Как найти наибольшее и наименьшее значение функции 10 класс – 1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Конспект урока по алгебре «, тема » Наибольшее и наименьшее значения функции». (10 класс)

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 10 классе

Учитель математики МБОУ «Сизябская СОШ» Семяшкина Елизавета Михайловна

Тема урока: «Наибольшее и наименьшее значения функции».

Цель:

— повторение изученного материала главы IV «Применение производной к исследованию функции»

— обобщение умений и навыков учащихся применения производной функции в решении заданий.

Задачи:

— совершенствовать навыки и умения учащихся применения производной функции в нахождении промежутков возрастания и убывания функции, определения критических точек функции, а также нахождения наибольшего и наименьшего значения функции;

— развивать у учащихся навыки самостоятельного выполнения заданий и решения примеров, а также навыки взаимооценивания работы учащихся класса и осмысления собственного участия в процессе учебной деятельности на уроке;

— воспитывать у учащихся сознательное отношение к данному виду работы.

Ожидаемые результаты

учащиеся должны:

знать: алгоритмы нахождения промежутков возрастания и убывания функции, критических точек функции и наибольшего и наименьшего значения функции;

уметь: решать задания на нахождение промежутков возрастания и убывания функции, критических точек функции и наибольшего и наименьшего значения функции;

понимать: основные сходства и различия в приемах нахождения промежутков возрастания и убывания функции, критических точек функции и наибольшего и наименьшего значения функции.

Тип урока: Урок закрепления знаний, умений и навыков..

Методы: Устный опрос, беседа, работа в паре и в группе, практическое решение заданий по карточкам, тестовых заданий.

Ресурсы: учебник, карточки, тестовые задания, листы взаимооценивания и самооценивания.

Ход урока

  1. Организационный момент

  1. Проверка подготовленности учащихся к уроку.

  2. Приветствие учителя и учащихся.

  3. Фиксация отсутствующих учащихся.

  1. Постановка цели и задач урока

Сегодня на уроке мы с вами повторим ранее изученный материал главы IV «Применение производной к исследованию функции», а также будем совершенствовать навыки и умения использования производной функции в нахождении промежутков возрастания и убывания функции, определения критических точек, а также нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.

  1. Актуализация опорных знаний

Для того чтобы вспомнить основные алгоритмы, которые нужны для выполнения данных заданий, я вам предлагаю выполнить следующее задание, суть которого состоит в том, что необходимо будет правильно составить порядок действий в нахождении промежутков возрастания и убывания, критических точек и наибольшего и наименьшего значения функции.

Признаки возрастания и убывания функции

Критические точки функции

Наибольшее и наименьшее значения функции

Алгоритм:

  1. Найти производную функции;

  2. Решить неравенство hello_html_m10af3908.gif или hello_html_m1c605cd0.gif;

  3. Используя утверждение теоремы, найти промежутки возрастания и убывания функции.

Алгоритм:

  1. Найти производную функции;

  2. Решить уравнение hello_html_m40f87c8a.gif, найти критические точки;

  3. С помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях критических точек;

  4. Используя достаточное условие существования экстремума, найти точки максимума и минимума.

Алгоритм:

  1. Найти производную функции;

  2. Решить уравнение hello_html_m40f87c8a.gif и найти критические точки;

  3. Выяснить, принадлежат ли полученные критические точки данному отрезку;

  4. Найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку;

  5. Сравнивая полученные значения функции, определить наибольшее и наименьшее значения функции.

Проверка задания.

  1. Практическое выполнение заданий

Для совершенствования навыков и умений решения заданий на нахождение промежутков возрастания и убывания функции, определения критических точек, а также нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, учащимся предоставляется следующее задание: решение примеров по карточкам (каждый учащийся выбирает себе карточку с заданием, которую он должен решить). Один-два учащихся могут записать решения примеров на доске.

Карточка №1

  1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции hello_html_56600206.gif

Решение

hello_html_47eee3d3.gif

hello_html_m5db7ac1f.gif

hello_html_70ab3170.gif

hello_html_m3724f2e5.gif

hello_html_m70d59d49.gifhello_html_m4648fb94.gif

hello_html_565b623b.gifhello_html_m2094586a.gifhello_html_m453e9a08.gif

hello_html_3a3691e3.gifhello_html_2eb09c3c.gifhello_html_2eb09c3c.gif+ – x

-5 1

Ответ: hello_html_2e1f065d.gifвозрастает,

hello_html_m2cc46c4c.gifубывает.

Карточка №2

  1. Найдите критические точки функции hello_html_m5be814f0.gif

Решение

hello_html_23d01cd3.gif

hello_html_m57974e2b.gif

hello_html_1e8e73d2.gif

hello_html_m4b851f32.gif

hello_html_235ae393.gif

hello_html_6d68f1a.gif hello_html_38fca6ab.gif

hello_html_m480beb07.gif

hello_html_587599a7.gifhello_html_m717abd03.gif

Ответ: hello_html_130b2d00.gif

Карточка №3

  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_138d24c4.gif

Решение

hello_html_138d24c4.gif

hello_html_m691e4f02.gif

hello_html_m1f3efb72.gif

hello_html_m45cc4fb2.gif

hello_html_411b68d4.gif hello_html_69c05487.gif

hello_html_df3e9c0.gif hello_html_1d666c6e.gif

hello_html_mf55be6.gif hello_html_m49733adb.gif

hello_html_6ded63ea.gif hello_html_d245dc9.gif hello_html_m5d57e0fa.gif

hello_html_m28e33665.gif

hello_html_mfd3c96d.gif

hello_html_m6e27ae9a.gif

Ответ:hello_html_m243c0e3.gif – наибольшее,

hello_html_m13195f89.gif — наименьшее.

Карточка №4

  1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции hello_html_mca0744d.gif

Ответ: hello_html_359efe51.gifубывает,

hello_html_m473ed096.gifвозрастает.

Карточка №5

  1. Найдите критические точки функции hello_html_m69d52f44.gif

Ответ: hello_html_m4e9d3805.gif

После выполнения задания учащиеся меняются тетрадями и проводят взаимопроверку с последующим выставлением отметок в лист взаимооценивания.

Затем учащимся предоставляется следующее задание – выполнение тестовой

работы. Всего в задании пять примеров, за каждый правильный пример, учащаяся получает один балл. Далее, после выполнения задания, учитель совместно с учащимися проводит взаимопроверку заданий. Затем, каждая учащаяся ставит отметку в лист взаимооценивания.

Тестовое задание

  1. Найдите промежутки убывания функции hello_html_m66d63621.gif

  1. hello_html_m7d746b4e.gifB) hello_html_12a94ffc.gifC) hello_html_6cac1de9.gifD) hello_html_cdddb46.gif

  1. Найдите производную функции hello_html_m29f90cd9.gif

  1. hello_html_37c940e5.gif B) hello_html_m239d58a0.gif

C) hello_html_6f0de3b0.gif D) hello_html_m2ff165ad.gif

  1. Найдите точки минимума функции hello_html_m73cff8be.gif

  1. hello_html_m7f197d42.gif B) hello_html_m60abbb95.gif C) hello_html_m1c696ad6.gif D) hello_html_medc4a00.gif

  1. Вычислите наименьшее значение функции hello_html_m3ad3ff05.gif на отрезке hello_html_m2808f186.gif

  1. 0; B) 1; C) 2; D) 3.

  1. Найдите производную функции hello_html_779f51fe.gif

  1. hello_html_136ac89f.gif B) hello_html_3cd2aa08.gif C) hello_html_m9b7afd0.gif D) hello_html_39fba98.gif

  1. Рефлексия

Каждый учащиеся заполняет лист самооценивания, где проводит рефлексию над своей учебной деятельностью и уровнем понимания и усвоения учебного материала.

После того, как каждый учащийся заполнил лист самооценивания, можно заслушать некоторые из них.

  1. Подведение итогов урока

  1. Обсуждение с учащимися достижения цели и задач урока.

  2. Аргументированное комментирование оценок за урок. Каждая ученица подсчитывает количество баллов, и учитель выставляет соответствующую отметку.

  3. Разъяснение домашнего задания, стр.150-152.

Раздаточный материал

  1. Найдите промежутки убывания функции hello_html_m66d63621.gif

  1. hello_html_m7d746b4e.gif B) hello_html_12a94ffc.gif C) hello_html_3f441a52.gif D) hello_html_cdddb46.gif

  1. Найдите производную функции hello_html_m29f90cd9.gif

  1. hello_html_37c940e5.gif B) hello_html_1e6a85fd.gif

C) hello_html_6f0de3b0.gif D) hello_html_m2ff165ad.gif

  1. Найдите точки минимума функции hello_html_m73cff8be.gif

  1. hello_html_m7f197d42.gif B) hello_html_m60abbb95.gif C) hello_html_m1c696ad6.gif D) hello_html_5daa0c56.gif

  1. Вычислите наименьшее значение функции hello_html_m3ad3ff05.gif на отрезке hello_html_m2808f186.gif

  1. 0; B) 1; C) 2; D) 3.

  1. Найдите производную функции hello_html_779f51fe.gif

  1. hello_html_136ac89f.gif B) hello_html_3cd2aa08.gif C) hello_html_m9b7afd0.gif D) hello_html_729e6aae.gif

Лист взаимооценивания ученицы 10 класса ____________________________.

(максимальное количество баллов от 1 до 5)

Актуализация опорных знаний (работа в группе)

Выполнение заданий по карточкам (самост. работа)

Выполнение тестовых заданий

Общее количество баллов

Отметка

Лист самооценивания ученицы 10 класса __________________________________

Критерии

Хорошо

Недостаточно хорошо

Плохо

Знала алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Знала алгоритм нахождения критических точек функции

Знала алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

Понимаю алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции

Понимаю алгоритм нахождения критических точек функции

Понимаю алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

Понимаю основные сходства и различия между основными алгоритмами нахождения промежутков возрастания и убывания функции, критических точек функции и наибольшего и наименьшего значения функции

Умею применять алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции в решении заданий

Умею применять алгоритм нахождения критических точек функции при решении заданий

Умею применять алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции при решении заданий

Ш К А Л А

О Ц Е Н И В А Н И Я

14-15 баллов – «5»

11-13 баллов – «4»

8-10 баллов – «3»

менее 8 баллов – «2»

Признаки возрастания и убывания функции

Критические точки функции

Наибольшее и наименьшее значения функции

Алгоритм:

___ Найти производную функции

___ Используя утверждение теоремы, найти промежутки возрастания и убывания функции.

___ Решить неравенство hello_html_77727e9e.gif или hello_html_7bbd1b56.gif

Алгоритм:

___ Решить уравнение hello_html_67f1a314.gif, найти критические точки

___ Найти производную функции

___ Используя достаточное условие существования экстремума, найти точки максимума и минимума

___ С помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях критических точек

Алгоритм:

___ Решить уравнение hello_html_67f1a314.gif и найти критические точки

___ Найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку

___ Выяснить, принадлежат ли полученные критические точки данному отрезку

___ Сравнивая полученные значения функции, определить наибольшее и наименьшее значения функции.

___ Найти производную функции

infourok.ru

Урок по теме «Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке». 10-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

В разработке представлен урок по §46.п.1.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на промежутке по учебнику А.
Г.Мордковича, П.В.Семенова “Алгебра и начала
анализа. Профильный уровень.10 класс”.

Урок проводится с целью изучения и первичного
закрепления материала по теме “ Наибольшее и
наименьшее значения функции на промежутке”, как
одной из основных тем по исследованию функций.
Это первый урок из четырёх по теме “Применение
производной для нахождения наибольших и
наименьших значений величин” и рассчитан на 1
час учебного времени. По ходу урока акцент
делается на изучение и отработку как общих
методов решения задач (по известному алгоритму),
так и перевод задачи на другой язык
(использование свойств функций).



Тип урока: урок изучения нового материала с
использованием ИКТ.



Учебно-методическое обеспечение: учебник,
задачник “Алгебра и начала анализа. Профильный
уровень. 10 класс” А.Г.Мордкович, П.В. Семенов.



Оборудование и материалы для урока:
компьютерный класс, проектор, интерактивная
доска, презентация для сопровождения урока,
карточки-бланки для ответов учащихся,
карточки-инструкторы для проведения работы.



Цель: познакомить учащихся с приемами
нахождения наибольшего и наименьшего значения
функции на промежутке.



Задачи.



Образовательная — повторить необходимые и
достаточные условия существования точек
экстремума, понятия: стационарная и критическая
точка; вывести алгоритм нахождения наименьшего и
наибольшего значений функции, формировать
умения решать задачи на отыскание наибольших и
наименьших значений функции.



Развивающая – развивать познавательный
интерес обучающихся, умение исследовать,
выделять главное, сравнивать, анализировать,
делать выводы.



Воспитательная – воспитывать умения
работать в сотрудничестве в парах и группе,
оценивать работу товарища.



Знания, умения, навыки и качества, которые
актуализируют/приобретут/ закрепят/ др. ученики в
ходе урока:

— овладение практическими умениями и навыками
по теме “Нахождение наибольшего и наименьшего
значений непрерывной функции на промежутке”

— умение устанавливать причинно-следственные
связи, выделять главное, обобщать,
систематизировать;

— формирование навыков самостоятельной работы
с учебным материалом;

— формирование навыков самоконтроля.



Структура урока.

Оргмомент.

  • Актуализация знаний
  • Мотивационно-целевой этап.
  • Изучение нового материала. Первичное
    осмысление.
  • Закрепление изученного материала.
  • Рефлексия. Определение домашнего задания


  • Ход урока

    1. Оргмомент.

    Организация групп (до урока). Приветствие.
    Эпиграф к уроку (слайд 1).



    2. Актуализация знаний.

    Устная работа (слайды 2-4). Повторение материала,
    изученного на предыдущих уроках. Фронтальная
    работа. Учитель обращает внимание обучающихся на
    существенное различие понятий максимума
    (минимума) функций и наибольшего (наименьшего)
    значений.



    3. Мотивация.

    Нахождение наибольшего и наименьшего значений
    функции широко применяется при решении многих
    практических задач на нахождение наилучших,
    оптимальных решений при наименьших затратах
    труда, так называемые задачи на оптимизацию.

    С некоторыми из таких задач мы познакомимся на
    следующих уроках. Чтоб успешно решать такие
    задачи необходимо уметь находить наибольшее и
    наименьшее значения заданных функций на
    заданном промежутке.

    Постановка обучающимися темы и целей урока
    (слайд 6-7).



    4. Изучение нового материала. Первичное
    осмысление.

    Ребятам предлагается три графика функции для
    самостоятельного определения точек наибольшего
    и наименьшего значений. Проанализировать
    расположение данных точек на графике и сделать
    вывод (слайд 8). Работа выполняется по группам.
    Если возникают затруднения, то можно
    воспользоваться карточкой-инструкцией. (Приложение 1)

    Затем спикер одной из групп высказывает мнение
    своей группы, а остальные сравнивают его со своим
    мнением, дополняют или уточняют, возможно,
    опровергают. В итоге обучающиеся делают вывод
    (слайд 9).



    Постановка проблемы.

    Учитель задает вопрос: “Как, не изображая
    графика функции, определить наибольшее и
    наименьшее значение функции на отрезке?”

    Задание 1. Найти наибольшее и наименьшее
    значение функции у = х3 — 3х2 — 45х + 1 на [-4;
    6] без построения графика. (Слайд 10). Ребята
    предлагают решение. Учитель корректирует работу,
    задавая наводящие вопросы. Решение оформляется
    на доске в интерактивном режиме учителем.

    Ответ: у наим = у (5) = -174; у наиб = у(-3) =
    82.



    Задание 2. (Слайд 11) Выполнить задание,
    рассуждая аналогично. Задание на репродуктивном
    уровне выполняется самостоятельно.

    Ответ: у наим = у (-1) = -13; у наиб = у(1) = 3



    Задание 3. Проанализировать решения
    предыдущих примеров и сформулировать алгоритм
    нахождения наименьшего и наибольшего значений
    функции на отрезке. Обучающиеся вновь по группам
    обсуждают данный вопрос, затем, обменявшись
    мнениями с другими группами, приходят к общему
    выводу.



    Решение проблемы.

    Ребята формулируют алгоритм. Проверяется
    алгоритм по учебнику стр.371 (слайд 12). (Ситуация
    успеха).

    Учитель дополняет. Если речь идет о нахождении
    наибольшего или наименьшего значений функции,
    непрерывной на незамкнутом промежутке, то
    удобно использовать следующую теорему (слайд 13).
    Данная теорема в курсе 10 класса не доказывается.
    Ребята записывают теорему в тетрадь.



    5. Закрепление “добытых” знаний.

    При подготовке к уроку учитель делает закладку
    необходимой для занятия Web-страницы.
    Интернет-сайт “ЕГЭ по математике: подготовка к
    тестированию” http://www.uztest.ru. включает “Тренажер”,
    позволяющий проходить on-line тест по теме
    “Наибольшее, наименьшее значение функции” на
    конструктивном уровне. Ребятам предлагается
    выполнить тест из 5 заданий. Верные ответы
    заносятся в таблицу (Приложение 1). Осуществляя
    дифференцированный подход к обучающимся,
    предлагаются дополнительные примеры из учебника
    № 46.20(а), №46.21(а).



    6. Итог. Рефлексия деятельности на уроке.
    Домашнее задание.

    Учитель беседует с ребятами, говоря о новых
    знаниях полученных на уроке, о достигнутых целях,
    интересуется их ощущениями от происходящего и
    предлагает заполнить карточки рефлексии.
    (Приложение 1)



    Домашнее задание. §46.п.1. Каждый ученик
    получает индивидуальное разноуровневое задание
    на сайте http://www.uztest.ru. Для входа на личную страницу
    учитель сообщает логин и пароль для каждого
    ученика. Оценки выставляются в электронный
    журнал.

    Учитель благодарит обучающихся за хорошую
    работу на уроке (слайд 15).



    Литература:

    1. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, учебник “Алгебра
    и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс” -
    М: Мнемозина, 2006.

    2. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, задачник “Алгебра
    и начала анализа. Профильный уровень. 10 класс” -
    М: Мнемозина, 2006.

    urok.1sept.ru

    Презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме: Наибольшее и наименьшее значение функции

    Этапы
    1. Найти f /(x)
    2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
    3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
    4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее
    Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
    1) y / = 3×2 – 27
    2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
    3
    -3
    x = 3
    [0; 4]
    x = –3
    [0; 4]
    y(4) = 43– 27 4 = – 44
    y(3) = 33– 27 3 = –54
    3
    х
    1
    0
    х
    В 11

    5
    4
    3) y(0) = 0
    Алгоритм решения задач
    Этапы
    1. Найти f /(x)
    2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.
    3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.
    4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее
    Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
    1) y / = 3×2 – 27
    2) y / = 3×2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
    3
    -3
    y(3) = 33– 27 3 = –54
    3
    х
    1
    0
    х
    В 11

    5
    4
    3)
    Другой способ решения
    +
    +

    x
    y\
    y
    -3
    3
    0
    4
    min
    Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
    Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.
    наибольшее значение
    наибольшее значение
    наименьшеезначение
    наименьшеезначение
    a
    b
    a
    b
    Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.
    функция возрастает
    функция убывает
    наибольшее значение
    наименьшеезначение
    a
    b
    a
    b
    Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума.Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

    СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, представленная как композиция нескольких функций. Сложная функция – функция от функции. Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. – промежуточный аргумент, – независимая переменная.
    Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    x
    v
    x
    v
    u
    x
    v
    u
    /
    /
    /
    Ч
    =
    [
    ]
    (
    )
    (
    )
    )
    (
    )
    (
    x
    v
    u
    (
    )
    x
    v
    x
    Чтобы найти производную сложной функции, нужно:Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.2. Определить промежуточный аргумент.
    Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
    Функция квадратного корня
    Показательная функция
    Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
    Логарифмическая функция
    Функция промежуточного аргумента – тригонометрическая функция sinx
    Степенная функция
    Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция
    Проверим, принадлежит ли х=ln3 промежутку [1; 2]
    Найдите наименьшее значение функции y = e2x – 6ex + 3 на отрезке [1; 2]
    1.
    Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
    Значения функции в концах отрезка.
    1) y(1) = e2 – 6e + 3;
    y(2) = e4– 6e2+ 3
    2) y / =
    [1; 2]
    Найдем значение функции в критической точке.
    2ex(ex – 3) = 0
    ex – 3 = 0
    x = ln3
    (e2x)/ =
    e2x
    (ex)/ = ex
    (2x)/
    = e2x
    2
    = 2e2x
    (kx)/ = k
    0

    (
    )
    )
    (
    v
    v
    u
    v
    u
    /
    /
    /
    Ч
    =
    ]
    [
    – 6ex
    + 0
    2e2x
    1) производнаядля внешней функции:
    (ex)/ = ex
    = 2ex(ex – 3)
    (С)/ = 0
    +


    x
    y\
    y
    ln3
    min
    Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума.Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.
    >0
    Найдите наибольшее значение функции
    2.
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    x
    g
    x
    g
    f
    x
    g
    f
    /
    /
    /
    Ч
    =
    5 – 4х – х2 0
    D(y):
    і
    x = – 2
    D(y)
    Найдем критические точки, которые принадлежат D(у).
    Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции.
    х
    (
    )
    х
    2
    1
    /
    =

    +
    x
    y\
    y
    -2
    max
    Наибольшее значение функция примет в точке максимума.
    3
    х
    1
    0
    х
    В 14
    3
    При решении некоторых заданий на вычисление наибольшего и наименьшего значений функции можно найти ответ и без вычисления производной.
    )
    (
    g(x)
    f
    Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. Где g(x) – промежуточный аргумент, квадратичная функция
    g(x) = ax2 +bx + c
    Если внешняя функция является монотонно возрастающей на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наибольшее значение.
    А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наименьшее значение.
    Рассмотрим примеры.
    Найдите наибольшее значение функции
    2.
    5 – 4х – х2 0
    D(y):
    і
    2 способ
    Решим задание без вычисления производной.
    Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения, значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х2 – 4х + 5 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1(-1)
    -4
    х
    2*
    0

    =
    = -2
    a
    b
    х
    2
    0

    =
    Итак, наибольшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 2. Вычислим его:
    3
    х
    1
    0
    х
    В 14
    3
    D(y)
    Найдите наименьшее значение функции
    4.
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    x
    g
    x
    g
    f
    x
    g
    f
    /
    /
    /
    Ч
    =
    x = — 1
    D(y)
    Найдем критические точки, которые принадлежат D(у).
    Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции.
    +


    x
    y\
    y
    -1
    min
    Наименьшее значение функция примет в точке минимума.
    3
    х
    1
    0
    х
    В 14
    1
    6
    D(y):
    R
    x
    О
    (
    )
    a
    a
    a
    х
    х
    ln
    /
    =
    >0
    >0
    Найдите наименьшее значение функции
    4.
    D(y):
    R
    x
    О
    Решим задание без вычисления производной.
    Показательная функция с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х2 + 2х + 5 будет иметь наименьшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине.
    1
    2
    х
    2*
    0

    =
    a
    b
    х
    2
    0

    =
    Итак, наименьшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = – 1. Вычислим его:
    D(y)
    = – 1
    3
    х
    1
    0
    х
    В 14
    1
    6
    2 способ
    Найдите наибольшее значение функции
    6.
    4 – 2х – х2 0
    D(y):
    >
    Решим задание без вычисления производной.
    Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция 4 – 2х – х2 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен –1(-1)
    -2
    х
    2
    0

    =
    = -1
    1
    3
    х
    1
    0
    х
    В 14
    4
    a
    b
    х
    2
    0

    =
    « Самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове. » К. Маркс
    Задача :Какими должны быть размеры участка прямоугольной формы площадью , чтобы на его ограждение было израсходовано наименьшее количество материала ?
    Составим математическую модель задачи :из всех прямоугольников площадью 1600 кв. м найти прямоугольник наименьшего периметра
    1. Р – периметр прямоугольника
    2. х ( м ) – длина прямоугольника
    х
    x = 40 – точка минимума, значит функция р ( х ) в этой точке принимает наименьшее значение. Следовательно и периметр прямоугольника будет наименьшим.
    0
    40
    х
    +

    Длина участка – 40 ( м )
    Ширина участка – 40 м
    Длина прямоугольника – 40 ( м )
    Ширина прямоугольника –
    Ответ: длина участка 40 м, ширина участка – 40 м.
    Задача :Выращенную на участке клубнику ученики отправляют в детский сад в коробках, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см. Какими должны быть размеры коробки, чтобы ее вместимость была наибольшей ?
    Математическая модель :Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см, найти параллелепипед наибольшего объема.
    Выращенную на участке клубнику ученики отправляют в детский сад в коробках, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см. Какими должны быть размеры коробки, чтобы ее вместимость была наибольшей ?
    Р = 72 см
    Из всех прямоугольных параллелепипедов с квадратным основанием, периметр боковой грани которого 72 см, найти параллелепипед наибольшего объема.
    Р = 72 см
    х
    36 – х
    х
    1. V – объем прямоугольного параллелепипеда
    2. х ( см ) – длина прямоугольного параллелепипеда , х ( см ) – ширина прямоугольного параллелепипеда36 – х ( см ) – высота прямоугольного параллелепипеда
    x = 24 – точка максимума, значит функция v ( х ) в этой точке принимает наибольшее значение. Следовательно и объем прямоугольного параллелепипеда при х = 24 будет наибольшим.
    0
    36
    х
    +

    24
    Длина прямоугольного параллелепипеда – 24 ( см )
    Ширина прямоугольного параллелепипеда – 24 ( см )
    Высота прямоугольного параллелепипеда – 36 – 24 = 12 ( см )
    Ответ : чтобы вместимость коробки была наибольшей, ее размеры должны быть 24 см, 24 см, 12 см

    nsportal.ru

    Отправить ответ

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о
    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск