Центры треугольника Википедия

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника. Другие замечательные точки треугольника см. в энциклопедии центров треугольника.

Примеры

Замечательными точками треугольника являются

• Точки пересечения:

Минимаксные точки треугольника

Минимаксными (экстремальными) точками треугольника называются точки, в которых достигается минимум некоторой функции, например, суммы степеней расстояний до сторон или вершин треугольника^[1].

Минимаксными точками треугольника являются:

• Точка пересечения трёх медиан, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до вершин треугольника (теорема Лейбница).
• Точка пересечения трёх медиан треугольника является единственной точкой треугольника такой, что проведённые через неё три чевианы разделяют своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. При этом произведение длин трёх из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально^[2]
• Точка Торричелли (первая), имеющая наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника с углами не более 120 градусов.
• точка Лемуана, имеющая наименьшую сумму квадратов расстояний до сторон треугольника.
• Основания высот остроугольного треугольника образуют ортотреугольник, имеющий наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в данный треугольник.

Изо-точки и изо-прямые треугольника

Изо-точками являются точки треугольника, дающие какие-либо равные параметры трёх треугольников, которые образуются при соединении изо-точки отрезками с тремя вершинами треугольника^[3]. В результате образуется фигура типа «глаз дракона» (см. рис.)

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «глаз дракона»

Изо-точками треугольника такого типа являются:

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Трилистник (узел)»

Трилистник(узел) Стилизованный трилистник (узел)

Изо-точками треугольника такого типа являются (см. рис.):

• Центр Шпикера S является точкой пересечений прямых AX, BY и CZ, где XBC, YCA и ZAB подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ABC снаружи, имеющие один и тот же угол у основания arctg[tg(A/2)tg(B/2)tg(C/2)]{\displaystyle \mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]}^[4].
• Первая точка Наполеона N1{\displaystyle N_{1}}, как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых AX, BY и CZ, где XBC, YCA и ZAB подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника ABC снаружи, имеющие один и тот же угол у основания 30 градусов.

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции»

Цветок традесканции Стилизованный цветок традесканции

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции» (см. рис.) следующие:

• точка пересечения медиан образует тремя малыми отрезками чевиан три четырёхугольника с равными площадями.
• точка пересечения биссектрис образует тремя перпендикулярами к трём сторонам треугольника три четырёхугольника-дельтоида с двумя одинаковыми у всех смежными сторонами. Другая пара равных смежных сторон в общем случае у всех разная. У всех трёх дельтоидов есть пара равных противоположных углов в 90 градусов. Они — вписанно-описанные четырёхугольники.
• Три окружности, проведённые внутри треугольника через точку Микеля, пересекают стороны треугольника в трёх точках. Три хорды, проведённые через точку Микеля и три точки пересечения трёх окружностей с тремя разными сторонами треугольника, образуют равные углы со сторонами.

Другие изо-точки треугольника

Изо-точками треугольника такого типа являются:

• точка Лемуана (точка равных антипараллелей) — точка обладающая свойством: проведённые через неё 3 антипараллели (линии, антипараллельные 3 сторонам треугольника) дают внутри треугольника 3 отрезка равной длины.
• точка равных параллелей (Equal Parallelians Point)^[5]. В некотором смысле аналогична точке Лемуана. Точка обладает свойством: проведённые через неё 3 параллели (линии, параллельные 3 сторонам треугольника) дают внутри треугольника 3 отрезка равной длины.
• точки Скутина — точки равных чевиан треугольника. Теорема Скутина утверждает, что три отрезка прямых или чевианы, проведённые внутри треугольника через три его вершины и через любой фокус описанного эллипса Штейнера, равны между собой. Эти фокусы часто называют точками Скутина.

Изо-прямые

Изо-прямыми (изо-линиями) треугольника являются прямые, которые разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо равные параметры^[3]. Изо-прямыми треугольника являются:

• Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам и разрезает треугольник на два треугольника с равными площадями.
• Биссектриса (Биссектор) треугольника делит пополам угол, из вершины которого она выходит.
• Высота треугольника пересекает противоположную сторону (или её продолжение) под прямым углом (то есть образует два равных угла со стороной по обе стороны от неё) и разрезает треугольник на два треугольника с равными (прямыми) углами.
• Симедиана — геометрическое место точек внутри треугольника, выходящее из одной вершины, дающее два равных отрезка, антипараллельных двум сторонам, пересекающимся в этой вершине, и ограниченных тремя сторонами.
• Кливер треугольника разбивает периметр пополам. Кливер треугольника — это отрезок, один конец которого находится в середине одной из сторон треугольника, второй конец находится на одной из двух оставшихся сторон. Кроме того, кливер параллелен одной из биссектрис угла. Каждый из кливеров проходит через центр масс периметра треугольника ABC, так что все три кливера пересекаются в центре Шпикера.
• Также разбивает периметр пополам отрезок, соединяющий точку касания стороны треугольника и вневписанной окружности с вершиной, противоположной данной стороне. Три таких отрезка треугольника, проведённые из трёх его вершин, пересекаются в точке Нагеля. Иными словами, этот отрезок есть чевиана точки Нагеля. (Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер).
• Эквалайзер (equalizer) или уравниватель (выравниватель) — отрезок прямой, разрезающий треугольник на две фигуры одновременно равных площадей и периметров^[6]
• Немного об эквалайзере (equalizer). Любая прямая (эквалайзер), проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.
  [7]

Замечание об изо-прямых треугольника

В английской литературе вводится понятие бисекции (Bisection), как разделение чего-либо на две равные части. Например равнобедренного треугольника на два равных, отрезка прямой на два равных, плоского угла на два равных. Соответствующие линии будут являться частным случаем изо-прямых (изо-линий) треугольника.

Прямые n

Важным частным случаем изо-прямых являются так называемые прямые n треугольника. Прямая n треугольника, исходящая из его вершины, делит противоположную сторону в отношении n-х степеней прилежащих к ней двух сторон^[8]. Важными частными случаями прямых n являются:

Для прямых n треугольника очень просто найти в общем виде некоторые свойства. Например, для прямой n изогонально сопряжённой будет прямая (2-n), а изотомически сопряжённой будет прямая минус n.

Замечание

Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Можно использовать и трилинейные координаты центра, очень просто связанные с барицентрическими координатами. Однако, например, изогонально сопряжённые точки в трилинейных координатах выражаются проще.

Вариации и обобщения

• Рассматривают пары центров. Например
  • точки Брокара.
  • Точки Аполлония. Для всякого невырожденного треугольника АВС можно построить окружность Аполлония к стороне АВ, проходящую через точку С. Окружности, построенные таким образом к трём сторонам, будут пересекаться в двух точках — внутренней и внешней Аполлония соответственно.

Недавно открытые точки (центры) треугольника

Примечания

1. ↑ Стариков, В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 97.
2. ↑ Зетель, С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М. : Учпедгиз, 1962. задача на с. 12.
3. ↑ ^{1 2} Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37, левая колонка, последний абзац
4. ↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
5. ↑ Equal Parallelians Point
6. ↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), «Triangle equalizers», Mathematics Magazine Т. 83 (2): 141–146, DOI 10.4169/002557010X482916 .
7. ↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141—146..
8. ↑ Зетель, С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М. : Учпедгиз, 1962. задача на с. 120—125. параграфы 109—113.
9. ↑ Yff Center Of Congruence
10. ↑ Gossard Perspector
11. ↑ Mittenpunkt
12. ↑ 1ST AND 2ND AJIMA-MALFATTI POINTS
13. ↑ Apollonius Point
14. ↑ Bailey Point
15. ↑ Hofstadter Points
16. ↑ Congruent Isoscelizers Point
17. ↑ Morley Centers
18. ↑ Parry Point
19. ↑ Isoperimetric Point And Equal Detour Point
20. ↑ Equal Parallelians Point
21. ↑ Schiffler Point
22. ↑ Exeter Point

Литература

Ссылки

wikiredia.ru

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в равнобедренный треугольник

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.

Рассмотрим окружность, вписанную в равнобедренный треугольник (тот, у которого две стороны равны между собой)

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник можно вычислить по стандартной формуле

   

а также его можно выразить через стороны и следующим образом:

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

   

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле 

   

соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:

   

отсюда

   

   

II. Формула — следствие из теоремы синусов

   

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

   

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

   

   

 

IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

 

V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).

   

Если AB=a,

   

www.treugolniki.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

      Напомним определение биссектрисы угла.

      Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

      Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Рис. 1

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Рис. 2

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.

      Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

      Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Рис.3

      Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

AF = AE,

что и требовалось доказать.

      Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

      Напомним определение биссектрисы треугольника.

      Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

      Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Рис. 4

      Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OF,

      Следовательно, справедливо равенство:

OE = OF,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

     Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Рис. 5

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны треугольника, S – площадь, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр .
		Посмотреть вывод формулы
Равнобедренный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности
Равносторонний треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формул	a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник
	где a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, r –  радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы
Равнобедренный треугольник
	где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
Равносторонний треугольник
	где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
	где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формул

Произвольный треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, r –  радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

Равносторонний треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

Рис. 6

      Доказательство. Из формулы

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

      Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Рис. 7

      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

где

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.

      Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Рис. 8

      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольникомпрямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадратквадрат. Следовательно,

СD = СF= r,

      В силу теоремы 3 справедливы равенства

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

Ортоцентр треугольника: полезные факты.

Ортоцентр треугольника: полезные факты

В этой статье доказываются некоторые факты, касающиеся точки пересечения высот треугольника (ортоцентра треугольника), которые могут быть весьма полезны при решении задач.

Пусть — точка пересечения высот треугольника ,  — центр описанной окружности.

Тогда:

1) радиусы окружностей, описанных около треугольников , , и равны;

2) расстояние от вершины до точки  вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны ;

3) расстояние между серединами отрезков и равно радиусу описанной окружности треугольника ;

4) ;

5)  точки, симметричные точке  относительно прямой  и относительно середины стороны , лежат на описанной окружности треугольника .

Доказательство.

1) Радиусы окружностей, описанных около треугольников , , и равны.

Радиус окружности, описанной около треугольника можно найти по формуле:

   

, где — произвольная сторона треугольника, а — величина противолежащего угла.

Для треугольника   радиус описанной окружности

Рассмотрим четырехугольник : по свойству вертикальных углов. 

Тогда для треугольника  радиус описанной окружности , то есть равен радиусу описанной окружности треугольника .

 

2) Расстояние от вершины до точки  вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны .

Докажем, что , где — центр описанной окружности, а — основание серединного перпендикуляра, опущенного из точки  на сторону . (Вспомним, что центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.)

Пусть точка   симметрична точке  относительно отрезка .

Рассмотрим треугольник . 

Из соображений симметрии , следовательно, .

Так как расстояние от точки до точек и равно радиусу окружности, описанной около треугольника , и мы только что доказали, что радиус окружности, описанной около треугольника также равен , следовательно, точка  — центр окружности, описанной около треугольника , и . 

Проведем окружность с центром в точке , описанную около треугольника :

Мы видим, что при параллельном переносе на вектор  окружность с центром в точке  переходит в окружность c центром в точке , и точка   переходит в точку , следовательно, . Но так как , получили, что .

Что и требовалось доказать.

3) Расстояние между серединами отрезков и равно радиусу описанной окружности треугольника .

Рассмотрим четырехугольник .

 

 

Мы доказали, что . Кроме того, по доказанному выше, . Следовательно, этот четырехугольник  — параллелограмм. Точка — середина отрезка , является также серединой отрезка . Следовательно, отрезок, соединяющий точку  с точкой — серединой отрезка , параллелен отрезкам  и и равен им:

.

Что и требовалось доказать.

4)

Используем доказанные выше факты.

Четырехугольник   — ромб, следовательно, по правилу параллелограмма для сложения векторов получаем :

Далее, четырехугольник   -параллелограмм, следовательно,  .

Утверждение доказано.

5)  Точки, симметричные точке  относительно прямой  и относительно середины стороны , лежат на описанной окружности треугольника .

Пусть точка  симметрична точке  относительно прямой :

 

 

Точка симметрична точке относительно прямой . Следовательно, окружность с центром в точке  симметрична окуржности с центром в точке . Точка лежит на окружности с центром в точке  (см. п. 2), следовательно, симметричная ей относительно прямой точка  симметричной окружности с центром в точке , то есть описанной около треугольника .

Пусть точка  симметрична точке  относительно относительно середины стороны :

Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, , и точка  лежит на окружности, описанной около треугольника  .

Утверждение доказано.

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

 

 

ege-ok.ru

Медиана в равнобедренном треугольнике, все формулы

Определение и формулы медианы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.

Для медиан равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:

• Медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
• Медиана разбивает равнобедренный треугольник на два треугольника с одинаковой площадью.
• Весь равнобедренный треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих (т.е. с одинаковой площадью) треугольников.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, вычисляется по формуле:

   

где – основание равнобедренного треугольника, – боковые стороны треугольника.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Центр окружности описанной около треугольника

Решение

Рассмотрим треугольник с прямым углом . Отметим на серединах катетов и точки и соответственно. Поскольку центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, то отрезки и являются средними линиями треугольника . Так как см, то гипотенуза см Поскольку , то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы, т.е. см тогда по теореме Пифагора см Следовательно, из свойств средней линии     а

ru.solverbook.com