Из под корня: Как вывести число из под корня онлайн. Как найти квадратный корень числа вручную — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 26.04.197316.01.2022 by alexxlab

Содержание

Как вынести из под корня. Формулы корней

Инструкция

Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение — иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух.

3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.

Источники:

как вынести из под корня
Квадратный корень из произведения

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.

Инструкция

Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю

корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .

Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .

Видео по теме

Обратите внимание

Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.

Полезный совет

При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.

Источники:

знак извлечения корня в 2019

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .

Инструкция

Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.

Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² — 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.

Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. 4 – 2 z³ + z² — 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z — 1) и (z — 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.

Пусть дано выражение . Мы можем этот корень представить в более простом виде, применив к нему теорему об извлечении корня из произведения (§ 97):

Точно так же

Такое преобразование называется вынесением множителя за знак корня.

В результате применения этого преобразования данное выражение упрощается и часто сокращаются требуемые вычисления. В этом можно убедиться на следующих примерах.

Пр и мер 1. Вычислить с точностью до 0,01 выражение

Вычислим каждый из корней с точностью до 0,01:

Нам пришлось извлечь квадратный корень из трёх чисел, и притом мы не можем быть уверены, что результат действительно даст величину выражения с точностью до 0,01 (для уверенности в этом нужно было бы вычислить корни с точностью большей, чем заданная).

Попробуем упростить данное выражение, вынося за знак радикала те множители, которые возможно:

Итак, после преобразования нам придётся извлечь квадратный корень только из одного числа.

Вычислив его с точностью до 0,01, найдём:

Теперь видно, что в первом вычислении мы сделали ошибку на одну сотую, то есть получили результат не с заданной точностью.

Пример 2. Вычислить выражение

Подставив в данное выражение получим:

Нам придётся извлечь корень из шестизначного числа.

Мы значительно упростим вычисления, если предварительно вынесем за знак корня те множители, которые возможно. Будем иметь:

Подставив теперь легко найдём:

Во всех предыдущих примерах подкоренное выражение мы разлагали на множители, выделяя такие, показатель которых делится на два, и извлекали из них корень. В дальнейшем надо приобрести навык сразу выносить нужные множители за знак корня, не прибегая к предварительному разложению на множители подкоренного выражения.

Как видно из примеров, для вынесения множителей из-под знака квадратного корня достаточно показатель каждого множителя разделить на два и записать перед знаком корня этот множитель с показателем, равным полученному частному, а под знаком корня тот же множитель с показателем, равным полученному остатку.

В предыдущем примере .

2. Внесение множителей под знак квадратного корня.

Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак корня множители, стоящие перед ним.

Пусть, например, требуется вычислить с точностью до 0,001 выражение Вычислив с точностью до 0,001 и умножив результат на 20, получим:

Заранее можем сказать, что результат не соответствует заданной точности, так как, умножив приближённое число 2,646 на 20, мы увеличили в 20 раз и ошибку.

Чтобы получить ббльшую точность, возьмём с точностью до 0,0001. Получим:

Но мы не можем и теперь быть уверены, что достигли требуемой точности.

Произведём вычисление другим способом. Представим данное выражение в таком виде:

Вычислив с точностью до 0,001, получим:

Такоза действительная величина данного выражения, вычисленная с точностью до 0,001.

Рассмотренное преобразование называется внесением множителя под знак корня.

Приведённый пример показывает целесообразность в некоторых случаях такого преобразования.

Чтобы внести под знсис квадратного корня стоящие перед ним множители, достаточно возвести эти множители в квадрат и подкоренное выражение умножить на полученный результат.

В двух первых примерах сначала множитель, стоящий перед знаком корня, был подведён под знак корня, затем произведено умножение.

В третьем примере обе эти операции были выполнены сразу.

3. Приведение подкоренного выражения к целому виду.

Если подкоренное выражение дробное, то часто бывает целесообразно привести его к целому виду, или, как говорят, освободить подкоренное выражение от знаменателя.

Покажем на примерах, как это делается.

Пр имер 1.

Чтобы из знаменателя подкоренного выражения можно было извлечь корень, умножим числитель и знаменатель этого выражения на а. Получим.

В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило.

Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что такое вынесение множителя из-под знака корня

Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:

Определение 1

Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения B n · C n на произведение B · C n с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B · C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.

Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B 2 · C на произведение B · C . Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель

B y оказывается свободным от знака корня.

Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 2 2 · 3 . Оно аналогично B 2 · C , где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2 · 3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2 · 3 . Мы вынесли множитель 2 2 из-под знака корня.

Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение (x 2 — 3 · x · y · z) 2 · x = x 2 — 3 · x · y · z · x . Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными

(x 2 − 3 · x · y · z) 2 .

Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n -ной степени. Вот пример с кубическим корнем: (3 · a 2) 3 · 2 · a 2 3 = 3 · a 2 · 2 · a 2 3

Пример с корнем шестой степени: 1 2 · x 2 + y 2 6 · 5 · (x 2 + y 2) 6 можно преобразовать в произведение 1 2 · x 2 + y 2 · 5 · (x 2 · y 2) 6 , которое, в свою очередь, упрощается до 1 2 · (x 2 + y 2) · 5 · (x 2 + y 2) 6 . В данном случае мы выносим множитель 1 2 · x 2 + y 2 6 .

Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.

Почему возможно заменить корень на произведение

В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень B n · C n равнозначен произведениям B · C n и B · C n . Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.

Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:

1. Выражение A · B n при условии нечетности n может быть заменено на A n · B n , а для четных n – A n · B n .

2. Выражение A n n при нечетном значении n может быть преобразовано в A , а при четном – в | A | .

Определение 2

Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:

при четном n: B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
при нечетном n: B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .

Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.

Следовательно, можно вывести две формулы:

Определение 3

С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.

Основное правило вынесения множителя из-под корня

Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду B n · C . С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.

Определение 4

Для вынесения множителя из-под корня в выражении A n нужно предварительно привести корень к виду B n · C n и после этого перейти к произведению B · C n (при нечетном показателе) или к B · C n (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).

Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:

A n → B n · C n → B · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B · C n , е с л и n — ч е т н о е

Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:

A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — н е ч е т н о е B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n — ч е т н о е

Теперь можно переходить к решению задач.

Задачи на вынесение множителя из-под знака корня

Пример 1

Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 2 2 · 7 , — 1 2 3 2 · 5 , (- 0 , 4) 7 · 11 7 .

Решение

Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:

Показатель корня равен 2 . Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 2 2 · 7 = 2 · 7 = 2 · 7
Во втором выражении показатель тоже четный, значит, — 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5
В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
— 1 2 3 2 · 5 = — 1 2 · 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 2 · 5
А потом уже выносить множитель: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5 .
Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: (- 0 , 4) 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7 .
Возможен и такой вариант расчета:
— 0 , 4 7 · 11 7 = (- 1) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 7 · 11 7 = — 0 , 4 · 11 7
Или такой:
— 0 , 4 7 · 11 7 = (- 1) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = — 0 , 4 7 · 11 7 = 0 , 4 7 · — 11 7 = 0 , 4 · — 11 7 = — 0 , 4 · 11 7

Ответ: 1) 2 · 7 ; 2) 1 2 3 · 5 ; 3) — 0 , 4 · 11 7 .

Пример 2

Условие: преобразуйте выражение (- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 .

Решение:

При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.

(- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 = = — 2 · 0 , 3 · 7 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.

Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду B n · C . После этого уже будем выносить множители:

(- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 = = (- 2 · 0 , 3 · 7) 4 · 11 4 = (- 4 , 2) 4 · 11 4 = = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

Ответ: (- 2) 4 · (0 , 3) 4 · 7 4 · 11 4 = — 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4 .

Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.

Предварительное преобразование подкоренного выражения

Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как A n , и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.

Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B . Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования A n в B n · C n достаточно определить второй множитель, т. е. вычислить значение C из выражения A = B n · C .

Пример 3

Условие: есть выражение 24 · x 3 . Вынесите из-под знака корня множитель 2 3 .

Решение

Здесь мы имеем n = 3 , A = 24 · x , B 3 = 2 3 . Тогда из A = B n · С вычисляем C = A: (B n) = 24 · x: (2 3) = 3 · x .

Значит, 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 . Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

Ответ: 24 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.

Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.

Пример 4

Условие : необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях – 2 4 · 5 4 , 2 7 · 5 4 , 2 22 · 5 4 .

Решение

Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .

Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 2 7 как 2 4 · 2 3 .

2 7 · 5 4 = 2 4 · 2 3 · 5 4 = 2 4 · 40 4 = 2 · 40 4 = 2 · 40 4

В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:

2 5 4 · 2 2 · 5 4

Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4 , получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4 · 5 + 2 . Используя свойства степени, можем записать:

2 22 + 2 5 · 4 + 2 = 2 5 · 4 · 2 2 = (2 5) 4 · 2 2

Таким образом:

2 22 · 5 4 = (2 5) 4 · 2 2 · 5 4 = (2 5) 4 · 20 4 = = 2 5 · 20 4 = 32 · 20 4

Ответ: 1) 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 , 2) 2 7 · 5 4 = 2 · 40 4 , 3) 2 22 · 5 4 = 32 · 20 4 .

Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.

Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.

Пример 5

Условие : выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1) 45 ; 2) 135 ; 3) 3456 ; 4) 102 .

Выполняем разложение 45 на простые множители.

То есть 45 = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 , а 45 = 3 2 · 5 . В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 3 2 . Вычисляем:

3 2 · 5 = 3 · 5 = 3 · 5

Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135 = 3 · 3 · 3 · 5 = 3 3 · 15 . Иначе можно записать, что 3 2 · 3 · 5 = 3 2 · 15 . Следовательно, 135 = 3 2 · 15 . Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 3 2 :

3 2 · 15 = 3 · 15 = 3 · 15

Разложим на простые множители число 3456:

3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

У нас получилось, что 3456 = 2 7 · 3 3 , а 3456 = 2 7 · 3 3 . Поскольку 2 7 = 2 3 · 2 + 1 = (2 3) 2 · 2 и 3 3 = 3 2 · 3 , то 2 7 · 3 3 = (2 3) 2 · 2 · 3 2 · 3 = (2 3) 2 · 3 2 · 6 = = 2 3 · 3 · 6 = 24 · 6

Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2 · 3 · 17 . Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.

Ответ: 1) 45 = 3 · 5 ; 2) 135 = 3 · 15 ; 3) 3456 = 24 · 6 ; 4) 102 .

Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.

Пример 6

Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200 · 0 , 000189 · x 3 и упростите его.

Решение

Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.

0 , 189 = 189 1000000 = 3 3 · 7 2 6 · 5 6

Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:

3 2 2 · 5 2 3 · 7

Подставим получившееся выражение в исходное и получим:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 3 · 7 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 · 7 · x 3 = 6 · 7 · x 3

К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:

200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 189 1000000 · x 3 = 200 · 189 1000000 3 · x 3 = = 200 · 189 3 1000000 3 · x 3 = 200 · 3 3 · 7 3 100 3 3 · x 3 = = 200 · 3 · 7 3 100 · x 3 = 6 · 7 3 · x 3 = 6 · 7 · x 3

Ответ: 200 · 0 , 000189 · x 3 = 6 · 7 · x 3 .

Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.

Пример 7

Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2 · (3 + 2 · 2) .

Решение

Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2 + 2 · 2 + 1 и далее как 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 2 .

То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2 .

В итоге: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 · 2 + 1 2 . Теперь выносим 2 + 1 2 за знак корня и упрощаем выражение:

2 · 2 + 1 2 = 2 · 2 + 1 = = 2 · 2 + 1 = 2 + 2

Ответ: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 + 2 .

Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.

Пример 8

Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях (x — 5) 5 4 и (x — 5) 6 4 .

Решение

Выполняем преобразование в первом примере.

(x — 5) 5 4 = (x — 5) 4 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство (x − 5) 5 ≥ 0 . Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x ≥ 5 . Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x — 5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:

x — 5 · x — 5 4 = x — 5 · x — 5 4

(x — 5) 6 4 = (x — 5) 4 · x — 5 2 4 = = x — 5 · (x — 5) 2 4 = x — 5 · x — 5 2 4

Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение A m n · m можно заменить на A n при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,

x — 5 · x — 5 2 4 = x — 5 · x — 5

Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку (x − 5) 6 ≥ 0 для любого x . При этом значения x − 5 могут быть больше 0 , если x > 5 , равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x — 5 · x — 5 или представляем его в виде системы уравнений

(x — 5) · x — 5 , x ≥ 5 (5 — x) · 5 — x , x

Ответ: 1) (x — 5) 5 4 = (x — 5) · x — 5 4 ; 2) (x — 5) 6 4 = x — 5 · x — 5 .

Пример 9

Условие: выполните упрощение выражения x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 .

Решение

Выносим за скобки x 3 и получаем x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) . Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x 3 · (x 2 + 2 · x · y + y 2) = x 3 · (x + y) 2 .

Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x 3 · (x + y) 2 = x 2 · x · (x + y) 2 = x · x + y · x

Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 ≥ 0 . Оно равносильно x 3 · (x + y) 2 ≥ 0 , а из него можно сделать вывод, что x ≥ 0 . У нас получилось, что x · x + y · x .

Ответ: x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 = x · x + y · x .

Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями — это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Три простых правила относительно квадратного корня. Часть 3

GRE Mathematics уделяет особое внимание заданиям на квадратный корень. В двух предыдущих частях статьи, мы рассматривали, что делать, если все числа в задании положительные. Если же это не так, то следует применять ещё 2 правила GRE Maths.

Правило №2: если x² = 9, то x = 3, x = -3

Эта ситуация отлична от описанных ранее . Мы больше не имеем знака квадратного корня, зато здесь есть показатель степени. Если 3 возвести в квадрат, то мы получим 9. Если мы возведем -3 в квадрат – мы также получим 9. Следовательно, оба числа являются возможным значением x, потому что оба делают равенство верным.

С математической точки зрения, мы бы сказали, что x = 3 или x = -3. Если вы выполняете задание в разделе Quantitative Comparison, подумайте об этом следующим образом: если одно из них является возможным значением x, то оба варианта должны быть рассмотрены возможными значениями при сравнении Величины А и Величины В.

Правило №3: √(x)² = 3, если x = 3, x = -3

Итак, вернемся к знаку квадратного корня, но теперь у нас есть и показатель степени! Что дальше? Указывать только положительное число, потому что мы имеем знак корня? Или указывать оба значения, потому что есть показатель степени?

Сначала вычислите значение x: возведите в степень оба значения √(x)2 = 3, чтобы получить x² = 9. Вычислите квадратный корень, чтобы получить x = 3, x = -3 (как в правиле №2).

Подставьте оба числа в данное равенство, √x² = 3, и посмотрите, делают ли они равенство верным. Если мы подставим 3 в равенство √x² = 3, мы получим: √(3)2 = 3. Верно ли это? Да: √(3)2 = √9 и это действительно равняется 3.

Теперь подставьте в равенство -3: √(-3)2= 3. Под корнем у нас стоит отрицательное число, но также в скобках у нас есть квадратная степень. Следуйте установленному порядку действий: возведите число в квадрат, чтобы получить √9. Больше нет никаких отрицательных чисел под знаком корня! Заканчивая решение задачи, мы получаем √9, и снова это должно равняться 3, поэтому -3 тоже является возможным значением x. X может быть равен как 3, так и -3.

GRE Math Practice: Как это все не забыть?

Запомните: в первом примере представлено либо действительное число, либо очевидная переменная (не возведение в степень!) под знаком квадратного корня. В обоих случаях мы должны получить решение с положительными значениями корня, но не отрицательными.

Второй и третий примеры имеют квадратную степень. Во втором правиле нет знака квадратного корня – в этом случае мы можем получить и положительный, и отрицательный ответ. В нашем третьем правиле есть и знак квадратного корня, и степень в квадрате. В этой ситуации мы должны произвести расчеты, как показано в примере. Сначала мы решаем оба варианта, а затем подставляем их в исходное равенство. Если эти варианты делают равенство верным, то это и есть правильный ответ.

Подготовка к GRE Test включает в себя штудирование не только официальных учебников, но также изучение советов и подсказок, которые представлены здесь. Возможно, на самом тесте вам пригодятся именно они! Успехов!

Пример несложного задания на квадратные корни в тесте GRE:

По материалам сайта: www.manhattanprep.com

преобразование выражений, теория и практика

Вынесение числа из-под корня — что значит

Определение

Корнем n-ной степени из числа a называют число, n-ная степень которого равна a. n\times b}\) на произведение \(a\times\sqrt[n]b\), если n — нечетное число, и на произведение \(\left|a\right|\times\sqrt{\left|b\right|}\), если n — четное число.

Вынесение числа (или множителя) из-под корня позволяет упрощать выражения, например, сокращать дроби или выносить общий множитель.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Смысл вынесения множителя из-под корня заключается в том, чтобы разложить число под корнем на несколько, хотя бы одно из которых можно освободить от знака корня. Однако выноситься из-под корня может неограниченное количество множителей.

Обычно число выносят из-под корня с помощью разложения числа на произведение. Рассмотрим, почему такое действие в принципе возможно.

Почему возможно заменить корень на произведение

Теория преобразования иррациональных выражений дает сформулировать два основных положения:

Нечетное выражение \(\sqrt[n]{a\times b}\) можно заменить на \(\sqrt[n]a\times\sqrt[n]b\).

n\times b}\) и после перейти к произведению \(a\times\sqrt[n]b\), если n — нечетное число, или к \(\left|a\right|\times\sqrt[n]{\left|b\right|}\), если n — четное число.

В целом, единственное отличие выражений с четным показателем от выражений с нечетным — наличие модуля, который при необходимости раскрывают.

Необходимые операции и определения

После того как нам стало известно основное определение, перейдем к более детальному рассмотрению процесса вынесения множителя из-под корня.

Вспомним, что основой вынесения числа из-под корня является разложение на множители. Для этого используются следующие приемы:

Вынесение общего множителя за скобки. При использовании данного метода мы находим число, на которое можно поделить каждую составляющую выражения, непосредственно делим на него выражение и выносим это число за скобки.
Группировка множителей. При использовании данного метода мы объединяем определенные множители в группы и правильно расставляем скобки. 3}\)
Арифметический квадратный корень. Вынесение, внесение множителя под знак корня
Математика->Модуль числа. Корень числа->квадратный корень->
Тестирование онлайн
- Квадратный корень. Вычисления
- Квадратный корень. Вычисления (часть 2)
- Квадратный корень. Алгебраические выражения и преобразования
- Квадратный корень. Алгебраические выражения и преобразования (часть 2)
- Квадратный корень. Алгебраические выражения и преобразования (часть 3)
- Тождество
- Вынесение множителя из-под знака квадратного корня
- Внесение множителя под знак квадратного корня
- Значение переменной в выражении с квадратным корнем
- Вынесение и внесение множителя (средний уровень)
- Алгебраические преобразования с квадратным корнем (выше среднего)
- Алгебраические преобразования, вычисление. Повторение (выше среднего)
Арифметический квадратный корень
Обозначение знака квадратного арифметического корня , подразумеваем , но «2» не пишется.
Неотрицательный квадратный корень из числа a называется арифметическим квадратным корнем из числа a. Например,
Выражения не имеют смысла!
Тождество
При любом значении a имеет место равенство
Согласно определению модуля получим
Вынесение и внесения множителя под знак корня
При любом значении a и при любом положительном значении b верно равенство
Обратное равенство имеет вид

Среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел
Средним арифметическим двух чисел a и b называется выражение
Средним геометрическим двух неотрицательных чисел a и b называется выражение
Среднее арифметическое неотрицательных чисел a и b не меньше их среднего геометрического.
Если среднее арифметическое двух неотрицательных чисел равно их среднему геометрическому, то эти числа равны.
Калькулятор квадратного корня
- Дом
- Контакт
- Логин
Переключить навигацию
- Financial INVICENT Инвестиции Калькулятор APY
  Калькулятор выхода облигаций
  CAGR калькулятор
  Соединение калькулятор процентов
  IRR калькулятор
  NPV калькулятор
  NPV калькулятор
  Настоящий калькулятор
  Калькулятор проката доходности
  RoI калькулятор
  правило 72 калькулятор
  сберегательный калькулятор
  простые процентный калькулятор
  аренду
  калькулятор автомобиля
- кредиты калькулятор амортизации
  APR 40004
  авто Калькулятор ссуды
  Калькулятор DTI
  Калькулятор соотношения долга к лимиту
  Калькулятор только процентов
  Калькулятор доступности ссуды
  Калькулятор сравнения ссуд
  Калькулятор рефинансирования 4 900 900 ATOR
Business
- Cash Changio Chillulator
- Калькулятор CPC
- CPC Калькулятор
- CPM Калькулятор
- Калькулятор задолженности
- Калькулятор скидки
- GST калькулятор
- маржинальный калькулятор
- Markup Markup
- Налоговый калькулятор
- калькулятор амортизации прямых линий
- PAD калькулятор
MBI калькулятор

BMR калькулятор
BMR калькулятор
калькулятор концепции
калькулятор с даткой
Идеальный калькулятор массы тела
калькулятор

Math Калькулятор дробей
Упрощение дробей
Калькулятор GCF
ЖК-калькулятор
Калькулятор LCM
Калькулятор квадратных процентов
90 Caot 90 Округление чисел lcular
преобразования Блок преобразования Преобразование площади
Преобразование длины
преобразование температуры
преобразование времени
Объем преобразования объема
преобразование веса
Номер преобразования Для калькулятора фракции
десятичный к процентам калькулятор
фракция до десятичного калькулятора
доля до процента калькулятор
процентов до десятичного калькулятора
процента до калькулятора фракции
Римский цифры
Разное возрастный калькулятор
Калькулятор возраста кошки
Калькулятор дня недели
Калькулятор возраста собаки
Калькулятор среднего балла
Калькулятор ставок
Генератор паролей
Генератор случайных чисел
4 Калькулятор наконечника
Счетчик слов
Business Business Business Business Cash Commits Commits Widgets
CPC виджеты
CPM виджеты
дисконтные виджеты
GST Widgets
маржа
Markup Виджеты
Налоговые виджеты продаж
виджеты прямых линий
VAT виджеты
преобразования
Диапазон преобразования
Десятичные к долям до фракции
Десятичные до процентные виджеты
доля до десятичных виджетов
Виджеты преобразования дробей в проценты
Виджеты преобразования длины
Виджеты преобразования процентов в дроби
Виджеты преобразования процентов в десятичные числа
Виджеты преобразования давления
Виджеты преобразования римских чисел
4 900i4 Преобразование температуры
На виджетах
Volume Conversion Widgets
веса преобразования виджеты
Financial 4
Annitization Widgets
Annitization Widgets
APR виджеты
APY-виджеты APY
Auto Loan Widgets
виджеты доходности облигаций
автомобильные аренды
CAGR Widgets
Составные виджеты процентов
DTI виджеты
DTI виджеты
Долговые долиные виджеты
Процентные виджеты
IRR виджеты
Кредитные виджеты для получения кредита
Кредитные виджеты с кредитом
Ипотечные виджеты
Net Wearts
NPV Виджеты NPV
Настоящее Значение Виджеты
Рефинансирование Виджеты
Арендные виджеты доходности
Вернуться на инвестиционные виджеты
Правило 72 Виджеты
Сберегательные виджеты
Простые интересы
Health BMI виджет S
BMR Виджеты
BMR
Date Date Widgets
Doutment Date Widgets
Идеальные виджеты тела
Math виджеты фракции
Упрощенные виджеты фракции
GCF виджеты
ЖК-дисплей
LCM Widgets
процентные виджеты
Кругкие номера Виджеты
квадратных корневых виджетов
Разное
Разное Age Widgets
День недели Виджеты
Дня Виджетов Собака
Ведные виджеты Cat
GPA Widgets
Виджеты генератора
Виджеты экспресса
Виджеты генератора случайных чисел
Виджеты подсказок
Виджеты счетчика слов

Добавьте этот калькулятор на свой сайт. Число
Последние калькуляторы
Калькулятор наценки
Калькулятор идеальной массы тела
Калькулятор отношения долга к лимиту
Калькулятор скидок
Калькулятор CAGR
Популярные калькуляторы
Калькулятор ипотеки
Калькулятор автокредита
Калькулятор ИМТ
Калькулятор сложных процентов
Калькулятор овуляции
Ресурсы
Виджеты калькулятора
Часто задаваемые вопросы
© Copyright 2011 — 2022 CalculateStuff.ком. Все права защищены. Контакты / Отказ от ответственности / Политика конфиденциальности / Политика использования файлов cookie / Условия обслуживания / Не продавать мою личную информацию
Mathscene — Корни — Урок 1
Mathscene — Корни — Урок 1
2007 Расмус Эф и Джанн Сак Птурссон
Корни
Печать
Урок 1
Площадь корни
Если мы возьмем квадратный корень из числа, а затем возьмем квадрат результата, мы снова получим исходное число.
например 4 = 2 и 2 ² = 4.
Мы можем сказать, что квадратный корень и квадрат нейтрализовать друг друга. Они противоположны друг другу.
Если у нас есть число, записанное с индексом 2 ( в квадрате), то извлечение квадратного корня просто означает, что мы опускаем 2 (это относится только к положительным числам).
Таким образом, мы можем взять любые числа в квадрате, которые находятся под знаком квадратного корня из-под знака корня, опустив мощность 2.
Пример 1
Упростите следующее с помощью извлекая максимально возможное значение из квадратного корня.:
а)
Мы начните с факторизации числа под знаком корня. Появляются и 2 и 9 дважды. Следовательно, извлечение квадратного корня оставляет нам только 2 и 9.
В во втором примере только 9 появляется дважды, поэтому 3 должно оставаться под корень.
б)
в)
г)
д)
Большинство квадратных корней являются иррациональными числами. Этот означает, что мы не можем указать их точное значение в дроби или десятичные дроби.
Из-за этого, когда мы используем калькуляторы, чтобы найти квадратных корней мы получаем только приблизительные значения. Если мы оставим квадратный корень в наших вычислениях, мы получим то, что называются точными значениями.
При работе с дробями и квадратными корнями принято не оставлять квадратных корней в знаменателе.
Упрощение для удаления квадратных корней из знаменателя называется Рационализация знаменателя. В самых простых примерах мы просто умножаем числитель и знаменатель на тот же квадратный корень.
Пример 2
Рационализировать знаменатели в следующих примерах:
а)
Умножение числитель и знаменатель на 2 . Тогда мы получаем ( 2) ² = 2 в знаменателе.
б)
Когда мы умножаем два квадратных корня вместемы можем подставить оба числа под одно и то же знак квадратного корня.
Мы тоже можем решить задачу вот так:
Положить оба члена под одним и тем же знаком квадратного корня и сокращаются.
Если в в знаменателе используем правило о сопряжении термины, чтобы избавиться от корней. (a+b) и (a−b) являются сопряженными терминами и:
а ² − б ² = (а + б)(а б)
Умножаем числитель и знаменатель сопряженным знаменателю,
, т. е. либо по (a − b), либо по (a + b).
Пример 3
Рационализируйте знаменатель:
а)
конъюгат о ф
это

б)
Пройди тест 1 по корням.
Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

операций с квадратными корнями
Операции с квадратными корнями
Вы можете выполнять ряд различных операций с квадратными корнями.Некоторые из этих операций включают один подкоренный знак, в то время как другие могут включать много подкоренных знаков. Следует внимательно изучить правила, регулирующие эти операции.
Под одним подкоренным знаком
Вы можете выполнять операции под одним подкоренным знаком .
Пример 1
Выполните указанную операцию.
Когда радикальные значения одинаковы
Вы можете сами складывать или вычитать квадратные корни, только если значения под радикалом равны. Затем просто добавьте или вычтите коэффициенты (числа перед подкоренным знаком) и сохраните исходное число в подкоренном знаке.
Пример 2
Выполните указанную операцию.
Обратите внимание, что коэффициент 1 понимается в .
Когда радикальные значения отличаются
Вы не можете складывать или вычитать разные квадратные корни.
Пример 3
Сложение и вычитание квадратных корней после упрощения
Иногда после упрощения квадратного корня становится возможным сложение или вычитание.Всегда упрощайте, если это возможно.
Пример 4
Упростить и добавить.
Их нельзя добавить, пока не будет упрощено.
Теперь, поскольку оба знака корня одинаковы,
Попробуйте упростить каждое из них.
Теперь, поскольку оба знака корня одинаковы,
Произведения неотрицательных корней
Помните, что при умножении корней знак умножения может опускаться.Всегда упрощайте ответ, когда это возможно.
Пример 5
Умножить.
Если каждая переменная неотрицательна,
Если каждая переменная неотрицательна,
Если каждая переменная неотрицательна,
Частные неотрицательных корней
Для всех положительных чисел
В следующих примерах предполагается, что все переменные положительны.
Пример 6
Разделить. Оставить все дроби с рациональными знаменателями.
Обратите внимание, что знаменатель этой дроби в части (d) иррационален. Чтобы рационализировать знаменатель этой дроби, умножьте его на 1 в виде
.
Пример 7
Разделить. Оставить все дроби с рациональными знаменателями.
Первое упрощение:
или
Примечание: Чтобы оставить рациональный член в знаменателе, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на , сопряженное знаменателя. Сопряжение двучлена содержит те же члены, но с обратным знаком. Таким образом, ( x + y ) и ( x — y ) сопряжены.
Пример 8
Разделить. Оставить дробь с рациональным знаменателем.
Калькулятор квадратного, кубического, квадратного и кубического корня
Калькулятор квадратного, кубического, квадратного и кубического корня
Квадрат, куб, квадратный корень и кубический корень для чисел в диапазоне от 0 до 100
444 9.348 9.888
Число
Квадрат
x 1.000 1,000
2 4 8 1,414 1,260
3 9 27 1,732 1,442
4 16 64 2. 000 1.587
5 25 25 125 125 2236 2236 1,710
6 36 216 2.449 1,817
7 49 343 2,646 1,913
8 64 512 2,828 2,000
9 81 729 3.000 2.080
10 100 1000453 1000453 1000 3000 3.162 2162 2154
11 121 1331 3.317 +2,224
12 144 1728 3,464 2,289
13 169 2197 3,606 2,351
14 196 2744 3.742 2 2910 225 225 225 3375 3375 3. 873 2.466 4
16 446 4096 4 4.000 +2,520
17 289 4913 4,123 2,571
18 324 5832 4,243 2,621
19 361 6859 4.359 2668
20 400 400 400 8000 400 400472 4 2714 2914
21 441 4461 4.583 2,759
22 484 10648 +4,690 2,802
23 529 12167 4,796 2,844
24 576 13824 4.899 2884
25 625 625 625 15625 4 50024 2924 2924
26 676 444 5 4 5099 2,962
27 729 19683 5,196 3,000
28 784 21952 5,292 3,037
29 841 24389 5. 385 3 3.072
30 900 27000 27000 27000 47000 5.477 3.107 4
31 961 961 29791 5.568 3,141
32 1024 32768 +5,657 3,175
33 1089 35937 5,745 3,208
34 1156 39304 5.831 3 3.240
35 1225 425 42875 5.916 3.916 3.271 3
36 1296 44446 46656 6.000 +3,302
37 1369 50653 6,083 3,332
38 1444 54872 6,164 3,362
39 1521 59319 6. 245 3.391
40 1600 64000 64000 64000 6.325 4 3 4
41 41 1681 68921 6.403 3,448
42 1764 74 088 +6,481 3,476
43 1849 79507 6,557 3,503
44 тысяча девятьсот тридцать-шесть 85184 6.633 3 3530
45 45 2025 60453 6.708 3557 4
4464
4 46 2116 97336 6.782 3,583
47 2209 103823 6,856 3,609
48 2304 110592 6,928 3,634
49 2401 117649 7. 000 3.659
50 2500 125000 125000 7.071 7.684 3
51 51 2601 132651 7.141 +3,708
52 2704 140608 7,211 3,733
53 2809 148877 7,280 3,756
54 2916 157464 7.348 7.348 3.780
55 3025 4 166375 7.416 3,416 3 903
56 316 3136 47 7 7.483 +3,826
57 3249 185193 7,550 3,849
58 3364 195112 7,616 3,871
59 3481 205379 7. 681 3 3.893
6600 3600 216000 216000 7.746 3,915
61
61 3721 4 226981 7.810 3,936
62 3844 238328 7,874 3,958
63 3969 250047 7,937 3,979
64 4096 262144 8.000 4000 4000 65
65 4225 4 274625 8.062 8.0621 4,021 40443 66 4356 4356 287496 8.124 4,041
67 4489 300763 8,185 4,062
68 4624 314432 8,246 4,082
69 4761 328509 8. 307 4.104
70453 70 4900 4900 4900 43000 8.367 4.121 4.121
71 5041 4444 8426 4.141
72 5184 373248 8,485 4,160
73 5329 389017 8,544 4,179
74 5476 405224 8.602 4.198
75
75 5625 4 421875 4 421875 4,217 4.217 4217
76 5776 4 438976 8.718 4,236
77 5929 456533 8,775 4,254
78 6084 474552 8,832 4,273
79 6241 4
8. 888 4.291
6400 6400 512000 512000 4944 4944 4309
81 6161 6561 4 531441 9.000 4,327
82 6724 +551368 9,055 4,344
83 6889 571 787 9,110 4,362
84 7056 5
9.165 4980453 85
85
7225 7225 4 614125 9.220 9.220 497 4 997
86 7396 7396 4 636056 9 9274 4.414
87 7569 658503 9,327 4,431
88 7744 681472 9,381 4,448
89 7921 704969 9. 434 9.434 4965
8100 8100 729000 9.487 487 9 4481 4
91 8181 8281 4 753571 9.539 +4,498
92 8464 778688 9,592 4,514
93 8649 804357 9,644 4,531
94 8836 830584 9.695 9.695 4547
95
95 95 95 957375 857375 4 857375 9.747 4563
96 9216 9216 884736 9 9.798 +4,579
97 9409 3 9,849 4,595
98 9604 941 192 9,899 4,610
99 9801 970299 9. 950 4626
1000000453 100000000 1000000 1000000 100000 100000 4642 4642
Download и Print Square, Cube, квадратный корневой и кубический корневой диаграммы
Добавить кубические линии в ваш орнамент 3D-модель
Используйте расширение Sketchup Engineering ToolBox, чтобы добавить кубические линии в модели Sketchup.
Упростить термин под корневым знаком
Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике … Исчисление, Исчисление производных, Исчисление интеграции, Правило частного, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Расчет с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование длины, Преобразование массы, Преобразование мощности, Преобразование скорости, Преобразование температуры , Анализ объемных данных, Поиск среднего анализа данных, Поиск стандартного отклонения Анализ данных, Гистограммы Десятичные числа, Преобразование в дробь Электричество, Стоимость факторинга, Целые коэффициенты, Наибольшие общие коэффициенты, Наименьшие общие дроби, Добавление дробей, Сравнение дробей, Преобразование дробей, Преобразование в десятичные дроби, Разделение дробей, Умножение дробей, Сокращение дробей, ВычитаниеДроби, Что это такоеГеометрия, КоробкиГеометрия, КругиГеометрия, ЦилиндрыГеометрия, ПрямоугольникиГеометрия, Прямоугольные треугольникиГеометрия, СферыГеометрия, КвадратыГрафика, ЛинииГрафика, Любая функцияГрафика, КругиГрафика hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x,y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Уравнение из точки и наклонных линий, Уравнение из наклона и y-intLines, Уравнение из двух точек, Кредит, График платежей, Лотерея , Нахождение коэффициентовМатематика, Практика полиномовМатематика, Практика Основыметрической системы, Преобразование чисел, Сложение чисел, Расчет с числами, Расчет с переменными числами, Деление чисел, Умножение чисел, Сравнение чисел в ряду, Числовые числа в ряду, Размещение значений чисел, Произношение чисел, Округление чисел, Вычитание парабол, Вычисление полиномов, Сложение полиномов, Сложение КвадратМногочлены, РазделениеМногочленов, Разложение на множители КвадратовМногочлены, Разложение на множители ТрехчленовМногочлены, Факторизация с помощью GCFМногочлены, УмножениеМногочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Что они собой представляютКвадратные уравнения, Квадратное F ormulaКвадратные уравнения, Решить с помощью разложения на множителиРадикалы, Другие корниРадикалы, Соотношения квадратных корней, Каковы ониВыход на пенсию, Сбережение для продажной цены, ВычислениеНаучная запись, ПреобразованиеНаучная запись, ДелениеНаучная запись, Умножение фигур, ПрямоугольникиУпрощение, Упрощение чего-либо, ЭкспонентыУпрощение, Как терминыУпрощение, ПродуктыВремя, Выражение тригонометрии , Прямоугольные треугольникиWindchill, Фигура
Квадратный корень из 1 — значение, метод расчета, примеры решений и часто задаваемые вопросы
Квадратный корень из числа — это значение, полученное путем возведения числа в степень ½. Число, полученное путем умножения числа само на себя, называется квадратным числом. Квадрат и квадратный корень являются обратными математическими операциями. Квадраты и квадратные корни обычно используются при решении квадратных уравнений и многих других математических расчетах. Квадратный корень обозначается символом «√». Квадратный корень из числа «x» записывается как √x или x½. Квадратный корень из любого числа имеет два значения: положительное и отрицательное. Однако величина обоих значений остается неизменной.
(изображение скоро будет обновлено)
Значение корня 1 = +1 или -1
Важные факты о «1»
1 — самый важный элемент математики.Единица или единица в математике используется для представления одного объекта в числе, измерении или расчете. Число «1» имеет несколько специфических свойств, которые очень важны в математических расчетах. Вот они:
«1» – это число, используемое для обозначения одного идентификатора.
«1» добавляется к любому целому числу, чтобы получить непосредственное последующее целое число.
При вычитании «1» из любого целого числа получается непосредственно предшествующее ему целое число.
1 — мультипликативная единица любого числа. т. е. при умножении любого числа само на себя само число получается как произведение.
Мультипликативная инверсия любого числа — это значение, полученное при делении «1» на это число.
Когда любое число делится на «1», ответом является само число.
Когда число делится само на себя, получается единица.
Значение любого числа, возведенного в нулевую степень, равно единице. {2} — 4x \times 1 \times -1}}{2 \times 1} = \pm \frac{\sqrt{4}}{2} =\pm \frac{2}{2} \rightarrow (2 )\]
Сравнивая уравнения (1) и (2), мы можем заключить, что значение под корнем 1 равно либо положительной, либо отрицательной единице.
Значение корня 1 = \[\pm\] 1
Чаще всего значение корня 1 принимается за положительную единицу или + 1.
Значение квадратного корня из -1
Значение корня ‘- 1’ теоретически не существует. Это мнимое число, представленное как «i».Корень из -1 обычно используется для представления комплексных чисел, которые включают как действительную, так и мнимую части. Зная квадратный корень из отрицательной единицы, можно найти значение корня любого отрицательного числа. Квадратный корень из -1 — это положительная или отрицательная мнимая единица «i». Однако в большинстве случаев значение корня из -1 принимается за положительную мнимую единицу «i».
квадратный корень из первых 30 целых чисел:
(график будет обновлен в ближайшее время)
9256 9249
номер
4
площадь
номер
9244
площадь
± 1
1
± 16
256
± 2
4
± 17
289
± 3
9
± 18
324
± 4
16
± 19
361
± 5
25
±20
400
± 6
36
± 21
441
± 7
49
± 22
484
± 8
64
± 23
529
± 9
81
± 24
576
± 10
100
± 25
625
± 11
121
± 26
676 По
± 12
144
±27
729
±13
169
± 28
784
± 14
196
± 29
841
± 15
225
± 30
± 30
900
900
квадратный корень 1 до 10:
Значения квадратного корня 1-10 перечислены в таблице ниже:
квадратный root
Номер
номер
1
1
1
3
1
6
3
2. 4495
2
1,4142
7
2,6458
3
1,7321
8
2,8284
4
2
9
3
5
22361
22361
10
3{2} = — 5 \]
\[p = \sqrt{-5} = \sqrt{-1} . \sqrt{5} \]
\[p = \sqrt{5i}\]
2. Найдите значение \[7\sqrt{1} — 5\sqrt{1} + 2\sqrt{1} \] используя значение root 1.
Решение:
Значение \[\sqrt{1} = 1\]
\[7\sqrt{1} — 5\sqrt{1} + 2\sqrt {1}\] = 7 (1) — 5 (1) + 2 (1)
= 7 — 5 + 2 = 4.
Интересные факты:
Значение квадратных корней
В прикладной области математики , концепция квадратных корней считается очень важной.Эта концепция закладывает основу алгебры. Учащиеся, которые планируют получить исключительные баллы по предмету, должны подробно изучить эту главу.
Веданту пытается объяснить сложные понятия простыми словами. Это позволяет учащимся глубже погрузиться в логическое обоснование числовых значений. Есть много преимуществ для изучения квадратных корней-
Квадратные корни от простого к сложному имеют значительный вес на экзаменах.
Хитрости, связанные с вычислением квадратных корней, помогают составить карту ума для освоения математики.
Кроме того, это помогает поднять ваши математические навыки на уровень абстракции.
С помощью квадратных корней учащиеся смогут разумно отточить свои вычислительные навыки.
Квадратные корни не только важны для понимания алгебры, но и играют важную роль в совершенствовании теоретических и статистических методов вашего ребенка.
Помимо математики, квадратные корни помогут вам лучше понять некоторые важные законы физики.
Изучайте квадратные корни легко
Квадратные корни иногда могут показаться сложными. С Веданту студенты могут развеять все свои сомнения, связанные с этим.
Чтобы упростить концепцию, мы предлагаем примеры задач через определенные промежутки времени. Вы можете легко овладеть темами, которые считаются наиболее важными при решении алгебры.
Для начала учащиеся должны понять определение понятия, данное экспертами Веданту. Определение сформулировано экспертами и останется с вами в долгосрочной перспективе.
Прежде чем перейти к другим номерам, важно, чтобы вы делали по одному шагу за раз. Начиная с номера 1, Vedantu охватывает все детали, связанные с его значением, методом и примерами задач, чтобы помочь вам получить хорошие оценки по теме.
Vedantu предоставляет подробное табличное представление квадратного корня из первых 30 целых чисел. Он также предоставляет таблицу, состоящую из значений от 1 до 10.
Эксперты Vedantu не забудьте включить все концепции для конкретной темы, которую вы ищете. Наряду с квадратным корнем из +1 он также охватывает квадратный корень из -1. Вопросы, связанные с ним, чаще всего задают на экзаменах. Это поможет вам набрать хорошие баллы по навыкам мышления высокого порядка (HOTS).
Чтобы учащиеся получали удовольствие от процесса обучения, Vedantu содержит «забавные факты»
, относящиеся к теме.Студенты всех классов находят это интригующим и достаточно любопытным, чтобы узнать больше об этой концепции.
Чтобы получить высокие баллы по математике, очень важно постоянно практиковаться в примерах задач. Вместе с решениями эксперты Vedantu сформулировали несколько важных примеров. Это поможет вам понять, какие вопросы ожидаются вне темы.
9.1: Функция квадратного корня
В этом разделе мы обратим внимание на функцию квадратного корня, которая определяется уравнением
\[\begin{array}{c} {f(x)= \sqrt{x}}\\ \end{array}\]
Мы начинаем раздел с рисования графика функции, затем обращаемся к домену и диапазону. После этого мы исследуем ряд различных преобразований функции.
График функции квадратного корня
Создадим таблицу точек, удовлетворяющих уравнению функции, затем нанесем точки из таблицы в декартовой системе координат на миллиметровую бумагу. Мы продолжим создавать и наносить точки, пока не убедимся в окончательной форме графика.
Мы знаем, что не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому мы не хотим помещать в нашу таблицу какие-либо отрицательные значения x .Чтобы еще больше упростить наши вычисления, давайте использовать числа, квадратный корень которых легко вычисляется. Это напоминает совершенные квадраты, такие как 0, 1, 4, 9 и так далее. Мы поместили эти числа в виде значений x в таблицу Рисунок 1 (b), а затем вычислили квадратный корень из каждого. Рисунок 1 (a) вы видите, что каждая точка из таблицы представлена сплошной точкой. Если мы продолжим добавлять точки в таблицу, наносить их на график, то график в конечном итоге заполнится и примет форму сплошной кривой, показанной на рис. 1 (с).2\), \(x \ge 0\), что изображено на рис. 2 (c). Обратите внимание на точное совпадение с графиком функции квадратного корня в Рис. 1 (c).
Последовательность графиков в Рисунок 2 также помогает нам определить область и диапазон функции квадратного корня.
В рис. 2 (а) парабола неограниченно раскрывается наружу, как влево, так и вправо. Следовательно, областью определения является \(D_{f} = (−\infty, \infty)\), или все действительные числа. Кроме того, граф имеет вершину в начале координат и бесконечно открыт вверх, поэтому диапазон равен \(R_{f} = [0, \infty)\).{−1}} = [0,\infty)\).
Конечно, мы также можем определить область определения и диапазон функции квадратного корня, спроецировав все точки графика на оси x и y , как показано на рисунках 3 (a) и ( б) соответственно.
Рисунок 3.} \text{Проекция на оси, чтобы найти домен и диапазон}}\\ \nonumber \end{массив}\]
Некоторые могут возразить против диапазона, спросив: «Откуда мы знаем, что график изображение функции квадратного корня в Рис. 3 (b) бесконечно возрастает?» Опять же, ответ лежит в последовательности графиков на рисунке 2 .2\), \(x \ge 0\), бесконечно открывается вправо по мере того, как график поднимается до бесконечности. Следовательно, после отражения этого графика через линию y = x результирующий график должен бесконечно подниматься вверх по мере его движения вправо. Таким образом, диапазон функции квадратного корня равен \([0, \infty)\).
Переводы
Если мы сдвинем график \(y = \sqrt{x}\) вправо и влево или вверх и вниз, это повлияет на домен и/или диапазон.
Пример \(\PageIndex{4}\)
Нарисуйте график \(f(x) = \sqrt{x−2}\).Используйте свой график, чтобы определить домен и диапазон.
Мы знаем, что основное уравнение \(y=\sqrt{x}\) имеет график, показанный на рис. 1 (c). Если мы заменим x на x − 2, основное уравнение \(y=\sqrt{x}\) станет \(f(x) = \sqrt{x−2}\). Из нашей предыдущей работы с геометрическими преобразованиями мы знаем, что это сдвинет график на две единицы вправо, как показано на рисунках 4 (a) и (b).
Рисунок 4. Чтобы нарисовать график \(f(x) = \sqrt{x−2}\), сдвиньте график \(y=\sqrt{x}\) на две единицы вправо.
Чтобы найти область, мы проецируем каждую точку графика f на ось x, как показано на Рис. 4 (a). Обратите внимание, что все точки справа от 2 или в том числе заштрихованы на оси X. Следовательно, область определения f равна
Домен = \([2, \infty)\) = {x: \(x \ge 0\)}
Поскольку смещения по вертикали не было, диапазон остается прежним. Чтобы найти диапазон, мы проецируем каждую точку на графике на ось Y, как показано на рисунке 4 (b).Обратите внимание, что все точки на уровне нуля и выше заштрихованы на оси Y. Таким образом, диапазон f равен
Диапазон = \([0,\infty)\)= {y: \(y \ge 0\)}.
Мы можем найти область определения этой функции алгебраически, исследуя ее определяющее уравнение \(f(x) = \sqrt{x−2}\). Мы понимаем, что мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под радикалом должно быть неотрицательным (положительным или нулевым). То есть
\(x − 2 \ge 0\).
Решение этого неравенства для x ,
\(х \ge 2\).
Таким образом, домен f равен Domain = \([2, \infty)\), что соответствует приведенному выше графическому решению.
Давайте посмотрим на другой пример.
Пример \(\PageIndex{5}\)
Нарисуйте график \(f (x) = \sqrt{x + 4} + 2\). Используйте свой график, чтобы определить домен и диапазон f.
Опять же, мы знаем, что основное уравнение \(y=\sqrt{x}\) имеет график, показанный на Рисунке 1 (c). Если мы заменим x на x +4, основное уравнение \(y=\sqrt{x}\) станет \(y=\sqrt{x+4}\).Из нашей предыдущей работы с геометрическими преобразованиями мы знаем, что это сдвинет график на \(y=\sqrt{x}\) на четыре единицы влево, как показано на рис. 5 (a).
Если мы знаем, что нужно добавить 2 к уравнению \(y=\sqrt{x+4}\), чтобы получить уравнение \(y=\sqrt{x+4} + 2\), это сдвинет график \( y=\sqrt{x+4}\) на две единицы вверх, как показано на Рис. 5 (b).
Рисунок 5. Преобразование исходного уравнения \(y = \sqrt{x}\) для получения графика \(y = \sqrt{x+4} + 2\)
Чтобы определить th домен \(f (x ) = \sqrt{x + 4} + 2\), мы проецируем все точки графика f на ось x, как показано на рис. 6 (a).Обратите внимание, что все точки справа от − 4 или включая их заштрихованы на оси x . Таким образом, область определения \(f (x) = \sqrt{x + 4} + 2\) равна
Домен = \([−4, \infty)\) = {x: \(x \ge −4\)}
Рисунок 6. Спроецируйте точки f на оси для определения домена и диапазона
Аналогичным образом, чтобы найти диапазон f , спроецируйте все точки на графике f на ось y , как показано на Рисунок 6 (б). Обратите внимание, что все точки на оси y больше или включая 2 заштрихованы. Следовательно, диапазон f равен
Диапазон = \([2, \infty)\) = {y: \(y \ge 2\)}
Мы также можем найти область значений f алгебраически, исследуя уравнение \(f (x) = \sqrt{x + 4} + 2\). Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным (нулем или положительным). Следовательно,
\(х + 4 \ge 0\).
Решение этого неравенства для x ,
\(х \ge −4\).
Таким образом, домен f равен Domain = \([−4,\infty)\), что соответствует представленному выше графическому решению.
Отражения
Если мы начнем с основного уравнения \(y = \sqrt{x}\), затем заменим x на −x, то график результирующего уравнения \(y = \sqrt{−x}\) будет получен путем отражения график \(y = \sqrt{x}\) (см. рис. 1 (c)) горизонтально по оси y. График \(y = \sqrt{−x}\) показан на рис. 7 (a).
Точно так же график \(y = −\sqrt{x}\) будет вертикальным отражением графика \(y = \sqrt{x}\) по оси x, как показано на рис. 7. (б).
Рисунок 7. Отражение графика \(y = \sqrt{x}\) по осям x и y.
Чаще всего вам будет предложено выполнить отражение и перевод.
Пример \(\PageIndex{6}\)
Нарисуйте график \(f(x) = \sqrt{4−x}\). Используйте полученный график, чтобы определить домен и диапазон f.
Сначала перепишем уравнение \(f(x) = \sqrt{4− x}\) следующим образом:
\(f(x) = \sqrt{−(x−4)}\)
Определение
Первые размышления .Обычно более интуитивно понятно выполнять рефлексию перед переводом.
Помня об этом, мы сначала нарисуем график \(f(x) = \sqrt{−x}\), который является отражением графика \(f(x) = \sqrt{x}\ ) по оси y . Это показано на рис. 8 (a).
Теперь в \(f(x) = \sqrt{−x}\) замените x на x − 4, чтобы получить \(f(x) = \sqrt{−(x−4)} \). Это сдвигает график \(f(x) = \sqrt{−x}\) на четыре единицы вправо, как показано на рис. 8 (b).
Рис. 8. Отражение с последующей трансляцией.
Чтобы найти область определения функции \(f(x) = \sqrt{−(x−4)}\) или, что то же самое, \(f(x) = \sqrt{4−x}\), спроецируйте каждую точку на графике f на оси x , как показано на Рисунок 9 (a). Обратите внимание, что все действительные числа, меньшие или равные 4, заштрихованы по оси x . Следовательно, домен f равен
.
Домен = \((−\infty, 4]\) = {x: \(x \le 4\)}.
Аналогичным образом, чтобы получить диапазон f, спроецируйте каждую точку на графике f на ось они, как показано на Рис. 9 (b).Обратите внимание, что все действительные числа, большие или равные нулю, заштрихованы по оси Y. Следовательно, диапазон f равен
Диапазон = \([0,\infty)\) = {x: \(x \ge 0\)}.
Мы также можем найти область определения функции f , исследуя уравнение \(f(x) = \sqrt{4−x}\). Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным (нулем или положительным). Следовательно,
\(4 − x \ge 0\).
Рисунок 9. Определение домена и диапазона \(f(x) = \sqrt{4−x}\)
Решите это последнее неравенство для x .Сначала вычтите 4 из обеих частей неравенства, затем умножьте обе части полученного неравенства на − 1. Конечно, умножение на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный.
\(−x \ge −4\)
\(х \ле 4\)
Таким образом, область определения f равна {x: \(x \le 4\)}. В интервальных обозначениях домен = \((−\infty, 4]\). Это хорошо согласуется с графическим результатом, найденным выше.
Чаще всего для определения области определения функции квадратного корня требуется комбинация вашего графического калькулятора и небольших алгебраических манипуляций.
Пример \(\PageIndex{7}\)
Нарисуйте график \(f(x) = \sqrt{5−2x}\) Используйте график и алгебраический метод для определения области определения функции.
Загрузите функцию в Y1 в меню Y= вашего калькулятора, как показано на Рисунок 10 (a). Выберите 6:ZStandard в меню ZOOM, чтобы построить график, показанный на Рисунок 10 (b).
Рисунок 10. Рисование графика f(x) = \sqrt{5−2x} на графическом калькуляторе.
Посмотрите внимательно на график в Рисунок 10 (b) и обратите внимание, что трудно сказать, идет ли график до конца, чтобы «касаться» оси x около \(x \приблизительно 2.5\). Однако наш предыдущий опыт работы с функцией квадратного корня заставляет нас полагать, что это всего лишь артефакт недостаточного разрешения калькулятора, который не позволяет графику «касаться» оси x в точке \(x \примерно 2,5\).
Алгебраический подход решит проблему. Мы можем определить область определения f, исследуя уравнение \(f(x) = \sqrt{5 − 2x}\). Следовательно, Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным (нулевым или положительным).
\(5 − 2x \ge 0\).
Решите это последнее неравенство для x . Сначала вычтите 5 из обеих частей неравенства.
\(−2x \ge −5\).
Затем разделите обе части последнего неравенства на −2. Помните, что мы должны обратить неравенство в тот момент, когда мы разделим на отрицательное число.
\(\frac{−2x}{−2} \le \frac{−5}{−2}\).
\(x \le \frac{5}{2}\).
Таким образом, область определения f равна {x: \(x \le \frac{5}{2}\)}. В интервальных обозначениях домен = \((−\infty, \frac{5}{2}]\).Это хорошо согласуется с графическим результатом, найденным выше.
Дальнейшее самоанализ показывает, что этот аргумент также решает вопрос о том, «касается» ли график оси x в точке \(x= \frac{5}{2}\). Если вы не уверены, подставьте \(x=\frac{5}{2}\) в \(f(x) = \sqrt{5−2x}\) , чтобы увидеть
.
\(f(\frac{5}{2})= \sqrt{5−2(\frac{5}{2})} =\sqrt{0} = 0\).
Таким образом, график f «касается» оси x в точке \((\frac{5}{2}, 0)\).
В упражнении 1-10 выполните каждое из следующих заданий:
Установите систему координат на листе миллиметровой бумаги. Пометьте и масштабируйте каждую ось.
Завершить таблицу баллов за данную функцию. Постройте каждую из точек в вашей системе координат, а затем используйте их, чтобы нарисовать график данной функции.
Используйте разноцветные карандаши, чтобы спроецировать все точки на оси x и y , чтобы определить домен и диапазон.Используйте обозначение интервала для описания области определения данной функции.
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
\(f(x) = −\sqrt{x}\)
Ответить
х
0
1
4
9
ф (х)
0
− 1
− 2
− 3
Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика.
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([0, \infty)\). Спроецируйте все точки графика на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \((−\infty, 0]\).
Упражнение \(\PageIndex{2}\)
\(f(x) = \sqrt{−x}\)
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
\(f(x)= \sqrt{x+2}\)
Ответить
х
− 2
− 1
2
7
ф ( x )
0
1
2
3
Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика.
Спроецируйте все точки графика на ось X, чтобы определить домен: домен = \([ − 2, \infty)\). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \([0, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{4}\)
\(f(x)= \sqrt{5−x}\)
Упражнение \(\PageIndex{5}\)
\(f(x)= \sqrt{x}+2\)
Ответить
Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика f .
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([0, \infty)\). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \([2, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{6}\)
\(f(x)=\sqrt{x}−1\)
Упражнение \(\PageIndex{7}\)
\(f(x)= \sqrt{x+3}+2\)
Ответить
х
− 3
− 2
1
6
ф (х)
2
3
4
5
Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика f .
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([ − 3, \infty)\). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \([2, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{8}\)
\(f(x)= \sqrt{x−1}+3\)
Упражнение \(\PageIndex{9}\)
\(f(x)= \sqrt{3−x}\)
Ответить
х
− 6
− 1
2
3
ф ( x )
3
2
1
0
Отметьте точки в таблице и используйте их для построения графика f .
Спроецируйте все точки графика на ось X, чтобы определить домен: Domain = \(( − \infty, 3]\). Спроецируйте все точки графика на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \([0, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{10}\)
\(f(x)=-\sqrt{x+3}\)
В Упражнениях 11 — 20 выполните каждую из следующих задач.
Установите систему координат на листе миллиметровой бумаги.Пометьте и масштабируйте каждую ось. Не забудьте провести все линии линейкой.
Используйте геометрические преобразования для построения графика заданной функции в вашей системе координат без использования графического калькулятора. Примечание. Вы можете проверить свое решение с помощью калькулятора, но вы сможете построить график без использования калькулятора.
С помощью разноцветных карандашей спроецируйте точки графика функции на оси x и y . Используйте нотацию интервала, чтобы описать домен и диапазон функции.
Упражнение \(\PageIndex{11}\)
\(f(x)= \sqrt{x}+3\)
Ответить
Сначала постройте график \(y = \sqrt{x}\), как показано в (a). Затем добавьте 3, чтобы получить уравнение \(y = \sqrt{x} + 3\). Это сдвинет график \(y = \sqrt{x}\) вверх на 3 единицы, как показано на (b).
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([0, \infty)\).Спроецируйте все точки графика на ось Y, чтобы определить диапазон: Диапазон = \([3, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{12}\)
\(f(x)=\sqrt{x+3}\)
Упражнение \(\PageIndex{13}\)
\(f(x)=\sqrt{x−2}\)
Ответить
Сначала постройте график \(y = \sqrt{x}\), как показано в (a). Затем замените x на x − 2, чтобы получить уравнение \(y = \sqrt{x−2}\). Это сдвинет график \(y = \sqrt{x}\) вправо на 2 единицы, как показано в (b).
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([2, \infty)\). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \([0, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{14}\)
\(f(x)=\sqrt{x}−2\)
Упражнение \(\PageIndex{15}\)
\(f(x)= \sqrt{x+5}+1\)
Ответить
Сначала постройте график \(y = \sqrt{x}\), как показано в (a).Затем замените x на x + 5, чтобы получить уравнение \(y = \sqrt{x+5}\). Затем добавьте 1, чтобы получить уравнение \(f(x)= \sqrt{x+5}+1\). Это сдвинет график \(y = \sqrt{x}\) влево на 5 единиц, а затем вверх на 1 единицу, как показано на (b).
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([−5, \infty)\). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \([1, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{16}\)
\(f(x)=\sqrt{x−2}−1\)
Упражнение \(\PageIndex{17}\)
\(y = −\sqrt{x + 4}\)
Ответить
Сначала постройте график \(y = \sqrt{x}\), как показано в (a).Затем инвертируйте, чтобы получить \(y = −\sqrt{x}\). Это отразит график \(y = \sqrt{x}\) по оси x, как показано в (b). Наконец, замените x на x + 4, чтобы получить уравнение \(y = −\sqrt{x + 4}\). Это сдвинет график \(y = −\sqrt{x}\) на четыре единицы влево, как показано на (c).
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([−4, \infty)\). Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \((−\infty, 0]\).
Упражнение \(\PageIndex{18}\)
\(f(x)=-\sqrt{x}+4\)
Упражнение \(\PageIndex{19}\)
\(f(x)=-\sqrt{x}+3\)
Ответить
Сначала постройте график \(y = \sqrt{x}\), как показано в (a). Затем инвертируйте, чтобы получить \(y = −\sqrt{x}\). Это отразит график \(y = \sqrt{x}\) по оси x, как показано в (b). Наконец, добавьте 3, чтобы получить уравнение \(y=−\sqrt{x}+3\).Это сдвинет график \(y = −\sqrt{x}\) на три единицы вверх, как показано на (c).
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \([0, \infty)\). Спроецируйте все точки графика на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \((−\infty, 3]\).
Упражнение \(\PageIndex{20}\)
\(f(x)=-\sqrt{x+3}\)
Упражнение \(\PageIndex{21}\)
Чтобы нарисовать график функции \(f(x) = \sqrt{3−x}\), последовательно выполните каждый из следующих шагов без помощи калькулятора.
Установите систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{x}\). Обозначьте график его уравнением.
Установите вторую систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{−x}\). Обозначьте график его уравнением.
Установите третью систему координат и нарисуйте график \(y =\sqrt{−(x − 3)}\). Обозначьте график его уравнением. Это график \(y =\sqrt{3−x}\). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.
Ответить
Сначала постройте график \(y = \sqrt{x}\), как показано в (a).Затем замените x на − x , чтобы получить уравнение \(y = \sqrt{−x}\). Это будет отражать график \(y = \sqrt{x}\) по оси y , как показано на (b). Наконец, замените x на x — 3, чтобы получить уравнение \( y = \sqrt{ — ( x — 3)}\). Это сместит график \(y = \sqrt{−x}\) на три единицы вправо, как показано на (c).
Спроецируйте все точки графика на ось x, чтобы определить домен: домен = \((−\infty, 3]\).Спроецируйте все точки на графике на ось Y, чтобы определить диапазон: Range = \([0, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{22}\)
Чтобы нарисовать график функции \(f(x) = \sqrt{−x−3}\), последовательно выполните каждый из следующих шагов.
Установите систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{x}\). Обозначьте график его уравнением.
Установите вторую систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{−x}\).Обозначьте график его уравнением.
Установите третью систему координат и нарисуйте график \(y =\sqrt{−(x + 3)}\). Обозначьте график его уравнением. Это график \(y =\sqrt{−x−3}\). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.
Упражнение \(\PageIndex{23}\)
Чтобы нарисовать график функции \(f(x) = \sqrt{−x−3}\), последовательно выполните каждый из следующих шагов без помощи калькулятора.
Установите систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{x}\).Обозначьте график его уравнением.
Установите вторую систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{−x}\). Обозначьте график его уравнением.
Установите третью систему координат и нарисуйте график \(y =\sqrt{−(x + 1)}\). Обозначьте график его уравнением. Это график \(y =\sqrt{−x−1}\). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.
Ответить
Сначала постройте график \(y = \sqrt{x}\), как показано в (a).Затем замените x на −x, чтобы получить уравнение \(y = \sqrt{−x}\). Это отразит график \(y = \sqrt{x}\) по оси y, как показано в (b). Наконец, замените x на x + 1, чтобы получить уравнение \(y = \sqrt{−(x + 1)}\). Это сдвинет график \(y = \sqrt{−x}\) на одну единицу влево, как показано на (c).
Спроецируйте все точки графика на ось X, чтобы определить область определения: Область = \((−\infty, −1]\). Спроецируйте все точки графика на ось Y, чтобы определить диапазон: Диапазон = \([0, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{24}\)
Чтобы нарисовать график функции \(f(x) = \sqrt{1−x}\), последовательно выполните каждый из следующих шагов.
Установите систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{x}\). Обозначьте график его уравнением.
Установите вторую систему координат и нарисуйте график \(y = \sqrt{−x}\). Обозначьте график его уравнением.
Установите третью систему координат и нарисуйте график \(y =\sqrt{−(x−1)}\).Обозначьте график его уравнением. Это график \(y =\sqrt{1−x}\). Используйте обозначение интервала, чтобы указать домен и диапазон этой функции.
В Упражнениях 25 — 28 выполните каждое из следующих заданий.
Нарисуйте график заданной функции с помощью графического калькулятора. Скопируйте изображение в окне просмотра на свой домашний лист. Пометьте и масштабируйте каждую ось с помощью xmin, xmax, ymin и ymax. Подпишите свой график его уравнением.Используйте график, чтобы определить область определения функции и описать область с помощью обозначения интервала.
Используйте чисто алгебраический подход для определения области определения заданной функции. Используйте интервальную нотацию для описания вашего результата. Согласуется ли это с графическим результатом из части 1?
Упражнение \(\PageIndex{25}\)
\(f(x)= \sqrt{2x+7}\)
Ответить
Мы используем графический калькулятор для построения следующего графика \(f(x)= \sqrt{2x+7}\)
По нашим оценкам, домен будет состоять из всех действительных чисел справа примерно от − 3 . 5. Чтобы найти алгебраическое решение, обратите внимание, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под радикалом в \(f(x)=\sqrt{2x+7}\) должно быть больше или равно нулю.
\(2x + 7 \ge 0\)
\(2x \ge −7\)
\(х \ge −\frac{7}{2}\)
Следовательно, домен равен \([−\frac{7}{2}, \infty)\).
Упражнение \(\PageIndex{26}\) 
\(f(x)= \sqrt{7−2x}\)
Упражнение \(\PageIndex{27}\)
\(f(x)= \sqrt{12−4x}\)
Ответить
Мы используем графический калькулятор, чтобы построить следующий график \(f(x)= \sqrt{12−4x}\).
По нашим оценкам, домен будет состоять из всех действительных чисел примерно справа от 3. Чтобы найти алгебраическое решение, обратите внимание, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, выражение под радикалом в \(f(x)=\sqrt{12−4x}\) должно быть больше или равно нулю.
\(12−4x \ge 0\)
\(−4x \ge −12\)
\(х \ле 3\)
Следовательно, домен равен \((−\infty, 3]\).
Упражнение \(\PageIndex{28}\)
\(f(x)= \sqrt{12+2x}\)
В Упражнениях 29 — 40 алгебраически найдите область определения заданной функции.
Упражнение \(\PageIndex{29}\)
\(f(x)= \sqrt{2x+9}\)
Ответить
Четный корень отрицательного числа не определяется как действительное число. Таким образом, 2x + 9 должно быть больше или равно нулю. Поскольку из \(2x + 9 \ge 0\) следует, что \(x \ge −\frac{9}{2}\), областью определения является интервал \([−\frac{9}{2},\infty )\).
Упражнение \(\PageIndex{30}\)
\(f(x)=\sqrt{−3x+3}\)
Упражнение \(\PageIndex{31}\)
\(f(x)=\sqrt{−8x−3}\)
Ответить
Четный корень отрицательного числа не определяется как действительное число.Таким образом, −8x−3 должно быть больше или равно нулю. Поскольку из \(−8x−3 \ge 0\) следует, что \(x \le −\frac{3}{8}\), областью определения является интервал \((−\infty, −\frac{3}{ 8}]\).
Упражнение \(\PageIndex{32}\)
\(f(x)=\sqrt{−3x+6}\)
Упражнение \(\PageIndex{33}\)
\(f(x)=\sqrt{−6x−8}\)
Ответить
Четный корень отрицательного числа не определяется как действительное число. Таким образом, -6x-8 должно быть больше или равно нулю.Поскольку из \(−6x−8 \ge 0\) следует, что \(x \le −\frac{4}{3}\), областью определения является интервал \((−\infty, \frac{4}{3} }]\).
Упражнение \(\PageIndex{34}\)
\(f(x)=\sqrt{8x−6}\)
Упражнение \(\PageIndex{35}\)
\(f(x)=\sqrt{−7x+2}\)
Ответить
Четный корень отрицательного числа не определяется как действительное число. Таким образом, −7x+2 должно быть больше или равно нулю. Поскольку из \(−7x+2 \ge 0\) следует, что \(x \le \frac{2}{7}\), областью определения является интервал \((−\infty, \frac{2}{7} ]\).
Упражнение \(\PageIndex{36}\)
\(f(x)=\sqrt{8x−3}\)
Упражнение \(\PageIndex{37}\)
\(f(x)=\sqrt{6x+3}\)
Ответить
Четный корень отрицательного числа не определяется как действительное число. Таким образом, 6x+3 должно быть больше или равно нулю. Поскольку из \(6x+3 \ge 0\) следует, что \(x \ge −\frac{1}{2}\), областью определения является интервал \([−\frac{1}{2}, \infty )\).
Упражнение \(\PageIndex{38}\)
\(f(x)=\sqrt{x−5}\)
Упражнение \(\PageIndex{39}\)
\(f(x)=\sqrt{−7x−8}\)
Ответить
Четный корень отрицательного числа не определяется как действительное число.Таким образом, −7x−8 должно быть больше или равно нулю. Поскольку из \(−7x−8 \ge 0\) следует, что \(x \le −\frac{8}{7}\), областью определения является интервал \((−\infty, −\frac{8}{ 7}]\)
Упражнение \(\PageIndex{40}\)
\(f(x)=\sqrt{7x+8}\)
.
Posted in Разное
Навигация по записям
Картинки грибов для детей с названиями: Изображения грибов для детей. Виды и названия грибов с картинками
X 4 2 решение: Решите уравнение (|x-4|)=2 ((модуль от х минус 4|) равно 2)
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Воспитание
Детям
Идеи
Полезно
Родителям
Советы
Разное
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск