнений — Бесплатный онлайн калькулятор радикальных уравнений

Калькулятор радикальных уравнений вычисляет значение переменной для данного радикального уравнения.Радикал числа равен корню числа. Корнем может быть квадратный корень, кубический корень или вообще корень n ^th  . Таким образом, любое число или выражение, в котором используется корень, называется радикалом.

Что такое калькулятор радикальных уравнений?

Калькулятор радикальных уравнений

 – это онлайн-инструмент, который помогает рассчитать значение переменной для данного радикального уравнения. Этот онлайн-калькулятор радикальных уравнений поможет вам рассчитать значение переменной для данного радикального уравнения за несколько секунд. Чтобы использовать этот калькулятор радикальных уравнений, введите радикальное уравнение в данное поле ввода.

Как использовать калькулятор радикальных уравнений?

Чтобы рассчитать значение переменной с помощью онлайн-калькулятора радикальных уравнений, выполните следующие действия:

• Шаг 1:  Перейдите к онлайн-калькулятору радикальных уравнений Cuemath.
• Шаг 2:  Введите радикальное уравнение в данное поле ввода калькулятора радикальных уравнений.
• Шаг 3:  Нажмите кнопку  «Решить» , чтобы вычислить значение переменной для данного радикального уравнения.
• Шаг 4:  Нажмите кнопку  «Сброс» , чтобы очистить поле и ввести новое радикальное уравнение.

Как работает калькулятор радикальных уравнений?

Радикальные уравнения определяются как уравнения, в которых значение переменной x стоит под радикалом (или √). Чтобы решить подкоренное уравнение, знак подкореня можно убрать квадратиками с обеих сторон.

Давайте разберемся в этом на следующем примере.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Пример решения радикальных уравнений

Решить √(x+1) = 2 и проверить это с помощью калькулятора радикальных уравнений?

Решение:

Дано: уравнение √(x + 1) = 2

Чтобы решить подкоренное уравнение, знак подкореня можно убрать квадратами с обеих сторон.

√(х + 1) ² = 2 ²

х + 1 = 4

х = 3

Точно так же вы можете использовать калькулятор радикальных уравнений и найти значение переменной для

• √(х + 1) = 5
• √(х — 7) = 10

☛

Связанные статьи:

Упрощение подкоренных выражений

Прежде чем вы сможете упростить подкоренное выражение, вы должны знать важную свойства радикалов .

Свойство произведения квадратных корней

Для всех действительных чисел а и б ,

а ⋅ б знак равно а ⋅ б

То есть квадратный корень из произведения равен произведению квадратных корней.

Имеется аналогичное факторное свойство:

Для всех действительных чисел а и б , б ≠ 0 :

а б знак равно а б

Поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное число, всегда является положительным числом, вам нужно помнить, что при извлечении квадратного корня ответ будет как положительным, так и отрицательным числом или выражением.Например а ⋅ а знак равно а 2 , а также ( − а ) ⋅ ( − а ) знак равно а 2 . Мы обычно будем обозначать такие двойственные ответы как ± а .

УПРОЩЕНИЕ РАДИКАЛОВ

Идея здесь состоит в том, чтобы найти совершенный квадратный множитель подкоренного числа, записать подкоренное число в виде произведения, а затем использовать свойство произведения для упрощения.

Пример 1:

Упрощать. 45

9 является полным квадратом, который также является фактором 45 .

45 знак равно 9 ⋅ 5

Используйте свойство продукта.

9 ⋅ 5 знак равно 9 ⋅ 5 знак равно ± 3 5

Если число под радикалом не имеет полных квадратных множителей, то его дальнейшее упрощение невозможно. Например, число 17 не может быть упрощено далее, потому что единственные факторы 17 или 17 и 1 . Таким образом, нет никаких совершенных квадратных множителей, кроме 1 .

Пример 2:

Упрощать. 12 3

Используйте свойство quotient, чтобы писать под одним знаком квадратного корня.

12 3 знак равно 12 3

Разделять.

знак равно 4 знак равно ± 2

Выражение считается упрощенным, только если в знаменателе нет знака корня. Если у нас есть радикальный знак, мы должны рационализировать знаменатель . Это достигается путем умножения числителя и знаменателя на радикал в знаменателе. Обратите внимание, что здесь мы просто умножаем на особую форму 1 , поэтому это не меняет значение выражения.

Пример 3:

Упрощать. 5 6

5 6 знак равно 5 6 ⋅ 6 6

Упрощать.

знак равно 30 6

Иногда нам нужно использовать комбинацию шагов.

Пример 4:

Упрощать.21 9

21 и 9 имеют общий множитель 3 , поэтому сократите дробь под радикалом.

21 9 знак равно 7 3 знак равно 7 3

Теперь рационализируйте знаменатель.

7 3 ⋅ 3 3 знак равно 21 3

Мы можем складывать или вычитать два подкоренных выражения, только если подкоренные совпадают.Например, 17 + 13 не может быть упрощено дальше. Но мы можем упростить 5 2 + 3 2 с помощью распределительное свойство , потому что подкоренные числа одинаковы.

5 2 + 3 2 знак равно ( 5 + 3 ) 2 знак равно 8 2

Будь осторожен! Иногда подкоренные числа выглядят по-разному, но можно упростить и получить одно и то же подкоренное число.

Пример 5:

Упрощать. 50 + 32

Упростите оба радикала:

50 + 32 знак равно 25 ⋅ 2 + 16 ⋅ 2 знак равно ± 5 2 ± 4 2

Теперь подкоренные одинаковы.

Итак, мы можем добавить, используя распределительное свойство.

Упрощение радикальных произведений и коэффициентов — Подготовка к оценке TSI

Обзор радикальных выражений

Мы начнем обсуждение в этом разделе со следующего: Чему равно 7 в квадрате? Ответ, конечно,

7 ² = 7 · 7 = 49

Таким образом, когда мы возводим 7 в квадрат, мы получаем 49. Теперь мы хотим пойти в противоположном направлении.

Противоположный (обратный) способ возведения числа в квадрат называется извлечением из его квадратного корня . Например,

1. квадратный корень из 100 равен 10, потому что 10 ² = 100.
2. еще один квадратный корень из 100 равен -10, потому что (-10) ² = 100.

Пусть c — действительное число. Если а ² = х , то а является квадратным корнем из х .

Действительные числа имеют два квадратных корня, один положительный и один отрицательный.Положительный или главный квадратный корень из числа из числа записывается с помощью символа √, а отрицательный квадратный корень из числа из числа записывается с помощью символа –√. Символ √ называется подкоренным знаком , и он всегда представляет главный квадратный корень, за исключением того, что √0 = 0,

.

Распространенной ошибкой является утверждение, что √64 = ± 8. Это неверно. Правильный ответ √64= 8. Квадратный корень из числа всегда положителен.

Число внутри подкоренного знака называется подкоренным числом и .Все выражение называется радикалом .

Пример 1. Найдите квадратный корень.

Раствор.

потому что

Использование правил произведения и частного для радикалов

Когда мы сталкиваемся с такой задачей, как √4 , нам нетрудно сказать, что ответ равен 2 (поскольку 2 × 2 = 4). Даже такую ​​задачу, как ³√ 27 = 3, легко решить, если мы поймем, что 3 × 3 × 3 = 27.

Наши проблемы обычно возникают, когда мы либо не можем легко увидеть ответ, либо если число под нашим подкоренным знаком не является идеальным квадратом или идеальным кубом.

Задача наподобие √24 может показаться сложной, потому что не существует числа, которое можно умножить само на себя, чтобы получить 24. Однако задачу можно упростить. Таким образом, хотя 24 не является идеальным квадратом, его можно разбить на более мелкие части, где одна из этих частей может быть идеальным квадратом. Итак, теперь у нас есть √24 = √ 4 × 6 = √ 4 · √ 6 = 2√ 6 .

Следующие правила очень полезны для упрощения радикалов.

Правила радикалов

Если n — натуральное число больше 1, а a и b — положительные действительные числа, то 1. Обратное свойство n √ a n = a, если n равно нечетному или n √ a n = | и | если n равно 2.Правило продукта n √ ab = n √ a · n √ b 3. Частное правило Обратите внимание, что иногда мы можем разрешить a или b быть отрицательными, и эти свойства все равно будут работать.

Также обратите внимание, что, хотя мы можем «разбивать» произведения и частные под радикалом, мы не можем делать то же самое для сумм или разностей.Другими словами,

_И

5 = √ 25 = √ 9 + 15 ≠ √ 9 + √ 16 = 3 + 4 = 7

Если мы «разложим» корень на сумму двух частей, то получим явно разные ответы! Так что будьте осторожны, чтобы не совершить эту очень распространенную ошибку!

Вскоре мы собираемся упрощать радикалы, поэтому нам нужно определить упрощенную радикальную форму . Говорят, что радикал находится в упрощенной радикальной форме (или просто в упрощенной форме), если верно каждое из следующих утверждений.

1. Все показатели степени в подкоренном члене должны быть меньше индекса.
2. Любые показатели степени в подкоренном члене не могут иметь общих делителей с индексом.
3. Под корнем дроби не появляются.
4. В знаменателе дроби нет корней.

Упрощение подкоренного выражения может включать как переменные, так и числа. Точно так же, как вы могли разбить число на более мелкие части, вы можете сделать то же самое с переменными. Когда радикал представляет собой квадратный корень, вы должны попытаться возвести члены в четную степень (2, 4, 6, 8 и т. д.).Когда радикал представляет собой кубический корень, вы должны попытаться возвести члены в степень три (3, 6, 9, 12 и т. д.). Например, = х √ х . Эти типы упрощений с переменными будут полезны при выполнении операций с радикальными выражениями.

Пример 2. Упростите следующий радикал.

√ 50

Раствор.

√ 50 = √ 25 · 2 = √ 25 · √ 2 = 5 √ 2

Пример 3. Сократите подкоренное выражение до наименьших членов.

Раствор.

Пример 4. Упростите следующий радикал.

∛ 320

Раствор.

∛ 320 = ∛ 64 · 5 = ∛ 64 · ∛ 5 = 4 ∛ 5

Пример 5. Упростите следующее. Предположим, что все переменные положительны.

Раствор.

В этом случае показатель степени (7) больше, чем индекс (2), и первое правило упрощения нарушается. Чтобы исправить это, мы будем использовать первое и второе свойства радикалов выше. Итак, заметим, что подкоренное число можно записать так:

y ⁷ = y ⁶ y = ( y ³ ) ^{2 7 907 693}

Итак, у нас есть подкоренное число, записанное как совершенный квадрат, умноженный на член, показатель которого меньше индекса.Тогда радикал становится

Теперь используйте второе свойство радикалов, чтобы разбить радикал, а затем используйте первое свойство радикалов в первом члене.

Теперь это удовлетворяет правилам упрощения, и мы закончили.

Прежде чем двигаться дальше, давайте кратко обсудим, как мы выяснили, как разбить экспоненту. Для этого мы отметили, что индекс равен 2. Затем мы определили наибольшее кратное 2, которое меньше 7, показатель степени подкоренного числа.Это 6. Далее мы заметили, что 7 = 6 + 1,

.

Наконец, помня несколько правил возведения в степень, мы можем переписать подкоренное число как

y ⁷ = y ^{6 Y = y = y (3) (2) y = ( y 3 ) 2 y}

Пример 6. Упростите следующее. Предположим, что все переменные положительны.

Раствор.

Здесь более одного термина, но все работает точно так же. Мы разобьем подкоренное число на совершенные квадраты, умноженные на члены, показатели которых меньше 2 (, т.е. 1).

18 x ¹¹ Y

0 ¹¹ = 9 9 = 9 x ⁶ y ¹⁰ (2 y ) = 9 ( x ³ ) ² ( г. ⁵ ) ² (2 у )

Не забывайте также искать в числе правильные квадраты.

Теперь вернитесь к радикалу и затем используйте второе и первое свойство радикалов, как в первом примере.

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что второе свойство может быть расширено до такого количества членов, которое имеется в произведении под радикалом. Также не радуйтесь, что в окончательном ответе под радикалом нет x . Иногда это будет происходить.

Упрощать Упрощать Умножить

Решение радикальных уравнений

Решение радикальных уравнений

Подкоренное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится под подкоренным элементом.Чтобы решить радикальное уравнение:

1. Изолировать подкоренное выражение, включающее переменную. Если в переменную вовлечено более одного подкоренного выражения, то изолируйте одно из них.

2. Поднимите обе части уравнения до индекса радикала.

3. Если радикальное уравнение все еще есть, повторите шаги 1 и 2; в противном случае решите полученное уравнение и проверьте ответ в исходном уравнении.

При возведении обеих частей уравнения в степень могут быть введены некоторые решения, которые не делают исходное уравнение верным. Эти решения называются посторонними решениями.

Пример 1

Решить .

Изолировать подкоренное выражение.

Поднять обе стороны до индекса корня; в этом случае подровняйте обе стороны.

Теперь это квадратное уравнение можно решить либо с помощью факторизации, либо с помощью квадратной формулы.

Применение квадратичной формулы,

Теперь проверьте результаты.

Если ,

Если х = –5,

Решение или x = –5.

Пример 2

Решить .

Изолировать подкоренное выражение.

Нет решения, так как не может иметь отрицательное значение.

Пример 3

Решить .

Изолируйте одно из подкоренных выражений.

Поднять обе стороны до индекса корня; в этом случае подровняйте обе стороны.

Это все еще радикальное уравнение. Выделите подкоренное выражение.

Поднять обе стороны до индекса корня; в этом случае подровняйте обе стороны.

Это можно решить либо с помощью факторизации, либо с помощью квадратичной формулы.

Применение квадратичной формулы,

Проверьте решения.

Если х = 10,

Таким образом, x = 10 не является решением.

Если х = 2,

Единственное решение: x = 2.

Пример 4

Решить .

Изолировать радикал, включающий переменную.

Поскольку у радикалов с нечетными индексами могут быть отрицательные ответы, у этой проблемы есть решения. Поднимите обе части уравнения до индекса радикала; в этом случае кубируйте обе стороны.

Проверка решения x = –15 остается за вами.

.