Как избавиться от корня в уравнении: Иррациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Кубический и квадратный корень в одном уравнении. Решение примера.

Решите иррациональное уравнение

Попробуем решить иррациональное уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Напомним его алгоритм:

  • Переходим к более простому уравнению, для чего один или большее число раз выполняем по кругу три следующих действия:
    • Уединяем радикал.
    • Возводим обе части уравнения в одну и ту же степень.
    • Упрощаем вид полученного после возведения в степень уравнения.
  • Решаем полученное уравнение.
  • Отсеиваем посторонние корни, если раннее мы проводили возведение в четную степень.

Начнем с первого прохода тройки действий – уединим радикал, возведем обе части в степень и упростим полученное уравнение.

Уединение радикала приводит к уравнению .

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, что позволит в дальнейшем избавиться от корня в левой части. Имеем .

Упрощаем вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. Отталкиваясь от определения корня, заменяем выражение в левой части уравнения тождественно равным ему выражением 2·x+1, это дает уравнение . Что касается дальнейшего упрощения вида уравнения, то целесообразно по одному из свойств корней вторую степень отправить под кубический корень, то есть, перейти к уравнению .

Как видно, первый проход цикла тройки действий (уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень и упрощение вида уравнения) позволил избавиться от одного корня, но остался еще один корень. Чтобы избавиться от него, еще раз выполним три уже упомянутых действия.

Радикал у нас уже уединен в правой части. Переходим к возведению в степень.

Степень корня равна трем, поэтому обе части возведем в третью степень: .

Упростим вид полученного уравнения. Для этого заменим выражение в правой части уравнения тождественно равным ему выражением (x+1)2, получим (2·x+1)3=(x+1)2. После этого перенесем это выражение в левую часть: (2·x+1)3−(x+1)2=0. Дальше воспользуемся формулами сокращенного умножения квадрат суммы и куб суммы, раскроем скобки, а также сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
8·x3+12·x2+6·x+1−(x2+2·x+1)=0,
8·x3+12·x2+6·x+1−x2−2·x−1=0,
8·x3+(12·x2−x2)+(6·x−2·x)+(1−1)=0,

8·x3+11·x2+4·x=0.

Так мы получили кубическое уравнение. В еще одном проходе тройки действий нет необходимости, так как полученное уравнение не содержит корней, и мы знаем, как решать кубические уравнения. Поэтому, переходим ко второму этапу алгоритма – решению полученного уравнения.

Для решения полученного кубического уравнения подходит метод разложения на множители. После вынесения за скобки переменной x, уравнение принимает вид x·(8·x2+11·x+4)=0, а оно равносильно совокупности двух уравнений x=0 и 8·x2+11·x+4=0. Отсюда первый корень уравнения очевиден: x1=0. Остальные корни найдем, решив квадратное уравнение 8·x2+11·x+4=0. Вычисляем дискриминант D=112−4·8·4=121−128=−7, он отрицательный, следовательно, квадратное уравнение не имеем действительных корней. Таким образом, кубическое уравнение 8·x

3+11·x2+4·x=0 имеет единственный корень x1=0.

Остался последний этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае этот этап необходим, так как найденный корень может оказаться посторонним для решаемого иррационального уравнения. Причин для этого две. Первая — выше мы проводили возведение обеих частей уравнения квадрат, а, как известно, это преобразование может привести к появлению посторонних корней. Вторая – мы переходили от уравнения к уравнению , при таком переходе происходит расширение ОДЗ, а это может привести к появлению посторонних корней. Итак, отсеем посторонние корни. Сделаем это через проверку подстановкой. Подставляем x1=0 в исходное уравнение:

Так как подстановка дала верное числовое равенство, то x1=0 – корень исходного уравнения. Других корней уравнение не имеет.

Замечание.

На первом этапе мы избавлялись от корней по очереди, в два приема, сначала от квадратного, затем — от кубического. При этом нам пришлось два раза проходить цикл из трех действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида. Но можно было избавиться сразу от обоих радикалов, прибегнув к одному возведению в степень. В какую именно степень? Несложно догадаться, что в шестую, или в двенадцатую, или в восемнадцатую, и т. д., то есть, в любую степень, равную кратному показателей корней. Целесообразно брать наименьшее общее кратное (НОК), так как это дает наиболее простое уравнение из возможных. В нашем случае НОК(2, 3)=6, поэтому, следует выполнять возведение в шестую степень. Покажем, как выглядит решение иррационального уравнения при таком подходе.

Пример решения иррационального уравнения методом возведения обеих частей в квадрат

Решить иррациональное уравнение

Мы имеем дело с иррациональным уравнением в его простейшем виде с четным показателем корня, то есть, с уравнением , где 2·k – четный натуральный показатель корня, f(x), g(x) – рациональные выражения. В нашем случае k=1, f(x)=1−5·x, g(x)=x−3. Такое иррациональное уравнение можно решить методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же натуральную степень. Напомним алгоритм этого метода решения для простейшего иррационального уравнения с четным показателем корня:

  • Возводим в одну и ту же четную степень, равную показателю корня в левой части уравнения, обе части уравнения.
  • Решаем полученное уравнение. Если оно не имеет решений, то не имеет решений и исходное уравнение. Если решения есть, то отсеиваем посторонние корни.

Пройдем эти шаги.

Решаемое иррациональное уравнение в левой части содержит квадратный корень (показатель корня равен 2), поэтому возводим обе части уравнения в квадрат, что в дальнейшем позволит избавиться от знака корня. Это дает нам уравнение , причем, это уравнение-следствие, так как мы знаем, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень является преобразованием, приводящим к уравнению-следствию.

Теперь нам нужно решить полученное уравнение . Его решение будем вести через преобразование уравнений.

На базе определения корня заменим выражение в левой части уравнения тождественно равным выражением 1−5·x, и, учитывая формулу сокращенного умножения «квадрат разности», выражение в правой части заменим тождественно равным ему выражением x2−6·x+9. Это нас приводит к уравнению 1−5·x=x

2−6·x+9. Заметим, что при таком переходе происходит расширение ОДЗ: для уравнения ОДЗ определяется условием 1−5·x≥0, которое задает числовое множество x≤1/5, а для полученного уравнения 1−5·x=x2−6·x+9 ОДЗ, очевидно, есть множество всех действительных чисел R. Значит, проведенные преобразования дают уравнение-следствие.

Дальше полученное уравнение 1−5·x=x2−6·x+9 путем равносильных преобразований, заключающихся в переносе слагаемых с противоположным знаком, группировке и приведении подобных слагаемых, а также умножении обеих частей уравнения −1, приводится к квадратному уравнению x2−x+8=0.

Полученное квадратное уравнение решим через дискриминант. Вычисляем дискриминант: D=(−1)2−4·1·8=−31. Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Итак, уравнение x2−x+8=0 не имеет корней.

Так как это уравнение является следствием исходного уравнения (в цепочке преобразований были переходы к уравнениям-следствиям), то исходное иррациональное уравнение тоже не имеет корней.

Обычно решение описывается как можно более коротко, но, естественно, без ущерба для логики действий:

2.1.3 Иррациональные уравнения

Видеоурок 1: Иррациональные уравнения

Видеоурок 2: Иррациональные уравнения. Использование свойств функций

Лекция: Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения — это уравнения, которые содержат иррациональные выражения. 

В школьном курсе математики рассматриваются рациональные уравнения, которые содержат корни различных степеней.

Решение иррациональных уравнений сводиться к рациональным. Более того, хочется сказать, что все уравнения сводятся к элементарным с помощью различного рода преобразований или хитростей.

Во время решения иррациональных уравнений важно помнить:

1. Выражения, стоящие под корнем четной степени, никогда не могут получиться отрицательными. Поэтому некоторые уравнения можно даже не решать. Например:

В данном уравнении нет смысла, при любых значениях переменной, равенство верным быть не может, поскольку правая часть уравнения не может быть отрицательной.

2. Первым делом при решении уравнений, которые имеют корни четной степени, необходимо определить ОДЗ. Область определения — это диапазон, в который могут входить корни уравнения. Если корни в него не входят, то они не удовлетворяют условию, и считаются посторонними.

3. Чтобы быть уверенными, что корни найдены правильно, необходимо совершить проверку, подставив их в исходное уравнение.

Способы решения уравнений, содержащих иррациональность:

1. Возведение правой и левой части уравнения в степень корня. Этот способ позволяет избавиться от иррациональности. Но прежде, чем откинуть корень, проверьте ОДЗ.

2. Если в одной из частей уравнения находится сумма или разность корней, то оптимальным вариантом является изолирование их с помощью знака равно. После этого пользуемся предыдущим правилом до тех пор, пока не избавимся от иррациональности.

3. Если Вы имеете уравнение вида:

То для его решения необходимо найти наименьшее общее кратное степеней корня и возвести обе части уравнения в эту степень. Таким образом, Вы избавитесь от иррациональности.


115461 (Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики) — документ, страница 4

.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, — могут приобретаться или теряться решения. [17]

Обсудим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и посмотрим, как их распознать и как можно с ними бороться.

I. Пример 6. Решить уравнение .

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью «преобразования» .

Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что .

Необходимо запомнить формулу . Уравнение теперь легко решается

.

Ответ. .

Теперь посмотрим «обратное» преобразование.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Сейчас настало время задуматься о безопасности формулы

.

Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Ответ. .

II. Следующее преобразование, которое должно явиться предметом заботы для каждого, кто решает иррациональные уравнения, определяется формулой

.

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]

Замечание. При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа (1) из Примера 5 производят перемножение подкоренных выражений, т.е. вместо такого уравнения пишут уравнение

.

Такое «склеивание» не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения (1). Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, т.е. уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение. [3]

Пример 8. Решить уравнение

.

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение

,

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

,

равносильное уравнению

. (2)

Уравнение (2) является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению

, или .

Это уравнение является следствием уравнения (2) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни , .

Первый корень удовлетворяет исходному уравнения, а второй — не удовлетворяет.

Ответ. .

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с «расклеиванием» корней, то есть использование формулы . [13]

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

.

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение . Посмотрите, оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Ответ. , .

Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

III. Существует еще более опасное действие — сокращение на общий множитель. [17]

Пример 10. Решить уравнение .

«Решение». Сократим обе части уравнения на , получим

.

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Вот правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

.

Это уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение .

Ответ. .


Применение общих методов для решения иррациональных уравнений

1. Метод разложения на множители.

Суть этого метода заключается в следующем: уравнение можно заменить совокупностью уравнений:

; ; .

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. Приведем пример применения метода разложения на множители при решении иррациональных уравнений. [10]

Пример 11. Решите уравнение .

Решение. Для решения таких уравнений следует пользоваться правилом расщепления:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. [17]

Первый множитель равен нулю при , но тогда второй множитель потеряет смысл, так как при он равен . Значит, решением данного уравнения быть не может.

Второй множитель равен нулю при или . Первый множитель определен для всех действительных чисел, значит, и могут быть решениями данного уравнения. Ответ. ,

2. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат:

.

Далее последовательно получаем:

;

;

;

;

, .

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что — корень уравнения, а — посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , т.е. квадратное уравнение , решив которое находим два корня: , .

Ответ: , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда , .

Теперь задача сводится к решению уравнения и уравнения . Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем , .

Ответ. , .

Отметим, что «бездумное» применение в Примере 11 метода «уединения радикала» и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 14. Решить уравнение

.

Введем новую переменную

, .

Исходное уравнение принимает вид

,

откуда учитывая ограничение , получаем . Тогда .

Ответ. .

Уравнения вида (здесь a, b, c, dнекоторые числа, m, nнатуральные числа, обычно не превосходящие 4) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных и последующего перехода к рациональной системе. [17]. Пример 15. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные

и .

Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины a и b не являются независимыми переменными — они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через a и b

и .

Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между a и b

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных a и b

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа и . Корень посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим .

Ответ. .

Пример 16. Решить уравнение

. [6]

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z.

Иррациональные уравнения. Методы решения — презентация онлайн

1. Иррациональные уравнения

Методы решения

2.

Устно: 1. Упростить выражения:
2
2
3
3
x; x ; x;
3
x ;
3
3
x ;
3
4
x ;
4
5 10
8
x ; x; x.
2. Решить уравнения:
а) x 8 0; б) x 4 0; в) x 1 0;
3. Повторить формулы сокращенного умножения:
4
3
a b 2 a 2 2ab b2 ;
2
a b a 2 2ab b2 ;
a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3 ;
a b 3 a3 3a 2b 3ab2 b3.
5
3 9

3. Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком радикала, а также под знаком возведения в

дробную степень.
2x 3 x 1
3
x 5 12 x 4 5
4
7
3x x 8 15

4. Методы решения иррациональных уравнений

Возведение в степень обеих частей уравнения
Введение новой переменной
Разложение на множители
Анализ уравнения (метод «пристального взгляда»)
Использование монотонности функции

5. Возведение в степень обеих частей уравнения

Алгоритм решения:
Избавиться от корня возведением в степень. Если
в иррациональном уравнении содержится два или
более радикала, то сначала изолируется один из
радикалов, затем обе части уравнения возводят в
одну и ту же степень, и повторяют операцию
возведения в степень до тех пор, пока не получится
рациональное уравнение.
Решить полученное уравнение.
Выполнить проверку.

6. Решить уравнения:

7. Использование равносильных переходов

f ( x ) g ( x)
f ( x) g ( x)
2
g ( x) 0

10. Решите уравнение:

3х х 2 х 1
2
х 1 0,
х 1,
2
2
2
2
3
х
х
2
х
1
;
3
х
х
2
х
2х 1
х1 1
х2 1,5
• Ответ :
2х2 х 3 0

12. Иррациональные уравнения на ЕГЭ

13. Проверка:

14. Иррациональные уравнения на ЕГЭ

15. Проверка:

16. Иррациональные уравнения на ЕГЭ

17. Проверка:

18. Анализ уравнений (метод «пристального взгляда»)

• Все корни четной степени являются
арифметическими, то есть если
подкоренное выражение отрицательно,
то корень лишен смысла;
• если подкоренное выражение равно нулю,
то корень так же равен нулю;
• если подкоренное выражение
положительно, то значение
корня положительно.
Арифметический корень не может быть
отрицательным числом, значит уравнение не
имеет корней.

21. Уравнения на ЕГЭ в профильной части

22. Источники:


источник шаблона: http://ppt4web.ru
При создание шаблона использованы Google картинки:
https://www.google.ru/imghp?hl=ru&tab=wi

«Иррациональные уравнения. Системы иррациональных уравнений»

Понятие иррационального уравнения.

Решение иррациональных уравнений и систем уравнений.

О.Ю.Серикова, преподаватель математических дисциплин ГБПОУ «Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького»

Основные методы решения иррациональных уравнений: метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, метод введения новых переменных. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений. Решение систем иррациональных уравнений.

Практическое занятие.

Решение иррациональных уравнений и их систем.

Самостоятельная работа

Решение иррациональных уравнений.

Контрольная работа

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются следующие: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) метод введения новых переменных. В некоторых случаях оказывается целесообразным применение различных искусственных приездов. Появление посторонних корней может произойти за счет того, что при возведении обеих частей заданного уравнения f (x) = g (х) в четную степень мы получаем уравнение, являющееся следствием не только этого уравнения, но и уравнения f (х) = g (x). Действительно, (g (х))2 = ( —g (x))2.

Если уравнение f (х)= —g (х) имеет корни, то именно они являются посторонними корнями заданного уравнения f (x) = g(x). Так, если заданным является уравнение х — 1=3, то при возведении обеих частей уравнения х—1=3 в квадрат мы получаем уравнение — 1)2 = 32, т. е. х2— 8 = 0, корнями которого являются и корень заданного уравнения х = 4, и значение х=-2, являющееся корнем уравнения х— 1 = -3, но не удовлетворяющее заданному уравнению.

Еще пример. Дано уравнение Возведя обе части уравнения в квадрат, мы получаем уравнение 1 — х = х2+2х+1, т. е. х2 +х = 0. Это уравнение является следствием заданного уравнения. Его корнями будут х1 = -3 и х 2= 0. Нетрудно убедиться, что х1 = -3 является корнем заданного уравнения, а х2 = 0 — посторонний корень (это корень уравнения ). Напомним, что если обе части уравнения f (x) = g(x) неотрицательны, то уравнения f(x) = g(x) и (f (x))= (g (х)) равносильны.

Отметим еще, что уравнения f (х) = g (х)и f (x) = — g (x) имеют одну и ту же область определения. Поэтому, решив заданное уравнение методом возведения обеих его частей в четную степень и даже убедившись затем, что найденный корень х = х0 принадлежит его области определения, еще нельзя утверждать, что x = х0 является корнем за данного уравнения. Однако если x = х0 не принадлежит облает определения заданного уравнения, то это точно посторонний корень который получен за счет расширения области определения заданной уравнения в результате использования формулы .

Рассмотрим уравнение Его область к определения является луч [2; ). После возведения обеих частей это го уравнения в квадрат и уединения радикала получим уравнение .

Областью определения этого уравнения является множество .

Корнями уравнения являются значения х1 = 3 и х2 = -2. Первый корень принадлежит области определения заданного уравнения, т. е. может являться его корнем. Второй же корень не принадлежит области определения заданного уравнения, т. е. является посторонним корнем.

Вместе с тем второй корень принадлежит области определения уравнения .Таким образом, посторонний корень появился за счет расширения области определения заданного уравнения.

Причиной появления посторонних корней могут быть также некоторые замены, выполняемые в ходе решения иррационального уравнения.

По этим причинам необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.

В зависимости от вида корней (простые или громоздкие), от их количества (один, два или бесконечное множество), а иногда и в зависимости от выбранного способа решения эти корки проверяются либо подстановкой в заданное уравнение, либо путем доказательства равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения, либо каким-то другим путем (с использованием области определения заданного уравнения, с обращением к промежуточных уравнениям и т. д.).

1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Пример 1. Решим уравнение (1)

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: и далее

После возведения в квадрат последнего уравнения получим:

2+16х-24=9х2-186х+961,

и далее х2202х + 985 = 0, откуда находим х1 = 5, х2 == 197.

Проверка. Найденные корни несложно проверить непосредственно подстановкой в уравнение (1).

1)

Таким образом, х1 = 5, является корнем заданного уравнения.

2) , т. е. х2= 197 —посторонний корень. Таким образом, только х = 5 является корнем заданного уравнения.

Замечание. Это уравнение допускает следующее изящное решение. Имеем . Несложно подбором найти корень уравнения х = 5. Так как далее функция возрастает, а функция убывает, то других корне уравнение не имеет.

Пример 2. Решим уравнение

(2)

Решение. Возведем обе части уравнения (2) в квадрат и уединим затем полученный радикал:

(3)

После возведения в квадрат обеих частей уравнения (3) и последующего приведения подобных членов получим квадратное уравнение

Зх22х— 17 = 0,

которого являются значения и

Проверка. Проверять найденные корни подстановкой в уравнение (2) явно нецелесообразно. Поступим следующим образом. Найдем область определения уравнения (2). Из системы неравенство

находим, что этой областью является луч [2; ). Выясним, принадлежат ли найденные корни этому лучу. Имеем:

Таким образом, х1> 2 принадлежит лучу [2; ), и, значит, х1 может являться корнем уравнения (2). Далее,

Таким образом, х2<2, т. е. х2 не принадлежит [2; ), и, значит х2 не является корнем уравнения (2).

Вернемся теперь к х1. Выясним знак разности, находящейся правой части уравнения (3). Имеем:

Пример 3. Решим уравнение (4)

Решение. Преобразуем уравнение (4) к виду и возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

х2 + х – 5 = 25 – 10

Уединим корень и приведем подобные члены: (5)

Возведем обе части уравнения (5) в квадрат: 100(х2 + 8х – 4) = (7х +26)2, или

51 х2 + 436х – 1076 = 0

Из последнего уравнения находим х 11=2, х2 =

Проверка. Первый из найденных корней нетрудно проверить подстановкой в исходное уравнение. Такая проверка показывает, что х\=2 — корень уравнения (4). Попытка проверить таким же способом второй корень приводит к громоздким вычислениям. Можно, однако, поступить по-другому. Выясним, является ли х2 = не является корнем уравнения (5). Но уравнение (5) –следствие уравнения (4). Итак, корнем уравнения (4) является х = 2.

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Уединив , получим

После приведения подобных членов и уединения корня получим уравнение откуда (х + 13)2 (х +1) = 64 (х = 1)2, и далее (х + 1) ((х + 13)2 – 64 (х + 1) = 0.

Таким образом, задача сводится к решению совокупности:

x+l=0; х2 —38х+ 105 = 0, откуда находим х1 =— 1, х2 = 3, х3 = 35.

Проверка. Подстановкой найденных значений х в заданное уравнение убеждаемся, что все они являются его корнями.

Пример 5. Решим уравнение (6)

Решение. Возведем обе части уравнения (6) в куб. Получим:

Воспользовавшись уравнением (6), заменим выражение

выражением

(7)

Сократим на 3 и возведем обе части последнего уравнения в куб: (2х+10(6х+1)(2х-1)= — (2х+1)3, и далее (2х + 10 ((6х + 1) (2х – 1) + (2х + 1)2)=0, откуда находим х1 = — 0, 5,х 2= 0.

Проверка. Подстановкой найденных значений х в заданное уравнение (6) убеждаемся, что его корнем является х = -0, 5.

2. Метод введения новых переменных

Пример 6. Решим уравнение

(8)

Решение. Уединение корня и возведение обеих частей уравнения (8) в квадрат привели бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение (8) легко сводится к квадратному. Действительно, умножив обе его части на 2, получим: , и далее

Положив получим у2 — 2у —8 = 0, откуда у, =4, у2= —2. Значит, уравнение (8) равносильно следующей совокупности уравнений: .

Из первого уравнения это совокупности находим х1=, х 2= -2.

Второе уравнение корней не имеет.

Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна уравнению (8), причем второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение . Эта подстановка показывает, что оба найденных значения х являются корнями этого уравнения, а значит, и заданного уравнения (8).

Пример 7. Решим уравнение (9)

Решение. Областью определения уравнения (9) является луч [5; ). В этой области выражение можно представить следующим образом:

Так как 2х = х + х, то уравнение (9) далее можно переписать так:

Положив , получим квадратное уравнение у2+2у — 48 = 0, из которого находим у1 =6, у2= —8. Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений:

Из первого уравнения совокупности находим x=, второе уравнение совокупности решений не имеет.

Проверка. Легко показать, что х = является корнем уравнения .Но это уравнение равносильно уравнению (9), значит, х = является корнем и уравнения (9).

Пример 8. Решим уравнение (10)

Решение. Положим

Тогда уравнение (10) примет вид u +-v = 2. Но для нахождения значений новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в четвертую степень обе части каждого из уравнений системы, получим: u 4= 1- x , v = 15 +x.

Сложим уравнения последней системы: и +v =16.

Таким образом, для нахождения v, и мы имеем следующую симметрическую систему уравнений:

Решив ее, находим:

u1=0 u2 = 2

u1=2 v2=0

Таким образом, решение уравнения (10) свелось к решению следующей совокупности систем уравнений:

Решив эту совокупность, находим x1= 1, х2= —15.

Проверка. Проще всего проверить найденные корни подстановкой их непосредственно в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба найденных значения х являются корнями заданного уравнения.

3. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений

Пример 9. Решим уравнение (11)

Решение. Умножив обе части заданного уравнения на сопряженное выражение

, то уравнение примет вид

Как легко видеть, x1 = 0 является корнем этого уравнения. Остается решить уравнение

Сложив данное и полученное уравнения, придем к уравнению

.

Решая уравнение методом возведения в квадрат, получим:

2+12х + 20 =-9х2 + 12х + 4,

х2==16, х = 4, х = -4.

Проверка. Поочередно подставляя найденные значения х=4. Таким образом, х = 4 – единственный корень уравнения.

Квадрат, получим: 8х+12х+20=9х+12х+4

х=16, х = 4, х = -4

Проверка. Поочередно подставляя найденные значения в данное уравнение убеждаемся, что ему удовлетворяет только значение х=4. Таким образом, х=4 –единственный корень уравнения.

4. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 10. Решим уравнение

Решение.Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 11. Решим уравнение

Решение. Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения.

5. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение

Теорема. Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример 12. Решим уравнение

Решение. При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 13. Решим уравнение

Решение. Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т.е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

6. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула

Пример 14. Решим уравнение

Решение.Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

7. Метод оценки

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 15. Решим уравнение

Решение.Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 16. Решим уравнение.

Решение.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

8. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1. Решим уравнение

Решение.Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если то

В последнем равенстве заменяют на и получают

Далее легко избавиться от кубической иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что студент решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на одно и тот же уравнение посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение уравнений разными способами.

Пример 3. Решим уравнение

(1)

Решение. Способ 1.

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4. Решим уравнение

Решение.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения ( в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5. Решим уравнение

Решение.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

Из ЕГЭ

1. Найдите сумму корней уравнения (

Решение.

Ответ: 0,25

2.Решите уравнение

3. Решите уравнение

4.Найдите сумму корней уравнения 9 (отв.5)

5.Решите уравнение

6.Решите уравнение 40-14х+х2 =2(х-4)

7. Решите уравнение

Задания повышенного уровня сложности с развернутым ответом С1 и С2

1.Решите уравнение

Так как х.Поэтому

Ответ: 0;-1,6.

2. Решите уравнение

Ответ:-8,3

3. Решите уравнение 40-14х+х2=2(х-4)

(х-10)(х-4)=2(х-4) , (х-4)(х-10-2)=0

Последний корень не удовлетворяет условию t0.

Ответ: 4;12+2

Системы иррациональных уравнений.

Пример 1. Решим систему уравнений

(11)

Решение. Положим . Тогда первое уравнение системы (110 примет вид u+=2, откуда находим u = 1. Таким образом решение системы сводится к решению следующей системы: (12)

Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы и освободившись от знаменателя приходим к системе . Из которой находим:

.

Проверка. При условии, что и , системы (11), (12) равносильны, значит решением системы являются пары (2;1), (1, ).

Пример 2. Решим систему уравнений

(14)

Решение. Так как а и , то система (14) примет вид: .

Эта система равносильна следующей совокупности систем:

(15)

Полагая , получим совокупность систем .

Решение первой системы совокупности не вызывает затруднений. При решении второй системы этой совокупности следует учесть, что х – у< 0, т.е. v < 0.

Таким образом, из совокупности находим: .

Проверка. Первые два решения легко проверить непосредственной подстановкой в систему (14). Однако проверить таким же способом третье решение непросто системе (14), а система (14) равносильна заданной системе (15). Поэтому решения совокупности (15) являются решениями и системы (14).

Проверочная работа

Вариант 1

  1. Вычислите: а) 2 б) в) г)

  2. Решите уравнение: а) б)

  3. Постройте график функции

_______________________________________________________________

  1. Решите уравнение

_______________________________________________________________

  1. Решить уравнение

  2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет один корень.

Вариант 2

1. Вычислите: а) 2 б) в) г)

    1. Решите уравнение: а) б)

    2. Постройте график функции

__________________________________________________________________

    1. Решите уравнение

__________________________________________________________________

    1. Решить уравнение

    2. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет один корень.

Список литературы:

  1. Амелькин В. В. Рабчевич В. Л. Задачи с параметрами: справочное пособие по математике. – второе издание – Мн.:ООО «Асар», 2002.

  2. Гусев В. А. и др. Практикум по элементарной математике., М.: Просвещение, 2002.

  3. Литвиненко В. Н. и др. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ. мат. спец. пед. инс-ов.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Просвещение, 1991.

Ошибки в уравнениях / math5school.ru

 

 

При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.

 

Потеря корней

При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней, либо появление посторонних корней.

При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного, а значит, корни могут оказаться потерянными.

K Упражнение. Решить уравнение  lg (x – 10)2 + lg x2 = 2lg 24.

L Неправильное решение. 

2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,

lg (x – 10) + lg x = lg 24,

lg x(x – 10) = lg 24,

x2 – 10x = 24,

x2 – 10x – 24 = 0,

x1 = –2,  x2 = 12.

Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: –2 и 12.

Комментарий. Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного. 

J Правильное решение.

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 10,

2lg |x – 10| + 2lg|x| = 2lg 24,

lg |x – 10| + lg|x| = lg 24,

lg |x(x – 10)| = lg 24,

|x– 10x| = 24,

x– 10x = ± 24,

1) x– 10x – 24 = 0,  x1 = –2,  x2 = 12;

2) x– 10x + 24 = 0,  x3 = 4,  x4 = 6.

Ответ: –2; 4; 6 и 12.

При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.

K Упражнение 1. Решить уравнение  3х (х2 – 2х – 3) = 9 (х2 – 2х – 3).

L Неправильное решение. 

Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:

3х = 9;

3х = 32;

х = 2.

Ответ: 2.

J Правильное решение.

Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:

3х (х2 – 2х – 3) – 9 (х2 – 2х – 3) = 0;

(3х  – 9) (х2 – 2х – 3) = 0;

1) 3х  – 9 = 0;  3х = 32;  х = 2;

2) х2 – 2х – 3 = 0;  х = –1 и х = 3.

Ответ: –1; 2 и 3. 

 

K Упражнение 2. Решить уравнение  lg2 x – lg x = 0.

L Неправильное решение.

ОДЗ: х > 0.

Разделим обе части уравнения на  lg x  и получим:

lg x – 1 = 0;

lg = 1; 

= 10.

Ответ: 10. 

J Правильное решение.

lg2 x – lg x = 0;

ОДЗ: х > 0;

lg (lg – 1) = 0;

1) lg x = 0;  = 1; 

2) lg – 1 = 0;  lg = 1;  = 10.

Ответ: 1 и 10.

Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.

 

Посторонние корни

При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.

Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.

Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину.

K Упражнение. Решить уравнение

5 – x  –  5 + 3х  = 0.
x – 1 x– 1

L Неправильное решение. 

Умножим все члены уравнения на  х2 – 1  и получим:

(5 – x) (x + 1) – (5 + 3x) = 0;

–х2 + x =0;

х2 – x =0;

х (х – 1) =0. 

Ответ: 0 и 1. 

Комментарий. Был приобретен посторонний корень  х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки.

J Правильный ответ:  х = 0.

Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину.

K Упражнение. Решить уравнение

х2 – 81

 – 2х = 0.

x – 9

L Неправильное решение. 

Заметим, что  х2 – 81 = (– 9) (x + 9)  и произведем сокращение дроби на  – 9. Имеем:

(x + 9) – 2х = 0;

х + 9 = 0;

х = 9. 

Ответ: 9.

Комментарий. Был приобретен посторонний корень  х = 9.

J Правильный ответ: решений нет.

Приведение подобных слагаемых с неизвестным в знаменателе, в том случае, если они взаимно уничтожаются, также может привести к приобретению постороннего корня.

K Упражнение. Решить уравнение

2  + х2  –  2  – 4х = 0.
3х2 3х2

L Неправильное решение.

После приведения подобных слагаемых получим:

х2 – 4х = 0;

х (х – 4) =0;

х = 0,  х = 4.

Ответ: 0  и  4.

Комментарий. Был приобретен посторонний корень  х = 0.  

J Правильный ответ:  4.

Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма. 

Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения. Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.

K Упражнение. Решить уравнение   √х + 3 + √7 – х = 2.

L Неправильное решение. 

ОДЗ:  –3 ≤ х ≤ 7;

х + 3 = 2 – √7 – х;

x + 3 = 4 – 4 · √7 – х + 7 – x;

2x – 8 = –4 · √7 – х;

2 · √7 – х = 4 – x;

4 (7 – x) = 16 – 8x + х2;

х2 – 4x – 12 = 0;

x1 = –2,  x2 = 6.

И число –2, и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х, значит, являются решениями исходного уравнения.

Ответ: –2  и  6.

Комментарий. Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения   

х + 3 = 2 – √7 – х

к уравнению 

x + 3 = 4 – 4 · √7 – х + 7 – x.

Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1. Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1, которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 12 = (–1)2. Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них. 

Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения

2 · √7 – х = 4 – x,

которое уже имеет один корень –2, к уравнению

4 (7 – x) = 16 – 8x + х2.

Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4, которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6. Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение

х2 – 4x – 12 = 0,

для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.

J Правильный ответ: решений нет.

Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.

Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.

K Упражнение. Решить уравнение  (x – 5) (х + 2) √х – 3 = 0.

L Неправильное решение. 

Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:

х – 5 = 0,  х + 2 = 0,  х – 3 = 0;

х = 5,  х = –2,  х = 3.

Ответ:  5;  –2;  3.

Комментарий. Число –2 обращает подкоренное выражение  х – 3  в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.

J Правильный ответ: 5  и  3.

 

Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Таких равенств много, вот некоторые из них: 

x = (√ х)2

√ х · y = √ х · √ y

tg (x + y) =  tg x + tg y
1 – tg x · tg y
sin 2x 2 tg x
1 + tg2 x

loga х2 = 2 loga x

loga х · y = loga x + loga y

В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. {1/4}=3,\;\;\;\) \(x-3=81,\;\;\;\)  \(x=84.\;\;\;\)

Ответ: 19  и  84.

Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась.

K Упражнение. Решить уравнение  х + 4√x – 5 = 0.

L Неправильное решение. 

x = t,  x = t2;

t2 + 4t – 5 = 0;

t1 = 1,  t2 = –5;

1) x = (t1)2 =  12 = 1;   

2) x = (t2)2 = (–5)2 = 25.

Ответ: 1  и  25. 

Комментарий. После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √x = t, а не x = t2

J Правильное решение. 2}=x+3;\;\;\left|x+3 \right|=x+3\geq 0;\;\;x\geq -3.\)

Ответ: х ≥ –3.

Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.

K Упражнение. Решить уравнение  |x – 3| + |x –4| = 1.

J Правильное решение.

Находим нули модулей, для |х – 3| это 3, для |x – 4| это 4, и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:

(–∞; 3), [3; 4)  и  [4; +∞).

На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.

Так как

\[\left|x-3 \right|=\begin{cases} \;\;\;\;x-3, \;\;\;x\geq 3; \\ -(x-3), \;\;x< 3; \end{cases}\;\;\;\;\;  \left|x-4 \right|=\begin{cases} \;\;\;\;x-4, \;\;x\geq 4; \\ -(x-4), \;x< 4; \end{cases}\]

то

1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:

– (х – 3) – (х – 4) = 1,

х + 3 – х + 4 = 1,

2х = 6,

х = 3;

так как 3 ∉ (–∞; 3), то на этом промежутке решений нет;

2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:

(х – 3) – (х – 4) = 1,

х – 3 – х + 4 = 1,

1 = 1;

что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка  [3; 4) является решением уравнения;

3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:

(х – 3) + (х – 4) = 1,

х – 3 + х – 4 = 1,

2х = 8,

х = 4;

так как 4 ∈ [4; +∞), то 4 – корень уравнения.

Так как  [3; 4)∪{4} = [3; 4],  то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4].

Ответ: [3; 4].

 

Подбор корней без обоснования

К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности.

K Упражнение. Решить уравнение  х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24.

L Неправильное решение.  

Подбором находят корень  х = 1  из разложения  24 = 1 · 2 · 3 · 4.

Ответ: 1.

Комментарий. Был подобран корень  х = 1,  но не обнаружен еще один корень х = –4, который соответствует разложению  24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1). Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.

J Правильное решение.

х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24,

(х (х + 3)) ((х + 1) (х + 2)) = 24,

(x2 + 3х) (x2 + 3х + 2) = 24,

введем новую переменную  x2 + 3х + 1 = t, тогда

(t – 1) (t + 1) = 24,

t2 – 1 = 24,    

t2 = 25,

t1 = –5,  t2 = 5,

1) x2 + 3х + 1 = –5,  x2 + 3х + 6 = 0,  решений нет;

2) x2 + 3х + 1 = 5,    x2 + 3х – 4 = 0,   х1 = –4,  х2 = 1.

Ответ: –4  и  1.

Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций. Часто при этом используется производная.

K Упражнение. Решить уравнение  x11 + 5х – 6 = 0.

L Неправильное решение. 

Методом подбора находим корень уравнения  х = 1.

Ответ: 1.

Комментарий. Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.

J Правильное решение.

Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x11 + 5х – 6, что и доказывает единственность подобранного корня.

Ответ: 1. 

 

Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях

Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.

При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями, не всегда делаются правильные выводы.

K Упражнение 1. Решить уравнение  (log7x)1/3  = 1.

L Неправильное решение. 

(log7 x)1/3  = (log7 x)0.          

Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.

J Правильное решение.

Возведем в куб обе части уравнения, тогда

log7 x = 1,

x = 7.

Ответ: 7.

 

K Упражнение 2. Решить уравнение  (х + 5) х2 + х – 2 = 1.

L Неправильное решение.

(х + 5) х2 + х – 2 =  (х + 5) 0,

х2 + х – 2 = 0,

х1 = –2,  х2 = 1.

Ответ: –2  и  1.

Комментарий. Потерян корень х = –4. Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:

х + 5 = 1,

х = –4.

J Правильное решение.

Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5, тогда

(х2 + х – 2) · lg (x + 5) = 0;

1) х2 + х – 2 = 0;  х1 = –2,  х2 = 1;

2)  lg (x + 5) = 0;  x + 5 = 1;  x = –4.

Ответ: –4, –2  и  1.

Необходимо помнить, что:

из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;

степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.

При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями. При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.

K Упражнение 1. Решить уравнение  log3 x · log3 (3x) =log3 (81x).

L Неправильное решение. 

log3 (3х2) =log3 (81x),

3х2 = 81x,

3х = 81,

х = 27.

Ответ: 27. 

Комментарий. В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).

J Правильное решение.

ОДЗ: х > 0;

log3 x · (log3 3 + log3 x) = log3 81 + log3 x;

log3 x · (1 + log3 x) = 4 + log3 x;

log3 x + log32 x = 4 + log3 x;

log32 x = 4;

log3 x = ±2;

x = 9,  x = 1/9. 1/_{4\sqrt[5]{8}}\;.\)

 

Ошибки в тригонометрических уравнениях

Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.

Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение.

 

Решить уравнение

L

Неправильный ответ

J

Правильный ответ

 sin x – cos x = 0

 x = π/4

  xπ/4 + πk, k ∈ Z       

tg x = 1/√3

x = π/6 + 2πkk ∈ Z        

x = π/6 + πkk ∈ Z    

sin x =  1/2 

x = (–1)k arcsin π/6 + πkk ∈ Z

x = (–1)k · π/6 + πkk ∈ Z

cos x =  1/2

xπ/3 + 2πkk ∈ Z

x = ± π/3 + 2πkk ∈ Z

 

В тригонометрических уравнениях, как и в уравнениях других видов, причиной многих ошибок становится невнимательное отношение к области допустимых значений неизвестного.

K Упражнение. Решить уравнение  tg 3x – tg x = 4sin x.

L Неправильное решение. 

sin (3xx)  = 4sin x;
cos 3x cos x
sin 2x   = 4sin x
cos 3x cos x

sin 2x = 4sin cos 3x cos x;

sin 2x = 2sin 2x cos 3x;

sin 2x – 2sin 2x cos 3x = 0;

sin 2x (1 – 2cos 3x) = 0;

1) sin 2x = 0;   2x = πn, n ∈ Z;   x = πn/2n ∈ Z;

2) 1 – 2cos 3x = 0;   cos 3x = 1/2;   3x = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z;   x = ± π/9 + k/3k ∈ Z.

Ответ:  πn/n ∈ Z;   ± π/9 + k/3k ∈ Z.

Комментарий. Была допущена серьезная ошибка. При x = πn/2 и нечетных n исходное уравнение не имеет смысла. Ошибка осталась незамеченной в результате того, что не была установлена область допустимых значений переменной. 

J Правильный ответ: πnn ∈ Z;   ± π/9 + k/3k ∈ Z.

Не редкость – появление ошибок по причине невнимательного отношения ко всем заданным в уравнении условиям.

K Упражнение. Решить уравнение  cos x – cos 2x = 1,  если  0 < x < π/2 .

L Неправильное решение. 

cos x – (2cos2 x – 1) = 1;

cos x – 2cos2 x = 0;

cos x (1 – 2cos x) = 0; 

1) cos x = 0;  x =  π/2 + πkk ∈ Z;

2) 1 – 2cos x = 0;   cos x = 1/2;   x = ± π/3 + 2πnn ∈ Z.

Ответ:  π/2 + πkk ∈ Z;   ± π/3 + 2πnn ∈ Z. 

Комментарий. Ответ не верен, так как условию  0 < x < π/2  удовлетворяют только один корень.

J Правильный ответ:  π/3.

Следует не забывать, что сокращение всех членов уравнения на функцию, содержащее неизвестное не редко приводит к потере корней уравнения.

K Упражнение. Решить уравнение  cos x (2sin 2x – 1) = cos x sin 2x.

L Неправильное решение. 

2sin 2x – 1 = sin 2x;

sin 2x = 1;

2x =   π/2 + 2πkk ∈ Z;

x =   π/4 + πkk ∈ Z.

Ответ:  π/4 + πk,  k ∈ Z.

J Правильное решение.

cos x (2sin 2x – 1) – cos x sin 2x = 0;

cos x (2sin 2x – 1 – sin 2x) = 0;

cos x (sin 2x – 1) = 0;

1) cos x = 0;  x =  π/2 + πnn ∈ Z;

2) sin 2x – 1 = 0;   sin 2x = 1;  2x = π/2 + 2πkk ∈ Z;  x = π/4 + πkk ∈ Z.

Ответ:  π/2 + πnn ∈ Z;   π/4 + πkk ∈ Z.

Еще одна причина появления ошибок – недостаточное внимание к проверке. Следует не забывать, что при проверке посторонних корней тригонометрических уравнений часто удобно использовать единичную окружность.

K Упражнение. Решить уравнение  sin x + cos x = 1.

L Неправильное решение. 

(sin x + cos x)2 = 12;

sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1;

1 + 2sin x cos x = 1;

sin 2x = 0;

2x = πn, n ∈ Z;

x = πn/2,  n ∈ Z.

Ответ:  πn/2,  n ∈ Z.

Комментарий. Так как при решении обе части исходного уравнения возводили в квадрат, а его левая часть может быть как положительной, так и отрицательной величиной, могли появиться посторонние корни, следовательно, проверка обязательна.

J Правильное решение.

 

Дополним приведенное выше решение следующими рассуждениями.

Значениям  x = πn/2,  n ∈ Z  соответствуют четыре точки, отмеченные на единичной окружности. Причем зеленые точки соответствуют корням уравнения, а красные – посторонним корням.

Так как зеленой точке на Ох соответствуют значения = 4k, где ∈ Z, а на оси Оу – значения = 4m + 1, где ∈ Z, то

1)  x = k/2 = 2πkk ∈ Z; 

2)  x = m/2 = π/2 + 2πmm ∈ Z. 

Ответ: 2πk, k ∈ Z   и   π/2 + 2πmm ∈ Z. 

 

Как и в любых других уравнениях, при решении тригонометрических уравнений не редкость – применение вспомогательной переменной. Но не следует забывать, что при этом может быть сужена область определения, что может привести к потере корней.

K Упражнение. Решить уравнение  sin 2x + 3cos 2x + 3 = 0.

L Неправильное решение. 

Так как

sin 2x 2tg x ;
1 + tg2x
cos 2x 1 – tg2 x ,
1 + tg2 x

то для исходного уравнения имеем: 

2tg x  + 3 ·  1 – tg2 x  + 3 = 0;
1 + tg2 x 1 + tg2 x

2tg x + 3 – 3tg2 x + 3 + 3tg2 x = 0;

2tg x + 6 = 0;

tg x = –3;

x = arctg (–3) + πk, k ∈ Z.   

Ответ:  arctg (–3) + πkk ∈ Z.  

Комментарий. Область допустимых значений неизвестного в исходном уравнении – все действительные числа. Но при x = π/2 + πn переход от sin 2x и cos 2x к tg x невозможен. Таким образом область допустимых значений неизвестного сузилась, а значит, случай x = π/2 + πn необходимо проверить отдельно.

J Правильное решение.

Продолжим решение уравнения. Подставим  π/2 + πn  в исходное уравнение:

sin 2(π/2 + πn) + 3cos 2(π/2 + πn) + 3 = 0;

sin (π + 2πn) + 3cos (π + 2πn) + 3 = 0;

sin π + 3cos π + 3 = 0;

0 – 3 + 3 = 0;

0 = 0 – верно и, значит, π/2 + πn,  n ∈  Z  – корни уравнения.

Ответ:  π/2 + πn,  n ∈  Z;  arctg (–3) + πkk ∈ Z.                

 

     Смотрите так же: 

Ошибки в тождественных преобразованиях

Ошибки в системах уравнений

Ошибки в неравенствах

Ошибки в упражнениях с параметрами

Ошибки в упражнениях о функциях

Ошибки в упражнениях из начал анализа

Ошибки в геометрических задачах

 

Математика 1010 онлайн — Корни и радикалы

Математика 1010 онлайн — Корни и радикалы

Кафедра математики — Колледж науки — Университет Юты

Корни и радикалы

Корни и радикалы заслуживают отдельной главы и домашнего задания, потому что они часто встречаются в приложениях.

Пусть будет натуральное число , и пусть настоящий номер . -й корень из это число, которое удовлетворяет Номер обозначается

Например, так как , и поскольку .

Символ называется радикальным символом , и выражение, включающее его, называется радикалом (выражением) .

Если тогда это квадратный корень из и число обычно опускается. Например,

Если , то это кубический корень из .Например, кубический корень из есть , и что из есть .

Если четно и положительно, то их два -th корни из , каждый из которых является отрицательным из другого. Например, поскольку есть два квадратных корня из . В в этом случае по соглашению символ означает положительный -й корень , и он называется основным (-м) корнем из .

Если отрицательно и нечетно, то есть только один -й корень, и он тоже отрицательный. Например,

На данном этапе мы не знаем -го корня, если он четный. и является отрицательным.Это приводит к теме комплексные числа, которые мы рассмотрим позже в курсе.

Радикалы — это всего лишь частные случаи сил , и вы может упростить ваше мышление, если помнить об этом факте:

Из этого наблюдения и свойств полномочия, которые

Решение радикальных уравнений

Уравнение с радикалами называется радикальным уравнением (естественно). Чтобы решить эту проблему, вы просто примените наш общий принцип:

Чтобы решить уравнение, выясните, что вас беспокоит, а затем сделайте то же самое. вещь по обе стороны уравнения, чтобы избавиться от него.

Чтобы избавиться от радикала, вы берете его в силу, которая изменит рациональный показатель натурального числа. Это сработает, если радикал находится на одной стороне уравнения сам по себе.

Давайте рассмотрим несколько простых примеров :

Предполагать

Мы поступаем следующим образом:

Вот немного более сложная задача:

Мы получаем

Наш последний пример показывает, как избавиться от более чем одного радикала:

Чтобы избавиться от квадратных корней, мы изолируем их и возводим в квадрат один за другим. время:

В каждом случае мы проверяем наш ответ, подставляя его в исходный уравнение.Например, в последнем уравнении получаем:

Далее в курсе мы рассмотрим более сложные случаи радикальные уравнения.

Числовые значения

Все радикалы в приведенных выше примерах были натуральными числами. Это происходит только благодаря разумному выбору примеров. Часто корни встречающиеся в приложениях иррациональные числа с десятичными расширениями, которые никогда не повторяются и не заканчиваются. В следующей таблице приведены приблизительные значения несколько конкретных радикалов.

Некоторые радикалы (приблизительно)

Решение радикальных уравнений

Как решать уравнения с квадратными корнями, кубическими корнями и т. д.

Радикальные уравнения

Решение радикальных уравнений

Мы можем избавиться от квадратного корня, возведя его в квадрат. (Или кубические корни путем кубирования и т. д.)

Но предупреждение: иногда это может создавать «решения», которые на самом деле не работают, когда мы помещаем их в исходное уравнение.Значит надо проверить!

 

Выполните следующие действия:

  • выделить квадратный корень из одной части уравнения
  • возвести в квадрат обе части уравнения

Тогда продолжайте наше решение!

Пример: решить √(2x+9) − 5 = 0

выделить квадратный корень: √(2x+9) = 5

квадрат с обеих сторон: 2x+9 = 25

Теперь это должно быть проще!

Переместите 9 вправо: 2x = 25 − 9 = 16

Разделить на 2:x = 16/2 = 8

Ответ: х = 8

Проверить: √(2·8+9) − 5 = √(25) − 5 = 5 − 5 = 0

Этот работал отлично.

Более одного квадратного корня

Что делать, если квадратных корней два или более? Легкий! Просто повторите процесс для каждого.

Это займет больше времени (намного больше шагов) … но ничего сложного.

Пример: решить √(2x−5) − √(x−1) = 1

выделить один из квадратных корней: √(2x−5) = 1 + √(x−1)

квадрат с обеих сторон: 2x−5 = (1 + √(x−1)) 2

Мы удалили один квадратный корень.

 

 расширить правую часть: 2x−5 = 1 + 2√(x−1) + (x−1)

упростить: 2x−5 = 2√(x−1) + x

вычесть x с обеих сторон: x−5 = 2√(x−1)

Теперь еще раз извлеките квадратный корень:

выделить квадратный корень: √(x−1) = (x−5)/2

квадрат с обеих сторон:x−1 = ((x−5)/2) 2

Теперь мы успешно удалили оба квадратных корня.

 

Продолжим решение.

Разверните правую часть: x−1 = (x 2 − 10x + 25)/4

Это квадратное уравнение! Итак, приведем его к стандартной форме.

Умножить на 4, чтобы убрать деление: 4x−4 = x 2 − 10x + 25

Перенести все влево: 4x — 4 — x 2 + 10x — 25 = 0

Объединить подобные термины: −x 2 + 14x − 29 = 0

Поменять местами все знаки:x 2 − 14x + 29 = 0

 

Использование квадратичной формулы (a=1, b=-14, c=29) дает решения:

2. 53 и 11,47 (до 2 знаков после запятой)

Проверим решения:

2,53: √(2×2,53−5) − √(2,53−1) ≈ −1 Ой! Должно быть плюс 1.

11.47: √(2×11.47−5) − √(11.47−1) ≈ 1 Да, это работает.

Существует действительно только одно решение :

 

Ответ: 11,47 (до 2 знаков после запятой)

Видишь? Этот метод может иногда давать решения, которые на самом деле не работают!

Корень, который, казалось, работал, но оказался неправильным, когда мы его проверили, называется «Внешний корень»

Итак: проверка важна.

 

Решение радикальных уравнений с более высокими индексами | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Хотя большинство («почти все»?) радикальных уравнений, которые вам предстоит решить, будут включать в себя квадратные корни, вы также можете увидеть некоторые уравнения с более высоким индексом. Они работают примерно одинаково.Например, если вам дано уравнение, в котором радикал является кубическим корнем, вы возведете в куб обе части (после выделения радикала), чтобы преобразовать уравнение в полином, который вы сможете решить.

  • Решить уравнение:

Поскольку это КУБИЧЕСКИЙ корень, а не корень в квадрате , я отменю радикал, возведя в куб обе части уравнения, а не возведя в квадрат:

Справка по математике.ком

Мой ответ:

Возможно, вам интересно, почему я не проверил свое решение. Я должен проверить свои решения для уравнений, где я возведен в квадрат или где я возвел обе части уравнения в какую-то другую четную степень. Почему?

Потому что возведение в квадрат и тому подобное избавляются от знаков минус, которые могут создавать решения, которых на самом деле не существует. Но процесс решения в приведенном выше упражнении включал кубирование, которое сохраняет знаки минус. Вот почему мне не нужно было проверять.

(Примечание: если ваш инструктор хочет, чтобы вы проверяли и показывали чек для каждого упражнения, независимо от индекса вовлеченных радикалов, то проверка каждый раз является «правильным способом» для этого класса.Если вы не уверены, что должны делать, спросите сейчас, до следующего теста.)


  • Решить уравнение:

Я замечаю, что «плюс один» в левой части уравнения находится за пределами кубического корня. Мне нужно переместить его в правую часть уравнения, прежде чем я возьму в куб обе стороны.

Это решение включало в себя кубирование, а не возведение в квадрат, поэтому мне (технически) не нужно проверять свое решение.Мой ответ:


  • Решить уравнение:

Поскольку это корень четвертой степени, я возведу обе части в четвертую степень. (Кроме того, поскольку это корень с четным индексом, мне обязательно нужно проверить свой ответ.)

Исходное уравнение было корнем четвертой степени, и в процессе решения я возводил обе части уравнения в четвертую степень (в частности, в степень и даже ).Так что мне придется проверить свои ответы. Вот один из чеков:

Левая часть (LHS) оказалась равной правой части (RHS), так что это решение проходит проверку. (Я оставлю вам проверку другого решения.) Мой ответ:


Между прочим, график показывает, что оба решения верны. Если мы рассмотрим левую и правую части исходного уравнения как свои собственные функции, мы получим:

Графически получаем вот это:

Это довольно трудно увидеть, поэтому мы увеличиваем среднюю часть до тех пор, пока не убедимся, что видим две точки пересечения (и, следовательно, два решения исходного уравнения):

Если вам интересно, почему график радикальной стороны разбит на три части, то это потому, что у нас не может быть отрицательных значений внутри корня четвертой степени.График существует только там, где аргумент радикала, представляющий собой многочлен x 4 + 4 x 3 x , неотрицательный. Это происходит в трех частях, когда график аргумента находится на оси x или выше:

Не стесняйтесь использовать свой графический калькулятор для подтверждения (или исправления) ваших решений.


От вас может требоваться или не требоваться графическое представление решений, но если у вас есть графический калькулятор (поэтому для рисования графиков достаточно быстро нажать несколько кнопок), вы можете использовать графики для проверки своей работы на тестах.

Поскольку в кубических корнях могут быть отрицательные числа, у вас не возникает проблем с проверкой ответов, которые вы делали с квадратными корнями. Однако у вас будут трудности с корнями четвертой, шестой, восьмой и т. д.; а именно, любой корень с четным индексом. Будьте осторожны и не забывайте проверять свои решения, когда этого требует указатель. И помните, что вы возводите в квадрат (или куб, или что-то еще) стороны уравнения, а не отдельные члены.


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении радикальных уравнений. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку и выберите «Найти x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



URL-адрес: https://www.Purplemath.com/modules/solverad5.htm


Колледжская алгебра
Урок 19. Радикальные уравнения и Уравнения с рациональными показателями
WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория > Алгебра колледжа

 

Цели обучения


После завершения этого руководства вы сможете:
  1. Решение радикальных уравнений.
  2. Решите уравнения с рациональными показателями.

Введение


В этом уроке мы рассмотрим решение двух разных типов уравнений, радикальных уравнений и уравнений, имеющих рациональные показатели. Оба этих уравнения имеют одну и ту же конечную цель — получить вашу переменную с одной стороны и все остальное с другой с помощью обратных операций. Кроме того, после удаления радикального или рационального показателя в уравнениях в этом уроке они становятся либо линейным, либо квадратным уравнением. Хорошие новости и плохие новости, как упоминалось в других руководствах, много раз в математике вы используете предыдущие знания, чтобы помочь работать с новыми концепциями. Это хорошо, потому что вам не нужно подходить к проблеме полностью. новое и узнать все новые шаги. Это может быть ошеломляющим.это плохо, потому что вы должны помнить вещи из прошлого. Иногда мы приучаем себя истощать мозги после сдачи теста, а иногда забыть то, что мы узнали. Если вам нужен обзор радикалов в в общем, смело переходите к Tutorial 4: Радикалы . Если вам нужен обзор рациональных показателей в в общем, смело переходите к Tutorial 5: Рациональные показатели .Если вам нужен обзор по решению линейных уравнения, смело переходите к учебнику 14: Линейные уравнения с одной переменной . Если вам нужен обзор по решению квадратных уравнений смело переходите к Tutorial 17: Квадратные уравнения . Пройдя эту страницу, Вы должны быть старым профессионалом в работе с корнями. я думаю ты готов для решения этих уравнений.

 

 

Учебник



Решение радикальных уравнений

Шаг 1 Изолировать один из радикалов.

Другими словами, возьмите один радикал с одной стороны, а все остальное с другой. другие с использованием обратных операций.

В некоторых задачах есть только один корень. Однако есть некоторые проблемы, которые имеют более одного радикала. В этих проблемах убедитесь, что вы изолируете только один.

 

Шаг 2 : Избавиться вашего радикального знака.

Операция, обратная радикалу или корню, заключается в возведении его в степень. Какой показатель? Хороший вопрос, это будет показатель степени, который соответствует индекс или корневой номер вашего радикала.

Другими словами, если бы у вас был квадратный корень, вы должны были бы возвести его в квадрат. чтобы избавиться от него. Если бы у вас был кубический корень, вам пришлось бы кубировать чтобы избавиться от него и так далее.

Вы можете возвести обе стороны во 2-ю степень, 10-ю степень, сотую степень, и т.  д. Если вы делаете одно и то же с обеими частями уравнения, две стороны останутся равными друг другу.

 

Шаг 3 : Если вы все еще остался радикал, повторите шаги 1 и 2.  

Иногда вы начинаете с двух или более радикалов в своем уравнении. Если это так и у вас есть хотя бы один нерадикальный член, вы возможно, придется повторить шаги 1 и 2.

 

Шаг 4 : Решите оставшееся уравнение.

 

Шаг 5 Проверка для посторонних решений.

При решении радикальных уравнений могут появиться дополнительные решения, когда вы поднять обе стороны в четную степень. Эти дополнительные решения называются посторонние решения. Если значение является посторонним решение, это не решение исходной проблемы.

В радикальных уравнениях вы проверяете наличие посторонних решений, вставляя в значениях, которые вы нашли обратно в исходную задачу.Если левая сторона не равно правой части, то у вас есть постороннее решение.





Радикал в этом уравнении уже изолирован.



Если квадратный корень возвести в квадрат, он исчезнет. Это что мы хотим сделать здесь, чтобы получить x из-под квадратного корня и продолжайте решать его.


*Обратное действие извлечения квадратного корня равно возведению в квадрат это


Шаг 3 : Если вы все еще есть радикальные левые, повторите шаги 1 и 2.


Радикалов больше не существует, поэтому нам не нужно повторять шаги 1 и 2.


Шаг 4 : Решить оставшееся уравнение.




*Инверсия доп. 5 под. 5

*Инверсия множ. на 2 дел. по 2

 



Проверим, не является ли x = 22 лишним решение:



*22 шт. для x

*Правдивое утверждение


Поскольку мы получили истинное утверждение, x = 22 не является посторонним решением.

Существует одно решение этого радикального уравнения: x = 22.







*Инверсия доп. х это суб. х

*Квадратный корень сам по себе находится на одной стороне уравнения.



Если квадратный корень возвести в квадрат, он исчезнет.Это что мы хотим сделать здесь, чтобы получить x из-под квадратного корня и продолжайте решать его.



Будьте осторожны с этим.   Это ОЧЕНЬ ЗАХВАТЫВАЕТ возвести левую часть в квадрат почленно и получить 9 — x в квадрате или 9 + x в квадрате. Однако вы необходимо возвести его в квадрат, как показано выше. Вспомните, когда вы возведите в квадрат бином, вы получите первый член в квадрате минус удвоенное произведение двух членов плюс второй член в квадрате. Если вам нужен обзор по возведению бинома в квадрат, смело переходите к учебнику . 6: Многочлены .

Шаг 3 : Если вы все еще есть радикальные левые, повторите шаги 1 и 2.


Радикалов больше не существует, поэтому нам не нужно повторять шаги 1 и 2.


Шаг 4 : Решить оставшееся уравнение.


В этом примере уравнение, полученное в результате возведения обеих сторон в квадрат оказалось квадратным уравнением .

Если вам нужен обзор по решению квадратных уравнений, смело обращайтесь до . Урок 17. Квадратные уравнения.




Проверим, не является ли x = 6 посторонним решение:



*Подключение 6 для x

*Ложное утверждение


Поскольку мы получили ложное утверждение, x = 6 является посторонним решением.



Давайте проверим, является ли x = 2 посторонним решение:



*Подключение 2 для x

*Правдивое утверждение


Поскольку мы получили истинное утверждение, x = 2 равно решение.

У этого радикального уравнения есть только одно решение: x = 2.







*Обратное значение вспомогательного. кв. корень добавлен. кв. корень

*Один квадратный корень находится на одной стороне экв.



Если квадратный корень возвести в квадрат, он исчезнет.Это что мы хотим сделать здесь, чтобы получить и из-под квадратного корня и продолжайте решать его.


*Вращение квадратного корня обратное it
*Правая часть — двучлен в квадрате

 


Будьте осторожны с этим.   Это ОЧЕНЬ ЗАКУСОЧНО возвести правую часть в квадрат почленно и получить 1 + ( и + 1). Тем не менее, вам нужно квадрат это как сторона, как показано выше. Вспомните, что когда вы возводите в квадрат бином вы получаете первый член в квадрате плюс удвоенное произведение двух членов плюс второй член в квадрате. Если вам нужен обзор по возведению в квадрат бином, смело переходите к учебнику 6: Многочлены .

Шаг 3 : Если вы все еще есть левый радикал, повторите шаги 1 и 2.


*Инверсия доп. и и 2 под. и и 2

*Квадратный корень сам по себе находится на одной стороне уравнения.

*Обратное действие извлечения квадратного корня равно возведению в квадрат it
*Левая часть представляет собой двучлен в квадрате


Будьте осторожны с этим.   Это ОЧЕНЬ ЗАКУСОЧНО возвести в квадрат левую часть почленно и получить y в квадрате плюс 1. Однако вам нужно возвести его в квадрат, как показано выше. Вспомним, что когда вы возводите двучлен в квадрат, вы получаете первый член в квадрате плюс удвоенное произведение двух слагаемых плюс второй слагаемый в квадрате. Если вам нужен обзор по возведению в квадрат бинома, не стесняйтесь перейти к Tutorial. 6: Многочлены .

Шаг 4 : Решить оставшееся уравнение.


В этом примере уравнение, полученное в результате возведения обеих сторон в квадрат оказалось квадратным уравнением .

Если вам нужен обзор по решению квадратных уравнений, смело обращайтесь до . Урок 17. Квадратные уравнения.




Проверим, не является ли y = 3 посторонним решение:



*Подключение 3 для y

*Правдивое утверждение


Поскольку мы получили истинное утверждение, y = 3 является решением.


Проверим, не является ли y = -1 посторонним решение:



*Подключение -1 для y

*Правдивое утверждение


Поскольку мы получили истинное утверждение, y = -1 является решением.

У этого радикального уравнения есть два решения: y = 3 и y = -1.




Решение уравнений, имеющих Рациональный показатель

И можно записать в виде

где B — любое действительное число.


Шаг 1 Изолировать основание с рациональным показателем.

Другими словами, получить основание с рациональным показателем с одной стороны а все остальное на другом с помощью обратных операций.

 

Шаг 2 : Избавиться рационального показателя.

Операция, обратная рациональному показателю, заключается в возведении его в обратной этому показателю.
Это позволит избавиться от рационального показателя в выражении.

Например, если рациональный показатель равен 2/3, то обратная операция состоит в том, чтобы возвести обе стороны в степень 3/2.

Вы можете возвысить обе стороны до ЛЮБОЙ степени.Пока вы делаете то же самое к обеим сторонам уравнения, обе стороны останутся равными друг с другом.

 

Шаг 3 : Решите оставшееся уравнение.

 

Шаг 4 Проверка для посторонних решений.

При решении уравнений с рациональными показателями возможны дополнительные решения возникают, когда вы возводите обе стороны в четную степень. Эти дополнительные решения называются посторонними решениями. Если значение является посторонним решением, это не решение исходной проблемы.

В уравнениях с рациональными показателями вы проверяете наличие посторонних решений подставив найденные значения обратно в исходную задачу.Если левая сторона не равна правой стороне, чем у вас есть постороннее решение.






База с рациональным показателем уже изолирована.



Если вы возведете выражение, имеющее рациональный показатель к обратному этого рационального показателя показатель исчезнет.Этот это то, что мы хотим сделать здесь, чтобы мы могли получить x из-под рационального показателя и продолжить вычислять его.



*Обратно возведению в степень 3/2 это в степени 2/3

*Использовать по умолчанию. крыс. опыт

 


Шаг 3 : Решить оставшееся уравнение.


В этом примере уравнение, полученное в результате возведения обеих частей в степени 2/3 оказалось линейным уравнением .

Если вам нужен обзор решения линейных уравнений, смело обращайтесь к Tutorial 14: Линейные уравнения с одной переменной .



*Инверсия доп.1 под. 1

*Инверсия множ. на 3 дел. по 3

 



Проверим, не является ли x = 5 лишним решение:



*Подключение 5 для x

*Правдивое утверждение


Поскольку мы получили истинное утверждение, x = 5 является решением.

Существует одно решение этого уравнения с рациональными показателями: x = 5.






*Инверсия суб. 10 это доп. 10

*Инверсия множ. на 2 дел. по 2

*крыс.эксп. выражение само по себе с одной стороны экв.



Если вы возведете выражение, имеющее рациональный показатель к обратному этого рационального показателя показатель исчезнет. Этот это то, что мы хотим сделать здесь, чтобы мы могли получить x из-под рационального показателя и продолжить вычислять его.



*Обратное преобразование в степень 5/3 в степени 3/5


Шаг 3 : Решить оставшееся уравнение.


В этом примере уравнение, полученное в результате возведения обеих частей в степени 3/5 оказалось линейным уравнением .

Также обратите внимание, что это уже решено для x . Итак, нам не нужно ничего делать на этом шаге для этого примера.



Проверим, не является ли  посторонним решением:


*Подключение 5 к мощности 3/5 для x

*Правдивое утверждение


Поскольку мы получили верное утверждение, это решение.

У этого уравнения с рациональными показателями есть одно решение: .






*Инверсия доп. 1 под. 1

*крыс. эксп. выражение само по себе с одной стороны экв.



Если вы возведете выражение, имеющее рациональный показатель к обратному этого рационального показателя показатель исчезнет.Этот это то, что мы хотим сделать здесь, чтобы мы могли получить x из-под рационального показателя и продолжить вычислять его.


*Обратное преобразование в степень 5/2 это в степени 2/5
*Корень 5-й степени из -1 равен -1, а -1 в квадрате равен 1.


Шаг 3 : Решить оставшееся уравнение.


В этом примере уравнение, полученное в результате возведения обеих сторон в квадрат оказалось квадратным уравнением .

Если вам нужен обзор по решению квадратных уравнений, смело обращайтесь до . Урок 17. Квадратные уравнения.




Давайте проверим, является ли x = -4 посторонним решение:



*Подключение -4 для x


*Ложное утверждение


Поскольку мы получили ложное утверждение, x = -4 — постороннее решение.



Давайте проверим, не является ли x = -1 посторонним решение:



*Подключение -1 для x


*Ложное утверждение


Поскольку мы получили ложное утверждение, x = -1 является посторонним решением.

Это уравнение с рациональным показателем не имеет решения.

 

 

Практические задачи


Это тренировочные задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти виды проблем. Математика работает так же, как и все в противном случае, если вы хотите добиться в этом успеха, вам нужно практиковаться. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.

Чтобы получить максимальную отдачу от этого, вы должны решить проблему на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответа/обсуждения для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

 

Практика Задачи 1a — 1b: Решите каждое радикальное уравнение.
 

 

 

Практика Задачи 2a — 2b: Решите каждое уравнение с рациональным показателем.
 

 

 

Нужна дополнительная помощь по этим темам?



WTAMU > Виртуальная математическая лаборатория > Алгебра колледжа


Видео на этом сайте были созданы Кимом Сьюардом и Вирджинией Уильямс Трайс.
Последняя редакция Ким Сьюард от 16 декабря 2009 г.
Авторское право на все содержимое (C) 2002–2010, WTAMU и Ким Сьюард. Все права защищены.

Как делить квадратный корень

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Решение уравнения с радикалами — Концепция

Решение уравнений с радикалами, независимо от степени, включает в себя выделение радикала в одной части уравнения и последующее возведение обеих частей уравнения в степень радикала.Когда решает радикалы , последним шагом является выделение переменной. Если корней больше одного, мы изолируем и удаляем один корень, затем изолируем и удаляем другой корень. Наконец, мы решаем оставшееся уравнение для переменной.

Решение уравнений с радикалом. Так что всегда есть пара шагов, которые нам нужно сделать, когда мы решаем уравнения с радикалами, и они всегда будут примерно одинаковыми.
Первое, что мы хотим сделать, это изолировать наших радикалов. Так что получите квадратный корень или кубический корень или что-то еще само по себе.
Во-вторых, нам нужно избавиться от корня, и поэтому мы собираемся привести каждую сторону к власти. Если у него квадратный корень, мы хотим возвести в квадрат обе стороны, если у нас есть кубический корень, мы хотим возвести в квадрат обе стороны, и так далее, и тому подобное. Хорошо? И мы просто хотим решить эту проблему.
И, наконец, мы всегда должны проверять наши ответы, чтобы убедиться, что они работают. Итак, позади меня есть довольно прямой пример, и мы собираемся решить это, хорошо? Итак, первым делом мы хотим получить наш квадратный корень сам по себе.Что нам нужно сделать, так это добавить 3 к обеим сторонам. Квадратный корень из х равен 5. Для того, чтобы избавиться от квадратного корня нам нужно возвести в квадрат. Мы возводим в квадрат одну сторону, мы должны возвести в квадрат другую, чтобы сохранить равновесие, и в итоге мы получаем, что x равен 25, хорошо?
Распространенная ошибка заключается в том, что когда мы сравниваем вещи, люди хотят поставить плюс или минус. Ты что-то квадратируешь, всегда получается положительное ладно. Так что это просто одно положительное число, дающее нам x25, тогда нам нужно проверить, работает ли оно. Подставь 25. Квадратный корень из 25 равен 5 минус 3 равно 2, хорошо?
Итак, следуя нашим шагам, выделите наш квадратный корень, возведите его в соответствующую степень, решите и проверьте.Мы можем решить любое уравнение с радикалом.

Уравнения с квадратными корнями — Magoosh GRE

Уравнения с квадратными корнями. Тест иногда дает нам решить уравнение, включающее квадратный корень. В таком уравнении переменная будет стоять под радикалом. Так, например, это будет уравнение с квадратными корнями. Квадратный корень из х плюс 3 равен х минус 3. Мы решим это позже в видео.

В, так что это тип уравнения, о котором мы будем говорить в этом уроке.Конечно, мы извлекаем квадратный корень, возводя его в квадрат, и нам всегда разрешается возводить в квадрат обе стороны. Иногда для простейших радикальных уравнений все, что нам нужно сделать, это возвести в квадрат обе части. Так, например, если у нас есть что-то вроде квадратного корня из х плюс 2 равно 3.

Просто возведите в квадрат обе стороны, мы получим х плюс 2 слева, мы получим 9 справа, вычтем и мы получим х равно 7. Фантастика. Но это уравнение было слишком простым, чтобы его можно было увидеть в тесте. На самом деле тест не подарит нам что-то простое на блюдечке с голубой каемочкой, он будет немного сложнее.

Прежде чем мы продолжим, давайте подумаем об этом. Всегда ли верно для любого значения k, что если мы возьмем квадратный корень из k в квадрате, то вернемся к k? Другими словами, квадратный корень отменяет возведение в квадрат и всегда возвращает нас туда, откуда мы начали. Всегда ли это так?

И, конечно же, нет. Уравнение верно для положительных чисел и для 0. Но не для отрицательных значений k. Например, если k равно отрицательному числу 4, то, конечно же, возведя его в квадрат, мы получим положительное число 16.Отрицательное 4 в квадрате равно положительному 16.

И когда мы извлекаем квадратный корень из 16, мы получаем 4. Другими словами, мы не возвращаемся к исходному начальному числу. Так что это важно. Это говорит о том, что мы можем столкнуться с некоторыми проблемами, когда возникают отрицательные значения. Так что это на нашем радаре. Что происходит, когда мы получаем отрицательные значения, в частности, когда вещь под радикалом является отрицательной?

Мы должны обратить на это внимание. Получается, что в радикальных уравнениях надо учитывать посторонние корни.Когда мы делаем всю нашу алгебру правильно, включая возведение в квадрат обеих частей уравнения, алгебра может привести к ответам, которые на самом деле не работают в исходном уравнении. Это посторонние корни.

Так вот хочу подчеркнуть, речь не идет об ошибке, иными словами, даже если мы делаем всю алгебру правильно, просто в силу того, что мы возводим в квадрат, мы получаем лишние корни, лишние корни, которые не являются единицами которые фактически решают исходное уравнение. Важно понимать, что в радикальном уравнении будут возникать посторонние корни, даже если вы сделаете всю алгебру правильно.

Теперь мы можем взглянуть на уравнение, которое у нас было в начале. Итак, вот уравнение с самого начала. Итак, конечно, что мы сделаем, так это возведем обе стороны в квадрат. Конечно, тот бином, возведенный в правую сторону, мы, мы, мы превращаем его в х в квадрате минус 6х плюс 9. Возможно, вы помните схему квадрата разности.

Затем соберем все на одну сторону, так что получим квадратное число, равное 0. Разложим на множители, это очень просто, и получим два корня, 1 и 6.Теперь, как правило, с алгеброй вы думаете, что все в порядке, мы должны закончить, мы нашли значение X. Но с радикальными уравнениями мы должны быть осторожны. Знаем ли мы, что оба эти корня работают?

Может они оба есть, а может один из них посторонний корень. Итак, мы должны проверить наши ответы. Мы должны проверить каждый ответ, который мы нашли, чтобы убедиться, что он работает, потому что правильно, теперь, просто взглянув на них 1 и 6, мы не знаем. Являются ли они оба истинными корнями, они оба являются посторонними корнями? Работают ли они в исходном уравнении?

Единственный способ, который мы найдем, это подключить их.Итак, вот исходное уравнение. Вот корни, которые мы нашли из алгебры. Итак, прежде всего, мы проверим первое, x равно 1. Подставим его в левую часть, получим квадратный корень из 1 плюс 3 квадратный корень из 4, что равно 2. Подставим в правую сторону, получим 1 минус 3, что отрицательно 2.

Итак, две части уравнения не равны. Одна сторона равна 2, одна сторона равна минус 2. Так что этот корень не работает. Теперь мы проверим другой. Подключим его к левой стороне, получим квадратный корень из 6 плюс 3, конечно, это 9.Квадратный корень из 9 равен 3.

С другой стороны, мы получаем 6 минус 3, что также равно 3. Две стороны работают, так что одна действительно работает. И это решило проблему. Итак, у этого уравнения есть одно решение, которое работает, x равно 6. Это единственное решение, которое работает. X equals — это посторонний корень, потому что, хотя мы правильно следовали алгебре, и хотя алгебра дала нам этот корень, этот корень на самом деле не работает в исходном уравнении.

Нам нужно возвести в квадрат обе стороны, чтобы отменить радикал, но само это действие может дать посторонние корни.Если мы получим квадратное число после возведения в квадрат, что часто встречается в тесте, алгебра приведет к двум корням. Иногда работают оба корня. Иногда работает один корень, а один посторонний.

Иногда оба являются посторонними, и уравнение не имеет решения. Итак, вот проблема с практикой. Поставьте видео на паузу, а потом поговорим об этом. Хорошо. Итак, здесь у нас есть радикал с обеих сторон.

Радикал равен радикалу. Так что, конечно, мы просто будем выравнивать обе стороны. Получаем 2х минус 2 равно х минус 4.Ну, очень легко решить уравнение. И мы получаем, что x равно отрицательному значению 2. Хорошо, очень хорошо.

Но что произойдет, если мы подставим это обратно в исходное уравнение? Когда мы подключаем это, это приводит к квадратному корню из отрицательного значения с обеих сторон. Итак, мы получаем квадратный корень из отрицательной 6, а квадратный корень из отрицательной 6 — это нечто вне действительной системы счисления, оно не живет нигде на числовой прямой. Так что мы не можем сделать математику с этим. Вот только для наших целей это просто ошибка и это уравнение не имеет решения.

Наконец, имейте в виду, что мы должны возводить в квадрат обе стороны только тогда, когда радикал сам по себе находится на одной стороне уравнения. Если радикал появляется с другими терминами с одной стороны, нам придется изолировать радикал с одной стороны, прежде чем будет иметь смысл квадратировать обе стороны. Итак, вот видео с практической задачей, а потом мы поговорим об этом.

Итак, радикала как такового у нас нет. Итак, самое первое, что нам нужно сделать, это вычесть эти 2 с обеих сторон. Таким образом, мы получаем радикал, 4 минус 3x равно x минус 2.Теперь мы можем возвести обе стороны в квадрат. И, конечно же, мы получаем квадрат разницы.

Квадрат этого двучлена. И это расширяется до x в квадрате минус 4x плюс 4. Теперь мы собираемся вычесть 4 с обеих сторон и добавить 3X к обеим сторонам, и это приведет нас к x в квадрате минус x. Очень легко разложить это на множители на х, умноженное на х минус 1. Алгебра приводит нас к решениям: х равно 0 и х равно 1.

Теперь нам нужно проверить эти ответы. Хорошо. Итак, это те корни, которые нашла для нас алгебра.Прежде всего, проверьте, что x равно 0. Подставьте это в левую сторону, и мы получим 2 плюс корень 4, что равно 2 плюс 2, что равно 4.

Подставьте это в правую сторону, это 0. И конечно, 4 не равно 0. Так что этот не работает. Так что это будет посторонний корень. Теперь проверьте, что x равно 1. Подставьте это в левую часть, мы получим 2 плюс 4 минус 3 умножить на 1, так что 4 минус 3.

И, конечно же, это будет 1. Итак, это будет 2 плюс 1, что равно 3. И, конечно же, это не равно 1.Не равно x, который равен 1 на другой стороне уравнения. Так что и этот не работает. Так вот, ни один из корней, которые нам дала алгебра, не работает.

Значит, это уравнение просто не имеет решения. Оба решения, которые давала алгебра, были посторонними корнями. Таким образом, чтобы отменить радикальное уравнение, нам нужно возвести в квадрат обе его части. Мы должны двигаться, иногда перемещать что-то еще на другую сторону, чтобы изолировать радикал, прежде чем возвести его в квадрат.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск