Как найти корни по теореме виета: Теорема Виета

Posted on by alexxlab

Содержание

Теорема Виета

В математике существуют специальные приемы, с которыми многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при надлежащей тренировке многие начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

К сожалению, в современном курсе школьной математики подобные технологии почти не изучаются. А знать надо! И сегодня мы рассмотрим один из таких приемов — теорему Виета. Для начала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0 называется приведенным. Обратите внимание: коэффициент при x2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не накладывается.

Примеры:

  1. x2 + 7x + 12 = 0 — это приведенное квадратное уравнение;
  2. x2 − 5x + 6 = 0 — тоже приведенное;
  3. 2x2 − 6x + 8 = 0 — а вот это нифига не приведенное, поскольку коэффициент при x2 равен 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным — достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0.

Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо лишь тогда, когда в итоговом приведенном квадратом уравнении все коэффициенты будут целочисленными. А пока рассмотрим простейшие примеры:

Задача. Преобразовать квадратное уравнение в приведенное:

  1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
  2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
  3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
  4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x2. Получим:

  1. 3x2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x2 − 4x + 6 = 0 — разделили все на 3;
  2. −4x2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x2 − 8x − 4 = 0 — разделили на −4;
  3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x2 + 5x + 2 = 0 — разделили на 1,5, все коэффициенты стали целочисленными;
  4. 2x2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x2 + 3,5x − 5,5 = 0 — разделили на 2. При этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, приведенные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дроби.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета. Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x1 и x2. В этом случае верны следующие утверждения:

  1. x1 + x2 = −b. Другими словами, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком;
  2. x1 · x2 = c. Произведение корней квадратного уравнения равно свободному коэффициенту.

Примеры. Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

  1. x2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−9) = 9; x1 · x2 = 20; корни: x1 = 4; x2 = 5;
  2. x2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x1 + x2 = −2; x1
    · x2 = −15; корни: x1 = 3; x2 = −5;
  3. x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1 · x2 = 4; корни: x1 = −1; x2 = −4.

Теорема Виета дает нам дополнительную информацию о корнях квадратного уравнения. На первый взгляд это может показаться сложным, но даже при минимальной тренировке вы научитесь «видеть» корни и буквально угадывать их за считанные секунды.

Задача. Решите квадратное уравнение:

  1. x2 − 9x + 14 = 0;
  2. x2 − 12x + 27 = 0;
  3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
  4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Попробуем выписать коэффициенты по теореме Виета и «угадать» корни:

  1. x2 − 9x + 14 = 0 — это приведенное квадратное уравнение.
    По теореме Виета имеем: x
    1     + x2 = −(−9) = 9; x1 · x2 = 14. Несложно заметить, что корни — числа 2 и 7;
  2. x2 − 12x + 27 = 0 — тоже приведенное.
    По теореме Виета: x1 + x2 = −(−12) = 12; x1 · x2 = 27. Отсюда корни: 3 и 9;
  3. 3x2 + 33x + 30 = 0 — это уравнение не является приведенным. Но мы это сейчас исправим, разделив обе стороны уравнения на коэффициент a = 3. Получим: x2 + 11x + 10 = 0.
    Решаем по теореме Виета: x1 + x2 = −11; x1 · x2 = 10 ⇒ корни: −10 и −1;
  4. −7x2 + 77x − 210 = 0 — снова коэффициент при x2 не равен 1, т.е. уравнение не приведенное. Делим все на число a = −7. Получим: x2 − 11x + 30 = 0.
    По теореме Виета: x1 + x2 = −(−11) = 11; x1 · x
    2     = 30; из этих уравнений легко угадать корни: 5 и 6.

Из приведенных рассуждений видно, как теорема Виета упрощает решение квадратных уравнений. Никаких сложных вычислений, никаких арифметических корней и дробей. И даже дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений») нам не потребовался.

Разумеется, во всех размышлениях мы исходили из двух важных предположений, которые, вообще говоря, не всегда выполняются в реальных задачах:

  1. Квадратное уравнение является приведенным, т. е. коэффициент при x2 равен 1;
  2. Уравнение имеет два различных корня. С точки зрения алгебры, в этом случае дискриминант D > 0 — по сути, мы изначально предполагаем, что это неравенство верно.

Однако в типичных математических задачах эти условия выполняются. Если же в результате вычислений получилось «плохое» квадратное уравнение (коэффициент при x

2 отличен от 1), это легко исправить — взгляните на примеры в самом начале урока. Про корни вообще молчу: что это за задача, в которой нет ответа? Конечно, корни будут.

Таким образом, общая схема решения квадратных уравнений по теореме Виета выглядит следующим образом:

  1. Свести квадратное уравнение к приведенному, если это еще не сделано в условии задачи;
  2. Если коэффициенты в приведенном квадратном уравнении получились дробными, решаем через дискриминант. Можно даже вернуться к исходному уравнению, чтобы работать с более «удобными» числами;
  3. В случае с целочисленными коэффициентами решаем уравнение по теореме Виета;
  4. Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, забиваем на теорему Виета и решаем через дискриминант.

Задача. Решите уравнение: 5x2 − 35x + 50 = 0.

Итак, перед нами уравнение, которое не является приведенным, т.к. коэффициент a = 5. Разделим все на 5, получим: x

2 − 7x + 10 = 0.

Все коэффициенты квадратного уравнения целочисленные — попробуем решить по теореме Виета. Имеем: x1 + x2 = −(−7) = 7; x1 · x2 = 10. В данном случае корни угадываются легко — это 2 и 5. Считать через дискриминант не надо.

Задача. Решите уравнение: −5x2 + 8x − 2,4 = 0.

Смотрим: −5x2 + 8x − 2,4 = 0 — это уравнение не является приведенным, разделим обе стороны на коэффициент a = −5. Получим: x2 − 1,6x + 0,48 = 0 — уравнение с дробными коэффициентами.

Лучше вернуться к исходному уравнению и считать через дискриминант: −5x2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 82 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ … ⇒ x1 = 1,2; x2 = 0,4.

Задача. Решите уравнение: 2x

2 + 10x − 600 = 0.

Для начала разделим все на коэффициент a = 2. Получится уравнение x2 + 5x − 300 = 0.

Это приведенное уравнение, по теореме Виета имеем: x1 + x2 = −5; x1 · x2 = −300. Угадать корни квадратного уравнения в данном случае затруднительно — лично я серьезно «завис», когда решал эту задачу.

Придется искать корни через дискриминант: D = 52 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 352. Если вы не помните корень из дискриминанта, просто отмечу, что 1225 : 25 = 49. Следовательно, 1225 = 25 · 49 = 52 · 72 = 352.

Теперь, когда корень из дискриминанта известен, решить уравнение не составит труда. Получим: x1 = 15; x2 = −20.

Смотрите также:

  1. Следствия из теоремы Виета
  2. Как решать квадратные уравнения
  3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
  4. Задача B3 — работа с графиками
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 2 вариант

Обобщенная теорема Виета

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен x2 — 2012x + 2011.

Решение.

Легко видеть, что x = 1 является корнем трехчлена. Убеждаемся в этом простой подстановкой. По формуле Виета

x1x2 = 

 = 2011 1*x2 = 2011 x2 = 2011. Следовательно, x2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Ответ: x2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Пример 2. Разложить на множители квадратный трехчлен 2012x2 + 2011x — 1.

Решение.

Простой подстановкой легко проверяется, что x = -1 является корнем квадратного трехчлена. По формуле Виета

x1x2 = 

-1*x2 =  x
2 = .

Следовательно, 2012x2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x — 

) = (x+1)(2012x-1).

Ответ: 2012x2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x — 

) = (x+1)(2012x-1).

Таким образом, очень часто формулы Виета позволяют быстро подобрать целые корни квадратного трехчлена, не проводя громоздких вычислений. Кроме того, по коэффициентам трехчлена можно сделать выводы о знаках корней уравнения. Например, если корни трехчлена существуют, и

> 0, то или оба корня положительны, или оба отрицательны.

Пример 3. Определить знаки корней уравнения 5x2 — 33x + 10 = 0, не решая его.

Решение.

Дискриминант уравнения D = b2 — 4ac = 332 — 4*5*10 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. По формулам Виета

То есть x1x2 > 0, значит оба корня имеют одинаковый знак. Но сумма корней > 0, следовательно, оба корня положительные числа.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

Кроме того, формулы Виета позволяют быстро проверить, является ли заданный набор чисел корнями многочлена. В общем, формулы Виета – это очень полезный инструмент в решении самых разных задач с многочленами. Эти формулы для квадратного трехчлена даже изложены в стихах неизвестным автором:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе b, в знаменателе a.

Выпишем формулы Виета для многочлена третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для многочлена третьего порядка

Если a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, то

Формулы Виета для многочлена четвертого порядка

Если a(x) = a4*x4 + a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, то

Теорема Виетта 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение x2-7х+10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Докажем, что таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение, которое имеет корни.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой p, а свободный член буквой q:

x2+px+q=0

D=p2-4q

x1=-p-D2

x2=-p+D2

Найдем сумму корней:

x1+x2=-p-D2+-p+D2=-2p2=-p

Найдем произведение корней:

x1·x2=-p-D2·-p+D2=(-p-D)(-p+D)4=p2-D4

В числителе применили формулу разности квадратов. Теперь подставим вместо дискриминанта выражение для него:

p2-D4=p2-p2+4q4=4q4=q

Мы доказали теорему Виета, названную по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Ее можно записать и короче:

В уравнении вида x2+px+q=0 выполняется

x1+x2=-px1·x2=q

Справедливо утверждение и обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2+px+q = 0.

Рассмотрим применение теоремы Виета.

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения позволяет в некоторых случаях находить корни уравнения устно, не используя формулу корней.

Пример 1. Найти корни уравнения x2-3x+2 = 0.

Так как сумма корней равна 3, а произведение равно 2, очевидно, что корни равны 1 и 2:

1+2 = 3

1·2 = 2

Подставив числа 1 и 2 в уравнение, убедимся, что корни найдены правильно:

12-3·1+2 = 0

и

22-3·2+2 = 0

Ответ: 1; 2.

Пример 2. Найти корни уравнения x2+8x+15 = 0

Решение:

x1+x2 = -8

x1·x2 = 15

Методом подбора находим что корни равны -3 и -5:

(-3)+(-5) = -8

(-3)·(-5) = 15

Ответ: -3; -5.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно составлять квадратное уравнение по его корням.

Пример 3. Составить квадратное уравнение по его корням x1 = -3, x2 = 6.

Решение: так как x1 = -3, x2 = 6 – корни уравнения x2+px+q = 0, то по теореме, обратной теореме Виета, составим уравнения:

p = -(x1+x2) = -(-3+6) = -3

q = x1·x2 = -3·6 = -18

Следовательно, искомое уравнение:

x2-3x-18 = 0

Ответ: x2 — 3x — 18 = 0.

Теорема виета в иррациональных уравнениях. Формула корней квадратного уравнения

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x 1 +x 2 =-p; x 1 ∙x 2 =q.

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0) , второй коэффициент p=-1 , а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D =b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p ), а произведение равно свободному члену, т.е. (q ). Тогда:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30 , а сумма – единице . Это числа -5 и 6 . Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8 . Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D 1 D 1 =3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D 1 является полным квадратом числа 1 , значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6 , а произведение корней равно q=8 . Это числа -4 и -2 .

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0 . В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2 , а свободный член q=-4 . Найдем дискриминант D 1 , так как второй коэффициент – четное число. D 1 =1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод : корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам ). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x 1 =-7, x 2 =4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0 , причем, на основании теоремы Виета –p=x 1 +x 2 =-7+4=-3 → p=3; q=x 1 ∙x 2 =-7∙4=-28 . Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b , деленному на а , произведение корней равно с , деленному на а:

x 1 +x 2 =-b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида x ² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0. Например, уравнение 4x ² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x ² + x — 3/4 = 0. Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ax ² + bx + c = 0

Приведенное уравнение x ² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p , c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:

последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число. Для примера решим уравнение x ² — 14x — 15 = 0

В ответ запишем уравнение имеет два корня.

Для приведенного квадратного уравнения с положительным справедлива следующая теорема.

Теорема Виета

Если x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0, то справедливы формулы:

x 1 + x 2 = — р

x 1 * x 2 = q, то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:

Складывая эти равенства, получаем: x 1 + x 2 = —р.

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:


Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x 1 = x 2 = — р /2.

Не решая уравнения x ² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x 1 и x 2 . этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x ² — рx — 12 = 0 равен x 1 = 4. Найти коэффициент р и второй корень x 2 этого уравнения. По теореме Виета x 1 * x 2 = — 12, x 1 + x 2 = — р. Так как x 1 = 4, то 4x 2 = — 12, откуда x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишем, второй корень x 2 = — 3, коэффициент р = — 1.

Не решая уравнения x ² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x 1 и x 2 — корни уравнения. По теореме Виета x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Так как x 1 ²+ x 2 ² = (x 1 + x 2)² — 2x 1 x 2 , тогда x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x ² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.

Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.

В общем случае корни уравнения ax ² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Для получения этих формул достаточно разделить обе части данного квадратного уравнения на а ≠ 0 и применить к полученному приведенному квадратному уравнению теорему Виета. Рассмотрим пример, требуется составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x 1 = 3, x 2 = 4. Так как x 1 = 3, x 2 = 4 — корни квадратного уравнения x ² + px + q = 0, то по теореме Виета р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. В ответ запишем x ² — 7x + 12 = 0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа р , q , x 1 , x 2 таковы, что x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q , то x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Подставим в левую часть x ² + px + q вместо р выражение — (x 1 + x 2), а вместо q — произведение x 1 * x 2 . Получим: x ² + px + q = x ² — (x 1 + x 2) х + x 1 x 2 = x² — x 1 x — x 2 x + x 1 x 2 = (x — x 1) (x — x 2). Таким образом, если числа р , q , x 1 и x 2 связаны этими соотношениями, то при всех х выполняется равенство x ² + px + q = (x — x 1) (x — x 2), из которого следует, что x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. Рассмотрим пример, x ² — 5x + 6 = 0. Здесь р = — 5, q = 6. Подберем два числа x 1 и x 2 так, чтобы x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Заметив, что 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x 1 = 2, x 2 = 3 — корни уравнения x ² — 5x + 6 = 0.

Одним из методов решений квадратного уравнения является применение формулы ВИЕТА , которую назвали в честь ФРАНСУА ВИЕТА.

Он был известным юристом, и служил в 16 веке у французского короля. В свободное время занимался астрономией и математикой. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Достоинства формулы:

1 . Применив формулу, можно быстро найти решение. Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, затем из него вычитать 4ас, находить дискриминант, подставлять его значение в формулу для нахождения корней.

2 . Без решения можно определить знаки корней, подобрать значения корней.

3 . Решив систему из двух записей, несложно найти сами корни. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус. Произведение корней в приведенном квадратном уравнении равно значению третьего коэффициента.

4 . По данным корням записать квадратное уравнение, то есть решить обратную задачу. Например, этот способ применяют при решении задач в теоретической механике.

5 . Удобно применять формулу, когда старший коэффициент равен единице.

Недостатки:

1 . Формула не универсальна.

Теорема Виета 8 класс

Формула
Если x 1 и x 2 — корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 , то:

Примеры
x 1 = -1; x 2 = 3 — корни уравнения x 2 — 2x — 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Обратная теорема

Формула
Если числа x 1 , x 2 , p, q связаны условиями:

То x 1 и x 2 — корни уравнения x 2 + px + q = 0 .

Пример
Составим квадратное уравнение по его корням:

X 1 = 2 — ? 3 и x 2 = 2 + ? 3 .

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 — ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 — 3 = 1.

Искомое уравнение имеет вид: x 2 — 4x + 1 = 0.

Дискриминант, как и квадратные уравнения начинают изучать в курсе алгебры в 8 классе. Решить квадратное уравнение можно через дискриминант и с помощью теоремы Виета. Методика изучения квадратных уравнений, как и формулы дискриминанта достаточно неудачно прививается школьникам, как и многое в настоящем образовании. 2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. .

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения :

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней — это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Какой физический смысл дискриминанта?».

Давайте попробуем разобраться,

что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Так вот физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0) ,

или парабола ветвями вниз (a

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox .
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D

Неполные квадратные уравнения

Любое полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 можно привести к виду x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0 , если предварительно разделить каждое слагаемое на коэффициент a перед x 2 . А если ввести новые обозначения (b/a) = p и (c/a) = q , то будем иметь уравнение x 2 + px + q = 0 , которое в математике называется приведенным квадратным уравнением .

Корни приведенного квадратного уравнения и коэффициенты p и q связаны между собой. Это подтверждается теоремой Виета , названной так в честь французского математика Франсуа Виета, жившего в конце XVI века.

Теорема . Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту p , взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену q .

Запишем данные соотношения в следующем виде:

Пусть x 1 и x 2 различные корни приведенного уравнения x 2 + px + q = 0 . Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q .

Для доказательства подставим каждый из корней x 1 и x 2 в уравнение. Получаем два верных равенства:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Вычтем из первого равенства второе. Получим:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Первые два слагаемых раскладываем по формуле разности квадратов:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

По условию корни x 1 и x 2 различные. Поэтому мы можем сократить равенство на (x 1 – x 2) ≠ 0 и выразить p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Первое равенство доказано.

Для доказательства второго равенства подставим в первое уравнение

x 1 2 + px 1 + q = 0 вместо коэффициента p равное ему число – (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

Преобразовав левую часть уравнения, получаем:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, что и требовалось доказать.

Теорема Виета хороша тем, что, даже не зная корней квадратного уравнения, мы можем вычислить их сумму и произведение .

Теорема Виета помогает определять целые корни приведенного квадратного уравнения. Но у многих учащихся это вызывает затруднения из-за того, что они не знают четкого алгоритма действия, особенно если корни уравнения имеют разные знаки.

Итак, приведенное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + q = 0, где x 1 и x 2 его корни. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q.

Можно сделать следующий вывод .

Если в уравнении перед последним членом стоит знак «минус», то корни x 1 и x 2 имеют различные знаки. Кроме того, знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении.

Исходя из того, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, а перед полученным результатом ставится знак большего по модулю числа, следует действовать следующим образом:

  1. определить такие множители числа q, чтобы их разность была равна числу p;
  2. поставить перед меньшим из полученных чисел знак второго коэффициента уравнения; второй корень будет иметь противоположный знак.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1 .

Решить уравнение x 2 – 2x – 15 = 0.

Решение .

Попробуем решить данное уравнение с помощью предложенных выше правил. Тогда можно точно сказать, что данное уравнение будет иметь два различных корня, т.к. D = b 2 – 4ac= 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

Теперь из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2. Это будут числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим знак «минус», т.е. знак второго коэффициента уравнения. Таким образом, получим корни уравнения x 1 = -3 и x 2 = 5.

Ответ. x 1 = -3 и x 2 = 5.

Пример 2 .

Решить уравнение x 2 + 5x – 6 = 0.

Решение .

Проверим, имеет ли данное уравнение корни. Для этого найдем дискриминант:

D = b 2 – 4ac= 25 + 24 = 49 > 0. Уравнение имеет два различных корня.

Возможные множители числа 6 — это 2 и 3, 6 и 1. Разность равна 5 у пары 6 и 1. В этом примере коэффициент второго слагаемого имеет знак «плюс», поэтому и меньшее число будет иметь такой же знак. А вот перед вторым числом будет стоять знак «минус».

Ответ: x 1 = -6 и x 2 = 1.

Теорему Виета можно записать и для полного квадратного уравнения. Так, если квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни x 1 и x 2 , то для них выполняются равенства

x 1 + x 2 = -(b/a) и x 1 · x 2 = (c/a) . Однако применение этой теоремы в полном квадратном уравнении довольно проблематично, т.к. при наличии корней, хотя бы один из них является дробным числом. А работать с подбором дробей достаточно трудно. Но все-таки выход есть.

Рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Умножим его левую и правую части на коэффициент a. Уравнение примет вид (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Теперь введем новую переменную, например t = ax.

В этом случае полученное уравнение превратиться в приведенное квадратное уравнение вида t 2 + bt + ac = 0, корни которого t 1 и t 2 (при их наличии) могут быть определены по теореме Виета.

В этом случае корни исходного квадратного уравнения будут

x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).

Пример 3 .

Решить уравнение 15x 2 – 11x + 2 = 0.

Решение .

Составляем вспомогательное уравнение. Умножим каждое слагаемое уравнения на 15:

15 2 x 2 – 11 · 15x + 15 · 2 = 0.

Делаем замену t = 15x. Имеем:

t 2 – 11t + 30 = 0.

По теореме Виета корнями данного уравнения будут t 1 = 5 и t 2 = 6.

Возвращаемся к замене t = 15x:

5 = 15x или 6 = 15x. Таким образом, x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Сокращаем и получаем окончательный ответ: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

Ответ. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.

Чтобы освоить решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета, учащимся необходимо как можно больше тренироваться. Именно в этом и заключается секрет успеха.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Теорема Виета. Обратная теорема. Теорема об определении знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам

Теорема Виета. Обратная теорема. Теорема об определении знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам

Свойства корней квадратного уравнения, их связь с коэффициентами уравнения, о которых пойдёт речь в этом пункте, впервые были установлены французским математиком Франсуа Виетом (1540-1603).

Теорема (Виета). Пусть дано квадратное уравнение

у которого дискриминант неотрицателен Тогда корни , , и коэффициенты а,b,c этого уравнения связаны между собой системой соотношений:

Доказательство. Пусть , — корни уравнения.

1) Рассмотрим сумму корней . Согласно формуле корней квадратного уравнения имеем

2) Аналогично для произведения корней получим

Замечание. Формулы для суммы и произведения корней квадратного уравнения остаются верными и в случае, когда уравнение имеет единственный корень . В этом случае следует положить в указанных формулах .

Пример №157.

При каком значении k корни уравнения будут противоположными числами?

Решение:

Воспользуемся для решения задачи теоремой Виета. Во-первых, для того чтобы уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неотрицателен. Во-вторых, условие противоположности корней можно записать в виде . По теореме Виета сумма корней уравнения равна . Тогда задача сводится к решению системы

Обратная теорема к теореме Виета формулируется для приведённого уравнения. Это объясняется тем, что, зная два корня, невозможно однозначно определить все три коэффициента уравнения, поэтому для определённости полагают старший коэффициент .

Теорема (обратная теореме Виета). Если данные действительные числа и таковы, что

то и являются корнями приведённого квадратного уравнения

Доказательство. Так как по условию

Подставим в квадратный трёхчлен вместо коэффициентов b и c полученные выражения:

Уравнение — очевидно, имеет корни и (и никаких других). Следовательно, равносильное ему уравнение также имеет эти корни.

Из теоремы Виета и обратной к ней теоремы вытекает следующая теорема, позволяющая без решения квадратного уравнения (т.е. без нахождения в явном виде корней и ), пользуясь только знанием коэффициентов а,b,c , определить знаки его корней. Сформулируем эти необходимые и достаточные условия.

Теорема (об определении знаков корней квадратного уравнения по известным коэффициентам). Пусть квадратное уравнение имеет действительные корни. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) уравнение имеет два положительных корня

2) уравнение имеет два отрицательных корня

3) уравнение имеет корни разных знаков

4) уравнение имеет положительный и нулевой корни

5) уравнение имеет отрицательный и нулевой корни


6) уравнение имеет два нулевых корня

Приведённая теорема играет важную роль при решении задач, связанных с исследованием расположения корней квадратного уравнения относительно точки x = 0, т. е. связанных с исследованием их знаков.

Пример №158.

Найти, при каких значениях параметра m уравнение имеет два различных действительных корня и они оба положительны.

Решение:

Во-первых, чтобы действительные корни существовали и были различны, необходимо и достаточно выполнения условия D > 0 . Во-вторых, для учёта положительности корней воспользуемся последней из теорем. Таким образом, искомые значения параметра ищем как решения системы

Пример №159.

Известно, что квадратное уравнение

имеет корни. Не решая уравнения, определить знаки его корней.

Решение:

Воспользуемся последней из сформулированных теорем. 1) Выясним, например, при каких значениях параметра данное приведённое уравнение имеет корни разных знаков. Для этого необходимо и достаточно, чтобы свободный член 2 — 3а < 0, т.е. при а > 2/3 .

2) Выясним теперь, при каких значениях параметра оба корня отрицательны. Нахождение таких а сводится к решению системы

3) Осталось исследовать значение а = 2/3 . При этом значении параметра обнаруживаем, что сумма корней, равная 2а — 3 , отрицательна, а произведение корней, равное 2 — 3а , равно нулю. Поэтому в силу той же теоремы делаем вывод: один корень отрицателен, другой равен нулю.

Кроме того, при решении задач, связанных с теоремой Виета, могут оказаться полезными следующие соотношения [24], выражающие некоторые распространенные комбинации чисел , и , через их сумму и произведение:

Такого рода преобразования используются при решении квадратных уравнений, коэффициенты которых содержат параметр, а постановка задачи имеет форму: «не решая уравнения, найти », «при каких значениях параметра уравнение имеет действительные корни с заданной суммой квадратов», «при каких значениях параметра уравнение имеет действительные корни, произведение которых меньше заданного числа» и т. п.

Пример №160.

Пусть (х;у) — решение системы уравнений

При каком значении произведение ху принимает наибольшее значение?

Решение:

Поскольку , то система равносильна системе

Согласно обратной теореме Виета, числа Зх и у являются корнями квадратного уравнения

Для их существования необходимо и достаточно выполнения условия неотрицательности дискриминанта:

Задача свелась к нахождению наибольшего значения

как квадратичной функции на отрезке [2,4]. Поскольку на этом отрезке данная функция монотонно возрастает, то она принимает своё наибольшее значение на его правом конце, т.е. при

Итак,

Пример №161.

Дано: , и — корни квадратного уравнения Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени, корни которого и

Решение:

Требуемое уравнение будем искать в виде

Учитывая, что согласно теореме Виета для исходного уравнения

(по условию ), окончательно получаем:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Теорема виета в задачах с параметрами

Г ОРОДСКОЙ МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР УПРАВЛЕНИЯ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА КОСТРОМЫ

Теорема Виета в задачах с параметрами.

КОСТРОМА

2006

Теорема Виета в задачах с параметрами: В помощь учителю / Составитель С. А. Сорокина. – Кострома, 2006. – 8 с.

Составитель пособия «Теорема Виета в задачах с параметрами» — Почётный работник Российской Федерации, учитель математики высшей квалификационной категории МОУ лицея №17 города Костромы Сорокина Светлана Анатольевна. Светлана Анатольевна работает в классах углублённого изучения математики. Её учащиеся – призёры и победители математических олимпиад различных уровней.

В пособии представлен практикум «Теорема Виета в задачах с параметрами» и один из способов решения заданий практикума.

Задания расположены в порядке возрастания сложности и носят обучающий характер.

Рецензент:

Л. К. Борткевич – методист ГМЦ

Ó С.А. Сорокина

Ó Оформление и вёрстка Л. К. Борткевич

Теорема Виета в задачах с параметрами.

Теорема. Если квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет корни x1 и x2 ,то для них справедливы соотношения — , .

Задачи.

1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

3. В уравнении сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.

4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения равна 10.

5. В уравнении квадрат разности корней равен 16.Найдите а.

6. Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения равна 1.

7. При каких значениях а сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

12. При каких значениях p и q корни уравнения равны и ?

13. Не решая уравнения найти, при каком значении а один из корней в 2 раза больше другого.

14. В уравнении определить а так, чтобы отношение корней равнялось 2.

15. При каких значениях параметра а разность корней уравнения равна их произведению?

16. Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите а и корни каждого из этих уравнений.

17. Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите a и b и корни каждого из уравнений.

18. При каких значениях коэффициента с один из корней уравнения равен квадрату другого корня?

19. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три корня?

20. При каком а уравнение имеет два отрицательных корня?

Решения и ответы.

1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Решение.

По теореме Виета имеем = и по условию =0. Корнями уравнения =0 являются числа 3 и 4. При k=3 и k=4 получим уравнение , произведение корней которого равно 0.

Ответ:3;4.

2. При каких значениях k сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

Решение.

По условию =0, по теореме Виета имеем =.

Корнями уравнения являются числа 1 ,-5. При k=1 получим уравнение , сумма корней которого равна 0. При k = -5 получим уравнение , которое не имеет корней.

Ответ:1.

3. В уравнении сумма квадратов корней равна 16.Найдите а.

Решение.

По теореме Виета имеем =4, = а. По условию =16.

42-2а=16, а=0

При а = 0 уравнение имеет корни, сумма квадратов которых равна 16.

Ответ: 0.

4. Найдите все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения равна 10.

Решение.

Для того, чтобы сумма квадратов корней уравнения равнялась какой-либо величине, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным, т.е. а2-4(а+7). При таких а у исходного уравнения найдутся (возможно, совпадающие) корни x1 и x2. Запишем для них теорему Виета: = а, = а+7 . Теперь, не вычисляя корней, можно найти сумму их квадратов через а:

== а2-2(а+7) Согласно условию, эта сумма квадратов равна 10, откуда получаем квадратное уравнение а2-2(а+7)=10, корнями которого являются числа 6 и -4. При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицательный, а при а = -4 положительный.

Ответ: а = -4.

5. В уравнении квадрат разности корней равен 16.Найдите а.

Решение.

По теореме Виета имеем =2, = а. Чтобы корни существовали, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным, 4-4а, т.е. а. По условию

4-4а=16

а = -3, -3.

Ответ: а = -3.

6. Найдите все значения а, для которых разность корней уравнения равна 1.

Решение.

По теореме Виета =; =. Следовательно, =.

По условию =1. Значит, а1=9, а2=-3. При данных значениях параметра а дискриминант исходного уравнения больше нуля.

Ответ: 9, -3.

7. При каких значениях а, сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней?

Решение.

По теореме Виета =2а, =2а-1. По условию =.

=

2а=(2а)2-2(2а-1),

а=1, а =.

При а =1 уравнение имеет корень 1 , при а = уравнение имеет корни 1 и 0.

Ответ: 1 , .

8. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наименьшая?

Решение.

По теореме Виета имеем = m-2, = —m-3

==(2-m)2-2(-m-3)=m2-2m +10=(m-1)2+9.

Сумма квадратов корней наименьшая при m =1. При m=1 уравнение имеет два корня.

Ответ: 1.

9. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения наибольшая?

Решение.

По теореме Виета имеем = —m+1, = m2-1,5.

==(-m+1)2-2(m2-1,5)= —m2-2m+4= -(m+1)2+5

При m= -1 выражение -(m+1)2+5 принимает наибольшее значение. При m = -1 уравнение имеет корни.

Ответ: -1.

10. При каких значениях коэффициента b сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение?

Решение.

Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом:

==b2-2.

Выражение b2-2 принимает наименьшее значение при b=0. При этом значении b сумма квадратов корней отрицательна. Надо обязательно добавить условие неотрицательности дискриминанта b2-4. Теперь уже нетрудно заключить, что сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение при b=

Ответ:

11. Найдите сумму квадратов всех корней уравнения .

Решение.

Пусть = t. Рассмотрим уравнение . >0, по теореме Виета t1+t2=3, =1.

Уравнение имеет два положительных корня, следовательно, исходное уравнение имеет 4 корня. Причем t1=, t2=

+==2(=2((t1+t2)2-2t1t2)=2(9-2)=14

Ответ: 14.

12. При каких значениях p и q корни уравнения равны и ?

Решение.

Пусть . По теореме Виета имеем = —p, =q, =p2-4q, следовательно, ;

q= -6p

q.

Если q=0, то p=0, =0, если p=1, то q= -6, >0. Уравнение имеет корни.

Ответ: p=q=0 или p=1, q= -6.

13. Не решая уравнения найти, при каком а один из корней в 2 раза больше другого.

Решение.

По условию . По теореме Виета имеем .

Значит, При а = 4 уравнение имеет корни 6 и 3.

Ответ: 4.

14. В уравнении определить а так, чтобы отношение корней равнялось 2.

Решение.

Пусть х — корень уравнения. Тогда второй корень 2х.

При a= получим уравнение , корни которого -3 и -6.

Ответ:

15. При каких значениях параметра а разность корней уравнения равна их произведению?

Решение.

Имеем ;

По условию

При а=1 уравнение имеет корни 1 и ,

при а = уравнение имеет корни и , разность которых равна их произведению.

Ответ: 1, .

16. Известно, что корни уравнения на 1 меньше корней уравнения . Найдите а и корни каждого из этих уравнений.

Решение.

Пусть и — корни уравнения .

По условию +1 и +1 корни уравнения .

По теореме Виета имеем

Отсюда a+5+1=3a-6, a=6.

При а = 6 уравнение имеет корни 2 и 3, а уравнение имеет корни 3 и 4.

Ответ: а = 6, 2 и 3 — корни первого уравнения, 3 и 4 — корни второго уравнения.

17. Известно, что корни уравнения равны соответственно квадратам корней уравнения . Найдите a и b и корни каждого из уравнений.

Решение.

По условию и теореме Виета имеем

Отсюда b=36, ==

При b = 36 уравнение имеет корни 9 и 4.

При а = 5 уравнение имеет корни -2 и -3.

При а = -5 уравнение имеет корни 2 и 3.

Ответ: при а = -5, b=36 корни первого уравнения 2 и 3,

корни второго уравнения 4 и 9

при а =5 , b=36 корни первого уравнения -2 и -3,

корни второго уравнения 4 и 9

18. При каких значениях коэффициента с корень уравнения равен квадрату другого корня?

Решение.

Пусть числа и являются корнями этого уравнения.

Тогда по теореме Виета должны выполнятся равенства и .

Поскольку корень должен быть равен квадрату корня , то подставим выражение =2 в эти два уравнения.

Получим систему .

Первое уравнение этой системы является квадратным и имеет два корня и .

Подставляя эти значения во второе уравнение системы, получаем два уравнения

и . Решая эти уравнения, получим с =1 и с = -27.

При этих значениях с дискриминант больше 0.

Ответ:— 27,1.

19. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно три корня?

Решение.

Чтобы заданное уравнение имело три корня, необходимо, чтобы корни одного из сомножителей заданного уравнения совпадали.

Итак, имеем , если дискриминант равен нулю.

Значит а = -3. Но если а = -3, то при любом x, второй сомножитель отрицателен, что невозможно.

Рассмотрим равенство нулю второго сомножителя: Его корни совпадают, если а+1=0 , т. е. а = -1.

При а = -1 первый сомножитель имеет два корня .

Ответ: -1.

20. При каком а уравнение имеет два отрицательных корня?

Решение.

=(2а-3)2 -4(а+5)(а-10)=8а+209>0

Корни будут иметь одинаковые знаки, если

Оба корня будут отрицательны, если при этом

Таким образом, задача свелась к решению системы неравенств 8а+209>0

Ответ:

формула, примеры с решением, приведенное квадратное уравнение и его корни

Приведенное квадратное уравнение и его корни

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:

$$ x^2+bx+c = 0 $$

Для корней $x_1$ и $x_2$ приведенного квадратного уравнения (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ x^2+bx+c = (x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ x_1+x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c $$

Например:

$$ x^2+5x-6 = (x+6)(x-1) $$

$$ x_1 = -6, x_2 = 1, \quad x_1+x_2 = -5, \quad x_1 x_2 = -6 $$

Теорема Виета

Для корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2+bx+c = 0$ (при $D \ge 0$) справедливо следующее:

$$ ax^2+bx+c = a(x-x_1 )(x-x_2 ) $$

$$ x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} $$

Например:

$$ 2x^2+5x-3 = 2 \left(x-\frac{1}{2} \right)(x+3) $$

$$ x_1 = \frac{1}{2}, x_2=-3, \quad x_1+x_2=-\frac{5}{2}, \quad x_1 x_2 = — \frac{3}{2} $$

Примеры

Пример 1. 2 — 5x + 6 $ сумма корней равна 5, а произведение равно 6.2 + a (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) x — ar_1r_2r_3 \
\ end {выровнено} $

$ \ подразумевает \ в штучной упаковке {r_1 + r_2 + r_3 = — \ frac {b} {a}}

$

$ \ подразумевает \ в штучной упаковке {r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \ frac {c} {a}}

$

$ \ implies \ boxed {r_1r_2r_3 = — \ frac {d} {a}}

$

Опять же, следует отметить, что знаки чередуются. Знак суммы корней всегда отрицательный.

Мы могли бы следовать тому же процессу, чтобы найти формулы для степеней 4, 5 и так далее, и так далее. Однако здесь есть закономерность.2 $

  • Мы можем выбрать $ 1 $ x $ и два корня, давая $ ((- r_1) \ cdot (-r_2) + (-r_1) \ cdot (-r_3) + (-r_2) \ cdot (-r_3)) x = (r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3) x

    долларов

  • Мы можем выбрать не $ x $ s и три корня, давая $ ((- r_1) \ cdot (-r_2) \ cdot (-r_3)) = -r_1r_2r_3 $

    • Каждый последующий член представляет собой сумму произведений корней, взятых в разных количествах за один раз . $ r_1 + r_2 + r_3 $ — это сумма произведений корней, взятых по одному, поскольку умножение константы ни на что и есть сама константа.$ r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 $ — это сумма произведения корней, взятых по два за раз — он включает все 3 возможные комбинации двух разных корней, умноженных вместе. $ r_1r_2r_3 $ — это сумма произведения корней, взятых по три за раз — есть только один способ взять сразу три элемента, и это один способ.

    Следуя этому шаблону, мы можем найти расширение (и расширение Виета) для полинома четвертой степени без необходимости выполнять какое-либо раскрытие вручную. Пусть $ p (x) $ имеет корни $ r_1, r_2, r_3, r_4 $.4 \ end {align}

    долл. США

    Симметричные суммы

    Формулы Виета дают нам выражения для суммы корней и произведения корней многочленов. Однако нам также даны выражения для сумм, например, вида $ r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 $.

    Симметричная сумма — это сумма, значение которой не изменяется при изменении порядка переменных. Например, $ f (a, b, c) = ab + ac + bc $ является симметричным, потому что в любой перестановке наших переменных $ a, b, c $ значение остается прежним:

    $ \ begin {align} f (a, b, c) & = ab + ac + bc = ab + ac + bc \\ f (a, c, b) & = ac + ab + cb = ab + ac + bc \\ f (b, a, c) & = ba + bc + ac = ab + ac + bc \\ f (b, c, a) & = bc + ba + ca = ab + ac + bc \\ f (c, a, b) & = ca + cb + ab = ab + ac + bc \\ f (c, b, a) & = cb + ca + ba = ab + ac + bc \ end {выровнено} $

    Точнее, с $ n = 4 $:

    $ \ begin {align} S_1 & = a + b + c + d \\ S_2 & = ab + ac + ad + bc + bd + cd \\ S_3 & = abc + abd + acd + bcd \\ S_4 & = abcd \ end {align}

    долл. США

    Примеры проблем

    Вам следует попробовать каждую из этих проблем самостоятельно, прежде чем искать решения, которые следуют ниже.{100} = 4 \ cdot (-300) — 300 = \ boxed {-1500}

    долларов США

    ФОРМУЛЫ ВЬЕТЫ

    Его 6 корней равны X1 = 2 X2 = -3 X3 = 4 X4 = -5 X5 = 6 X6 = -7
    а его 7 коэффициентов равны a = 3 b = 9 c = -195 d = -405 e = 3,432 f = 3,636 g = -15,120

    Приведем 6 формул Виета для шестнадцатеричных уравнений, а затем
    заполните левую часть формул корнями уравнения и правую часть формул коэффициентами уравнения.

    X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = — (б / а)
    2-3 + 4-5 +6-7 = — (9/3)

    (X1 • X2) + (X1 • X3) + (X1 • X4) + (X1 • X5) + (X1 • X6) + (X2 • X3) + (X2 • X4) + (X2 • X5) + (X2 • X6) + (X3 • X4) + (X3 • X5) + (X3 • X6) + (X4 • X5) + (X4 • X6) + (X5 • X6) = (c / a)
    (2 • -3) + (2 • 4) + (2 • -5) + (2 • 6) + (2 • -7) + (-3 • 4) + (-3 • -5) + (- 3 • 6) + (-3 • -7) + (4 • -5) + (4 • 6) + (4 • -7) + (-5 • 6) + (-5 • -7) + (6 • -7) = (-195 / 3)

    (X1 • X2 • X3) + (X1 • X2 • X4) + (X1 • X2 • X5) + (X1 • X2 • X6) + (X1 • X3 • X4) + (X1 • X3 • X5) + (X1 • X3 • X6) + (X1 • X4 • X5) + (X1 • X4 • X6) + (X1 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4) + (X2 • X3 • X5) + (X2 • X3 • X6) + (X2 • X4 • X5) + (X2 • X4 • X6) + (X2 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5) + (X3 • X4 • X6) + (X3 • X5 • X6 ) + (X4 • X5 • X6) = — (d / a)
    (2 • -3 • 4) + (2 • -3 • -5) + (2 • -3 • 6) + (2 • -3 • -7) + (2 • 4 • -5) + (2 • 4 • 6) + (2 • 4 • -7) + (2 • -5 • 6) + (2 • -5 • -7) + (2 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 ) + (-3 • 4 • 6) + (-3 • 4 • -7) + (-3 • -5 • 6) + (-3 • -5 • -7) + (-3 • 6 • -7 ) + (4 • -5 • 6) + (4 • -5 • -7) + (4 • 6 • -7) + (-5 • 6 • -7) = — (- 405/3)

    (X1 • X2 • X3 • X4) + (X1 • X2 • X3 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5) + (X2 • X3 • X4 • X6) + (X2 • X3 • X5 • X6) + (X2 • X4 • X5 • X6) + (X3 • X4 • X5 • X6) = (э / а)
    (2 • -3 • 4 • -5) + (2 • -3 • 4 • 6) + (2 • -3 • 4 • -7) + (2 • -3 • -5 • 6) + (2 • -3 • -5 • -7) + (2 • -3 • 6 • -7) + (2 • 4 • -5 • 6) + (2 • 4 • -5 • -7) + (2 • 4 • 6 • -7) + (2 • -5 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 • 6) + (-3 • 4 • -5 • -7) + (-3 • 4 • 6 • -7) + ( -3 • -5 • 6 • -7) + (4 • -5 • 6 • -7) = (3,432 / 3)

    (X1 • X2 • X3 • X4 • X5) + (X1 • X2 • X3 • X4 • X6) + (X1 • X2 • X3 • X5 • X6) + (X1 • X2 • X4 • X5 • X6) + (X1 • X3 • X4 • X5 • X6) + (X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = — (f / a)
    (2 • -3 • 4 • -5 • 6) + (2 • -3 • 4 • -5 • -7) + (2 • -3 • 4 • 6 • -7) + (2 • -3 • — 5 • 6 • -7) + (2 • 4 • -5 • 6 • -7) + (-3 • 4 • -5 • 6 • -7) = — (3,636 / 3)

    (X1 • X2 • X3 • X4 • X5 • X6) = (г / год)
    (2 • -3 • 4 • -5 • 6 • -7) = (-15,120 / 3)

    • • • • • • • • • • Если вам нужно определить формулы Виета для других уравнений, следующая информация может оказаться очень полезной.

    Квадратичные уравнения (многочлены второй степени)


    Левая часть уравнения Правая сторона
    Сумма двух корней = — (b / a) Произведение 2 корней = (c / a)

    Кубические уравнения (многочлены третьей степени)
    Сумма всех трех корней = — (b / a)
    C (3, 2)
    Сумма 3 возможных двухчленных произведений =    		 (c / a)
    Произведение всех 3 корней = — (d / a)

    Уравнения четвертой степени (многочлены четвертой степени)
    Сумма всех 4 корней = — (b / a)
    C (4, 2)
    Сумма 6 возможных двухчленных произведений =    		 (c / a)
    C (4, 3)
    Сумма 4 возможных трехчленных произведений =    		 — (d / a)
    Произведение всех 4 корней = (e / a)

    Уравнения пятой степени (многочлены пятой степени)
    Сумма всех 5 корней = — (b / a)
    C (5, 2)
    Сумма 10 возможных двухчленных произведений =    		 (c / a)
    C (5, 3)
    Сумма 10 возможных трехчленных произведений =    		 — (d / a)
    C (5, 4)
    Сумма 5 возможных 4-членных произведений =    		 (e / a)
    Произведение всех 5 корней = — (f / a)

    Шестические уравнения (полиномы шестой степени)
    Сумма всех 6 корней = — (b / a)
    C (6, 2)
    Сумма 15 возможных двухчленных произведений =    		 (c / a)
    C (6, 3)
    Сумма 20 возможных трехчленных произведений =    		 — (d / a)
    C (6, 4)
    Сумма 15 возможных 4-членных произведений =    		 (e / a)
    C (6, 4)
    Сумма 6 возможных 5-членных произведений =    		 — (f / a)
    Произведение всех 6 корней = (g / a)

    (PDF) Формула Виета о сумме Корни многочленов

    Формула Виета о сумме корней многочленов 91

    (30) Рассмотрим алгебраическое замкнутое поле L, а ненулевые многочлены

    p, qover L. Предположим, что len p2. Тогда SumRoots (p ∗ q) = SumRoots (p) +

    SumRoots (q).

    Доказательство: Определите P [натуральное число] ≡ для любого ненулевого многочлена f

    над L, такого что $ 1 = len удерживает SumRoots (f ∗ q) = SumRoots (f) +

    SumRoots (q). П [2]. Для любого нетривиального натурального числа k, такого что P [k]

    , выполняется P [k + 1] согласно [6, (29)], [1, (11)], [8, (17), (50)]. Для каждого нетривиального

    натурального числа k, P [k] из [6, Sch. 2]. 

    (31) Рассмотрим алгебраическую замкнутую область целостности L, ненулевой многочлен L и конечную последовательность r элементов L.Предположим, что ris one-to-

    one и len r = len p − 01 и Roots (p) = rng r. Тогда Pr = SumRoots (p).

    Доказательство: Установить B = BRoots (p). Установите s = support B. Установите L1 = len r7 → 1.

    Рассмотрим f как конечную последовательность элементов N, такую, что степень (B) =

    Pf и f = B · CFS (s). Рассмотрим E = CFS (s) как конечную последовательность из

    элементов L. Для каждого натурального числа j, такого что j∈Seg len, имеет

    f (j) L1 (j) согласно [8, (52)], [ 4, (12)], [3, (57)]. Для любого натурального числа j

    такого, что 1 ¬j¬len Eholds (B (++) E) (j) = E (j) согласно [5, (83)], [3, (57)],

    [9, (13)].

    (32) Формула Виета о сумме корней:

    Рассмотрим алгебраическое замкнутое поле L и ненулевой многочлен p

    над L. Предположим, len p2. Тогда SumRoots (p) = −p (len p − 02)

    p (len p − 01).

    Доказательство: Определите P [натуральное число] ≡ для любого ненулевого многочлена pover

    L, например, что $ 1 = len pholds SumRoots (p) = −p (1-2 доллара США)

    p (1-1 доллара США) .P [2 ] согласно (6), [7,

    (38)], (27). Для любого нетривиального натурального числа k, такого что P [k] имеет место

    P [k + 1] согласно [6, (29)], [1, (11)], [8, (17)], [10, (5 )].Для каждого нетривиального

    натурального числа k, P [k] из [6, Sch. 2]. 

    Ссылки

    [1] Grzegorz Bancerek. Основные свойства натуральных чисел. Formalized Mathe —

    matics, 1 (1): 41–46, 1990.

    [2] Гжегож Банцерек, Чеслав Былинский, Адам Грабовски, Артур Корнилович, Роман Ма-

    Тушевский, Адам Наумович и Хосе Пумович Городской. Mizar: по последнему слову техники и

    за его пределами. Манфред Кербер, Жак Каретт, Сезари Калишик, Флориан Рабе и Том

    Кер Зорге, редакторы, Интеллектуальная компьютерная математика, том 9150 конспектов лекций в журнале

    Компьютерные науки, страницы 261–279.Springer International Publishing, 2015. ISBN 978-3-

    319-20614-1. DOI: 10.1007 / 978-3-319-20615-8 17.

    [3] Чеслав Былиньски. Конечные последовательности и наборы элементов непустых множеств. Формализованный

    Математика, 1 (3): 529–536, 1990.

    [4] Чеслав Былиньский. Функции и их основные свойства. Формализованная математика, 1 (1):

    55–65, 1990.

    [5] Чеслав Былиньский. Сумма и произведение конечных последовательностей действительных чисел. Формализованный

    Математика, 1 (4): 661–668, 1990.

    [6] Роберт Милевски. Натуральные числа. Formalized Mathematics, 7 (1): 19–22, 1998.

    Unauthenticated

    Дата загрузки | 25.09.17 14:56

    Формула Виета о сумме корней многочленов

    [1] Гжегож Банчерек. Основные свойства натуральных чисел. Формализованная математика, 1 (1): 41–46, 1990. Поиск в Google Scholar

    [2] Гжегож Банцерек, Чеслав Былински, Адам Грабовски, Артур Корнилович, Роман Матушевский, Адам Наумович, Кароль Пук и Йозеф Урбан.Mizar: Современное и неординарное. В: Манфред Кербер, Жак Каретт, Сезари Калишик, Флориан Рабе и Фолькер Зорге, редакторы, Интеллектуальная компьютерная математика, том 9150 конспектов лекций по информатике, страницы 261–279. Springer International Publishing, 2015. ISBN 978-3-319-20614-1. DOI: 10.1007 / 978-3-319-20615-817.10.1007 / 978-3-319-20615-817Открыть DOIПоиск в Google Scholar

    [3] Чеслав Былиньски. Конечные последовательности и наборы элементов непустых множеств. Формализованная математика, 1 (3): 529–536, 1990.Искать в Google Scholar

    [4] Чеслав Былиньский. Функции и их основные свойства. Формализованная математика, 1 (1): 55–65, 1990. Поиск в Google Scholar

    [5] Чеслав Былиньский. Сумма и произведение конечных последовательностей действительных чисел. Формализованная математика, 1 (4): 661–668, 1990. Поиск в Google Scholar

    [6] Роберт Милевски. Натуральные числа. Формализованная математика, 7 (1): 19–22, 1998. Поиск в Google Scholar

    [7] Роберт Милевски. Основная теорема алгебры.Формализованная математика, 9 (3): 461–470, 2001. Поиск в Google Scholar

    [8] Петр Рудницкий. Маленькая теорема Безу (факторная теорема). Formalized Mathematics, 12 (1): 49–58, 2004. Поиск в Google Scholar

    [9] Christoph Schwarzweller. Биномиальная теорема для алгебраических структур. Формализованная математика, 9 (3): 559–564, 2001. Поиск в Google Scholar

    [10] Михал Й. Трибулец. Целые числа. Формализованная математика, 1 (3): 501–505, 1990. Поиск в Google Scholar

    [11] Войцех А.Trybulec. Несмежные подстроки и взаимно однозначные конечные последовательности. Формализованная математика, 1 (3): 569–573, 1990. Поиск в Google Scholar

    [12] Э. Б. Винберг. Курс алгебры. Американское математическое общество, 2003 г. ISBN 0821834134. Поиск в Google Scholar

    [13] Эдмунд Воронович. Отношения и их основные свойства. Формализованная математика, 1 (1): 73–83, 1990. Поиск в Google Scholar

    % PDF-1.5 % 114 0 объект > эндобдж xref 114 123 0000000016 00000 н. 0000003426 00000 н. 0000003743 00000 н. 0000003878 00000 н. 0000003968 00000 н. 0000004124 00000 н. 0000004745 00000 н. 0000005037 00000 н. 0000005258 00000 н. 0000005603 00000 п. 0000005838 00000 н. 0000005991 00000 п. 0000006119 00000 п. 0000006286 00000 н. 0000006444 00000 н. 0000007082 00000 н. 0000007349 00000 п. 0000007589 00000 н. 0000007726 00000 н. 0000008134 00000 п. 0000008161 00000 п. 0000008333 00000 п. 0000008986 00000 н. 0000009043 00000 н. 0000009095 00000 н. 0000009780 00000 н. 0000010404 00000 п. 0000011040 00000 п. 0000011657 00000 п. 0000011718 00000 п. 0000012189 00000 п. 0000012677 00000 п. 0000013276 00000 п. 0000013796 00000 п. 0000014091 00000 п. 0000014226 00000 п. 0000014319 00000 п. 0000514721 00000 н. 0000514979 00000 н. 0000516151 00000 н. 0000516846 00000 н. 0000930428 00000 п. 0000930695 00000 п. 0000931872 00000 н. 0000931923 00000 п. 0000931958 00000 п. 0000932013 00000 н. 0000932058 00000 н. 0000932562 00000 н. 0000933192 00000 п. 0000933229 00000 н. 0000933266 00000 н. 0000941903 00000 п. 0000942026 00000 н. 0000942279 00000 п. 0000942643 00000 п. 0000942809 00000 н. 0001015291 00000 п. 0001015361 00000 п. 0001015524 00000 п. 0001015576 00000 п. 0001015822 00000 п. 0001015935 00000 п. 0001016118 00000 п. 0001016188 00000 п. 0001032167 00000 п. 0001032394 00000 п. 0001032574 00000 п. 0001032727 00000 п. 0001032754 00000 п. 0001033155 00000 п. 0001033279 00000 п. 0001033349 00000 п. 0001035671 00000 п. 0001035911 00000 п. 0001035955 00000 п. 0001036119 00000 п. 0001036146 00000 п. 0001036216 00000 п. 0001084639 00000 п. 0001084883 00000 п. 0001085076 00000 п. 0001085233 00000 п. 0001085260 00000 п. 0001085653 00000 п. 0001085723 00000 п. 0001140693 00000 п. 0001140932 00000 п. 0001141211 00000 п. 0001141363 00000 п. 0001141390 00000 п. 0001141767 00000 п. 0001141993 00000 п. 0001142212 00000 п. 0001142446 00000 п. 0001142469 00000 п. 0001143010 00000 п. 0001143550 00000 п. 0001144292 00000 п. 0001145464 00000 п. 0001145508 00000 п. 0001145543 00000 п. 0001146278 00000 н. 0001146932 00000 п. 0001146976 00000 п. 0001147011 00000 п. 0001147419 00000 п. 0001148152 00000 п. 0001149324 00000 п. 0001149368 00000 п. 0001149403 00000 п. 0001150093 00000 п. 0001150468 00000 п. 0001150891 00000 п. 0001151432 00000 п. 0001152089 00000 п. 0001152835 00000 п. 0001153410 00000 п. 0001154105 00000 п. 0001155277 00000 п. 0001155321 00000 п. 0001155356 00000 п. 0000002756 00000 н. трейлер ] / Назад 1239313 >> startxref 0 %% EOF 236 0 объект > поток h ޜ R] HQ ~ мес? Q r3.»Z & ʘ. Pe (~ R # ulX.TсZ {`? 5m_ 㺌 (MU_ & ~ 5y1) QsupMta6lXͲ Pwa {.dc

    Quarter Wit, Quarter Wisdom: Связывание корней и коэффициентов квадратных уравнений

    Если вы следили за моими последними сообщениями, я уверен, что вы немного настороженно относитесь к сегодняшнему сообщению. В последнее время они были немного запутанными, поскольку мы имеем дело с перестановками и комбинациями. Далее мы займемся вероятностью, но сегодня я собираюсь отвлечься (чтобы дать вам столь необходимую передышку) и перейду к простой, но интересной теме.Мы регулярно имеем дело с квадратными уравнениями. Эффективное их решение — один из самых основных и важных навыков, необходимых для сдачи GMAT Quant. Сегодня мы рассмотрим некоторые отношения между коэффициентами квадратных уравнений и корнями. 2 + bx + c = 0 с корнями p и q,

    Сумма корней = p + q = -b / a

    Произведение корней = pq = c / a

    Об этих отношениях полезно помнить, поскольку иногда они могут быть полезны.2 + 4x +14 = 0

    Решение:

    Энн сделала ошибку при копировании постоянного члена, т.е. c, но она правильно скопировала a и b. Таким образом, сумма корней, которые она нашла, должна быть верной.

    -б / а = 5 + 9 = 14

    Бет допустила ошибку при копировании коэффициента при x, т.е. b, но она правильно скопировала a и c. Значит, продукт корней, который она нашла, должен быть правильным.

    с / а = 12 * 4 = 48

    Только вариант (C) выше имеет –b / a = 14 и c / a = 48. Следовательно, ответ должен быть (C).

    Видите ли, знание формул Виета сделало потенциально сложный вопрос довольно простым.

    А теперь о том, что я задумал для этого поста. Однажды кто-то задал мне следующий вопрос: есть ли быстрый способ узнать, имеет ли квадратное уравнение одно или два положительных решения, без необходимости его решать?

    Это заставило меня задуматься, почему мы знаем так много, но иногда все еще не можем соединить точки между взаимосвязанными концепциями. 2 -6x -2 = 0
    Произведение корней = -2/3
    Один корень отрицательный, один положительный.

    Эти небольшие идеи помогут вам быстро и аккуратно решить необычные вопросы. Следите за выводами, которые вы можете сделать из уже имеющихся знаний, и, как всегда, продолжайте практиковаться!

    Каришма, инженер-компьютерщик, проявляющий большой интерес к альтернативным математическим подходам, обучал студентов на континентах Азии, Европы и Северной Америки. Она преподает GMAT Prep для Veritas Prep и регулярно участвует в проектах по разработке контента, таких как этот блог!

    Теорема Вьетнама — eMathHelp

    Теорема Вьетнама.{{2}} + \ frac {{b}} {{a}} + \ frac {{c}} {{a}} = {0} $$$) имеет корни $$$ {p} $$$ и $$$ {q} $$$, затем $$$ {\ color {green} {{{p} + {q} = — \ frac {{b}} {{a}}}}} $$$ , $$$ {\ color {ma \genta} {{{p} {q} = \ frac {{c}} {{a}}}}} $$$, т. е. сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно константе.

    Действительно, давайте начнем с уравнения $$$ {\ left ({x} — {p} \ right)} {\ left ({x} — {q} \ right)} = {0} $$$. Обратите внимание, что $$$ {p} $$$ и $$$ {q} $$$ — некоторые числа.

    Продукт равен 0, только если хотя бы один множитель равен 0.{{2}} + {3} {x} — {28} = {0} $$$.

    Попробуем найти два таких числа $$$ {p} $$$ и $$$ {q} $$$, которые $$$ {p} + {q} = — {3} $$$ и $$ $ {p} {q} = — {28} $$$.

    Нетрудно заметить, что это $$$ — {7} $$$ и $$$ {4} $$$. Таким образом, по обратной теореме Виета они являются корнями данного уравнения.

    Ответ : $$$ — {7} $$$ и $$$ {4} $$$.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *