Уравнение экспоненты онлайн калькулятор
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Экспонента представляет собой показательную функцию \[y(x) =e^x,\] производная которой равна самой функции. Экспоненту обозначают: \[e^x, exp(x), Exp(x) \]
\[e^x=exp(x)=Exp(x) \]
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1. Основанием степени экспоненты является число «е». Это иррациональное число. Оно примерно равно:
\[e\approx 2,718281828459045\cdots \]
Выражение числа «е» через предел последовательности. Число «е» можно выразить через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
\[e=\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac~xn\right)^n\]
Выражение числа е в виде ряда
\[e = 2+1/2!+1/3!+1/3!+ \cdots +1/n!+ \cdots \]
График экспоненты
На графике представлена экспонента, \[e\] в степени \[x:\]
\[y(x) = e^x\]
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с факториалом онлайн решателем»
Что касается основных формул, то они такие же, как и для показательной функции с основанием степени \[е.\]
\[e^p \cdot e^q=e^{p+q}\]
\[ (e^p)^p=e{pq}=(e^p)^p\]
\[e^p=e^{pq}=1/e^p\]
\[e^p/e^q = e^{p-q} \]
Выражение показательной функции через экспоненту:
\[q^x=e^{xln a}\]
Где можно решить уравнение с экспонентой онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Производная e в степени x и показательной функции
Основные формулы
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1) ( e x )′ = e x.
Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:
(2) .
Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e в степени x:
y = e x.
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3) .
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты:
(4) ;
Б) Свойство логарифма:
(5) ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7) .
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку . Тогда ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.
Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:
.
Другие способы вывода производной экспоненты
Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.
Перепишем формулу (9) в следующем виде:
,
где .
Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:
(10) ,
где .
Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):
(11) .
Применим формулу производной обратной функции:
(12) .
Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):
.
И, наконец, выразим y через x по формуле (11):
.
Формула доказана.
Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(13) .
Производная от икса равна единице:
.
Применим формулу производной сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (13):
.
Отсюда
.
Пример
Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций
y = e 2x, y = e 3x и y = e nx.
Решение
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = e nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x, e 3x и e nx.
Итак, имеем исходную функцию
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .
Итак, мы нашли:
.
Подставляем n = 2 и n = 3.
Ответ
; ; .
См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14) .
Мы нашли ее производную первого порядка:
(1) .
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15) .
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано:
1cov-edu.ru
Натуральный логарифм, функция ln x
Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.
Определение
- Натуральный логарифм
- – это функция y = ln x, обратная к экспоненте, x = e y, и являющаяся логарифмом по основанию числа е: ln x = loge x.
Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/x.
Исходя из определения, основанием натурального логарифма является число е:
е ≅ 2,718281828459045…;
.
График натурального логарифма ln x
График функции y = ln x.
График натурального логарифма (функции y = ln x) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x.
Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x. Он монотонно возрастает на своей области определения.
При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( – ∞ ).
При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция xa с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.
Свойства натурального логарифма
Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание
Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.
Область определения | 0 < x + ∞ |
Область значений | – ∞ < y < + ∞ |
Монотонность | монотонно возрастает |
Нули, y = 0 | x = 1 |
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | нет |
+ ∞ | |
– ∞ |
Значения ln x
ln 1 = 0
Основные формулы натуральных логарифмов
Формулы, вытекающие из определения обратной функции:
Основное свойство логарифмов и его следствия
Формула замены основания
Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:
Доказательства этих формул представлены в разделе «Логарифм».
Обратная функция
Обратной для натурального логарифма является экспонента.
Если , то
Если , то .
Производная ln x
Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
Интеграл вычисляется интегрированием по частям:
.
Итак,
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексной переменной z:
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ:
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.
Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.
Разложение в степенной ряд
При имеет место разложение:
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
1cov-edu.ru
Простейшие показательные уравнения
Если взять обычную степень и «засунуть» в показатель переменную x , получим показательное уравнение. Таких уравнений великое множество, и для них есть собственные методы решения.
Сегодня мы познакомимся с простейшими конструкциями. Они так и называются — простейшие показательные уравнения (кэп?). Все остальные, как бы сложно они ни выглядели, в итоге сводятся к простейшим. Но это уже материал следующих уроков.
Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:
a x = b , где a > 0, a ≠ 1
Такое уравнение не имеет корней при b ≤ 0, а при b > 0 имеет единственный корень: x = log a b . Более сложные показательные уравнения решаются по следующей схеме:
- Перевести все степени к одинаковому основанию. Желательно, чтобы оно было целым и минимальным. Например, вместо 4 x лучше писать 22 x , а вместо 0,01 x — вообще 10−2 x . Почему — узнаете из примеров;
- В уравнениях, где есть умножение или деление, надо выполнить эти действия. Напомню: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются;
- Если все сделано правильно, получим уравнение вида a f ( x ) = a g ( x ), где a — просто число. Его можно отбросить, поскольку показательная функция монотонна. Получим уравнение f ( x ) = g ( x ), которое легко решается.
Помните, что корни — тоже степени, но с дробным основанием:
Задача. Решите уравнение:
Итак, приведем все степени к основанию 2:
4 x = (22) x = 22 x ; 1 = 20; 256 = 28
Теперь перепишем исходное уравнение и выполним деление:
Получили простейшее показательное уравнение. Отбрасываем основание — получаем:
2 x = −8 ⇒ x = −4
Задача. Решите уравнение:
Снова приводим все степени к наименьшему целому основанию:
92 x = (32)2 x = 34 x ; 1 = 30; 27 = 33
Обратите внимание: число 27 не является целой степенью девятки. Именно поэтому надо приводить все степени к основанию 3, а не 9. Возвращаемся к исходному уравнению:
Осталось избавиться от основания степени:
4 x = −3 ⇒ x = −3/4 = −0,75
Задача. Решите уравнение:
В уравнении присутствуют сразу 4 множителя, которые надо перевести в степени с одинаковым основанием:
Учитывая эти факты, перепишем исходное уравнение:
Избавимся от основания — и после приведения дробей к общему знаменателю получим классическую пропорцию:
Дальше все стандартно: произведение крайних элементов пропорции равно произведению средних. Имеем:
14 + 4 x − 4 = −35 ⇒ 4 x = −45 ⇒ x = −45 : 4 = −11,25
Ниже даны 12 тренировочных задач. Если что-то не получается — ничего страшного, потому что есть второй вариант этого теста (см. «Простейшие показательные уравнения — 2 вариант»). Попробуйте решить его.
Смотрите также:
- Тест: простейшие показательные уравнения (2 вариант)
- Показательные уравнения с логарифмами
- Тест на тему «Значащая часть числа»
- Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
- Задача 18: метод симметричных корней
- Задача B4: Скачать файл на разной скорости
www.berdov.com
Экспоненциальная функция — Exponential function
Естественная экспоненциальная функция у = е х Показательные функции с основаниями 2 и 1/2В математике , экспоненциальная функция является функцией вида
е(Икс)знак равноaбИкс,{\ Displaystyle F (X) = аб ^ {х},}где Ь является положительным действительным числом, и в котором аргумент х имеет место в качестве показателя. Для действительных чисел с и д, функция формы также является экспоненциальной функция, так как она может быть переписана в виде е(Икс)знак равноaбсИкс+d{\ Displaystyle F (X) = аб ^ {сх + d}}
- aбсИкс+dзнак равно(aбd)(бс)Икс,{\ Displaystyle аб ^ {сх + d} = \ влево (аb ^ {d} \ справа) \ влево (Ь {с} \ справа) ^ {х}.}
Как функции действительного переменного, экспоненциальные функции однозначно характеризуется тем фактом , что скорость роста такой функции (то есть, его производное ) является прямо пропорционально к значению функции. Константа пропорциональности этих отношений является натуральный логарифм базового б :
ddИксбИксзнак равнобИксжурналеб,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} В ^ {х} = {Ь ^ х} \ лог _ {е} Ь.}При б = 1 реальный экспоненциальная функция является постоянной , а производная равна нулю , так как для положительных а и б > 1 действительные экспоненциальные функции монотонно возрастает (как изображено для Ь = е и Ь = 2 ), поскольку производная больше нуль для всех аргументов, и б <1 они монотонно убывают (как изображены на Ь = 1 / 2 ), поскольку производная меньше нуля для всех аргументов. журналебзнак равно0,{\ Displaystyle \ лог _ {е} Ь = 0}
Константа е = 2,71828 … является уникальной базой для которой константа пропорциональности равна 1, так что производная этой функции является самим собой:
ddИксеИксзнак равноеИксжурналеезнак равноеИкс,{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} е ^ {х} = е ^ {х} \ лог _ {е} е = е ^ {х}.}Так как изменение базы экспоненциальной функции только приводит к появлению дополнительного постоянного множителя, вычислительно удобно свести изучение показательной функции в математическом анализе к изучению этой конкретной функции, обычно называют «естественной экспоненциальной функцией», или просто «экспоненциальная функция» и обозначается
Икс↦еИкс{\ Displaystyle х \ mapsto е ^ {х}} или же Икс↦ехр(Икс),{\ Displaystyle х \ mapsto \ ехр (х).}Хотя оба обозначения являются общими, бывшим обозначение обычно используется для простых показателей, в то время как последние, как правило, используются, когда показатель является сложным выражением.
Экспоненциальная функция удовлетворяет фундаментальному мультипликативный идентичности
еИкс+Yзнак равноеИксеY,{\ Displaystyle е ^ {х + у} = е ^ {х} е ^ {у}} для всех Икс,Y∈р,{\ Displaystyle х, у \ в \ mathbb {R}.}Это тождество распространяется комплекснозначными показатели. Можно показать , что каждое непрерывное, ненулевое решением функционального уравнения является экспоненциальной функцией, с Фундаментальной мультипликативной идентичностью, наряду с определением числа е как е 1 , показывает , что для положительных целых чисел п и относится экспоненциальная функция к элементарное понятие потенцирования. е(Икс+Y)знак равное(Икс)е(Y){\ Displaystyle Р (х + у) = F (X) F (Y)}е:р→р, Икс↦бИкс,{\ Displaystyle F: \ mathbb {R}, \ в \ mathbb {R}, \ х \ mapsto Ь {х},}б>0.{\ Displaystyle Ь> 0.}еNзнак равное×⋯×е⏟N термины{\ Displaystyle е ^ {п} = \ underbrace {е \ время \ cdots \ раз е} _ {п {\ текст {условия}}}}
Аргумент экспоненциальной функции может быть любым реальным или комплексным числом или даже совершенно другой вид математического объекта (например, матрица).
Его повсеместное явление в чистой и прикладной математике привело математик У. Рудин к полагает , что экспоненциальная функция является «наиболее важной функцией в математике». В прикладных настройках, экспоненциальные функции модели отношения , в которых постоянное изменение в независимой переменной дает тот же пропорциональное изменение (то есть процентное увеличение или уменьшение) в зависимой переменной. Это происходит широко в области естественных и общественных наук; Таким образом, экспоненциальная функция также появляется в различных контекстах в рамках физики , химии , машиностроения , математической биологии и экономики .
График , из является восходящим, и увеличивает быстрее , так как х возрастает. График , всегда лежит выше х Оу , но может быть сколь угодно близко к нему для отрицательных х ; таким образом, х Оу представляет собой горизонтальную асимптоту . Наклон от касательной к графике в каждой точке равен его у -координаты в этой точке, как следует из ее производной функции ( смотрите выше ). Его обратная функция является натуральный логарифм , обозначенная или из — за этого, некоторые старые тексты относятся к экспоненциальной функции , как антилогарифм . Yзнак равноеИкс{\ Displaystyle у = е ^ {х}}журнал,{\ Displaystyle \ лог} пер,{\ Displaystyle \ пер}журнале;{\ Displaystyle \ лог _ {е};}
Формальное определение
Экспоненциальная функция (синим цветом), а сумма первого п + 1 с точки зрения его степенной ряд (в красном цвете).Реальная экспоненциальная функция может быть охарактеризована различными эквивалентными способами. Чаще всего, она определяется по следующей степенной ряд : ехр:р→р{\ Displaystyle \ ехр: \ mathbb {R}, \ в \ mathbb {R}}
- ехр(Икс)знак равноΣКзнак равно0∞ИксКК!знак равно1+Икс+Икс22+Икс36+Икс424+⋯{\ Displaystyle \ ехр (х): = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {х ^ {к}} {k}} = 1 + х + {\ гидроразрыва {х ^ {2 }} {2}} + {\ гидроразрыва {х ^ {3}} {6}} + {\ гидроразрыва {х ^ {4}} {24}} + \ cdots}
Так как радиус сходимости этого степенного ряда является бесконечным, этим определением является, по сути, применимо ко всем комплексным числам (см ниже для расширения на комплексную плоскость). Константа е , то может быть определена какZ∈С{\ Displaystyle г \ в \ mathbb {C}}ехр(Икс){\ Displaystyle \ ехр (х)}езнак равноехр(1)знак равноΣКзнак равно0∞(1/К!),{\ TextStyle е = \ ехр (1) = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} (1 / к!).}
Термин-на-перспектива дифференциация этого степенного ряда показывает , что для всех действительных х , что приводит к другой общей характеристике из , как единственное решения дифференциального уравнения(d/dИкс)(ехрИкс)знак равноехрИкс{\ Displaystyle (д / дх) (\ ехр х) = \ ехр х}ехр(Икс){\ Displaystyle \ ехр (х)}
- Y'(Икс)знак равноY(Икс),{\ Displaystyle у ‘(х) = у (х),}
удовлетворяющее начальному условию Y(0)знак равно1.{\ Displaystyle у (0) = 1.}
Основываясь на этой характеристике, то цепное правило показывает , что ее обратная функция, то натуральный логарифм , удовлетворяет для или Это соотношение приводит к менее общее определение реальной экспоненциальной функции в качестве решения для уравнения (d/dY)(журналеY)знак равно1/Y{\ Displaystyle (д / д) (\ _ {войти е} у) = 1 / у}Y>0,{\ Displaystyle у> 0}журналеYзнак равно∫1Y1TdT,{\ TextStyle \ лог _ {е} у = \ int _ {1} ^ {у} {\ гидроразрыва {1} {т}} \, дт.}ехр(Икс){\ Displaystyle \ ехр (х)}Y{\ Displaystyle у}
- Иксзнак равно∫1Y1TdT,{\ Displaystyle х = \ int _ {1} ^ {у} {\ гидроразрыва {1} {т}} \, дт.}
По пути биномиальной теоремы и определения степенного ряда, экспоненциальная функция также может быть определена как следующий лимит:
- еИксзнак равноИтN→∞(1+ИксN)N,{\ Displaystyle е ^ {х} = \ Нт _ {п \ к \ infty} \ влево (1 + {\ гидроразрыва {х} {п}} \ справа) ^ {п}.}
обзор
Красная кривая является экспоненциальной функцией. Черные горизонтальные линии показывают, где она пересекает зеленые вертикальные линии.Экспоненциальная функция возникает всякий раз , когда величина возрастает или убывает со скоростью , пропорциональной его текущим значением. Одна такая ситуация постоянно усугубляется интерес , и на самом деле это было такое наблюдение , что привело Якоба Бернулли в 1683 году к числу
- ИтN→∞(1+1N)N{\ Displaystyle \ Нт _ {п \ к \ infty} \ влево (1 + {\ гидроразрыва {1} {п}} \ справа) ^ {п}}
В настоящее время известно , как е . Позже, в 1697 году, Иоганн Бернулли изучал исчисление экспоненциальной функции.
Если основная сумма 1 получает проценты по годовой ставке х усугубляется ежемесячно, то проценты , полученных каждый месяц х / 12 раз текущего значения, так что каждый месяц суммарного значения умножаются на (1 + х / 12 ) , и значение в конце года составляет (1 + х / 12 ) 12 . Если вместо того, чтобы интерес усугубляется ежедневно, это становится (1 + х / 365 ) 365 . Позволить количество временных интервалов в год растут без связанных приводит к пределу определения показательной функции,
- ехр(Икс)знак равноИтN→∞(1+ИксN)N{\ Displaystyle \ ехр (х) = \ Пт _ {п \ к \ infty} \ влево (1 + {\ гидроразрыва {х} {п}} \ справа) ^ {п}}
впервые дано Леонард Эйлер . Это одна из ряда характеристик показательной функции ; другие включают серию или дифференциальные уравнения .
Из любого из этих определений , можно показать , что экспоненциальная функция подчиняется основной возведения в степень идентичности,
- ехр(Икс+Y)знак равноехр(Икс)⋅ехр(Y){\ Displaystyle \ ехр (х + у) = \ ехр (х) \ CDOT \ ехр (у)}
что оправдывает обозначение е х .
Производная (скорость изменения) экспоненциальной функции сама является экспоненциальной функцией. В более общем смысле , функция со скоростью изменения , пропорциональной к самой функции (а не равна ей) выражается в терминах экспоненциальной функции. Это свойство функции приводит к экспоненциальному росту или экспоненциальному распаду .
Показательная функция продолжается до целой функции на комплексной плоскости . Формула Эйлера относится его значение в чисто мнимых аргументах тригонометрических функций . Экспоненциальная функция также имеет аналогов , для которых аргумент является матрицей , или даже элемент банаховой алгебры или алгебры Ли .
Производные и дифференциальные уравнения
Производная показательной функции равна значению функции. Из любой точки Р на кривой (синий), пусть касательную линию (красный), а вертикальная линия (зеленый) с высотой ч быть нарисованы, образуя прямоугольный треугольник с базовой Ь на х Оу. Так как наклон красной касательной линии (производной) при Р равен отношению высоты треугольника к основанию треугольника (рост в течение пробега), а производная равна значению функции, ч должна быть равна отношение ч к б . Поэтому базовые б всегда должны быть 1.Значение экспоненциальной функции в области математики и науки проистекает главным образом из его определения в качестве уникальной функцией , которая равна ее производной и равен 1 , когда х = 0 . То есть,
- ddИксеИксзнак равноеИкса такжее0знак равно1.{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} е ^ {х} = е ^ {х} \ четырехъядерных {\ текст {и}} \ четырехъядерных е ^ {0} = 1.}
Функции вида с х для постоянная C являются единственными функциями, которые равны их производного (по теореме Пикара-Линделёф ). Другие способы сказать то же самое , включают в себя:
Если скорость роста или гниения к переменной, пропорционально его размеру, как это бывает в неограниченном росте населения (см Мальтуса катастрофы ), постоянно усугубляются интерес , или радиоактивный распад -Тогда переменный может быть записана в виде постоянная раз экспоненциальной функции времени , Явный для любого действительных постоянных к , функции F : R → R удовлетворяет ф ‘= КФ тогда и только тогда , когда F ( х ) = с км для некоторой константы с .
Кроме того, для любой дифференцируемой функции F ( х ) , мы находим, по правилу цепи :
- ddИксее(Икс)знак равное'(Икс)ее(Икс),{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {d} {дх}} е ^ {F (X)} = Р ‘(х) е ^ {Р (х)}.}
Непрерывные дроби для е х
Непрерывная дробь для х х может быть получена с помощью тождества Эйлера :
- еИксзнак равно1+Икс1-ИксИкс+2-2ИксИкс+3-3ИксИкс+4-⋱{\ Displaystyle е ^ {х} = 1 + {\ cfrac {х} {1 — {\ cfrac {х} {х + 2 — {\ cfrac {2x} {х + 3 — {\ cfrac {3x} {х + 4- \ ddots}}}}}}}}}
Ниже обобщаются цепная дробь для е г сходится быстрее:
- еZзнак равно1+2Z2-Z+Z26+Z210+Z214+⋱{\ Displaystyle е ^ {г} = 1 + {\ cfrac {2z} {2z + {\ cfrac {г ^ {2}} {6 + {\ cfrac {г ^ {2}} {{10 + \ cfrac {г ^ {2}} {14+ \ ddots}}}}}}}}}
или, применяя подстановку г = х / у :
- еИксYзнак равно1+2Икс2Y-Икс+Икс26Y+Икс210Y+Икс214Y+⋱{\ Displaystyle е ^ {\ гидроразрыва {х} {у}} = 1 + {\ cfrac {2x} {2y-х + {\ cfrac {х ^ {2}} {6y + {\ cfrac {х ^ {2}} {10у + {\ cfrac {х ^ {2}} {14Y + \ ddots}}}}}}}}}
с особым случаем для г = 2 :
- е2знак равно1+40+226+2210+2214+⋱знак равно7+25+17+19+111+⋱{\ Displaystyle е ^ {2} = 1 + {\ cfrac {4} {0 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {2 ^ {2}} {10 + {\ cfrac { 2 ^ {2}} {14+ \ ddots \,}}}}}}}} = 7 + {\ cfrac {2} {{5 + \ cfrac {1} {7 + {\ cfrac {1} {9 + {\ cfrac {1} {11+ \ ddots \,}}}}}}}}}
Эта формула также сходится, хотя и более медленно, для г > 2 . Например:
- е3знак равно1+6-1+326+3210+3214+⋱знак равно13+547+914+918+922+⋱{\ Displaystyle е ^ {3} = 1 + {\ cfrac {6} {- 1 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {6 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {10 + {\ cfrac {3 ^ {2}} {14+ \ ddots \,}}}}}}}} = {13 + \ cfrac {54} {7 + {\ cfrac {9} {14 + {\ cfrac {9} { 18 + {\ cfrac {9} {22+ \ ddots \,}}}}}}}}}
Комплексная плоскость
Показательная функция на комплексной плоскости. Переход от темного до светлого цвета показывает , что величина экспоненциальной функции увеличивается вправо. Периодические горизонтальные полосы показывают , что экспоненциальная функция является периодической в мнимой части его аргумента.Как и в реальном случае, экспоненциальная функция может быть определена на комплексной плоскости в нескольких эквивалентных формах. Наиболее общее определение комплексной экспоненциальной функции параллельно определение степенного ряда для реальных аргументов, где действительные переменным заменяются сложным:
- ехр(Z)знак равноΣКзнак равно0∞ZКК!{\ Displaystyle \ ехр (г): = \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {г ^ {к}} {k}}}
Term-накрест умножение двух копий этих степенных рядов в Кошах смысла, разрешенных теоремами Мертенса , показывает , что определяющее мультипликативное свойство показательной функции продолжает выполняться для всех комплексных аргументов:
- ехр(вес+Z)знак равноехр(вес)ехр(Z){\ Displaystyle \ ехр (ш + Z) = \ ехр (ш) \ ехр (г)} для всех вес,Z∈С{\ Displaystyle ш, г \ в \ mathbb {C}}
Определение комплексной экспоненциальной функции , в свою очередь , приводит к соответствующим определениям , проходящим в тригонометрических функции сложных аргументов.
В частности, когда ( реальный), определение серии дает разложение Zзнак равнояT{\ Displaystyle г = это}T{\ Displaystyle т}
- ехр(яT)знак равно(1-T22!+T44!-T66!+⋯)+я(T-T33!+T55
ru.qwertyu.wiki
А) Разложение экспоненты
Для всех имеет место равенство
Для доказательства равенства (2) убеждаемся, что
при любом фиксированном и любых величинах. Далее применяем предложение предыдущего параграфа. По другому докажем равенство (2):как функция , так и сумма ряда в (2) — решения дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=1. Из теоремы единственности решения дифференциального уравнения следует, что в этом случае функции совпадают.
Б) Разложение гармоник
Равенства (3) и (4) можно доказать так же как и для экспоненты, доказав, что остаток в разложении по формуле Маклорена стремится к нулю при . По другому, можно рассуждать так: рассмотрим дифференциальное уравнение с начальными условиями y(0)=0, y'(0)=1 для функции sin x и y(0)=1, y'(0)=0 для функции cos x. Тогда ряды (3) и (4) также как и функции — решения этого диф. уравнения с указанными начальными условиями. По теореме единственности решения диф. уравнения с заданными начальными условиями, получаем совпадение гармоник с рядами (3) и (4). Можно поступить и иначе: подставить в разложение (2) вместо чисто мнимое число, а далее приравнять действительные и мнимые части — получим в точности (3) и (4).
Заметим, что во всех трех равенствах (2),(3),(4) радиус сходимости ряда, стоящего справа равен бесконечности, т.е. разложения имеют место на всей числовой оси.
???Приближенные вычисления, вычисления определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Вычислим интеграл :
Решим дифференциальное уравнение c начальным условием . Полагаяи подставляя этот ряд в дифференциальное уравнение, а затем почленно интегрируя, а затем приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим
Так как , то последовательно находим коэффициенты,и т.д.. Получаем. Полученный ряд имеет бесконечный радиус сходимости. Это оправдывает операцию почленного дифференцирования при любом.
Общие понятия (определение дифференциального уравнения, решения, порядка, нормальной формы записи). Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши, теорема существования и единственности.
Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами).
В этом разделе мы будем решать уравнения, неизвестным в которых ответом является функция. В разделе «Неопределенный интеграл» мы фактически занимались решением уравнения
Требовалось найти такую функцию-первообразную , производная которой тождественно равна. Решений у уравнения (1) бесконечно много, и все они отличаются друг от друга на константу. Эту множественность решений можно обозревать и с другой точки зрения. Фиксируем значение первообразной в определенной точке:
Считаем начальными условиями. Тогда для непрерывной функции, заданной на интервалеи начальных условий
Сформулирована теорема существования и единственности для дифференциального уравнения самого простого вида. Рассмотрим теперь уравнение вида
Его полное название – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в нормальной форме. Обыкновенное, так как неизвестная функция зависит лишь от одной переменной, в отличии, например, от уравнения Лапласа
Первого порядка – так как старшая производная, входящая в уравнение (4) имеет первый порядок. Нормальная форма записи дифференциального уравнения означает, что старшая производная выражена через младшие производные, а также саму неизвестную функцию, а также переменную. Таким образом,
есть дифференциальное уравнение второго порядка в нормальной форме, а
есть общий вид дифференциального уравнения n-го порядка в нормальной форме. Решение уравнений вида (4) составляет основную задачу данной темы. При этом функция называется (частным) решением уравнения (4) или (6), если при подстановки вместо
Задача решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями называется задачей Коши. Начальные условия для уравнения (6) задаются рядом чисел и выглядят так
Теорема существования и единственности. Если в дифференциальном уравнении первого порядка(4) функция вместе со своей частной производнойнепрерывны в области, содержащейкак свою внутреннюю точку, то найдется интервал
для которого, существует и единственно решениезадачи Коши.Общая теорема для уравнения n-го порядка (6) гласит, что если функция вместе со всеми своими частными производными по второй, третьей и т.д. поn-ой переменной непрерывны в пространственной области , содержащей точку, то локальное решение задачи Коши существует и единственно.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
studfile.net
Экспонента — это… Что такое Экспонента?
Экспонента — показательная функция , где e — основание натуральных логарифмов ().
Определение
Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:
или через предел:
Здесь x — любое комплексное число.
Свойства
- , в частности
- Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и строго больше нуля.
- Экспонента является выпуклой функцией.
- Обратная функция к ней — натуральный логарифм .
- Фурье-образ экспоненты не существует
- однако преобразование Лапласа существует
- Производная в нуле равна 1, поэтому касательная к экспоненте в этой точке проходит под углом 45°.
- Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции:
- .
- Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид , где c — некоторая константа.
Комплексная экспонента
График экспоненты в комплексной плоскости.Легенда
Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :
Определим формальное выражение
.
Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:
Сходимость данного ряда легко доказывается:
.
Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.
Свойства
Вариации и обобщения
Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.
Матричная экспонента
Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:
Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.
С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием имеет своим решением
Обратная функция
Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм. Обозначается :
См. также
Литература
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
- Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.
dic.academic.ru